上海市杨浦区2012届高三第二学期模拟测试(一)(数学理)

上海市杨浦区2012届高三第二学期模拟测试（一）数学试卷（理科） 2012.3.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的线性方程组是 ． 2．51)的展开式中2x 的系数是 （结果用数字作答）.3．若双曲线2221(0)9x ya a-=>的一条渐近线方程为023=-y x ，则a =_________．4．计算：2111lim (1)333nn →∞++++= .5．若直线l 过点(2,0)-，且与圆221x y +=相切，则直线l 的斜率是 . 6．函数2)cos (sin )(x x x f -=的最小正周期为 .7．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动 员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________.8．若行列式093114212=-xx ，则=x ．9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面 内的两个测点C 与D .测得 75=∠BCD ， 60=∠BDC ，30=CD 米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为 60，则塔高=AB ________米.10. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （米/秒）和燃料的质量M （千克）、火箭（除燃料外）的质量m （千克）的关系式是)1ln(2000mM v +=.当燃料质量与火箭（除燃料外）的质量之比为时，火箭的最大速度可达12（千米/秒）．的底面半径11.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．12. 设幂函数3)(x x f =，若数列{}n a 满足：20121=a ，且)(1n n a f a =+，)(*∈N n项=na ．13. 对任意一个非零复数z ，定义集合{}*∈==Nn z A n z ,ωω，设α是方程012=+x的一个根，若在αA 中任取两个不同的数，则其和为零的概率为P = (结果用分数表示)． 14．函数11y x=-的图像与函数2sin y x π= )42(≤≤-x 的图像所有交点的横坐标之和等于__________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为 ( )．()Ay x =()B s i n y x =()Cx xy e e-=+()D3y x =-16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）()A 1. ()B1-.()C2- .()D0.17．“t a n 3x =-”是“5π6x =” ( )．()A 充分非必要条件. ()B 必要非充分条件. ()C充要条件.()D既非充分也非必要条件.18．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使A B C △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ②(0)y x =≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是( )．()A . 0 ()B. 1 ()C.2()D. 3三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分 ． 已知关于x 的不等式022<-+mx x 解集为()2,1-. （1）求实数m 的值；（2）若复数ααsin cos ,221i z i m z +=+=，且21z z ⋅为纯虚数，求α2tan 的值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．A C1如图所示, 直四棱柱1111A B C D A B C D -的侧棱1AA 长为a , 底面ABCD 是边长2A B a =, B C a =的矩形,E 为11C D 的中点,(1)求证: DE ⊥平面EBC ；(2)求点C 到平面EBD 的距离.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设R a ∈, 122)(2+-⋅=-xx a a x f 为奇函数.（1）求函数11242)()(-+-+=xxx f x F 的零点；（2）设)1(log 2)(2kx x g +=, 若不等式1()()fx g x -≤在区间12[,]23上恒成立, 求实数k 的取值范围.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“生成数列”.（1）若数列41234:,,,A a a a a 的“生成数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（2）若n 为偶数，且n A 的“生成数列”是n B ，证明：n B 的“生成数列”是n A ；（3）若n 为奇数，且n A 的“生成数列”是n B ，n B 的“生成数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .探究：数列i Ω是否为等差数列,并说明理由.23．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题的①满分6分; ②满分8分.如图，椭圆14:221=+y xC ，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求实数b 的值；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点B A 、，直线MB MA 、分别与1C 相交与、D E .①证明：0=⋅ME MD②记△B MA ，△MDE 的面积分别是12,S S . 若21S S =λ，求λ的取值范围..上海市杨浦区2012届高三第二学期模拟测试（一）(23题图)一．填空题（本大题满分56分） 2012.3.161.⎩⎨⎧=+=+64253y x y x ； 2. 5 ； 3.理，2 ； 4.理23； 5. 理33±；6.理π；7. 12 ；8.理2或3-；9. 245； 10. 16-e ； 11 . 4； 12.理132012-n ； 13. ,理31； 14理8；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. B ； 16. D ； 17. B ； 18.C ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 解：(1)4＋2m －2＝0，解得m=－1(2) 21z z ⋅=(－cos α－2sin α)＋ (－sin α＋2cos α)i 为纯虚数 所以，－cos α－2sin α＝0，tan α=－12,所以，α2tan =－4320.(1)证明: 由EC ED ==, 2C D a E C E D =⇒⊥,……2分B C ⊥平面11CC D D BC D E ⇒⊥, ……4分即DE 垂直于平面EBC 中两条相交直线,因此DE ⊥平面EBC, ……7分(2) [理]解1: 结合第(1)问得，由a DE a DB 2,5==，……8分a BE 3=， BE DE ⊥，所以，2263221a a a S BED ==∆ ……10分又由BCD E BED C V V --=得32312631a a h=……12分故C 到平面BDE 的距离为a h 36= ……14分解2: 如图建立直角坐标系,则(0,,)E a a ,(0,,)OE a a = , (,2,0)B a a , (,2,0)O B a a =, ……9分 因此平面EBD 的一个法向量可取为(2,1,1)n =-, 由(0,2,0)C , 得(1,0,0)BC =-, ……11分因此C 到平面BDE 的距离为||3||n BC d n ⋅== .（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 21. 解：由f(x)是奇函数，可得a=1，所以，f （x ）＝2121xx -+（1）F （x ）＝2121xx-+＋42121xx--+＝2(2)2621x xx+-+由2(2)26x x+-＝0，可得2x ＝2，所以，x=1，即F （x ）的零点为x ＝1。

（2）f －1（x ）＝21log 1x x+-，在区间12[,]23上，由1()()fx g x -≤恒成立，即21log 1xx +-≤212log (xk +恒成立，即2111xx x k ++⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭恒成立即22121,[,]23k x x ≤-∈，259k ≤，所以，33k -≤≤22. （理科）（1）解：由题意得：541==a b ；52122-+=-=a a b ；57133+-==a a b ；52144-+==a a b ……………3分4:2,1,4,5A . ……………4分（2）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()ii i n b a a a =+--. ……………5分① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()kk k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]kk k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………8分设数列n B 的“生成数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()iiii i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n = .由于n 为偶数，所以11(1)()nn n n b a a a a =+--=， ……………9分所以 11(1)()(1)()i ii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n = .因此，数列n C 即是数列n A . ………………10分 证法二：因为 1n b a =， 1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，…… 11n n n n b b a a --+=+， ………………7分 由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n 个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………9分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-= ，根据“生成数列”的定义知，数列n A 是n B 的“生成数列”. ………………10分 （3）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“生成数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+= 即可. ……12分由（2）中结论可知 1(1)()ii i n y x x x =+--，1(1)()ii i n z y y y =+--11(1)()(1)()iii n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]iini n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()iii n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2ii i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………16分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-= ， 所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--= .所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………12分 对于数列n A 及其“生成数列”n B ，因为 1n b a =， 1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+， …… 11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n - 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“生成数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………16分 23（理科）:（1）由题意知：半长轴为2，则有22=b ………………3分 1=∴b ………………4分 （2）①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =. 由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， ………………6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-。