2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷(数学文)word有答案
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分·答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上·2.问答第Ⅰ卷时·选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑·如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号·写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时·将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回· 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分·第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答·二．填空题：本大题共4小题，每小题5分·(13)曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______(15)已知向量a ,b 夹角为45°，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=(16)设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤· （17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA(1)求A(2)若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售·如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理·（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式·（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率·（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比·B 1 DC 1A 1（20）（本小题满分12分）设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点·（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值·（21）（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号·（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：FG(Ⅰ)CD=BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBD(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围·（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围·。
2012年高考试题：文科数学(全国卷)——含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x xB x xC x xD x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.()()()()A A B B C B C D C D A D⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。
（2）函数1(1)y x x =+-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A yx x =-≥ 2()1(1)B yx x =-≥ 2()1(0)C yx x =+≥ 2()1(1)D yx x =+≥ 【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
（3）若函数()s i n [0,2]3x fx ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（ ）.()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。
2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．AB B ．CB C ．DC D ．AD2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A．2 BC ．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a ，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则()A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝13.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为() A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330, x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和23n nnS a+=.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x 轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ．2． A ∵1y x =+∴y 2＝x ＋1， ∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项． 3．C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项． 4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角， ∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以21 2a=，213 122S=+=.显然只有B项符合．7．C由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A，剩余5人进行全排列：55A，故总的情况有：14A·55A＝480种．故选C 项．8．D连结AC交BD于点O，连结OE，∵AB=2，∴AC=又1CC=AC=CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知，CM⊥OE，M为C H的中点．由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.9．D∵a·b＝0，∴a⊥b.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||5AB=.∴||5CD==.∴2||25AD ==. ∴4544445()5555AD AB AB ===-=-a b a b .10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ， 由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m＝.∴m 又24c ==， ∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞1log 2=，121e2z -==>=，且12e －＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x . 12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12， ∴2112KX =，∴X 2为HD 中点，2312X D X D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =， 5612X A X A =，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项． 13．答案：7 解析：∵(x ＋12x )8展开式的通项为T r ＋1＝8C r x 8－r(12x)r ＝C r 82－r x 8－2r，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 15．答案：5π6解析：y ＝sin xx＝1π2(sin )2sin()23x x x =-． 当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =. 16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角， 在△AEA 1中，2222213cos 5a a a a a AEA ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪∠==. 17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12， 即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3； 由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-， 整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，… a n －1＝2nn -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=. 综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又P A ⊥底面ABCD ， 所以PC ⊥BD ． 设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =P A =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC = 从而PC FC =，ACEC =， 因为PC ACFC EC=，∠FCE =∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠P AC =90°， 由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ．(2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC ． 又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直， 故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (220,0)，D 2，b,0)，其中b ＞0， 则P (0,0,2)，E (23，0，23)，B 2b,0)． 于是PC ＝(220，－2)，BE ＝(23，b ，23)，DE ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅=，0PC DE ⋅=， 故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB ＝b,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， 则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0， 令x ＝b ，则m ＝(b，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b =-，n ＝(1，b-)． 因为面P AB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b = 于是n ＝(1，－1)，DP ＝(2)，1cos ,2||||DP DP DP ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ， P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2) P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1x2＝－1当x∈(－∞，－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(－11时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；当x∈(－1∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.因此f(x1)＝13x13＋x12＋ax1＝13x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝13x12＋23ax1＝13(－2x1－a)＋23ax1＝23(a－1)x1－3a.同理，f(x2)＝23(a－1)x2－3a.因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-， 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----． 由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0， 解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)， 故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1， 即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |=，即2r =. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M=化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =22t =抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)． 所以D 到l的距离d ==.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷(数学文)word有答案
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标word版
绝密＊启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷）文科数学注息事项:1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动。
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后。
将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A=｛x｜x2－x－2<0｝，B={x｜－1<x〈1｝，则（A)A错误!B （B）B错误!A （C）A=B (D)A∩B=（2）复数z＝错误!的共轭复数是(A）2+i （B）2－i （C）－1+i (D）－1－i3、在一组样本数据（x1，y1）,（x2，y2），…,（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1，2，…，n）都在直线y=错误!x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A）－1 （B)0 (C)错误!（D）1（4）设F1、F2是椭圆E:错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)的左、右焦点，P为直线x=错误!上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）（A）错误!（B)错误!（C)错误!（D）错误!5、已知正三角形ABC的顶点A(1，1），B(1，3），顶点C在第一象限，若点(x,y）在△ABC内部,则z=－x+y的取值范围是（A）（1－错误!，2）(B)(0，2) （C）（错误!－1，2）(D)（0,1+错误!）（6)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输出A,B,则(A)A+B为a1,a2，…，a N的和（B）错误!为a1,a2,…,a N的算术平均数(C）A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数（D)A和B分别是a1，a2,…,a N中最小的数和最大的数（7）如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（A）6(B）9（C)12（D）18(8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为错误!，则此球的体积为（A ）错误!π （B ）4错误!π （C ）4错误!π （D ）6错误!π(9）已知ω>0,0<φ<π，直线x =错误!和x =错误!是函数f (x ）=sin （ωx +φ）图像的两条相邻的对称轴,则φ=(A ）错误! （B ）错误! (C ）错误! （D ）错误!（10）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=4错误!,则C 的实轴长为（A ）错误! （B ）2错误! （C ）4 （D)8(11)当0<x ≤错误!时，4x <log a x ,则a 的取值范围是（A ）（0，错误!) （B ）（错误!,1） （C ）(1，错误!) （D)（错误!，2)(12）数列{a n ｝满足a n +1＋(－1）n a n ＝2n －1,则{a n ｝的前60项和为(A ）3690 （B ）3660 （C)1845 （D)1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数 学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={|x x 是平行四边形},B ={|x x 矩形},C ={|x x 是正方形},D ={|x x 是菱形},则( )A.A B ⊆B.C B ⊆C.D C ⊆D.A D ⊆ 2.函数(1)y x =≥-的反函数为( )A.()210y x x =-≥B.()211y x x =-≥C.()210y x x =+≥D.()211y x x =+≥3.若函数()[]()sin0,2π3x f x ϕϕ+=∈是偶函数,则ϕ=( ) A.π2 B.2π3C.3π2D.5π3 4.已知α为第二象限角,3sin ,5α=则sin2α=( )A.2425-B.1225-C.1225D.24255.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为( )A.2211612x y +=B.221128x y +=C.22184x y +=D.221124x y += 6.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S =( )A.12n -B.13()2n -C. 12()3n -D.112n - 7.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )A.240种B.360种C.480种D.720种8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为( )A.2D.19.ABC ∆中,AB 边的高为CD .若,,0,||1,||2,CB CA ==⋅===a b a b a b 则AD =( )A. 1133-a bB.2233-a bC.3355-a bD.4455-a b10.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左,右焦点,点P 在C 上,12||2||,PF PF =则12cos F PF ∠=( )A.14B.35C.34D.45 11.已知125ln π,log 2,x y z e -===,则( ) A.x y z << B.z x y <<C.z y x <<D.y z x << 12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,1,3AE BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( )A.8B.6C.4D.3本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.81()2x x+的展开式中2x 的系数为________14.若,x y 满足约束条件10x 30,x 330x y y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则3z x y =-的最小值为________15.当函数()sin 02πy x x x =≤<取得最大值时,x =________16.已知正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为11,BB CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为________三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)ABC ∆中,内角,,A B C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .18.(本小题12分)已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和23n n n S a +=.(1)求23,a a ;(2)求{}n a 的通项公式.19.(本小题12分)如图,四棱锥P A B C D -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD,2,AC PA E ==是PC 上的一点,2.PE EC =(1)证明:PC ⊥平面BED ;(2)设二面角A PB C --为90︒,求PD 与平面PBC 所成角的大小.20.(本小题12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲,乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲,乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲,乙的比分为1比2的概率; (2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.21.(本小题12分)已知函数()3213f x x x ax =++.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点()()()()1122,,,x f x x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.22.(本小题12分)已知抛物线()2:1C y x =+与圆()2221:(1)()02M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(1)求r ;(2)设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,,m n 的交点为D ,求D 到l 的距离.P E DC B ABACAC BCDDC DB 13.7 14.1- 15.5π6 16.3517. 【解析】由A ．B ．C 成等差数列可得2B A C =+，而A B C π++=，故33B B ππ=⇒=且23C A π=-而由223b ac =与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=-所以可得232223(sin cos cos sin )sin sin sin 1433A A A A A A ππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=，由27023666A A ππππ<<⇒-<-<，故 266A ππ-=或5266A ππ-=，于是可得到6A π=或2A π=。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(安徽卷)
12安徽(文)1.(2012安徽,文1)复数z 满足(z -i )i =2+i ,则z =( ). A .-1-i B .1-i C .-1+3i D .1-2i B 由题意可得,z -i =2i i+=2(2i)i i+=1-2i ,所以z =1-i .2.(2012安徽,文2)设集合A ={x |-3≤2x -1≤3},集合B 为函数y =lg (x -1)的定义域,则A ∩B =( ). A .(1,2) B .[1,2] C .[1,2) D .(1,2] D 由-3≤2x -1≤3得,-1≤x ≤2;要使函数y =lg (x -1)有意义,须令x -1>0, ∴x >1.∴集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x >1}, ∴A ∩B ={x |1<x ≤2}.3.(2012安徽,文3)(log 29)·(log 34)=( ). A .14B .12C .2D .4D 原式=(log 232)·(log 322)=4(log 23)·(log 32)=4·lg 3lg 2·lg 2lg 3=4.4.(2012安徽,文4)命题“存在实数x ,使x >1”的否定．．是( ). A .对任意实数x ,都有x >1 B .不存在实数x ,使x ≤1 C .对任意实数x ,都有x ≤1 D .存在实数x ,使x ≤1C 该命题为存在性命题,其否定为“对任意实数x ,都有x ≤1”.5.(2012安徽,文5)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ). A .1 B .2 C .4 D .8 A 由题意可得,a 3·a 11=27a =16,∴a 7=4.∴a 5=72a q=242=1.6.(2012安徽,文6)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ).A .3B .4C .5D .8B 由程序框图依次可得,x =1,y =1→x =2,y =2→x =4,y =3→x =8,y =4→输出y =4.7.(2012安徽,文7)要得到函数y =cos (2x +1)的图象,只要将函数y =cos 2x 的图象( ). A .向左平移1个单位 B .向右平移1个单位 C .向左平移12个单位 D .向右平移12个单位C ∵y =cos (2x +1)=cos 122x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴只须将y =cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y =cos (2x +1)的图象.8.(2012安徽,文8)若x ,y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z =x -y 的最小值是( ).A .-3B .0C .32D .3A 作出可行域如图所示,令z =0,得l 0:x -y =0,平移l 0,当l 0过点A (0,3)时满足z 最小,此时z min =0-3=-3.9.(2012安徽,文9)若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( ). A .[-3,-1] B .[-1,3] C .[-3,1] D .(-∞,-3]∪[1,+∞C 由题意可得,圆的圆心为(a ,0),22221(-1)≤+即|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1.10.(2012安徽,文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ). A .15B .25C .35D .45B 记1个红球为A ,2个白球为B 1,B 2,3个黑球为C 1,C 2,C 3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω={(A ,B 1),(A ,B 2),(A ,C 1),(A ,C 2),(A ,C 3),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 1,C 3),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 2,C 3),(C 1,C 2),(C 1,C 3),(C 2,C 3)},共计15种,而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 1,C 3),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 2,C 3),所以所求概率为615=25.安徽,文11)设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ),若(a +c )⊥b ,则|a |= . 2由题意可得,a +c =(3,3m ).由(a +c )⊥b 得,(a +c )·b =0,即(3,3m )·(m +1,1)=3(m +1)+3m =0, 解之,得m =-12.∴a =(1,-1),|a 212.(2012安徽,文12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 .56 由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,且侧棱垂直于底面的棱柱,∴V 柱=12×(2+5)×4×4=56.13.(2012安徽,文13)若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是[3,+∞),则a = .-6 f (x )=|2x +a |=a 2x a,x ,2a 2x a,x ,2⎧+≥-⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩∵函数f (x )的增区间是[3,+∞), ∴-a 2=3,即a =-6.14.(2012安徽,文14)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,若|AF |=3,则|BF |= .32设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|AF |=3及抛物线定义可得,x 1+1=3,∴x 1=2.∴A 点坐标为(2,则直线AB 的斜率为k1∴直线AB 的方程为y =x -1). 由2y 4x ,y x 1),⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得,2x 2-5x +2=0,解得x 1=2,x 2=12.∴|BF |=x 2+1=32.15.(2012安徽,文15)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,则 (写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长②④⑤ 如图所示,四面体ABCD 中,AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ,故②正确;∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ,∴∠BAD =∠ABC ,∠C AD =∠ACB ,∴∠BAC +∠CAD +∠B AD =∠B AC +∠ACB +∠ABC =180°,故③错; 取AB ,BC ,CD ,DA 的中点M ,N ,P ,Q ,连接MN ,NP ,PQ ,MQ ,由此得,MN =QP =12AC ,NP =MQ =12BD ,∵BD =AC ,∴MN =QP =MQ =NP ,∴四边形MNPQ 为菱形,∴对角线相互垂直平分,故④正确,①错误;而⑤正确,如AB ,AC ,AD 可作为△ABC 的三边.16.(2012安徽,文16)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,且有2sin B cos A =sin A cos C +cos A sin C . (1)求角A 的大小;(2)若b =2,c =1,D 为BC 的中点,求AD 的长.解:(1)(方法一)由题设知,2sin B cos A =sin (A +C )=sin B ,因为sin B ≠0,所以cos A =12.由于0<A <π,故A =3π.(方法二)由题设可知,2b ·222b c a 2bc +-=a ·222a b c 2ab +-+c ·222b c a 2bc+-,于是b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =222b c a 2bc +-=12.由于0<A <π,故A =3π.(2)(方法一)因为2A D =2A B A C 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭=14(2A B+2A C +2AB ·AC ) =11421243cos π⎛⎫++⨯⨯⨯⎪⎝⎭=74,所以|AD2从而AD2(方法二)因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4+1-2×2×1×12=3, 所以a 2+c 2=b 2,B =2π.因为BD2AB =1,所以AD217.(2012安徽,文17)设定义在(0,+∞)上的函数f (x )=ax +1ax+b (a >0).(1)求f (x )的最小值;(2)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =32x ,求a ,b 的值.解:(1)(方法一)由题设和均值不等式可知,f (x )=ax +1ax+b ≥2+b ,其中当且仅当ax =1时,等号成立, 即当x =1a时,f (x )取最小值为2+b .(方法二)f (x )的导数f '(x )=a -21ax=222a x 1ax-,当x >1a时,f '(x )>0,f (x )在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增;当0<x <1a时,f '(x )<0,f (x )在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减.所以当x =1a 时,f (x )取最小值为2+b . (2)f '(x )=a -21ax.由题设知,f '(1)=a -1a =32,解得a =2或a =-12(不合题意,舍去). 将a =2代入f (1)=a +1a+b =32,解得b =-1.所以a =2,b =-1.18.(2012安徽,文18)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品,在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检测,结果发现有50件不合格品,计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm ),将所得数据分组,得到如下频率分布表:(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上;(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品,据此估算这批产品中的合格品的件数.(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50+0.20=0.70;(3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意有505000=20x20+,解得x=50002050⨯-20=1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件.19.(2012安徽,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点,(1)证明:BD⊥EC1(2)如果AB=2,AE OE⊥EC1,求AA1的长.(1)证明:连接AC,A1C1.由底面是正方形知,BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC=A,所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1⊂平面AA1C1C知,BD⊥EC1.(2)解:设AA1的长为h,1.在Rt△OAE中,AE AO故OE 222=4.在Rt △EA 1C 1中,A 1E =h A 1C 1=故E 21C =(h 2+(2.在Rt △OCC 1中,OC CC 1=h ,O 21C =h 22, 因为OE ⊥EC 1,所以OE 2+E 21C =O 21C ,即4+(h 2+(2=h 22,解得h =所以AA 1的长为20.(2012安徽,文20)如图,F 1,F 2分别是椭圆C :22x a +22y b =1(a >b >0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°.(1)求椭圆C 的离心率;(2)已知△AF 1B 的面积为求a ,b 的值. 解:(1)由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a =2c ,所以e =12.(2)(方法一)a 2=4c 2,b 2=3c 2直线AB 的方程可为:y x -c ). 将其代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2,得B 855⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以|AB 8c 05-=165c .由1A FB S =12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB =12a ·165c 252=解得a =10,b =(方法二)设|AB |=t .因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t -a .由椭圆定义|BF 1|+|BF 2|=2a 可知,|BF 1|=3a -t . 再由余弦定理(3a -t )2=a 2+t 2-2at cos 60°可得,t =85a .由1A FB S =12a ·85a 252=,a =10,b =21.(2012安徽,文21)设函数f (x )=x 2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)设{x n }的前n 项和为S n ,求sin S n . 解:(1)f '(x )=12+cos x =0.令f '(x )=0,则cos x =-12,解得x =2k π±23π(k ∈Z ).由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知 x n =2n π-23π(n ∈N *).(2)由(1)可知,S n =2π(1+2+…+n )-23n π=n (n +1)π-2n 3π,所以sin S n =sin 2n n (n 1)3ππ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦.因为n (n +1)表示两个连续正整数的乘积,n (n +1)一定为偶数, 所以sin S n =-sin 2n 3π.当n =3m -2(m ∈N *)时,sin S n =-sin 42m 3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2当n =3m -1(m ∈N *)时, sin S n =-sin 22m 3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2当n =3m (m ∈N *)时,sin S n =-sin 2m π=0.综上所述,sin S n=***n 3m 2(m ),2n 3m 1(m ),20,n 3m (m ).N N N ⎧-=-∈⎪⎪⎪⎪=-∈⎨⎪=∈⎪⎪⎪⎩。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标word版
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷）文科数学注息事项:1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动。
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3。
回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4。
考试结束后。
将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x2－x－2〈0}，B=｛x|－1<x〈1｝，则(A)A错误!B （B)B错误!A (C）A=B (D）A∩B=（2）复数z＝错误!的共轭复数是(A)2+i （B)2－i （C）－1+i （D)－1－i3、在一组样本数据（x1，y1)，(x2，y2)，…,（x n,y n）(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点（x i，y i)(i=1，2，…,n）都在直线y=错误!x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A）－1 （B)0 （C)错误!(D）1（4）设F1、F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的左、右焦点，P为直线x=错误!上一点,△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）(A）错误!(B)错误!（C）错误!(D）错误!5、已知正三角形ABC的顶点A（1,1），B(1，3）,顶点C在第一象限,若点（x，y)在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（A）（1－错误!，2) （B)（0，2) （C）（错误!－1，2）（D)（0,1+错误!）（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2，…,a N，输出A,B,则（A）A+B为a1，a2,…,a N的和（B）错误!为a1，a2，…，a N的算术平均数(C）A和B分别是a1,a2，…,a N中最大的数和最小的数(D）A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数(7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6(B）9（C）12(D）18(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为错误!，则此球的体积为（A）错误!π（B)4错误!π（C）4错误!π（D)6错误!π(9）已知ω〉0，0〈φ〈π，直线x=错误!和x=错误!是函数f(x）=sin（ωx+φ）图像的两条相邻的对称轴,则φ=(A)错误!(B）错误!(C）错误!（D）错误!（10)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，｜AB|=43，则C的实轴长为（A）错误!(B）2错误!（C）4 （D）8(11)当0<x≤错误!时，4x〈log a x,则a的取值范围是（A)（0，错误!）（B）(错误!,1）（C）（1，错误!) （D)(错误!，2）（12)数列｛a n}满足a n+1＋（－1）n a n＝2n－1，则{a n｝的前60项和为（A)3690 （B）3660 (C）1845 （D）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题与答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题与答案2013年吉林沈阳模拟）（12分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1 至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18 000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）答案：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。
将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，∴（1≤x≤6，且x取整数）。
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：，解得：。
2012年高考新课标全国卷文科数学试题(附答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 （A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --（3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）−1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、 右焦点，P 为直线32ax =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45（5）已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则 （A ）A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和 （B ）2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数（D ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数 （7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π （9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学word解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若复数z 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为A 3+5iB 3-5iC -3+5iD -3-5i 答案：A考点：复数的运算。
值得注意的是21i =-. 解析：因为z(2-i)=11+7i ，所以1172iz i+=-，分子分母同时乘以2i +， 得22(117)(2)221114722725152535(2)(2)4415i i i i i i i z i i i i +++++-++=====+-+-+ （2） 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ） B 为 A {1,2,4} B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4} 答案：C考点：集合运算解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
答案选C 。
(3)函数()()1ln 1f x x =+ ）A [)(]2,00,2-B ()(]1,00,2-C []2,2-D (]1,2-答案：B考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考察。
解析：函数式若有意义需满足条件：210,1,l n (1)0,0,22,40,x x xx x x ⎧+>>-⎧⎪⎪+≠⇒≠⎨⎨⎪⎪-≤≤-≥⎩⎩取交集可得：()(]1,00,2x ∈- 。
答案：B. （4）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 答案：D考点：求样本方差、标准差解析： A 样本的平均数为86，B 样本的平均数为88 A 样本的方差为4)8688(104)8686(103)8684(102)8682(1012222=-+-+-+-=σ A 样本的标准差为2 B 样本的方差为4)8890(104)8888(103)8886(102)8884(1012222=-+-+-+-=σ B 样本的标准差为2,，两者相等（5）设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x = 的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B) ⌝q 为假 (C) p ∨q 为假 (D)p ∧q 为真 答案：C考点：主要考点是常用逻辑用语，三角函数的周期性和对称性，但是这个题目中对三角函数的考察是相当简单的。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 （4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为 （A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 （A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷(数学文)word有答案
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 （4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6（B ）9（C ）12（D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 （A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修加选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用．．．．．．．．橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．。
3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一．选择题(1)已知集合A={x︱x是平行四边形}，B={x︱x是矩形}，C={x︱x是正方形}，D{x︱x是菱形}，则(2)函数y=(x≥-1)的反函数为(3)若函数是偶函数，则=（4）已知a为第二象限角，sina=，则sin2a=（5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为（6）已知数列｛a n｝的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2a n+1,则sn=（7）（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A240种B360种C480种D720种（8）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=,E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（9）△ABC中，AB边的高为CD,|a|=1,|b|=2,则（10）已知F1、F2为双曲线C：X2-Y2=2的左、右焦点，点p在c上，|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=（11）已知x=lnπ，y=log52,z=,则A x<y<z Bz<x<y Cz<y<x Dy<z<x(12)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=,动点p从E 出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p第一次碰到E时，p与正方形的边碰撞的次数为A8B6C4D3绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷含答案(文科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀2.复数z=-的共轭复数是( )A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.D.14.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A. B. C. D.5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A. B.4 C.4 D.69.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A. B. C. D.10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )A. B.2 C.4 D.811.当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是( )A.,B.,C.(1,D.(,2)12.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .15.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .16.设函数f(x)=()的最大值为M,最小值为m,则M+m= .三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点. (Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e x-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是,(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.评析本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.=-=-1+i,=-1-i,故选D.2.D z=-=(-)(-)()(-)评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.评析本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.4.C 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要. 5.A 由题意知区域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+,2)时,z min=1-;当过点B(1,3)时,z max=2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.6.C 不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1;x=a2,A=a2;x=a3,A=a3,故输出A=a3,B=a1,选C. 评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.B 如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=,|O1A|=1,∴球的半径R=|OA|==.∴球的体积V=πR3=4π.故选B.评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.9.A 由题意得=2-,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.10.C 由题意可得A(-4,2).∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log a x的大致图象如图,则只需满足log a>2,解得a>,故选B.评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.12.D 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=()=30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.二、填空题13.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.14.答案-2解析由S 3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.15.答案3解析把|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.16.答案 2解析f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.三、解答题17.解析(Ⅰ)由c=asin C-c·cos A及正弦定理得·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin-=.又0<A<π,故A=.(Ⅱ)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85.当日需求量n<17时,利润y=10n-85.所以y关于n的函数解析式为y=-,,,(n∈N).(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.评析本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.19.解析(Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.评析本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.20.解析(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4所以|BD|·d=4即·2p·p=4解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,||||=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<-+x(x>0).①令g(x)=-+x,则g'(x)=--(-)+1=(--)(-).由(Ⅰ)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.评析本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A ,,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=-,, ,,-,.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(四川卷)
12四川(文)1.(2012四川,文1)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=( ).A.{b}B.{b,c,d}C.{a,c,d}D.{a,b,c,d}D A∪B={a,b}∪{b,c,d}={a,b,c,d},故选D.2.(2012四川,文2)(1+x)7的展开式中x2的系数是( ).A.21B.28C.35D.42A因为含x2项是二项式展开式中的第三项T3=27C x2=21x2,所以x2的系数是21,故选A.3.(2012四川,文3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( ).A.101B.808C.1212D.2012B四个社区抽取的总人数为12+21+25+43=101,由分层抽样可知,9612=101N,解得N=808.故选B.4.(2012四川,文4)函数y=a x-a(a>0,且a≠1)的图象可能是( ).C当a>1时,y=a x是增函数,-a<-1,则函数y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴下方,故选项A不正确;y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=a x是减函数,y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项C正确;若0<a<1,则-1<-a<0,y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项D不正确.5.(2012四川,文5)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC,ED,则si n∠CED=( ).A31010B1010C510D515B因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=π4.又因为在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC55cos∠BEC255于是sin∠CED=sinπBEC4∠⎛⎫-⎪⎝⎭=sinπ4cos∠BEC-cosπ4si n∠BEC222552 2551010故选B.6.(2012四川,文6)下列命题正确的是( ).A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行C若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交.选项A 错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B 不正确;如图,平面α∩β=b ,a ∥α,a ∥β,过直线a 作平面ε∩α=c ,过直线a 作平面γ∩β=d ,∵a ∥α,∴a ∥c ,∵a ∥β,∴a ∥d ,∴d ∥c ,∵c ⊂α,d ⊄α,∴d ∥α,又∵d ⊂β,∴d ∥b ,∴a ∥b ,选项C 正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D 不正确. 7.(2012四川,文7)设a ,b 都是非零向量.下列四个条件中,使a |a |=b |b |成立的充分条件是( ).A .|a |=|b |且a ∥bB .a =-bC .a ∥bD .a =2bD 若a |a |=b |b |,则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量,所以a 与b 应共线同向,故选D .8.(2012四川,文8)若变量x ,y 满足约束条件x y 3,x 2y 12,2x y 12,x 0,y 0,-≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩则z =3x +4y 的最大值是( ). A .12B .26C .28D .33C 作出可行域如图五边形OABCD 边界及其内部,作直线l 0:3x +4y =0,平移直线l 0经可行域内点B 时,z 取最大值.由x 2y 12,2x y 12,+=⎧⎨+=⎩得B (4,4),于是z max =3×4+4×4=28,故选C .9.(2012四川,文9)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦3,则|OM |=( A .2B .3C .4 D .5B 由抛物线定义知,p 2+2=3,所以p =2,抛物线方程为y 2=4x .因为点M (2,y 0)在此抛物线上,所以20y =8,于是|OM 204y +3故选B .10.(2012四川,文10)如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点∠BOP =60°,则A ,P 两点间的球面距离为( ). A .R 24B .R 4πC .R 33D .R 3πA 过点A 作AH ⊥平面BCD .∵平面BCD 与底面所成角为45°,AO ⊥平面α,在交线上,点B 与平面α的距离最大,为4.∴点H 在OB 上,且∠AOB =45°.过点H 作HM ⊥OP ,垂足为M ,连接AM ,在等腰直角三角形AOH中,AH =OH 2.在Rt △HOM 中,∠HOP =60°,∴HM =OH 24R .在Rt △AHM 中,AM 4R ,∴sin ∠AOM =44∴cos ∠AOM 4∴∠AOP =4∴A ,P 两点间的球面距离为R 411.(2012四川,文11)方程ay =b 2x 2+c 中的a ,b ,c ∈{-2,0,1,2,3},且a ,b ,c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ). A .28条 B .32条 C .36条 D .48条B 因为a ,b 不能为0,先安排a ,b ,有24A 种,c 有13C 种,所以表示的抛物线共有2143A C =36(条).又因为当b =±2时,b 2都为4,所以重复的抛物线有1122C C =4(条).所以这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有36-4=32(条).故选B .12.(2012四川,文12)设函数f (x )=(x -3)3+x -1,{a n }是公差不为0的等差数列,f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7=( ). A .0 B .7 C .14 D .21D 由f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 7)=14知,(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+(a 1+a 2+…+a 7)-7=14.因为{a n }是公差不为0的等差数列,所以(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+7(a 4-3)=0.因为(a 1-3)3+(a 7-3)3=[(a 1-3)+(a 7-3)][(a 1-3)2+(a 7-3)2-(a 1-3)(a 7-3)]=2(a 4-3)2217713(a 3)-(a 3)(a 3)24⎧⎫⎪⎪⎡⎤--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭=2(a 4-3)22177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 令222177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=M 1>0, 同理(a 2-3)3+(a 6-3)3=2(a 4-3)22266133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=(a 4-3)·M 2, (a 3-3)3+(a 5-3)3=2(a 4-3)22355333a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=(a 4-3)·M 3, (a 4-3)3=(a 4-3)(a 4-3)2,其中M 2>0,M 3>0,所以(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+7(a 4-3)=(a 4-3)M 1+(a 4-3)M 2+(a 4-3)M 3+(a 4-3)(a 4-3)2+7(a 4-3) =(a 4-3)[M 1+M 2+M 3+(a 4-3)2+7]=0,因为M 1+M 2+M 3+(a 4-3)2+7>0恒成立,所以a 4-3=0,a 4=3,而a 1+a 2+…+a 7=7a 4=21.故选D . 13.(2012四川,文13)函数f (x.(用区间表示)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ∵1-2x >0,∴x <12,∴f (x )的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.14.(2012四川,文14)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .90° 如图所示,以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D -xyz ,设正方体的棱长为2,则1M A =(2,-1,2),D N =(0,2,1),于是1M A ·D N=0,故异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.15.(2012四川,文15)椭圆22x a+2y 5=1(a 为定值,且a 5的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A ,B ,△FAB 的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是 .23如图所示,设椭圆右焦点为F 1,AB 与x 轴交于点H ,则|AF |=2a -|AF 1|,△ABF 的周长为2|AF |+2|AH |=2(2a -|AF 1|+|AH |),∵△AF 1H 为直角三角形,∴|AF 1|>|AH |,仅当|AF 1|=|AH |,即F 1与H 重合时,△AFB 的周长最大,即最大周长为2(|AF |+|AF 1|)=4a =12,∴a =3,而b 5∴c =2,离心率e =c a=23.16.(2012四川,文16)设a ,b 为正实数.现有下列命题: ①若a 2-b 2=1,则a -b <1; ②若1b-1a=1,则a -b <1;③若a b 1,则|a -b |<1;④若|a 3-b 3|=1,则|a -b |<1.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) ①④ ①a 2=b 2+1,∵b 2>0,∴a 2>1,故a >1,而a -b =1a b+,∵a >1,b >0,∴a +b >1,∴1a b+<1,∴①正确;②1b-1a=1,∵当b =23,a =2时,满足1b-1a=32-12=1,而此时a -b >1,∴②不正确;③∵a ,b 为正实数,且a b 1.不妨设a >b ,则a -b a b a b a b a b 1>1,∴a -b a b 1,∴③不正确;④∵a ,b 是正实数,不妨设a >b ,∴a 3-b 3=(a -b )(a 2+b 2+ab ),∴a -b =3322a ba ab b-++=221a ab b++,∵a 3=1+b 3>1,∴a 2>1,∴a 2+ab +b 2>1,则0<221a ab b++<1,∴a -b =221a ab b++<1,即|a -b |<1.同理,设a <b ,也能得到|a -b |<1的结论,故④正确.17.(2012四川,文17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 解:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1-P (C )=1-110·p =4950.解得p =15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ,那么 P (D )=23110C ×21110⎛⎫- ⎪⎝⎭+31110⎛⎫- ⎪⎝⎭=9721 =243250.故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.18.(2012四川,文18)已知函数f (x )=cos 2x 2-sin x 2cos x 2-12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域;(2)若f (α10求sin 2α的值.解:(1)由已知,f (x )=cos 2x 2-sin x 2cos x 2-12=1(1+cos x )-12sin x -122x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以f (x )的最小正周期为2π,值域为22⎡⎢⎣⎦.(2)由(1)知,f (α2α4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10所以cos α4π⎛⎫+⎪⎝⎭=35.所以sin 2α=-cos 2α2π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos 2α4π⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1-2cos 2α4π⎛⎫+⎪⎝⎭=1-1825=725.19.(2012四川,文19)如图,在三棱锥P -ABC 中,∠APB =90°,∠PAB =60°,AB =BC =CA ,点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.(1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小; (2)求二面角B -AP -C 的大小.解法一:(1)如图,连结OC .由已知,∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.设AB 的中点为D ,连结PD ,CD . 因为AB =BC =C A ,所以CD ⊥AB . 因为∠APB =90°,∠PAB =60°, 所以△PAD 为等边三角形.不妨设PA =2,则OD =1,OP AB =4.所以CD =OC在Rt △OCP 中,tan ∠OCP =O P O C13故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为13(2)过D 作DE ⊥AP 于E ,连结CE .由已知可得,CD ⊥平面PAB . 根据三垂线定理知,CE ⊥PA .所以∠CEDB -AP -C 的平面角. 由(1)知,DE 在Rt △CDE 中,tan ∠CED =C D D E2.故二面角B -AP -C 的大小为arctan 2. 解法二:(1)设AB 的中点为D ,连结CD .因为O 在AB 上,且O 为P 在平面ABC 上的射影, 所以PO ⊥平面ABC .所以PO ⊥AB ,且PO ⊥CD . 由AB =BC =CA ,知CD ⊥AB . 设E 为AC 中点,则EO ∥CD ,从而OE ⊥PO ,OE ⊥AB .如图,以O 为坐标原点,OB ,OE ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .不妨设PA =2,由已知可得,AB =4,OA =OD =1,OP CD =所以O (0,0,0),A (-1,0,0),C (1,0),P (0,0所以C P =(-1,-而O P =(0,0为平面ABC 的一个法向量. 设α为直线PC 与平面ABC,则sin α=C P |C P||O P|4故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为4(2)由(1)有,AP=(1,0,AC =(2,0).设平面APC 的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则n ,n A P A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇔n 0,n 0A P A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇔111111(x ,y ,z )(1,0,(x ,y ,z )(2,0)0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 从而1111x z 0,2x y 0.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取x 1则y 1=1,z 1=1, 所以n 1,1).设二面角B -AP -C 的平面角为β,易知β为锐角. 而面ABP 的一个法向量为m =(0,1,0),则cos β=n m |n||m |⋅5故二面角B -AP -C 的大小为520.(2012四川,文20)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a 1>0,λ=100.当n 为何值时,数列n 1a lg ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大? 解:(1)取n =1,得λ21a =2S 1=2a 1,a 1(λa 1-2)=0.若a 1=0,则S n =0.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=0-0=0, 所以a n =0(n ≥1). 若a 1≠0,则a 1=2λ.当n ≥2时,2a n =2λ+S n ,2a n -1=2λ+S n -1,两式相减得2a n -2a n -1=a n ,所以a n =2a n -1(n ≥2),从而数列{a n }是等比数列, 所以a n =a 1·2n -1=2λ·2n -1=n2λ.综上,当a 1=0时,a n =0; 当a 1≠0时,a n =n2λ.(2)当a 1>0且λ=100时,令b n =lg n1a , 由(1)有,b n =lg n1002=2-n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为-lg 2). b 1>b 2>…>b 6=lg 61002=lg 10064>lg 1=0,当n ≥7时,b n ≤b 7=lg 71002=lg 100128<lg 1=0,故数列n 1a lg ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大.21.(2012四川,文21)如图,动点M 与两定点A (-1,0),B (1,0)构成△MAB ,且直线MA ,MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y =x +m (m >0)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ |<|PR |,求|PR ||PQ |的取值范围.解:(1)设M 的坐标为(x ,y ),当x =-1时,直线MA 的斜率不存在;当x =1时,直线MB 的斜率不存在. 于是x ≠1且x ≠-1.此时,MA 的斜率为y x 1+,MB 的斜率为y x 1-.由题意,有y x 1+·y x 1-=4,化简可得4x 2-y 2-4=0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x ≠1且x ≠-1). (2)由22y x m ,4x y 40=+⎧⎨--=⎩消去y ,可得3x 2-2mx -m 2-4=0.(*)对于方程(*),其判别式Δ=(-2m )2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0, 而当1或-1为方程(*)的根时,m 的值为-1或1. 结合题设(m >0)可知,m >0,且m ≠1. 设Q ,R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ), 则x Q ,x R 为方程(*)的两根. 因为|PQ |<|PR |, 所以|x Q |<|x R |,x Q3x R3所以|PR ||PQ |=R Qx x=11,2,所以1<13,且153≠, 所以1<|PR ||PQ |=R Qx x <3,且|PR ||PQ |=R Qx 5x 3≠.综上所述,|PR ||PQ |的取值范围是551,,333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋃.22.(2012四川,文22)已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线y =-x 2+na2与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)用a 和n 表示f (n ); (2)求对所有n 都有f (n)-1n f (n )1n 1≥++成立的a 的最小值;(3)当0<a <1时,比较1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )与6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+的大小,并说明理由.解:(1)由已知得,交点A的坐标为0⎫⎪⎪⎭.对y =-x 2+12a n 求导得y '=-2x ,则抛物线在点A 处的切线方程为yx -⎝, 即y+a n . 则f (n )=a n .(2)由(1)知f (n )=a n , 则f (n)-1n f (n )1n 1≥++成立的充要条件是a n ≥2n +1.即知a n ≥2n +1对所有n 成立. 特别地,取n =1得到a ≥3.当a =3,n ≥1时,a n =3n =(1+2)n =1+1n C ·2+…≥2n +1. 当n =0时,a n =2n +1. 故a =3时,f (n)-1n f (n )1n 1≥++对所有自然数n 均成立.所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f (k )=a k . 下面证明:1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )>6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+.首先证明:当0<x <1时,21x x->6x .设函数g (x )=6x (x 2-x )+1,0<x <1. 则g '(x )=18x 2x 3⎛⎫- ⎪⎝⎭.当0<x <23时,g '(x )<0;当23<x <1时,g '(x )>0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min =g 23⎛⎫ ⎪⎝⎭=19>0.所以,当0<x <1时,g (x )>0,即得21x x->6x .由0<a <1知0<a k <1(k ∈N *), 因此k2k1a a->6a k ,从而1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )=21a a-+241a a-+…+n2n1a a->6(a +a 2+…+a n )=6·n 1a a1a+--=6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷)
12山东(文)1.(2012山东,文1)若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位),则z 为( ). A .3+5iB .3-5iC .-3+5iD .-3-5iA 设z =a +b i ,a ,b ∈R ,则z (2-i )=(a +b i )(2-i )=(2a +b )+(2b -a )i ,所以211,27,a b b a +=⎧⎨-=⎩解得3,5,a b =⎧⎨=⎩ 所以z =3+5i ,故选A .2.(2012山东,文2)已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( ).A .{1,2,4}B .{2,3,4}C .{0,2,4}D .{0,2,3,4}C 易知∁U A ={0,4},所以(∁U A )∪B ={0,2,4},故选C .3.(2012山东,文3)函数f (x )=1ln(1)x +( ). A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]B 由2ln(1)0,10,40x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≥⎩得0,1,22,x x x ≠⎧⎪>-⎨⎪-≤≤⎩所以定义域为(-1,0)∪(0,2].4.(2012山东,文4)在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ). A .众数 B .平均数 C .中位数D .标准差D 由s可知B 样本数据每个变量增加2,平均数也增加2,但(x n -x )2不变,故选D .5.(2012山东,文5)设命题p :函数y =sin 2x 的最小正周期为π2;命题q :函数y =cos x 的图象关于直线x =π2对称.则下列判断正确的是( ). A .p 为真 B .q 为假 C .p ∧q 为假D .p ∨q 为真C 因周期T =2π2=π,故p 为假命题.因cos x 的对称轴为x =k π(k ∈Z ),故q 也为假命题.所以p ∧q 为假.6.(2012山东,文6)设变量x ,y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数z =3x -y 的取值范围是( ).A .3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .3,-12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[-1,6]D .36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A 作出可行域如图所示.目标函数z =3x -y 可转化为y =3x -z ,作l 0:3x -y =0,在可行域内平移l 0,可知在A 点处z 取最小值为-32,在B 点处z 取最大值为6,故选A .7.(2012山东,文7)执行下面的程序框图,如果输入a =4,那么输出的n 的值为( ).A .2B .3C .4D .5B 由程序框图知,当n =0时,P =1,Q =3;当n =1时,P =5,Q =7;当n =2时,P =21,Q =15,此时n 增加1变为3,满足P >Q ,循环结束,输出n =3,故选B .8.(2012山东,文8)函数y =2sin ππ63x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ).A .2-3B .0C .-1D .-1-3A 由0≤x ≤9可得,-ππ36≤x -π7π36≤,所以-3≤2sin ππx 63⎛⎫- ⎪⎝⎭≤2,所以最大值为2,最小值为-3,最大值与最小值之差为2-3.9.(2012山东,文9)圆(x +2)2+y 2=4与圆(x -2)2+(y -1)2=9的位置关系为( ). A .内切 B .相交 C .外切 D .相离 B 圆O 1的圆心为(-2,0),r 1=2,圆O 2的圆心为(2,1),r 2=3,|O 1O 2|=2241+=17, 因为r 2-r 1<|O 1O 2|<r 1+r 2, 所以两圆相交.10.(2012山东,文10)函数y =cos622x xx --的图象大致为( ).D 令f (x )=cos622x x x --,则f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而f (-x )=cos(-6)22x x x --=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为当x ∈10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭时,cos 6x >0,2x -2-x >0,即f (x )>0,而f (x )=0有无数个根,所以D 正确.11.(2012山东,文11)已知双曲线C 1:22x a -22y b =1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( ). A .x 2B .x 2C .x 2=8yD .x 2=16yD 由于e =c a=2,∴c =2a ,即c 2=4a 2.又有c 2=a 2+b 2,∴b 2=3a 2,即b.∴双曲线的渐近线方程y =±b a x 即为y,+y =0.又抛物线的焦点坐标为F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,F 到渐近线的距离为2,即022p+=2,解得p =8.∴抛物线C 2的方程为x 2=16y .12.(2012山东,文12)设函数f (x )=1x,g (x )=-x 2+bx ,若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列判断正确的是( ). A .x 1+x 2>0,y 1+y 2>0 B .x 1+x 2>0,y 1+y 2<0C .x 1+x 2<0,y 1+y 2>0D .x 1+x 2<0,y 1+y 2<0B 由题意知,函数f (x )=1x ,g (x )=-x 2+bx 的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),等价于方程1x =-x 2+bx 有两个不同的根x 1,x 2,即方程x 3-bx 2+1=0有两个不同的实根x 1,x 2,因而可设x 3-bx 2+1=(x -x 1)2(x -x 2),即x 3-bx 2+1=x 3-(2x 1+x 2)x 2+(21x +2x 1x 2)x -21x x 2,∴b =2x 1+x 2,21x +2x 1x 2=0,21x x 2=-1.从而x 1≠0,x 2<0.由x 1(x 1+2x 2)=0得x 1+2x 2=0, ∴x 1+x 2=-x 2>0,x 1=-2x 2>0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +<0,即x 1+x 2>0,y 1+y 2<0.13.(2012山东,文13)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 为线段B 1C 上的一点,则三棱锥A -DED 1的体积为 .16由正方体的性质知B 1C ∥平面AA 1D 1D ,∴E 到平面AA 1D 1D 的距离等于C 到平面AA 1D 1D 的距离,于是三棱锥A -DED 1的体积即为三棱锥E -AD 1D 的体积,也是三棱锥C -AD 1D 的体积.∵1D AD S =12,∴1D C AD V -=1D 13AD S ·CD =13×12×1=16.14.(2012山东,文14)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为 .9 由于组距为1,则样本中平均气温低于22.5 ℃的城市频率为0.10+0.12=0.22.平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11, 所以样本容量为110.22=50.而平均气温高于25.5 ℃的城市频率为0.18,所以,样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18=9.15.(2012山东,文15)若函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )=(1-4m x [0,+∞)上是增函数,则a = .14 当0<a <1时,f (x )=a x 在[-1,2]上的最大值为a -1=4,即a =14,最小值为a 2=m ,从而m =116,这时g (x )=11416x ⎛-⨯ ⎝即g (x 34x [0,+∞)上是增函数.当a >1时,f (x )=a x 在[-1,2]上的最大值a 2=4得a =2,最小值a -1=m 即m =12,这时g (x )=(1-4m x x [0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去.所以a =14.16.(2012山东,文16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .(2-sin 2,1-cos 2)因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中P 点所经过的弧长为2,其所对圆心角为2.如图所示,过P 点作x 轴的垂线,垂足为A ,圆心为C ,与x 轴相切于点B ,过C 作PA 的垂线,垂足为D ,则∠PCD =2-π2,|PD |=sin π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=-cos 2,|CD |=cos π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2,所以P 点坐标为(2-sin 2,1-cos 2),即OP的坐标为(2-sin 2,1-cos2).17.(2012山东,文17)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin B (tan A +tan C )=tan A tan C . (1)求证:a ,b ,c 成等比数列;(2)若a =1,c =2,求△ABC 的面积S .(1)证明:在△ABC 中,由于sin B (tan A +tan C )=tan A tan C ,所以sin B sin sin cos cos A C A C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin cos A A ·sin cos C C,因此sin B (sin A cos C +cos A sin C )=sin A sin C , 所以sin B sin (A +C )=sin A sin C , 又A +B +C =π, 所以sin (A +C )=sin B , 因此sin 2B =sin A sin C .由正弦定理得b 2=ac , 即a ,b ,c 成等比数列.(2)解:因为a =1,c =2,所以b 由余弦定理得cos B =2222a c b ac +-34,因为0<B <π,所以sin B故△ABC 的面积S =12ac sin B =12×1×218.(2012山东,文18)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解:(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ,B ,C ,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ,E ,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A ,D ),(A ,E ),(B ,D ),共3种. 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 为标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A ,D ),(A ,E ),(B ,D ),(A ,F ),(B ,F ),(C ,F ),(D ,F ),(E ,F ),共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.19.(2012山东,文19)如图,几何体E -ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB =CD ,EC ⊥BD .(1)求证:BE =DE ;(2)若∠BCD =120°,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 证明:(1)取BD 的中点O ,连接CO ,EO .由于CB =CD ,所以CO ⊥BD .又EC ⊥BD ,EC ∩CO =C ,CO ,EC ⊂平面EOC , 所以BD ⊥平面EOC , 因此BD ⊥EO . 又O 为BD 的中点,所以BE =DE .(2)证法一:取AB 的中点N ,连接DM ,DN ,MN .因为M 是AE 的中点, 所以MN ∥BE .又MN ⊄平面BEC ,BE ⊂平面BEC , 所以MN ∥平面BEC . 又因为△ABD 为正三角形, 所以∠BDN =30°. 又CB =CD ,∠BCD =120°, 因此∠CBD =30°, 所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ,BC ⊂平面BEC , 所以DN ∥平面BEC . 又MN ∩DN =N ,故平面DMN ∥平面BEC , 又DM ⊂平面DMN ,所以DM ∥平面BEC .证法二:延长AD ,BC 交于点F ,连接EF.因为CB =CD ,∠BCD =120°, 所以∠CBD =30°. 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD =60°,∠ABC =90°, 因此∠AFB =30°, 所以AB =12AF .又AB =AD ,所以D 为线段AF 的中点.连接DM ,由点M 是线段AE 的中点, 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ,EF ⊂平面BEC ,所以DM ∥平面BEC .20.(2012山东,文20)已知等差数列{a n }的前5项和为105,且a 10=2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,前n 项和为T n .由T 5=105,a 10=2a 5,得到1115(51)5d 105,29d 2(4d),a a a ⨯-⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得a 1=7,d =7.因此a n =a 1+(n -1)d =7+7(n -1)=7n (n ∈N *). (2)对m ∈N *,若a m =7n ≤72m ,则n ≤72m -1. 因此b m =72m -1,所以数列{b m }是首项为7公比为49的等比数列,故S m =1(1)1mb q q--=7(149)149m ⨯--=27(71)48m ⨯-=217748m +-.21.(2012山东,文21)如图,椭圆M :22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为3,直线x =±a 和y =±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程;(2)设直线l :y =x +m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ,Q ,l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ,T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 解:(1)设椭圆M 的半焦距为c ,由题意知222,3,48,a b c c a ab ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以a =2,b =1.因此椭圆M 的方程为24x +y 2=1.(2)由221,4x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得5x 2+8mx +4m 2-4=0,由Δ=64m 2-80(m 2-1)=80-16m 2>0, 得-5<m <5.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=-85m ,x 1x 2=24(1)5m -.所以|PQ |=221212()()x x y y -+- =212122[()4]x x x x +-=242(5)5m -(-5<m <5).线段CD 的方程为y =1(-2≤x ≤2),线段AD 的方程为x =-2(-1≤y ≤1). ①不妨设点S 在AD 边上,T 在CD 边上,可知1≤m <5,S (-2,m -2),D (-2,1), 所以|ST |=2|SD |=2[1-(m -2)]=2(3-m ), 因此||||PQ ST =22455(3)m m --, 令t =3-m (1≤m <5), 则m =3-t ,t ∈(3-5,2],所以||||PQ ST =2245-(3)5t t -=244615t t -+-=241354544t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,由于t ∈(352],所以112t ⎡∈⎢⎣⎭,因此当1t =34即t =43时,||||PQ ST 此时m =53. ②不妨设点S 在AB 边上,T 在CD 边上, 此时-1≤m ≤1,因此|ST AD |=此时||||PQ ST所以当m =0时,||||PQ ST(3)不妨设点S 在AB 边上,T 在BC 边上m ≤-1,由椭圆和矩形的对称性知||||PQ ST 此时m =-53.综上所述m =±53或m =0时,||||PQ ST 22.(2012山东,文22)已知函数f (x )=ln e x x k +(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. (1)求k 的值; (2)求f (x )的单调区间;(3)设g (x )=xf '(x ),其中f '(x )为f (x )的导函数.证明:对任意x >0,g (x )<1+e -2. (1)解:由f (x )=ln e xx k +,得f '(x )=1ln e xkx x x x --,x ∈(0,+∞).由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f '(1)=0,因此k =1.(2)解:由(1)得f '(x )=1e xx (1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0. 又e x >0,所以x ∈(0,1)时,f '(x )>0;x ∈(1,+∞)时,f '(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为g (x )=xf '(x ),所以g (x )=1e x(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).由(2)h (x )=1-x -x ln x ,求导得h '(x )=-ln x -2=-(ln x -ln e -2),所以当x ∈(0,e -2)时,h '(x )>0,函数h (x )单调递增;当x ∈(e -2,+∞)时,h '(x )<0,函数h (x )单调递减. 所以当x ∈(0,+∞)时,h (x )≤h (e -2)=1+e -2. 又当x ∈(0,+∞)时,0<1e x<1,所以当x ∈(0,+∞)时,1e xh (x )<1+e -2,即g (x )<1+e -2. 综上所述结论成立.。
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(11)【解析】选（B）. 画出函数 y 4 与 y log a x 在 0, 上的图象，可以看出，只需 4 2 log a ， 2 2
x
1
1
1
即 log a 2 2 ，解得
2 a 1. 2
（12） 【解析】选（D） . 由 an1 (1)n an 2n 1 得，
Байду номын сангаас
（18）.（本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完， 剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n（单位：枝，n∈N）的 函数解析式。 （Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得下表： 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10
2 5 2 ，所以 1，当 x 时，sin(ω x+φ )取 T 4 4 4
4
2
k , k Z ，因为 0<φ <π ，所以
6
4
.
（10） 【解析】选（C）.
2 2 2 易知点 4, 2 3 在 x y a 上，得 a 4 ， 2a 4 .
1 5 9 … 117
1 117 30 1770
2
由③得, S奇 a3 a1 a7 a5 a11 a9 … a59 a59
2 15 30
所以, S60 S偶 S奇 S偶 S奇 2S奇 1770 2 30 1830 .
1
开始
输入 N， a1,a2,…,aN
k=1,A=a1,B=a1
x =ak k=k+1 x＞A 否 是 x<B B=x 否 是
A=x
k≥N 是 输出 A， B
否
结束
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） （A）6 （B）9 （C）12 （D）18 (8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α 的距离为 2，则此球的体积为 （ ） （A） 6π （B）4 3π （C）4 6π （D）6 3π π 5π （9）已知 ω>0，0<φ<π，直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ=（ ） 4 4 π （A） 4 π （B） 3 π （C） 2 3π （D） 4
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CF//AB， 证明： (Ⅰ)CD=BC； (Ⅱ)△BCD∽△GBD
A
G
E D
F
B
C
(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4；坐标系与参数方程
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN，输出 A,B，则（ ） （A）A+B 为 a1,a2,…,aN 的和 A＋B （B） 为 a1,a2,…,aN 的算术平均数 2 （C）A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数 （D）A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数
（10）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|=4 3， 则 C 的实轴长为（ ） （A） 2 （B）2 2 （C）4 （D）8
2
1 (11)当 0<x≤ 时，4x<logax，则 a 的取值范围是 （ ） 2 （A）(0， 2 ) 2 （B）( 2 ，1) 2 （C）(1， 2) （D）( 2，2)
x 1
4 ,故切线方程为 y 1 4 x 1 ，即 y 4 x 3 .
由 S3+3S2=0 得 a1 1 q q (15)【解析】 3 2 .
2
3a 1 q 0 ，显然 a
1 2 2 2
1
0 ，所以 q 2 4q 4 0 ，所以 q 2 .
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-24 题为 选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 (13)【解析】 y 4 x 3 .
y 3ln x 4 , y
(14)【解析】 2 .
x2 y2 3a （4）设 F1、F2 是椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x= 上一点，△F1PF2 是底角为 30° a b 2 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ 1 （A） 2 2 （B） 3 3 （C） 4 ） 4 （D） 5
（5）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则 z= －x+y 的取值范围是（ ） （A）(1－ 3，2) （B）(0，2) （C）( 3－1，2) （D）(0，1+ 3)
（12）数列{an}满足 an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前 60 项和为（ ） （A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-24 题为 选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 (13)曲线 y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________ (14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q=_______ (15)已知向量 a,b 夹角为 45°，且|a|=1，|2a－b|= 10，则|b|= (x+1)2+sinx (16)设函数 f(x)= 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=____ x2+1 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）.（本小题满分 12 分） 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c = (1) 求 A (2) 若 a=2，△ABC 的面积为 3，求 b,c. 3asinC－ccosA
（24） （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x－2|. (Ⅰ)当 a =－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (Ⅱ)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围。
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2012 年普通高等学校统一考试（课标卷） 数学（文科）参考答案
C1 A1
B1
D C A B
（20） （本小题满分 12 分） 设抛物线 C：x2=2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点。 （I） （II） 若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程； 若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值。
－3+i （2）复数 z＝ 的共轭复数是（ ） 2+i （A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
（3）在一组样本数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，…， （xn，yn） （n≥2，x1,x2,…,xn 不全相等）的散点图中，若所 1 有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ） 2 （A）－1 （B）0 1 （C） 2 （D）1
(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利 润不少于 75 元的概率。
3
（19） （本小题满分 12 分） 1 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90° ，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中点。 2 (Ｉ) 证明：平面 BDC1⊥平面 BDC （Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
由已知得， | 2a b | 2a b 4a 4a b + b 4 a 4 a b cos 45 + b
一、选择题： (1)【解析】选（B）.
2 A={x| x －x－2<0}={x| －1 <x<2}. 所以 B A.
（2） 【解析】选（D）.
z＝
－3+i 3 i 2 i 5 5i = 1 i , z 1 i . 2+i 5 2 i 2 i （3） 【解析】选（D）.
x＝2cosφ 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 y＝3sinφ
标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、C、D 以逆时针次序排列， π 点 A 的极坐标为(2， ) 3 (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标； (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。