4、高一数学单元测试题平面向量_人教版
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
高一数学必修4第五章平面向量自我检测题
高一数学第五章平面向量自我检测题1.与向量a → =(-5,12)方向相反的单位向量的坐标是( )A （5，-12）B （- 513，1213）C （12，- 32）D （513，-1213） 2.已知□ABCD 中，AD → =（3，7）,AB → =(-2,3),对角线AC,BD 交于点O,则CO → 的坐标为( ) A (-12 ,5) B (12,5) C (-12,-5) D (12,-5) 3.已知OA → =a → ,OB → =b → ,C 为AB 上距A 较近的一个三等分点,D 为CB → 上距C 较近的一个三等分点,用a → ，b → 表示的表达式是( ) A 4a →+5b →9 B 9a →+7b →16 C 2a →+b →3 D 3a →+b →44.已知三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4)且AP → =λPB → ,则λ的值为( ) A 3 B 2 C 12 D 135.已知a → =(cos α,sin α),b → =(cos β,sin β)那么( )A a → ⊥b →B a → ∥b → C(a → +b → )⊥(a → -b → ) D a → 与b → 的夹角为α+β6.将函数y=sin(x- π3)-2的图象经过按平移,得到y=sinx 的图象,则=( ) A (-π3,2) B (π3,2) C (-π3,-2) D (π3,-2) 7.已知|a → |=1,| b → |=2, a → 与b → 的夹角为60°,设c → =3a → +b → ,d → =λa → -b → ,若c → ⊥d → ,则实数λ的值为( ) A 72 B - 72 C 74 D – 748.△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两解的是A b=10,A=45°,C=70°B a=60,b=48,B=60°C a=7,b=5,A=80°D a=14,b=16,A=45°9.若A,B,C 是平面上任意三点,则( ) A ·=(+-) B ·=(+) C ·=||·|| D ·=- 10.设∠A 是△ABC 中的最小角,且cosA=a-1a+1,则实数a 的取值范围是( ) A a≥3 B a>-1 C -1<a≤3. D a>011.已知平面上四点A,B,C,D,那么"AB → +BC → +CD → +DA → =0→ "是A,B,C,D 构成四边形的 条件.12.已知三个向量OA → =(K,12), OB → =(4,5), OC → =(10,K)若A,B,C 三点共线,则实数K= .13.△ABC 中,A(-1,1),B(3,1),C(2,5),∠A 的内角平分线交对边于D,则向量AD → 的坐标等于 .14.在△ABC 中,若3b=2 3 asinB,3c=2 3 bsinc,则△ABC 一定是 三角形.15.如果△ABC 的三边a,b,c 满足b 2+c 2=5a 2,BE,CF 分别为AC 边与AB 边上的中线,用平面向量的方法,求证:BE⊥CF.16.已知点O 是ABC 内的一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,该OA → =a → ,OB → =b → ,OC → =c → ,且|a → |=2,| b →|=1,| c → |=3,试用和表示.17.已知点P(-2,2),Q(2,-1),R(5,3).(1)求以P,Q,R 为顶点的平行四边形的另一顶点S 的坐标.(2)若PM⊥RQ 于M,求M 点的坐标.18.已知a → ,b → 是两个非零向量,当a → +t b → (t∈R)的模取最小值时,(1)求t 的值,(2)求证b → ⊥(a → +t b → )参考答案:一.1-5 DCABC 6-10 ACDAA二.11.必要不充分12.-2或11 13.(,) 14.等边三角形三.15.=(+),=(+),证明·=0,16.以点O为原点,为X轴的非负半轴建立坐标系.∴B(-,),C(-,-),又A(2,0),∴=(2,0),=(-,)=(-,-),设=λ1+λ2,求得=-3-3.17.(1)(1,6)或(9,0)或(-5,-2).(2)M(2,-1),与Q重合.18.(1)|+t|2=(+t)2=||2+2·t+t2||2=||2(t+)2+||2-当t=-时,| +t|最小.。
高一数学《平面向量》单元测试
高一数学《平面向量》单元测试姓名: 班级:一、 选择题(共8小题,每题5分)1. 下列命题正确的是 （ ）A ．单位向量都相等B ． 任一向量与它的相反向量不相等C ．平行向量不一定是共线向量D ．模为0的向量与任意向量共线2．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于（ ）A ．34B ．34-C ．43D ．43- 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ）A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥bB ．四边形ABCD 是菱形的充要条件是=，且||=||C ．点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0D ．△ABC 中，AB 和的夹角等于180°－A4．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ）A ．-9B ．-6C ．9D ．6 5．若||1,||2,a b c a b ===+ ，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的什么条件（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．若将函数x y 2sin =的图象按向量平移后得到函数)42sin(π-=x y -1的图象,则向量可以是： （ ）A ． )1,8(-πB ． )1,8(π-C ． )1,4(πD ．)1,4(--π 8．在△ABC 中，已知S ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2二、 填空题(共4小题,每题5分)9．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ．10．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则a = .11．设21e e 是两个单位向量，它们的夹角是60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e12．在∆ABC 中，a =5，b=3,C=0120,则=A sin 三、 解答题(共40分)13．设21,e e 是两个垂直的单位向量，且2121,)2(e e e e λ-=+-=(1)若a ∥b ，求λ的值； (2)若⊥，求λ的值.（12分）14．设函数x f ⋅=)(，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R. （1）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （2）若函数y =2sin2x 的图象按向量=(m ，n) (|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值. （14分）15. 已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cosC C m =，)2sin ,2(cos C C n -=，且n m 与的夹角为.3π （1）求角C 的值； （2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值. （14分）。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.已知是单位向量，它们之间夹角是45º，则方向上的投影_________。
【答案】【解析】∵之间夹角是45º，∴方向上的投影为。
【考点】投影的概念。
点评：投影的计算方法2. .若且向量垂直，则一定有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵⊥，∴∴【考点】垂直向量的数量积、点评：有关两向量垂直问题通常用⊥解决。
3.下列四式不能化简为的是（）A．（+）+B．（+）+（+）C．+D．+【答案】C【解析】A：（+）+B：（+）+（+）=+++=C：+=+D：+=所以选C。
【考点】平面向量的加减运算点评：此类问题，结合平面向量的三角形法则考虑。
4.在平行四边形ABCD中，++等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，+=+=∴++=【考点】平面向量的三角形和平行四边形加法法则点评：对于平面向量几何形式下的的加减运算，一般借助于图形分析。
5.已知=，=，且||=||=4，∠AOB=600，则|+|= ，||= ；+与的夹角是；与的夹角是；△AOB的面积是。
【答案】、4、、、【解析】如图，根据平行四边形法则|+|=∵||=||=4∠AOB=600∴四边形OABC为菱形且∠AOC=300,∴在Rt△AOP中OP=2，∴=；根据减法三角形法则，=，在△AOB中，由题意得OA=OB=BA=4；所以|=4；+与的夹角是∠AOC，∠AOC=300中；与的夹角是∠AOB，∠AOB=600；△AOB是边长为4的等边三角形，△AOB的面积是。
【考点】平面向量的加减运算及夹角。
点评：解决此类问题，一般先画出图形，然后结合平面向量的几何运算法则进行解答。
6.化简（1）；（2）（－）－（－）。
【答案】（1），（2）。
【解析】（1）（2）（－）－（－）=－+=【考点】平面向量的化简点评：此类问题要结合平面向量的加减法运算的平行四边形和三角形法则来化简。
7.如图，D、E在线段BC上，且BD=EC，求证：【答案】可先证【解析】，∵,又∵BD=EC∴∴∴【考点】平面向量的加减运算法则点评：解决本题的关键是把转化为来证。
高一数学平面向量的概念试题答案及解析
高一数学平面向量的概念试题答案及解析1.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】根据题意由于向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，那么可知向量表示向东南航行km ，故选A.【考点】向量的物理意义点评：主要是考查了向量的物理意义的运用，属于基础题。
2.在平行四边形ABCD中, + +等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图形，+ += + += ，故选A。
【考点】本题主要考查平面向量的线性运算。
点评：简单题，在平行四边形中，由平行四边形法则。
注意相等向量及相反向量。
3.已知点，向量，且，则点的坐标为。
【答案】【解析】设点的坐标为（x,y）,则由得，（x-2,y-4）=2(3,4),所以x-2=6,y-4=8，所以x=8,y=12，即点的坐标为。
【考点】本题主要考查平面向量的概念及其坐标运算。
点评：简单题，注意若A（a,b）,B(c,d),则。
4.作用于原点的两个力F1 ="(1,1)" ,F2 ="(2,3)" ,为使得它们平衡，需加力F3=【答案】(-3,-4)【解析】F3=-(F1+F2)=-(3,4)=(-3,-4).5.下列判断正确的是 ( )A．若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；B．单位向量都相等；C．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D．模为0的向量的方向是不确定的。
【答案】D【解析】解：因为A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成四边形。
B.单位向量都相等；方向不一样。
C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。
D.模为0的向量的方向是不确定的，成立6.下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B．模相等的两个平行向量是相等向量.C．若和都是单位向量,则.D．两个相等向量的模相等.【答案】D【解析】根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．解：对于（1），相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；对于（2）模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；对于（3），都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；对于（4），相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．故选C7.给出下列命题：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝，＝，其中＝(3,1)，＝(1,3)．若＝λ＋μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()【答案】A【解析】，所以点在直线的上方，由0≤λ≤μ≤1可知A项成立【考点】向量运算及数形结合点评：求解本题首先由向量运算找到C点坐标，根据参数范围找到坐标的特点，从而确定C点的位置，求解过程中结合特殊点，如可排除部分选项2.在梯形中，与相交于点.若则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取中点E，为平行四边形；所以故选B3.若，则的值为 _．【答案】【解析】，所以【考点】1．向量模的坐标计算；2．向量的坐标运算．4.已知，它们的夹角为，那么．【答案】【解析】，所以【考点】向量的模5.下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为A，C，D选项中的两个向量均存在实数使得，所以两向量均共线，故不可作为基底．因为B选项中的两个向量不存在实数使得，所以两向量不共线，所以可以作为一组基底．故B正确．【考点】平面向量中基底的定义．6.在平面直角坐标系上，第二象限角的终边与单位圆交于点．（1）求的值；（2）若向量与夹角为，且，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）直线的斜率为【解析】（1）由单位圆及三角函数的概念得==，=，所以（2）设点B的坐标，由向量的数量积及模长公式得即，又因为，所以或，从而得到点B的坐标，再由斜率公式或方向向量求出直线的斜率为．试题解析：（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以，解得=，又因为角是第二象限角，所以=，所以=，=， 2分所以； 6分（2）由（1）知，，设点坐标为，则=，因为，所以， 8分又因为与夹角为，所以，即， 10分联立解得或，所以点坐标为（,）或（，）， 12分所以或，所以直线的斜率为． 14分【考点】①任意角的三角函数的概念②向量的数量积及模长 直线的斜率7.已知，若，则＝．【答案】【解析】向量垂直等价于其数量积为0，【考点】向量垂直与数量积的坐标运算8.在中，若点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，，故选择A【考点】平面向量基本定理9.下列向量与共线的是A．B．C．D．【答案】C【解析】共线向量的坐标之间一定是整数倍关系，据此可以确定答案为选项C。
必修4 平面向量 测试卷
贵州省XX 中学2012～2013学年度第二学期单元测试卷高一数学150分，考试时间120分钟. .4——平面向量.第Ⅰ卷（选择题）12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．8 a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A. 5B.10 C ．5 D ．25已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12 (5,6)=-a ，(6,5)=b ，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 (1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a ( )A ．1BC ．2D ．4ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A ．23b ＋13cB ．53c －23bC ．23b －13cD ．13b ＋23ca 与b 不共线，0⋅≠a b ，且⋅⎛⎫⎪⋅⎝⎭a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2在△ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为AB 上一点，BD 、CE 交于一点F ，且BF →＝2FD →，BE→＝λBA →，则实数λ值为( ) A ．34 B ．12 C ．23 D ．1310．在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB→＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →等于( )A ．13a ＋23bB ．23a ＋13bC ．35a ＋45bD ．45a ＋35b12．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5414a b +=第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
一、选择题: (本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1．设点P 〔3，-6〕，Q 〔-5，2〕，R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，那么R 点的横坐标为〔 〕。
A 、-9B 、-6C 、9D 、62． =(2,3), b =(-4,7)，那么 在b 上的投影为〔 〕。
A 、B 、C 、D 、 3．设点A 〔1，2〕，B 〔3，5〕，将向量 按向量 =〔-1，-1〕平移后得向量为〔 〕。
A 、〔2，3〕 B 、〔1，2〕 C 、〔3，4〕 D 、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c -a)=3bc ，且sinA=sinBcosC ，那么ΔABC 是〔 〕。
A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、等腰直角三角形5．| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，那么| +b |等于〔 〕。
A 、B 、C 、D 、6．O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段 所成的比为2，那么〔 〕。
A 、B 、C 、D 、7．O 是ΔABC 所在平面上一点，且满意条件，那么点O 是ΔABC 的〔 〕。
A 、重心B 、垂心C 、内心D 、外心8．设 、b 、 均为平面内随意非零向量且互不共线，那么以下4个命题： (1)( ·b )2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b | (3)| +b |2=( +b )2(4)(b ) -( a )b 与 不肯定垂直。
其中真命题的个数是〔 〕。
A 、1B 、2C 、3D 、49．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，那么 等于〔 〕。
A 、B 、C 、D 、10．设 、b 不共线，那么关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的状况是〔 〕。
A 、至少有一个实数解B 、至多只有一个实数解C 、至多有两个实数解D 、可能有多数个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，那么CA AB =_________12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是 ．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32， 所以 B =60∘ 或 B =120∘． 当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2， 故 a =4 或 a =2． 【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0， 所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ， 则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2， 所以 DN =AM =AB +BM =2+√2， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘， 所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ， 所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ， 即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆． 当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得， 所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ， 又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32， 又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ， 所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4， 又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20， 即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4． 【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ， 故有 tanB =sinBcosB =√3． 即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3． 【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③． 理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12， 所以 0<C <π6． 又因为 A =π3， 所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾， 所以 △ABC 不能同时满足 ①，④， 所以 △ABC 同时满足 ②，③． 因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④， 则 A <C <π6，则 B >π2， 这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7． 当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合， 所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3． 【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则 当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0， 当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0， 所以必要性得证． 反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0， 当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时， 不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线， 当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线， 充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减， 消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时， 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣， 所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ， 因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45， 因为 x ∈(−π3,π6)， 所以 x +π3∈(0,π2)， 所以 cos (x +π3)=35， 所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)， 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0， 即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0， 所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2， 所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。
高一数学平面向量计算题
高一数学必修四-平面向量计算题2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.下列各量中不是向量的是 【 】A .浮力B .风速C .位移D .密度2.下列说法中错误．．的是【 】A .零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C .零向量与任一向量平行D .零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是【 】A .一条线段B .一段圆弧C .圆上一群孤立点D .一个单位圆4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是 【 】A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是【 】A . 若a b =，则a b =B . 若a b =，则//a bC . 若a b >，则a b >D . 若1a =，则1a =6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则【 】A . AB 与AC 共线 B . DE 与CB 共线C . 与相等D . 与相等7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 . 9.已知|AB |=1，| AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= . 10.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD是 .2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是【 】A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 2.在平行四边形中ABCD ，,AB AD ==a b ，则用a 、b 表示AC 的是【 】A ．a ＋aB ．b +bC ．0D ．a ＋b3.若a +b +c =0，则a 、b 、c 【 】A .一定可以构成一个三角形；B .一定不可能构成一个三角形；C .都是非零向量时能构成一个三角形；D .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为1v ，水速为2v ，已知船可垂直到达对岸则 【 】A <B >C ≤D ≥5.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则【 】Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ.22<+b a b6.一艘船从A 点出发以m/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，求水流的速度7.一艘船距对岸，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速8.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，方向与水流间的夹角是60 ，求1v 和v9.一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于【 】A .a +bB .-a +(-b )C .a -bD .b -a 2.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b 正确的个数是 【 】A .2B .3C .4D .5 3.下列等式中一定能成立的是【 】A . AB +AC =BC B . AB -AC =BC C .AB +AC =CBD .-=4.化简-++的结果等于【 】A .B .C .D .5.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .6.一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 .7.若a 、b 共线且|a +b |＜|a -b |成立，则a 与b 的关系为 .8.在正六边形ABCDEF 中， =m ， =n ，则= .9.已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件 .10.在五边形ABCDE 中，设=a ， =b ， =c ， =d ，用a 、b 、c 、d 表示.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．下列命题中正确的是【 】A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2．下列命题正确的是【 】A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列 关系一定成立是【 】A . 0=λB . 02=eC .1e ∥2eD .1e ∥2e 或0=λ4.对于向量,,a b c 和实数λ ，下列命题中真命题是 【 】A .若0 =⋅b a ，则0a =或0b =B .若0a λ=，则0λ=或0a =C .若22a b =，则a b =或a b =- D .若 c a b a ⋅=⋅，则b c =5.下列命题中，正确的命题是【 】A .a b a +≥且.a b b +≥B .a b a +≥或.a b b +≥C .若,a b c >>则c b b a +>+D .若a 与 b 不平行，则a b a b +>+6.已知ABCD 是平行四边形，O 为平面上任意一点，设,,,OA a OB b OC c OD d ====，则有【 】A .0 =+++d c b aB .0 =-+-d c b aC .0 =--+d c b aD .0 =+--d c b a7.向量a 与 b 都不是零向量，则下列说法中不正确的是【 】A .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与a 的方向相同B .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与b 的方向相同C .向量a 与 b 反向，且,b a >则向量a + b 与a 同向D .向量a 与 b 反向，且,b a <则向量a + b 与a 同向8.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有【 】A .a ∥b 且a 、b 方向相同B .a =bC .a =－bD .以上都不对9.在四边形ABCD 中，－－等于【 】 A . B . C . D .2.3.1 平面向量基本定理1.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于【 】A .12b a +B .12b a -C .12a b +D . 12a b - 2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心， = 4e 1， = 6e 2，则3e 2－2e 1等于 【 】A .AOB .BOC .COD .3. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足0PA PB PC ++=，若实数λ满AB AC AP λ+=，则λ的值为【 】A .2B .32C .3D .64. 在ABC △中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =【 】 A .2133+b c B .5233-c b C .2133-b c D .1233+b c5. 如右图在平行四边形ABCD 中，=，=，NC AN 3=， M 为BC 的中点，则= 【 】A .a b 2141- B .2141- C .)(41- D .)(41- 6.如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， D E 与A F 相交于点H ， 设AH b BC a AB 则,,==等于_____.7.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为______ 8.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AF AE AC μλ+=，其中λ，μR ，则λ+μ= _________. 9．在 ABCD 中，设对角线=a ，BD =b 试用a ，b 表示AB ，10．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， CB =1e +32e ， CD =21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值C B E C ADH F2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1. 若(2,4)AB =，(1,3)AC =， 则BC = 【 】A .(1，1)B .(－1，－1)C .(3，7)D .(-3，-7)2.下列各组向量中，不能作为平面内所有的向量的基底的一组是【 】Ａ.)5,0(),2,1(=-=b a Ｂ.)1,2(),2,1(==b aＣ.)4,3(),1,2(=-= Ｄ.)2,4(),1,2(-=-=3.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b 【 】 Ａ.(21)--，Ｂ.(21)-， Ｃ.(10)-， Ｄ.(12)-， 4.若向量()3,2-=x a 与向量()2,1+=y b 相等，则 【 】A .x =1，y =3B .x =3，y =1C .x =1，y = -5D .x =5，y = -15.点B 的坐标为(1，2)，的坐标为(m ，n )，则点A 的坐标为 【 】A .()n m --2,1B .()2,1--n mC .()n m ++2,1D .()m n ++2,16.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD = 【 】A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）7.已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则+=_____________________.8.已知向量()1,2-=a ，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是 .9.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 .10．已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 的中点为C ，则OC 的坐标为 .2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝【 】A .(5,10)--B .(4,8)--C .(3,6)--D .(2,4)--2．已知向量()3,x a = ，()1,3-=b ， 且a 与b 共线，则x 等于【 】A . 1-B . 9C .9-D .13．已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a 2︱，若b 与a 反向，则b 等于【 】A .(-4，10)B .(4，-10)C .(-1 ， 25)D . (1， 25-) 4． 平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是【 】A .（2，1）B .（2，2）C . （1，2）D .（2，3） 5．与向量()5,12=d 不．平行的向量是【 】 A .()5,12-- B .⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 C .()5,12- D .()10,24 6.已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ，μ∈R)， 那么A ，B ，C 三点时λ，μ满足的条件是 【 】A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝17.与向量)4,3(--=同方向的单位向量是_______.8.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ .9．已知A (-1，-2)，B (4，8)，C (5，x )，如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为 .10．已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，︱m ︱=4137求向量m 的坐标.2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是【 】A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ·b 是一个实数 2已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于【 】 A 72 B -72 C 36 D 3. 已知向量a =1，b =2，b a ⋅=1，则向量a 与b 的夹角大小为【 】A .4πB .3π C .32π D .65π 4已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是 【 】A 60°B 30°C 135°D ４５°5.若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是 【 】A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形6.若向量a →=(cos sin )αα，，b →=(cos sin )ββ，，则a →与b →一定满足 【 】A .a →与b →的夹角等于αβ-B .a b →⊥→C .a b →→//D .()()a b a b →+→⊥→-→7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是【 】A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅AB 8设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝9已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .10已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______ 11已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角12设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m的夹角2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1. 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b 【 】 A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向2.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４b a ⋅＝【 】A .23B .57C .63D .833.已知a (1，2)，b (2，3)，c (-2，5)，则△a b c 为【 】A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不等边三角形4.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于【 】A .)54,53(或)53,54(B .)54,53(或)54,53(--C .)54,53(-或)53,54(-D .)54,53(-或)54,53(- 5.已知a =(2，3)，b =(-4，7)，则a 在b 方向上的投影为【 】A .13B .513C .565D .656.已知|a |=10，b =(1，2)且a ∥b ，则a 的坐标为 .7.已知a =(1，2)，b (1，1)，c =b -k a ，若c ⊥a ，则c ＝ .8.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .9.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段a b 的中垂线上，则x = . 10.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .11.已知a =(3，-1)，b =(1，2)，求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是；【答案】【解析】略2.已知平面向量，且∥，则（）A．-3B．-9C．9D．1【答案】B【解析】由两向量平行坐标间的关系可知【考点】向量平行的性质3.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．试题解析：（1）∵的周期为∴（2），则【考点】（1）辅助角公式（2）三角函数的值域4.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得：D为BC中点，，又因为在边长为的正三角形中，所以，故解得，故选择D【考点】平面向量的线性运算5.若向量满足：，，，则 .【答案】【解析】【考点】向量垂直与向量的坐标运算6.设，向量，，且，∥，则______________．【答案】【解析】因为，∥，所以有即，，所以【考点】向量坐标运算7.向量a=，b=，则A．a∥bB．C．a与b的夹角为60°D．a与b的夹角为30°【答案】B【解析】根据两向量平行坐标表示公式“”可得A错误；根据两向量垂直的坐标表示公式“”可得B正确；根据B可知两向量夹角为，所以C，D错误，故选择B【考点】向量线性关系8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选择A【考点】向量的加减法运算9.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】,,,,则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．【考点】1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．10.已知向量则x=【答案】6【解析】由题意可得,解得．【考点】向量共线．11.（2015秋•友谊县校级期末）已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】作出图象，由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心，故，代入m+m=可解出m．解：以MB，MC为邻边作平行四边形MBEC，连结ME交BC于D，如图．则，∵+=﹣，∴M在线段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中点，∴=2=3，∵m+m=，∴3m=，∴m=．故选C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．12.已知点（1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）只需证明且三点不在一条直线上即可；（2）利用菱形的定义可求得坐标，进而求出所求的值.试题解析：（1）∵点∴∴.若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，此方程无解，∴∴∠APB恒为锐角．（2）∵四边形ABPQ为菱形，∴，即，化简得到解得设Q（a，b），∵，∴，∴【考点】平面向量数量积的运算13.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．14. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．15.已知，，，则=（）A．﹣8B．﹣10C．10D．8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出．解：，，，∴=+|+2=16+25+2=21，∴=﹣10，故选：B．【考点】平面向量数量积的运算．16.已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于m，n的等式，从而可以求出．解：如图，由的两边分别乘以得：；∴；∴得：；∴；∴．故选：B．【考点】向量在几何中的应用．17.已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，.【考点】向量数量积的坐标表示.18.=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为．【答案】【解析】由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．解：∵=（2，3），=（﹣3，5），∴，，则=．故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算．19.已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为120°．(1) 求及＋；(2)设向量＋与－的夹角为θ，求cosθ的值．【答案】(1);;(2).【解析】(1)根据向量的数量积的运算公式；以及；（2）根据公式，根据数量积公式，再根据公式试题解析：解析：(1)＝||||cos 120°θ＝1×2×(－)＝－1，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2＝12＋22＋2×(－1)＝3.所以|＋|＝(2)同理可求得|－|＝.因为(＋)(－)＝2－2＝12－22＝－3，所以cosθ＝＝＝－．所以向量＋与－的夹角的余弦值为－．【考点】向量数量积20.（1）在直角坐标系中，已知三点，当为何值时，向量与共线？（2）在直角坐标系中，已知为坐标原点，，，当为何值时，向量与垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】首先根据向量减法的线性运算得到向量与的坐标，当与共线时坐标交叉积的差等于零，当与垂直是数量积等于零，从而列出的方程，即可求得满足条件的的值.试题解析：（1）∵，又向量与共线，∴,解得（2）,当向量与垂直时，，即，解得【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示.21.已知a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝|a|＋|b|，则一定有（）A．a＝b B．a∥b，且a，b方向相同C．a＝－b D．a∥b，且a，b方向相反【答案】B【解析】根据向量加法的几何意义， a，b方向相同，方向相同即是共线向量.【考点】向量加法的几何意义．22.已知向量．（1）若点三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值.【答案】（Ⅰ）-19；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得；（Ⅱ）根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析：解：（Ⅰ）∴，.（Ⅱ），则，∴，【考点】向量的减法运算；向量平行和垂直的充要条件.23.平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】（1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到，从而同理可以用分别表示出；（2）设线段、的中点分别为，用分别表示出，从而可得，即证得线段交于一点且互相平分．试题解析：（1），.（2）证明：设线段的中点为，则，设中点分别为，同理：，，∴，即其交于一点且互相平分.【考点】1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算．【方法点睛】本题考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．另一种解法：（1）；同理，；（2）证明：如图，连接，则，且，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴线段交于一点且互相平分，同理，线段交于一点且互相平分，∴线段交于一点且互相平分．24.已知是两个非零向量，当的模取最小值时.①求的值；②已知与共线且同向，求证：与垂直.【答案】①；②证明见解析.【解析】（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小；（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．试题解析：①令，则.当时，.②证明：与共线且同向，,,,.【考点】（1）向量的模；（2）数量积判断两个向量的垂直关系.【方法点晴】本题主要考查模长形式，通常两边平方以及证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，因为在本题中主要是数学符号的运算，所以对学生的运算能力要求较高，属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．25.已知，在方向上的投影为，则（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】由在方向上的投影为，则，所以，故选B.【考点】向量的数量积及向量的投影的应用.26.给出下列命题：（1）若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若则；（4）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得，（1）中，例如，此时，但，所以不正确；（2）中，向量是既有大小又有方向的量，所示向量不能比较大小，所以（2）是正确的；（3）中，根据相等向量的概念，可得“若则”是正确的；（4）中，由，则是成立的，但由，则与是相等向量或相反向量，所以不正确，综上所述，正确命题的个数为个，故选B.【考点】向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念，其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键，试题很容易出错，属于易错题，本题的解答中，（4）中，，容易忽视相反向量的概念，造成错解，应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念，防止出错.27.已知向量，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故选A．【考点】数量积的坐标运算．28.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据四边形为平行四边形，利用，即可求解的值；（2）利用为等腰直角三角形，且为直角，则且，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用．29.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量模的平方等于向量的平方，即可化简，即可求解的值；（2）设，利用，求得的值，又由，，即可运算的值．试题解析：（1） =169，得；（2）矩形ABCD中，∵点F在边CD上，∴设，，本小题也可建坐标系，用平面向量坐标运算解决．【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算．30.已知三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为，若，则 =（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的坐标运算31.已知向量与的夹角为，||=2,||=3,记,（1）若，求实数k的值。
第六章平面向量初步单元测试题(新高考模式)— 高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
平面向量初步一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ，b 是两个非零向量，AO →，BO →分别是与a ，b 同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )A ．AO →＝BO →B ．AO →＝BO →或AO →＝OB →C ．AO →＝OB →D ．|AO →|＝|BO →|2．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以ABCD 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．邻边不相等的平行四边形C ．菱形D ．两组对边均不平行的四边形3．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则|a ＋b|等于( )A ．(0,6)B ．6C ． 6D ．(6，－2)4．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，那么2a －b ＝( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8)D ．(－4,8)5．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3 N,300 3 NB ．150 N,150 NC ．300 3 N,300 ND ．300 N,300 N6．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝07．如图，已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE→＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b8．设0≤θ＜2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →D ．AD →＋CB →＝010．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且P A →＋2PB →＋3PC →＝0，如果E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．向量P A →与PC →可能平行 B ．向量P A →与PC →不可能垂直 C ．点P 在线段EF 上D ．PE ∶PF ＝2∶111．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c12．设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点 B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.14．下列命题中正确命题的个数为________个． ①在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；②若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ③若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b|一定相等．15．在直角坐标系xOy 中，已知点A (3,3)，B (5,1)，P (2,1)，M 是坐标平面内的一点．(1)若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为________；(2)若P A →＋PB →＝2PM →，则点M 的坐标为________．(本题第一空2分，第二空3分)16．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知P 是△ABC 内一点，且AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，用p 表示CQ →.18．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．19．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)． (1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．21．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．22．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ，BC →＝2AD →，且AB ＝CD ＝DA ＝2，AD →＝a ，BA →＝b ，M 是CD 的中点．(1)试用a ，b 表示BM →；(2)AB 上有点P ，PC 和BM 的交点Q ，PQ ∶QC ＝1∶2，求AP ∶PB 和BQ ∶QM .一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ，b 是两个非零向量，AO →，BO →分别是与a ，b 同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )A ．AO →＝BO →B ．AO →＝BO →或AO →＝OB →C ．AO →＝OB →D ．|AO →|＝|BO →|D [因为a 与b 方向关系不确定且a ≠0，b ≠0，又AO →与a 同方向，BO →与b 同方向，所以AO →与BO →方向关系不确定，所以A ，B ，C 项均不对．又AO →与BO →均为单位向量，所以|AO →|＝|BO →|＝1．]2．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以ABCD 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．邻边不相等的平行四边形C ．菱形D ．两组对边均不平行的四边形B [因为AD →＝(8,0)，BC →＝(8,0)，所以AD →＝BC →，因为BA →＝(4，－3)，所以|BA →|＝5，而|BC →|＝8，故为邻边不相等的平行四边形．]3．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则|a ＋b|等于( )A ．(0,6)B ．6C ． 6D ．(6，－2)B [因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1与e 2垂直，设e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，则a ＝(3,2)，b ＝(－3,4)．所以|a ＋b |＝(3－3)2＋(2＋4)2＝6.]4．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，那么2a －b ＝( )A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(4，－8)D ．(－4,8)C [由a ∥b 知4＋2m ＝0，∴m ＝－2,2a －b ＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8)．故选C ．]5．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3 N,300 3 NB ．150 N,150 NC ．300 3 N,300 ND ．300 N,300 NC [如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300 3 N ，|AC →|＝|OC →|sin 30°＝300 N ，|OB →|＝|AC →|＝300 N ．故选C ．]6．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0D [∵a ∥b ，∴存在实数k ，使得a ＝k b 成立，∴e 1＋λe 2＝k ·2e 1，∵e 1≠0，∴e 1∥e 2，或λ＝0，故选D ．]7．如图，已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bB [BC →＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b .]8．设0≤θ＜2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3C [∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2 ＝10－8cos θ≤3 2.]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →D ．AD →＋CB →＝0ABD [在平行四边形ABCD 中，根据向量的减法法则知AB →－AD →＝DB →，所以结论中错误的是C ．A 、B 、D 均正确．]10．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且P A →＋2PB →＋3PC →＝0，如果E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．向量P A →与PC →可能平行 B ．向量P A →与PC →不可能垂直 C ．点P 在线段EF 上D ．PE ∶PF ＝2∶1CD [由E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，可得PE →＝12(P A →＋PC →)，PF →＝12(PB →＋PC →)，P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(P A →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，可得PE →＋2PF →＝0，可得P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，向量P A →与PC →不可能平行，可能垂直，则CD 正确．AB 错误．]11．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cBC [A 不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． B 正确，由AB →＝DC →得|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且方向相同，且|AB →|＝|DC →|.因此，AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．C 正确，因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，则b ，c 的长度相等且方向相同，所以a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .D 不正确，当b ＝0时不成立．]12．设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点 B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 ACD [若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM →＝2AB →－AC →，即有AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →， 则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误；若AM →＝－BM →－CM →，即AM →＋BM →＋CM →＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，可得2AM →＝2xAB →＋2yAC →，设AN →＝2AM →，由图可得M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确，故选ACD ．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.－1 [∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1．]14．下列命题中正确命题的个数为________个． ①在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；②若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ③若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b|一定相等． 1 [①真命题；②假命题，当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0； ③假命题，只有当a 与b 同向时才相等．]15．在直角坐标系xOy 中，已知点A (3,3)，B (5,1)，P (2,1)，M 是坐标平面内的一点．(1)若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为________；(2)若P A →＋PB →＝2PM →，则点M 的坐标为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)(6,3) (2)(4,2) [(1)设M (x ，y )，则AP →＝(－1，－2)，MB →＝(5－x,1－y )． 因为四边形APBM 是平行四边形，所以AP →＝MB →，所以(－1，－2)＝(5－x,1－y )，所以⎩⎨⎧ 5－x ＝－1，1－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，所以点M的坐标为(6,3)．(2)P A →＝(1,2)，PB →＝(3,0)， PM →＝(x －2，y －1)， 因为P A →＋PB →＝2PM →，所以(1,2)＋(3,0)＝2(x －2，y －1)， 所以(4,2)＝(2(x －2)，2(y －1))， 所以⎩⎨⎧ 2(x －2)＝4，2(y －1)＝2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，所以点M 的坐标为(4,2)．]16．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 [设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC → ＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知P 是△ABC 内一点，且AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，用p 表示CQ →.[解] ∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0， 即AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0.又∵A ，Q ，B 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴设AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →. ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0， ∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0， 又∵BQ →，QP →为不共线的向量， ∴⎩⎨⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0. 解得λ＝－2，μ＝－1，∴CP →＝－QP →＝PQ →，故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →＝2p .18．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．[解] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ，使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2， 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1．19．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)． (1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． [解] (1)当m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)， ∴⎩⎨⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线， 又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)， 则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．[解] 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy (图略)，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.21．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．[解] (1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →， 即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量， 所以⎩⎨⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)． (3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x,5－y )，因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎨⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．22．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ，BC →＝2AD →，且AB ＝CD ＝DA ＝2，AD →＝a ，BA →＝b ，M 是CD 的中点．(1)试用a ，b 表示BM →；(2)AB 上有点P ，PC 和BM 的交点Q ，PQ ∶QC ＝1∶2，求AP ∶PB 和BQ ∶QM . [解] (1)BM →＝12(BD →＋BC →) ＝12(BA →＋AD →＋2AD →)＝32a ＋12b .(2)设BP →＝tBA →，则BQ →＝BC →＋CQ →＝BC →＋23CP →＝2AD →＋23(CB →＋BP →)＝23tBA →＋23AD →＝23(a ＋t b )．设BQ →＝λBM →＝3λ2a ＋λ2b ，由于BA →，AD →不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＝23，λ2＝23t ，解方程组，得λ＝49，t ＝13.故AP ∶PB ＝2∶1，BQ ∶QM ＝4∶5.。
高一数学必修四平面向量基础练习题及答案
平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( )A 、21 a +23bB 、21a 23 bC 、23a 21 bD 、23 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ）A 、)1010,10103( e B 、)1010,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为（ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、204、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ）A 、 －1 ，2B 、 －2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ）A 、a 与b 的夹角等于 －B 、(a ＋b )⊥(a －b )C 、a ∥bD 、a ⊥b7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2,0(。
若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、2 C 、2 D 、8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、23D 、 二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使 取得最小值的点P 的坐标是 、10、把函数sin y x x 的图象，按向量 ,a m n v （m>0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、11、已知向量 m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1( 、三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1( x x Q x P （1）求向量和的夹角 的余弦用x 表示的函数)(x f ；（2）求 的最值、14、设，)2cos ,sin 2(x x ，x ，)1cos ( 其中x ∈[0，2]、 (1)求f(x)=·的最大值和最小值； (2)当 OA u u u r ⊥OB uuu r ，求|AB u u u r |、15、已知定点)1,0(A 、)1,0( B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||PC k BP AP 、 （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2 k 时，求||BP AP 的最大值和最小值、参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C二、填空题9、(0，0)10、56m11、4 三、解答题12、解：设/A （ｘ，ｙ），则有312522x y ，解得11x y 、所以/A （1，－1）。
(完整)高一数学平面向量综合测试题
高一数学平面向量综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)→→→1．已知o、a、b是平面上的三个点，直线ab上有一点c，满足2ac＋cb＝0，则oc等于()2→1→1→2→→→→→a．2oa－obb．－oa＋2obc.oa－obd．－oa＋ob333322．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x)，则向量a＋b()a．平行于x轴b．平行于第一、三象限的角平分线c．平行于y轴d．平行于第二、四象限的角平分线→→→3．设p是△abc所在平面内的一点，bc＋ba＝2bp，则()→→→→→→→→→a.pa＋pb＝0b.pc＋pa＝0c.pb＋pc＝0d.pa＋pb＋pc＝04．设向量a＝(3，b为单位向量，且a∥b，则b＝() 11311131a．(，－或(－)b．(，c．(，－d．()或(，－222222222222→→→5．已知a、b是以原点o为圆心的单位圆上两点，且|ab|＝1，则ab·oa等于()11a.b．－c.d．－2222a·b6．若a＝(x,1)，b＝(2,3x)，则()|a|＋|b|22a．(－∞，2b．[0，]c．[－d．[22，＋∞)4447．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为()a．2b．6c．12d．38．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα1122－ysinα＋＝0与圆(x－cosβ)＋(y＋sinβ)的位置关系是()22a．相离b．相切c．相交d．随α，β的值而定9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()πππ2ππa．[0，b．[π]c．[d．[，π]63336→→→→10．已知三点a(2,3)，b(－1，－1)，c(6，k)，其中k为常数．若|ab|＝|ac|，则ab与ac的夹角的余弦值为()24242424a．－b．0或c.d．0或－25252525→→→→→11．若o为平面内任一点且(ob＋oc－2oa)·(ab－ac)＝0，则△abc是()a．直角三角形或等腰三角形b．等腰直角三角形c．等腰三角形但不一定是直角三角形d．直角三角形但不一定是等腰三角形12．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设a＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，b＝(b1，b2，nb3，b4，…，bn)，规定向量a与b夹角θ的余弦为cosθ＝∑aibii＝1ni12ni12已知n维向量a，b，∑ai∑bi＝＝当a＝(1,1,1,1，…，1)，b＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于()n－1n－3n－2n－4a.b.c.d.nnnn二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a －c)∥b，则k＝________.14．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.→→→2215．(2010·山东枣庄)已知直线x＋y＝a与圆x＋y＝4交于a、b两点，且|oa＋ob|＝|oa→－ob|，其中o为坐标原点，则实数a的值为________．16．(2010·江苏南通二模)如图，正六边形abcdef中，p是△cde内(包括边界)的动点．设→→→ap＝αab＋βaf(α，β∈r)，则α＋β的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2010·江苏卷，文)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(－1，－2)，b(2,3)，c(－2，－1)．(1)求以线段ab、ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长；→→→(2)设实数t满足(ab－toc)·oc＝0，求t的值．18．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．ππ19．(12分)(2010·盐城一模)已知向量a＝(sinθ，，b＝(1，cos θ)，θ∈(．22(1)求a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．－1120．(12分)已知向量a＝(，，b＝(2，cos2x)．sinxsinxπ(1)若x∈(0，，试判断a与b能否平行？2π(2)若x∈(0，，求函数f(x)＝a·b的最小值．321．(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，t∈r.1(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb(a＋b)三向量的终点在一直线上？3(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？22．(12分)在△abc中，a、b、c的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosb＝bcosc.(1)求b的大小．(2)设m＝(sina，cos2a)，n＝(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k。
高一数学第二章平面向量检测题及答案解析
高一数学平面向量测试题本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
参考公式：将点),(y x P 按向量),(b a 平移后得点),(y x P '''，则⎩⎨⎧+='+='b y y ax x第Ⅰ卷（选择题部分 共40分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷时，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，仅一项符合要求）1．已知向量b a ,,则“R b a ∈=λλ,”成立的必要不充分条件是 （ ）A ．0 =+b aB ．a 与b 方向相同C ．b a ⊥D ．a∥b2．在△ABC 中,AB =a ,AC=b ,如果|||=|a b ,那么△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形3．1(26)32+-a b b 等于 （ ）A ．2-a bB ．-a bC ．aD ．b4．下列命题正确的是（ ）A ．若ABC 、、是平面内的三点,则AB AC BC -= B ．若12e e 、是两个单位向量,则12e e =。
C ．若a b 、 是任意两个向量,则a b a b +≤+D ．向量12(0,0),(1,2)e e ==-可以作为平面内所有向量的一组基底5．一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有（ ）A ．13,F F 成90角B ．13,F F 成150角C ．23,F F 成90角D ．23,F F 成60角6．如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝2AB ＋1AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 A ．15B ．45 C ．14 D ．137．设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BCAB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ．2D ．18．平面上O,A,B 三点不共线,设,OA a OB b ==,则△OAB 的面积等于（ ）A ．222|||()|a b a b -B ．222|||()|a b a b +C ．2221|||()2|a b a b - D ．2221|||()2|a b a b + 9．函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于（ ）A ．)2,6(-πB ．)2,6(πC ．)2,6(--πD ．)2,6(π-10．定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的a=(m,n),b p,q)=（,令 a b=mq-np ,下面说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线,则a b=0B ．ab=b aC ．对任意的R λ∈,有a)b=(λλ（ab)D ．2222(ab)+(ab)=|a||b|第Ⅱ卷（非选择题部分 共60分）二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分。
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题(含答案)
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题（1）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、化简 AC －BD ＋CD —AB 得………………………………………………（ ） A ．AB B ． C ．BC D ．02、下列命题正确的是………………………………………………………………（ ）A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b =D ．若0a 与0b 是单位向量，则0a 0b 1=3、下列命题中错误的是………………………………………………………………（ ）A ．对于任意向量a ，b ，有|a +b |≤|a |+|b |B ．若 a b =0，则 a =0或 b =0C ．对于任意向量a ，b ，有||a b ≤||||a bD ．若a ，b 共线，则 a b = ±|a ||b |4、按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-，则按向量→a 将点)3,2(-平移到……（ ）A.)4,3(-B.)2,1(-C.)3,4(-D.)1,2(-5、把542++=x x y 的图像按向量经过一次平移后得到2x y =的图像，则为( )A. )1,2(B. )1,2(-C. )1,2(--D. (2,1-)6、已知12(4,7),(1,0),P P --且点P 在线段21P P 的延长线上，且12||2||PP PP =，则点P的坐标………………………………………………………………………………（ ） A.)11,2(- B.)1,34(C.)3,32( D.)7,2(- 7、已知△ABC 中，A=45°，a=2，b=2，那么∠B 为………………………………（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°8、在△ABC 中，c =C 为……………………………………（ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．3π或23π9、若三点A(2,3)，B(3,a)，C(4,b)共线，则有……………………………………（ ）A ．a=3,b=-5B ．a-b+1=0C ．2a-b=3D ．a-2b=0 10、||1,||2a b ==，且()0a b a +=，则a 、b 的夹角为…………………………（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°11、△ABC 中,||=5,||=8,²=20,则||为……………………（ ）A. 6B. 7C. 8D. 912、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是…………………………………………………………（ ） A.2B.3C.23D.32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.13、已知||=3,｜｜＝2，与的夹角为600，则｜－｜＝ 14、已知(3,4),(2,3)a b =-=，则2||3a a b -=15、已知向量→a =（1，2），→b =（－2，3），→c =（4，1），用→a 和→b 表示→c ，则→c =__________16、在△ABC 中,若B=300，AB=23，AC=2，则△ABC 的面积S 是 ；三、解答题：本大题共6小题；共74分.17、（8分）已知ABCD 的顶点A （0，-9），B （2，6）， C （4，5），求第四个顶点D 的坐标．18、（14分）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE 、BF 交点。
第六章 平面向量及其应用(基础卷)高一数学单元提升卷(人教A版2019必修第二册)
第六章平面向量及其应用（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理2.已知平面向量，满足|2+|＝3，•（+）＝1，则||＝（）A．5B．C．3D．【答案】B【分析】先将|2+|＝3两边平方，化简后，再代入•（+）＝1，即可得解．【解答】解：∵|2+|＝3，•（+）＝1，∴|2+|2＝4+4•+＝4（+）+＝4+＝9，∴＝．故选：B．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算3.已知向量＝（2，2），＝（x，4），若（3+4）∥（5﹣），则x＝（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】由平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出x的值．【解答】解：由向量＝（2，2），＝（x，4），所以3+4＝（6+4x，22），5﹣＝（5x﹣2，18）；又（3+4）∥（5﹣），所以18（6+4x）﹣22（5x﹣2）＝0，解得x＝4．故选：C．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．3【答案】A【分析】设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，列方程组，能求出λ的值．【解答】解：设＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，∴，解得λ＝．故选：A．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的含义与物理意义5.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．＝B．+＝C．+＝D．+＝【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质解答即可．【解答】解：由平行四边形的性质，可得，选项A正确；由向量加法的平行四边形法则，可得，选项B正确；∵，∴选项D正确；∵，∴选项C错误．故选：C．【知识点】向量加减混合运算6.设向量，不共线，向量与2共线，则实数k＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，利用向量相等列方程求出k的值．【解答】解：向量，不共线，向量与2共线，则2﹣k＝λ（+），（2﹣λ）﹣（k+λ）＝，，解得λ＝2，k＝﹣2．故选：A．【知识点】平行向量（共线）7.在△ABC所在的平面上有一点P，满足++＝，设＝，＝，则＝（）A．+B．﹣C．+D．﹣【答案】C【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得P为线段AC的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．【解答】解：∵++＝，∴＝﹣+﹣＝++＝2；即＝2；故点P是CA边上的第二个三等分点；＝+＝+＝（﹣）＝+＝+；故选：C．【知识点】向量数乘和线性运算8.设，，为非零不共线向量，若|﹣t+（1﹣t）|≥|﹣|（t∈R），则（）A．（+）⊥（﹣）B．（+）⊥（+）C．（+）⊥（+）D．（﹣）⊥（+）【答案】D【分析】因为对任意的实数t∈R，不等式|﹣t+（1﹣t）|≥|﹣|（t∈R）恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式．【解答】解：设，，为非零不共线向量，若|﹣t+（1﹣t）|≥|﹣|（t∈R），则≥|﹣|，∴|（）+（1﹣t）（）|2≥||2，化简得，（1﹣t）2（）2+2（1﹣t）（）•（）≥0，即（）2t2﹣2[（）2+（）（）]t+（）2+2（）（）≥0，∴△＝4[（）（）]2≤0，∴（）（）＝0，∴（）⊥（）．故选：D．【知识点】两向量的和或差的模的最值9.如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．【解答】解：∵＝，∴＝又∵＝+，∴＝+，又∵＝﹣＝﹣∴＝+＝+（﹣）＝+，∴λ＝，μ＝，则λ+μ＝+＝，故选：A．【知识点】平面向量的基本定理10.点P是△ABC内一点且满足，则△PBC，△P AC，△P AB的面积比为（）A．4：3：2B．2：3：4C．1：1：1D．3：4：6【答案】A【分析】如图所示，过点C作CD∥P A交BP的延长线于点D，AC与PD交于点E．由于，可得．得到，．利用相似三角形的性质可得，同理．即可得出．【解答】解：如图所示，过点C作CD∥P A交BP的延长线于点D，AC与PD交于点E．∵，∴．∴，．∴，同理．∴S△PBC：S△P AC：S△P AB＝4：3：2．故选：A．【知识点】向量数乘和线性运算11.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则•的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）【答案】A【分析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．【解答】解：画出图形如图，•＝，它的几何意义是AB的长度与在向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大值，，可得•＝＝2×3＝6，最大值为6，在F处取得最小值，•＝＝﹣2×＝﹣2，最小值为﹣2，P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，所以•的取值范围是（﹣2，6）．故选：A．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算12.，若对任意实数t，恒成立，则实数k的范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据条件由进行数量积的运算即可求出，然后根据可得出对任意实数t，9t2﹣3kt+4k2﹣1＞0恒成立，然后根据△＝9k2﹣36•（4k2﹣1）＜0解出k的范围即可．【解答】解：∵，∴，，∴，∵对任意实数t，，∴对任意的实数t，，∴对任意实数t，9t2﹣3kt+4k2﹣1＞0恒成立，∴△＝9k2﹣36•（4k2﹣1）＜0，解得或，∴实数k的范围为：．故选：B．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．【答案】2或3【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，变形解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则有（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，变形可得：m2﹣5m+6＝0，解可得m＝2或3，故答案为：2或3．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示14.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算15.设，是两个不共线的向量，＝2﹣，＝4+k，A，B，C三点共线，则k＝．【答案】-2【分析】由A，B，C三点共线，得，由此能求出k的值．【解答】解：∵，是两个不共线的向量，＝2﹣，＝4+k，A，B，C三点共线，∴，∴，解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示16.如图所示，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，，AB＝AD＝1，BC＝2，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为．【答案】-2【分析】如图所示，建立直角坐标系．设P（0，m），m∈[0，1]．设＝k，可得＝+k＝（2﹣k，k），k∈[0，1]．根据P、M、Q三点共线，可以设＝λ+（1﹣λ）＝（2λ﹣λk，λk+m﹣λm）＝（，），利用向量相等消去λ可得：k＝．代入＝[﹣（m+1）]﹣2．令f （m）＝[﹣（m+1）]﹣2．m∈[0，1]．利用其单调性即可得出最大值．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C（2，0），A（0，1），D（1，1），M（，）.设P（0，m），m∈[0，1]．设＝k，则＝+k＝（2，0）+k（﹣1，1）＝（2﹣k，k），k∈[0，1]．∵P、M、Q三点共线，∴可以设＝λ+（1﹣λ）＝（2λ﹣λk，λk+m﹣λm）＝（，），∴2λ﹣λk＝，λk+m﹣λm＝．消去λ可得：k＝．则＝（2﹣k，k﹣1）•（﹣2，m）＝﹣4+2k+mk﹣m＝﹣4+（2+m）×﹣m＝[﹣（m+1）]﹣2．令f（m）＝[﹣（m+1）]﹣2．m∈[0，1]．则f（m）在m∈[0，1]上单调递减，因此m＝0时，f（m）取得最大值f（0）＝﹣2．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．【分析】（1）设＝λ＝（2λ，0），由||＝1可得2λ＝1，解可得λ的值，即可得答案，（2）根据题意，由数量积的计算公式可得•＝﹣1，设＝（x，y），由数量积的坐标计算公式可得•＝2x＝﹣1，即可得x的值，由向量模的计算公式可得y的值，即可得的坐标，由向量的坐标计算公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，与同向，且，设＝λ＝（2λ，0），又由||＝1，则有2λ＝1，即λ＝，则＝（1，0）；（2），则||＝2，若与的夹角为120°，则•＝||||cos120°＝2×1×cos120°＝﹣1，设＝（x，y），则•＝2x＝﹣1，则x＝﹣，又由||＝1，则x2+y2＝1，解可得y＝±，故＝（，±），则+＝（，±）．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、数量积表示两个向量的夹角18.已知向量，．（1）求向量与的夹角；（2）若（m∈R），且，求m的值【分析】（1）根据题意，由、的坐标求出•和||、||的值，由向量夹角公式计算可得答案；（2）根据题意，求出﹣2的坐标，由向量垂直的判断方法可得，代入向量的坐标可得（﹣4）×3+3m＝0，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，，，则，，，设向量与的夹角为θ，则，又由θ∈[0，π]，，即向量与的夹角为（2）根据题意，，，则，若，则，又由，则有（﹣4）×3+3m＝0，解可得m＝4．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、数量积判断两个平面向量的垂直关系19.如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【知识点】平面向量的基本定理20.在△ABC中，AB＝6，AC＝3，D为BC中点，＝2，＝．（1）若∠A＝，求•的值；（2）若•＝0，求•的值．【分析】（1）分别用，表示，，再利用数量积的定义，即可算出答案．（2）分别用，表示，，结合条件•＝0，即可得到答案．【解答】解：（1）＝（）•（）＝（+）•（﹣）＝（+﹣）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝﹣+﹣×6×3×cos＝﹣12．（2）＝（）•（）＝（﹣﹣）•（﹣）＝（﹣+﹣）•（﹣﹣）＝（﹣+）•（﹣﹣）＝+﹣＝+﹣×62＝0，所以．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算21.在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（2，1）．（1）若O为坐标原点，是否存在常数t使得成立？（2）设梯形ABCD，且AB∥DC，AB＝2CD，求点D坐标；（3）若点E满足：＝1，且＝1，求点E坐标．【分析】（1）先假设存在，根据条件解出t的值，由此即可得出结论；（2）设D（x，y），由已知条件建立关于x，y的方程组，解出即可；（3）设E（a，b），由已知条件建立关于a，b的方程组，解出即可．【解答】解：（1）假设存在常数t使得成立，则（﹣1，2）+t（3，4）＝（3t﹣1，4t+2）＝（2，1），则，解得，故假设不成立，即不存在常数t使得成立；（2）设D（x，y），则，由AB∥DC可知，4（y﹣1）﹣2（x﹣2）＝0，即x＝2y①，由AB＝2CD可得，②，由①②可得，或，即D（6，3）或D（﹣2，﹣1）；（3）设E（a，b），则，依题意，，解得或，故点E的坐标为或．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算22.如图，平行四边形ABCD中，＝，N为线段CD的中点，E为线段MN上的点且＝2．（1）若＝+，求λμ的值；（2）延长MN、AD交于点P，F在线段NP上（包含端点），若＝t+（1﹣t），求t的取值范围．【分析】（1）利用向量的加法及平面向量的基本定理即可求得λ，μ，从而得解；（2）利用共线向量定理可设＝λ＝λ（0≤λ≤1），由向量的加法法则可得＝﹣λ+（1+λ），由平面向量的基本定理可得t＝﹣λ，即可求得t的取值范围．【解答】解：根据题意可得＝++＝++＝++（+）＝++（﹣）＝+，又＝+，由平面向量的基本定理可得λ＝，μ＝，所以λμ＝．（2）由题意可得＝，因为F在线段NP上（包含端点），所以设＝λ＝λ（0≤λ≤1），所以＝+＝+（1+λ）＝+（1+λ）（﹣）＝﹣λ+（1+λ），又＝t+（1﹣t），所以t＝﹣λ∈[﹣1，0]．【知识点】平面向量的基本定理23.某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC（AC＞5米）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度∠CAB＝30°．某人在扶梯上点P处（异于点C）观察广告牌的视角∠DPE＝θ．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．（1）求扶梯AC的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．【分析】（1）设|BC|＝a．由∠CAB＝30°，则|AB|＝a．可得tan∠EAB＝，tan∠DAB＝．利用tan∠DAE＝＝tan（∠DAB﹣∠EAB），代入即可得出．（2）设＝k，A（﹣5，0），C（0，5）．则P（5k﹣5，5k）．（0≤k≤1）．作PF⊥BC，垂足为F点，则F（0，5k）．tan∠DPF＝＝，tan∠EPF＝＝．可得tanθ＝tan（∠DPF﹣∠EPF）＝＝＝f（k），利用导数已经其单调性即可得出．【解答】解：（1）设|BC|＝a．∵∠CAB＝30°，则|AB|＝a．tan∠EAB＝，tan∠DAB＝．∴tan∠DAE＝＝tan（∠DAB﹣∠EAB）＝．化为：2b2﹣15b+25＝0，解得b＝5或．∵AC＞5．∴b＝5．∴AC＝10．（2）设＝k，A（﹣5，0），C（0，5）．则P（5k﹣5，5k）．（0≤k≤1）．作PF⊥BC，垂足为F点，则F（0，5k）．∴tan∠DPF＝＝，tan∠EPF＝＝．tanθ＝tan（∠DPF﹣∠EPF）＝＝＝f（k），f′（k）＝，k＝时，f（k）取得最大值，CP＝＝10（1﹣k）＝5．【知识点】解三角形、三角形中的几何计算。
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高一数学单元测试题平面向量
一、选择题
1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。
A、-9
B、-6
C、9
D、6
2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。
A、B、C、D、
3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。
A、（2，3）
B、（1，2）
C、（3，4）
D、（4，7）
4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。
A、直角三角形
B、等边三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形
5．已知||=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则|+b|等于（）。
A、B、C、D、
6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。
A、B、
C、D、
7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。
A、重心
B、垂心
C、内心
D、外心
8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：
(1)(·b)2=2·b2;
(2)|+b|≥|-b|;
(3)|+b|2=(+b)2;
(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是（）。
A、1
B、2
C、3
D、4
9．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。
A、B、C、D、
10．向量和b的夹角平分线上的单位向量是（）。
A、+b
B、
C、D、
11．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）。
A、0.5小时
B、1小时
C、1.5小时
D、2小时
12．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+=0的解的情况是（）。
A、至少有一个实数解
B、至多只有一个实数解
C、至多有两个实数解
D、可能有无数个实数解
二、填空题
13．把函数y=4x的图象按平移到F′, F′的函数解析式为y=4x-2-2, 则等于_____。
14．锐角三角形三边长分别为2，3，x则x的取值范围是__________。
15．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
16．如果向量与b的夹角为θ，那么我们称×b为向量与b的“向量积”，×b是一个向量，它的长度
|×b|=|||b|sinθ，如果||=3, |b|=2, ·b=-2，则|×b|=______。
三、解答题
17．已知向量=, 求向量b，使|b|=2||，并且与b的夹角为。
18．已知平面上3个向量、b、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°。
(1) 求证：(-b)⊥;
(2)若|k+b+|>1 (k∈R), 求k的取值范围。
19．如图，某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80分钟到达C点，求PC间距离。
20．已知ΔABC的3个内角A、B、C成等差数列，且A<B<C，tanA·tanC.
(1) 求角A，B，C的大小；
(2) 如果，求ΔABC的一边AC的长及ΔABC的面积。
21．如图，=(6,1), ，且。
(1)求x与y间的关系；(2)若，求x与y的值及四边形ABCD的面积。
22．已知向量=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ)，且与b之间满足关系：|k+b|=|-k b|，其中k>0. (1)求将与b的数量积用k表示的解析式f(k)；(2)能否和b垂直？能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值。
(3)求与b夹角的最大值。
参考答案：
一、选择题：
1. D. 设R(x, -9), 则由得(x+5)(-8)=-11×8, x=6.
2. C. ∵|b|, ∴|
|=. 3. A. 平移后所得向量与原向量相等。
4．A．由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60°.
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ∴ΔABC是直角三角形。
5．D．. 6. B 7. B. 由
，得OB⊥CA，同理OA⊥BC，∴O是ΔABC的垂心。
8．A．(1)(2)(4)均错。
9．B．由，得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13,
∴. 10. D. 先确定、b方向上的单位向量
，则其角平分线上的单位向量为。
11．B．以B为圆心，30千米为半径作弧，与从A出发的东北方向的射线交于C、D
两点，则台风在线段CD上移动时，B市处于危险区，又B到CD的距离为千米，故CD=20千米，台风影响时间为1小时。
12．B．-=x2+x b，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数λ和μ，使-=λ+μb。
故λ=x2, 且μ=x,
∴λ=μ2，故原方程至多有一个实数解。
二、填空题
13. (2, -2) 14. . 2不可能为最大边，故22+32>x2, 22+x2>32. 15. 与水流方向成
135°角。
16．。
·b=|||b|cosθ, ∴,|×b|=|||b|sin.
三、解答题
17．由题设, 设b=, 则由
,得.∴,
解得sinα=1或。
当sinα=1时，cosα=0；当时，。
故所求的向量或。
18．(1) ∵向量、b、的模均为1，且它们之间的夹角均为120°。
∴,∴(-b)⊥.
(2) ∵|k+b+|>1,∴|k+b+|2>1,
∴k22+b2+2+2k·b+2k·+2b·>1,
∵,
∴k2-2k>0,∴k<0或k>2。
19．由题设知AB=20，BC=40，∠BAP=120°，∠ABP=30°。
∴ΔABP为等腰三角形，。
又∠PBC=90°，
∴（海里）。
20．(1) ∵A+B+C=π和2B=A+C，∴。
∴。
∵，……①∴，……②
又由于A<C，由①②得，tanA=1, ,∴.
(2) 由正弦定理得，
∴。
21．(1)∵，
∴由，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
(2) 由=(6+x, 1+y),。
∵, ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0,∴或
∴当时，，
当时，。
故同向，
22．(1) ∵|k+b|=|-k b|, 两边平方得|k+b|2=3|-k b|2.
∴k22+2k·b+b2=3(2-2k·b+k2b2),
即
∵=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ),∴2=1, b2=1.
∴=·b=.
(2) ∵k2+1≠0,∴·b≠0, 故与b不垂直。
若//b，则|·b|=|||b|，即。
又k>0, ∴. (3)设与b的夹角为θ，∵·b=|||b|cosθ=cosθ,
由k>0, k2+1≥2k, 得，即，∴与b夹角的最大值为。