第11章 差错控制编码与线性分组码
差错控制编码要点
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10.1 差错控制编码的基本原理
常用的差错控制方式
1. ARQ(Automatic Repeat Request)方式 (自动请求重发或检错重发)
发端发送出可以发现错误的码字。经过传输到接 收端译码后，如果没有发现错误，则输出。如果发现 错误，则自动请求发端重发，直到正确接收到码字为 止。
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10.1 差错控制编码的基本原理
码间距离d 及检错纠错能力 码字：由信息位和监督位组成的一组码元。
用C = ( cn-1 cn-2 … c0 )表示。
（许用码、禁用码） 码元： 组成码字的元素，用Ci表示。 码长：码字中码元的个数，用n表示。
码组：由多个许用码组成的一组码字。
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10.1 差错控制编码的基本原理
香农有扰信道编码定理：
在有扰信道中只要信息的传输速率R小于信道容 量C，总可以找一种编码方法，使信息以任意小的差 错概率通过信道传送到接收端，即误码率Pe可以任意 小，而且传输速率R可以接近信道容量C。但若R > C， 在传输过程中必定带来不可纠正错误，不存在使差错 概率任意小的编码。
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10.1 差错控制编码的基本原理
减小误码率Pe的两种途径：
（1）n 及 R一定时，增加信道容量C。由图可见，E(R) 随C的增加而增大。由信道容量公式知， 增加C， 可通过增加S和B来实现；
（2）在C及 R一定的情况下，增加n可以使Pe指数减小。
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我国电传机传输汉字采用的是“5中取3” 恒比码，其码长 为5，码字中“1”的个数为3。这种码我国称为保护电码。码长 为5的二进制数共有32种组合，选择其中含有3个“1”的组合作 为许用码，为10个。
通信原理第11章差错控制编码分析
接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端， 并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重 发。
发
数据信息 数据信息
收
图11.1-6 信息反馈法
第11章 差错控制编码
11.1
概述
收端把收到的数据序列全部经反向信道送回发
端，发端比较发出和送回的数据序列，从而发 现有否错误，如果有错误，发端将数据序列再 次传送，直到发端没有发现错误。
编码二： 消息A----“00”；消息B----“11” 最小码距2 若传输中产生一位错码，则变成“01”或“10”， 收端判决为有错（因“01”“10”为禁用码组），但 无法确定错码位置，不能纠正，该编码具有检出 一位错码的能力。 这表明增加一位冗余码元后码具有检出一位错 码的能力
第11章 差错控制编码
11.1
概述
差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
11.2
差错控制编码的基本原理
（2）最小码距与检错和纠错能力的关系
一个码能检测e个错码，则要求其最小码dmin≥e+1
一个码能纠正t个错码，则要求其最小dmin≥2t+1 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要
求其最小码距
dmin≥e+t+1 (e>t)
第11章 差错控制编码
11.2
11.1
概述
（1）检错重发法（ARQ） Automatic Repeat reQuest 收端在接收到的信码中发现错码时，就通 知发端重发，直到正确接收为止。例如奇偶 校验。 检错重发方式只用于检测误码，能够在接 收单元中发现错误，但不一定知道该错误码 的具体位置。 需具备双向信道。
线性分组码的编码方法
线性分组码的编码方法0 引言随着通信技术的飞速发展，数字信息的存储和交换日益增加，对于数据传输过程中的可靠性要求也越来越高，数字通信要求传输过程中所造成的数码差错足够低。
引起传输差错的根本原因是信道内的噪声及信道特性的不理想。
要进一步提高通信系统的可靠性，就需采用纠错编码技术。
1线性分组码线性分组码是差错控制编码的一种，它的编码规则是在k 个信息位之后附加r=（n-k ）个监督码元，每个监督码元都是其中某些信息位的模2和，即（n-k ）个附加码元是由信息码元按某种规则设计的线性方程组运算产生，则称为线性分组码（linear block code ）。
目前，绝大多数的数字计算机和数字通信系统中广泛采用二进制形式的码元，因此以下对线性分组码的讨论都是在有限域GF （2）上进行的，域中元素为0、1。
以（7，3）线性分组码为例，（7，3）线性分组码的信息组长度k=3，在每个信息组后加上4个监督码元，每个码元取值“0”或“1”。
设该码字为（C 6,C 5,C 4,C 3,C 2,C 1,C 0）。
其中C 6,C 5,C 4是信息位，C 3,C 2,C 1,C 0是监督位，监督位可以按下面的方程计算：463C C C +=4562C C C C ++=（1）561C C C += 450C C C +=以上四式构成了线性方程组，它确定了由信息位得到监督位的规则，称为监督方程或校验方程。
由于所有的码字都按同一规则确定，因此上式又称为一致监督方程或一致校验方程，这种编码方法称为一致监督编码或称一致校验编码。
由式（1）可以得出，每给出一个3位的信息组，就可以编出一个7位的码字，同理可以求出其它7个信息组所对应的码字。
2 生成矩阵和一致校验矩阵（n ，k ）线性分组码的编码问题，就是如何从n 维线性空间V n 中，找出满足一定要求的，由2k个矢量组成的k 维线性子空间；或者说在满足一定条件下，如何根据已知的k 个信息元求得n-k 个校验元。
樊昌信《通信原理》(第7版)章节题库(差错控制编码)【圣才出品】
第11章 差错控制编码一、填空题1．码长为31的汉明码，其监督位r 应为 ；编码效率为 。
【答案】r ＝5；26／31【解析】由汉明码的定义可知21r n =-，所以可得其监督位r ＝5。
其编码效率为315263131k n r n n --===2．汉明码是一种能纠 位错码、最小码距为 的线性分组码。
【答案】1；d 0＝3【解析】汉明码能够纠正一个错误或检测两个错码，最小码距为3。
3．已知信道中传输1100000、0011100、0000011三个码组，则其可检测 位错码，可纠正 位错码。
【答案】3；1【解析】在一个分组码中，若检测e 位错码，则要求01d e ≥+；若纠正t 位错码，则要求021d t ≥+。
由题可知，码组间的最小码距为04d =，所以可以检测3位错码，可以纠正1位错码。
4．在分组码中，若要在码组内检测2位错码同时纠正1位错码的最小码距为【答案】4【解析】在一个分组码中，若检测e位错码，同时纠正t位错码，则要求01d t e≥++，且e t>。
故检测2位错码同时纠正1位错码的最小码距为04d=。
5．奇偶监督码有位监督码，能发现个错码，不能检出个错码。
【答案】1；奇数；偶数【解析】奇偶监督码分为奇数监督码和偶数监督码，两者原理相同，有1位监督码。
在接收端按“模2和”运算，故能发现奇数个错码，不能检测出偶数个错码。
6．线性分组码的最小码距为4，若用于纠正错误，能纠正位错误；若用于检测错误，能检测位错误。
【答案】1；3【解析】在一个分组码中，若检测e位错码，要求01d e≥+；若纠正t位错码，要求021d t≥+。
最小码距为04d=，所以可以检测3位错码，可以纠正1位错码。
7．某循环码的生成多项式为g（x）＝x4＋x2＋x＋1，该循环码可纠正位错码，可检出位错码。
【答案】1；3【解析】循环码的生成多项式的项数即为循环码的最小码距。
由题可知该循环码的最小码距为d0＝4，又要求01d e≥+，021d t≥+，所以该循环码可纠正1位错码，可检测3位错码。
通信原理-CH11-差错控制编码和线性分组码
20 世 纪 40 年 代 ， R.Hamming 和 M.Golay y 提出了第一个实用的差错控制 编码方案，使编码理论这个应用数学分 支的发展得到了极大的推动 支的发展得到了极大的推动。 当时他作为一个数学家受雇于贝尔实验 室，主要从事弹性理论的研究 他发现 室，主要从事弹性理论的研究。他发现 计算机经常在计算过程中出现错误，而 一旦有错误发生 旦有错误发生，程序就会停止运行。 程序就会停止运行 这个问题促使他编制了使计算机具有检 测错误能力的程序 通过对输入数据编 测错误能力的程序，通过对输入数据编 码，使计算机能够纠正这些错误并继续 运行。 运行 Hamming 提出的编码方案后来被命名 为汉明码。
f2
1
V1
带 通 滤波器 带 通 滤波器
1
相乘器
cos 1t
低 通 滤波器
抽样脉冲
2
V2
2
抽 样 判决器
输出
相乘器
cos 2t
（b）相干解调
低 通 滤波器
4
PSK
电平 二进信息转换
（单极NRZ） 双极 NRZ
已调信号
A cos 2f c t
载 波 发生器
输入 BPSK信号
带通
相乘器
Gallag er
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虽然软判决译码、级联码和编码调制技术都对信道码的 设计和发展产生了重大影响，但是其增益与 Shannon 理论极限始终都存在2～3dB的差距。 的差距 在1993年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议(1CC'93) 上，两位任教于法国不列颠通信大学的教授 C.Berrou 、 A.Glavieux 和他们的缅甸籍博士生 P.Thitimajshima 首次提出了一种新型信道编码方案——Turbo码，由于 它很好地应用了 Shannon 信道编码定理中的随机性编、 译码条件，从而获得了几乎接近 Shannon 理论极限的 译码性能 仿真结果表明 在采用长度为 65536 的随 译码性能。仿真结果表明，在采用长度为 机 交 织 器 并 译 码 迭 代 18 次 情 况 下 ， 在 信 噪 比 Eb/N0>=0.7dB 并采用二元相移键控 (BPSK) 调制时， 码率为1/2的Turbo码在加性高斯白噪声信道上的误比 特率 (BER)<=10-5 ，达到了与 Shannon 极限仅相差 0 7dB的优异性能。 0.7dB 的优异性能 (1/2码率的Shannon极限是0dB)。
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第11章差错控制编码一、填空题1.在数字通信系统中，采用差错控制编码的目的是______。
[北科2010研]【答案】降低信道的误码率，提高可靠性2．平均每个编码器输出符号所携带的信息比特数称为______，简称______。
[北科2011研]【答案】编码效率；码率3．信道编码中，经信道传输后所接收的码元与发送码元之间的差异称为______。
[北科2011研]【答案】差错4．码组（01001）的码重为______，它与码组（10011）之间的码距是______。
[华中科技大学2002研]【答案】2；3【解析】在线性分组码中，通常把码组中所含“1”的数目定义为码组重量，称为汉明重量，简称码重。
把两个码组中对应位置上具有不同二进制码元的位数定义为码组距离，称为汉明距离，简称码距。
5．线性分组码（n ，k ），若要求它能纠正2个随机错误其最小码距为______。
若要求它能纠正2个随机错误且能检测到4个随机错误则其量小码距为______。
[华中科技大学2002研；北科2011研]【答案】5；7【解析】设码组间的最小码距为min d 。
①若要发现e 个独立随机错误，则min d 要满足min 1d e ≥+；②若要纠正t 个独立随机错误，则min d 要满足min 21d t ≥+，所以若纠正2个随机错误，则min 2215d =⨯+=；③若要发现e （e ＞t ）个同时又纠正t 个独立随机错误，则min d 要满足min 1d t e ≥++，所以若能纠正2个随机错误且能检测到4个随机错误，则min 2417d =++=。
6．循环码具有______及______性。
[北邮2006研]【答案】线性；循环性二、判断题模拟通信可以采用编码加密，从而实现保密通信。
（ ）[南邮2010研]【答案】错【解析】编码加密是对数字序列而言的，模拟信号无法进行编码加密。
三、选择题1．纠错码的编码效率越高引入的冗余越（），通常纠检错能力越（）。
差错控制编码基础课件
差错控制编码的重要性
在数据传输过程中，差错控制编 码可以有效地提高数据的可靠性
。
当数据传输距离较长或通信信道 质量较差时，差错控制编码可以
更好地保证数据的完整性。
通过纠正错误，差错控制编码可 以避免数据传输过程中的数据丢
失或损坏。
差错控制编码的分类
差错控制编码可以根据其实现原理分 为多种类型，例如奇偶校验码、海明 码、循环冗余校验码等。
提高存储设备性能
差错控制编码可以优化存储设备的 性能，从而提高存储和读取速度以 及降低错误率。
差错控制编码在其他领域中的应用
图像和音频处理
差错控制编码可以应用于图像和 音频处理领域，以保证图像和音
频数据的完整性和准确性。
网络安全
差错控制编码可以应用于网络安 全领域，通过纠正网络传输中的 错误，提高网络通信的安全性和
适用于不同通信协议
差错控制编码可以适用于各种通信协议，如TCP/IP、HTTP、FTP 等，为不同通信协议提供可靠的差错控制机制。
差错控制编码在数据存储中的应用
保证数据完整性
在数据存储中，差错控制编码能 够防止数据在存储和读取过程中 出现错误，确保数据的完整性和
一致性。
增强数据可靠性
差错控制编码可以通过增加冗余信 息来增强数据的可靠性，从而避免 数据损坏或丢失。
根据编码过程中是否需要发送额外的 校验码，差错控制编码可以分为简单 差错控制编码和复杂差错控制编码。
每种类型的差错控制编码都有其特定 的应用场景和优缺点。
简单差错控制编码只需要发送额外的 校验码，而复杂差错控制编码需要发 送更多的信息以便进行更复杂的错误 纠正。
02
线性分组码
线性分组码的定义
线性分组码的定义是指将消息符号序列按照一定的规律分成若干组，每组包含k 个信息符号，然后通过添加r个校验符号，使得整个码组长度为n=k+r，这样的 码组称为线性分组码。
第11章 差错控制编码要点
e
d0
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3 B 汉明距离
位错码，则其位置不会
超出以O点为圆心，以2
为半径的圆。
因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位 以下错码时，不可能变成另一个许用码组B，因而能 检测错码的位数等于2。 同理，若一种编码的
0 A 1 2
e
d0
3 B 汉明距离
最小码距为d0，则将能检测 (d0 - 1)个错码。
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信息位 晴 云 阴 00 01 10
监督位 0 1 1
雨
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0
（1）分组码的一般结构 分组码的符号：(n, k) n ——码组的总位数，又称为码组的长度（码长） k —— 码组中信息码元的数目 n－k =r ——码组中的监督码元数目，或称监督位数目
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（2）分组码的码重W 分组码中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 （3）分组码的码距d 把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距 离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如： 000——晴 011——云 101——阴 110——雨
（4）编码效率（简称码率） ：
信息码元数量（k）和总码元数量（n）之比：k/n 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高 传输可靠性，即有效性换取可靠性。
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11.2 纠错编码的基本原理
引例——理解检错与纠错 设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8 种不同的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可 以表示8种不同天气： 000——晴，001——云 010——阴，011——雨 100——雪，101——霜 110——雾，111——雹 其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将 变成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
纠错编码线性分组码演示文稿
第25页，共106页。
线性分组码生成矩阵
对线性分组码：码集C中任意一个码字C的第j个码元 c j都是信息元mk1, mk2 , m1, m0的线性组合，规则如下：
c j m g k 1 (k 1) j mk 2 g(k 2) j m1g1 j m0 g0 j 其中 gij {0,1}, i k 1, 1, 0 实际上 gij表示第i个信息元mi对第j个码元的影响。 写成矩阵形式：
第14页，共106页。
码字与矢量、矢量空间
为便于区分，码字Ci写作(ci0 , ci1, , ci(n1) )，将码字 的集合写作C，称为码集。码集C不一定能构成Vn的一个 子空间，线性分组码的码集C一定是Vn的一个子空间。
对于一般q进制(n, k)分组码，编码前有qk种信息组合， 属于q元域上k维k重矢量空间；编码后有qn种可能的码字 组合，属于q元域上n维n重矢量空间；通常qn qk
对于二元(n, k)分组码：Rc k / n
对于q元(n, k)分组码：Rc
ln M N
ln qk n
k ln q n
第19页，共106页。
例3-3 线性分组码生成矩阵
例3 - 3： (6,3)二进制线性分组码输入信息组是m (m2m1m0 ) 编码输出是C (c5c4c3c2c1c0 )；已知输入输出码元 之间的关系式是c5 m2; c4 m1; c3 m0; c2 m2 m1; c1 m2 m1 m0; c0 m2 m0;
由以上推导可知（续1）： 编码涉及 " 码集 " 和"映射 " 两个因素，而构成空间的 基底并非唯一的，所以不同的基底或生成矩阵可能 产生相同的码集；码集相同，映射方法不同时，仍 称为不同的编码，或称为等效编码。 由于子空间是k维的，因此生成矩阵的秩是k。
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3. 前向纠错（FEC）
不需要双向信道 不会引入停顿 靠纠错编码
11.1.2 差错控制编码的基本原理
如用三位二进制编码来代表八个字母
000 A 001 B 010 C 011 D
100 E 101 F 110 G 111 H
不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误
如用三位字母传四个字母
因此信息位最多可以取 6 3 － 1 1 ＝ 5 2 上 界
最小码距界限
通过吉尔伯特界求下界
d2
2r 2nr Cni
d5,n63
i0
r5, 信 息 位 63－ 15＝ 48下 界
48k52
线性码 k 越接近 52， 效率越高。
11.3 循环码 (Cyclic code)
dmin 2t 1
3) 为纠正 t 个错误，同时检查出 l 个错
误，要求最小码距为
dm inlt1 (lt)
11.1.3. 差错控制编码分类
按功能分
检错码 纠错码 纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除）
按信息码元和监督码元之间的校验关系分
线性码 非线性码
011
分组码 (4)
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵， 由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码 字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性 无关的，每行都是一个生成码组。
汉明码
r 汉明码监督位为 位，因此它可以组成 种2 r 可
按信息码元和监督码元之间的约束方式分
分组码 卷积码
香农理 纠错码的理论基础
香农定理
存在噪声干扰的信道，若信道容量为C，只要发送端以 低于C的速率R发送信息（R为输入道编码器的二进制码 元速率），则一定存在一种编码方式，使编码的错误 概率随着码长n的增加将按指数下降道任一的值，即
取等号时为完备码
不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和 dmin 有关，dmin 越大越好。
最小码距界限
上界： 汉明界， 普洛特金界 下界： 吉尔伯特界 问题： 给定码长与编码效率，寻找 dmin 例： dmin=5, 码长=63 的分组码设计
从汉明界得，2r2n k2C 6 i3(dm in5,纠 2个 错 误 ) i 0 2 n k 2 0 1 7 , r n k 1 1 最 小 监 督 位 数
0 0 1 1 0 1 0
生成矩阵和监督矩阵
这样构成的循环码并非是系统码
系统码的生成矩阵典型形式 GIk Q 非系统码 系统码
生成矩阵
1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 G(D) 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0
码重、码距
码重(weight)
一个码组中“1”的数目
码距(distance)
两个码组之间对应位置上1、0不同的位数， 又叫汉明(Hamming)距。
10 1 1 0 码重：3
01 1 0 0
2 距离：3
检错、纠错能力
1) 为检查出 l 个错误，要求最小码距为
dmin l 1
2) 为纠正 t 个错误，要求最小码距为
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
1 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 1
Q P T ，通过生成矩阵可以得到生成码组。
如果输入码组为 0011
1000
A 0011 G 0011 0 01 01 00 0
0001
111
1 11 01 0 0011110
000 A
011 B
101 C
110 D
发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接 收端就能知道出错，但是不能纠错。
差错控制编码
如用三位字母传二个字母
000
A 111 B
检三个错误，纠正一个错误。
结论 具有检错或纠错的码组，其所用的比特 数必须大于信息码组原来的比特数 －>引入余度。
g(D )D 4D 3D 21
如果信息位为 010， M(D)=D
A ( D ) M ( D )g ( D ) D 5 D 4 D 3 D
生成码为 0111010
生成矩阵 G(D)
由于 k 位信息位共有 2 k 个码组，都可用此法产生，
如果现有信息码
M ( D ) D k 1
Hrr 1 1 0 1 0 1 0Prk,Irr
1 0 1 1 0 0 1
H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。 而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形 式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的 监督关系。
分组码 (3)
生成矩阵
1 0 0 0
GIk ,Q 00
i 左移 位 A(an2 a 1a0an 1)
A ( i ) ( D ) ( a n 1 i D n 1 a n 2 i D n 2 a n 1 i D a n i )
循环码性质
A ( D )为许用码组，则 Ai(D)DiA(D)也是许用码组 性质
11.1.1 差错控制分类
1. 反馈检验法
需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。 引入较大的停顿（不实时）。 可以纠正任何错误。
Ik
分组
存储
发
收
Iˆk
收
发
2. 检错重发法（ARQ）
自动请求重发 也需要反向信道，但容量可以降低，
也会引入停顿
Ik
检错 编码
存储
发
收
Iˆk
收
发
检错 译码
a6 a6
a5 a5
a4 a3
a2 a1
0 0
a6 a4 a3 a0 0
1110100
0
1101010 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0T 0
1011001
0
分组码 (2)
监督矩阵
1 1 1 0 1 0 0
能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位
共 2r 1
要纠正一个错误，必须满足
2 r 1 n , 即 2 r k r 1
最小码距 d min 3
如果 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图 样一一对应，这种码组称为完备码（取等号时）
扩展汉明码
如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字 进行校验的监督位
信息多项式为M(D),k 位，(k-1)次多项式
M (D ) m k 1 D k 1 m 1 D m 0
循环码生成多项式g(D)
Theo.一个(n,k) 的二进制循环码可以看成是唯一 由它的生成多项式产生，即
A (D )M (d)g(D )
如(7,3)循环码，n=7, k=3, r=4
最小码距为 dmin=2
这种码检错能力不高，采用什么方法提高呢？
水平奇偶监督码和水平垂直监督码
又叫 二维奇偶监督码 水平奇偶监督码
检码字按行排成方阵，每行采用奇偶监督码， 发送时按列的顺序传送，接收时仍将码字排列 成发送时方阵形式，然后按行尽心奇偶校验。
在不增加冗余度时，不仅发现某一行上奇数个 错误，而且也能发现不大于方阵行数的突发错 误。
1957 年发现 特点
线性分组码
循环性——任一许用码字经过循环移位后，得 到的码组仍为一个许用码组
如 (a6a5a4a3a2a1a0) 是循环码的一许用码组
则
(a0a6a5a4a3a2a1)
也是一许用码组
码多项式表示
码组
A (a n 1 ia n 2 i a n 1 ia n i)
非线性码 － 不存在线性关系
奇偶监督码
an1 an2 a2 a1 a0
信息位
监督位
偶监督
a n 1 a n 2 a 1 a 0 0
奇监督
a n 1 a n 2 a 1 a 0 1
如果以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查 出奇数个错误，但不能检测偶数个错误。
结论
PeБайду номын сангаасE[R]
如码长及发送信息速率一定，可以通过增大信 道容量，使P减小。
如在信道容量及发送信息速率一定，可以通过 增加码长，使错误概率下降。
分组码
表示： (n,k)
n : 帧长
k/n : 编码效率
特点
监督码只用来监督本帧中的信息位
分类
线性码 － 信息码与监督码之间为线性关系
g(D )D 4D 3D 21
D 2(D 4D 3D 21) D 6D 5D 4D 2 G (D )D(D 4D 3D 21)D 5D 4D 3D
1(D 4D 3D 21) D 4D 3D 21
1 1 1 0 1 0 0 G(D) 0 1 1 1 0 1 0
M (D ) D k2
M (D ) D 0 1
生成 k 个码字，且这 k 个码字都线性无关，用这 k 个码字作为一个矩阵G 的 k行
构成生成矩阵 G(D)
D k 1 g ( D )
G (D )
D
k
2
g
(
D
)
1 g(D )
循环码
(7,3) 循环码
(n,k) －> (n-s, k-s) 如 (15,11)－> (12,8)
监督矩阵 Hs 是将原 H 的前 3 列 去掉 缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码