《导数的概念及其几何意义》课件1 (北师大版选修2-2)
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北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5
导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
第二章
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不
2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大选修2-2)
1．函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在 Δy 当自变量的改变量趋于零时的极限，若li Δx→0 m 存在，则 Δx 函数y＝f(x)在点x0处就有导数． 2．f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0)) 处的切线的斜率．
[例1]
4 求函数y＝ 2在x＝2处的导数． x
解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)， 3＋Δx2－9 则割线PQ的斜率为kPQ＝ ＝6＋Δx. Δx 当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在 点P(3,9)处的切线的斜率为6.
答案：6
2 5．求曲线f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程． 2 解：∵点(－2，－1)在曲线y＝x上，
2．切线的定义：
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于 点A ，割 线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点 A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在 3．导数的几何意义： 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的 切线的斜率 ． 点A 处的切线．
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8则
2 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)， ∵Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x) ＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx， Δy ∴ ＝2x＋Δx－3. Δx Δy ∴f′(x)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 (2x＋Δx－3)＝2x－3. m Δx
2.2导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
导数的概念及其几何意义
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0) Δy fx1－fx0 变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ Δx x1－x0 fx0＋Δx－fx0 . Δx
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
(2)会用导数的定义、导数的几何意义解决与曲线的切 线有关的问题． 2．过程与方法 通过对瞬时变化率的研究，体会“逼近”的含义，经过 思考、讨论、探究，抽象概括出导数的定义；并通过斜率公 式由割线斜率“逼出”曲线的切线斜率与导数的关系． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对平均速度、瞬时速度的研究、推广，经历建 立导数概念的过程，体会由特殊到一般及认识事物的规律， 并感受其中蕴含的逼近思想；
2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
ℎ →0
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
答案：-1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 4 6.（2010·漳州高二检测）求曲线y= 1 x3+x在点（1, )处 3 3 的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解题提示】求切线的斜率k=f′(1) →求切线方程→求 切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积.
【解析】
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2×(1+a)=0,即a= 1 时， 2 解得x1=x2= 1 , 此时点P与Q重合. 2 即当a= 1 时C1和C2有且仅有一条公切线. 2 由①得公切线方程为y=x 1 . 4
思路点拨：解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量
Δt,再利用公式求解，最后说明运动状况.
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（
（A）6
）
（B）18 （C）54 （D）81
2.一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下
降，温度T（单位:℃）与时间t(单位:min）间的关系，由函数
【解析】
答案：
5.如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P
点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=__________.
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
答案：-1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 4 6.（2010·漳州高二检测）求曲线y= 1 x3+x在点（1, )处 3 3 的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解题提示】求切线的斜率k=f′(1) →求切线方程→求 切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积.
【解析】
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2×(1+a)=0,即a= 1 时， 2 解得x1=x2= 1 , 此时点P与Q重合. 2 即当a= 1 时C1和C2有且仅有一条公切线. 2 由①得公切线方程为y=x 1 . 4
思路点拨：解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量
Δt,再利用公式求解，最后说明运动状况.
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（
（A）6
）
（B）18 （C）54 （D）81
2.一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下
降，温度T（单位:℃）与时间t(单位:min）间的关系，由函数
【解析】
答案：
5.如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P
点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=__________.
导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修
等
控制系统：通 过导数计算， 实现自动控制， 如汽车自动驾 驶系统、机器 人控制系统等
信号处理：通 过导数计算， 实现信号处理， 如图像处理、
音频处理等
力学分析：通 过导数计算， 实现力学分析， 如流体力学、
固体力学等
导数在科学计算中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于求解函数极限、导数、积分等问题 物理：导数用于描述物理量随时间的变化率，如速度、加速度、力等 工程：导数用于求解工程问题，如电路分析、流体力学、热力学等 经济：导数用于描述经济变量随时间的变化率，如价格、需求、供给等
感谢观看
汇报人：
导数在经济学中的应用
边际分析：通过 导数计算边际成 本、边际收益等
弹性分析：通过 导数计算价格弹 性、需求弹性等
优化问题：通过 导数求解最优化 问题，如利润最 大化、成本最小 化等
动态分析：通过 导数分析经济系 统的动态变化， 如经济增长、通 货膨胀等
导数在工程学中的应用
优化设计：通 过导数计算， 找到最优解， 如桥梁设计、 建筑结构设计
导数与函数图像的变化趋势Biblioteka 导数是函数在某一点的切线斜 率
导数可以反映函数在某一点的 变化率
导数可以预测函数图像的变化 趋势
导数可以帮助我们理解函数的 极值和拐点
导数与极值点的关系
导数等于零的点是函数在该 点处的极值点
导数大于零的点是函数在该 点处的递增点
极值点是函数在某一点处的 最大值或最小值
导数小于零的点是函数在该 点处的递减点
导数的概念及其 几何意义
,
汇报人：
单击添加目 录标题
导数的概念
导数的几何 意义
导数的应用
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控制系统：通 过导数计算， 实现自动控制， 如汽车自动驾 驶系统、机器 人控制系统等
信号处理：通 过导数计算， 实现信号处理， 如图像处理、
音频处理等
力学分析：通 过导数计算， 实现力学分析， 如流体力学、
固体力学等
导数在科学计算中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于求解函数极限、导数、积分等问题 物理：导数用于描述物理量随时间的变化率，如速度、加速度、力等 工程：导数用于求解工程问题，如电路分析、流体力学、热力学等 经济：导数用于描述经济变量随时间的变化率，如价格、需求、供给等
感谢观看
汇报人：
导数在经济学中的应用
边际分析：通过 导数计算边际成 本、边际收益等
弹性分析：通过 导数计算价格弹 性、需求弹性等
优化问题：通过 导数求解最优化 问题，如利润最 大化、成本最小 化等
动态分析：通过 导数分析经济系 统的动态变化， 如经济增长、通 货膨胀等
导数在工程学中的应用
优化设计：通 过导数计算， 找到最优解， 如桥梁设计、 建筑结构设计
导数与函数图像的变化趋势Biblioteka 导数是函数在某一点的切线斜 率
导数可以反映函数在某一点的 变化率
导数可以预测函数图像的变化 趋势
导数可以帮助我们理解函数的 极值和拐点
导数与极值点的关系
导数等于零的点是函数在该 点处的极值点
导数大于零的点是函数在该 点处的递增点
极值点是函数在某一点处的 最大值或最小值
导数小于零的点是函数在该 点处的递减点
导数的概念及其 几何意义
,
汇报人：
单击添加目 录标题
导数的概念
导数的几何 意义
导数的应用
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北师大版导数的概念与导数的几何意义-PPT
北师大版高中数学选修2-2第 二章《变化率与导数》
1
一、教学目标：理解导数的概念，会 利用导数的几何意义求曲线上某点处的 切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线 斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
13
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x－1，则 P 点坐标为____. (2,8)或(－2,－4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值范围为______.
___ .
2
11
1.过点 (1,0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
解析：设 (x1, y1) 为作抛物线 y x2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
1
一、教学目标：理解导数的概念，会 利用导数的几何意义求曲线上某点处的 切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线 斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
13
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x－1，则 P 点坐标为____. (2,8)或(－2,－4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值范围为______.
___ .
2
11
1.过点 (1,0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
解析：设 (x1, y1) 为作抛物线 y x2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
������ ������
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
高中数学第2章变化率与导数2导数的概念及其几何意义课件北师大版选修2_2
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
[规范解答] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0). 1分
∵f′(x0)＝Δlxi→m 0
x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x30－2x20＋3 Δx
＝3x20－4x0，
4分
由导数的几何意义，得3x20－4x0＝4.
解得：x0＝－23或x0＝2.
6分
∴切点坐标为－23，4297或(2,3).
x0点的导数．用符号__f′__(_x0_)__表示，记作：f′(x0)＝ fxx11－－xf0x0＝x1l→imx0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
x1l→imx0
(1)导数是研究在点x0处及其附近函数的改变量 Δy与自变量改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，
若Δlxi→m 0
x3，求曲线在点P(3,9)处的切线方
程．
[思路导引] 由于点P在曲线上，故可以求函数在x＝3处
的导数，就是所求切线的斜率，利用点斜式求得切线方程．
北师大版高中数学选修2-2课件2.2.1导数的概念课件
表示f服(1药0)后110.5min时，药浓度上升速 度为1.5ug/(ml·min)，若保持此速度，每经过1min药 浓度将上升1.5ug/ml；
表示f (1服00药) 后100.60min时，药浓度下降速 度为0.6ug/(ml·min)，若保持此速度，每经过1min药 浓度将下降0.6ug/ml。
时变化率。
数学上称这个瞬时变化率为在点的y f (x) x0
导数，用表f (示x0，) 记作
f
( x0
)
lim
x1 x0
f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
lim x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
例1一条水管中流过的水量是时y 间(mx3()s)的函
解析
例3服药后，人体血液中的药浓度y(ug/ml)是时间t
(min)的函数y=f(t)，假设y=f(t)在t=10和t=100处 的导数分别为和f ，(10试) 解 1释.5其 f (100) 0.6 实际意义。
解析
动手做一做
提炼原油时，需对原油进行加热和冷却，若原油 温度与时间(h)的函数关系为
例2
解析：导数是瞬时变化率，本题中指生产效率。
表示工f作(11)h时4 ，其生产速度是4kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产4kg食品； 表示工f (作3)3h3时.5，其生产速度是3.5kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产3.5kg食品。
例3
分析：本题导数表示药液浓度的瞬时变化率。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
复习引入
函数中关于y的平f均(变x)化率y 为：x
y f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
表示f (1服00药) 后100.60min时，药浓度下降速 度为0.6ug/(ml·min)，若保持此速度，每经过1min药 浓度将下降0.6ug/ml。
时变化率。
数学上称这个瞬时变化率为在点的y f (x) x0
导数，用表f (示x0，) 记作
f
( x0
)
lim
x1 x0
f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
lim x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
例1一条水管中流过的水量是时y 间(mx3()s)的函
解析
例3服药后，人体血液中的药浓度y(ug/ml)是时间t
(min)的函数y=f(t)，假设y=f(t)在t=10和t=100处 的导数分别为和f ，(10试) 解 1释.5其 f (100) 0.6 实际意义。
解析
动手做一做
提炼原油时，需对原油进行加热和冷却，若原油 温度与时间(h)的函数关系为
例2
解析：导数是瞬时变化率，本题中指生产效率。
表示工f作(11)h时4 ，其生产速度是4kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产4kg食品； 表示工f (作3)3h3时.5，其生产速度是3.5kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产3.5kg食品。
例3
分析：本题导数表示药液浓度的瞬时变化率。
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复习引入
函数中关于y的平f均(变x)化率y 为：x
y f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
《导数的概念及其几何意义》PPT 北师大版选修PPT课件
5、位移的导数是速度；速度的导数是加速度。
五、曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
g
g
当△t→0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g
在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于 在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度 当△t→0的极限，
v li m s lig m 6 t 3 g 2.4 9 m /s
t 0 t t 02
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
=0.305g(m)
所以 v1 st1 10.3 0.10 g 53.0g 5(m/s)
同 理
v2 st220.00.031 g030.050g(m 5/s)
v3 s t3 30 .00 .0 00 3 g1 03 .0 00 0 g(m 0 5/s5 )
例1是计算了[3，3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
处的切线方程。
→深化拓展
• （08湖北高考文T17）
② 已知函f数 (x)x32x24x1,若斜率
为5的直线是曲 y线 f (x)的切线，求 此直线方. 程
合作探究，理性升华
③.已知函数 f (x) x3 3x8.求曲线y f (x)过点（ 2，6）处的切线方程。
学而不思则罔
五、曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
g
g
当△t→0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g
在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于 在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度 当△t→0的极限，
v li m s lig m 6 t 3 g 2.4 9 m /s
t 0 t t 02
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
=0.305g(m)
所以 v1 st1 10.3 0.10 g 53.0g 5(m/s)
同 理
v2 st220.00.031 g030.050g(m 5/s)
v3 s t3 30 .00 .0 00 3 g1 03 .0 00 0 g(m 0 5/s5 )
例1是计算了[3，3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
处的切线方程。
→深化拓展
• （08湖北高考文T17）
② 已知函f数 (x)x32x24x1,若斜率
为5的直线是曲 y线 f (x)的切线，求 此直线方. 程
合作探究，理性升华
③.已知函数 f (x) x3 3x8.求曲线y f (x)过点（ 2，6）处的切线方程。
学而不思则罔
2016高考数学 2.2导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
错因分析:上述解法错在将点 M(1,1)当成了曲线 y=x3+1 上的点.因此在
求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.
探究一
探究二
探究三
正解:y'=3x2(解法同错解),设过点 M(1,1)的切线与 y=x3+1 相切于点
P(x0,x03 +1),据导数的几何意义,函数在点 P 处的切线的斜率为 k=3x02 ,过点
x30 +1-1
x30 +1-1
x30
2
2
M(1,1)的切线的斜率 k=
,由 3x0 =
得,3x0 =
,解得 x0=0 或
x0 -1
x0 -1
x0 -1
3
27
x0= ,所以 k=0 或 k= ,因此,y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有两条,分别为
2
4
27
y-1= (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 和 y=1.
§2.2
导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,
体会由平均变化率过
渡到瞬时变化率的过
程,了解导数概念建
立的背景.
2.理解瞬时变化率的
含义,并知道瞬时变
化率就是导数.
3.会求函数 f(x)在某
一点 x0 处的导数.
4.理解导数的几何意
义,并能利用几何意
义解决相关问题.
5.会求与导数相关的
切线问题.
1
2
1.导数的概念
设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数
值 y 关于 x 的平均变化率为
求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.
探究一
探究二
探究三
正解:y'=3x2(解法同错解),设过点 M(1,1)的切线与 y=x3+1 相切于点
P(x0,x03 +1),据导数的几何意义,函数在点 P 处的切线的斜率为 k=3x02 ,过点
x30 +1-1
x30 +1-1
x30
2
2
M(1,1)的切线的斜率 k=
,由 3x0 =
得,3x0 =
,解得 x0=0 或
x0 -1
x0 -1
x0 -1
3
27
x0= ,所以 k=0 或 k= ,因此,y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有两条,分别为
2
4
27
y-1= (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 和 y=1.
§2.2
导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,
体会由平均变化率过
渡到瞬时变化率的过
程,了解导数概念建
立的背景.
2.理解瞬时变化率的
含义,并知道瞬时变
化率就是导数.
3.会求函数 f(x)在某
一点 x0 处的导数.
4.理解导数的几何意
义,并能利用几何意
义解决相关问题.
5.会求与导数相关的
切线问题.
1
2
1.导数的概念
设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数
值 y 关于 x 的平均变化率为
(北师大版)数学选修2-2：第2章《典例导航：导数的概念及其几何意义》课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出
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1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
O P
β
Δy M
Δx
时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。
x0
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,
y
y=f(x)
Q
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
0
例1：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x)2 x 2 f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
作业:
1.求函数y
2.
1 x
在x 1处的导数。
割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
例2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
导数的几何意义
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记 作 f ( x0 )或y |x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
O P
β
Δy M
Δx
时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。
x0
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,
y
y=f(x)
Q
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
0
例1：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x)2 x 2 f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
作业:
1.求函数y
2.
1 x
在x 1处的导数。
割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
例2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
导数的几何意义
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记 作 f ( x0 )或y |x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x