高考数学理科必考题型：第42练-随机变量及其分布列(含答案)

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(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)

一、选择题1．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（） A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.842．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．164．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．75．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（） A ．38B ．1340C ．1345D ．347．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.688．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．129．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．5911．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A ．313B ．413C ．14D ．1512．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( ) A ．27B ．29C ．310D ．15二、填空题13．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________. 16．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q R ∈）：且X 的数学期望()12E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则()E ξ=_______；（2）设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33k k n kn -，k =0，1，2，…，n ，且()24E ξ=，则()D ξ= _______；（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差()D X =______．三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .21．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ．参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.2 0.8849 0.869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 23．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）．附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 24．甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X 表示比赛结束时的比赛局数（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率；（2）求X 的分布列和数学期望.25．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 26．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ．【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．2．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++，因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ．【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．B解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.5．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可．【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-，方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．6．B【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案．【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解．9．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值．【详解】由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．10．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．11．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.12．B解析：B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率．【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为29P =．选B. 【点睛】事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为(|)P B A ；条件概率常有两种处理方法：（1）条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =．（2）缩小样本空间，即在事件A 发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率．二、填空题13．【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下：0 1 2 3 故故答案为：【点睛】本题考查概率的计算随机解析：27 16【分析】依题意画出数形图，即可求出X的分布列，即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X的分布列如下：X0123P 16421643964364故()01236464646416 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：27 16【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A表示第二位数字是2的事件用B表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：1 3【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B，结合条件概率的计算公式，即【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，可得33131 (),()273279P B P A B⨯====，所以1()19 (|)1()33P A BP A BP B===.故答案为：1 3 .【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：1 3【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n=3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女},已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n=3 ,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13mpn==，故答案为：1 3【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误；由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．8【解析】（1）由题意得随机变量的可能取值为012所以（2）由题意可知所以解得所以（3）每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以解析：358 23 【解析】（1）由题意得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，()27210C 70C 15P ξ===，()1P ξ=1173210C C 7C 15==， ()23210C 12C 15P ξ===，所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知2,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以()2243n E ξ==，解得36n =，所以()D ξ= 22361833⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭．（3）每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以X 服从二项分布，即23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值.【详解】（1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭，即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=，解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分．【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案．【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确；进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 23．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 24．（1）18；（2）分布列见解析，()72E X =.【分析】（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；（2）先分析X 的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得X 的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【详解】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，且甲在第1局或第2局赢了，当甲在第1局赢了，则乙在后面3局都赢了，此事件的概率为：31112216⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，当甲在第2局赢了，则乙在第1,3,4局赢了，此事件的概率为：2111122216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A ，则()112168P A =⨯=；（2）根据条件可知：X 可取2,4,6，当2X =时，包含甲或乙前2局连胜，此时2种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；当4X =时，包含甲或乙前2局赢了1局，后2局都没赢，此时4种情况：{甲，乙，乙，乙}，{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()4114424P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为：所以()2462442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 25．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.。

随机变量及其分布_真题(含答案与解析)-交互

随机变量及其分布(总分102, 做题时间90分钟)一、单项选择题(每题的备选项中，只有1个最符合题意)1.下列关于“右偏分布”的表述错误的是( )。

SSS_SINGLE_SELA 右偏分布是正态分布的形式之一B 符合右偏分布的随机变量大量取值在左边，少量分布在右边C 符合右偏分布的随机变量少量取值在左边，大量分布在右边D 随机变量的分布很散分值: 1答案:B[解析] 对数正态分布的特点之一就是“右偏分布”，符合右偏分布的随机变量的取值大量在左边，少量取值在右边，并且很分散。

2.对于产品的某个质量特性X的不合格品率，在计算之前需要知道的条件有( )。

SSS_SINGLE_SELA产品质量特性X的分布，在过程受控情况下X的分布常为正态分布(μ，σ2)，这是稳定过程的概括B 某个公认标准对产品特性的要求C 企业对产品下达的任务书D X低于下规范限的概率和X高于上规范限的概率分值: 1答案:A[解析] 产品某个质量特性X的不合格品率的计算要知道两件事：①质量特性X 的分布，在过程受控情况下，X的分布常为正态分布N(μ，σ2)，这是稳定过程的概括；②产品的规格限，包括上规格限TU 和下规格限TL。

3.设某二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数P=( )。

SSS_SINGLE_SELA 0.1B 0.3C 0.7D 0.9分值: 1答案:A[解析] 此二项分布记为b(n，p)，则E(X)=np，Var(X)=np(1-p)，根据题意，代入数据可得np=3，np(1-p)=2.7，所以p=0.1。

4.对下列常见密度函数所对应的方差的形式正确的一项是( )。

SSS_SINGLE_SELA 两点分布b(1,的方差：np(1-B 超几何分布h(n，N，的方差：n(N-/(N-1)•(M/(1-(M/)C均匀分布U(a，的方差：(b+ 2/12D对数正态分布LN(μ，σ2)的方差：分值: 1答案:B[解析] A项两点分布的方差为p(1-p)；C项均匀分布的方差为(b-a)2/12；D项对数正态分布的方差为。

高考数学理科必考题型：第42练-随机变量及其分布列(含答案)

第42练随机变量及其分布列[内容精要] 随机变量及其分布列是新课标高考的一个必考热点、主要包括离散型随机变量及其分布列、期望与方差、二项分布及其应用和正态分布、对本部分知识的考查、一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布、题型一离散型随机变量的期望和方差例1 2014年男足世界杯在巴西举行、为了争夺最后一个小组赛参赛名额、甲、乙、丙三支国家队要进行比赛、根据规则：每支队伍比赛两场、共赛三场、每场比赛胜者得3分、负者得0分、没有平局、获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额、已知乙队胜丙队的概率为15、甲队获得第一名的概率为16、乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P 1、P 2；(2)设在该次比赛中、甲队得分为ξ、求ξ的分布列和数学期望、破题切入点 (1)利用相互独立事件同时发生的概率公式、结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程、从而求出P 1、P 2；(2)先根据比赛得分的规则确定甲队得分ξ的可能取值、然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值、列出分布列求其期望、解 (1)根据题意、甲队获得第一名、则甲队胜乙队且甲队胜丙队、所以甲队获第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名、则乙队胜甲队且乙队胜丙队、所以乙队获第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②、得P 1＝23、代入①、得P 2＝14、所以甲队战胜乙队的概率为23、甲队战胜丙队的概率为14.(2)ξ可能取的值为0,3,6、当ξ＝0时、甲队两场比赛皆输、其概率为P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－14)＝14；当ξ＝3时、甲队两场只胜一场、其概率为P (ξ＝3)＝23×(1－14)＋14×(1－23)＝712；当ξ＝6时、甲队两场皆胜、其概率为P (ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.题型二相互独立事件的概率例2 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛、甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘、已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立、 (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数、求ξ的分布列和数学期望E (ξ)、破题切入点设“甲胜A ”为事件D 、“乙胜B ”为事件E 、“丙胜C ”为事件F 、则第(1)问就是求事件DE F ＋D E F ＋D EF ＋DEF 的概率、根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行计算、第(2)问中的ξ可取0,1,2,3、分别对应事件D E F 、D E F ＋D E F ＋D E F 、DE F ＋D E F ＋D EF 、DEF 、求出其概率就得到了ξ的分布列、然后按照数学期望的计算公式求数学期望、解 (1)设“甲胜A ”为事件D 、“乙胜B ”为事件E 、“丙胜C ”为事件F 、则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件、因为P (D )＝0.6、P (E )＝0.5、P (F )＝0.5、由对立事件的概率公式、知P (D )＝0.4、P (E )＝0.5、P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F 、D E F 、D EF 、DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立、因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意、知ξ的可能取值为0,1,2,3.因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1、P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35、P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式、得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35题型三二项分布问题例3 (2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛、约定先胜3局者获得比赛的胜利、比赛随即结束、除第五局甲队获胜的概率是12外、其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立、(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1、则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2、则胜利方得2分、对方得1分、求乙队得分X 的分布列及数学期望、破题切入点理解相互独立事件、二项分布的概念、掌握离散型随机变量的分布列与数学期望的计算、解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1、“甲队以3∶1胜利”为事件A 2、“甲队以3∶2胜利”为事件A 3、由题意、知各局比赛结果相互独立、故P (A 1)＝(23)3＝827、P (A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827、 P (A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利、3∶1胜利的概率都为827、以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4、由题意、知各局比赛结果相互独立、所以P (A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427. 由题意、知随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3、根据事件的互斥性、得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627、又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427、P (X ＝2)＝P (A 4)＝427、P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327＝19、故X 的分布列为P162742742719所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.总结提高 (1)离散型随机变量的期望和方差的求解、一般分两步：一是定型、即先判断随机变量的分布是特殊类型、还是一般类型、如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性、对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解、而对于一般类型的随机变量、应先求其分布列然后代入相应公式计算、注意离散型随机变量的取值与概率间的对应、(2)两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有关系、在一些问题中我们可以根据问题的实际意义来判断两个事件是否相互独立、 (3)对于能够判断为服从二项分布的随机变量、可直接代入公式、1、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个、其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19 答案 D解析个位数与十位数之和为奇数、则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数、所以可以分两类、(1)当个位为奇数时、有5×4＝20(个)符合条件的两位数、 (2)当个位为偶数时、有5×5＝25(个)符合条件的两位数、因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数、其中个位数为0的两位数有5个、所以所求概率为P ＝545＝19.2、(2013·广东)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )等于( A.32 B 、2 C.52 D 、3 答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3、甲射击命中目标的概率是12、乙命中目标的概率是13、丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标、则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 A解析设甲命中目标为事件A 、乙命中目标为事件B 、丙命中目标为事件C 、则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C 、即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生、 ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.4、一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a 、得2分的概率为b 、不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))、已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)、则ab 的最大值为( ) A.148 B.124 C.112 D.16 答案 B解析由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1、即3a ＋2b ＝1、 ∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16×⎝⎛⎭⎫122＝124、当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号、即ab 的最大值为124.5、盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球、从中随机取出一个记下颜色后放回、当红球取到2次时停止取球、那么取球次数恰为3次的概率是( ) A.18125 B.36125 C.44125 D.81125 答案 B解析从5个球中随机取出一个球放回、连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种、有两次取红球的所有取法有3A 12·A 23＝36种、所以概率为36125.6、设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104、x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2、随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)、D (ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差、则( ) A 、D (ξ1)>D (ξ2) B 、D (ξ1)＝D (ξ2) C 、D (ξ1)<D (ξ2)D 、D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关答案 A7、将一枚均匀的硬币抛掷6次、则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________、答案1132解析正面出现的次数比反面出现的次数多、则正面可以出现4次、5次或6次、所求概率P＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132. 8、某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中、选手若能连续正确回答出两个问题、即停止答题、晋级下一轮、假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8、且每个问题的回答结果相互独立、则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________、答案 0.128解析由题设、分两类情况：①第1个正确、第2个错误、第3、4个正确、由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4； ②第1、2个错误、第3、4个正确、此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.9、小王参加了2014年春季招聘会、分别向A 、B 两个公司投递个人简历、假定小王得到A 公司面试的概率为13、得到B 公司面试的概率为p 、且两个公司是否让其面试是独立的、记ξ为小王得到面试的公司个数、若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12、则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________. 答案712解析由题意、得P (ξ＝2)＝13p 、P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3、ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1、得p ＝14.所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.10、某工厂生产甲、乙两种芯片、其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品、小于82为次品、现随机抽取这两种芯片各100件进行检测、检测结果统计如下：(1)(2)生产一件芯片甲、若是合格品可盈利40元、若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙、若是合格品可盈利50元、若是次品则亏损10元、在(1)的前提下、①记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润、求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率、解 (1)芯片甲为合格品的概率约为40＋32＋8100＝45、芯片乙为合格品的概率约为40＋29＋6100＝34. (2)①随机变量X 的所有可能取值为90,45,30、－15. P (X ＝90)＝45×34＝35、P (X ＝45)＝15×34＝320、P (X ＝30)＝45×14＝15、P (X ＝－15)＝15×14＝120、所以、随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝90×35＋45×320＋30×15－15×120＝66.②设生产的5件芯片乙中合格品有n 件、则次品有(5－n )件、依题意、得50n －10(5－n )≥140、解得n ≥196.所以n ＝4或n ＝5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A 、则P (A )＝C 45(34)4×14＋(34)5＝81128.11、在体育课上、甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习、甲、乙、丙投中的概率分别为p 1、p 2、25、且p 1＋p 2＝1、现各自投篮一次、三人投篮相互独立、(1)求三人都没有投进的概率的最大值、并求此时甲、乙投篮命中的概率； (2)在(1)的条件下、求三人投中次数之和X 的分布列和数学期望、解 (1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件A 、B 、C 、则P (A )＝p 1、P (B )＝p 2、P (C )＝25.各自投篮一次都没有投进为事件D 、则D ＝A B C 、故P (D )＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝35(1－p 1)(1－p 2)≤35(1－p 1＋1－p 22)2 ＝320、当且仅当p 1＝p 2＝12时等号成立、即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是320、此时甲、乙投篮命中的概率都是12.(2)X ＝0,1,2,3.根据(1)知P (X ＝0)＝320；P (X ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝12×12×35＋12×12×35＋12×12×25 ＝25； P (X ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC ) ＝12×12×35＋12×12×25＋12×12×25 ＝720； P (X ＝3)＝P (ABC )＝12×12×25＝110.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.12、(2013·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中、摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球、再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球、根据摸出4个球中红球与蓝球的个数、设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )、解设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球、B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球、则A i 与B j 独立、(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200、且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105、P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105、P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435、P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知、获奖金额X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)、。

高三数学随机变量的分布列试题答案及解析

高三数学随机变量的分布列试题答案及解析1.盒中有9个正品、3个次品零件，每次取1个零件，如果取出的次品不再放回，则在取得正品前已取出的次品数ξ的分布列________．【解析】ξ可能取的值为0,1,2,3这四个数，而ξ＝k(k＝0,1,2,3)表示取k＋1次零件，前k次取得的都是次品，第k＋1次才取到正品．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝·＝，P(ξ＝2)＝··＝，P(ξ＝3)＝··＝．故ξ的分布列为ξ01232.某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作ξ.(1)求该观众得分ξ为负数的概率；(2)求ξ的分布列．【答案】（1）（2）ξ－128【解析】解：(1)当该观众只连对《三国演义》，其他全部连错时，得分为负数，此时ξ＝－1，故得分为负数的概率为P(ξ＝－1)＝＝.(2)ξ的可能取值为－1,2,8.P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝8)＝＝.ξ的分布列为：ξ－1283.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．【答案】（1）（2）（3）ξ的分布列为ξ0123【解析】(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，且P(A)＝＝，P(B)＝＝.故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝×＝.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且P(C)＝·＝，P(D)＝＝.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.(3)ξ可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝＝.从而P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.ξ的分布列为4.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.5.某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者，20名学生的名额分配为高一12人，高二6人，高三2人．（1）若从20名学生中选出3人做为组长，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（2）若将4名教师随机安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】（1）从高一12人中选出1人，从高二和高三共8人中选出2人的事件为A,，计算得到结果；（2）每位教师选择高一年级的概率均为，并且相互独立，X的所有取值为0，1，2，3，4．,,,然后列出随机变量X的概率分布列，利用,或是利用二项分布的期望公式,得出结果.随机变量的概率，分布列，期望还是高考的重点内容，属于基础题型,试题解析：（1）解：设“他们中恰好有1人是高一年级学生” 为事件，则．所以恰好有1人是高一年级学生的概率为． 4分（2）解：X的所有取值为0，1，2，3，4． 6分由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为， 7分所以；；；．随机变量X的分布列为：12分所以． 13分【考点】1.超几何分布；2.二项分布.6.一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）【解析】记“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝＝＝，∴P(A)＝1－P(B)＝.(2)X的取值为1,2,3,4P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以X的分布列为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝.7.甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．【答案】（Ⅰ）选派乙参赛更好（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）茎表示得分的十位数，放在中间的列，叶表示得分的个位数，放在两侧。

随机变量及其分布习题解答

+随机变量及其分布习题解答(共16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1第二章随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：的分布律为：2、一袋中有53、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,1013、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形.解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个.3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 351,3512,352224、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功} ,,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k －k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P5、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的.有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去.鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间.假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的.（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律.（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次.以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y 的分布律.（3）求试飞次数X 小于Y 的概率；求试飞次数Y 小于X 的概率. 解：（1）X 的可能取值为1，2，3，…，n ，…P {X=n }=P {前n －1次飞向了另2扇窗子，第n 次飞了出去}=31)32(1⋅-n ， n=1，2，……（2）Y 的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=31P {Y=2}=P {第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} =312132=⨯P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} =31!3!2=3∑∑===<===<==<3231}|{}{}|{}{}{)3(k k k Y Y X P k Y P k Y Y X P k Y P Y X P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==<0}1|{Y Y X P 全概率公式并注意到 278313231313131}{}{32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯=<==∑=k k X P k Y P }{}|{,k X P k Y Y X P Y X <==<独立即注意到同上，∑======31}|{}{}{k k Y Y X P k Y P Y X P81192743192313131}{}{31=⨯+⨯+⨯====∑=k k X P k Y P故8138){}{1}{==-<-=<Y X P Y X P X Y P 6、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P （2）至少有3个设备被使用的概率是多少00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P （3）至多有3个设备被使用的概率是多少3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少 40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P7、设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号.（1）进行了5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率 .（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率解：设X 为 A 发生的次数. 则()0.3,.X B n n=5，7B:“指示等发出信号“① (){}3P B P X =≥55530.30.70.163k k k k C -===∑②(){}3P B P X =≥={}{}7231k P X K P X K ===-=∑∑71622510.70.30.70.30.70.353G G =--⋅⨯-⨯≈ 8、甲、乙二人投篮，投中的概率各为, ，令各投三次.求4（1）二人投中次数相等的概率. 记X 表甲三次投篮中投中的次数 Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立. P (X =Y )=P (X =0, Y=0)+P (X =2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X =0) P (Y=0)+ P (X =1) P (Y=1)+ P (X =2) P (Y=2)+ P (X =3) P (Y=3)= 3× 3+ [])3.0(7.0[])4.0(6.0213213⨯⨯⨯⨯⨯C C3223223)6.0(]3.)7.0([]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯+C C 321.0)7.0(3=⨯（2）甲比乙投中次数多的概率.P (X>Y )=P (X =1, Y=0)+P (X =2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2) =P (X =1) P (Y=0) + P (X =2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2)=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯82233213)3.0(]4.0)6.0([)3.0(])4.0(6.0[C C 3213223)6.0(])3.0(7.0[]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯C C321333)6.0(])3.0(7.0[)6.0()3.0(+⨯⨯⨯+⨯C 243.0]3.0)7.0([223=⨯⨯⨯C9、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：X 表示10件中次品的个数，Y 表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故X~B （10，），Y~B （5，）（近似服从）（1）P {X =0}=≈（2）P {X ≤2}=P {X =2}+ P {X =1}=581.09.01.09.01.0911082210≈+C C （3）P {Y =0}= 5≈（4）P {0<X ≤2，Y=0} ({0<X ≤2}与{ Y=2}独立) = P {0<X ≤2}P {Y=0}=×≈（5）P {X =0}+ P {0<X ≤2，Y=0} ≈+=510、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的.）解：（1）P (一次成功)=701148=C（2）P (连续试验10次，成功3次)= 100003)7069()701(73310=C .此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力.11. 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的.但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章.设某地区每年撰写此类文章的篇数X 服从参数为6的泊松分布.求明年没有此类文章的概率.解： ().6~πX 6=λ{}0025.01066≈===∴-ee X P12. 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布.求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率.（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率.()4~πX 4=λ（1）{}∑∑∞=∞=--⋅-⋅==899484!!8r r r e r e X P λλ 029771.0021363.0051134.0=-= （2）566530.0}4{}3{=≥=>X P X P13. 某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率.（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解：2tλ= ()X πλ①32λ= {}3200.2231P X e -===②52λ= {} 2.512.510.918!k k e P X k -∞=≥==∑14、解：~(2)X t π（1）、10t =分钟时16t =小时，6{}131310.2388!1k ee P X k κλ--====（2）、{}00.5P X =≥故()0220.50.346571tt e t -≥⇒≥（小时）所以0.34657*6020.79t ≥≈（分钟） 15、解：{}()(){}10500005000100.001510.0015100.8622k kk P X k P X -=⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭≤≈∑ 16、解：{}{}{}011000,0.0001,0.12101110.99530.00470!1!n p np P X P X P X e e λλλλλ--====≥=-=-==--≈-=17、解：设X 服从()01分布，其分布率为{}()11,0,1kk P X k p p k -==-=，求X 的分布函数，并作出其图形.解一：X 0 1 k p1p - p()0,1XX 的分布函数为：()0010111x F x p x x , <⎧⎪=- , ≤<⎨⎪ , ≥⎩718．在区间[]0,a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在[]0,a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X 的分布函数.解：① 当0X <时.{}X x ≤是不可能事件，(){}0F X P X x =≤=②当0x a ≤≤时， {}0P X x kx ≤≤= 而 {}0X a ≤≤是必然事件 {}101P X x ka k a∴≤≤==⇒= {}0x P X x kx a∴≤≤==则 (){}{}{}00x F x P X x P X P X x a=≤=≤+≤≤=③当x a >时，{}X x ≤是必然事件，有(){}1F x P X x =≤=()0001x x F x x a a x a , < ⎧⎪⎪∴ , ≤≤⎨⎪ , >⎪⎩19、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是⎩⎨⎧<≥-=-000,1)(4.0x x e x F x X求下述概率：（1）P {至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P {3分钟至4分钟之间}；（4）P {至多3分钟或至少4分钟}；（5）P {恰好分钟} 解：（1）P {至多3分钟}= P {X ≤3} =2.11)3(--=e F X （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =6.1)4(1-=-e F X（3）P {3分钟至4分钟之间}= P {3<X ≤4}=6.12.1)3()4(---=-e e F F X X （4）P {至多3分钟或至少4分钟}= P {至多3分钟}+P {至少4分钟} =6.12.11--+-e e （5）P {恰好分钟}= P (X ==020、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ).解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P8（2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f21、设随机变量X 的概率密度)(x f 为（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f求X 的分布函数F (x )，并作出（2）中的f (x )与F (x )的图形.解：（1）当－1≤x ≤1时：21arcsin 111arcsin 211212120)(212121++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+=---∞-⎰⎰x πx x πx x x πdx x πdx x F Xx当1<x 时：10120)(11121=+-+=⎰⎰⎰--∞-xdx dx x πdx x F故分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤-++--<=x x x πx x πx x F 111121arcsin 11110)(2解：（2）⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+-++=<--=-++=≤≤=+=<≤==<∞-∞-∞-∞-122121120010)2(0)(,2122)2(0)(,2120)(,1000)(,0xxxxdt dt t dt t dt x F x xx dt t dt t dt x F x x dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当故分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤--<≤<=xx x x x x x x F 212112210200)(22（2）中的f (x )与F (x )的图形如下f (x )(Maxwell)分布，其概率密度为()220xbAx e xf x-⎧⎪ , >=⎨,⎪⎩其它其中2b m kT=，k为Boltzmann常数，T为绝对温度，m是分子的质量.试确定常数A.解: ①()1x dx+∞-∞=⎰即()22xbf x dx Ax e dx-+∞+∞-∞=⎰⎰222xbAb xxe db-+∞⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰22200()|222x x xb b bAb Ab Abxd e xe e dx---+∞+∞+∞=-=-+⎰⎰2212002xbAbe dx d x--+∞+∞⎤==⎥⎦⎰1122Ab==221122uduπ+∞-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎰A∴=②当0t<时，()00tTF t dt-∆=⋅=⎰当0t≥时，()()()2411241xt tT TF t f x dt F t e dt--∞=⋅==⎰⎰2411te-=-()2410,01,0tTtF te t-<⎧⎪∴=⎨⎪- ≥⎩{}{}{}()()501001005010050P T P T P T F F∴<<=<-≤=-50100e e--=-或{}()1005050100P T f t dt<<=⎰50100100241241241501241te dt e e---==-⎰xF (x)923、某种型号的电子的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧>=其它010001000)(2x x x f现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）.任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=≤-=>⎰x dx x X P X P令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”.则)32,5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,51)(5x e x F xX某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律.并求P （Y ≥1）.解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为21051051051)()10(-∞+-∞+-∞+=-===>⎰⎰e edx edx x f X P xx X因此5,4,3,2,1(,)1(5)().,5(~5222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==----k e e k k Y P e B Y kk 即.5167.04833.018677.01)1353363.01(1)389.711(1)1(1)0(1)1(1)1(55552=-=-=--=--=--==-=<-=≥-e Y P Y P Y P 25、设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵K 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0. 解不等式，得K ≥2时，方程有实根. ∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 26、设X ～N （）（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P {|X|>2}，P (X>3) ∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)－φ(－ =－=P (－4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ－φ(－=－=P (|X |>2)=1－P (|X |<2)= 1－P (－2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1－φ(－ +φ(－ =1－+=P (X >3)=1－P (X ≤3)=1－φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1－= （2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵ P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C ) 得 P (X ≤C )=21=又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫⎝⎛-C C 查表可得∴ C =327、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg 计）服从)12,110(2N 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X .求（1）P (X ≤105)，P (100<X ≤120). （2）确定最小的X 使P (X>x ) ≤ .解:3384.06616.01)4167.0(1)4167.0()12110105()105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 5952.017976.021)8333.0(21)65(2)65()65()12110100()12110120()120100(=-⨯=-Φ=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<X P.74.129.74.12974.19110.645.112110.95.0)12110(05.0)12110(1)(1)()2(==+≥⇒≥-≥-Φ⇒≤-Φ-=≤-=>X x x x x x X P x X P 故最小的查表得28、由某机器生产的螺栓长度（cm ）服从参数为μ=，σ=的正态分布.规定长度在范围±内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为X P {X 不属于－, + =1－P －<X <+=1－⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Φ06.005.10)12.005.10(06.005.10)12.005.10( =1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{－} =29、一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X ≤200＝=，允许σ最大为多少∵ P (120＜X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φσσσσ又对标准正态分布有φ(－x )=1－φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得再查表，得25.31281.140281.140=≤≥σσ30、解：[]{}{}{}223120~(120,2) ~(0,1)2P 118,122P 1181222P 12(10.8413)0.31745(1)0.32042V V N X N V V V X p p -=∉=<⋃>=->=-=⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭则p=31、解：0 ,0()0.20.8/30 ,0301 ,30x F x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩32、解：[]()0,()0,01()(1)()0()(1)()()(1)()(1)1f xg x a af x a g x af x a g x dx a f x dx a g x dx a a ∞∞∞-∞-∞-∞≥≥<<∴+-≥+-=+-=+-=⎰⎰⎰且所以()(1)()af x a g x +-为概率密度函数 33、设随机变量X 的分布律为： X ：－2，－1， 0， 1， 3P ：51，61， 51， 151，3011求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2：(－2)2 (－1)2 (0)2(1)2(3)2 P ： 516151 1513011 再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y 的分布律为：∴ Y ： 0 1 4 9P ： 5115161+ 51301134、设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=e X 的分布密度 ∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在且 α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1 =βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX 的概率密度.∵ Y= g (X )=－2lnX 是单调减函数又 2)(Y e Y h X -== 反函数存在. 且 α = min [g (0), g (1)]=min (+∞, 0 )=0 β=max [g (0), g (1)]=max (+∞, 0 )= +∞∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<=-⋅=⋅=--为其他y y e ey h y h f y ψy y 0021211|)('|)]([)(2235、设X ～N （0，1）（1）求Y=e X 的概率密度 ∵ X 的概率密度是+∞<<∞-=-x e πx f x ,21)(22Y= g (X )=e X 是单调增函数又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 α = min [g (－∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=0 β = max [g (－∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⋅=⋅=-为其他y y y e πy h y h f y ψy 00121|)('|)]([)(2)(ln 2 （2）求Y=2X 2+1的概率密度.在这里，Y=2X 2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用. 设Y 的分布函数是F Y （y ），则 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P (2X 2+1≤y ) =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤--2121y X y P 当y<1时：F Y ( y )=0当y ≥1时：⎰----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=212122212121)(y y x y dx e πy X y P y F故Y 的分布密度ψ( y )是：当y ≤1时：ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>1时，ψ( y )= [F Y ( y )]' ='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰----21212221y y x dx eπ=41)1(21---y ey π（3）求Y=| X |的概率密度. ∵ Y 的分布函数为 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P ( | X |≤y ) 当y<0时，F Y ( y )=0当y ≥0时，F Y ( y )=P (| X |≤y )=P (－y ≤X ≤y )=⎰--y yx dx e π2221∴ Y 的概率密度为：当y ≤0时：ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>0时：ψ( y )= [F Y ( y )]' =2222221y y yx e πdx e π---='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰36、（1）设随机变量X 的概率密度为f (x )，求Y = X 3的概率密度. ∵ Y=g (X )= X 3 是X 单调增函数，又 X =h (Y ) =31Y ，反函数存在，且 α = min [g (－∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=－∞ β = max [g (－∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为：ψ( y )= f [h ( h )]·| h' ( y )| = 0,,31)(3231≠+∞<<∞-⋅-y y y y f 但0)0(=ψ（2）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度.法一：∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧≤>=-00)(x x e x f xY =x 2是非单调函数当 x<0时 y =x 2 反函数是y x -= 当 x<0时 y =x 2y x =∴ Y ～ f Y (y ) = ))(())(('+'--y y f y y f －y y=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+--00,21210y y e ye yyy法二：)()()()()(~y X P y X P y X y P y Y P y Y F Y -≤-≤=≤<-=≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+--⎰,00,100y y e dx e y y x∴ Y ～ f Y (y ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0.0,21y y e y y37、设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=为其他x πx πxx f 002)(2xOyy=x 2求Y =sin X 的概率密度. ∵ F Y ( y )=P (Y ≤y ) = P (sin X ≤y ) 当y<0时：F Y ( y )=0当0≤y ≤1时：F Y ( y ) = P (sin X ≤y ) = P (0≤X ≤arc sin y 或π－arc sin y ≤X ≤π)=⎰⎰-+πy πy dx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222当1<y 时：F Y ( y )=1∴ Y 的概率密度ψ( y )为：y ≤0时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' = (0 )' = 0 0<y <1时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' ='⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰-πy πydx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222=212yπ-1≤y 时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' = )1(' = 038、设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9安11安之间.若此电流通过2欧的电阻，在其上消耗22.W I =求W 的概率密度.解：I 在()9,11上服从均匀分布I ∴的概率密度为：()1,1120,q x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它22W I =的取值为162242W <<分布函数 (){}{}2222w w F w P W w P I w P I ⎧⎫=≤=≤=≤⎨⎬⎩⎭()q P Q i f x dx ⎧⎪=<≤=⎨⎪⎩12q q ⎫==⎪⎪⎭()()',1622420,w w w f w F w <<∴== ⎩其它 39、某物体的温度T (o F )是一个随机变量，且有T ～N （，2），试求θ(℃)的概率密度.[已知)32(95-=T θ]法一：∵ T 的概率密度为+∞<<∞-=⨯--t et f t ,221)(22)6.98(2π又 )32(95)(-==T T g θ 是单调增函数. 3259)(+==θθh T 反函数存在.且 α = min [g (－∞), g (+∞)]=min (－∞, +∞)=－∞ β = max [g (－∞), g (+∞)]= max (－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为59221|)('|)]([)(4)6.983259(2⋅=⋅=-+-θeπθh θh f θψ +∞<<∞-=--θeπθ,109100)37(812法二：根据定理：若X ～N （α1， σ1），则Y=aX+b ～N (aα1+b, a 2 σ2 ) 由于T ～N （, 2）故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=295,9333295,91606.9895~91609522N N T θ故θ的概率密度为：+∞<<∞-==--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛--θππθψθθ,10929521)(100)37(8129529333222ee。

高二理科数学期末专题复习――随机变量及其分布(答案)

高二理科数学期末专题复习――随机变量及其分布(答案)高二理科数学期末专题复习――随机变量及其分布考点一:离散型随机变量及其分布列题型1: 离散型随机变量分布列的计算[例1]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.求选择甲线路旅游团数的分布列.解析：设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3 P （ξ=0）=64274333=，P （ξ=1）=6427433213=⋅C ，P （ξ=2）=64943313=⋅C ，P （ξ=3）=6414333=C∴ξ的分布列为：【名师指引】求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可。

【练习】．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分ξ 0 1 2 3P6427 6427 649 641布列；（2）他能及格的概率．题型2: 离散型随机变量分布列的性质的应用 [例2]某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2m n + 1.2=，则2n m -的值为（） A.－0.2； B.0.2； C.0.1； D.－0.1解析：由0.2m n ++1=，又2m n + 1.2=，可得2n m -0.2= 答案：B【练习】．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101212122q q q q 解得221-=q 。

ξ－1 0 1P 211－2qq 2ξ 01 2 3 P 0.1 m n 0.1考点二: 二项分布与超几何分布题型1: 条件概率例1一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解析：设事件(12)iA i =，表示第i 次按对密码 ⑴211()9P AA =⑵事件12A A 表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910P A A P A P A A ==⨯= ⑶设事件B 表示最后一位按偶数，事件112A A A A =+表示不超过2次按对密码，因为事件1A 与事件12A A 为互斥事件，由概率的加法公式得：1121412()()()5545P A B P AB P A A B ⨯===+=⨯变式：任意按最后一位数字，第3次就按对的概率？【练习】．1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解: 设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则（1）因为100 件产品中有 70 件一等品， 70()0.7100P B ==(2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以B A AB B ⊂∴=Q 70()0.736895P B A == 方法二:()()()P ABP B A P A =701000.736895100=≈ 2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为52，既刮风又下雨的概率为101，设A 为下雨，B 为刮风，求：（1）)(B A P ；（2）)(A B P ．题型2: 两点分布与超几何分布的应用[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何？解析：从50名学生中随机取5人共有550C 种方法，没有女生的取法是051535CC ，恰有1名女生的取法是141535CC ，恰有2名女生的取法是231535CC ，恰有3名女生的取法是321535CC ，恰有4名女生的取法是411535C C ，恰有5名女生的取法是501535CC ，因此取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布为：X 01 2 3 4 5 P051535550C C C141535550C C C231535550C C C321535550C C C411535550C C C501535550C C C[例4] 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。

随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题【知识梳理】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：为离散型随机变量X P(X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11=∑=ni ip．三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X若随机变量X 并称p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=nNk n MN k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.三．二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k (1－p )n －k，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．易得二项分布的分布列如下;【典型例题】题型一、随机变量分布列的性质【例1】设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)32()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为____.题型二、随机变量的分布列【例3】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【例4】安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）1000 100 200 3000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.。

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。

解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

2019年高考数学理科必考题型：第42练随机变量及其分布列(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5第42练随机变量及其分布列[内容精要] 随机变量及其分布列是新课标高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其分布列，期望与方差，二项分布及其应用和正态分布．对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布．题型一离散型随机变量的期望和方差例1 男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．破题切入点 (1)利用相互独立事件同时发生的概率公式，结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程，从而求出P 1，P 2；(2)先根据比赛得分的规则确定甲队得分ξ的可能取值，然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值，列出分布列求其期望．解 (1)根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②，得P 1＝23，代入①，得P 2＝14，所以甲队战胜乙队的概率为23，甲队战胜丙队的概率为14.(2)ξ可能取的值为0,3,6，当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－14)＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P (ξ＝3)＝23×(1－14)＋14×(1－23)＝712；当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P (ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.题型二相互独立事件的概率例2 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．破题切入点设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则第(1)问就是求事件DE F ＋D E F ＋D EF ＋DEF 的概率，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行计算．第(2)问中的ξ可取0,1,2,3，分别对应事件D E F ，D E F ＋D E F ＋D E F ，DE F ＋D E F ＋D EF ，DEF ，求出其概率就得到了ξ的分布列，然后按照数学期望的计算公式求数学期望．解 (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式，知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式，得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35题型三二项分布问题例3 (20xx·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．破题切入点理解相互独立事件、二项分布的概念，掌握离散型随机变量的分布列与数学期望的计算．解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，知各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝(23)3＝827，P (A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827， P (A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利、3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，知各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427. 由题意，知随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性，得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327＝19，故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.总结提高 (1)离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．(2)两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有关系，在一些问题中我们可以根据问题的实际意义来判断两个事件是否相互独立． (3)对于能够判断为服从二项分布的随机变量，可直接代入公式．1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19 答案 D解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.2．(20xx·广东)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )等于(A.32 B ．2 C.52 D ．3 答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 A解析设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生． ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最大值为( ) A.148 B.124 C.112 D.16 答案 B解析由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1， ∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16×⎝⎛⎭⎫122＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( ) A.18125 B.36125 C.44125 D.81125 答案 B解析从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种，有两次取红球的所有取法有3A 12·A 23＝36种．所以概率为36125.6．设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)，D (ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( ) A ．D (ξ1)>D (ξ2) B ．D (ξ1)＝D (ξ2) C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关答案 A7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案1132解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．答案 0.128解析由题设，分两类情况：①第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4； ②第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.9．小王参加了春季招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案712解析由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.10．某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)(2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，①记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．解 (1)芯片甲为合格品的概率约为40＋32＋8100＝45，芯片乙为合格品的概率约为40＋29＋6100＝34. (2)①随机变量X 的所有可能取值为90,45,30，－15. P (X ＝90)＝45×34＝35，P (X ＝45)＝15×34＝320，P (X ＝30)＝45×14＝15，P (X ＝－15)＝15×14＝120，所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝90×35＋45×320＋30×15－15×120＝66.②设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，则次品有(5－n )件．依题意，得50n －10(5－n )≥140，解得n ≥196.所以n ＝4或n ＝5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则P (A )＝C 45(34)4×14＋(34)5＝81128.11．在体育课上，甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习，甲、乙、丙投中的概率分别为p 1，p 2，25，且p 1＋p 2＝1，现各自投篮一次，三人投篮相互独立．(1)求三人都没有投进的概率的最大值，并求此时甲、乙投篮命中的概率； (2)在(1)的条件下，求三人投中次数之和X 的分布列和数学期望．解 (1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝p 1，P (B )＝p 2，P (C )＝25.各自投篮一次都没有投进为事件D ，则D ＝A B C ，故P (D )＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝35(1－p 1)(1－p 2)≤35(1－p 1＋1－p 22)2 ＝320，当且仅当p 1＝p 2＝12时等号成立．即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是320，此时甲、乙投篮命中的概率都是12.(2)X ＝0,1,2,3.根据(1)知P (X ＝0)＝320；P (X ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝12×12×35＋12×12×35＋12×12×25 ＝25； P (X ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC ) ＝12×12×35＋12×12×25＋12×12×25＝720； P (X ＝3)＝P (ABC )＝12×12×25＝110.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.12．(20xx·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．解设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．。

高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列

高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求：（1）取到的次品数的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列；（3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435．（1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =．故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案．【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=，所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算．【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==，故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=．故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值．【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =．故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==，即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===，所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=，故选：D. 10．C 【分析】先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =，所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =．故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出．【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁，故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列；（2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=；【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=；（2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=，乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=，显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列．【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。

高考数学专题《离散型随机变量的分布列》习题含答案解析

专题11.5 离散型随机变量的分布列1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．【答案】答案见解析．【分析】根据已知数据列表格．【详解】用X 表示获利，则X 的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：X1000500－500P0.40.20.42．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，求a 的值．X 123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和为1计算．【详解】由题意0.30.51a ++=，解得0.2a =3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设1,,0,,X ⎧=⎨⎩出现正面出现反面写出X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】X 的值分别为0，1，求出概率后得分布列．【详解】抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，X 0=或1，1(0)(1)2P X P X ====，分布列如下：练基础X1P12124．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.【答案】答案见解析【分析】根据概率之和为1可求出.【详解】由题意及分布列满足的条件知P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝3P (ξ＝1)＋P (ξ＝1)＝1，所以()114P ξ==，故()314P ξ==.所以ξ的分布列为ξ01P34145．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k 的值．ξ12…n Pk2k…2n －1·k【答案】121nk =-【分析】根据离散型随机变量ξ的概率性质即可求解参数．【详解】因为1＝k ＋2k ＋…＋2n －1k ＝k (1＋2＋…＋2n －1)＝k ·1212n--＝(2n －1)k ，所以121nk =-．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．ξ45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常数a 的值；（2）求(6)P ξ>．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和为1计算；（2）计算(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=即可．（1）由题意0.030.050.070.080.260.231a ++++++=，解得0.28a =；（2）(6)P ξ>=(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=＝0.080.260.280.230.85+++=．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X 表示取得的白球数，求X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】确定X 的可能值，计算出概率后得分布列．【详解】X 的所有可能值是0，1．42(0)105P X ===，63(1)105P X ===，所以X 的分布列如下：X01P25358．（2021·全国·高二课时练习）已知X 服从参数为0.3的两点分布．（1）求()0P X =；（2）若21Y X =+，写出Y 的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案见解析．【分析】（1）根据二项分布的概念求解；（2）求出Y 的可能值，写出分布列即可．（1）(0)10.30.7P X ==-=．（2）X 0=时，1Y =，1X =时，3Y =，所以Y 的分布列为：Y13P0.70.39．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X 的分布列，并说明理由：（1）X 1-0123P0.20.20.20.20.3（2）X 012345P0.10.2-0.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由见解析．（2）不是，理由见解析．【分析】（1）根据分布列中所有概率和为1说明；（2）由概率的范围说明．（1）由于0.20.20.20.20.3 1.11++++=>，因此此表格不是随机变量X 的分布列（2）表格中事件1X =的概率是0.2-，这是不可能的，概率在[0,1]范围内．因此此表格不是随机变量的分布列．10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X 的分布列为X 01234P0.20.10.10.3m求：（1）21Y X =+的分布列；（2）()39P Y <≤的值．【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性质解出m ，然后按步骤写出分布列即可；（2）根据（1）中的分布列可计算出答案.【详解】由分布列的性质知，0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m =．（1）由题意可知，()()21100.2P X P X +====，()()21310.1P X P X +====，()()21520.1P X P X +====，()()21730.3P X P X +====，()()21940.3P X P X +====，所以21Y X =+的分布列为：21Y X =+13579P0.20.10.10.30.3（2）()()()()395790.10.30.30.7P Y P Y P Y P Y <≤==+=+==++=.1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（）．A ．P (ξ＝0)＝411B ．P (ξ＝111C ．P (ξ＝1)＝611D ．P (ξ＝122【答案】ABC【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ.【详解】由题设，ξ的可能取值为0，1．若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P (ξ＝0)＝232128C C ＝411，若两条棱平行，它们的距离为16对，∴P (ξ＝2126C ＝111，故P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ)＝1－411－111＝611，练提升ξ分布列如下：故选：ABC2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123P 14a14b则a2＋b2的最小值为________．【答案】1 8【分析】首先根据分布列的性质得到12a b+=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】由分布列的性质，知11144a b+++=，即12a b+=.因为()222128a ba b++≥=，当且仅当14a b==时取等号.所以22a b+的最小值为1 8 .故答案为：1 83．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.【答案】X123P38916116【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．由题意知X 的可能取值为1，2，3()3433=148A P X ==； ()223439=2416C A P X ==；()1431=3416A P X ==故答案为：X 123P389161164.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；【答案】(1)见解析.【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.20.40.45.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X ．（1）说明1X =表示的是什么事件，并求出(1)P X =；（2）求X 的分布列．【答案】（1）事件见解析，1(1)2P X ==；（2）分布列见解析．X ()2162000.290P X +===()363000.490P X ===()25745000.490P X ++===X X200300500P（1）根据X表示的意义确定事件，并计算概率．（2）X的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）1X=表示正面向上的次数为1的事件，1221 (1)22CP X===．（2）X的可能值为0，1，2，则221(0)24CP X===，2221(2)24CP X===，X的分布列如下：X012P 1412146．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．【答案】答案见详解.【分析】X的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出相应的概率，由此能求出耗用的子弹数X的分布列.【详解】根据题意1,2,3,4,5X=，()10.9P X==，()20.10.90.09P X==⨯=，()30.10.10.90.009P X==⨯⨯=，()40.10.10.10.90.0009P X==⨯⨯⨯=，()50.10.10.10.10.10.10.10.10.10.90.0001P X==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.∴X的分布列为：X12345P0.90.090.0090.00090.0001 7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.【答案】（1）310；（2）答案见解析.【分析】（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【详解】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则()()()153 202010P C P A P B=+=+=；（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝51 204=；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝1953 2020204++=，故X的分布列为：X23P 14348．（2021·全国·高二课时练习）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，随机地取出一个.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为X，求X的分布列.【答案】（1）331；（2）答案见解析.【分析】（1）计算基本事件总数和满足条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式即得解；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）记“所取出的非空子集中所有元素之和为10”为事件A .基本事件总数1234555555C C C C C 31n =++++=，事件A 包含的基本事件有{}1,4,5，{}2,3,5，{}1,2,3,4，共3个，故()331P A =.（2）依题意，X 的所有可能取值为1，2，3，4，5.()151131C 53P X ===，()2510231C 13P X ===，()3510331C 13P X ===，()454131C 53P X ===，()555131C 13P X ===.故X 的分布列为X12345P531103110315311319．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X ．（1）写出X 的分布列；（2）求(5)P X <；（3）求“点数和大于9”的概率．【答案】（1）答案见解析（2）16（3）16．【分析】（1）X 的可能值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，分别计算出概率后可得分布列；（2）由(2)(3)(4)P X P X P X =+=+=可得；（3）由(10)(11)(12)P X P X P X =+=+=可得．（1）由题意X 的可能值依次为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得1(2)(12)36P X P X ====，21(3)(11)3618P X P X =====，31(4)(10)3612P X P X =====，41(5)(9)369P X P X =====，5(6)(8)36P X P X ====，61(7)366P X ===，X 的分布列如下：X23456789101112P136118112195361653619112118136（2）1111231(5)(2)(3)(4)361812366P X P X P X P X ++<==+=+==++==；（3）1111(9)(10)(11)(12)1218366P X P X P X P X >==+=+==++=．10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：老师评分11109分数所占比例141214将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分X 的分布列．【答案】（1）18；（2）分布列见解析.【分析】（1）记A 表示事件：" 该同学这个解答题需要仲裁 " ，设—评、二评所打分数分别为 , ,x y 由题设知事件A 的所有可能情况有：119x y =⎧⎨=⎩ 或 911x y =⎧⎨=⎩由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）随机事件X 的可能取值为9 , 9 . 5 , 10 , 10 . 5 , 11 , 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列.【详解】（1）设事件A 表示“该同学这个题目需要仲裁”，一评、二评所打分数分别为x ，y ，由题意知事件A 的所有可能情况有119x y =⎧⎨=⎩或911x y =⎧⎨=⎩，∴()1191111191144448x x P A P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧=+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭．（2）随机事件X 的取值范围为{}9,9.5,10,10.5,11，设仲裁所打分数为z ，则()911911111111391199444444443299x x x P X P P y P y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==+=+==⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()910111119.510942244x x P X P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧==+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()101111010224x P X P y ⎛⎫=⎧===⨯= ⎨⎪=⎩⎝⎭，()911101110.511911101010x x x x P X P P P y P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫⎛⎫==⎧⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==++=+= ⎨⎪ ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭11111111115244244244216=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()11911111111113119111144444444321111x x x P X P P P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪⎪ ⎪⎪==++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=== ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）45.【分析】（1）首先求随机变量0,1,2ξ=，再利用古典概型求概率；（2）根据（1）的结果求概率.【详解】（1）由条件可知0,1,2ξ=，()2326105C P C ξ===，()113326315C C P C ξ===，()2326125C P C ξ===，所以ξ的分布列，如下表，ξ12P153515（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率14155P =-=.2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B 10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且．所以，，．所以X 的分布列为X 012P0.240.520.24（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得．400.4100=93141()0.4,()0.63025P C P D ++====(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====(1)()P X P CD CD == ()()(()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=(0)((()0.24P X P CD P C P D ====33011()C 4060P E ==答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=C k4⋅C 3−k3C 37（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X 0123P13512351835435（ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67．所以，事件A 发生的概率为67．4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含的频率.（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.【答案】（I ）(II)X 的分布列为X 01234P 【解析】因此X 的分布列为X 01234P5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.1B 5.1814252110215211421425211021521142（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3. （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y 的值小于60的有15人，所以从概率为.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标的值大于1.7的有2人：A 和C.所以的所有可能取值为0,1,2..所以的分布列为0126．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.ξξ150.350=x ξ21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========ξξP 16231631213141X X 222111()()48P A P B +=X，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111323424P X ==⨯⨯=X XP14112414124X ()1111113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=Y Z ()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=1148。

(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章随机变量及其分布（一）一．选择题：1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ]（A ）1234111124816Xx x x x p （B ） 123411112488X x x x x p （C ）1234111123412Xx x x x p（D ） 1234111123412X x x x x p -2．设随机变量ξ的分布列为 01230.10.30.40.2X p )(x F 为其分布函数，则)2(F =[ C ]（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题：1．设随机变量X 的概率分布为0120.20.5X p a ，则a = 0.32．某产品15件，其中有次品2件。

现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35;P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/353．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k kkC -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7)三、计算题：1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求：（1）X 的概率分布；（2）(3)P X ≤；（3）(12)P X >(1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18;P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;P{X=6}= P{X=8}=5/36;P{X=7}=1/6(2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=02．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。

历年高三数学高考考点之〈随机变量及其分布列〉必会题型及答案

历年高三数学高考考点之〈随机变量及其分布列〉必会题型及答案体验高考1.某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1，2，3， P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的均值为E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.2.某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和均值. 解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.3.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3. 又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以X 的均值E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.高考必会题型题型一条件概率与相互独立事件的概率例1 (1)先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.25(2)甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 (1)B (2)A解析 (1)正面朝上的点数(x ，y )的不同结果共有C 16·C 16＝36(种).事件A ：“x ＋y 为偶数”包含事件A 1：“x ，y 都为偶数”与事件A 2：“x ，y 都为奇数”两个互斥事件，其中P (A 1)＝C 13·C 1336＝14，P (A 2)＝C 13·C 1336＝14，所以P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝14＋14＝12.事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，所以事件AB 为“x ，y 都为偶数且x ≠y ”，所以P (AB )＝C 13·C 13－336＝16.P (B |A )＝P AB P A ＝13.(2)设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生. ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.点评 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P ABP A.这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n ABn A.(3)相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解.变式训练1 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.答案(1)A (2)0.128解析(1)已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝0.60.75＝0.8.(2)由题设，分两类情况：①第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，得P1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；②第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P＝P1＋P2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.题型二离散型随机变量的均值和方差例2 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和均值E(X).解(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1，1，因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142，所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.点评离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应. 变式训练2 (1)(2016·四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________. 答案 32解析由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P ＝1－12×12＝34， ∵2次独立试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，则E (X )＝2×34＝32.(2)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：①“星队”至少猜对3个成语的概率；②“星队”两轮得分之和X 的分布列和均值E (X ).解 ①记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D .由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.②由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512.P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以均值E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 题型三二项分布例3 某市为丰富市民的业余文化生活，联合市国际象棋协会举办国际象棋大赛，在小组赛中，小王要与其他四名业余棋手进行比赛，已知小王与其他选手比赛获得胜利的概率都为23，并且他与其他选手比赛获胜的事件是相互独立的. (1)求小王首次获胜前已经负了两场的概率；(2)求小王在四场比赛中获胜的场数X 的分布列、均值和方差.解 (1)小王首次获胜前已经负了两场，即前两场输第三场赢，其概率为P ＝(1－23)2×23＝227.(2)因为小王每场比赛获胜的概率均为23，所以小王在四场比赛中获胜的场数X 服从二项分布B (4，23)，故P (X ＝i )＝C i 4(23)i(1－23)4－i (其中i ＝0，1，2，3，4).所以P (X ＝0)＝C 04(23)0(1－23)4＝181，P (X ＝1)＝C 14(23)1(1－23)3＝881， P (X ＝2)＝C 24(23)2(1－23)2＝827， P (X ＝3)＝C 34(23)3(1－23)1＝3281， P (X ＝4)＝C 44(23)4(1－23)0＝1681. 故 X 的分布列为故X 的均值为E (X )＝4×23＝83，方差为D (X )＝4×23×(1－23)＝89.点评应用公式P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的； (3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.变式训练3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和均值.解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}.由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2∪A 1A 2，C ＝B 1∪B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2∪A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1∪B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P6412548125121251125则E (X )＝3×15＝35.高考题型精练1.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次点数均为奇数}，B ＝{两次点数之和为6}，则P (B |A )等于( )A.59B.13C.536D.23 答案 B解析 n (A )＝3×3＝9，n (AB )＝3，所以P (B |A )＝n AB n A ＝39＝13.故选B.2.如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好在由曲线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的曲边梯形内”，B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P (B |A )等于( )A.14B.15C.16D.17 答案 A解析根据题意，正方形OABC 的面积为1×1＝1，而y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛01x d x ＝23x 32⎪⎪⎪1＝23， ∴P (A )＝231＝23，而阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝(23x 32－12x 2)⎪⎪⎪1＝16，∴正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为P (B )＝161＝16，∴P (B |A )＝P BP A ＝1623＝14，故选A.3.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X 表示击中目标的次数，则P (X ≥2)等于( )A.81125B.54125C.36125D.27125 答案 A解析至少有两次击中目标的对立事件是最多击中一次，有两类情况：一次都没击中、击中一次. 一次都没击中：概率为(1－0.6)3＝0.064；击中一次：概率为C 13×0.6×(1－0.6)2＝0.288. 所以最多击中一次的概率为0.064＋0.288＝0.352，所以至少有两次击中目标的概率为1－0.352＝0.648 ＝81125. 4.已知某一随机变量X 的概率分布列如下表，E (X )＝6.3，则a 的值为( )X 4 a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.8 答案 C解析 b ＝1－0.5－0.1＝0.4，∴4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3， ∴a ＝7，故选C.5.设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( ) A.n ＝5，p ＝0.32 B.n ＝4，p ＝0.4 C.n ＝8，p ＝0.2 D.n ＝7，p ＝0.45答案 C解析因为随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，所以⎩⎪⎨⎪⎧E X ＝np ＝1.6，D X ＝np 1－p ＝1.28⇒p ＝0.2，n ＝8.6.在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中发生的概率为( ) A.13 B.25 C.56 D.以上全不对答案 A解析设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，∵事件A 全不发生为事件A 至少发生一次的对立事件，∴1－(1－p )4＝6581，即(1－p )4＝1681.故1－p ＝23或1－p ＝－23(舍去)，即p ＝13.7.小王参加了2015年春季招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历.假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的.记ξ为小王得到面试的公司个数.若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的均值E (ξ)＝______. 答案712解析由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3， ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.8.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.9.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝________. 答案 65解析根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p ＝33＋m，满足二项分布，则有E (X )＝np ＝5×33＋m ＝3，解得m ＝2，那么D (X )＝np (1－p )＝5×35×(1－35)＝65.10.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p的取值范围是________. 答案 (0，12)解析由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈(0，12).11.(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与均值E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.方法一P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二P(A)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.12.(2016·课标全国甲)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解 (1)设A 表示事件：“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件：“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为X 0.85a a1.25a 1.5a 1.75a 2a P0.300.150.200.200.100.05E (X )＝0.85a ×0.30＋a ×0.15＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.。

高中数学概率与离散型随机变量的分布列试题(附答案)

概率与离散型随机变量的分布列试题1. 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。

2. 一个自动报警器由雷达和计算机两个部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。

若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。

3. 对同一目标进行3次射击，第1、第2、第3次射击的命中概率分别为0.4、0.5、0.7，求：（1）在这3次射击中，恰好有1次击中目标的概率；（2）在这3次射击中，至少有1次击中目标的概率。

4. 已知A 、B 、C 为三个相互独立事件，若事件A 发生的概率为21，事件B 发生的概率为32，事件C 发生的概率为43，求下列事件的概率：（1）事件A 、B 、C 都不发生；（2）事件A 、B 、C 不都发生；（3）事件A 发生且B 、C 恰好发生一个5. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4。

（1）赛满3局，甲胜2局的概率是多少？（2）若比赛采用三局二胜制，先赢两局为胜，求甲获胜的概率。

6. 某种项目的射击比赛规则是：开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 远处，若第三次命中则记1分，同时停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。

（1）求射手甲在200m 处命中目标的概率；（2）设射手甲得k 分的概率为P 0，求P 3，P 2，P 1，P 0的值；（3）求射手甲在三次射击中击中目标的概率。

7. 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球。

高考复习(数学)专项练习：概率、随机变量及其分布【含答案及解析】

专题突破练18 概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.(2021·湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021·江苏泰州考前模拟)马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p -1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p -1(其中p 是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )A.37B.512C.1328D.19553.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测预警系统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为12,34,34,将T 2,T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路,如图所示,则该预警系统的可靠性是 .5.(2021·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 . 三、解答题6.(2021·江苏新高考基地学校联考)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹,产于江苏苏州,蟹身青壳白肚,体大膘肥,肉质膏腻,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:(1)试用组中值来估计该批大闸蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的大闸蟹数量为X,求X 的概率分布列和数学期望.7.(2021·福建漳州模拟)随着5G通信技术的发展成熟,移动互联网短视频变得越来越普及,人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台,为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频,会对创作者上传的短视频进行审核,通过审核后的短视频,会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后,先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核,短视频审核通过的概率为35,通过智能机器人审核后,进入第二阶段的人工审核,人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核,同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12,若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过,则该短视频获得重点分发推荐.(1)某创作者上传一条短视频,求该短视频获得重点分发推荐的概率;(2)若某创作者一次性上传3条短视频作品,求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.专题突破练18概率、随机变量及其分布1.D解析记事件A:电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用,记事件B:电视机的显像管开关了15 000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75.2.C 解析可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C 82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C 21C 61+C 22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328. 3.B 解析由已知得P (甲)=16,P (乙)=16,P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0,P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136,P (丙丁)=0.由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B . 4.1532 解析 T 2,T 3并联电路正常工作概率为1-1-34×(1-34)=1516,故电路不发生故障的概率为12×1516=1532.5.2572 解析因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P (A )=13×34+13×(1-34)×12×13+(1-13)×(1-12)×34×13=2572.6.解 (1)50只大闸蟹的平均重量为150×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,概率分别为:P (X=0)=C 30C 74C 104=16,P (X=1)=C 31C 73C 104=12, P (X=2)=C 32C 72C 104=310,P (X=3)=C 33C 71C 104=130.分布列为:所以E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.7.解 (1)设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ,则P (A )=35×C 32×(12)2×(1-12)1+C 33×(12)3×(1-12)0=310. (2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ,X 可取0,1,2,3.则X~B (3,310),P (X=0)=C 30×(310)0×(1-310)3=3431 000, P (X=1)=C 31×(310)1×(1-310)2=4411 000, P (X=2)=C 32×(310)2×(1-310)1=1891 000, P (X=3)=C 33×(310)3×(1-310)0=271 000, 随机变量X 的分布列如下:E (X )=0×3431 000+1×4411 000+2×1891 000+3×271 000=910.[或E (X )=3×310=910]。

第2章随机变量及其分布习题答案

第2章随机变量及其分布习题答案第⼆章随机变量及其分布§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题 1. 解： 1112(1)121,.993θθθθ+-++-=∴=±⼜因为≤0)1(2θθ-1≤ , 所以 13θ=.2. 解：设X 表⽰任取3次,取到的不合格品数，则 1）有放回 33()0.20.8,0,1,2,3.k k k P X k C k -=== 即X 的分布律为 X 0 1 2 3 P12564125481251212512）⽆放回 328310(),3,4,5.kkC C P X k k C-===即X 的分布律为 X 0 1 2 P 1571571514. 解：设X 表⽰直⾄取到⽩球为⽌,取球的次数，则其概率分布为X 1 2 3 4P521031531015. 解：由全概率公式得42(2)()(2|)111113().423448k P Y P Xk P Y X k =======++=∑§2.2 0-1分布和⼆项分布习题1. 解：设A 表⽰“10件中⾄少有两件⼀级品”,则P （A ）=1()P A -=1=--6.04.04.0911010C 0.9983.2. 解: X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 5 6.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.077763. 解：设A 表⽰“4个灯泡中⾄少有3个能使⽤1500⼩时以上”,则4. 解：1）设A 表⽰“恰有3粒种⼦发芽”,则003764768.002.098.0)(2335==C A P2）设B 表⽰“⾄少有4粒种⼦发芽”,则=+=544598.002.098.0)(C B P 0.996§2.3 泊松分布习题1. 解：设A 表⽰“⼀页上⾄多有⼀个印刷错误”,则 010.20.20.20.2()(1)(0)(1)0.9820!1!P A P X P X P X ee--=≤==+==+=2.解：1）设X 表⽰5分钟内接到的电话个数，则0,1,2,X = 22(),0,1,2,3,4,5,6.!kP X k e k k -===2）设A 表⽰“5分钟内⾄多接到3个电话”,则∑2!2-ek k=0.8571或4()(3)1(4)1k P A P X P X +∞==≤=-≥=-∑2!2-ek k=(查表)1-0.1429=0.85713.解：1）设A 表⽰“中午12时⾄下午3时没有急症病⼈”, 则~(1.5),X π1.51.5()(0)0.223.0!P A P X e-====2）设B 表⽰“中午12时⾄下午5时⾄少有2个急症病⼈”,则~(2.5),X π12.52.5()(2)1(0)(1)2.5 2.510.7127.0!1!P B P X P X P X ee--=≥=-=-==-§2.4 随机变量的分布函数习题1. 解：1）≥<≤<≤<=2,121,2110,310,0)(x x x x x F312)()(0)(1),221(14)(2),22(14)(1)(2).3P X P X P X P X P X P X P X P X ≤==+==<≤===≤≤==+==2. 解：X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 56.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776≥<≤≤<≤<≤<≤<=515492.04366.03223.021086.01001.000)(x x x x x x x x F ＜3. 解：X 的分布律为 X -1 0 2 4 P 0.2 0.4 0.3 0.1 §2.5 连续型随机变量习题 1. 解：1）?? =?=?=101231,1)(c dx cx dx x f2）30,0(),011,1x F x x x x=≤)41()21()2141(=-=≤≤F F x P 22219()1()1().33327P X P X F >=-≤=-= 2. 解：1）连续型随机变量的分布函数左连续，则00012l i m ()(0),l i m ()(1),l i m ()(2),10,1,2211,210,,2.2x x x F x F F x F F x F A B C C A B C ---→→→=====----====解得2）,01()()2,120,x x f x F x x x <'==-≤其它3）2111117P ()1P ()1F()1().222=-=-= 3. 解：1）12011()2,~(3,),44P A xdx Y B ==则 Y 的概率分布为 Y 0 1 2 3 P642764276496412）设B 表⽰“对X 的三次独⽴重复观测中事件A ⾄多出现两次”,则3163()1()1(3)1().464P B P B P Y =-=-==-= 4.设最⾼洪⽔位为X,河堤⾄少要修c 单位⾼,由题意得：32()1()10.0110.c P X c P X c dx c x>=-≤=-≤?≥?P X dx >==设A 表⽰“3次独⽴观测中⾄少有两次观测值⼤于3”,则223321220()()().33327P A C =+=2. 解：有实根的条件：2(4)44(2)01K 2,K K K -??+≥?≤-≥或所求概率为 3P (K 2.5dx ≥=521）=5 3. 解：1）33001,|1 3.33xxk k kedx ek +∞--+∞=-==?=?即2）23 4.561.5(1.52)3.xP x edx e e ---≤≤=1(200)1,600x P X e dx e--≤==-?设A 表⽰“3只独⽴元件⾄少1只在最初200⼩时内出故障”,则13311)(1)(1)(---=-=-=eeA P A P .§2.7 正态分布习题1. :(1)(0.022.33)(2.33)(0.02)0.99010.50800.4821;P X <<=Φ-Φ=-=解( 1.850.04)(0.04)( 1.85)(0.04)[1(1.85)](0.04)(1.85)10.5160.967810.4838. P X -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-=+-= 2. 解：101)(716)(12)(2)(1)3(2)(1)10.97720.841310.8185;X P X P -<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=10222)(102)()2()120.748610.4972;333x P x P --<=<=Φ-=?-=103)()0.9()0.9,(1.28)0.9,1.28,13.84.3P X αααα-<=?Φ=Φ≈-==反查表得故得3. 解：设X 表⽰螺栓长度，则：10.05(10.050.12)(2)2(2)120.977210.9544.0.06X P X P --<=<=Φ-=?-=4. 解：30(30)()2(1.5)10.8664,2020X P X P ≤=≤=Φ-=设A 表⽰“三次测量中⾄少有⼀次误差的绝对值不超过30cm ”3()1()1(0.1336)0.9976.P A P A =-=-=§2.8 随机变量函数的分布习题 1. 解：1）Y -3 2 5 6 P161 164 167 1642） Z 1 2 3 4 9 P1621641651641612. 解： 3110≤≤?≤≤y x , 当31≤≤y 时，11()();2y Y Y Y y y F y P Y y P X y P X dx f y F y ---=≤=+≤=≤= ='==;当13,y y ≤≥或时Y 的密度函数为零.故Y 的密度函数为1,13()20,Y y f y ?≤≤?=其它22222()2()22()()()(),,()(),.Y X yy yY Y X Y F y P Y y P y P X y dx y R Y f y F y y R µσµσµσµσµ∈'===∈?3.解:因为的分布函数为所以的密度函数为第⼆章随机变量及其分布复习题⼀选择题1. B2. B3. C4. D5. C ⼆填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592. 27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律：X -1 1 2P 611. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表⽰两次调整之间⽣产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k kP X k C k -===设A 表⽰“5道选择题⾄少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解：1）⼀天中必须有油船转⾛意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞(查泊松分布表)2) 设设备增加到⼀天能为y 艘油船服务,才能使到达港⼝的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥?-≥?≤+≥?≥∑∑反查泊松分布表得6. 解：21)()()31()31(3131=+=+?>dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=?b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥≥?≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表⽰“100个男⼦中与车门碰头⼈数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解：(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -?-∞<≤??=??-<<+∞??011(2)P Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==故Y的概率分布律为Y-1 1P1/2 1/2Y的分布函数为0,11(),1121,1YyF y yy<-=-≤<≥。

随机变量分布列(有答案)

随机变量分布列：26．设0a b <≤，随机变量X 的分布列是则()EX 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭27．已知实数a ，b ，c 成等差数列，随机变量X 的分布列是：当a 增大时（） A ．()E X 增大 B ．()E X 减小C ．()E X 先增大后减小D ．()E X 先减小后增大28．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（）A ．23 B ．59C ．29D ．3429．下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值是（）A ．6B ．12 C ．9D ．1230．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（） A ．53B ．73C ．72D ．23631．设随机变量X 的概率分布列为则()31P X -==（）A ．712B ．16C ．14D ．51232．设a ，b ，()0,1c ∈.随机变量ξ的分布列如图所示.则（）A ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ<B ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ>C ．()()E E ξξ>，()()D D ξξ<D ．()()E Eξξ>，()()D D ξξ>33．设10a <<，则随机变量ξ的分布列为：设()y E ξξ=-，则当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内增大时：（）A ．()E ξ递减，()2E y 递增B ．()E ξ递减，()2E y递减C ．()E ξ递增，()2E y先递减再递增D ．()E ξ递减，()2E y先递增再递减34．已知离散型随机变量X 的分布列为：若()2E X =，则()31D X -=（）． A ．3B ．9C ．12D ．3635．随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（）A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增26．C【来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试数学试题27．B【来源】专题16 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）28．A【来源】2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题29．C【来源】专题10.5 离散型随机变量及其分布列（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》30．C【来源】2019届浙江省高三下学期4月高考模拟测试数学试题31．D【来源】专题10.5 离散型随机变量及其分布列（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》32．A【来源】专题16 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）33．B【来源】浙江省超级全能生2020届高三下学期3月联考数学试题（C卷）34．D【来源】浙江省超级全能生2019-2020学年高三上学期9月联考数学试题（B卷）35．B【来源】浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟数学试题。

高二数学随机变量的分布列试题答案及解析

高二数学随机变量的分布列试题答案及解析1.设随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），则．【答案】【解析】随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），且，，即.【考点】随机变量的分布列.2.若随机变量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是________．【答案】3×0.44【解析】E(X)＝n×0.6＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝C1(0.6)1×0.44＝3×0.44.53.为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n;（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设表示体重超过60千克的学生人数，求的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）0123（或）.【解析】（Ⅰ）设从左至右前3小组的频率分别为由题意得 3分∴ 5分∴ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得一个报考体育专业学生的体重超过60公斤的概率为8分由题意可知∴， 10分即∴（或） 12分【考点】频率分布直方图，随机变量的分布列及数学期望。

点评：中档题，作为数学应用问题，实际背景学生熟悉，易于理解题意，关键是细心计算。

4.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:①连续竞猜次,每次相互独立；②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为,再由乙猜测甲写的数字,记为,已知,若,则本次竞猜成功；③在次竞猜中,至少有次竞猜成功,则两人获奖.(Ⅰ) 求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；(Ⅱ）现从人组成的代表队中选人参加此游戏,这人中有且仅有对双胞胎，记选出的人中含有双胞胎的对数为,求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列为∴【解析】解：（Ⅰ）记事件为甲乙两人一次竞猜成功，则则甲乙两人获奖的概率为（Ⅱ）由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数取值为0,1,2则，∴分布列为∴【考点】古典概型概率和分布列点评：主要是考查了古典概型概率和分布列的求解，属于基础题。

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第42练随机变量及其分布列[内容精要] 随机变量及其分布列是新课标高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其分布列，期望与方差，二项分布及其应用和正态分布．对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布．题型一离散型随机变量的期望和方差例1 2014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．破题切入点 (1)利用相互独立事件同时发生的概率公式，结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程，从而求出P 1，P 2；(2)先根据比赛得分的规则确定甲队得分ξ的可能取值，然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值，列出分布列求其期望．解 (1)根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②，得P 1＝23，代入①，得P 2＝14，所以甲队战胜乙队的概率为23，甲队战胜丙队的概率为14.(2)ξ可能取的值为0,3,6，当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－14)＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P (ξ＝3)＝23×(1－14)＋14×(1－23)＝712；当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P (ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.题型二相互独立事件的概率例2 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．破题切入点设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则第(1)问就是求事件DE F ＋D E F ＋D EF ＋DEF 的概率，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行计算．第(2)问中的ξ可取0,1,2,3，分别对应事件D E F ，D E F ＋D E F ＋D E F ，DE F ＋D E F ＋D EF ，DEF ，求出其概率就得到了ξ的分布列，然后按照数学期望的计算公式求数学期望．解 (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式，知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式，得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6. 题型三二项分布问题例3 (2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．破题切入点理解相互独立事件、二项分布的概念，掌握离散型随机变量的分布列与数学期望的计算．解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，知各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝(23)3＝827，P (A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827， P (A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利、3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，知各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427. 由题意，知随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性，得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327＝19，故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.总结提高 (1)离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．(2)两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有关系，在一些问题中我们可以根据问题的实际意义来判断两个事件是否相互独立． (3)对于能够判断为服从二项分布的随机变量，可直接代入公式．1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19 答案 D解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.2．(2013·广东)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )等于( A.32 B ．2 C.52 D ．3 答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 A解析设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生． ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最大值为( ) A.148 B.124 C.112 D.16 答案 B解析由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1， ∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16×⎝⎛⎭⎫122＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( ) A.18125 B.36125 C.44125 D.81125 答案 B解析从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种，有两次取红球的所有取法有3A 12·A 23＝36种．所以概率为36125.6．设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)，D (ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( ) A ．D (ξ1)>D (ξ2) B ．D (ξ1)＝D (ξ2) C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关答案 A7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案1132解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132. 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．答案 0.128解析由题设，分两类情况：①第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4； ②第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.9．小王参加了2014年春季招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________. 答案712解析由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.10．某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；(2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，①记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．解 (1)芯片甲为合格品的概率约为40＋32＋8100＝45，芯片乙为合格品的概率约为40＋29＋6100＝34. (2)①随机变量X 的所有可能取值为90,45,30，－15. P (X ＝90)＝45×34＝35，P (X ＝45)＝15×34＝320，P (X ＝30)＝45×14＝15，P (X ＝－15)＝15×14＝120，所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝90×35＋45×320＋30×15－15×120＝66.②设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，则次品有(5－n )件．依题意，得50n －10(5－n )≥140，解得n ≥196.所以n ＝4或n ＝5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则P (A )＝C 45(34)4×14＋(34)5＝81128.11．在体育课上，甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习，甲、乙、丙投中的概率分别为p 1，p 2，25，且p 1＋p 2＝1，现各自投篮一次，三人投篮相互独立．(1)求三人都没有投进的概率的最大值，并求此时甲、乙投篮命中的概率； (2)在(1)的条件下，求三人投中次数之和X 的分布列和数学期望．解 (1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝p 1，P (B )＝p 2，P (C )＝25.各自投篮一次都没有投进为事件D ，则D ＝A B C ，故P (D )＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝35(1－p 1)(1－p 2)≤35(1－p 1＋1－p 22)2 ＝320，当且仅当p 1＝p 2＝12时等号成立．即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是320，此时甲、乙投篮命中的概率都是12.(2)X ＝0,1,2,3.根据(1)知P (X ＝0)＝320；P (X ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝12×12×35＋12×12×35＋12×12×25 ＝25； P (X ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC ) ＝12×12×35＋12×12×25＋12×12×25 ＝720； P (X ＝3)＝P (ABC )＝12×12×25＝110.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.12．(2013·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．解设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．。

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