线性代数第二章矩阵及其运算23

设设 PP111111
11 00 11
121211,,11
22
33,,AAPPPP,,
求求((AA))==AA33++22AA22––33AA..
解
1 1 1 | P | 1 0 2
计算
6
所以 P 可逆，
1 1 1
，
从而 A = P P -1， (A) = P ()P -1 .
而 (1) = 0， (2) = 10， (3) = 0，
解 由已知易得 X = A-1CB-1 ,
下面求 A 和
例 13
B设的逆P 0阵11.142
,
0
1 0
单02击, A这PP里P可 ,求求逆An
.
解
因A为1
|
P
1|
=
20，所0 以,
P
可Leabharlann Baidu，
由二阶矩
阵逆阵的“两调一除0 ”法0，1得
六、矩阵多项式
1. 定义
设 (x) = a0 + a1x + … + amxm 为 x 的 m 次多
所以 (AT所)-1以= (A(-1A)T).-1 = (A-1)T .
证毕
练习：
设A为n阶可逆矩阵，下列等式成立的是( )
A) (2A)T=2AT
B)(2A)-1=2A-1
C) AAT=ATA
D) |2A|=2|A|
解答： B)项=A-1/2，C)项不满足交换律，D)项=2n|A| 故选A
五、举例
第三节 可逆矩阵
主要内容
引例 逆矩阵的概念 矩阵可逆的充要条件 可逆矩阵的性质
举例 矩阵多项式 补充例题
一、引例
引例 1 矩阵与复数
引复数例可2以用坐二标维旋有转序变数换组来表示，如复数 a+bi 可表引示例为 3(a , 线b)，性因变此换，的从逆结变构上换看复数是矩阵的
特在殊平情面形直. 角在坐第标二系节x我Oy们中也，看将到两，个矩坐阵标与轴复同数相
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
2. 性质
因为矩阵 Ak、 Al 和 E 都是可交换的，所以
矩阵 A 的两个多项式 (A) 和 f (A) 总是可交换的，
即总有
(A) f (A) = f (A) (A)，
|A|E
,
所以
(A-1 + B|-A1)| -|1A=*| =[A|-A1(|An + B)B-1]-1 = B(B(4)+ A)-1A.
下面同分理(3三可) 种证(A情另B)形一-1 讨个= B论等-1:式A-1也, 成立.
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结本 本若 若节击想请 请本容单若束内请返结节击想本容单若束内请返结节击想本 本 本容单若 若 若束节 节想想内请 请 请返结单单节已击想本本容单若回束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节 节 节已想击想 想本内 内结结本容单 单 单若回束击击内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内 内 内结请返结结 结堂容 容束束节已击 击 击想按本返返本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本 本容束单若 若回束课内结请 请返结钮堂节已击想按本本容 容 容束单若回束 束束课已 已本本内结请返 返 返结钮堂回回节已击想按本,容束单回束课.内结!返结钮堂节 节已击想 想按本,容束单 单回束课.内结!返结钮堂节已 已 已击想按本本 本,结 结堂堂容束单回 回 回束课.按按内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内 内结!返结 结钮堂已击 击按本,容束回束课.内结 结 结!返结钮堂 堂堂束 束课课已击按 按 按本,钮钮容束回束课.结!返钮堂已按本,容 容束回束 束课.结!返 返钮堂已按本,容束束束回束课课 课.,,结!返钮 钮 钮堂..已按本,!!束回课.结!钮堂已 已按本 本,束回回课.结!钮堂已按本,,,束回课...结!!!钮堂按,束课.结结!钮堂堂按按,束课.结!钮堂按,束课.!钮,束束课课.!钮钮,束课.!钮,.!,,..!!,.!
（ii）如果 = diag(1 , 2 , … , n)为对角矩阵, 则， k = diag(1k , 2k , … , nk)，从而
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
1
2
am
n
m2
mn
(1 )
(2 )
.
(n )
例例 1144
（6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数.
证明 我们证只明证（我３们）只和证（（４３））和（４）
（３） (AB（)(３B-）1A-(1A) B=)A(B(B-1BA-1)A=-1A=(ABEBA-1)-1A=-1A=AA-1EA-1 =
= E.
= E.
（４） AT（(A４-1)T）=A(AT(-1AA-1))TT==((EA)-T1A=)TE,= (E)T = E,
练习：
A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( )
A) 若AB=0，则B=0
B)若BA=BC,则A=C
C) 若AB=CB,则A=C
D) 若BC=0,则B=0或C=0
解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A
练习：
设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( )
因而 A-1 存因在而，A于-1是存在，于是 B = EB = (BA-=1AE)B = A(A-1-(1AB)B) = A-1E(A=B)A=-1 A. -1E = A-1 .
证毕 证
若 n 阶方阵 A 的行列式不为零，即 |A| 0，
则称 A 为非奇异方阵，否则称 A 为奇异方阵.
说明，方阵 A 可逆与方阵Ａ非奇异是
其中Ａ证A＊明iAj为所*方必构阵要证成ＡAA性的明1121的如伴若必下AAA随Ａ22要1方211矩可性阵阵逆A.，2若1 则ＡAAnn可12 逆, ，An则1 证毕
由
可得下述推论：
推论 若 AB ＝ E（或 BA ＝ E），
则 B ＝ A－１.
证明 ｜A证｜｜明B｜＝A｜｜｜E｜B｜＝＝１｜，E｜＝１，
(3)
A3
2 3
1 2
2 7
3 1
1 4 3 5
单击这里开始
矩阵的求逆模型
例例1122
解下列矩阵方程 解下列矩阵方程
AXB = C
其中
AXB = C
其中
AA100100
11 00 00
100100,,BB100100
00 00 11
100100 ,,CC 112112
44 00 22
030311..
三、矩阵可逆的充要条件
定理 1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的逆
阵是唯一的．
证明 设矩证阵明B 设与矩C阵都是B 与A 的C 都逆是矩阵A ，的则逆有矩阵， 定理AB２＝BnA＝阶AE方B，＝阵 BＡAA＝C可＝E逆，C的A ＝充AE要C＝，条C件A是＝E ， |AＡ因ij|而所例构0. 成如9B＝的果因例行B如Ａ而E列9下A＝可式方1B逆B行(|＝阵AA，列|C|AB1则的)|E式＝A＝各*(|BAB个,A|(A元的)CC素各＝)＝的个E(CB代元＝A数素)CC余的＝．子代EC式数＝余C子．
时仿绕，原设有点给加旋定法转一、个减角线法(性逆、变时乘换针法为三正种，运顺算时. 针我为们负知)道，，复
任就数也何得的有一到乘逆点一法运y个Ｐy1运算新在算呢的aa两1有？直1个xx逆1角如坐运坐果标aa算1标有系2 xx，系的中2 那话(的见么，坐图矩这标2阵aa种分.1n4的运x别)x．n乘算记,,法平如为运面何算上定是义否，
证明 将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的
乘积例例:A-144+设设B-1AA=为为A-n1n(E阶阶+方方A阵阵B-((1)nn=A22-1))(B,,证证B明-明1 + AB-1)
|A*| = |A|n-1. = A-1(B + A)B-1 .
由
逆证阵明的由性于质A(3A)*
=
A*A = 可知
移项 得 4 A 1
2 1
3A2
0,
A
2E,
ABB
A
2B,,
求求BB. .
分解因式 得1 2 3
解 已知方程变形A(A得E) 2E,
例 3 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明
(A-1 + B-1)-1 = A(A ++ B)--11BB == BB((BB ++ AA))--11AA..
从而 A 的几个多项式可以像数 x 的多项式一样相 乘或分解因式.（P37） 例如
( E + A )( 2E – A ) = 2E + A – A2 , ( E – A )3 = E – 3A + 3A2 – A3 .
3. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
故
() = diag(0 , 10 , 0) .
七、补充例题
例例 11 设设方方阵阵 AA 满满足足 A2A2 AA 2E2E OO 证证明明 A A及及A A2E2E 都都可可逆逆，，并并求求 AA11 及及( A(A22EE))1.1.
解 变形所给的等式，得
例 2 设 A2 A2E O,
练习：
设
A
1
3
2 4
,
则A*=
, A-1=
。
解答：
A*
4 3
2
1
,
A1
1 2
4 3
2 1
2 3 2
1
1
,
2
例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
2 2 3 (1) A1 1 1 0
3 1 2
1 2 3 (2) A2 1 2 1
5 2 3
1 3 1 4
例 10 求二阶矩阵 AAacac dbdb 的逆矩阵. 解 矩阵 A 的行列式 | A | = ad – bc , 伴随矩“两阵调一除”法
求二阶矩阵的A* 逆 阵dc 可a用b .“两调一除”的方法, 其方法是: 先将矩阵 A 中的主对角线上的 利元用素逆调阵换公位式置, A再1 将 | 次1A | 对 A*,角当线|上A的| 元0素时调，换有其符号, 最后用 |A| 去A除1 A| 1A的| A*每 一ad 1个 bc元 素dc , 即ab可. 得 A 的逆矩
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且
(1) (A-1)-1 = A;
(2) (kA)1 1 A1 ; k
(3) (AB)-1 = B-1A-1,
(A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ;
（4） (AT)-1 = (A-1)T ;
（5） |A1| 1 ; |A|
二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
阵Ｂ，使得
AB＝BA＝E
（３）
则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作
B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
A) A=E
B)A=-3E
C) A-E可逆 D) A+3E不可逆
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得：
A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
四、可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai , (i = 1, 2, …, m), 为 n 阶可逆方阵， k 为非零常数，则
等价的概念. 定理２不仅给出了方阵可逆的充要条件，而
且给出了求方阵逆阵的一种方法，称这种方法为
伴随矩阵法.
练习：
A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ ）
A) 均为零矩阵
B) 至少有一个零矩阵
C) 至少有一个奇异阵 D) 均为奇异阵
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C