2012中考数学复习(26)：直角三角形、勾股定理、面积
中考数学专题复习之直角三角形与勾股定理
将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
图22-6
( C )
D.2.4米
基
础
知
识
巩
固
2.[2017·丰台二模]三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”(如图22-7)证明了勾股
图 22-2
D.5
基
础
知
识
巩
固
高
.[2018·昌平期末]小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,
又进一步进行练习:首先画出数轴,如图22-3,设原点为点O,在数轴上的2个单位长
度的位置找点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB为半径作弧,设
与数轴右侧交点为点P,则点P的位置在数轴上 ( C )
7.直角三角形中两条边长分别为3和4,则第三边长为 5 或 7 .
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向一 勾股定理
例 1 下列各组数中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是
( B )
A. 3, 4, 5
B.1, 2, 3
C.6,7,8
D.2,3,4
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练 |
1.[2018·房山二模]如图22-6,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯
2
2
2
图22-10
基
础
中考解直角三角形知识点整理复习
x tan 21°
8 3
x
；
B
D
第 19 题图
在
Rt△CEG 中， tan
CGE
CE GE
，则 GE
tan
CE CGE
x tan 37°
4 3
x
∵ EF FG EG，∴ 8 x 50 4 x ． x 37.5 ，∴ CD CE ED 37.51.5 39 （米）．
3
3
答：古塔的高度约是 39 米． ························ 6 分
a2 b2
a 由 Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c2 - a2
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA
A bC 一
和
角 一锐角
锐角，对边 （如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如 c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
2、测量物体的高度的常见模型
35º 40
CB
D
面 CD 有多长
º
(结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º ≈，cos40º ≈，sin35º ≈，tan35º ≈
（2012）20.（8 分）
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分 6 分）
解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．
数学模型
所用 应测数据
工具
α β x
h1
h
皮尺
αβ a
h x
侧倾 器
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β
高度
数量关系
中考数学总复习课件：第26课 直角三角形
基础落实
1．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，点 D 在 BC 上，∠ADC＝2∠B，
AD＝ 5，则 BC 的长为( D )
A. 3－1
B. 3＋1
C. 5－1
D. 5＋1
(第 1 题图)
(第 2 题图)
2．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若
测得 AM 的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为( D )
A. 0.5 km
B. 0.6 km
C. 0.9 km
D. 1.2 km
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于点 D，E 是垂足，连结 CD.若 BD＝1，则 AC 的长是( A )
【例 1】 (2015·湖北)如图，在△ABC 中，∠B＝30 °，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平
分∠ACB.若 BE＝2，则 AE 的长为( )
A. 3
B. 1
C. 2
D. 2
(例 1 题图)
解析 先根据线段垂直平分线的性质得出 BE＝CE＝2，故可得出∠B ＝∠DCE＝30°，再由角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝ ∠DCE＝30°，利用三角形内角和定理求出∠A＝180°－∠B－∠ACB＝90°， 然后在 Rt△ CAE 中根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半得出 AE＝21CE＝
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为斜边 AB 的中点，AB＝10 cm，则 CD 的长为_____5 __cm.
(第 8 题图)
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
中考数学复习考点知识与题型归类解析27---直角三角形、勾股定理(解析版)
中考数学复习考点知识与题型归类解析28---直角三角形、勾股定理一、选择题7.(2020·宁波)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF .若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为 A ．2B ．2.5C ．3D ．4{答案}B{解析}在Rt △ABC 中， AC ＝8，BC ＝6，根据勾股定理，得AB ＝22AC BC ＝10.∵CD为Rt △ABC 斜边上的中线，∴CD ＝12AB ＝5.∵BE ＝BC ，F 为DE 的中点，∴由中位线定理，得BF ＝12CD ＝12×5＝2.5.因此本题选B ．6．（2020·陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ） A ．101313B ．91313C ．81313D ．71313第6题图{答案}D{解析}本题考查了利用勾股定理求线段长、割补法求三角形面积以及等积法等知识.DBAC首先求出△ABC 的面积为3.5，ACBD ＝3.5×．（2020·包头）8、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ．若2AC =，BC =BE 的长为（ ）A．BCD{答案}A{解析}∵∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形，∴22212AB AC BC =+=,∴AB =又∵点D 是AB 的中点，∴CD =.∴△ABC 的面积等于△BCD 面积的2倍，即11222CD BE BCAC ⨯=，∴BE =.故选A. 12．（2020·河北）如图7，从笔直的公路l 旁一点P 出发，向西走6km 到达l ；从P 出发向北走6km 也到达l .下列说法错误的是A.从点P 向北偏西45°走3km 到达lB.公路l 的走向是南偏西45°C.公路l 的走向是北偏东45°D.从点P 向北走3km 后，再向西走3km 到达lEDBA{答案}A{解析}解析：如图，在Rt△PAB中，∵∠APB=90°，PA=PB=6km，∴∠PAB=∠PBA=45°,AB=km.过点P作PC⊥AB，垂足为C，∴PC=12×=.∴点P向北偏西45°走km到达l，故选项A错误；过点A作DE⊥PA，则∠1=∠2=45°，∴公路l的走向是北偏东45°或南偏西45°，故选项B和C正确；过点C作CF⊥PB，垂足为F.在Rt△PCB中，∵∠PCB=90°，PC=BC，PB=6km，∴CF=PF=12×6=3km，即从点P 向北走3km后，再向西走3km到达l，故选项D正确.16．（2020·河北）图10是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图10的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4{答案}B{解析}设选取的三块纸片的面积分别为a,b，c（a≤b＜c）,根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为：①a=b=1,b=2，此时ab=1；②a=1，b=2，c=3, 此时ab=2；③a=1，b=3，c=4, 此时ab=3；④a=1，b=4，c=5, 此时ab=4；⑤a=2，b=2，c=4, 此时ab=4；⑥a=2，b=3，c=5, 此时ab=6.∴选取的三块纸片的面积分别是2,3，5时，所围成的三角形的面积最大，故答案为B.15．（2020·毕节）如图，在一个宽度为AB 长的小巷内，一个梯子的长为a ，梯子的底端位于AB 上的点P ，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C 处，点C 到AB 的距离BC 为b ，梯子的倾斜角∠BPC 为45° ;将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D 处，点D 到AB 的距离AD 为c ，且此时梯子的倾斜角∠APD 为75°，则AB 的长等于（ ） A ．a B ．b C ．2b cD ．c{答案}D ，{解析}本题考查勾股定理的实际应用．解：如图，∵CB ⊥AB ，∠APD ＝45°，∴∠PBC ＝45°．∴PB ＝PC ． ∵DA ⊥AB ，∠APD ＝75°，∴∠ADP ＝15°． 作∠EPD ＝∠EDP ＝15°，则∠AEP ＝30°． 设AP ＝x ，则EP ＝2x ，EA ＝c －2x ．在Rt △APE 中，由勾股定理，得AP 2＋AE 2＝PE 2，即x 2＋(c －2x )2＝(2x )2，bbc∴x 1＝（c （不合题意，舍去），x 2＝（2c ．∵PD ＝PC ，∴AD 2＋AP 2＝BP 2＋BC 2．即c 2＋[（2c ]2＝2b 2． 整理，得b1）c ．∴AB ＝AP ＋PB ＝（2－c1）c ＝c ． 故选D ．8．（2020·黄石）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点，若EF +CH ＝8，则CH 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6{答案} B{解析} 根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，∴EF ＝12AB ，CH ＝12AB ，∵EF +CH ＝8，∴CH ＝EF ＝12×8＝4，故选：B ．11．（2020·广西北部湾经济区）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读k ǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2EFCB为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸{答案} C{解析}过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r，CD＝1，AE＝r﹣1，则AB＝2r，DE＝10，OE=12在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，因此本题选C．4．（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°【解析】过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°∴∠E＝60°，∠B＝45°∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．二、填空题16．（2020·衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为cm；（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．{答案}（1）160，（2）640 9{解析}（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP＝OQ＝50cm，∵P，Q，A，B在同一直线上，∴PQ＝PA－AQ＝140－60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm）.∵当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），∴当点B运动到点M处的△PCO与点B运动到点N处的△PCO全等，又PM＝PN，∴PT⊥MN.∵OH⊥PQ，∴PH＝HQ＝40（cm），∵cos∠PPH PTOP PM==，∴4050200PT=，解得PT＝160（cm），∴点P到MN的距离为160 cm．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝x cm．由题意AT ＝PT ﹣PA ＝160﹣140＝20（cm ），OA ＝PA ﹣OP ＝140﹣50＝90（cm ），OQ ＝50cm ，AQ ＝60cm ，∵QH ⊥OA ，∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x ）2，解得x4609=.∴HT ＝AH+AT6409=（cm ），∴点Q 到MN 的距离为6409cm ．因此本题答案为．（1）160 （2）640913．（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为________． {答案}45．{解析}本题考查了三角形的面积计算，勾股定理．由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，由勾股定理得直角三角形的另一条直角边长为：22325-=，故阴影部分的面积是1254452⨯⨯⨯=．因此本题答案为45．16．(2020·绥化)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB －AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是______． {答案}17{解析}设AB ＝x ，则AC ＝x －2．由勾股定理，得x2－(x －2)2＝82．解得x ＝17． 13．（2020·江苏徐州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若BF =5，则DE = .（第13题）{答案}5{解析}利用三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质进行计算，∵点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，∠ABC=90˚，∴AC=2DE=2BF,∵BF=5，∴DE=5. 9．（2020·齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°{答案} B{解析}由平行线的性质可得∠CF A＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．如图，设AD与BC交于点F，∵BC∥DE，∴∠CF A＝∠D＝90°，∵∠CF A＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B．13. （2020·淮安）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为_______________.{答案}8AB，代入求出即可．{解析}根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12∵在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AB＝16，AB＝8，∴CD=12故答案为：8．18．（2020·无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点D，E分别在边AB，AC 上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为▲．{答案}83{解析}过点D 作DF ∥AC 交BE 于F （如图1），易得△BDF ∽△BAE ，∴DF AE ＝BD AB ＝23，∵AE =3EC ，∴DF =2EC ，∴△COE ∽△DOF ，CO OD ＝CE CF ＝12，∴S ∆AOB ＝23 S ∆ABC ；点C 显然在以AB 为直径的圆弧上运动，AB 中点为M ，∴当CM ⊥AB 时，即点C 在圆弧最高处时，△ABC 面积最大，此时面积为12×4×2＝4，∴S ∆ABC ＝23×4＝83.14．（2020·扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答：折断处离地面 尺高.EODBAC ED 图2图 1M C ABOFEOD BAC{答案}9120{解析}本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10﹣x ）尺，根据勾股定理得：x 2+32＝(10﹣x )2，解得x =． 12． （2020·岳阳）如图，在ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，︒=∠20A ，则=∠BCD °．{答案}70°{解析}在在ABC Rt ∆中，∵CD 是斜边AB 上的中线，∴AB BD AD CD 21===，∴∠ACD ＝∠A＝20°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－20°＝70°．15.（2020·湖北孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ,空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若1S =2S ，则nm的值为________.（第15题 图1） （第15题 图2）{答案}2. {解析}设图1中三角形较短的直角边的长为x ，则较长的直角边的长为x+n ，由题意可得S 1=2nx+n 2, S 2=2x 2,由题意可得{2nx +n 2=2x 2,m 2=x 2+(x +n)2,解得{x =m2n =√3−12m,,所以nm.. 15.（2020·达州）已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足b +|c −3|+a 2-8a =4√b −1-19，则△ABC 的内切圆半径= . {答案}1{解析} 式子b +|c −3|+a 2-8a =4√19可整理为：（a -4）2＋（√b −1−2）2+|c −3|=0，由平方、二次根式、绝对值的非负性可得：a -4=0且√−2=0、c −3=0，所以a =4，b =5，c=3，由勾股定理得逆定理得△ABC 是直角三角形，所以r=12×（3＋4－5）=1．11．（2020·菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为______．{答案}32{解析}结合直角三角形斜边中线的性质把∠DCB 等量转化到直角三角形中求余弦值．在Rt △ABC 中，∵点D 为AB 边的中点，∴CD ＝21AB ，∴CD ＝BD ，AB =2CD =6，∴∠DCB =∠B ，∴cos ∠DCB ＝cos B ＝AB BC ＝64＝32． 15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C=90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 在AB 正中位置，E 地与C 相距1 km .若tan ∠ABC=43，∠DEB=45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了 km .{答案}24{解析}过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，设DF=x ， ∵∠DEB=45°，tan ∠ABC=43， ∴tan ∠ABC=BF DF =43，tan ∠DEF=EF DF=1，∴43BF x ，EF x .∵CE=1，∴471133BCx x x .∵DF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DF ∥AC ， ∵D 在AB 正中位置，∴DF 是△ABC 的中位线，∴AC=2DF=2x ， 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan ∠ABC=43， ∴tan ∠ABC=BC AC =43，即237413x x ，解得x =3， ∴AC=6，BC=8， ∴226810AB，∴当小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈时，则他跑了681024AC BC AB km ．15.（2020·安顺）如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为.{答案}45{解析} 过点C ，作CF ∥AB ，交AB 的延长线于点F,作点F 关于直线CD 的对称点G.则,FCE A F ABE ∠=∠∠=∠，CF=CG,DF=DG.∵EB=EA ，∴A ABE ∠=∠，∴FCE F ∠=∠，∴EF=EC.即AC=BF=11. ∵DF=DG=3，∴BG=5. ∵CF=CG, ∴2FGC F CBE ∠=∠=∠ ，即CG=BG=5，则CD=4.在Rt △BDC 中，224845BC =+=.18．（2020·宜宾）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，连结CD 交BE 于点O ．若AC ＝8，BC ＝6，则OE 的长是 ．{答案}9511{解析}在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，根据勾股定理，得AB ＝22AC BC +＝2286+＝10．∴S △ABC ＝24，∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BCD ＝12，如图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点O 分别作OG ⊥AB 于点G ，OH ⊥BC 于点H ，∵BE 平分∠ABC，∴CE＝FE，OG＝OH，设CE＝FE＝m，OG＝OH＝n，∴AE＝8－m，∵S△ABE＝12AE·BC＝12AB·FE，∴AE·BC＝AB·FE，∴6（8－m）＝10m，∴CE＝FE＝m＝3，在Rt△ABC中，∠ECB＝90°，根据勾股定理，得BE＝＝＝3．∵S△BCD＝12BD·OG+12BC·OH，∴12×5×n+12×6×n＝12，∴OG＝OH＝n＝2411，由OH∥BC得BOBE＝OHCE＝24113＝811，∴OE＝311BE．18．（2020·娄底）由4个直角边长分别为,a b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c等于小正方形的面积2()a b-与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理222a b c+=，还可以用证明结论：若0a>，0b>，且22a b+为定值，则当a b时，ab取得最大值.{答案}={解析}本题考查了勾股定理的应用和完全平方公式，设22a b+为定值k，则222kc a b+==，由“张爽弦图”可知，2222()()ab c a b k a b=--=--，即2()2k a bab--=，要使ab的值最大，FGH则2()a b -需最小，又2()0a b -≥，∴当a b =时，2()a b -取得最小值，最小值为0，则当a b=时， 16．（2020·通辽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，∠PCQ ＝90°，则P A 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系是 ．{答案}AP 2+BP 2=2PC 2{解析}如图，连结BQ ．由题意得：∠ACB =∠PCQ =90°，∴∠ACB －∠PCB =∠PCQ －∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∵AC ＝BC ，PC ＝QC ，∴△ACP ≌△BCQ （SAS ），∴AP =BQ ，∠A =∠CBQ =45°，∵∠CBP =45°，∴∠CBP +∠CBQ =90°，∴△PBQ 是直角三角形，∴BQ 2+BP 2=PQ 2，即AP 2+BP 2=PQ 2，∵△PCQ 是等腰直角三角形，∴PQ，故PQ 2=2PC 2，∴AP 2+BP 2=2PC 2．ab 取得最大值，最大值为2k，因此本题填=．18．（2020·邵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,斜边AB =2,过点C 作CF //AB ,以AB 为边作菱形ABEF ,若∠F =30°,则Rt △ABC 的面积为 .{答案}12{解析}本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE ，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE =CG ，最终求出直角三角形面积．如图，分别过点E 、C 作EH 、CG 垂直AB ，垂足为点H 、G ， ∵根据题意四边形ABEF 为菱形，∴AB =BE ， 又∵∠ABE =30°∴在RT △BHE 中，EH =2， 根据题意，AB ∥CF ，根据平行线间的距离处处相等，∴HE =CG =2，∴Rt ABC 的面积为11222．因此本题答案为12．12． （2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【解析】由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．16．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝32ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．三、解答题22．（2020·哈尔滨）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以CD为边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长1010 .连接EG，请直接写出线段EG的长.{解析}本题考查了使用正方形判定等进行尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形尺规作图方法是解题的关键，（1）以A 和B 为圆心，AB 为半径作圆，格点即为点F 和点E ；（2）因为△CDG 的周长1010 ，CD ＝10，所以腰长是5，以C 或D 为圆心，5个格长为半径作圆，格点即为点G ，最后勾股得出EG ＝51222＝＋． {答案}解：(1)如图所示.(2)如图所示， EG ＝516．（2020·贵阳）（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．{答案}解：（1）如图①中，△ABC 即为所求．（2）如图②中，△ABC 即为所求．（3）△ABC 即为所求． FEG23．（2020·随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足321S S S =+的有 个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为21S S 、，直角三角形面积为3S ，请判断321S S S 、、的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示) ①=+++2222d c b a ；②b 与c 的关系为 ，a 与d 的关系为 .{解析}本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法．（1）①按照教材内容叙述勾股定理的内容；②利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于a 、b 、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；（2）①在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明321S S S =+，进而得到答案为3；②首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出321S S S 、、，然后结合勾股定理证明321S S S =+.（3）①首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和等于正方形M 的面积，然后代入数值可以得到=+++2222d c b a 2m .②利用∠1=∠2=∠3=∠α，得到它们的正切值ef c d a b ==，再结合勾股定理解方程组可以确定b=c ，a+d=m.{答案}解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）……1分②证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即22)(421a b ab c -+⋅=，化简得222c b a =+.在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即421)(22⋅+=+ab c b a ，化简得222c b a =+.在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即221221))((21c ab b a b a +⋅=++，化简得222c b a =+.……………3分(2)①3……4分②结论321S S S =+.……5分 证明如下：∵232221)2(21)2(21)2(21c S ba S S πππ-++=+3222)(81S c b a +-+=π∵222c b a =+，∴321S S S =+.…………………7分(3)①如图所示，由（1）②的证明可知：M F E D C B A S S S S S S S =+=+++，∵大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ， ∴=+++2222d c b a 2m .答案：2m …8分②如图所示，设正方形E 、F 的边长分别为e 、f ，∵∠1=∠2=∠3=∠α，∴ef c d a b ==. 又∵=+++2222d c b a 2m ，222e b a =+，∴222f d c =+，∴b=c ，a+d=m.答案：b=c ，…9分a+d=m.…11分23．（2020·随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足321S S S =+的有 个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为21S S 、，直角三角形面积为3S ，请判断321S S S 、、的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示) ①=+++2222d c b a ；②b 与c 的关系为 ，a 与d 的关系为 .{解析}本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法．（1）①按照教材内容叙述勾股定理的内容；②利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于a 、b 、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；（2）①在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明321S S S =+，进而得到答案为3；②首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出321S S S 、、，然后结合勾股定理证明321S S S =+.（3）①首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和等于正方形M 的面积，然后代入数值可以得到=+++2222d c b a 2m .②利用∠1=∠2=∠3=∠α，得到它们的正切值ef c d a b ==，再结合勾股定理解方程组可以确定b=c ，a+d=m.{答案}解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）……1分②证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即22)(421a b ab c -+⋅=，化简得222c b a =+. 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即421)(22⋅+=+ab c b a ，化简得222c b a =+.在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即221221))((21c ab b a b a +⋅=++，化简得222c b a =+.……………3分(2)①3……4分②结论321S S S =+.……5分 证明如下：∵232221)2(21)2(21)2(21c S ba S S πππ-++=+3222)(81S c b a +-+=π∵222c b a =+，∴321S S S =+.…………………7分(3)①如图所示，由（1）②的证明可知：M F E D C B A S S S S S S S =+=+++，∵大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，∴=+++2222d c b a 2m .答案：2m …8分②如图所示，设正方形E 、F 的边长分别为e 、f ，∵∠1=∠2=∠3=∠α，∴ef c d a b ==. 又∵=+++2222d c b a 2m ，222e b a =+，∴222f d c =+，∴b=c ，a+d=m.答案：b=c ，…9分a+d=m.…11分23.（2020·牡丹江）等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝45°，以AC 为腰作等腰直角三角形ACD ，∠CAD 为90°，请画出图形，并直接写出点B 到CD 的距离.{解析}根据题目条件先画出相应的图形，分点D 在AC 的左侧或右侧两种情况讨论，然后根据特殊的45°角及相关线段长度，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求出点B 到CD 的垂线段的长度，即点B 到CD 的距离.{答案}解：本题有两种情况：点B 到CD 的距离为22；点B 到CD 的距离为4-22.（每图正确得1分，每个答案正确得2分）16. （2020·安顺）如图，在44⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形.（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.图①图②图③{解析} 画直角三角形的关键在于利用勾股定理的逆定理，即一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，同时，合理使用格点三角形的特征.（1）显然利用边长为3、4、5即可画出直角三角形；（22的特点画直角三角形；（3画出直角三角形.本题画法不唯一. {答案}（答案不唯一）（1）答图①（2）答图②（3）答图③。
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
2012年年全国各地中考数学真题分类详解：直角三角形与勾股定理
2012年全国各地中考数学真题分类汇编第24章直角三角形与勾股定理一.选择题1．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．考点：勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB==15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD===，则点C到AB的距离是．故选A点评：此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2.（2012毕节）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC 的长是（ ） A.23B.2C.43D. 4解析：求出∠ACB ，根据线段垂直平分线求出AD=CD ，求出∠ACD 、∠DCB ， 求出CD 、AD 、AB ，由勾股定理求出BC ，再求出AC 即可．解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，∵DE 垂直平分斜边AC ，∴AD=CD ，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB =60°-30°=30°， ∵BD=1，∴CD=2=AD ，∴AB=1+2=3，在△BCD 中，由勾股定理得：CB=3，在△ABC 中，由勾股定理得：AC=22BC AB =32，故选A ．点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．3.（2012湖州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AB=10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是（ ） A.20 B.10 C.5 D.25【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=21AB=21×10=5. 【答案】选：C ．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。
中考数学总复习《直角三角形与勾股定理》考点梳理及典例讲解课件
A.2，3，4 B.3，4，5 C.4，5，6 D.5，6，7
2.如果一个三角形三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是( )
B
A. B. C. D.
3.三角形的三边长分别为,,，且满足，则此三角形是( )
B
A.以为斜边的直角三角形 B.以为斜边的直角三角形C.以为斜边的直角三角形 D.以,为腰的等腰三角形
3，或
（2） 如图，在中，已知,,于点，且，点是边上的一动点.若为直角三角形，则的长为____________________.
，或
1.小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他可以选择的三条线段的长度是( )
解法归纳 探究直角三角形，直角三角形的顶点不确定时，可分类讨论直角顶点是哪个顶点或哪条边为斜边.其中有关线段长度的计算方法有：①利用勾股定理列方程求解；②利用相似三角形的对应边成比例列方程求解；③借助直角三角形边角关系中的三角函数求解；④利用图形的面积相等列方程求解.
（1） （原创）在矩形中，,，点在上，，点在上，连接，点是的中点.若是直角三角形，则的长度可能是_______________.
体验3 [2023·南昌模拟] 下图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯的坡度12.李老师乘扶梯从底端以的速度用时到达顶端，则李老师上升的垂直高度为____．
类型一 直角三角形的性质与判定
例 1 如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接.
（1）若， ，则 .
（2）若，．
① 求证：是直角三角形.
② 求的长．
类型二 与直角三角形有关的分类探究题
例 2 如图，将矩形按如图所示方式放置，点，点是线段，上的动点（不与线段端点重合）.将沿直线折叠，得到,连接，．当为直角三角形时，点的坐标可能是_____________________.
中考勾股定理知识点总结
中考勾股定理知识点总结勾股定理是许多学生在学习数学时接触到的一个重要内容。
它是一条基本定理，适用的范围非常广泛，对于解决直角三角形的各种问题都有着重要的意义。
勾股定理的内容是对直角三角形中的三条边之间的关系的描述。
具体来说，它是指在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。
这一定理的数学表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度。
在中学数学中，学生通常是在初中阶段接触到勾股定理的。
在初中数学教学中，勾股定理主要涉及到勾股定理的理论内容、勾股定理的应用和勾股定理的证明。
下面，我们就这三个方面对勾股定理的知识点进行总结。
一、勾股定理的理论内容勾股定理规定了直角三角形中三条边之间的关系，它是一个基础而重要的数学定理。
1. 直角三角形直角三角形是一个三角形，其中包含一个直角。
直角三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中角C为直角。
假设直角三角形的斜边长为c，直角边的长度分别为a、b。
2. 勾股定理的表述勾股定理指出在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2。
3. 勾股定理的要点勾股定理的要点是直角三角形中三条边之间的关系。
斜边的平方等于直角边的平方和。
二、勾股定理的应用勾股定理在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决直角三角形的各种问题。
1. 求边长由勾股定理可知，如果已知直角三角形的两个直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。
即c = √(a^2 + b^2)。
2. 验证直角三角形在求解直角三角形的相关问题时，有时需要先验证三角形是否为直角三角形。
这时可以利用勾股定理进行验证。
3. 解决现实问题勾股定理在现实生活中也有着广泛的应用。
比如，利用勾股定理可以计算建筑物的高度、测量地理位置、解决航空航天等问题。
三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中比较常用的有几何法证明、代数法证明和物理法证明等。
中考数学-勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD ==答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形。
勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)
AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理作为数学中的一条基本定理，是数学中的重要知识点。
它描述了直角三角形三条边之间的关系，充分利用了勾股定理可以解决很多与直角三角形相关的问题。
下面将对勾股定理的知识点进行归纳，并对常见的勾股定理题型进行分类。
一、知识点归纳：1.勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的符号表示：对于直角三角形ABC，设斜边为c，两直角边分别为a和b，可以表示为：$a^2+b^2=c^2$。
3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足$a^2+b^2=c^2$，其中a、b、c为三角形的边长，那么这个三角形一定是直角三角形。
4.勾股定理的证明方法：勾股定理有多种不同的证明方法，比如平方构造法和几何法。
5.勾股定理的推广应用：勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广应用到其他类型的几何形状中。
二、题型归类：根据勾股定理的应用不同场景，常见的题型可以归类为以下几种：1.求边长问题：(1)已知两边求第三边：已知直角三角形两直角边的长度，求斜边的长度。
(2)已知一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求另一边的长度。
(3)已知斜边和一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求未知边的长度。
2.求角度问题：(1)已知两边求夹角：已知直角三角形两直角边的长度，求两直角边之间的夹角。
(2)已知斜边和一边求夹角：已知直角三角形一边和斜边的长度，求斜边与该边之间的夹角。
3.判断问题：(1)判断是否为直角三角形：已知三角形的三边长度，判断是否为直角三角形。
4.应用问题：(1)三角形的面积问题：已知直角三角形的两个直角边的长度，求其面积。
(2)其他几何问题：如斜边长为x的直角三角形，边的长度与斜边比为1：4，求边的长度。
以上是一些常见的勾股定理题型，通过不同的题目训练可以更好地掌握勾股定理的应用和解题思路。
在解题的过程中，需要根据问题的具体要求，合理运用勾股定理的知识，灵活运用数学方法，进行推导和计算，以得到准确的结果。
中考重点直角三角形的性质与应用
中考重点直角三角形的性质与应用中考重点：直角三角形的性质与应用直角三角形是初中数学中的基础概念之一，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍直角三角形的特征和性质，并讨论它在解决实际问题中的应用。
1. 直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，边长最长的一边称为斜边，与直角相邻的两条边称为直角边。
2. 直角三角形的性质(1) 勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²，其中a、b分别表示直角边的长度，c表示斜边的长度。
(2) 正弦定理：直角三角形中，斜边与直角边的比值等于两条直角边中一条与斜边的比值的倒数。
即sinA = b/c，sinB = a/c，其中A、B 分别表示直角三角形的两个锐角。
(3) 余弦定理：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和减去这两条直角边的乘积的两倍。
即c² = a² + b² - 2abcosC，其中C 表示直角三角形的另一个锐角。
3. 直角三角形的应用(1) 导航定位：直角三角形的性质可以用于导航定位。
例如，在实际航行中，如果我们知道自己距离目标位置的水平距离和高度差，就可以利用正弦定理或余弦定理来计算出与目标的距离和高度差。
(2) 建筑测量：直角三角形的性质可以用于建筑测量中。
例如，在测量房屋的高度时，可以利用直角三角形的特征，通过测量水平距离和仰角来计算出房屋的高度。
(3) 斜面运动：直角三角形的性质可以应用于斜面运动问题。
例如，在物体下滑的过程中，我们可以利用正弦定理或者余弦定理来计算物体在斜面上的加速度、速度以及滑动的时间。
(4) 地理测量：直角三角形的性质可以用于地理测量。
例如，我们可以使用直角三角形的特征来测量两地之间的直线距离，或者测量山的高度。
总之，直角三角形是一种十分重要的三角形，在许多实际问题中都有着广泛应用。
掌握直角三角形的性质和应用，对于解决实际问题和发展数学思维具有重要意义。
初中数学知识归纳勾股定理与直角三角形
初中数学知识归纳勾股定理与直角三角形初中数学知识归纳：勾股定理与直角三角形数学在我们的生活中无处不在，它是一门精确而重要的学科。
而在数学中，勾股定理与直角三角形是初中数学中一个重要的知识点。
本文将对这一知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握。
一、勾股定理的概念及应用勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个几何定理。
其表述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
即对于一个直角三角形，设直角边分别为a、b，斜边为c，则有a² + b² = c²。
在实际应用中，勾股定理有很大的作用。
首先，勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三边满足a² +b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
其次，基于勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长。
当我们已知两个边长时，可以通过勾股定理求解第三个边长。
此外，勾股定理还可以用来解决一些实际问题，比如测量等。
二、直角三角形的特点及性质直角三角形是一种特殊的三角形，其特点和性质值得我们深入了解。
1. 直角三角形的特点：直角三角形有一个内角为90度，即直角。
直角三角形的斜边是最长的边，对应角是90度。
直角三角形的两个直角边可以称为腿。
2. 直角三角形的性质：对于一个直角三角形，斜边长等于两直角边长度的最大值。
直角三角形的两条直角边之一变大，斜边会变大，而另一条直角边变大，斜边也会变大。
直角三角形中，两个锐角是互余角（互补对）。
三、勾股定理的证明及推导勾股定理虽然简单易懂，但我们还是可以通过几何分析来证明和推导它。
1. 证明勾股定理：假设直角三角形的两个直角边长分别为a、b，斜边为c。
我们可以通过构造两个相似三角形来证明勾股定理。
具体步骤是，我们通过将一个直角三角形绕斜边分成两个相似三角形，然后利用三角形的相似性质，得到一个等式a/c = c/b。
通过变形，我们可以推导出a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。
2012中考数学考点三角形面积
2012中考数学考点三⾓形⾯积例析平⾯直⾓坐标系中三⾓形⾯积的求法湖北省黄⽯市下陆中学 陈 勇我们常常会遇到在平⾯直⾓坐标系中求三⾓形⾯积的问题.解题时我们要注意其中的解题⽅法和解题技巧.现举例说明如下.⼀、有⼀边在坐标轴上例1 如图1，平⾯直⾓坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三⾓形ABC 的⾯积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y 分析：轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三⾓形的⾯积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的⾼为3，解：⼆、有⼀边与坐标轴平⾏例2 如图2，三⾓形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三⾓形ABC的⾯积.分析：分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平⾏，因⽽AB的长度易求.作AB边上的⾼CD，则D 点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进⽽可求得三⾓形ABC的⾯积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的⾼CD，则D点的横坐标为4，所以解：CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平⾏例3 如图2,平⾯直⾓坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三⾓形ABC的⾯积吗？分析：分析：由于三边均不平⾏于坐标轴，所以我们⽆法直接求边长，也⽆法求⾼，因此得另想办法.根据平⾯直⾓坐标系的特点，可以将三⾓形围在⼀个梯形或长⽅形中，这个梯形（长⽅形）的上下底（长）与其中⼀坐标轴平⾏，⾼（宽）与另⼀坐标轴平⾏.这样，梯形（长⽅形）的⾯积容易求出，再减去围在梯形（长⽅形）内边缘部分的直⾓三⾓形的⾯积，即可求得原三⾓形的⾯积.解：如图，过点A、C分别作平⾏于y轴的直线，与过点B平⾏于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.。
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中考数学复习（26）：直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。
它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。
答案：338 例1图32ED CBA例2图QPCBA【例2】如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠ACB 的度数。
分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，而应综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝600来构造出含300角的直角三角形。
这是解本题的关键。
答案：∠ACB ＝750（提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连结BQ ，则AQ ＝BQ ＝CQ ）探索与创新：【问题一】如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝300，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A 点）距离公路（MN ）的最近距离（AD ＝80米）入手，在距A 点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：作AD ⊥MN 于D ，在Rt △ADP 中，易知AD ＝80。
所以这所学校会受到噪声的影响。
以A 为圆心，100米为半径作圆交MN 于E 、F ，连结AE 、AF ，则AE ＝AF ＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED ＝FD ＝60，EF ＝120，从而学校受噪声影响的时间为：150118000120==t （小时）＝24（秒）评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。
问题一图F E D AQPNM12 CBA问题二图【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C 移动，且台风中心风力不变。
若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?解：（1）如图1，由点A 作AD ⊥BC ，垂足为D 。
∵AB ＝220，∠B ＝30°∴AD ＝110（千米）。
由题意知，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。
故该城市会受到这次台风的影响。
（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。
则AE ＝AF ＝160。
当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响。
由勾股定理得：1530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE 。
∴EF ＝6015（千米）。
∵该台风中心以15千米／时的速度移动。
∴这次台风影响该城市的持续时间为154151560=（小时）。
（3）当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5（级）。
评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE ＝AF ＝160；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大。
跟踪训练：一、填空题：1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x ，则x 的取值范围是 。
2、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ 。
第2题图 13125DCB A第3题图 DCBA第5题图 DCBA3、如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ 。
4、等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ 。
5、如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 。
6、已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ 。
7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。
第7题图FEODCBA第8题图 EQ PDCBA第9题图 DC BA8、如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。
已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ 。
9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 。
二、选择题：1、如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）A 、全部正确B 、仅①和②正确C 、仅①正确D 、仅①和③正确 2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定3、在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ）A 、大于900B 、小于900C 、等于900D 、不能确定第1题图S R Q PCBA第4题图OCBA4、如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠OAB 的度数为（ ）A 、100B 、150C 、200D 、250 三、解答题：1、阅读下面的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足42222a cbc a =-4b -，试判断△ABC 的形状。
解：∵42222a cbc a =-4b -……①∴))(()(2222222b a b a b a c -+=-……② ∴222c b a =+……③∴△ABC 是直角三角形。
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。
2、已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长。
3、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。
（1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE 。
第3题图GEDCBA4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB ＝900，BC ＝60米，∠A ＝360。
（1）若入口E 在边AB 上，且与A 、B 等距离，请你在图中画出入口E 到C 点的最短路线，并求最短路线CE 的长（保留整数）；（2）若线段CD 是一条水渠，并且D 点在边AB 上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。
参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090第4题图CBA5、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。
（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。
参考答案： 一、填空题：1、10或72；2、16.9；3、1350；4、33cm 2；5、13-；6、5；7、48、7；9、49 二、选择题：BDCB 三、解答题：1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：过A 作AD ⊥BC 于D ，则AB ＝23，AC ＝323、提示：连结ED4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB 垂直，造价2427元。
5、（1）2；（2）k ＝4或3，当k ＝4时，面积为12。