4.2.1(考核课)直线与圆的位置关系

代数法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交， 有两个公共点； （2）当d = r，即b= 2 时，直线与圆相切，有 一个公共点；
解法一：圆心O (0，0)到直线y = x + b的距离 为d
|b| 2
，圆的半径 r
2 .
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交， 有两个公共点； （2）当d = r，即b= 2 时，直线与圆相切，有 一个公共点； （3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相 离，无公共点.
（1）当△ ＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个 公共点；
消去y得 2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0， △ =16 – 4b2.
x2 y2 2 解法二：联立两个方程得方程组 . y x b
（1）△ ＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个 公共点； （2）当△ ＝0，即 b 2 时，直线与圆有一个 公共点；
c. 如果d＞r，直线与圆相离.
(2) 代数法：判断直线与圆的方程组是否有解： a. 有解，直线与圆有公共点： 有一组则相切；
有两组则相交；
b. 无解，则直线与圆相离.
课后作业
世纪金榜p138
谢谢！
拓展延伸
已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点， 证明：过点P的圆C的切线方程为x0x+y0y=r2
几何法
利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较 圆心到直线的距离d与圆的半径r.
代数法
看直线与圆组成的方程组有无实数解: (1)有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交； (2)无解，则直线与圆相离.
小结：判断直线和圆的位置关系
几何法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
2 2
2
点P在圆内 d r (x0 a) ( y0 b) r
2 2
2
1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置 关系有几类？
(1) 相交；
(2) 相切；
(3) 相离.
2.在初中我们怎样判断直线与圆的位置
关系？
直线和圆的位置关系
r
d
C
d l
C d l
C l
相交： 相切： d r d r 有一个交点 有两个交点
|b| 2
，圆的半径 r
2 .
解法一：圆心O (0，0)到直线y = x + b的距离 为d
|b| 2
，圆的半径 r
2 .
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交， 有两个公共点；
解法一：圆心O (0，0)到直线y = x + b的距离 为d
|b| 2
，圆的半径 r
2 .
消去y得 2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0， △ =16 – 4b2.
x2 y2 2 解法二：联立两个方程得方程组 . y x b
（1）当△ ＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个 公共点； （2）当△ ＝0，即 b 2 时，直线与圆有一个 公共点； （3）当△ ＜0，即b＞2或b＜–2时，直线与圆无 公共点.
港口
O
轮船
x
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:
x y 9
2 2
轮船航线所在直线 l 的方程为：
y 港口
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点．
O
轮船
x
内容总结
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法:圆心到直线的距离d与半径r的关系 a. 如果d＜r，直线与圆相交； b. 如果d＝r，直线与圆相切；
复习引入
圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0
点P(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判定：
设点P与圆心的距离为d，则
点P在圆外 d r (x0 a) ( y0 b) r 点P在圆上 d r (x0 a)2 ( y0 b) 2 r 2
注意!
当斜率不存在时，还有直线x=3 也满足条件.
∴所求切线方程为
y=1或x=3
例4、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 4 5 ，求直
线l的方程.
变式训练
已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆 C相切，求圆C的方程.
(x2+y2=49)
知识应用
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风 预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围 是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心 正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否 y 会受到台风的影响？ 为解决这个问题，我们以 台风中心为原点 O，东西方向 为 x 轴，建立如图所示的直角 坐标系，其中取 10km 为单位 长度．
练习巩固
教科书P128 3.判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置 关系.
(相切)
知识应用
例2 . 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b， 当b为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.
解法一：圆心O (0，0)到直线y = x + b的距离 为d
解法二：由直线l 与圆的方程，得
3x y 6 0 2 2 x y 2 y 4 0
消去y，得x2 – 3x + 2 = 0，
①
②
因为△= (–3)2 – 4×1×2 = 1＞0, 所以，直线l与圆相交，有两个公共点.
求交点：
由x2 –3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1 . 把x1=2代入方程①，得y1= 0； 把x2=1代入方程①，得y2= 3, 所以，直线l 与圆有两个交点， 它们的坐标分别是 A (2，0)，B (1，3).
解：设切线方程为y-1=k(x-3)，即kx-y+(1-3k)=0, 圆的方程可化为(x-2)2+y2=12,则圆心 C(2,0) 到切线的距离为 2k 0 (1 3k) d 1. 2 1 k
解：设切线方程为y-1=k(x-3)，即kx-y+(1-3k)=0, 圆的方程可化为(x-2)2+y2=12,则圆心 C(2,0) 到切线的距离为 2k 0 (1 3k) d 1. 2 1 k 解得 k 0.
分析：利用圆的一般式
求出圆心和半径，再画
出草图观察进行判断。
解法一：圆 x2 + y2 –2y – 4 = 0 可化为 x2 + (y – 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1）， 半径长为 5 ，点C (0，1)到直线l 的距离
| 3 0 1 6 |
d=
3 1
2
2

5 10
＜
5.
所以，直线l 与圆相交，有两个公共点.
相离：
d r 没有交点
探究活动
3. 现在，如何用直线和圆的方程判断它们 之间的位置关系？
方法一：利用圆心到直线的距离d.
方法二：利用直线与圆的交点个数.
例题讲解
例1.已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C的
圆x2 + y2 –2y – 4 = 0，判断直线l 与圆的位置
关系；如果相交，求它们交点的坐标.
消去y得 2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0， △ =16 – 4b2.
x2 y2 2 解法二：联立两个方程得方程组 . y x b
消去y得 2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0， △ =16 – 4b2.
x2 y2 2 解法二：联立两个方程得方程组 . y x b
课堂练习
教科书P128 2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相 切，求圆C的方程. (x2+y2=49) 3.判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置 关系. 4.已知直线l: y=x+6，圆C：x2+y2-2y-4=0.试判 断直线与圆C有无公共点，有几个公共点.
(无公共点)
解：设切线方程为y-1=k(x-3)，即kx-y+(1-3k)=0, 圆的方程可化为(x-2)2+y2=12,则圆心 C(2,0) 到切线的距离为 2k 0 (1 3k) d 1. 2 1 k 解得 k 0. 故直线方程为 y 1.
还有一条直线呢？
注意!
当斜率不存在时，还有直线x=3 也满足条件.
知识应用
例3.求过点(3，1)且与圆C：x2+y2-4x+3=0相 切的直线的方程.
知识应用
例3.求过点(3，1)且与圆C：x2+y2-4x+3=0相 切的直线的方程. 分析：将圆的一般式化成标准式，画出草图. 求直线的方程，直线中点与圆的位置关系是
找出数量关系的关键。
解：设切线方程为y-1=k(x-3)，即kx-y+(1-3k)=0, 圆的方程可化为(x-2)2+y2=12,