【全国百强校】高考总复习精品课件25平面向量的数量积-精编
高三一轮复习课件平面向量的数量积
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的 利
性 用
质 向
和 量
几 的何Biblioteka 加意 法义 和简 减
化 法
计 进
算 行
b. 简化
注 计
意 算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几 何 意 义 简 化 计 算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余 弦值的乘积 几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定 理：两个向量 的数量积等于 这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两 个向量的数量 积等于这两个 向量的模的乘 积再乘以这两 个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的 性质：向量数 量积的绝对值 等于这两个向 量的模的乘积 再乘以这两个 向量的夹角的
余弦值
向量数量积的 定理：两个向 量的数量积等 于这两个向量 的模的乘积再 乘以这两个向 量的夹角的余
记开方等
理解错误，如 混淆向量的数 量积和向量积
的性质
应用错误，如 无法正确应用 向量的数量积 解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其 正负性
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其 方向
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
contents
目录
2025年高考数学一轮复习 第七章 -第三节 平面向量的数量积【课件】
2.平行四边形模式:
如图，在平行四边形中, ⋅ =
1
(
4
2
2
− ).
1
2 .
4
自测诊断
1.已知向量 = 2,1 ， = 1,2 ，则 ⋅ =( B )
A.2
B.4
C.−2
D.−4
[解析] 因为 = , ， = , ，所以 ⋅ = × + × = .故选B.
知识拓展
一、数量积的有关结论
1. ±
2
= 2 ± 2 ⋅ + 2 .
2. + ⋅ − = 2 − 2 .
3.2 + 2 = 0 ⇔ = 且 = .
二、极化恒等式
1.极化恒等式的三角形模式:
2
如图，在△ 中，为的中点，则有 ⋅ = −
= π 时，与______；如
同向
反向
π
⊥
果与的夹角是 ，那么我们说与垂直，记作______.
2
（3）向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为 ，我们把数量
cos
cos 叫作向量与的数量积（或内积），记作 ⋅ ，即 ⋅ =___________.规
A. 2
C.2 3
B.2
D.4
[解析] 因为 = ， = ， ⋅ = ，
所以 − =
−
=
+ − ⋅ = + − = .故选B.
4.已知 = 6， = 3，向量在方向上的投影向量是4，则 ⋅ 为( A )
A.12
2.在△ 中， = 5， = 2，∠ = 60∘ ，则 ⋅ 的值为(
平面向量的数量积-PPT资料64页
【解析】 ①∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝12，
又∵|a|＝1，∴|b|＝
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝|aa|··b|b|＝
2
＝ 2
22，
1·2
∴θ＝45°.
②∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，
∴|a－b|＝
2 2.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，
【解析】 解法一 因为|a|＝6，|b|＝4，a 与 b 的夹 角为 60°.
所以，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝6×4×12＝12， (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76， (a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108. 所以，|a＋b|＝2 19，|a－3b|＝6 3.
B．－685
16 C.65
D．－1665
【解析】 由题可知，设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8
＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得 x＝－5，y＝12，故 b＝
(－5,12)，由
a，b ＝|aa|·|bb|＝1665，故选 C.
【答案】 C
(2)已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求： ①a 与 b 的夹角； ②a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值． 【思路分析】 解决本题的关键是求|b|，|a－b|和|a ＋b|的值，然后运用夹角公式求出．
思考题 2 (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－ 6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有(a＋2b)·(a
平面向量的数量积优秀PPT课件
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=பைடு நூலகம்a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
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反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
平面向量的数量积 经典课件(最新)
【命题意图】 本题考查向量的夹角、向量的数量积运算以及向量垂直等基本性质．
【解析】 ∵e1，e2 是互相垂直的单位向量，
∴ 3e1－e2＝( 3，－1)，e1＋λe2＝(1，λ)，
∴cos60°＝
3×12＋（1＋－λ12 ）×λ＝12，∴λ＝
3 3.
【答案】
3 3
高中数学课件
【例 2.2】 (2017 年高考·课标全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1， 则|a＋2b|＝________．
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
高中数学课件
注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则
当 θ＝0°时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|； 当 θ 为锐角时，cosθ>0，a·b>0； 当 θ 为直角时，cosθ＝0，a·b＝0； 当 θ 为钝角时，cosθ<0，a·b<0； 当 θ＝180°时，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.
|a·b|与|a||b|的关系
高中数学课件
几何表示
坐标表示
|a|＝ a·a
a·b＝|a||b|cosθ cosθ＝|aa|·|bb|
A·b＝0 |a·b|≤|a||b|(当且
仅当 a∥b 时 等号成立)
|a|＝ x12＋y12
a·b＝x1x2＋y1y2
cosθ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
高中数学课件
解析：①向量 b 在 a 方向上的投影是一个数量|b|cosθ，它可以为正，可以为负，也
可以为 0，①错误；②a·b>0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，a·b>0 还包含 a 和 b 同向的 情况．同样 a·b<0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角的情况，还包含 a 和 b 反向的情况，② 错误；③由于(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，因此(a·b)c
高考总复习精品课件25平面向量的数量积(1)
2.向量的投影 |a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 3.平面向量数量积的定义 a·b=|a||b|cosθ(θ是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向 量的数量积为0.
4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹 角,则 (1)e·a=a•e=|a|cosθ.
错源四 误用实数的运算律或运算法则而致错
A.0
B. 2 2
C.4
D.8
解析: 因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4a•b=4a2+b2=4+4=8, 故|2a-b|= 2 2 ,选B. 答案:B
3.P是 ABC所在平面上一点,若PA PB PB PC PC PA, 则P是 ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
故 AB 按向量a平移后所得向量坐标是(3,-3),选D.
[剖析] 平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系,它并不 适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式.
[正解]因向量平移后仍与原向量相等. 故 AB AB (2,5), 故 选 B. [答案]B
错源二 利用平移前后的解析式设置陷阱
而|a+b|2=|a|22+2a·b+|b|2=2|a|2+2×1 |a|2 =3|a|2,
2
所以|a+b|= 3 |a|.
设a与a+b的夹角为θ,
则cosθ=
a
(a b)
a2 1 a2 2
3,
| a || a b | 3 | a |2 2
由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.
解法二 : 设a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b | a b | 得,
高中数学总复习考点知识讲解课件26 平面向量的数量积及应用
高中数学总复习考点知识讲解课件第三节平面向量的数量积及应用【课程标准】1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．【必备知识】精归纳1．向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则点睛 确定两个非零向量a 和b 的夹角，必须将两个向量平移至同一起点．2．向量的数量积3.过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos__θ__e向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．点睛注意数量积运算与实数运算的区别，例如：a·b＝a·c(a≠0)⇒/b＝c；a·b＝0⇒/a＝0或b＝0；(a·b)·c≠a·(b·c).5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.【常用结论】1．有关向量夹角的两个结论：(1)两向量a 与b 的夹角为锐角⇔a ·b ＞0且a 与b 不共线； (2)两向量a 与b 的夹角为钝角⇔a ·b ＜0且a 与b 不共线；2．a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |，a 在b 上的投影向量的模为|a·b ||b |.【基础小题】固根基1.(多选题)(列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0 B ．|a ·b |＝|a ||b | C ．(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2【解析】选CD.A 错误，0·a ＝0；B 错误，例如若a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则|a ·b |＝0，|a ||b |＝1；C ，D 正确．2．(结论1)已知a ，b 为非零向量，则“a ·b ＞0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B.根据向量数量积的定义可知，若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角或零角，若a 与b 的夹角为锐角，则一定有a ·b ＞0，所以“a ·b ＞0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件．3．(教材提升)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1且|3a －2b |＝7，则a ，b 的夹角为( )A ．π3B ．π6C ．π4D ．2π3【解析】选A.设a 与b 的夹角为θ， 由题意得(3a －2b )2＝7， 所以9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7， 又|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝12，所以|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以a ，b 的夹角为π3.4．(结论2)已知向量a ＝(1，2)，点A (6，4)，点B (4，3)，b 为向量AB →在向量a 上的投影向量，则|b |＝( )A ．455B ．1C ． 5D ．4【解析】选A.AB →＝(－2，－1)，可知|b |＝|AB →·a ||a |＝|－2×1＋（－1）×25|＝455.5．(向量夹角的概念不清致误)在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝6，BC ＝5，则AB →·BC →＝________．【解析】在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝6，BC ＝5， 则AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos (180°－60°) ＝6×5×(－12)＝－15.答案：－156．(教材变式)已知向量a ＝(2，t )，a －b ＝(1，t －3)，若a ⊥b ，则t ＝________．【解析】因为a ＝(2，t )，a －b ＝(1，t －3)， 所以b ＝a －(a －b )＝(1，3)，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝(2，t )·(1，3)＝2＋3t ＝0， 解得t ＝－23.答案：－23题型一 平面向量数量积的运算[典例1](1)非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的模为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．4 【解析】选B.由a ·b ＝a ·c ，可得|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉， 因为|a |≠0，所以|c |cos 〈a ，c 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos π6＝23，所以c 在a 上的投影向量的模为||c |cos 〈a ，c 〉|＝2 3.(2)(2023·揭阳模拟)已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且∠BAD ＝120°，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．[－2，4] B ．(－2，4) C ．[－2，2] D ．(－2，2)【解析】选A.AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos 〈AB →，AP →〉＝2|AP →|cos 〈AB →，AP →〉，结合图形可知，当点P 与点B 重合时，|AP →|cos 〈AB →，AP →〉最大，此时AP →·AB →＝AB →2＝4， 当点P 与点D 重合时，|AP →|cos 〈AB →，AP →〉最小，此时AP →·AB →＝2×2×cos 120°＝－2，所以AP →·AB→的取值范围是[－2，4]. (3)(2022·全国甲卷)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且|a |＝1，|b |＝3，则(2a ＋b )·b ＝________．【解析】由题意可得a ·b ＝1×3×13＝1，b 2＝9，则(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2＋9＝11. 答案：11(4)正方形ABCD 中，AB ＝2，P 为BC 的中点，Q 为DC 的中点，则PQ →·PC →＝________；若M 为CD 上的动点，则PQ →·PM →的最大值为________． 【解析】以点D 为原点，以直线DC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB＝2，P为BC的中点，Q为DC的中点，则：P(2，1)，Q(1，0)，C(2，0)，所以PQ→＝(－1，－1)，PC→＝(0，－1)，所以PQ→·PC→＝1；设M(x，0)(0≤x≤2)，则PM→＝(x－2，－1)，所以PQ→·PM→＝2－x＋1＝3－x，所以x＝0时，PQ→·PM→的最大值为3.答案：1 3【方法提炼】——自主完善，老师指导计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．【对点训练】1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则AF →·AE →＝( )A ．3B ．2C ．32D ．12【解析】选B.以A 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)，E (1，1)，F (32，12)，所以AF →＝(32，12)，AE →＝(1，1)， 所以AF →·AE→＝32＋12＝2. 2．(2023·淄博模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，F 为AB 的中点，CE ＝3，CB ＝8，AB ＝12，则EA →·EB →＝( )A ．－15B ．－13C ．13D ．15【解析】选C.因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，CB＝8，AB＝12，所以FA＝FB＝6，所以CF＝FB2＋CB2＝62＋82＝10，又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝10－3＝7，所以EA→·EB→＝(FA→－FE→)·(FB→－FE→)＝FA→·FB→－FE→·(FA→＋FB→)＋FE→2＝6×6×(－1)＋7×7＝13.3．(多选题)如图，点A，B在圆C上，则AB→·AC→的值( )A．与圆C的半径有关B．与圆C的半径无关C．与弦AB的长度有关D．与点A，B的位置有关【解析】选BC.如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠CAD ＝|AB →||AC →|12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关． 【加练备选】1．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝__________.【解析】由已知可得()a ＋b ＋c 2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2()a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝0， 因此，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.答案：－922．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN→的最小值为________．【解析】因为AD →＝λBC →， 所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →||AB →|cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则 BO ＝AB cos 60°＝32，AO ＝AB sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy .如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72.又D (1，332)，所以DM →＝(a －1，－332)，DN →＝(a ，－332)，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝(a －12)2＋132≥132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.答案：16132题型二 平面向量数量积的应用 角度1 求平面向量的模[典例2](1)(2022·全国乙卷) 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【解析】选C.因为|a －2b |2＝|a |2－4a ·b ＋4||b 2， 又因为|a |＝1，|b |＝3，|a －2b |＝3， 所以9＝1－4a ·b ＋4×3＝13－4a ·b ， 所以a ·b ＝1.(2)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________．【解析】方法一：由a ·b ＝0，得a ⊥b .如图所示，分别作OA →＝a ，OB →＝b ，作OC →＝a ＋b ，则四边形OACB 是边长为1的正方形，所以|OC→|＝ 2.作OP→＝c，则|c－a－b|＝|OP→－OC→|＝|CP→|＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上．由图可知，当O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP→|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.方法二：由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1).设c＝OC→＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上．所以|c |max ＝2＋1.方法三：易知|a ＋b |＝2，|c －a －b |＝|c －(a ＋b )|≥||c |－|a ＋b ||＝||c |－2|， 由已知得||c |－2|≤1，所以|c |≤1＋2，故|c |max ＝2＋1. 答案：2＋1【方法提炼】——自主完善，老师指导求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a |(2)坐标法：设a ＝(x ，y )，则|a | 角度2 求平面向量的夹角 [典例3]金榜原创·易错对对碰(1)已知向量a ＝(5，5)，b ＝(λ，1)，若a ＋b 与a －b 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为________． 【解析】由题意得(a ＋b )·(a －b )>0， 即a 2－b 2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7； 若a ＋b ＝k (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋λ＝k （5－λ），5＋1＝k （5－1），解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，λ＝1，综上可知λ的取值范围是(－7，1)∪(1，7). 答案：(－7，1)∪(1，7)(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是________． 【解析】因为2a －3b 与c 的夹角为钝角， 所以(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0， 所以4k －6－6<0，所以k <3.若2a －3b 与c 反向共线，则2k －32＝－6，解得k ＝－92，此时夹角不是钝角，综上所述，实数k 的取值范围是(－∞，－92)∪(－92，3).答案：(－∞，－92)∪(－92，3)【方法提炼】求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos θ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π].(2)坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21 ＋y 21 x 22 ＋y 22.角度3 平面向量的垂直问题[典例4](1)(2022·青岛模拟)已知在△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A ．2215 B ．103 C ．6 D ．127【解析】选A.因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λ·AB →2＋AC→2＝0， 整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.(2)(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________．【解析】方法一：a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， 因为(a －λb )⊥b ，所以(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0， 所以3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二：由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0， 即a ·b －λb 2＝0，从而λ＝a·b b 2＝（1，3）·（3，4）32＋42＝1525＝35.答案：35【方法提炼】解平面向量垂直问题的方法(1)依据：非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (2)方法：根据两个向量垂直的充要条件判断或列出相应的关系式，求解参数． 【对点训练】1．(2023·南京模拟)已知a ，b 为单位向量．若|a －2b |＝5，则|a ＋2b |＝( )A ． 3B ． 5C ．7D ．5 【解析】选B.因为|a －2b |＝5， 所以a 2－4a ·b ＋4b 2＝5，解得a ·b ＝0， 所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋4＝5， 所以|a ＋2b |＝ 5.2．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知a ＝(3，4)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋t b ，若〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉，则t ＝( )A ．－6B ．－5C ．5D ．6【解析】选C.c ＝(3＋t ，4)，cos 〈a ，c 〉＝cos 〈b ，c 〉， 即9＋3t ＋165|c |＝3＋t |c |，解得t ＝5.3．(2022·邢台模拟)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(－2，4)，若a ∥c ，a ⊥(b ＋c )，则|c |＝________．【解析】根据题意，设c ＝(x ，y )，向量a ＝(－1，1)，b ＝(－2，4)，若a ∥c ，a ⊥(b ＋c )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，－（x －2）＋（y ＋4）＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，则|c |＝9＋9＝3 2.答案：3 2 【加练备选】1．(多选题)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(1，t )，则下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，则t 的值为－2 B ．||a ＋b 的最小值为1C ．若||a ＋b ＝||a －b ，则t 的值为2D ．若a 与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是(－∞，－12)∪(－12，2)【解析】选BCD.选项A ，a ∥b ⇔－2·t ＝1·1⇔t ＝－12，A 选项错误；选项B ，||a ＋b ＝||（－1，t ＋1）＝（t ＋1）2＋1≥1，当t ＝－1时取等号，B 选项正确；选项C ，||a －b ＝||（－3，1－t ）＝（－t ＋1）2＋9， 根据（－t ＋1）2＋9＝（t ＋1）2＋1，解得t ＝2，C 选项正确； 选项D ，a 与b 的夹角为钝角，则a ·b ＝t －2＜0，且两个向量不能反向共线，注意到A 选项，t ＝－12时，a ＝－2b ，于是t ＜2且t ≠－12.2．已知单位向量a ，b 满足|a ＋b|＞1，则a 与b 夹角的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3 D ．(2π3，π]【解析】选B.方法一：设单位向量a ，b 的夹角为θ，则θ∈[0，π]，|a ＋b |＞1两边平方得a 2＋2a·b ＋b 2＞1，化简得2＋2cos θ＞1， 即cos θ＞－12，又θ∈[0，π]，所以0≤θ＜2π3.方法二：设单位向量a ，b 的夹角为θ，显然当θ＝0时成立；当θ≠0时，如图所示，令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，∠AOB ＝θ，因为a ，b 均为单位向量，所以平行四边形OACB 是边长为1的菱形，则∠AOC ＝θ2，取OC 的中点为D ，连接AD ，则AD ⊥OC ，所以cos ∠AOC ＝cos θ2＝OD OA ＝|a ＋b|2|a|＝|a ＋b|2.因为|a ＋b|＞1，所以cos θ2＞12，又θ∈(0，π]，所以θ2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以0＜θ2＜π3，即0＜θ＜2π3.综上可知，0≤θ＜2π3.题型三 平面向量的综合应用 角度1 平面几何中的向量方法[典例5]如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：AP ＝AB .【证明】如图，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设AB ＝2， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (1，2)，F (0，1).设P (x ，y )，则FP→＝(x ，y －1)， 因为FP →∥CF →，CF →＝(－2，－1)， 所以－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4， 代入x ＝2y －2，解得x ＝65，所以y ＝85，即P (65，85)，所以AP →2＝(65)2＋(85)2＝4＝AB →2， 所以|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB . 【一题多变】[变式1]本例条件下，证明CF ⊥BE .【证明】如图，建立平面直角坐标系xOy ，设AB ＝2，则B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)，CF→＝(－2，－1)，BE→＝(－1，2).所以CF→·BE→＝(－2，－1)·(－1，2)＝2－2＝0，所以CF→⊥BE→，即CF⊥BE.[变式2]本例中，将条件“F是AD的中点”改为“F是AB的中点”，其他条件不变，求直线BE与CF相交所成钝角的余弦值．【解析】如图，建立平面直角坐标系xAy，设AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(1，0)，CF→＝(－1，－2)，BE→＝(－1，2).所以CF→·BE→＝(－1，－2)·(－1，2)＝1－4＝－3，|CF→|＝5，⎪⎪⎪⎪BE→＝5，设CF→，BE→的夹角为θ，则cos θ＝CF→·BE→|CF→||BE→|＝－35×5＝－35.即直线BE 与CF 相交所成钝角的余弦值为－35.角度2 平面向量与三角函数[典例6]在△ABC 中，AB →＝(3sin x ，sin x )，AC →＝(－sin x ，cos x ). (1)设f (x )＝AB →·AC →，若f (A )＝0，求角A 的值；(2)若对任意的实数t ，恒有|AB →－tAC →|≥|BC →|，求△ABC 面积的最大值． 【解析】(1)f (x )＝AB →·AC →＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋sin 2x 2＝sin (2x ＋π3)－32.因为f (A )＝0，所以sin (2A ＋π3)＝32.又因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π3∈(π3，2π＋π3)，所以2A ＋π3＝2π3，所以A ＝π6；(2)如图，设AD→＝tAC →，则AB→－tAC →＝DB →，即|DB →|≥|BC →|恒成立，所以AC ⊥BC .因为|AB →|＝4sin 2x ＝2－2cos2x ≤2，|AC →|＝1， 所以|BC →|＝|AB →|2－|AC →|2≤3， 所以△ABC 的面积为S ＝12BC ·AC ≤32，当且仅当cos 2x ＝0，即x ＝π4＋k π，k ∈Z 时等号成立，所以△ABC 面积的最大值为32.【方法提炼】1．用向量法解决平面几何问题的策略(1)把几何图形放在适当的坐标系中，则有关的点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；(2)选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解．2．向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，解决三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系． 【对点训练】1．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A (1，0)，则( )A ．|OP 1|＝|OP 2|B ．|AP 1|＝|AP 2|C ．OA →·OP 3＝OP 1·OP 2D ．OA →·OP 1＝OP 2·OP 3【解析】选AC.对于A ：|OP 1|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2|＝cos 2β＋sin 2β＝1，所以A 对；因为|AP 1|＝（cos α－1）2＋sin 2α＝2－2cos α， |AP 2|＝（cos β－1）2＋sin 2β＝2－2cos β， 当α＝π3，β＝π6时|AP 1|≠|AP 2|，所以B 错；因为OA →·OP 3＝(1，0)·(cos (α＋β)，sin (α＋β))＝cos (α＋β)，OP 1·OP 2＝(cos α，sin α)·(cos β，－sin β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝cos (α＋β)，OA →·OP 3＝OP 1·OP 2，所以C 对；而OA→·OP 1＝(1，0)·(cos α，sin α)＝cos α， OP 2·OP 3＝(cos β，－sin β)·(cos (α＋β)，sin (α＋β))＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (2β＋α)，所以D 错．2．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长．【解析】以A 为坐标原点，AD ，AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)，B (0，3)，C (3，3)，D (3，0)，AC→＝(3，3)，设AE→＝λAC →，则E 的坐标为(3λ，3λ)， 故BE→＝(3λ，3λ－3). 因为BE ⊥AC ，所以BE →·AC →＝0， 即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝14，所以E (34，34)，故ED →＝(94，－34)，|ED →|＝212， 即ED ＝212.【加练备选】设P是△ABC所在平面内一点，若AB→·(CB→＋CA→)＝2AB→·CP→，且AB→2＝AC→2－2BC→·AP→，则点P是△ABC的( )A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解析】选A.由AB→·(CB→＋CA→)＝2AB→·CP→，得AB→·(CB→＋CA→－2CP→)＝0，即AB→·[(CB→－CP→)＋(CA→－CP→)]＝0，所以AB→·(PB→＋PA→)＝0.设D为AB的中点，则AB→·2PD→＝0，故AB→·PD→＝0.由AB→2＝AC→2－2BC→·AP→，得(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝－2BC→·AP→，即(AB→＋AC→－2AP→)·CB→＝0.设E为BC的中点，则(2AE→－2AP→)·CB→＝0，则2PE→·CB→＝0，故CB→·PE→＝0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．【思维导图·构网络】解题方法拓广角度7平面图形与数量积最值、范围的综合【考情分析】以平面图形为载体的有关数量积的最值问题和范围问题是高考的热点之一，常以选择题、填空题的形式呈现．要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．[解题思路]建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一、几何投影法侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积a·b＝|a||b|cos θ，其几何意义为其中一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，从而转化为数量积问题．[典例1](2020·新高考卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内一点，则AP→·AB→的取值范围为( )A. (－2，6)B. (－6，2)C. (－2，4)D. (－4，6)【解析】选A.根据定义可知AP→·AB→＝|AP→||AB→|cos ∠PAB，其中|AP→|cos ∠PAB表示AP→在AB→方向上的投影．如图所示，当点P与点C相重合时投影最大，而当点P与点F相重合时投影最小．已知|AB→|＝2，则AP→在AB→方向上投影的数量取值范围为(－1，3).结合向量数量积的定义可知，当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，AP→·AB→的取值范围为(－2，6).二、基向量法解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分析．[典例2](2022·保定模拟)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为AB边上任意一点，则CP→·(BA→－BC→)的最大值为________．【解析】因为CP→＝CA→＋AP→，BA→－BC→＝CA→，所以CP →·(BA →－BC →)＝(CA →＋AP →)·CA →＝CA →2＋AP →·CA →＝9－AP →·AC → ＝9－|AP →||AC →|cos ∠BAC ＝9－3|AP →|cos ∠BAC . 因为cos ∠BAC 为正且为定值， 所以当|AP →|最小，即|AP →|＝0时， CP →·(BA →－BC →)取得最大值9. 答案：9三、坐标法(数形结合法)把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. [典例3](1)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3 【解析】选A.解法一：(坐标法)如图，以D 点为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．所以A (1，0)，B (32，32)，在平面四边形ABCD 中知CD ＝ 3.所以设DE ＝t (t ∈[0，3])，所以E (0，t ).所以AE →·BE →＝(－1，t )·(－32，t －32)＝32＋t 2－32t ＝(t －34)2＋2116. 所以当t ＝34时，(AE →·BE →)min ＝2116.解法二：(基向量法)连接AC (图略)，易知DC ＝3，∠CAD ＝60°，设DE ＝x (0≤x ≤3)，则AE →·BE →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →＋DE→) ＝1×1×cos 60°＋12＋0＋x ×1×cos 150°＋0＋x 2＝(x －34)2＋2116≥2116.解法三：(基向量法)如图，取AB 的中点F ，连接EF ，则AE →·BE →＝EA →·EB →＝(EF →＋FA →)·(EF →－FA →)＝EF →2－FA →2＝EF →2－14.可知当且仅当|EF →|最小时，AE →·BE →取最小值．分别过点F ，B 作CD 的垂线，垂足分别为H ，G ，当点E 与H 重合时，EF 取到最小值，易知HF 为梯形DABG 的中位线，由已知得|BG |＝32，|AD |＝1，则|HF |＝12(|BG |＋|AD |)＝54，故|EF |的最小值为54.故AE →·BE →的最小值为2116.(2)(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________．【解析】因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，所以∠BAD ＝180°－∠B ＝120°， 所以AD →·AB →＝λBC →·AB →＝λ|BC →|·|AB →|cos 120°＝λ×6×3×(－12)＝－9λ＝－32，解得λ＝16.以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy ，因为BC ＝6，所以C (6，0)， 因为AB ＝3，∠ABC ＝60°， 所以点A 的坐标为(32，332)，因为AD →＝16BC →，则D (52，332)，设M (x ，0)，则N (x ＋1，0)(其中0≤x ≤5)，所以DM →＝(x －52，－332)，DN →＝(x －32，－332)，DM →·DN →＝(x －52)(x －32)＋(332)2＝x 2－4x ＋212＝(x －2)2＋132，所以当x ＝2时，DM →·DN →取得最小值，最小值为132.答案：16132【加练备选】(2023·广州模拟)如图1，已知AC ＝2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C )，且BM ⊥BN ，则AM →·CN→的最大值为__________．【解析】方法一：由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1. 因为点M 在以AB 为直径的半圆上， 所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ， 设∠MAB ＝θ，则∠NBC ＝θ. 如题图2，建立平面直角坐标系xBy ，则点A (－1，0)，M (－sin 2θ，sin θcos θ)，C (1，0)，N (cos θ，sin θ)， 所以AM →＝(－sin 2θ＋1，sin θcos θ)＝(cos 2θ，sin θcos θ)，CN →＝(cos θ－1，sin θ).于是，AM →·CN →＝cos 2θ·(cos θ－1)＋sin 2θcos θ＝cos 3θ－cos 2θ＋(1－cos 2θ)cos θ＝－cos 2θ＋cos θ＝14－(cos θ－12)2.又易知0<θ<π2，所以，当θ＝π3时，可得AM →·CN →的最大值为14. 答案：14方法二：如题图2，建立平面直角坐标系xBy ，设直线BN 的方程为y ＝kx (k >0)，因为BM ⊥BN ，所以直线BM 的方程为y ＝－1kx .注意到点N 是直线BN 与以AC 为直径的半圆的交点，所以将y ＝kx 与x 2＋y 2＝1联立，可求得点N 的坐标为(11＋k 2，k1＋k2). 注意到点M 是直线BM 与以AB 为直径的半圆的交点， 所以将y ＝－1k x 与(x ＋12)2＋y 2＝14联立，可求得点M 的坐标为(－k 2k 2＋1，kk 2＋1).又点A (－1，0)，C (1，0)，所以向量AM →＝(1k 2＋1，kk 2＋1)，CN →＝(11＋k 2－1，k1＋k2)， 所以AM →·CN→ ＝1k 2＋1(11＋k 2－1)＋k k 2＋1·k1＋k 2 ＝1k 2＋1(k 2＋11＋k 2－1)＝11＋k 2－1k 2＋1 ＝14－(11＋k 2－12)2，故当11＋k 2＝12，即k ＝3时，可得AM →·CN →的最大值为14. 答案：14方法三：由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1， 因为点M 在以AB 为直径的半圆上， 所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ， 所以AM →·BN →＝|AM →|×1×cos 0°＝|AM →|. 因为AM ⊥BM ，AB ＝1，所以|AM→|＝1×cos ∠MAB ＝cos ∠MAB ， 所以AM →·BC →＝AM →·AB →＝|AM →|×1×cos ∠MAB ＝|AM→|2. 于是，AM →·CN →＝AM →·(BN →－BC →)＝AM →·BN →－AM →·BC →＝|AM →|－|AM →|2＝14－(|AM→|－12)2. 又0<|AM →|<1，所以，当|AM →|＝12时， 可得AM →·CN →的最大值为14. 答案：14方法四：如图3，分别延长AM ，CN ，设其交点为E ，并设ME 与大半圆的交点为D ，连接CD ，则易知AM ⊥MB ，AD ⊥DC ， 所以BM ∥CD ，又B 为AC 的中点，所以M 为AD 的中点，所以AM →＝12AD →. 又易知AE →∥BN →，且B 为AC 的中点， 所以N 为CE 的中点，所以CN →＝12CE →.于是，AM →·CN →＝14AD →·CE →＝14AD →·(CD →＋DE →) ＝14AD →·CD →＋14AD →·DE → ＝0＋14|AD →|·|DE →|cos 0°＝14|AD →|·|DE →|. 因为BN 为△ACE 的中位线， 所以|AD →|＋|DE →|＝|AE →|＝2|BN →|＝2.从而，AM →·CN →＝14|AD →|·|DE →|≤14(|AD →|＋|DE →|2)2＝14×(22)2＝14，当且仅当|AD →|＝|DE →|，即D 为AE 的中点时不等式取等号． 故所求AM →·CN →的最大值为14.答案：14方法五：如图4，以BC 为直径画半圆，交BN 于点D ，连接CD ，则BD ⊥CD .又易知AM ∥BD ，且AM ＝BD ，所以AM →·CN →＝BD →·(CD →＋DN →)＝BD →·CD →＋BD →·DN→ ＝0＋|BD →|·|DN →|cos 0°＝|BD →|·|DN →|≤(|BD →|＋|DN →|2)2＝(12)2＝14，当且仅当|BD →|＝|DN →|，即D 为BN 中点时不等式取等号． 故所求AM →·CN →的最大值为14.答案：14。
高考数学总复习 5.2平面向量的数量积课件 人教版
二、平面向量数量积的性质与运算律 (1)设 a、 b 都是非零向量， e 是与 b 方向相同的单位向量， θ 是 a 和 e 的夹角．则①e· a＝a· e＝ |a|cos θ . ②当 a 与 b 同向时，a· b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a· b ＝－|a||b|.特别地，a· a＝|a|2 或|a|＝ a· a.
2．数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量 |a||b|cos θ 叫 做 a 与 b 的 数 量 积 ， 记 作 a·b ， 即 a·b ＝ |a||b|cos θ .
3．数量积的几何意义
数 量 积 a·b 等 于 a 的 长 度 |a| 与 b 在 a 的 方 向 上 的 投 影
(2)解法一：a－2b＝(3，－4)－2×(2,1)＝(－1，－6)， 2a＋3b＝2×3，－4＋3×2，1 ＝12，－5，a－2b· 2a＋3b ＝－1×12＋－6×－5 ＝18.
解法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2
＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18.
第二讲
平面向量的数量积
考点 数量积的 定义
考纲要求
考查角度 数量积定义运算； 投影的定义及应用 向量的模及坐标表 示；把线段长度看 成向量的模；夹角 的余弦公式；利用 向量求平面角；与 三角函数、解析几 何等知识联系的综 合问题；实际应用 问题
数量积的定义、 理解平面向量数量积的含义 性质、运算律 及性质
答案：B
4．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(t,1)，且a与b的夹角为
钝角，则实数t的取值范围是______．
解析：∵a 与 b 的夹角为钝角， 1 ∴a· b＝－2t－1<0，t>－ . 2 当－2×1＋1×t＝0 时， 即 t＝2 时向量 a 与 b 共线反向， 1 则 t 的取值范围是(－2，2)∪(2，＋∞)．
高考数学一轮复习 平面向量的数量积 理PPT课件
考点探究
根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当 a，b 同向时取“＝”，∴B 错误；
∵(a·b)c 是向量，其方向与向量 c 相同，a(b·c)与向量 a 的方向相 同，∴C 错误；
∵a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， ∴D 正确．故选 D. 点评：在使用向量的数量积运算法则时，要注意与实数运算法则 的区别，不要盲目照搬实数的运算法则；对向量数量积的性质，要注 意在特殊情况下的数量积公式的不同形式．
考点探究
考点2 求向量的数量积
【例 2】 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积． 自主解答：
考点探究
解析：(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3， ∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12. 又 0≤θ≤π，∴θ＝2π 3 . (2)|a＋b|＝ （a＋b）2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 16＋2×（－6）＋9＝ 13.
平面向量的数量积 高考考点总 2 复求习向数量学的（数理量科积）
3考．点掌2 握求数向量量积的的数坐量标积表达式，会进行平面向量数量积的运算． 考高点考2数学求一向轮量复的习数平量面积向量的数量积课件 理 考点12 平求面向向量量的的数数量量积积的概念 考2．点了5解向平量面模向公量式的|数a|2量＝积a与2的向应量用投影的关系． 考4．点能1运平用面数向量量积的表数示量两积个的向概量念的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 高考考点数 1 学平一面轮向复量习的平数面量向积量的的概数念量积课件 理 考点2 求向量的数量积 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 考点1 平面向量的数量积的概念
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[剖析]上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象 平移的定义可知,图象的平移就是将图象F上所有点按照同 一方向,移动同样长度,得到图象F′.此处它只需按照同一方 向,而没有要求一定是水平或竖直的移动.
[正解]设a=(h,k),P(x,y)是函数y=2x-6的图象上任意一点,它
在函数y=2x的图象上的对应点为P′(x′,y′),由平移公式
[解析]对于①只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以 ①错;考虑②式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第 三边知②正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=0知(b·c)a(c·a)b与c垂直,故③错;④向量的乘法运算符合多项式乘 法法则,所以④正确.所以正确命题的序号是②④.
[答案]②④
解法二 : 设a (x1, y1 ),b (x2 , y2 ), 由 a b | a b | 得,
| a |2 | b |2 ,| a b |2 a2 2a b b2 ,
所以x12
y12
x
2 2
y
2 2
x12
y
2 1
x22
y
2 2
2x1x2
解析:函数f(x)=x2a•b-(a2-b2)x-a•b,当函数f(x)是一次函数时 必然要求a•b=0,即a⊥b,但当a⊥b,|a|=|b|时,函数f(x)不是 一次函数,故选B.
答案:B
2.(2010·重庆)已知向量a,b满足a•b=0,|a|=1,|b|=2,则|2ab|=( )
A.0
B. 2 2
a b ao(a b) | a || a b |
x12
y12
1 2
( x12
y12 )
3,
x12 y12 3 x12 y12 2
由于0≤≤180,所以 30.
[反思感悟](1)求两个向量的夹角,需求得a•b及|a|,|b|或得出 它们的关系,注意夹角的取值范围是[0°,180°].正确理解 公式是关键.
(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选 择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答 此类题目显得更加简捷和直观.
错源一
利用点平移与向量平移设置陷阱
【典例1】已知A(3,7),B(5,2),将 后所得向量的坐标是()
AB按向量a=(1,2)平移
A.(1,7)
B.(2,-5)
C.(10,4)
D.(3,-3)
[错解]因为A(3,7),B(5,2),所以 AB=(2,-5),
将x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x′=2+1=3,y′=-5+2=-
3,故
按AB向量a平移后所得向量坐标是(3,-3),选D.
[剖析]平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关
的夹角. [分析]由公式cos<a,b>=
a、b
| a || b | 可知,求两个向量的夹角
关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用
是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.
[解]解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2a·b+b2,所
⑤设a x1, y1 , b x2, y2 ,则a b x1x2 y1y2 0.
【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
[分析]利用|a|= a a及a⊥b⇔a·b=0即可解决问题.
(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0. 16k-16(2k-1)-2×64=0, ∴k=-7.
类型三
利用数量积解决夹角问题
解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角 公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点.
[解]由已知,a·b=4×8× ( 1 )=-16. 2
(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|= 4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162.
∴|4a-2b|= 16 .3
2.若a、b、c是实数,则ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量,就没 有这样的性质,即若向量a､b､c满足a·b=a·c(a≠0),则不 一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同 时乘以一个向量.
【典例1】1已知 ABC中,| AB | 5,| AC | 4,| BC | 3,
系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式.
[正解]因向量平移后仍与原向量相等. 故 AB AB (2,5故), 选B. [答案]B
错源二
利用平移前后的解析式设置陷阱
【典例2】将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上的点A 的坐标由(2,3)变为(3,5),则平移后图象的解析式为()
f x 1,习惯上将上式中的x, y写作x, y,即y 2 f x 1,故选Biblioteka .[答案]A错源三
利用平移方向设置陷阱
【典例3】将y=2x-6的图象按向量a平移后,得到y=2x的图象, 那么a=________.
[错解]因为y=2x-6=2(x-3),所以要得到y=2x的图象,只需将 y=2x-6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度,故a=(-3,0); 又y=2x的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着y轴向上平移 6个单位长度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6).
2.①cos
a,
b
|
ab a || b
|
;
②设a
a1,
a2
,
b
b1 ,
b2
,
则cos a, b a1b1 a2b2 . a12 a22 b12 b22
3.在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.
【典例3】已知a､b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b
C.4
D.8
解析:因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4a•b=4a2+b2=4+4=8,故 |2a-b|= 2 ,2选B.
答案:B
3.P是 ABC所在平面上一点,若PA PB PB PC PC PA, 则P是 ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答案:D
6.平面向量数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=
x1x2 y1 y2 . x12 y12 x22 y22
(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 |a|= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 , 这就是平面内两点间的距离 公式.
类型二
利用数量积解决长度、垂直问题
解题准备:常用的公式与结论有:
① a 2 a2 a a或 a a a a2 ;
② | a b | (a b)2 a 2aob b2 ;
③若a x, y,则 a x2 y2 .
其中①③两个公式应用广泛,需重点把握. ④a b a b 0(a, b均为非零向量);
A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2
C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2
[错解]因为点A的坐标由2,3变为3,5,所以a 3 2,5 3
1,
2
,由平移公式得
x y
x 1, y 2,
所以y
2
f
x
1
,
选D.
[剖析]上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈.
以a·b= 1 a2.
2
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2|a|2+2×
1
|a|2
2
=3|a|2,
所以|a+b|= 3 |a|.
设a与a+b的夹角为θ,
则cosθ=
a
(a b)
a2
1 a2 2
3,
| a || a b | 3 | a |2 2
由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.
2.向量的投影 |a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 3.平面向量数量积的定义 a·b=|a||b|cosθ(θ是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向
量的数量积为0.
4.向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹
角,则
第二十五讲平面向量的数量积
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1.向量的夹角
(1)已知两个非零向量a和b,作 OA a,OB b, 则∠AOB=θ
叫做向量a与b的夹角.
(2)向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向 时,夹角θ=π.
(3)如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
则AB BC BC CA CA AB的值是 ________ .