27.2.2相似三角形的应用(2)
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人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质说课稿
3.在解决实际问题时，学生可能难以将相似三角形的知识与问题情境有效结合。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，引入与相似三角形相关的实际问题，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性；
2.设计具有挑战性的探究活动，引导学生通过自主探究、合作交流发现相似三角形的性质；
在总结反馈阶段，我将采取以下方式引导学生自我评价并提供有效的反馈和建议：
1.自我评价：让学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的定义、判定方法和性质，评估自己的学习效果；
2.互相评价：组织学生相互评价，鼓励他们提出建议和意见，促进学生之间的交流；
3.教师反馈：针对学生的表现，给予肯定和鼓励，对存在的问题进行指导，提供改进的建议。
板书在教学过程中的作用是帮助学生梳理知识结构，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心设计板书内容，确保逻辑性和条理性；
2.在课堂中适时更新板书，突出重难点；
3.使用不同颜色粉笔，区分关键信息和辅助信息，提高视觉效果。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
3.利用多媒体教学资源，如动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
4.适时给予学生鼓励和肯定，增强他们的自信心，培养良好的学习氛围；
5.组织课堂讨论和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养团队协作能力。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、探究式教学和情境教学。选择这些方法的理论依据如下：
2.多媒体资源：课件、动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，引入与相似三角形相关的实际问题，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性；
2.设计具有挑战性的探究活动，引导学生通过自主探究、合作交流发现相似三角形的性质；
在总结反馈阶段，我将采取以下方式引导学生自我评价并提供有效的反馈和建议：
1.自我评价：让学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的定义、判定方法和性质，评估自己的学习效果；
2.互相评价：组织学生相互评价，鼓励他们提出建议和意见，促进学生之间的交流；
3.教师反馈：针对学生的表现，给予肯定和鼓励，对存在的问题进行指导，提供改进的建议。
板书在教学过程中的作用是帮助学生梳理知识结构，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心设计板书内容，确保逻辑性和条理性；
2.在课堂中适时更新板书，突出重难点；
3.使用不同颜色粉笔，区分关键信息和辅助信息，提高视觉效果。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
3.利用多媒体教学资源，如动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
4.适时给予学生鼓励和肯定，增强他们的自信心，培养良好的学习氛围；
5.组织课堂讨论和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养团队协作能力。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、探究式教学和情境教学。选择这些方法的理论依据如下：
2.多媒体资源：课件、动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
27.2.2相似三角形的应用精品
，要求它的 厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉 卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若 OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
（分析：如图，要想求厚 度x，根据条件可知，首先 得求出内孔直径AB。而在 图中可构造出相似形，通 过相似形的性质，从而求 出AB的长度。）
S
A' B' C'
h O
A B C
6.如图：小明想测量一颗大树AB的高度， 发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地 面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成 30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米， 那么树的高度是多少？
A
D
B
C
10.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他 走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到 路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时， 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是 D C 多少？
A F
D
4m
H 20m
E
C
B
1m 1.8m
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的 中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证： AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3， 求BC的长。
证明(1) 四边形ABCD是矩形,MAE NCE, AME CNE, 又E为AC的中点,即AE EC , AME CNE; AM CN .
(2)解 : CEN 90 , ACB NCE , Rt ABC NEC , EN CE 2 9 , 又EC 3, BC . AB BC 3 2
（分析：如图，要想求厚 度x，根据条件可知，首先 得求出内孔直径AB。而在 图中可构造出相似形，通 过相似形的性质，从而求 出AB的长度。）
S
A' B' C'
h O
A B C
6.如图：小明想测量一颗大树AB的高度， 发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地 面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成 30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米， 那么树的高度是多少？
A
D
B
C
10.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他 走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到 路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时， 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是 D C 多少？
A F
D
4m
H 20m
E
C
B
1m 1.8m
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的 中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证： AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3， 求BC的长。
证明(1) 四边形ABCD是矩形,MAE NCE, AME CNE, 又E为AC的中点,即AE EC , AME CNE; AM CN .
(2)解 : CEN 90 , ACB NCE , Rt ABC NEC , EN CE 2 9 , 又EC 3, BC . AB BC 3 2
相似三角形的运用
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
27.2.2相似三角形的应用2
1. 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么? 2. 谈一谈你对这堂课的感受?
3. 你还想解决什么问题吗?
3.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD， ∠B=90°， MN∥AB，AB=6，BC=4，CD=3，设DM=x. (1)设MN=y，用x的代数式表示y. (2)设梯形MNCD的面积为S，用x 的代数式表示S. (3)若梯形MNCD的面积S等于梯 形ABCD的面积的1/3，求DM. 【解析】(1)过D作DE⊥AB于E点交MN于F， MN=MF+FN=MF+3，在Rt△DAE中,AD= 由MN∥AB
(3)如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求出大运河的大致 宽度AB。 A 解：∵∠ADB=∠EDC， ∠ABC=∠ECD=90° ∴ΔABD∽ΔECD AB BD ∴ , C B D EC CD BD EC 120 50 E
解得，AB CD 60 100(m).
FG=8米
A E G F B
C
H D
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 2 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻 物高与影长的比例”的原理解决
二、测高的方法
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解 解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使 AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=30m，DC=30m，DE=40m,那么你能算 出池塘的宽AB吗?
因为 ∠ACB＝∠DCE , A D E B ∠CAB＝∠CDE=90°, 所以 △ABC∽△DEC ， AB AC 那么 DE DC
27.2.2相似三角形的性质课件
第9页/共20页
练习
1、两个相似三角形对应高的长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为____cm，面积为____cm2。
2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
14
第10页/共20页
同理可证：相似三角形对应边上的中线，对应角平分线的比也等于K。结论: 相似三角形对应高的比，对应边上的中线，对应角平分线的比等于______。
相似比
第2页/共20页
知识点二：相似三角形的周长比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，探究下列问题: △ABC与△A′B′C′的对应边有什么 关系？
相似比
相似比的平方
第12页/共20页
强化训练
1、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于____，面积比等于____。
2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为_______，周长的比为________。
第13页/共20页
强化训练
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
知识点一：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高，（1）相似三角形的对应高的比与相似比有什么关系? 写出推导过程。
相等
第1页/共20页
证明:(1)∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠ B′ 又∵AD⊥BC A′D′⊥B′C′ ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴
练习
1、两个相似三角形对应高的长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为____cm，面积为____cm2。
2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
14
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同理可证：相似三角形对应边上的中线，对应角平分线的比也等于K。结论: 相似三角形对应高的比，对应边上的中线，对应角平分线的比等于______。
相似比
第2页/共20页
知识点二：相似三角形的周长比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，探究下列问题: △ABC与△A′B′C′的对应边有什么 关系？
相似比
相似比的平方
第12页/共20页
强化训练
1、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于____，面积比等于____。
2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为_______，周长的比为________。
第13页/共20页
强化训练
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
知识点一：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高，（1）相似三角形的对应高的比与相似比有什么关系? 写出推导过程。
相等
第1页/共20页
证明:(1)∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠ B′ 又∵AD⊥BC A′D′⊥B′C′ ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴
人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形应用举例》优质公开课课件
27.2.2相似三角形的应用（2） 走进生活! 探索自然!
例1 已知左、右并排的两棵
大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部相距 BD=5m.一个身高1.6m的 人沿着正对这两棵树的一 F 条水平直路m从左向右前进， E 当他与左边较低的树的距 离小于多少时，就不能看 到右边较高的树的顶端点C?
A
A
A
P
P
Q
Q P
Q
C
BC
BC
B
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/32022/5/3May 3, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
C A
BDm
C A
F H
K
G
EB D m
李巍同学在回家的 路上发现了如图两根电线
杆AB、CD，分别在高10m的A处和15m的C处有 两根钢索将两杆固定,求钢索AD与钢索BC的交点 M离地面的高度MH.
C AM
E
BH D
F
例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同 时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动， 设P、Q两点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积 为S平方米。
老师的小结：
1、“数学建模”解决实际问 题： 构造相似三角形解决实际生活中求线段长问题 2、“数学思想”解决综合题
“方程思想” “分类讨论思想”
例1 已知左、右并排的两棵
大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部相距 BD=5m.一个身高1.6m的 人沿着正对这两棵树的一 F 条水平直路m从左向右前进， E 当他与左边较低的树的距 离小于多少时，就不能看 到右边较高的树的顶端点C?
A
A
A
P
P
Q
Q P
Q
C
BC
BC
B
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/32022/5/3May 3, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
C A
BDm
C A
F H
K
G
EB D m
李巍同学在回家的 路上发现了如图两根电线
杆AB、CD，分别在高10m的A处和15m的C处有 两根钢索将两杆固定,求钢索AD与钢索BC的交点 M离地面的高度MH.
C AM
E
BH D
F
例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同 时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动， 设P、Q两点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积 为S平方米。
老师的小结：
1、“数学建模”解决实际问 题： 构造相似三角形解决实际生活中求线段长问题 2、“数学思想”解决综合题
“方程思想” “分类讨论思想”
27.2.2 相似三角形的应用举例(2)
CD=12 m，两树根部的距离BD=5 m.一个身高1．6 m的
人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当 他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较 高的树的顶端点C？
三、提出问题
你能设计方案，利用相似三角形的知识测量 旗杆的高度吗？ 方法一：利用阳光下的影子
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处, 测出该同学的影长和此时旗杆的影长． 点拨：把太阳的光线看成是平行的.
四、运用提高
如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m， 求河宽AB.
100 m.
五、课堂小结
谈谈你在本节课的收获.
六、布置作业
1.必做题：
教材第55,56页习题27.2第10、11题. 2.选做题： 教材第56页习题27.2第16题.
3.备选题：
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该
∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB， ∴∠AEB＝∠CBD. ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD. ∴
AB BE CD BD
.即CD=
AB BD . BE
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再 知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
方法二：利用镜子的反射
单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为
警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.
∴∠B＝∠D＝90°.
AB BE ∴ . CD DE
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的 距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的 高度．
方法三：利用标杆测量旗杆的高度
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间 的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自 己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直 线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的 距离即可求出旗杆的高度. 点拨：人、标杆和旗杆都垂直于地面．
27.2.2 相似三角形的性质
B
CE
F
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 1 ×6 = 3， 2
面积为
1 2
2
12
5 3
5.
A
D
B
CE
F
练一练
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较 大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上 的高为___1_4__.
相似比 2 周长比 2 面积比 4
1 3 100
k ……
1 3 100 k ……
1 10000 k2 ……
9
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的___2_5__倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的__1_0___倍.
小数)？
A
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
EF D
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
H
B
C
∴ DF AF ，即 0.6 2， CH AH CH 3
解得 CH = 0.9米.
A
A'
B
C
B'
C'
由前面的结论，我们有
S△ABC
1 BC AD 2
BC
AD k k k 2.
S△A'B'C' 1 B 'C ' A' D ' B 'C ' A' D '
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第27.2.2节《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过具体的例题和练习，引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的概念，并对相似三角形的性质有一定的了解。
但在实际运用中，对相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对相似三角形性质的理解，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。
2.学生在实际问题中，如何运用相似三角形的性质解决问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现相似三角形的性质。
2.使用案例分析法，让学生在具体的问题中，运用相似三角形的性质解决问题。
3.运用启发式教学法，引导学生主动探究，培养学生的创新精神和合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题和课后作业。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的概念和性质。
例如：在平面直角坐标系中，已知两个三角形的三个顶点坐标，如何判断这两个三角形是否相似？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生观察、分析，发现相似三角形的性质。
通过小组讨论，让学生总结出相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用相似三角形的性质解决问题。
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
27.2.2_相似三角形的性质
练习：
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，
面积之比为 4：9 。
（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的
高线之比 3：2 。
(3) 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、 BD，且AE、BD交于点F.S△DEF：S△ABF =4：25， 则DE：EC=__________ 2:3
相似三角形的周长与面积
（1）相似三角形有哪些判定方法？
平行法，(SSS)，(SAS)，(AA) (HL)
（2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 对应角相等 根据定义 对应边成比例 （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为 k, 则ΔA/B/C/
从而 l ABC
lA`B `C `
AB BC CA kA`B`kB`C `kC`A` k A`B` B`C `C `A` A`B` B`C `C `A`
1.相似三角形周长的比等于相似比。
三角形中，除了角和边外，还有哪三种主要线段：
高线，角平分线， 中线
高线
角平分线
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是 48，求ΔDEF的周长和面积。 解：
∵
AB=2DE，AC=2DF
E
D
DE 1 DF 1 , AB 2 AC 2 DE DF 1 Байду номын сангаас AB AC 2 又∠A=∠D 1 ∴△DEF∽ △ABC，相似比为
A
D
27.2.2相似三角形的性质教案
4.培养学生创新意识和应用意识，将相似三角形的性质应用于现实生活中的问题，激发对数学学科的兴趣和认识。
三、教学难点与重点
《27.2.2相似三角形的性质教案》
1.教学重点
-核心内容：相似三角形的性质及其应用。
-重点讲解：
a.相似三角形的定义，即三角形的对应角相等，对应边成比例。
b.相似三角形的判定方法，特别是AA、SSS、SAS准则。
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析相似三角形在建筑图纸中的应用，了解它如何帮助我们计算实际尺寸。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法和性质应用这两个重点。对于难点部分，如相似三角形周长比和面积比的关系，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
27.2.2相似三角形的性质教案
一、教学内容
《27.2.2相似三角形的性质教案》
本节课我们将深入探讨相似三角形的性质。根据教材第七章第二节的内容，主要涵盖以下方面：
1.相似三角形的定义及判定方法。
2.相似三角形的对应角相等，对应边成比例的性质。
3.相似三角形周长比、面积比的关系。
4.运用相似三角形性质解决实际问题。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、判定方法和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对相似三角形性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的相似三角形性质的教学中，我发现学生们对于相似三角形的定义和判定方法掌握得还不错，但是在将性质应用到实际问题中时，遇到了一些困难。这让我意识到，在接下来的教学中，我需要更加注重培养学生将理论知识转化为实际应用的能力。
三、教学难点与重点
《27.2.2相似三角形的性质教案》
1.教学重点
-核心内容：相似三角形的性质及其应用。
-重点讲解：
a.相似三角形的定义，即三角形的对应角相等，对应边成比例。
b.相似三角形的判定方法，特别是AA、SSS、SAS准则。
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析相似三角形在建筑图纸中的应用，了解它如何帮助我们计算实际尺寸。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法和性质应用这两个重点。对于难点部分，如相似三角形周长比和面积比的关系，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
27.2.2相似三角形的性质教案
一、教学内容
《27.2.2相似三角形的性质教案》
本节课我们将深入探讨相似三角形的性质。根据教材第七章第二节的内容，主要涵盖以下方面：
1.相似三角形的定义及判定方法。
2.相似三角形的对应角相等，对应边成比例的性质。
3.相似三角形周长比、面积比的关系。
4.运用相似三角形性质解决实际问题。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、判定方法和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对相似三角形性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的相似三角形性质的教学中，我发现学生们对于相似三角形的定义和判定方法掌握得还不错，但是在将性质应用到实际问题中时，遇到了一些困难。这让我意识到，在接下来的教学中，我需要更加注重培养学生将理论知识转化为实际应用的能力。
27.2.2相似三角形应用举例(二)
审核：初三数学组
初三数学导学提纲
第 3 页 (共 2 页)初三数学导学提纲第 4 页 (共 2 页)
(二)深入学习 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m， 但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部 分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地面部分的影长 2.7m，他求得的树高是多少？
课海拾 贝/ 反思纠 错
(三)迁移运用 1.如图：小明想测量一颗大树 AB 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 CB 上，测得 CD=4m,BC=10m，CD 与地面成 30 度角，且测得 1 米竹杆 的影子长为 2 米，那么树的高度是多少？
A B D
当堂检测
1.（路灯距地面高度为 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部（点 O）20 米 的点 A 处，沿 AO 所在的直线行走 14 米到点 B 时， 人影的长度变化是___ AM、BN 分别表示人影长） __（填“增大”或“减小”）__ _____米． （线段
第 1 题 2. 如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB=1.125m，蹲下来，则身影 分析： （见教材 P49 页） 解： 注意 ：认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的 场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给 出， 先经历这一抽象的过程． 如果你们对于如何用数学语言表述有一定的困难， 应与老师一起认真板书解答过程．
（第 8 初三数学导学提纲 第 1 页 (共 2 页) 初三数学导学提纲 第 2 页 (共 2 页) 题）
AC=0.5m，已知小明的身高 AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯 离地面的高度 PH.
27.2.2相似三角形应用举例(2)
教学过程设计
生活中还有哪些类似的例子？
上一节课我们学会了用相似三角形的知识去测量金字塔的高度和河流
的宽度，这节课我们继续用相似三角形这一数学模型解决实际生活类似于
上面中的问题。
的位置称为视点；
FD称为视线；
仰角：在进行测量时，从下向上看，视线FD与水平线FH的夹角
俯角：在进行测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角；
盲区：观察者看不到的区域称为盲区．
，根据对应边成比例可求得FH=8。
当他与左边的树的距离小于8m的时候，由于这
31
DE
ADF ，
DE=40m.
）之间竖立着一块35m长且平行于公
．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的
60km/h匀速行驶的汽车经过
，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路
某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一
米，因大树靠近一栋建筑物，大树的
影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高
板书设计
相似三角形应用举例（盲区问题）
32。
27.2.2.2相似三角形应用举例(2)
(2)当x=0.5时,y最大值=2.
因此
A
P Q E N C
80–x
80
=
x
D M
120
，得 x=48（毫米）。答：-------。
如图、在正△ABC中，边长为 2cm，P为AB上一 点，作矩形PMNQ内接于△ABC，又Q在AC上，P 在AB上，M、N在BC上，高AD分别交PQ 、 BC于 E 、 D，设PM=x， 矩形PMNQ的面积为y。 ①求出y与x之间的函数关系式？试确 定x的取值范围。 ②当PM为多少时，矩形的面积有 最大值？并求之。
(1)设线段BP为xcm,线段CQ为ycm,求y关于x 的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)求当BP=CQ时,S△BQC与S△PAB的面积的比. (3)当P在什么位置时,BP+CQ=13cm,并求此时
Q到BC的距离.
A Q
P
D
B
O
C
例3.如图, △ABC中,BC=4, ∠B=450,AB=3 ,M,N分别为AB,AC上的 点,MN∥BC,并设MN=x, △MNC的面积为s, (1)求出s与x间的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)是否存在平行线段MN,使△MNC的面积 等于2.若存在求出MN的长;若不存在,请说 明理由.
A M E
N
B
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
挑战自我
３.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。设 正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC AE PN = 所以 B AD BC
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A
B
D C
E
2如图测出AD=35m， DC=35m，DE=30m, 那么你能算 A 出池塘的 宽AB吗? D E
C
B
已知左、右两棵并排的大树的高分 别是AB=8m 和CD=12m,两树的根部的 距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路从左向 右前进,当他与走边较低的树的距离 小于多少时,就不能看到右边较高的 C 树的顶端C?
0.5m 1m O A
┛
已知零件的外径为25cm，要求它 的厚度x，需先求出它的内孔直径 AB，现用一个交叉 卡钳（AC和BD的长 相等）去量 若OA:OC=OB:OD=3， CD=7cm。 求此零件的厚度x。
1. 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么? 2. 谈一谈你对这堂课的感受?
3. 你还想解决什么问题吗?
A
E
G
F
H
B
D
皮皮欲测楼房高度，他借助 一长5m的标竿，当楼房顶部、 标竿顶端与他的眼睛在一条直 线 上时，其他人测出皮皮与 标杆距离AB=4cm,与楼房距离 AC=12m。已知皮皮眼睛离地面 1.6m.请你帮他算出楼房的高 度。
给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德
B C 16m
┏
？
D
你还有其他的方法吗？
我们可以在对岸选定一个目标 作为点A，再在运河的这一边选 点B、C，使AB⊥BC，然后再选 点E，使EC⊥BC，用视线确定BC 和AE的交点为D。(1) 如何画图？ (2)要估算运河的宽度，你认为 要测量哪些可以测量的线段？
(3)如果测得BD=120m， DC=60m，EC=50m，求出大 运河的大致宽度AB。
相似三角形的应用(二)
例1为了估算河的宽度,我们可 以在河对岸选定一个目标点P, 在近岸取点Q和S,使点P、Q、S 共线且直线PS与河垂直，接着 在过点S且与PS垂直的直线a上 选择适当的点T,确定PT与过点Q 且垂直PS的直线b的交点R.如果 测得QS=45m,ST=90m,QR=60m, 求河的宽度PQ.
2、如图：A、B两点位于一个 池塘的两端，现想用皮尺测 量A、B间的距离，但不能直 A 接测量
C
BEBiblioteka D（2）如果在点C后面有一条 河，那么利用全等测量A、B 间的距离还可行吗？ A 如果不可行， 你会有怎样 C 的测量方法？ D E
B
（3）如果点C在河岸上，大家 知道如何测量A、B间的距离吗？ 测量工具只能用皮尺.