天津市第一中学2016届高三上学期零月考数学(理)试题 Word版含答案
天津市第一中学2023届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
三､解答题（本大题共5小题，共75分）
【16题答案】
【答案】（1）
（2） ， 或 ，
【17题答案】
【答案】（1）证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析
（2）
（3）正弦值为1
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析（3）
C. D.
4.已知函数 是偶函数，则 的值是（）
A. B. C.1D.2
5.已知函数 是 上的偶函数，且 ，当 时， ，则 的值为（）
A.1B.2C. D.0
6 已知函数 ，则（）
A. B.
C. D.
7.已知 且 ，则a的值为（）
A. B. C. D.
8.设函数 ，不等式 对 恒成立，则实数a的最大值为（）
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ##20立方米
每户每月用水量
水价
不超过 的部分
3元/
超过 但不超过 部分
6元/
超过 部分
9元/
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.
天津一中高三第一次月考数学(理)试卷
天津一中2016-2017-1高三年级第一次月考数学（理）试卷一、选择题：1．设全集U =R ,集合A ={x|x 2-2x ≥0},B ={x|y =log 2(x 2-1)},则(∁U A )∩B =（ B ） A.D.(-∞,-1)∪2. 在复平面上，复数2ii+对应的点在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数23()xxf x e -=（e 为自然底数），则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ A ）A.01x <<B.04x <<C. 03x <<D. 34x <<4．下列命题中是假命题的是（ C ） A.m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x-+=-⋅是幂函数B. ,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+C. R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数D. 0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点5．设变量x ，y 满足：34,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z=|x-3y|的最大值为（ B ）A ．3B ．8C ．134 D ．926．在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入x 的取值范围是（A ） A ．（4，10] B ．（2，+∞）C ．（2，4]D ．（4，+∞）7．函数f (x )=(x 2-2x )e x 的大致图象是（ A ）A.B.C.D.8．已知函数()2,11,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩,若1212,,x x R x x ∃∈≠,使得()()12f x f x =成立, 则实数a 的取值范围是（ A ）A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a >或2a <-二、填空题：9.若（2x+）dx=3+ln2（a ＞1），则a 的值是 ．210.已知函数f (x )=224,0,4-,0,x x x x x x ⎧+≥⎨<⎩若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-2,1)11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ， D 为斜边AB 的中点，则⋅= . -112.如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ，C,D,P共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则圆O 的半径是 ．-2 13.已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2c o s ()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为14.已知函数||)(xxe x f =，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=++有四个实数根， 则t 的取值范围为)12ee +-∞-，（三、解答题：15.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.解：(Ⅰ) ∵sin2coscos2sinsin2co ()=333scos23sincos2f x x x x x x ππππ⋅+⋅+⋅-⋅+sin2cos224x x x π=+=+（），……………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==。
2016届天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题2016届天津市第一中学高三上学期第三次月
天津一中2015-2016高三年级第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：1、已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,5,6,7,U M N ===则=)(N M C U （ C ）A ．{}.5,7AB ．{}2,4C ．{}2,4,8D ．{}1,3,5,6,72、设变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为 （ D ）A ．2B ．3C ．4D ．53、设R x ∈，则 “50<<x ”是“32<-x ”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、下图是一个算法框图，则输出的k 的值是 （ C ）A ． 3B ． 4C ．5D ． 65、如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点,F E 是AB 延长线上一点，且2,2DF CF AF BF ===，若CE 与圆相切，且72CE =，则BE 的长为 （ B ）A ．1B ．21 C ．23D ．26、已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 （ D ） A ．2833x y =B ．21633x =y C ．28x y = D ．216x y =7、已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0≠x 时，0)()('>+xx f x f ，若 )21(21f a =，)2(2--=f b ，)2(ln 21ln f c =，则c b a 、、的关系为 （ D ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>8、已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（ C ） A ．{|20}a a -<< B ．{|20}a a -<≤ C ．{|20a a -<<或 1}a = D ．{|20a a -<≤或1}a = 二、填空题： 9、复数iia 212+-(i 是虚数单位)是纯虚数， 则实数a 的值为 4 ．10、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图 是等边三角形，该四棱锥的体积等于 3 ．11、曲线21y x =+与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形的面积是34． 12、在8)21(xx -的展开式中，2x 项的系数为 7- ．13、在ABC ∆中，52=BC ，2=AC ，ABC ∆的面积为4，则AB 的长为 4或14、已知椭圆1422=+y x ，P 为x 轴上一个动点，PA 、PB 为该椭圆的两条切线，A 、B 为切点，则PB PA ⋅的最小值为 954- ．15、己知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈． （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的最小值和最大值．解：（1）)(x f 的最小正周期为π=T ，单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ；（2）2)3()(max ==πf x f ，231)12()(min -=-=πf x f ．16、某学校开设了E D C B A 、、、、五门选修课．要求每位学生必须参加且只能选修一门课程．假设甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的． （1）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；（3）设随机变量X 为甲、乙、丙这三名学生参加A 课程的人数，求X 的分布列与数学期望．解：（1）甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数为125555=⨯⨯种（2）设甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程为实践A2513555)(1533141523=⨯⨯+=C C C C C A P(3) X 的可能取值为3210、、、12564555444)0(=⨯⨯⨯⨯==X P 1254855544)1(13=⨯⨯⨯==C X P 125125554)2(23=⨯⨯==C X P 1251555)3(33=⨯⨯==C X P5)(=X E17、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且2AD CD BC PA ====，点M 在棱PD 上．（1）求证：AB PC ⊥；（2）若二面角M AC D --的大小为45，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值．解：（1）略；（2）BM 与平面PAC 所成角的正弦值为93518、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设⎩⎨⎧=)()( 为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．ABCDMP解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………6分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时， 1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数 ……………13分 19、如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程； （2）求TN TM ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． （）由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x ． ………………7分 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TN TM ⋅取得最小值为15-．20、设函数()(1)xf x e a x =-+ (e 是自然对数的底数， 71828.2=e ). （1）若0)0(='f ,求实数a 的值，并求函数)(x f 的单调区间； （2）设()()xag x f x e =+，且))((11x g x A ，，))((22x g x B ，)(21x x <是曲线()y g x =上任意两点，若对任意的1a ≤-，恒有)()()(1212x x m x g x g ->-成立，求实数m 的取值范围；（3）求证：13(21)(2)()1n n nn en n n N e *++⋅⋅⋅+-<∈-. 解：2()()1)13x xx x a a g x e a a a e e'=--≥--=-+=-≥ 故3m ≤………………………………………………………………………………………（10分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知1xe x ≥+，取2ix n=-（1,3,,21i n =⋅⋅⋅-）得，212in i e n --≤， 即22()2inn i e n--≤，累加得： e e e e e eee n n n n n n n n n n -<--=+++≤-+++--------11)1()212()23()21(12121232212nn n n n e en )2(1)12(31-<-+++∴ ，………………（14分）。
2016届天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学(理科)试卷(word)
2016届天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学（理科）试卷(word)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试用时120分钟．第I 卷（选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案．．．涂在答题卡上．．．．．．． 1. 已知集合**{|2,},{|2,}n A x x n N B x x n n N ==∈==∈,则下列不正确．．．的是 A ．A B ⊆ B ．A B A = C ．()Z B A =∅ ðD ．A B B =2. 函数24sin 2cos ()33y x x x ππ=+≤≤的最大值和最小值分别是A ．,47 41-B ．,47 2-C ．,2 41- D ．,2 2-3. 函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线,则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞ B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(0,)+∞4. 要得到函数x y cos 3=的图象，只需将函数)62sin(3π-=x y 的图象上所有点A. 横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），所得图象再向左平移32π个单位B. 横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），所得图象再向右平移6π个单位C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象向左平移32π个单位D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象向右平移6π个单位5. 在ABC ∆中，如果边,,a b c 满足1()2a b c ≤+，则A ∠ A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能6. 设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 设方程()3lg xx =-的两个根为1x ，2x ，则A. 120x x <B. 121x x =C. 121x x >D. 1201x x <<8. 若函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是A ．(1-B ．(1,4)-C ．(1,2]-D ．(1,2)-第II 卷（非选择题 共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案．．．填．写在．．答题纸上．．．．． 9. 计算定积分的值：3211(2)x dx x -⎰= .10. 已知234(0)9a a =>，则32log a =________.11. 在ABC ∆中，60A =︒，1=b =++++CB A cb a sin sin sin ．12. 若函数2(2)1(0)()22(0)x f x x f x x +-+≥⎧=⎨-<⎩，则(2014)f = .1A C13. 当662sin cos y x x =+取得最小值时，cos 2x = .14. 已知集合22{|30},{|1log (1)2}A x x ax B x x =-+≤=≤+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .三．解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．．．． 15. （本小题满分13分） 设函数()cos(2)22,(,)3f x x x m x R m R π=+++∈∈，（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （Ⅱ）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值．16. （本小题满分13分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．17. （本小题满分13分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧棱1AA 的长为3，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是棱BC 的中点．（Ⅰ）求证：1BD ∥平面1C DE ； （Ⅱ）求二面角1C DE C --的正切值；（Ⅲ）在侧棱1BB 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1C DE ？证明你的结论．18. （本小题满分13分）已知函数x ax x x f ln )(2-+=，.a R ∈（Ⅰ）若0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．19. （本小题满分14分）已知曲线C 的方程为24(0)y x x =>,曲线E 是以()011,-F 、()012,F 为焦点的椭圆,点P 为曲线C 与曲线E 在第一象限的交点,且352=PF . （Ⅰ）求曲线E 的标准方程；（Ⅱ） 直线与椭圆E 相交于A 、B 两点,若AB 的中点M 在曲线C 上,求直线的斜率k 的取值范围.20. （本小题满分14分）函数1()()2ln f x p x x x =--，2()eg x x=，p R ∈， （Ⅰ）若()f x 在2x =处取得极值，求p 的值；（Ⅱ）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（Ⅲ）若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求p 的取值范围.天津市耀华中学2016届高三第一次月考（理科）数学参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题
天津一中2015-2016高三年级第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：1、已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,5,6,7,U M N ===则 （ C ） A ． B ． C ． D ．2、设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数的最大值为 （ D ）A ．2B ．3C ．4D ．53、设，则 “”是“”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、下图是一个算法框图，则输出的的值是 （ C ） A ． 3 B ． 4 C ．5 D ． 65、如图，已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点，且2DF CF AF BF ==，若与圆相切，且，则的长为 （ B ）A ．B ．C ．D ．6、已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为 （ D ） A ． B ． y C ． D ．7、已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若 ，，，则的关系为 （ D ）A ．B ．C ．D ． 8、已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是（ C ）A ．B ．C ．或D ．或二、填空题：9、复数 (是虚数单位)是纯虚数， 则实数的值为 4 ．10、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图 是等边三角形，该四棱锥的体积等于 ．11、曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 ． 12、在的展开式中，项的系数为 ． 13、在中，，，的面积为4，则的长为 4或 ．14、已知椭圆，为轴上一个动点，、为该椭圆的两条切线，、为切点，则的最小值为 ．15、己知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的最小值和最大值． 解：（1）的最小正周期为，单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ；（2），231)12()(min -=-=πf x f ．16、某学校开设了五门选修课．要求每位学生必须参加且只能选修一门课程．假设甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．（1）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数； （2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；（3）设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加课程的人数，求的分布列与数学期望． 解：（1）甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数为种（2）设甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程为实践2513555)(1533141523=⨯⨯+=C C C C C A P(3)的可能取值为12564555444)0(=⨯⨯⨯⨯==X P 1254855544)1(13=⨯⨯⨯==C X P125125554)2(23=⨯⨯==C X P 1251555)3(33=⨯⨯==C X P17、如图，在四棱锥中，平面，，且2AD CD BC PA ====，点在棱上．（1）求证：； （2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．解：（1）略；（2）与平面所成角的正弦值为18、设等差数列的前n 项和为，且．数列的前n 项和为，且，．（1）求数列,的通项公式；（2）设⎩⎨⎧=)()( 为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列的前项和．解：（Ⅰ）由题意，，得． …………3分，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得数列为等比数列，． …………6分 （Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当为奇数时，为偶数， (1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………13分19、如图，已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程； （2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．A B CDM P由于点在椭圆上，所以． （*） 由已知，则，，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x． ………………7分由于，故当时，取得最小值为．20、设函数(是自然对数的底数，).（1）若,求实数的值，并求函数的单调区间；（2）设，且，是曲线上任意两点，若对任意的，恒有)()()(1212x x m x g x g ->-成立，求实数的取值范围；（3）求证：13(21)(2)()1n n n n n n n N e *++⋅⋅⋅+-<∈-. 解：2()()1)13x x x a g x e a a a e e'=--≥--=-+=-≥ 故………………………………………………………………………………………（10分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知，取（）得，， 即，累加得：e e e e e eee nn n n n n n n n n -<--=+++≤-+++--------11)1()212()23()21(12121232212nn n n n e en )2(1)12(31-<-+++∴ ，………………（14分）。
2016年天津一中高三理科上学期人教A版数学第一次月考试卷
2016年天津一中高三理科上学期人教A版数学第一次月考试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知M= x x>2或x<0，N= y y=x−1，则N∩∁R M等于 A. 1,2B. 0,2C. ∅D. 1,22. 在复平面上，复数2+i3对应的点在 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设函数f x=e x2−3x（e为自然底数），则使f x<1成立的一个充分不必要条件是 A. 0<x<1B. 0<x<4C. 0<x<3D. 3<x<44. 下列命题中是假命题的是 A. ∂m∈R，使f x=m−1⋅x m2−4m+3是幂函数B. ∂α,β∈R，使cosα+β=cosα+cosβC. ∀φ∈R，函数f x=sin x+φ都不是偶函数D. ∀a>0，函数f x=ln2x+ln x−a有零点5. 设变量x，y满足：y≥x,x+3y≤4,x≥−2,则z=x−3y的最大值为 A. 3B. 8C. 134D. 926. 在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是 A. 4,10B. 2,+∞C. 2,4D. 4,+∞7. 函数f x=x2−2x e x的图象大致是 A. B.C. D.8. 已知函数 f x =−x 2+ax ,x ≤1ax −1,x >1，若 ∂x 1,x 2∈R ，x 1≠x 2，使得 f x 1 =f x 2 成立，则实数a 的取值范围是 A. a <2 B. a >2C. −2<a <2D. a >2 或 a <−2二、填空题（共6小题；共30分） 9. 若 ∫1a2x +1x d x =3+ln2 a >1 ，则 a 的值是 ．10. 已知函数 f x = x 2+4x ,x ≥0,4x −x 2,x <0. 若 f 2−a 2 >f a ，则实数 a 的取值范围是 ．11. 在直角 △ABC 中，∠C =90∘，∠A =30∘，BC =1，D 为斜边 AB 的中点，则 AB⋅CD= ．12. 如图，PB 为 △ABC 外接圆 O 的切线，BD 平分 ∠PBC ，交圆 O 于 D ，C ,D ,P 共线．若 AB ⊥BD ，PC ⊥PB ，PD =1，则圆 O 的半径是 ．13. 已知曲线 C 1，C 2 的极坐标方程分别为 ρ=−2cos θ+π2 ， 2ρcos θ−π4 +1=0，则曲线 C 1 上的点与曲线 C 2 上的点的最远距离为 ．14. 已知函数 f x = x e x ，方程 f 2 x +tf x +1=0 t ∈R 有四个实数根，则 t 的取值范围 ．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数 f x =sin 2x +π3 +sin 2x −π3 +2cos 2x −1，x ∈R ．（1）求函数f x的最小正周期；（2）求函数f x在区间 −π4,π4上的最大值和最小值．16. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．17. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M−CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成的角的大小．18. 已知首项为12，公比不等于1的等比数列a n的前n项和为S n，且S3，S2，S4成等差数列．（1）求数列a n的通项公式；（2）记b n=n a n，数列b n的前n项和为T n，求T n．19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，直线y=x被椭圆C截得的线段长为833．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出AB的取值范围．20. 已知f x=x ln x+mx，且曲线y=f x在点1,f1处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设g x=f x−a2x2−x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1<x2，已知λ>0，若不等式e1+λ<x1⋅x2λ恒成立，求λ的范围．答案第一部分1. B 【解析】因为M= x x>2或x<0，所以∁R M=0,2，又N= y y=x−1=0,+∞，故N∩∁R M=0,2．2. A3. A4. C5. B6. A 【解析】设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a−2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a−8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a−26，i=3，满足退出循环的条件；故9a−8≤82，且27a−26>82，解得：a∈4,10．7. B 【解析】由f x=0，解得x2−2x=0，即x=0或x=2，所以函数f x有两个零点，所以A，C不正确．因为fʹx=x2−2e x，由fʹx=x2−2e x>0，解得x>2或x<−2．由fʹx=x2−2e x<0，解得−2<x<2，即x=−2是函数的一个极大值点，所以D不成立，排除D．8. A 【解析】若∂x1,x2∈R，x1≠x2，使得f x1=f x2成立，则说明f x在R上不单调，①当a=0时，f x=−x2,x≤1−1,x>1，其图象如图所示，满足题意．②当a<0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2<0，其图象如图所示，满足题意．>0，其图象如图所示，③当a>0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2要使得f x在R上不单调，<1，则只要二次函数的对称轴x=a2所以a<2，综上可得，a<2．第二部分9. 210. −2,1．【解析】由题意，得f x是奇函数，且在R上单调增，于是由f2−a2>f a，得2−a2>a,即a2+a−2<0，解得−2<a<1．11. −1【解析】因为∠C=90∘，∠A=30∘，BC=1，所以AB=2．AB=1，∠CDA=180∘−30∘−30∘=120∘．因为D为斜边AB的中点，所以CD=12所以AB⋅CD=2×1×cos120∘=−1．12. 2【解析】连接AD，因为PB为圆O的切线，所以∠PBD=∠BCD=∠BAD，因为BD为∠PBC的平分线，所以∠PBD=∠CBD，所以∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，又因为PC⊥PB，所以∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30∘，∠PDB=60∘．由PD=1，得BD=2PD=2．在△ABD中，因为AB⊥BD，所以AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，所以圆O的半径为2．13. 2+114. −∞,−e 2+1e第三部分 15. （1）f x =sin2x ⋅cos π3+cos2x ⋅sin π3+sin2x ⋅cos π3−cos2x ⋅sin π3+cos2x=sin2x +cos2x= 2sin 2x +π,所以 f x 的最小正周期 T =2π2=π．（2） 因为 −π4≤x ≤π4，所以 −π4≤2x +π4≤3π4，所以 −1≤ 2sin 2x +π4≤ 2． 故函数 f x 在区间 −π4,π4上的最大值为 2，最小值为 −1．16. （1） 设事件 A 表示：“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手”，观众甲选中 3 号歌手的概率为 23，观众乙未选中 3 号歌手的概率为C 43C 53=25，所以 P A =23×25=415，所以观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 415；（2） X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X 可取 0，1，2，3． 观众甲选中 3 号歌手的概率为 23，观众乙选中 3 号歌手的概率为 35， 当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，这时 X =0， P X =0 = 1−23 1−35 2=475，当观众甲、乙、丙只有一人选中 3 号歌手时，这时 X =1，P X =1 =23 1−35 2+ 1−23 35 1−35 + 1−23 1−3535=20,当观众甲、乙、丙只有二人选中 3 号歌手时，这时 X =2，P X =2 =23×35 1−35 + 1−23 35×35+23 1−3535=33,当观众甲、乙、丙都选中 3 号歌手时，这时 X =3，P X =3 =23× 35 2=1875， X 的分布列如下：X 0123P475207533751875所以数学期望 E X =0×475+1×2075+2×3375+3×1875=2815．17. （1） 连接 NG ，NE ．在 △MCD 中，因为 N ，G 分别是所在边的中点， 所以 NG =12CD 且 NG ∥CD ，又EH=12CD且EH∥CD，所以NG=EH且NG∥EH．所以NEHG是平行四边形，所以EN∥GH，又EN⊂平面DEM，GH⊄平面DEM，所以GH∥平面DEM．（2）在平面EFCD内，过点H作DE的平行线HP，因为DE⊥EM，DE⊥EF，EM∩EF=E，所以DE⊥平面EFM，所以HP⊥平面EFM，所以HP⊥EF．又在△EMF中，因为EM=MF=EF，所以MH⊥EF．以H为原点，HM，HF，HP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以E0,−1,0，M 3,0,0，C0,1,2，N32,−12,1，所以EM=3,1,0，CN=32,−32,−1，所以EM⋅CN=0，所以EM⊥CN．（3）因为CF=0,0,−2，所以EM⋅CF=0，即EM⊥CF，又CF∩CN=C，所以EM⊥平面NFC，所以EM就是平面NFC的法向量．又HG=32,12,1，设GH与平面NFC所成的角为θ，则有sinθ=cos HG,EM= HG⋅EMHG EM =32+122⋅2=22．所以HG与平面NFC所成的角为π4．18. （1）通解设数列a n的公比为q，由题意得2S2=S3+S4，q≠1，所以2×a11−q 21−q =a11−q31−q+a11−q41−q．化简得q2+q−2=0，得q=−2，又数列a n的首项为12，所以a n=12×−2n−1．优解设数列a n的公比为q，由题意得2S2=S3+S4，即S4−S2+S3−S2=0，即a4+a3+ a3=0，所以a4a3=−2，所以公比q=−2．又数列a n的首项为12，所以a n=12×−2n−1．（2）b n=n a n=n×12×2n−1=14×n×2n，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n=141×2+2×22+3×23+⋯+n×2n, ⋯⋯①2T n=141×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1, ⋯⋯②①−②得，−T n=14×2×1−2n1−2−n×2n+1，所以T n=12+12n−1×2n．19. （1）椭圆方程x2a +y2b=1a>b>0，a2=b2+c2，因为e=ca =22，所以a2=2c2，所以a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又因为弦长为833，所以P263,263，所以83a +83b=1，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，所以椭圆方程为x 28+y24=1．（2）（1）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=−r），代入椭圆方程得：y=±8−r22，所以A r,8−r22，B r,−8−r22，因为以AB为直径的圆恒过原点，所以OA⊥OB，所以r2−8−r22=0，所以r2=83，所以圆O的方程为x2+y2=83，此时AB=28−r22=463（同理当x=−r时，上述结论仍然成立），（2）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，因为l与圆O相切，1+k2=r，即m2=1+k2r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：1+2k2x2+4kmx+2m2−8=0, ⋯⋯①Δ=8k2+4−m2>0, ⋯⋯②设A x1,y1，B x2,y2，则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−81+2k2，y1y2=kx1+m kx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=m2−8k21+2k2，因为以AB为直径的圆恒过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以2m 2−81+2k2+m2−8k21+2k2=0，所以3m2−8−8k2=0，3m2=81+k2，又因为m2=1+k2r2，所以31+k2r2=81+k2，所以r2=83，此时m2=831+k2，代入②式后成立，所以圆O的方程为x2+y2=83，此时AB=1+k2⋅ x1+x22−4x1x2=1+k2⋅ −4km2−4⋅2m2−8=1+k⋅222k2+1⋅8k+4−m=463⋅1+k⋅4k2+11+2k2=46⋅4k4+5k2+12=463⋅4k4+5k2+14k4+4k2+1=46⋅1+k2;①若k=0，则AB=463，②若k≠0，则AB=463⋅1+14k2+4+12∈463,23，综上，圆O的方程为x2+y2=83，AB的取值范围是463,23．20. （1）fʹx=1+ln x+m，有题意知，fʹ1=1，即：m+1=1，解得m=0．（2）因为e1+λ<x1⋅x2λ等价于1+λ<ln x1+λln x2，g x=f x−a2x2−x+a=x ln x−a2x2−x+a，由题意可知x1，x2分别是方程gʹx=0，即：ln x−ax=0的两个根，即ln x1=ax1，ln x2=ax2，所以原式等价于1+λ<ax1+λax2=a x1+λx2，因为λ>0，0<x1<x2，所以原式等价于a>1+λx1+λx2，又由ln x1=ax1，ln x2=ax2，作差得，ln x1x2=a x1−x2，即a=ln x12x1−x2，所以原式等价于ln x1x2x1−x2>1+λx1+λx2，因为0<x1<x2，原式恒成立，即ln x1x2<1+λx1−x2x1+λx2恒成立．令t=x1x2，t∈0,1，则不等式ln t<1+λt−1t+λ在t∈0,1上恒成立．令 t=ln t−1+λt−1t+λ，又 ʹt=1t−1+λ2t+λ2=t−1t−λ2t t+λ2，当λ2≥1时，可得t∈0,1时， ʹt>0，所以 t在t∈0,1上单调增，又 1=0，t<0在t∈0,1恒成立，符合题意．当λ2<1时，可得t∈0,λ2时， ʹt>0，t∈λ2,1时， ʹt<0，所以 t在t∈0,λ2时单调增，在t∈λ2,1时单调减，又 1=0，所以 t在t∈0,1上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ<x1⋅x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ>0，所以λ≥1．。
天津市2016届高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)
2015-2016学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=( )A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=( )A．2 B．3 C．4 D．53．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=( )A．B．C．D．5．若把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，恰好与函数y=cosωx的图象重合，则ω的值可能是( )A．B．C．D．6．已知函数f（x）=，则使函数g（x）=f（x）+x﹣m有零点的实数m的取值范围是( )A．[0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1]∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）7．设m=3（x2+sinx）}dx，则多项式（x+）6的常数项为( )A． B．C．D．8．已知f（x）=，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )A．[﹣1，0] B．（﹣∞，﹣1] C．[0，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）二.填空题9．复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则复数z=__________．10．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为__________．11．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是__________．12．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为__________．13．如图，A，B，C是圆O上三个点，AD是∠BAC的平分线，交圆O于D，过B做直线BE 交AD延长线于E，使BD平分∠EBC．（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长．14．在边长为1的正三角形ABC中，，，若，则λ的值为__________．三.解答题15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．16．（13分）某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ，且P（ξ=0）=，求：（1）植树小组的人数；（2）随机变量ξ的数学期望．17．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2c•cosA=2b﹣a．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若b=a，△ABC的面积A，求a、c的值．18．（13分）设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）﹣g（x）+2零点个数．19．（14分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+1=（1+q）a n﹣qa n﹣1（n≥2，q≠0）．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n（n∈N*），证明{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a n是a n+3与a n+6的等差中项．20．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．2015-2016学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=( )A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．【专题】集合．【分析】求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．【解答】解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．2．执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=( )A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【专题】计算题．【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．【解答】解：如果输入的p=0.8，由循环变量n初值为1，那么：经过第一次循环得到，n=2，满足s＜0.8，继续循环，经过第二次循环得到S==0.75＜0.8，n=3，第三次循环，S=0.75+0.125=0.875，此时不满足s＜0.8，n=4，退出循环，此时输出n=4．故选：C．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，利用循环即可．3．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．4．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=( )A．B．C．D．【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．【解答】解：∵，∴f′（x）=2f′（）x+cosx，∴f′（）=2f′（）×+cos，解得f′（）=，故选：A【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．5．若把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，恰好与函数y=cosωx的图象重合，则ω的值可能是( )A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（ωx+ω）的图象，而y=cosωx=sin（+ωx），可得ω=+2kπ，k∈z，结合所给的选项得出结论．【解答】解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，得到函数y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）的图象．而y=cosωx=cos（﹣ωx）=sin（+ωx），∴ω=+2kπ，k∈z．观察所给的选项，只有ω=满足条件，故选D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．6．已知函数f（x）=，则使函数g（x）=f（x）+x﹣m有零点的实数m的取值范围是( )A．[0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1]∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】作出函数的图象并根据图象的交点及函数零点的判定定理即可得出．【解答】解：函数g（x）=f（x）+x﹣m的零点就是方程f（x）+x=m的根，作出h（x）=f（x）+x=的图象，观察它与直线y=m的交点，得知当m≤0时，或m＞1时有交点，即函数g（x）=f（x）+x﹣m有零点．故选D．【点评】数形结合并掌握函数零点的判定定理是解题的关键．7．设m=3（x2+sinx）}dx，则多项式（x+）6的常数项为( )A． B．C．D．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【专题】综合题；二项式定理．【分析】先由定积分求出m的值，再求解二项式展开式中的常数项，利用二项式的展开式的通项，令x的对应次数为0即可求出其常数项．【解答】解：因为，则多项式为=，它的展开式的通项公式为T k+1=，令，求得k=2，所以展开式的常数项为．故选D．【点评】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．已知f（x）=，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )A．[﹣1，0] B．（﹣∞，﹣1] C．[0，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】数形结合：分别作出y=|f（x）|、y=ax的图象，由题意即可得到a的取值范围．【解答】解：作出|f（x）|的图象如下图所示：因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以在[﹣1，1]上|f（x）|的图象应在y=ax图象的上方，而y=ax表示斜率为a恒过原点的动直线，由图象知：当直线y=ax从直线OA逆时针旋转到x轴时，其图象在|f（x）|的下方，符合题意所以有k AO≤a≤0，即﹣1≤a≤0，故选A．【点评】本题考查函数单调性，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．二.填空题9．复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则复数z=1﹣i．【考点】复数相等的充要条件．【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算性质、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（﹣1+i）z=（1+i）2，∴z==﹣=﹣（i﹣1）=1﹣i．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．【解答】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键．11．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题；数形结合．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得f′（x）=﹣，∵，且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈，故答案为：．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．12．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为0或2．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题．【分析】化直线的参数方程为普通方程，化圆的极坐标方程为一般方程，由直线l被圆C 截得的弦长为转化为圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求解实数a的值．【解答】解：直线l：，由②得，，代入①得直线l的方程为x+2y+（2﹣a）=0，由ρ=2，得=2cosθ﹣2sinθ．ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，所以圆的方程为x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2，所以圆心为（1，﹣1），半径．若直线l被圆C截得的弦长为，则圆心到直线的距离，又，即|1﹣a|=1，解得a=0或a=2．故答案为0或2．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标和直角坐标的互化，训练了点到直线的距离公式，是中档题．13．如图，A，B，C是圆O上三个点，AD是∠BAC的平分线，交圆O于D，过B做直线BE 交AD延长线于E，使BD平分∠EBC．（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆；推理和证明．【分析】（1）连接BO并延长交圆O于G，连接GC，由已知条件推导出∠GBC+∠EBC=90°，从而得到OB⊥BE．由此能证明BE是圆O的切线．（2）由（1）知△BDE∽△ABE，从而得到AE•BD=AB•BE，由此利用切割线定理能求出DE．【解答】（1）证明：连接BO并延长交圆O于G，连接GC，∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，∴∠EBC=∠BAC．又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，∵∠GBC+∠BGC=90°，∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．∴BE是圆O的切线．…（2）由（1）知△BDE∽△ABE，，∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，∴．…由切割线定理得BE2=DE•AE，∴．…【点评】本题考查圆的切线的证明，考查线段长的求法，是非曲直中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．14．在边长为1的正三角形ABC中，，，若，则λ的值为3．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】由确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=，即可求出λ的值．【解答】解：由题意画出图象如右图：∵，∴D为BC的中点，则=（+），∵，∴==﹣，∴=﹣=﹣﹣=（1﹣）﹣，∵=，∴（+）[（1﹣）﹣]=﹣，∴（1﹣）﹣+（1﹣）﹣=﹣，∴（﹣）﹣+（1﹣）=，∴（﹣）×1×1×﹣1+（1﹣）=，解得λ=3，故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．三.解答题15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的求值．【分析】（I）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）先确定，再求函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：（ I）：==…∴最小正周期，…∵时f（x）为单调递增函数∴f（x）的单调递增区间为…（ II）∵，由题意得：∴，∴，∴f（x）∈[1，4]∴f（x）值域为[1，4]…（13分）【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（13分）某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ，且P（ξ=0）=，求：（1）植树小组的人数；（2）随机变量ξ的数学期望．【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】综合题．【分析】（1）设植树小组共有x人，两品种均栽培的有（8﹣x）人，则恰栽一品种的人数为（2x﹣8）人，利用P（ξ=0）=，建立方程，即可求得植树小组的人数；（2）先确定恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人，计算ξ=1，2时的概率，即可求得数学期望．【解答】解：（1）设植树小组共有x人，两品种均栽培的有（8﹣x）人，则恰栽一品种的人数为（2x﹣8）人…∵P（ξ=0）=，∴…整理为：3x2﹣28x+60=0，∴x=6，即植树小组有6人…（2）依（1）有：恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人P（ξ=1）==…；P（ξ=2）==…∴Eξ=+2×=…【点评】本题考查离散型随机变量的概率与期望，解题的关键是正确求出概率，利用期望公式求解．17．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2c•cosA=2b﹣a．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若b=a，△ABC的面积A，求a、c的值．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，把sin（A+C）=sinB代入，整理求出cosC的值，即可确定出角C的大小；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把b=a，sinC以及已知面积相等求出的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可．【解答】解：（I）由2c•cosA=2b﹣a，利用正弦定理化简得：2sinCcosA=2sinB﹣sinA，即2sinCcosA=2sin（A+C）﹣sinA，整理得：2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinA，即2sinAcosC﹣sinA=0，分解得：sinA（2cosC﹣）=0，∵sinA≠0，∴cosC=，则C=；（Ⅱ）∵b=a，C=，∴S△ABC=absinC=a2，∵S△ABC=sin2A，∴sin2A=a2，即=sinA，整理得：=2，由正弦定理==2，即c=2sinC=1，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=a2+3a2﹣3a2，解得：a=1．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（13分）设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）﹣g（x）+2零点个数．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）F（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，求导，确定F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ） f'（x）=ae x（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2e x（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f'（x）=2e x（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由题意F（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x求导得F'（x）=4e x（x+1）+4e x﹣2x﹣4=2（x+2）（2e x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由F'（x）＞0得x＞﹣ln2或x＜﹣2，由F'（x）＜0得﹣2＜x＜﹣ln2∴F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵F（﹣4）=4e﹣4×（﹣4+1）﹣16+16=﹣12e﹣4＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故函数F（x）=2f（x）﹣g（x）+2只有一个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+1=（1+q）a n﹣qa n﹣1（n≥2，q≠0）．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n（n∈N*），证明{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a n是a n+3与a n+6的等差中项．【考点】等比关系的确定；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）整理a n+1=（1+q）a n﹣qa n﹣1得a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1）代入b n中进而可证明{b n}是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可分别求得a2﹣a1，a3﹣a2，…a n﹣a n﹣1，将以上各式相加，答案可得．（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，判断q≠1．根据a3是a6与a9的等差中项，求得q．用q分别表示出a n，a n+3与a n+6进而根据等差中项的性质可得结论．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题设a n+1=（1+q）a n﹣qa n﹣1（n≥2），得a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1），即b n=qb n﹣1，n≥2．又b1=a2﹣a1=1，q≠0，所以{b n}是首项为1，公比为q的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）a2﹣a1=1，a3﹣a2=q，…a n﹣a n﹣1=q n﹣2，（n≥2）．将以上各式相加，得a n﹣a1=1+q+…+q n﹣2（n≥2）．所以当n≥2时，上式对n=1显然成立．（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1．由a3﹣a6=a9﹣a3可得q5﹣q2=q2﹣q8，由q≠0得q3﹣1=1﹣q6，①整理得（q3）2+q3﹣2=0，解得q3=﹣2或q3=1（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得a n﹣a n+3=a n+6﹣a n，n∈N*．所以对任意的n∈N*，a n是a n+3与a n+6的等差中项．【点评】本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．20．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x0）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…（13分）因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x0）=0，∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）【点评】本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用，及利用函数的导数研究函数的单调性及函数的最值的求解，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力。
天津市第一中学高三数学上学期月考试卷理(含解析)
天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：1．（3分）i是虚数单位，的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，4．则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣5．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定8．（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：9．（5分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．12．（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取名学生．13．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为．14．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．三、解答题：15．（15分）已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．16．（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．18．（15分）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{b n}的前n项和为T n，且b n=，求证：对任意正整n，总有T n＜2．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．20．设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）i是虚数单位，的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4．（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：两函数f（x）、g（x）在x=1处的导数即为它们在点P处切线的斜率，再根据切线垂直即可列一方程，从而可求a值．解答：解：f′（x）=，g′（x）=ax a﹣1，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=﹣1，即a=﹣1，所以a=﹣2．故选A．点评：本题考查了导数的几何意义及简单应用，难度不大．该类问题中要注意区分某点处的切线与过某点的切线的区别，某点处意为改点为切点，过某点则未必然．5．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．解答：解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简已知表达式，即可求出A的正弦函数值，然后求出角A，即可判断三角形的形状．解答：解：因为bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，所以sin（B+C）=sin2A，即sinA=sin2A，A为三角形内角，所以sinA=1，A=．三角形是直角三角形．故选A．点评：本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力．8．（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}考点：函数单调性的性质；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g （0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．解答：解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e x•f （x）﹣e x，是解答的关键．二、填空题：9．（5分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：利用条件，可以证明EB=ED=EC，再利用三角形的中位线，即可求得OE的长．解答：解：由题意，连接OD，BD，则OD⊥ED，BD⊥AD∵OB=OD，OE=OE∴Rt△EBO≌Rt△EDO∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC，∴ED=EC∴EB=EC∵O是AB的中点，∴∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5∴OE=故答案为：点评：本题考查圆的切线的性质，考查圆的性质，考查三角形中位线的性质，属于基础题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为200．考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可．解答：解：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，以及棱柱的体积公式，利用三视图确定几何体的直观图是解决此类问题的关键．11．（5分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．解答：解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题．12．（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出2014-2015学年高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以2014-2015学年高二所占的比例，得到要抽取的2014-2015学年高二的人数．解答：解：∵2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴2014-2015学年高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从2014-2015学年高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．13．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为6．考点：平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把•表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．解答：解：设P（x，y），则•=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2，又点P在椭圆上，故+=1，所以x2+x+（3﹣）=+x+3=+2，又﹣2≤x≤2，所以当x=2时，+2取得最大值为6，即•的最大值为6，故答案为：6．点评：本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题．14．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意x02+ [f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．解得 m＞2，或m＜﹣2，故m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题：15．（15分）已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域．分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出b2+c2﹣a2=2bccosA，代入即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（Ⅱ）由三角形为锐角三角形且由（Ⅰ）得到A的度数可知B+C的度数，利用C表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+），然后根据求出的B的范围求出B+的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+）的范围即为cosB+cosC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理知，b2+c2﹣a2=2bccosA，∴，∵，∴；（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且，∴，∴===，∵，∴，即cosB+cosC的取值范围是．点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值，是一道综合题．16．（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．18．（15分）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{b n}的前n项和为T n，且b n=，求证：对任意正整n，总有T n＜2．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）（2）由题意可得，利用和等差数列的通项公式即可得出．（3）由（2）可得．当n≥2时，，利用裂项求和即可证明．解答：解：（1）∵对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．∴，令n=1，得，解得a1=1．（2）当n≥2时，由，，得，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（3）由（2）可得．当n≥2时，，∴=2﹣．当n=1时，T1=b n=1＜2．∴对任意正整n，总有T n＜2．点评：熟练掌握利用求a n和等差数列的通项公式、放缩法、裂项求和等是解题的关键．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．20．设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：转化思想．分析：（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．。
天津市第一中学2016届高三数学上学期第零次月考试卷理(含解析)
2015-2016学年天津一中高三（上）第零次月考数学试卷（理科）一、选择题：1．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B 3．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．已知a=2，b=log2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a5．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．设各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=a n（n≥1），S n是其前n项和，若a2a4=2a5，则S4=（）A．4 B．8 C．3+3D．6+67．若正数m，n满足m+3n=5mn，则3m+4n的最小值为（）A．B．C．6 D．58．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．10．在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．11．已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），则直线l与圆C的位置关系是．12．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ= ．13．如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为．14．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若对∀x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（共6题，80分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．16．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．17．设函数f （x）=．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间上的值域．18．正项数列{a n}满足f（a n）=（a n≠2），且{a n}的前n项和S n= [3﹣]2．（Ⅰ）求证：{a n}是等差数列；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=1nx﹣﹣2x（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（3）若a=﹣时，关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．20．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e ﹣2．2015-2016学年天津一中高三（上）第零次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B 【考点】全称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．故选D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．已知a=2，b=log2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=2＜1，b=log2＜0，c=log=log23＞1，∴b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．6．设各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=a n（n≥1），S n是其前n项和，若a2a4=2a5，则S4=（）A．4 B．8 C．3+3D．6+6【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】易得数列{a n}为公比q=的等比数列，由已知式子可得a1=2，代入求和公式可得．【解答】解：∵各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=a n（n≥1），∴=，即数列{a n}为公比q=的等比数列，∵a2a4=2a5，∴a1q•a1q3=2a1q4，解得a1=2，或a1=0（矛盾，舍去）∴S4===6+6故选：D【点评】本题考查等比数列的前n项和，涉及等比数列的判定，属基础题．7．若正数m，n满足m+3n=5mn，则3m+4n的最小值为（）A．B．C．6 D．5【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】原式可化为+=1，可得3m+4n=（3m+4n）（+）=+++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数m，n满足m+3n=5mn，∴=1，即+=1，∴3m+4n=（3m+4n）（+）=+++≥+2=5，当且仅当=即m=1且n=时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．8．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．【解答】解：因为f（x）=，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4，则有＜≤1．综上所述，＜a≤，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题：9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】已知中的三视图可知：该几何体是以一个半圆柱和三棱柱组成的组合体，分别计算他们的体积，相加可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是以一个半圆柱和三棱柱组成的组合体，半圆柱的体积为：π•12×2=π，三棱柱的体积： =2．该几何体的体积等于：．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．10．在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），则直线l与圆C的位置关系是相切．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】先把直线与圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，只要比较d与r的大小即可．【解答】解：直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数得x﹣y﹣2=0，圆C的极坐标方程：ρ=2sin（θ+），直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．圆心C（1，1），半径r=；∴圆心C（0，0）到直线l的距离d==r，∴直线x﹣y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，∴直线l与圆C的公共点的个数只有一个．故答案为：相切．【点评】利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系是解题的关键．12．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．13．如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为．【考点】圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．【分析】根据DE∥AC利用平行线的性质，证出AE=BE且∠BDE=∠C．再由弦切角定理证出∠BDE=∠PAE，从而得出∠BED=∠PEA，可得△BED∽△PEA，最后利用题中数据计算线段的比，即可算出PA的长．【解答】解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．∵∠BED=∠PEA，∴△BED∽△PEA，可得，∴AE2=BE•AE=PE•ED=6．由此解出AE=．∵AE2=GE•EF，∴GE=2，∴PG=1，∴PA2=PG•PF=6，∴PA=．故答案为：．【点评】本题给出圆满足的条件，求线段PA的长．着重考查了弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．14．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若对∀x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是a≤7．【考点】函数恒成立问题．【专题】证明题．【分析】利用定义求出：（x﹣a）⊗x≤a+2得（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，对不等式进行整理变形a≤﹣1=x﹣2++3，利用均值不等式求表达式的最小值即可．【解答】解：∵（x﹣a）⊗x≤a+2，∴（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，∴a≤﹣1=x﹣2++3，∵x﹣2++3≥7，∴a≤7．【点评】考察了对题中定义的理解，和对式子的变形，利用均值定理证明不等式．三．解答题（共6题，80分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用平方差公式及完全平方公式变形，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，由cosC=﹣cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由sinC，a，sinA的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．【解答】解：（Ⅰ）（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc可得：a2﹣（b﹣c）2=a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，∴a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，∴sinA==，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC==，在△ABC中，由正弦定理==，得：c===8，则S=acsinB=×5×8×=10．【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，EX=0×+1×+2×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．17．设函数f （x）=．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用和差角公式对f（x）可化为：f（x）=sin（2x+），由周期公式可求最小正周期，令2x+=kπ+，解出x可得对称轴方程；（2）根据图象平移规律可得g（x）=﹣cos2x，由x的范围可得2x范围，从而得cos2x的范围，进而得g（x）的值域；【解答】解：f（x）=sin2xcos+cos2xsin﹣cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），（1）所以f（x）的最小正周期为T=π，由2x+=k π+，得x=，k ∈Z ，所以函数f （x ）图象的对称轴方程为：x=，k ∈Z ；（2）由题意得，g （x ）=f （x ﹣）=sin （2x ﹣）=﹣cos2x ，∵x，∴，从而cos2x ∈[﹣，1]，所以g （x ）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期及其求法、三角函数的图象变换等知识，熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键．18．正项数列{a n }满足f （a n ）=（a n ≠2），且{a n }的前n 项和S n = [3﹣]2．（Ⅰ）求证：{a n }是等差数列； （Ⅱ）若b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n 与S n 的关系求得a n ﹣a n ﹣1=2，由等差数列的定义可得数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得b n ==，利用错位相减法求得数列的和．【解答】（Ⅰ）证明：∵f（a n ）=（a n ≠2），S n = [3﹣]2．∴S n = [3﹣（2﹣a n ）]2=．当n=1时，由a 1=，得a 1=1，当n≥2时，S n ﹣1=， 由a n =S n ﹣S n ﹣1=（﹣+2a n ﹣2a n ﹣1），整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∴当n≥2时，由题意a n＞0，则a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，∴b n==，∴T n=+++…+，T n=+++…+，两式作差得T n=+++…+﹣，∴T n=2×（+++…+）﹣﹣=2×﹣﹣=﹣，∴T n=3﹣．【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和等知识，考查学生的运算能力，属中档题．19．已知函数f（x）=1nx﹣﹣2x（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（3）若a=﹣时，关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数f'（x），根据题意解关于a的等式f'（2）=0，即可得到实数a的值；（2）由题意，不等式f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，等价转化为a≤在（0，+∞）内恒成立，求出右边的最小值为﹣1，即可得到实数a的取值范围；（3）原方程化简为x2﹣x+lnx﹣b=0，设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b（x＞0），利用导数研究g（x）的单调性得到原方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=﹣ax﹣2=﹣（x＞0）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f'（2）=0，即=0，解之得a=﹣（经检验符合题意）（2）由题意，得f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在（0，+∞）内恒成立，∵x2＞0，可得a≤在（0，+∞）内恒成立，∴由=（﹣1）2﹣1，当x=1时有最小值为﹣1，可得a≤﹣1因此满足条件的a的取值范围为（﹣∞，﹣1]（3）a=﹣，f（x）=﹣x+b即x2﹣x+lnx﹣b=0设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，（x＞0），可得g'（x）=列表可得∴[g（x）]极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2；[g（x）]极大值=g（1）=﹣b﹣∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，且g（4）=2ln2﹣b﹣2∴，解之得ln2﹣2＜b≤﹣【点评】本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的极值与单调性，并依此探求关于x的方程有解的问题．着重考查了导数在研究函数的单调性、求函数的极值与最值等方面的应用，考查了数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．20．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e ﹣2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e ﹣2），问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=，x∈（0，+∞），且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0，∴k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），。
天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理科)试卷有答案
∴ 为非零常数，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）当 时， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 是递增数列，
因而最小值为 ．
由（1）知， ，
要使 对一切 成立，
即 对一切 恒成立；
当 时， ， 对一切 恒成立，
只需 ．
∵ 单调递增，
∴当 时， ．
∴ ，且 ，∴ ．
综上所述，存在实数 满足条件．
令 ，则 ．
．
①当 时， ， 在 上递减．
，不合题意．
②当 时， ．
若 ，记 ，则 在 上递减．
在此区间上有 ，不合题意．
因此有 ，解得 ，
所以，实 的取值范围为 ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ，当 时，求数列 的前 项和 的最小值；
（3）若 ，问是否存在实数 ，使得 是递增数列？若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由。
19．已知椭圆 的焦距为 ，其上下顶点分别为 ，点 ， ，
。
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）点 的坐标为 ，过点 任意作直线 与椭圆 相交于点 两点，设直线 的斜率依次成等差数列，探究 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出 的关系式，并证明；若不是，请说明理由。
∵直线 的斜率依次成等差数列，
∴ ，
由于
，
∴ ，化为： ．
20．解：（1） ，
时， ， ， ， ．
在 处的切线方程为 ．
（2） ，
，
所以 ，所以 ．
（3）由 ，解得 ， ，
∵ ，∴ ．
而 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增．
∴在 上， ．
所以，“存在 ，使不等式 恒成立”等价于“不等式 恒成立”，
天津市第一中学2016届高三上学期第一次月考数学(文)试题(含答案)
津一中2015—2016学年度高三年级 第一次月考数学（文科）学科试卷班级_________ 姓名__________ 成绩__________本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷 1 页，第II 卷 2 至5 页。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题 5分，共40 分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A ．{}0,3 B ．{}2,0,3 C ．{}1,0,3 D ．{}2,1,0,32．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．3y x = B ．ln()y x =- C ．x y xe -= D ．2y x x=+3．已知命题()x x x p 43,0,:<∞-∈∃；命题⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0:πx q ，x x >tan ，则下列命题中真命题 是（ ）A ．q p ∧B ．()q p ⌝∨C ．()q p ⌝∧D ．()q p ∧⌝4．若0.52a =，3log π=b，2log 2c = ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．将函数)32sin(π+=x y 的图象经过怎样的平移后，所得函数图象关于点（12π-，0）成中心对称（ ） A ．向右平移12π B ．向右平移6π C ．向左平移12π D ．向左平移6π6．已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3π B ．32π C ．2π D ．65π7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当430≤<x 时，错误！未找到引用源。
天津版2016届高三上学期第二次月考 数学(理) Word版含答案
第二次月考数学理试题【天津版】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足52(2(=++））i i z ,则z = .A i 23- .B i 23+ .C 23i - .D i 32+2.已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是56, 则输入的N 的值 可以等于 A. 4 B. 5 C. 6 D. 74.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形． 则该四棱锥的体积等于A. B． C． D．5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1,2)--，则双曲线的焦距为AB ．CD6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n∈ A B C7.已知以下4个命题:①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题②若,023,2<--∈∀x x R x p ：则023,:2≥--∈∃⌝x x R x p ③设R b a ∈,，则b a >是b b a a )1(1->-）（成立的充分不必要条件④若关于实数x 的不等式x a x x <++-3121无解，则实数a 的取值范围是(]5,∞-. 其中,正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48．定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+2-，当(0.2]x ∈时，[]2(0,1)()11,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩ ，若(0,4]x ∈时，t x f t t -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是A.[]2,1B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1 D.[)+∞,22015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)11. 已知ABC ∆中,1AB =，sin sin A B C +=，3sin 16ABC S C ∆=，则cos _____C =.12. 如图,ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠= ， 且2PD =，6BD =，则AC ＝______.13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线M cos()14πθ+=, 曲线N 的参数方程为244{x t y t==（t 为参数）. 若曲线M 与N 相交于,A B 两点，则线段AB 的长等于 .14. 已知O 为ABC ∆的外心，22,,120,AB a AC BAC a==∠=若AO xAB yAC =+ ，则36x y +的最小值为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了A 、B 、C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙独自参加B 组测试，丁、戊两人各自独立参加C 组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为23；丙通过B 组测试的概率为12；而C 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记A 、B 两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望.17．（本小题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：11//AB BDC 平面； （Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，直线l 是椭圆C 在点B 处的切线. 设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP 与直线l 的交点为D，且当||BD =时，AFD ∆是等腰三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设椭圆C 的长轴长等于4，当点P 运动时，试判 断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．19．（本小题满分14分）设数列}{n b ，}{n c ，已知31=b ，51=c ，241+=+n n c b ，241+=+n n b c （*N ∈n ）． （Ⅰ）设n n n a c b =-,求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（Ⅲ）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点为M ，()f x 在M 处的切线与直线10x y -+=平行.(Ⅰ)求函数()()T x xf x =的单调区间；(Ⅱ)已知实数t ∈R ，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,， 存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C D B A ACBA二、填空题: 每小题5分，共30分.9．100 ； 10．10-； 11．13； 12．6； 13．8； 14．6+三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； (Ⅱ) 求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()22cos 2f x x x =++ ……1分2cos23x x ++ …………2分2sin(2)36x π=++ …………4分∴()f x 的最小正周期22T ππ== ……………5分 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈ ……………7分 （Ⅱ）由[0,]2x π∈得72666x πππ≤+≤ ………9分故1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ………11分所以2()5f x ≤≤ ………12分 因此,()f x 的最大为5, 最小值是2 ……13分解法二: ()f x 在区间[0,]6π上单调递增; 在区间[,]62ππ上单调递减………11分又(0)4,()5,()262f f f ππ===所以()f x 的最大为5, 最小值是2 ………13分16．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了A 、B 、C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙独自参加B 组测试，丁、戊两人各自独立参加C 组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为23；丙通过B 组测试的概率为12；而C 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记A 、B 两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 16.解：（Ⅰ）设参加C 组测试的每个人竞聘成功为A 事件，则()43144246+=C C C P A C 1+83==155 …………3分 故丁、戊都竞聘成功的概率等于3395525⨯= …………5分（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3， …………6分()21210(1)(1)2318P ξ==-⨯-=，()22112151(2)(1)(1)3323218P ξ==⨯⨯⨯-+-⨯=，()22112182(2)()(1)3323218P ξ==⨯⨯⨯+⨯-=，()22143()3218P ξ==⨯=， （每个结果各1分） …………10分故ξ的分布列为：…………11分所以158433()01231818181818E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=17．（本小题满分13分）如图，三棱柱1A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC 13AA =，D 为AC 的中点. （Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.17.（本小题满分13分）解法一: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系1C xyz -，………1分 则C 1（0，0，0），B （0，3，2），B 1（0，0，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0）， ………2分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =- . …………4分 又1(2,3,2)AB =-- ,所以12110AB m ⋅=-++= ,即1AB m ⊥∵AB 1⊄面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………6分 （Ⅱ）易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………7分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯. …………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27.…………9分 （Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………11分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………12分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………13分解法二: （Ⅰ）证明：连接B 1C,与BC 1相交于O ，连接OD ．∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． …………1分 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1． …………2分 ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………4分（Ⅱ）解1(0,3,2)C B = ，1(1,3,0)C D =， ………5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =- . …………6分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………7分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯. …………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. …………9分 （Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………11分解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………12分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………13分18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，直线l 是椭圆C 在点B 处的切线. 设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP 与直线l 的交点为D，且当||BD =时，AFD ∆是等腰三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设椭圆C 的长轴长等于4，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题可知(,0)A a -、(),D a ， ………1分 由||||AF FD =，得，a c += ………2分化简得122c a c e a =∴==， ………3分故椭圆C 的离心率是12………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆C 的长轴长等于4得，椭圆C 的方程为22143x y +=，且()()0,2,0,2B A -, 在点B 处的切线方程为2=x . 以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ……5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠. 则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．…………………7分 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+． 所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． …………………9分 因为点F 坐标为(1, 0)，（1）当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程 为1x =，点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切…10分（2）当12k ≠±时，直线PF 的斜率0204114PF y kk x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14k y x k =--,即214104k x y k---=． 故点E 到直线PF的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-===………12分 (算法二: 或直线PF 的方程为224401414k kx y k k--=--, 故点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-…12分) 又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……13分解法二: 由（Ⅰ）及椭圆C 的长轴长等于4得，椭圆C 的方程为22143x y +=，且()()0,2,0,2B A -, 在点B 处的切线方程为2=x . 以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ……5分证明如下: 设点(,)P x y ,则221(0)43x y y +=≠ (1)当1x = 时,点点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程为1x =， ……6分点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切…7分(2)当1x ≠ 时直线AP 的方程为(2)2y y x x =++, …8分 点的坐标为4(2,)2y x + ,BD 中点E 的坐标为2(2,)2y x + ,故2||||2y BE x =+…9分直线PF 的斜率为1PF y k x =-,故直线PF 的方程为(1)1y y x x =-- ,即110x x y y ---= ,………10分所以点E 到直线PF的距离12|21|2||||2x y y d BE x --⨯-===+………12分故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分19．（本小题满分14分）设数列}{n b ，}{n c ，已知31=b ，51=c ，241+=+n n c b ，241+=+n n b c （*N ∈n ）． （Ⅰ）设n n n a c b =-,求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（Ⅲ）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）所以22241+=+=+n n n c c b ，221+=+n n bc ， )(21)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++,即112n n a a +=-， ……………………2分又11120a c b =-=≠, 故数列{}n a 是首项为2，公比为21-的等比数列，所以1122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭． …………………………………………………4分（Ⅱ）解：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n nn n c b c b c b ，………………………………6分 而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即n n b a +恒为定值8． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1212,8n n n n n b c c b ，所以1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，…9分所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--+=nnn n n S 2113242112114， ……………10分所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-⋅nn p n S p 21132)4(，由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤np ，因为0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，所以p⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111， ………………11分当n 为奇数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而增大，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<n， 当n 为偶数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而减小，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n， 所以，n ⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为34，n⎪⎭⎫⎝⎛--2113的最小值为2．……………13分 由nn p ⎪⎭⎫⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111，得23234≤≤p ，解得32≤≤p ． 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．……………………………………14分20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线与直线10x y -+=平行. (Ⅰ)求函数()()T x xf x =的单调区间；(Ⅱ)已知实数t ∈R ，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分14分）(Ⅰ)解:点(,0)M a ，'()2f x x a =- ，由题意可得()1f a '=，故1a =，……1分∴2(),f x x x =- ()32T x x x =-，()22323()3T x x x x x '=-=- ……………2分令()0T x '>，得()T x 的增区间是2(,0),(,)3-∞+∞； ………………3分 令()0T x '<，得()T x 的减区间是2(0,)3； ……………4分 (Ⅱ)解法一：令()()u h x xg x t ==+，（[]1,x e ∈），则()(ln )ln 10h x x x t x ''=+=+>， …………………………5分 ∴()h x 在[]1,e 单调递增，故当[]1,x e ∈时，t u e t ≤≤+ ……………6分 因为()(1)f x x x =-在(,0.5)-∞上单调递减，在(0.5,)+∞上单调递增，故可分以下种情形讨论（1）当0.5e t +≤即0.5t e ≤-时()f u 在[,]t e t +上单减，所以()f u 的最小值是2()()()f e t e t e t +=+-+ ………………7分（2）当0.5t e t <<+即0.50.5e t -<<时()f u 的最小值是(0.5)0.25f =-，…8分（3）当0.5t ≥时()f u 在[,]t e t +上单增，所以()f u 的最小值是2()f t t t =- ………9分解法二：2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…5分 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ ……………6分 22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………7分 ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ………8分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………9分 （Ⅲ）1()()()ln ,F x g x g x x x'=+=+22111'()0x F x x x x -=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………10分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0,注意到121x x << ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………11分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<,2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. …………12分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………13分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.m ………………14分∴综合①、②、③得(0,1)说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。
天津市第一中学2016届高三数学上学期第二次月考试题文
天津一中2015—2016学年度高三年级 第二次月考数学（文科）学科试卷班级_________ 姓名__________ 成绩__________本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷 1 页，第II 卷 2 至5 页。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题 5分，共40 分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数2iz x i+=-为纯虚数，其中i 虚数单位，则实数x 的值为 （ ） A ．－12 B. 12C. 2D. 1 2. 已知命题p ：0x ，总有11xxe ，则p 为 （ ） A 、00x ，使得0011x x e B 、00x ，使得011x x e C 、0x ，总有11xxe D 、0x，总有11xx e3. 设2log a ，12log b，2c ，则 （ ）A 、abc B 、bac C 、a c b D 、c b a4. 设0,0.a b >>若11333aba b+是与的等比中项，则的最小值为（ ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、145.在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是( )A ．等腰或直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形]6.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则24b =-，52b =， 则8a =（ ）A ．0B ．3C ．8D ．118.已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠时，有()()0f x f x x'+>，则函数 1()()F x xf x x=+的零点个数是 （ ）A ．0B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市第一中学2016届高三上学期第二次月考数学(理)试卷
天津一中2015-2016-1高三年级第二次月考数学试卷（理科）一、选择题： 1.“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ A ）. A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2．右图是计算1111246100++++的值的一个程序框图，其中判 断框内应填入的条件是（ C ）A. 50i ≤B. 50i >C. 100i ≤D. 100i > 3.若22013a i i i=+++(i 是虚数单位)，则2(1)1a a a+-的值为 （ D ）A ．i B. 1i - C ．1i -+ D. 1i -- 4.将函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位，所得函数图像的一条对称轴为（ C ）A ．9x π=B.8x π=C. 2x π=D.x π= 5.已知实数,x y 满足()01x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ D ）．A ． 111122+>+y xB ．)1ln()1ln(22+>+y xC ．y x sin sin >D ．33y x >6.若x 、y 满足约束条件1y xx y a y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，其中0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则2z x y =+的最大值为 （ B )A ．1B ．3C ．-3D ．5 7.已知正项数列{n a }的前n 项的乘积等于T n =261()4n n- (*n ∈N )，2log n n b a =，则数列{b n }的前n 项和S n 中最大值是（ D ）A ．S 6 B.S 5 C.S 4 D.S 38.已知函数21,0()(1)1,0x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则该数列的通项公式为 （ C ）. A.(1)2n n n a -=*()n N ∈ B. (1)n a n n =-*()n N ∈C. 1n a n =-*()n N ∈ D. 22n n a =-*()n N ∈二、填空题：9．一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积为_____.10.函数()31a y log x =+-(0a >且)1a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的 最小值为 8 ．11. 定义*ab 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅其中为向量a 和b 的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= 12. 如图，PA 是圆O 的切线，A 是切点，直线PO 交圆O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连结AD 并延长交圆O 于点E ，若PA =，∠30APB =，则AE =___7710_____． 13.圆4sin C ρθ=-：上的动点P 到直线:sin()4l πρθ+=的最短距离为__2________.14.关于实数x 的不等式23225|5|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是____(],10-∞______.三． 解答题(共6题，80分)（15）已知向量3(sin ,),(cos ,1).2a xb x ==-正视图俯视图侧视图(Ⅰ)当2//,2cos sin 2a b x x -时求的值； （Ⅱ）求()()[,0]2f x a b b π=+⋅-在上的值域．（1）b a // ， ,0sin cos 23=+∴x x 23tan -=∴x ……………………3分x x x x x x x 2222cos sin cos sin 2cos 22sin cos 2+-=-.1320tan 1tan 222=+-=x x … ………6分（2）1(sin cos ,)2a b x x +=+，2()()sin(2)4f x a b b x π=+⋅=+,02≤≤-x π 44243πππ≤+≤-∴x ， 22)42sin(1≤+≤-∴πx … ……10分 1(),2f x ≤≤∴函数]21,22[)(-的值域x f ………………13分（16）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为27.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数． (Ⅰ)求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅲ)求甲取到白球的概率．(Ⅰ)设袋中原有n 个白球,由题意知：227(1)2(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯，所以(1)n n -=12，解得n=4(舍去3n =-),即袋中原有4个白球…………………(4分)(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1，2，3，4……………………………………(5分)4342324432141(1);(2);(3);(4)776776535765435P P P P ξξξξ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===========⨯⨯⨯⨯⨯⨯所以，取球次数ξ的分布列为：85E ξ=…………………………………(11分) (Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A ，则()("1"P A P ξ==或 “ξ=3”）,所以24()(1)(3)35P A P P ξξ==+==………(13分)（17）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB//CD ，090DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=12，AB=1，M 是PB 的中点。
《KS发布》天津一中高三上学期第一次月考数学试题含答案
5
19．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右顶点为
，上顶点为
．已知椭圆的离心率为
5， 3
| AB | 13 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线 ：
与椭圆交于 ， 两点，且点 在第二象限. 与 延长线交于
点 ，若 的面积是
面积的 3 倍，求 的值.
20．已知函数
f
(x)
lnx ，
g(x)
天天津津一一中中2021091-290-22002高0三高年三级年一级月一考数月学考试数卷学（试理卷）
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!
一、选择题：
1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x| log 1 x ≥﹣1}，则 A∪B＝（ ）
18．已知函数 f (x) sin(2 x ) sin(2 x ) 2 cos2 x ，其中 0 ，且函数 f (x) 的最
3
3
小正周期为
（1）求 的值；
（2）求 f (x) 的单调增区间 （3）若函数 g(x) f (x) a 在区间 [ ， ] 上有两个零点，求实数 a 的取值范围．
7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3， 由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9）， V′＝12（3﹣x）（9﹣x）， 令 V′＝0，则在（0，9）内有 x＝3． 故当 x＝3 时，V 有最大值； 故选：C． 8．【解答】解：由 y＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，而当 x＝0 时，y＝f（0）﹣0＝ 0，即 x＝0 是函数的一个零点，
天津市第一中学2016届高三上学期第三次月考数学(文)试题Word版含答案
天津一中2015—2016学年度高三年级 第三次月考数学（文科）学科试卷班级_________ 姓名__________ 成绩__________本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷 1 页，第II 卷 2 至5 页。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题 5分，共40 分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}(){}22560log 2||A x x x B x y x =--===-， ，则()R AC B =（ ）A ．{2}3，B ．{16}-，C ．{}3D ．{}6 2．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1≠x ，则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ，则1=x ” B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x 十1≠0，则p ⌝：x ∃∈R ，012=++x xD ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件3．阅读右面的程序框图，则输出的S = ( ) A ．14 B ．30 C ．20 D ．554．已知过点)2,2(P 的直线与圆5)1(22=+-y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则a ＝( )A ．12-B ．1C ．2D ．125．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为（ ）A．．．．6．如下图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E ． 则下面结论中，错误．．的结论是（ ） A ．BEC ∆∽DEA ∆ B ．ACE ACP ∠=∠ C ．2DE OE EP =⋅D ．2PC PA AB =⋅7．已知定义在R 上的函数12)(-=-mx x f （m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．b c a << C ．b a c << D ．b c a <<8．定义在(1,)+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；（2）当(1,2]x ∈时，()2f x x =-；记函数()()(1)g x f x k x =--，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围（ ）A ．[1,2)B ．4[,2]3 C ．4(,2)3 D ．4[,2)3天津一中2015—2016学年度高三年级 第三次月考数学（文科）学科答题纸第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）B二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市第一中学2016届高三数学上学期第三次月考试题 理(含解析)
天津市第一中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）一、选择题：共8题1．已知全集则A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查集合的并集、全集和补集的概念及运算.由条件知，,所以故选.2．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】本题主要考查简单的线性规划，及利用几何意义求最值.如图，阴影部分表示约束条件所表示的区域，当直线经过点(1,0)时，目标函数取得最大值5.故选D.3．设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，充要条件的概念及判断.由不等式得,所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．下图是一个算法框图，则输出的的值是A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键.由程序框图知，此算法的功能是求满足不等式的最小正整数解，由得或,所以输出.故选C.5．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE的长为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查了圆的相交弦定理和切割线定理.由相交弦定理得,因为,,所以,解得,所以,因为与圆相切,由切割线定理得,即,解得.故选B.6．已知双曲线的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为A. B.y C. D.【答案】D【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质,涉及到离心率和点到直线的距离公式.由题意得双曲线的离心率,,所以双曲线的渐近线方程为即,又抛物线的焦点为故焦点到直线的距离解得,所以抛物线的方程为故选D.7．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题重点考查通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，重在考查学生的推理能力.令,则,因为当时,,所以当时，,即当时,,因此当时,函数单调递增,因为函数为奇函数,所以==,=,==,因为所以,又,所以,即故选D.8．已知函数，若方程在区间内有个不等实根，则实数a的取值范围是A. B.C.或D.或【答案】C【解析】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类题的基本方法.若,则,=若,则,=的图象如图,设和,则方程在区间上有3个不等实根,等价于的图象和直线区间上有3个不同的交点,如图可知,当或时的图象和直线有3个不同的交点.故答案选C.二、填空题：共6题9．复数是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为.【答案】4【解析】本题考查复数的概念与运算.由题意得,其为纯虚数，所以，所以.10．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于_______．【答案】【解析】本题主要考查根据三视图求几何体的体积,重点考查考生的空间想象能力.由三视图可知：棱锥以俯视图为底面，以侧视图高为高，由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故,结合三视图中标识的其它数据，故故答案为11．曲线与直线及轴所围成的图形的面积是__．【答案】【解析】本题主要考查定积分的几何意义及计算，重在考查考生的转化能力和运算能力.由题意,故答案为.12．在的展开式中，项的系数为___．【答案】【解析】本题主要考查二项展开式中通项公式的应用, 重在考查考生的运算能力.的展开式的通项为=令,得所以展开式中项的系数为故答案为13．在三角形ABC中，，，三角形ABC的面积为4，则的长为______．【答案】4或【解析】主要考查解三角形中三角形面积的计算公式和正、余弦定理的应用.由三角形面积公式可得：因为，，所以,由同角三角函数间的基本关系可知在三角形ABC中，由余弦定理可知：即，或故答案为4或14．已知椭圆，为轴上一个动点，、为该椭圆的两条切线，、为切点，则的最小值为______．【答案】【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的数量积和基本不等式.设P,,则对两边求导，得则过切点A的斜率为切线方程为：又化简即得PA：同理可得，PB:，、为该椭圆的两条切线，直线AB的方程为代入椭圆方程可得，,为轴上一个动点，=≥=当且仅当时取等号.故答案为三、解答题：共6题15．己知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)当时，求函数的最小值和最大值．【答案】==,(1)所以函数最小正周期为,由得所以函数f(x)的单调递增区间是(2) 当时,,,所以，.【解析】主要考查三角函数中的恒等变换应用和正弦函数的图像和性质.(1)由三角函数公式化简可得由周期公式可得利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间；(2)根据函数的单调性和图像，即可求出函数在区间上的最小值和最大值．16．某学校开设了五门选修课．要求每位学生必须参加且只能选修一门课程．假设甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．(1)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数；(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；(3)设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加课程的人数，求的分布列与数学期望．【答案】(1)甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数为种. (2)设甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程为事件，.(3)的可能取值为，;;;的分布列如下：X0 1 2 3【解析】主要考查离散型随机变量的期望和方差；相互独立事件的概率公式、计数原理、古典概型.(1)每个学生选修一门课程，有5种选法，由分步乘法计数原理即可求解；(2) “甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程”的对立事件为“三名学生选择三门不同的选修课程”，利用对立事件的概率关系即可求出结果；(3)X的所有可能取值为：0,1,2,3，利用古典概型分别求概率，列出分布列求期望即可.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,AD ∥BC, AD ⊥CD,且,,点M 在PD 上.(1)求证:;(2)若二面角 的大小为45°,求BM 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】(1)如图,设E 为BC 的中点,连结AE ,则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 为平行四边形,故AE BC ⊥,又22AE BE EC ===,所以45ABC ACB ∠=∠=,故AB AC ⊥,又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥,且PA AC A =,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥(2)如图,以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,0),(22,0,0),(22,22,0),(22,22,0),(0,22,0),(0,0,2)A E B C D P -, 设(0,22,2)(01)PM PD λλλλ==-≤≤,易得(0,22,22)M λλ-,设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,则112222022(22)0AC x AM y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n n ,令2,y =得 ， ,即 . 又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ,由题知12122122||||1|cos ,|cos 45||||24()1λλλλ⋅-<>===⨯+-n n n n n n ,解得12λ=, 即(0,2,1),(22,32,1)M BM =-,而(22,22,0)AB =-是平面PAC 的一个法向量, 设平面BM 与平面PAC 所成的角为θ,则|812|53sin |cos ,|9433BM AB θ--=<>==⨯. 故直线BM 与平面PAC 所成的角的正弦值为539. 【解析】本题考查线面垂直，空间角，空间向量的应用.【备注】高考常考题，掌握空间向量法.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为，且，数列的前n 项和为，且，． (1)求数列的通项公式；yAx B C zD MPE(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)由题意，，得,．，当时，，当时，，两式相减，得,数列为等比数列，．(2)．当为偶数时，=．当为奇数时，为偶数，=,【解析】主要考查等差数列的通项公式以及性质，等比数列的通项公式和数列求和.(1)由等差数列的性质可知：即可求出的通项公式；(2)利用数列的递推公式求出的通项公式，即可得出分类进行求数列的前项和.19．如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：，设圆T与椭圆C交于点M与点N．(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O，为坐标原点，求证：为定值．【答案】(1)以题意得，a=2,e=,,故椭圆C的方程为.(2)点与点关于轴对称，设,不妨设. 由于点M在椭圆C上，所以．(*)由已知T(-2，0)，则=.由于，故当时，取得最小值为．由(*)式，故M(,),又点M在圆T上，代入圆的方程得到故圆的T的方程为.(3)设P,则直线MP的方程为：令y=0，得,同理：，故(**)又点M与点P在椭圆上，故,,代入(**)式，得：=所以为定值.【解析】本题主要考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，重点考查了学生的运算求解能力、推理论证能力，运用了函数与方程的思想和数形结合的数学思想.(1)依题意得，a=2,e=,由此能求出椭圆的方程；(2)点与点关于轴对称，设,不妨设.由于点M在椭圆C上，故．由T(-2，0)，=．由此能求出圆T的方程；(3)设P,则直线MP的方程为：令y=0，得,同理：，故，由此能够证明为定值.20．设函数(是自然对数的底数，=2.71828…).(1)若,求实数的值，并求函数的单调区间；(2)设，且，是曲线上任意两点，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；(3)求证：.【答案】(1)因为故 1.令得;令得.所以的单调增区间为单调减区间为.(2)由,变形得.令,则在R上单调递增.所以,即在R上恒成立.≥==≥,故.(3)由(1)知，取)得，，即，累加得：≤=<，<.【解析】主要考查导数在最值问题中的应用，导数在证明函数单调性时的应用，不等式与函数的综合应用，其中用到了证明不等式时常用的放缩法.(1)先求导，再代入，求出的值，再根据导数和函数单调性的关系，求出单调区间；(2)根据题意构造出新的函数,则在R上单调递增，根据基本不等式求出函数的最值，即可得到m的取值范围；(3)由(1)知，取)得，，即，累加并且用不等式的放缩即可证明.。
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天津一中2015—2016学年度高三年级零月考数学(理)学科试
卷
班级_________ 姓名__________ 成绩__________
本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题5分，共40分）
一、选择题：
（1）已知复数z 满足()3425i z +=，则z =
A.34i -
B.34i +
C.34i --
D.34i -+
（2）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则 A ．:,2p x A x B ⌝∀∈∉ B ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉ C ． :,2p x A x B ⌝∃∉∈ D ．:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （3）执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S = A.
67 B.37 C.89 D.49
（4）已知1
3
2
a -=，2
1211
log ,log 33
b c ==，则c b a ,,的大小关系为 A ．c a b << B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．a c b << （5）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则sin 2α的值为 A.
118 B. 1718- C.1718
D. 118-
（6）设各项均不为0的数列{}n a 满足n n a a 21=+(n ≥1)，n S 是其前n 项和，若5422a a a =，
则4S ＝
A ． 42
B ．266+
C ． 233+
D ． 28 （7）若正数n m ,满足,53mn n m =+，则n m 43+的最小值为
A ．
524 B ．5
28 C ．6 D ． 5 （8）已知
,
x R ∈符号
[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]272=⋅，若函
数
()[]()0x f x a
x x
=
->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是
A ．12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．12,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ． 34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ． 34,45⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）
二、填空题：
（9）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （10）在6
14x x ⎛⎫-
⎪⎝⎭
的展开式中，2
x 的系数为 . (用数字作答). （11）已知平面直角坐标系xoy 内直线l 的参数方程为2x t
y t =⎧⎨=-⎩
，（t 为参数），以ox 为极轴
建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C 的极坐标方程为
)4
π
ρθ=+,则直线l 与
圆C 的位置关系是_________.
（12）已知向量AB 与AC 的夹角为120
24==，若
,AP AB AC λ=+ 且AP BC ⊥
,则实数λ的值为
（13）如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于F G ,，交⊙O 在A 点的切线于P ，若3,2,3===EF ED PE ，则PA 的长为 （14）在R 上定义运算⊗:),1(y x y x -=⊗若对2>∀x ，不等式2)(+≤⊗-a x a x 都成立，则实数a 的取值范围是
第9题图 第13题图
三． 解答题(共6题，80分)
（15）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若3
B π
=
,且
3
()()7
a b c a b c bc -++-=.
（Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）若5a =,求ABC ∆的面积.
（16）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望
（17）设函数x x x x f 22cos 3
3sin 33)3
2sin()(-+
+
=π
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及其图象的对称轴方程 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移
3
π
个单位长度，得到函数)(x g 的图象， 求)(x g 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
3,6ππ 上的值域
（18）正项数列{}n a 满足2
()(2)2n n n
f a a a =≠-，且{}n a 的前n 项和2
1234()n n S f a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
（Ⅰ）求证:{}n a 是等差数列； （Ⅱ）若2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（19）已知函数2
1()122
f x nx ax x =-
- （Ⅰ）若函数()f x 在2=x 处取得极值,求实数a 的值;
（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围; （Ⅲ）当12a =-
时,关于x 的方程1
()2
f x x b =-+在上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.
（20）已知函数ln ()x
x k
f x e +=
（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2
()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.
证明：对任意2
0,()1x g x e -><+.
零月考（理科）答案
一、选择题：A D B A B B D C 二、填空题： （9）π+32 （10）
1516 （11）相切 （12）
5
2 （13）6 （14）7≤a 三、解答题： （15）
试题解
析：（1）3()()7a b c a b c bc -++-=
可得222223()27
a b c a b c bc bc --=--+= 所以2
2
2
11
7
a b c bc =+-，所以22211cos 214b c a A bc +-=
=，……………3分
所以sin A == 所以
1111
cos cos()(cos cos sin sin )(1427
C A B A B A B =-+=--=-⨯=……6分
（2）由（1）可得7
3
4cos 1sin 2
=
-=C C 在△ABC 中，由正弦定理A
a
B b
C c sin sin sin =
= ∴8sin sin ==
A
C a c , 5sin sin ==
C A
c a ， 5,8==c a ……………9分 ∴3102
3
8521sin 21S =⨯⨯⨯==
B ac . ……………12分 考点：（1）余弦定理、正弦定理的应用，（2）同角三角函数基本关系式及两角和余弦公式的应用。
（16） 【答案】（1）
14；（2）分布列见解析，期望为35
．
故7
713E(X)012151515
5
=???． （17） （Ⅰ）6
2ππ+=k x （Ⅱ）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-
63,33 （18）
（19）
（20）。