2017-2018年北京市石景山区高三上学期期末数学试卷(文科)及答案解析
北京石景山区高三上学期期末考试数学(文)试题答案
石景山区第一学期期末考试 高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２s i n (2-)14x π=+ ……………5分 π=T ……………7分 （Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分 当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为. ………13分16．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄面面 1//BC A DE ∴面 ……4分（Ⅱ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. ……………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1A CB ，△1A DC 均为直角三角形．1A B =1A B ==………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2P A =． …………………6分 （Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)， 共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分 18.（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分 （Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-， 解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减， 当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤.…………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2a =，又因为2e =，解得a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<， 由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>k <.所以当k ∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164n n n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数. 由题意知，3lg 2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②, 由①得3-1lg>-lg 20134n （），解得27.4n <,由②得3lg>-lg20134n，解得26.4n .即数列{}nb最多有26项.…………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
石景山区2017--2018学年第一学期高三期末考试试卷
石景山区2017--2018学年第一学期高三期末考试试卷物理则在1s内发射的重离子个数为（e=1.6×10-19 C）A．3.0×1012 B．1.5×1013C．7.5×1013D．3.75×10145．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个初速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。
初速度较大的球越过球网，初速度较小的球没有越过球网。
其原因是A．初速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大B．初速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少C．初速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大D．初速度较小的球下降相同距离所用的时间较多9．如图所示，直线a 、b 和c 、d 是处于匀强电场中的两组平行线，M 、N 、P 和Q 是它们的交点，四点处的电势分别为M ϕ、N ϕ、P ϕ和Q ϕ。
一带正电的粒子由M 点分别运BA C Da第Ⅱ卷（共64分）二、本题共2小题，共18分。
13．（6分）现用频闪照相方法来研究物块的变速运动。
在一小物块沿斜面向下运动的过程中，用频闪相机拍摄的不同时刻物块的位置如图所示。
拍摄时频闪频率是10 Hz ；通过斜面上固定的刻度尺读取A 、B 、C 、D 和 E 5个连续影像间的距离依次为R R mAab A BCDE（3）若电阻1R 和2R 中有一个被短路，利用图（3）的电路可以判断出被短路的电阻，图（3）中R 为保护电阻。
则图中的d 点应和接线柱 （填“b ”或“c ”）相连。
判断依据是： 。
三、本题共5小题，共46分。
解答应写出必要的文字说明、方程和重要步骤。
只写出最后答案的不能得分。
有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
15．（8分）如图所示，某台式弹簧秤的秤盘水平，一物块放在秤盘中处于静止状态。
试证明物块对秤盘的压力大小等于物块所受的重力大小。
16．（9分）有一辆质量为800 kg 的小汽车驶上圆弧半径为50 m 的拱桥。
2018北京石景山区高三(上)期末数学(文)
2018北京石景山区高三（上）期末数 学（文）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B I 等于（ ）A ．{}|34x x x >≤或B ．{}|13x x -<≤C ．{}|21x x --<≤D ．{}|34x x <≤2．设i 是虚数单位，则复数1ii+在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若实数y x ,满足3,,23,x y x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥则3z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．94．已知函数()3,0sin ,0x x x f x x x ⎧+>=⎨⎩≤则下列结论正确的是（ ）A ．()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C ．()x f 是周期函数 D ．()x f 的值域为[)+∞-,15．“10m >”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．23π-，B ．26π-，C ．46π-，D ．43π，7．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）y1211π125π Ox2-2A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈8．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为()t s ，他与教练间的距离为()y m ，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ） A ．点M B ．点NC ．点PD ．点Q第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若1ln 2a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则,,a b c 的大小关系为_______.10．抛物线24y x =上一点(2,22)到此抛物线焦点的距离为_______.11．执行右面的程序框图，若输入的x 的值为0，则输出的y 的值是________. 12．在数列{}n a 中,12a =，且对任意的*,m n N ∈有m n m n a a a +=⋅,则6_____a =.13．平面向量a r 与b r 的夹角为o60，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +=r r _______ .14．若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组),,,(d c b a __________,符合条件的全部有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）QP N M 图2图130t(s)y(m)ODCBA已知数列{}n a 为递增的等比数列，148a a ⋅=，236a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 16．（本小题共13分）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =． （Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小；（Ⅱ）若23ADB π∠=，求ABC V 的面积．17．（本小题共13分）某学校高三年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.（Ⅰ）完成下面的22⨯列联表； 不喜欢运动 喜欢运动合计 女生 50男生 合计100200（Ⅱ）在抽取的样本中，调查喜欢运动女生的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段)50,40[和)70,60[的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.图1B D ACAB D C图218．（本小题共14分）如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，//AB EF ，1AE AD ==，22AB EF ==，90EAB ∠=︒，ABFE ⊥平面ABCD 平面.（Ⅰ）若G 点是DC 中点，求证：//FG AED 平面； （Ⅱ）求证：BF DAF ⊥平面； （Ⅲ）求三棱锥D AFC -的体积．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值.20．（本小题共13分）已知函数()3212()32a f x x x x a R =-+-∈. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(1,)x ∈+∞都有()2f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若过点1(0,)3-可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围.ABDCGEF数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 12345678答案C A CD A A B D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． (第14题第一空3分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3) 任选一个即可，第二空2分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由14238a a a a ⋅=⋅=及236a a +=…………2分得2324a a =⎧⎨=⎩或3224a a =⎧⎨=⎩（舍） …………4分所以322a q a ==，11a = 所以1112n n n a a q --==…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得121log 2n n n n b a a n -+=+=+…………7分所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+011(222)(12)n n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ …………9分12(1)122n n n -+=+-2212nn n +=-+ …………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设BAD α∠=，CAD β∠=，则1tan 2BD AD α==，1tan 3CD AD β== …………2分 所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-…………5分题号 91011121314 答案a b c << 3 13 6423(3,2,1,4); 6因为(0,)αβπ+∈， 所以4παβ+=，即4BAC π∠=． …………7分（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，因为23ADB π∠=，所以3ADC π∠=，所以sin333AH AD π=⋅=； …………11分所以115322ABC S BC AH ∆=⋅=． …………13分 17．（本小题共13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样的定义，可知抽取男生130人，女生70人， …………1分不喜欢运动 喜欢运动合计 女生 50 20 70 男生 50 80 130 合计100100200…………5分（Ⅱ）由直方图可知在[40,50)内的人数为2人，设为,m n ，在[60,70)内的人数为4人，设为,,,a b c d . ……6分 设“两人的运动时间在同一区间段”的事件为A . ………7分 从中抽取两名女生的可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)m n m a m b m c m d n a n b ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)n c n d a b a c a d b c b d c d …10分两人的运动时间恰好在同一区间段的可能情况有7种.7()15P A =………13分18．（本小题共14分）解:（Ⅰ）证明:因为1//,2EF AB EF AB =，1//,2DG AB DG AB =， 所以//,EF DG EF DG =， …………2分 所以四边形EFGD 为平行四边形，所以//FG ED ； …………4分 又因为,ED AED FG AED ⊂⊄面面，AB DC H所以//FG AED 面． …………5分 （Ⅱ）证明:因为平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE ⋂平面ABCD AB =,又因为AD AB ⊥，所以AD ABFE ⊥面； 因为BF ABFE ⊂面，所以AD BF ⊥； …………8分 因为//AB EF ，90EAB ∠=︒， 所以2AF BF ==，所以222AF BF AB +=，所以AF BF ⊥； …………10分 又因为AD AF A ⋂=所以BF DAF ⊥面. …………11分 （Ⅲ） 1133D AFC F ADC ADC V V S EA --∆==⋅=. …………14分 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+， 所以22224,3a c b c == ……… 2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ………4分椭圆方程为2211612x y +=……… 5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x yB x y………6分设AB 方程为221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入化简得：22120x tx t ++-= ………8分 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<1221212x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩，又(2,3),(2,3)P Q - APBQ APQ BPQ S S S ∆∆=+2212121216||3()434832x x x x x x t =⨯⨯-=+-=-………13分 当0t =时，S 最大为123 ………14分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得2()32f x x x '=-+-．.....1分 因为2()32f x x x '=-+-=)1(2---x x ）（，所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(,1)-∞和(2,)+∞ ...........4分 （Ⅱ）由x x a x x f 2231)(23-+-=，得2()2f x x ax '=-+-． 因为对于任意(1,)x ∈+∞都有()2f x a '<-成立， 即对于任意(1,)x ∈+∞都有222x ax a -+-<-成立，即对于任意(1,)x ∈+∞都有21x a x <-成立，设2()1x g x x =-,(1,)x ∈+∞,则21()21411x g x x x x ==+-+≥-- 等号成立当且仅当111x x -=-即2x =. 所以实数a 的取值范围为(,4)-∞． .......................................9分（Ⅲ）设点321(,2)32a P t t t t -+-是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为2()2k f t t at '==-+-，所以过点P 的切线方程为32212(2)()32a y t t t t at x t +-+=-+--．因为点1(0,)3-在切线上，322112(2)(0)332a t t t t at t -+-+=-+--即322110323t at -+=． 若过点1(0,)3-可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．令32211()323h t t at =-+，则函数()y h t =与t 轴有三个不同的交点．令2()20h t t at '=-=，解得0t =或2at =．因为1(0)3h =，311()2243a h a =-+， 所以必须311()02243a h a =-+<，即2a >．所以实数a 的取值范围为(2,)+∞． . ........................................13分。
北京市石景山区高三数学上学期期末考试试题 文(含解析)
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}31M x x =∈-≤≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么MN =（ ） A ．{101}-，， B ．{321}---，， C ．{11}x x -≤≤ D ．{31}x x -≤<-2．复数1i i=-（ ） A ．122i + B ．122i - C ．122i -+ D ．122i --3．已知向量31)=a ，(1)c =，b .若⋅a b 0=，则实数c 的值为（ ）A ．3-3 C 3 D ．3-4．已知数列}{n a 为等差数列，4724a a ==-，，那么数列}{n a 的通项公式为（ ） A ．210n a n =-+ B ．25n a n =-+C ．1102n a n =-+D ．152n a n =-+5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A ．3B ．126C ．127D ．128【答案】C【解析】试题分析：根据框图的循环结构，依次2213x =-=；3217x =-=；721127x =-=；跳出循环速输出127x =。
考点：算法、程序框图。
6．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，那么弦AB 的长等于 （ ）A ．33B ．23C ．3D ．17．设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()()1x f x x x=-∈+R ，区间[]()M a b a b =<，， 集合{}()N y y f x x M ==∈，，则使M N =成立的实数对()a b ，有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知3 sin=5α，且()2παπ∈，，则cosα=．10．函数1()1f x xx=+-(1)x>的最小值为．11．二元一次不等式组120xyx y≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，所表示的平面区域的面积为，z x y=+的最大值为．12．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的侧面积为．【答案】2【解析】试题分析：由三视图可知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则侧面三角形底边上的高为222222+=，所以四棱锥的侧面积为14(422)1622S =⨯⨯=。
北京市石景山区高三数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，5，7} D．{1，2，5，7}2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．43．若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．16．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=17．已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i（1﹣i）的实部为．10．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m= ．11．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a= ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB= ．13．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．卖家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．16．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．1216运动员编号 A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N 分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．19．已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．20．已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，5，7} D．{1，2，5，7}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由并集可得A∪B={1，2，5}，再求交集即可．【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2}；∴A∪B={1，2，5}；∵C={1，2，5，7}，∴（A∪B）∩C={1，2，5}，故选：A．【点评】本题考查了并集，交集的运算．2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】数形结合．【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答时可以就选项逐一排查．对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对B满足函数定义，故可知结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对D值域当中有的元素没有原象，故可否定．【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．【点评】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了函数概念的理解、一对一、多对一、定义域当中的元素必须有象等知识，同时用排除的方法解答选择题亦值得体会．4．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．5．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=1，i=2不满足条件i＞3，满足条件i是偶数，S=﹣1，i=3不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=2，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的条件，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题．6．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=1【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出圆的圆心与半径，写出结果即可．【解答】解：圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆的圆心坐标（0，1），圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1．故选：C，【点评】本题考查圆的方程的求法，考查计算能力．7．已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】作图题；函数思想；运动思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意画出图形，结合图形求得动直线y=ax﹣1的斜率的范围得答案．【解答】解：如图，要使|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则过定点（0，﹣1）的直线y=ax﹣1的斜率a∈[﹣1，1]．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题．8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】排列、组合的实际应用．【专题】方案型；数形结合；数形结合法；排列组合．【分析】给能走的方格表上数字，一一列举即可得到答案．【解答】解：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．【点评】本题考查了考查了排列组合的问题，一一列举也是常用的方法，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i（1﹣i）的实部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法化简复数，然后求解复数的实部即可．【解答】解：复数i（1﹣i）=1﹣i，复数的实部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本运算，基本概念的应用，是基础题．10．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m= 7 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标公式，以及向量垂直的定义直接计算即可．【解答】解：由题可知：•（﹣）=（﹣3，4）•[（﹣3，4）﹣（1，m）]=（﹣3，4）•（﹣4，4﹣m）=12+16﹣4m=0，即m=7，故答案为：7．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．11．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a= 0.125 ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是120 ．【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】先由样本的频率分布直方图求出a，再根据样本中产品净重小于100克的个数是48，而这个区间的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，得到样本的容量，根据样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，能求出样本中净重在[98，104）的产品的个数．【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a=[1﹣2×（0.05+0.075+0.1+0.15）]=0.125．∵样本中产品净重小于100克的产品的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，样本中产品净重小于100克的个数是48，∴样本的容量是n==160，∵样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，∴样本中净重在[98，104）的产品的个数是160×0.75=120．故答案为：120．【点评】本题考查频率分布直方图，本题解题的关键是做出这个样本容量，用样本容量乘以符合条件的概率，本题是一个基础题．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB= ．【考点】正弦定理．【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解．【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴sinB===．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．13．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 2.2 元，能够成交的股数为600 ．卖家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100【专题】计算题；探究型；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算出开盘价为2.1、2.2、2.3、2.4元买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论．【解答】解：依题意，当开盘价为2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（I）设公差为d，由题意可得，求出d的值，即得数列{a n}的通项．（II）化简，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式求得结果【解答】解：（I）设公差为d，由题意可得，即d2﹣d=0，解得 d=1或d=0（舍去）所以 a n=1+（n﹣1）=n．（II）∵，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴数列{b n}的前n项和．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．16．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）先化简函数可得f（x）=，即可求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f（x）在上的最大值与最小值．【解答】解：==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．1216运动员编号 A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．【解答】解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==【点评】本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）由题可得AA1⊥CN且CN⊥AB又因为AA1∩A B=A所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）由题意得CM∥NG，CM=NG所以四边形CNGM是平行四边形，所以CN∥MG．又因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）所以先求△AB 1N的面积，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N，三棱锥的高是GM，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．因为AC=BC=2，N是AB中点，所以CN⊥AB．因为AA1∩AB=A，所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NG∥BB1，．又因为CM∥BB1，，所以CM∥NG，CM=NG．所以四边形CNGM是平行四边形．所以CN∥MG．因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．所以．故答案为：．【点评】证明线面垂直关键是证明已知直线与面内的两条相交直线都垂直即可，证明线面平行关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行；求三棱锥的体积时若不易求出一般是先观察一下是否换一个底面积与高都容易求的定点．19．已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．【解答】解：（I）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得k2＜，x1+x2=，由又点A，B的中点横坐标为．可得解得k2=，即有k=±．y=（x﹣4）．直线l的方程：y=（x﹣4）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（1）=0，解出即可；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣（m+1）x，得f′（x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，（Ⅲ）先求出h′（x）=（x﹣1）（x﹣m）=0，分别得m=1时，m＜1时的情况，进而求出m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，由f（x）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0，∴m=0，（符合题意）；（Ⅱ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，∴x﹣m﹣1≥0恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，∴m的范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣x2+mx﹣，∴h′（x）=（x﹣1）（x﹣m）=0，解得：x=m，x=1，m=1时，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上是增函数，不合题意，m＜1时，令h′x）＞0，解得：x＜m，x＞1，令h′（x）＜0，解得：m＜x＜1，∴h（x）在（﹣∞，m），（1，+∞）递增，在（m，1）递减，∴h（x）极大值=h（m）=﹣m3+m2﹣，h（x）极小值=h（1）=，要使f（x）﹣g（x）有3个零点，需，解得：m＜1﹣，∴m的范围是（﹣∞，1﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，参数的范围，是一道综合题．。
【2018年数学高考】2018年3月石景山高三数学(文)答案
2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBBCDAAB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+-cos23sin 2x x =+132(cos 2sin 2)22x x =+π2sin(2)6x =+ ………………5分 所以周期为2ππ2T ==. ………………6分（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分 所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分题号91011121314答案11i 22-- 2322y x =±22(1)1x y +-=2393[)[)2,04,-+∞16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为221(42)(1)3a S S λλλ=-=+-+=+， ………………2分 所以34λ+=，所以1λ=. ………………4分 所以112a S ==，所以212d a a =-=.所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1λ=，所以111122n n n nb S --+=⨯=. 所以1111122()(1)1n n n b n n n n --=-=--++. ………………9分所以01111111(222)[(1)()()]2231n n T n n -=+++--+-++-+L L121(1)121n n -=---+ 2121n n n +=-+………………13分 17.（本小题13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B ； ………………3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ； ………………6分（Ⅲ）A 组两个数据为22，22，E 组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)， 共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A ，事件A 包括4种结果所以42()63P A ==. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为BCD △是正三角形，且AB BC a ==，所以234BCD S a =△． ………………2分 又AB ⊥平面BCD ， ………………3分故13D ABC A BCD V V AB --==⋅⋅S △BCD 21334a a =⋅⋅3312a =． ………………4分 （Ⅱ）在底面ABC 中，取AC 的中点H ，连接BH ，因AB BC =，故BH AC ⊥． 因3AF FC =，故F 为CH 的中点． 又E 为BC 的中点，故EF ∥BH ， 故EF AC ⊥．……5分因AB ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABC ， 故平面ABC ⊥平面BCD ．BCD △是正三角形，E 为BC 的中点，故DE BC ⊥，故DE ⊥平面ABC ． ………………7分AC ⊂平面ABC ，故DE ⊥AC ． ………………8分又D E EF E ⋂=，故AC ⊥平面DEF ． ………………9分（Ⅲ）当38CN CA =时，连CM ，设CM DE O ⋂=，连OF ．因E 为BC 的中点，M 为DB 中点，故O 为△BCD 的重心，23CO CM =． ………………10分因3AF FC =，38CN CA =，故23CF CN =，所以MN ∥OF ． ………………12分 又OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所以MN ∥平面DEF ． ……14分ABCDN F M EHO。
北京市石景山区高三第一学期期末考试数学(文科)试题答案
石景山区 第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ 73tan =C , ∴ 73cos sin =CC. 又∵ 1cos sin 22=+C C , 解得 1cos 8C =±． ……………………3分 ∵ 0tan >C ，∴ C 是锐角．∴ 81cos =C ． ……………………6分 （Ⅱ）∵ 25=⋅，∴ 25cos =C ab . 解得 20=ab ． …………………8分又∵ 9=+b a ， ∴ 4122=+b a ．∴ 36cos 2222=-+=C ab b a c ．∴ 6=c ． ………………………12分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2． ………………………2分由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，解得⎩⎨⎧=-=23b a ． ………………5分 ∴ 233)(23+--=x x x x f ． ……………………6分（Ⅱ）363)(2--='x x x f ．令03632=--x x ，即 0122=--x x ．解得 21,2121+=-=x x ． ………………………8分 当0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或；当0)(,2121<'+<<-x f x 时． ……………………10分 ∴ )(x f 的单调递增区间为：)21,(--∞和),21(+∞+，)(x f 的单调递减区间为： )21,21(+-. ……………12分17．（本题满分14分） 解法一：（Ⅰ）证明：∵ 面ABC ⊥面BCD ，︒=∠90BCD ，且面ABC 面BCD BC =，∴ ⊥CD 面ABC ． ……………2分 又∵ ⊂AB 面ABC ，∴ AB DC ⊥． ………………4分（Ⅱ）解：如图，过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结DM ． 由（Ⅰ）知⊥CD 面ABC ．∴ CM 是斜线DM 在平面ABC 内的射影，∴ AB DM ⊥．（三垂线定理）∴ CMD ∠是二面角C AB D --的平面角． …………………6分 设1=CD ，由︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD 得3=BC ，2=BD ．∵ ABC ∆是正三角形， ∴ 2323=⋅=BC CM ． ∴ 32tan ==∠CM CD CMD ． ∴ 32arctan =∠CMD ．∴ 二面角C AB D --的大小为32arctan． …………………9分 （Ⅲ）解：如图，取三边AB 、AD 、BC 的中点M 、N 、O ，连结AO 、MO 、NO 、MN 、OD ， 则AC OM //，AC OM 21=；BD MN //，BD MN 21=． ∴ OMN ∠是异面直线AC 与BD 所成的角或其补角． ………………11分 ∵ ABC ∆是正三角形，且平面⊥ABC 平面BCD ， ∴ ⊥AO 面BCD ，AOD ∆是直角三角形，AD ON 21=． 又∵ ⊥CD 面ABC ，故2222==+=ON AC DC AD ．在OMN ∆中，23=OM ，1=MN ，1=ON ． ∴ 4321cos ==∠MN MOOMN ． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos． ……………14分 解法二：（Ⅰ）分别取BC 、BD 的中点O 、M ,连结AO 、OM ． ∵ ABC ∆是正三角形， ∴ BC AO ⊥．∵ 面ABC ⊥面BCD ，且面ABC 面BCD BC =， ∴ ⊥AO 平面BCD ．∵ OM 是BCD ∆的中位线，且⊥CD 平面ABC ，CBD∴ ⊥OM 平面ABC ．以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系． ……………2分 设1=CD ， 则)0,0,0(O ，)23,0,0(A ，)0,23,0(-B ， )0,23,0(C ，)0,23,1(D ． ∴ )23,23,0(--=AB ，)0,0,1(=CD ． ……………………4分 ∴ 00)23(0)23(10=⨯-+⨯-+⨯=⋅CD AB ． ∴ ⊥，即 CD AB ⊥． …………………6分 （Ⅱ）∵ ⊥CD 平面ABC ，∴ 平面ABC 的法向量为)0,0,1(=CD ． ……………………7分 设平面ABD 的法向量为),,(z y x =，∴ )23,23,0(--=AB ，)23,23,1(-=AD ． ∴ 0)23()23(0=⨯-+⨯-+⨯=⋅z y x ，即 033=+z y ．0)23(231=⨯-+⨯+⨯=⋅z y x ，即 0332=-+z y x ． ∴ 令3=y ，则3-=x ，1-=z ．∴ )1,3,3(--=n ． ……………………9分y∴>=<,cos13133001)1()3()3(0)1(0313222222-=++⋅-++-⨯-+⨯+⨯-=． ∵ 二面角C AB D --是锐角， ∴ 二面角C AB D --的大小为13133arccos． ………………11分 （Ⅲ）∵ )0,3,1(=BD ，)23,23,0(-=AC ， ∴>=<,cos43)23()23(00)3(1)23(023301222222=-++⋅++-⨯+⨯+⨯=． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos ． ……………14分 18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率为277)31()311()31()(333223=⋅+-⋅⋅=C C A P ． ……………………7分（Ⅱ）第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能的情况种数为1224=A ．因此所求的概率为7293231)32()31(12)(33=⨯⨯⨯=B P ． …………………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 是等差数列，∴ 144132=+=+a a a a ．又 4532=a a ，∴ ⎩⎨⎧==9532a a ，或⎩⎨⎧==5932a a ． ……………2分∵ 公差0>d ，∴ 52=a ，93=a ． ∴ 423=-=a a d ，121=-=d a a ．∴ 34)1(1-=-+=n d n a a n ． …………4分（Ⅱ）∵ n n n n n d n n na S n -=-+=-+=212)1(2)1(21， ∴ cn nn c n S b n n +-=+=22． ………………6分 ∵ 数列{}n b 是等差数列， ∴ 212+++=n n n b b b ．∴ cn n n c n n n c n n n +++-+++-=+++-+⋅)2()2()2(22)1()1()1(22222． 去分母，比较系数，得 21-=c ． ……………9分 ∴ n n nn b n 22122=--=． ………………10分 （Ⅲ）)1(2)25(2)(+⋅+=n n nn f2625125262++=++=nn n n n≤361． ……………12分当且仅当n n 25=，即5=n 时，)(n f 取得最大值361． ……………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由x x f =)(，得 0)1(2=+-+c x b x ．∴ b x x -=+121，c x x =21 . ………2分 ∴ 212212214)()(x x x x x x -+=-c b 4)1(2--=c b b 4122-+-=．∵ 112>-x x ，∴ 1)(212>-x x ．∴ 14122>-+-c b b ，即 )2(22c b b +>． ……6分（Ⅱ）1)(x t f -)(1212c bx x c bt t ++-++=)())((111x t b x t x t -+-+= ))((11b x t x t ++-=)1)((21x t x t -+-=. ……………10分由10x t <<，知01<-x t ． 又∵ 112>-x x ，∴ 0121<-+x x ，011212<-+<-+x x x t ． ∴ 0)1)((21>-+-x t x t .∴ 1)(x t f >． ………………14分注：若有其它解法，请酌情给分．。
2018年1月石景山高三数学(文)答案
【注：若有其它解法，请酌情给分】
，
3
所以 ADC
，
3
BC 交 BC 的延长线于点 H ， A
B
D
CH
所以 AH AD sin 3 3 ； 3
所以 S ABC
1 BC AH
15 3
．
2
2
,,,,
13 分
,,,,
2分
,,,,
5分
,,,,
7分
,,,,
11 分
,,,,
13 分
17．（本小题共 13 分） 解：（Ⅰ）根据分层抽样的定义，可知抽取男生
y
h(t ) 与 t 轴有三个不同的交点．
32
3
令 h (t )
2t 2 at
0 ，解得 t
0或 t
a
．
2
1a 因为 h(0) ， h( )
32
1 a3
1
，
24 3
所以必须
a h( )
2
1 a3 1 0 ，即 a 2． 24 3
所以实数 a的取值范围为 (2, ) ．
. ........................................13 分
1 2n (1 n)n
12
2
2n 1 n2 n 2
16．（本小题共 13 分）
解：（Ⅰ）设 BAD
， CAD
，
则 tan 所以 tan(
BD 1 ， tan AD 2 ) tan tan
1 tan tan
CD 1 AD 3
1
因为
(0, ) ，
所以
，
4
即 BAC ． 4
（Ⅱ）过点 A 作 AH
北京市石景山区20182019学年高三上学期期末考试数学文科试题Word版含答案
温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期望曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中挂念，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平常考试相同去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，而后耐心等候考试结束。
石景山区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末试卷数学（文）考1．本试卷共 6 页，共三道大题，20 道小题，满分150 分．考试时间120 分钟．2．在答题卡上正确填写学校名称、姓名和准考证号．生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其余须试题请用黑色笔迹署名笔作答，在试卷上作答无效．知4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．1．已知会集A {1,1, 2, 3} ,B{ x | x≥2} ,那么 A B 等于（）A．{3}B．{2,3}C．{1,2,3}D．{ 1,1,2,3}2．复数i (34i)（）开始A．43i B．43ik1． 34i． 34iC D3．履行以以下图的程序框图，输出的k 值是（）k k 2A．3B．5a2kC．7b k 2D．9a否b是输出 k结束4．以下函数中既是奇函数又在区间(0,) 上单调递减的是（）A．y e x B．y ln(x )C．y x31 D．yx5．已知关于错误！未找到引用源。
的一次函数y mx n ，设 m { 1,1, 2} ，n { 2, 2} ，则函数y mx n 是增函数的概率是（）2131 A．3B．3C．10D．26．一个四棱锥的三视图如右图所示，2这个四棱锥的体积为（）34 A．6正视图侧视图B．8C．12D．24俯视图7．已知抛物线y2 2 px( p0) 的准线与圆( x3)2y 216 相切，则p 的值为（）A．12B．1C．2D．48．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋竞赛，采纳单循环赛制，即参加竞赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、 B 各参加了 3 局竞赛，C、 D各参加了 4 局竞赛，E 参加了 2 局竞赛，且 A 与C 没有比胜过， B 与D 也没有比胜过．那么 F 在第一天参加的竞赛局数为（）A．1B．2C．3D．4第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．向量a (3,1) ， b( 3, 1)，a与 b 夹角的大小为______________．10．函数f ( x)2x ( x3) 的最大值为_______________．x 111．已知△ ABC 中，AB= 3 ，BC =1， sinC= 3cosC ，则△ABC的面积为．12 若双曲线x2y2y3x ，则双曲线的焦点坐标是．41 的渐近线方程为m2y0,x则．设变量x， y 满足拘束条件x y10,z y 的最大值为_______．132x y30,14．甲、乙、丙三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，假如是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名．今有一批产品，发现盖过甲厂、乙厂、丙厂的厂名的产品分别为18 件、 24 件、 30 件，同时盖过甲、乙厂，乙、丙厂，丙、甲厂的产品，分别有12 件、 14 件、 16 件．①产品上盖有甲厂厂名没有盖乙厂厂名的产品共有件；②这批产品的总数最多有件．三、解答题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13 分）已知等比数列a n的公比为q，且q1，a1 2 ,3a1 ,2 a2 , a3成等差数列．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设数列b n是一个首项为 6 ，公差为2的等差数列，求数列a n b n的前 n 项和．16．（本小题共13 分）已知函数 f ( x) 2sin(πx) sin x 3 cos2x ．2（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π π（Ⅱ）求 f ( x) 在[, ] 上的最大值．12617．（本小题共13 分）新高考政策已经在上海和浙江试验实行．为认识学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取 30 位同学，对其选课状况进行统计解析，获得频率分布表以下：科目选择物理历史物理历史物理化学地理化学地理政治其余生物政治地理生物历史频率112a b c 5615（Ⅰ）若所抽取的30 位同学中，有2 位同学选择了“历史、地理、生物”组合，3 位同学选择了“物理、政治、历史”组合．求 a 、b、 c 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的 2 位同学记为x1、 x2，选择了“物理、政治、历史”组合的 3 位同学记为y1、 y2、 y3．现从这 5 位同学中任取2 位（假定每位同学被抽中的可能性相同），写出全部可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率．18．（本小题共 14 分）如图 1，等腰梯形 BCDP 中， BC ∥ PD ， BA PD 于点 A ，PD 3BC ，且 AB BC 1 ．沿 AB 把 △PAB 折起到 △P AB 的地点（如图 2），使 PAD 90 ．（Ⅰ）求证： CD ⊥平面 P AC ；（Ⅱ）求三棱锥 AP BC 的体积；（Ⅲ）线段 P A 上能否存在点 M ，使得 BM ∥平面 P CD ．若存在，指出点M 的地点并证明；若不存在，请说明原由．P ′PADADBC BC图1图2B2 219．（本小题共 14 分）A C已知椭圆 C : x2y 2 1(a b 0) 的离心率为3，点 (2,0) 在椭圆 C 上．ab2（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ） 过点 P(1,0) 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A 、B 两点， 设点 B 关于 x 轴的对称点为 B ．直线 AB 与 x 轴的交点 Q 能否为定点？请说明原由．20．（本小题共 13 分）已知函数fx1 x 3ax 2(2 a 1)x(aR) ．3（Ⅰ）若f ( x)在点(0,0)处的切线方程为yx ，求 a 的值；（Ⅱ）求f ( x)的单调区间；（Ⅲ）当 a 1 ， f ( x) 在x1, x2(x1x2 ) 取到极，M (x1, f (x1)) ．A(0, f (0)) ， B(1, f (1)) ， C (2, f (2)) ，判断直 AM、 BM 、 CM 与函数 f ( x ) 的象各有几个交点（只需写出）．石景山区 2016— 2017 学年第一学期期末考试高三数学（文）参照答案一．共8 小，每小 5 分，共 40 分．号12345678答案B A B D A B C D二．填空共 6 小，每小 5 分，共 30 分．号91011121314答案33( 7,0)56, 42322三．解答共 6 小，共80 分．15．（本小共13 分）解：（Ⅰ）因 3a1 ,2 a2 ,a3成等差数列，所以 4a23a1a3．⋯⋯2分所以 4a1q 3a1a1q2．所以 q24q 3 0 ．所以 q 3或q（1舍）．⋯⋯4 分所以 a n 2 3n 1．⋯⋯6分（Ⅱ）b n6 (n 1)2 2n 8．⋯⋯ 分8所以 a n b n 2n 8 2 3n 1 ． ⋯⋯9 分所以 S n(a 1 a 2a n ) (b 1b 2b n )= n( 6 2n 8) 2(1 3n ) = n 2 7n 3n 1 ． ⋯⋯⋯13 分 21 316．（本小 共 13 分）解：（Ⅰ）f (x) 2cos x sin x 3 cos 2x ⋯⋯ 1 分sin2x3cos2x ⋯⋯ 2分2sin(2 xπ)，⋯⋯ 4 分3所以f ( x)的最小正周期 π．⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）当 xπ π π2x π 2π[, ] ，3，⋯⋯⋯ 8 分12 6 63当 2xπ π π3 ， sin(2 x) 有最大 1．⋯⋯⋯ 10 分23即 xπ 13 分， f (x) 的最大 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯1217．（本小 共 13 分）1 12 ab c1，⋯⋯2 分解：（Ⅰ）由 率分布表得5 615因 抽取的30 位同学中，有2 位同学 了史地生 合，所以a1 ，15有 3 位同学 了理政史 合，所以b1 1，从而 c2 11103所以 a30 ， b 10 ， c 3．⋯⋯5 分（Ⅱ）从5位同学 x 1, x 2 ， y 1, y 2 , y 3 中任取 2 位，全部可能的 果 ：{ x 1, x 2 } ， { x 1, y 1} ， { x 1 , y 2} ， { x 1 , y 3 } ， { x 2, y 1} ，{ x 2 , y 2} ， { x 2 , y 3} ， { y 1, y 2 } ， { y 1, y 3} ， { y 2 , y 3} ． ⋯⋯ 8 分事件 A 表示“从5 位同学中任取 2 位， 两位同学科目 恰好相同” ，A包括的基本领件 ： { x 1, x 2 } ， { y 1, y 2} ， { y 1 , y 3 } ， { y 2, y 3} 共 4 个，又基本领件的 数10 ，故所求的概率 P( A)4 2 ．⋯⋯13分10 518．（本小 共 14 分）解：（Ⅰ）因P AD90 ，所以 PA ⊥ AD ．因 在等腰梯形中， AB ⊥ AP ，所以在四棱 中，AB ⊥ AP ．又 AD AB A ，所以 P A ⊥面 ABCD ．因 CD面 ABCD ，所以 P A ⊥ CD ．⋯⋯3分因 等腰梯形 BCDE 中， AB BC ，PD3BC ，且 AB BC 1．所以 AC2， CD2，AD 2 ．所以 AC 2CD 2AD 2 ．所以 AC ⊥CD ．因 PAAC =A ,所以 CD ⊥平面 P AC ． ⋯⋯5分（Ⅱ） S △ ABC1BC AB1, ⋯⋯7分22因 P A ⊥面 ABCD ．所以VA-P BCVP -ABC1S △ ABC P A 1 ．⋯⋯9 分36（Ⅲ）存在一点M ， M PA 的中点，使得 BM ∥面 P CD ， ⋯⋯10 分明：取 PA 中点 M ， PD 中点 N ， BM ，MN，NC ，因 M ，N 中点，P ′所以MN ∥1AD ，MN =1AD ， M N2 2因 BC ∥ 1AD ，BC =1AD ，AD2212 分AC所以 MN ∥BC ，MN =BC ． ．⋯⋯B所以四 形 BCNM 平行四 形所以 BM ∥CN ．BC因 BM面PCD ，CN面PCD ．所以 BM ∥平面 P CD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分19．（本小 共 14 分）解：（Ⅰ）因 点(2,0) 在 C 上，所以 a2 ．又因 ec33．a 2 ，所以 c所以 ba 2 c 2 1．所以 C 的 准方程 ：x 2 y 21 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分4（Ⅱ） A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), B ( x 2 ,y 2 ), Q( n,0) ．直 AB ： yk( x 1)(k0)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分立 y k (x 1)和x 24 y 2 40 ，得： (14k 2 ) x 2 8k 2 x 4k 24 0 ．所以 x 1x 21 8k2 ， x 1 x 2 4k 24．⋯⋯⋯⋯⋯8 分4k 21 4k 2直 AB的方程 yy 1 y 1 y 2 ( x x 1 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯9 分x 1 x 2令 y0 ，解得 ny 1( x 1 x 2 ) x 1 x 1 y 2 x 2 y 1⋯⋯⋯ 11 分y 1 y 2y 1 y 2又 yk( x 1), y2 k ( x 1)，112所以 n x 1x 2 ( x 1 x 2 )4 ．⋯⋯⋯ 13 分x1 x 22所以直 AB 与 x 的交点 Q 是定点，坐 Q (4,0) ．⋯⋯⋯ 14 分20．（本小 共 13 分）解：（Ⅰ）由 意f ( x) x 22ax 2a 1 ,⋯⋯⋯⋯⋯1 分因 f ( x) 在 (0,0)点 切 方程yx ，所以 f (0) 2a 1 1 ，解得 a 1 ，a1 足条件．⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）由（ I ） f '(x)x 2 2ax2a 1 ( x1)(x 2a 1)令 f '(x)，x 1或 x1 2a ,⋯⋯⋯⋯⋯4 分① 当 a 1 ， 1 2a 1，令 f '( x)0 ，解得 x12a 或 x1;令 f '( x)0，解得 12a x 1 ．所以函数 f ( x) 的增区 (,12a)和 (1,) ，减区(1 2a, 1) ．⋯⋯⋯⋯⋯6分②当 a 1， 12a1，此， f '(x)0 恒成立，且在 x 1 f '( x)0，故函数 f ( x) 的增区( ,) ．⋯⋯⋯⋯⋯7分③当 a 1 ， 12a1，同理可得函数 f (x) 的增区(, 1) 和 (1 2a,) ，减区( 1,1 2a) ．⋯⋯⋯⋯⋯9分（Ⅲ）直 AM 与f ( x)的象的交点个数是 3 个；⋯⋯⋯⋯10分直 BM 与f ( x)的象的交点个数是 3 个；⋯⋯⋯⋯⋯分11直 CM 与 f ( x) 的象的交点个数是 2 个．⋯⋯⋯⋯⋯13分【注：如有其余解法，酌情分．】。
2018年3月石景山高三数学(文)答案
2019年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBBCDAAB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+-cos23sin 2x x =+132(cos 2sin 2)22x x =+π2sin(2)6x =+ ………………5分 所以周期为2ππ2T ==. ………………6分（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分 所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分题号91011121314答案11i 22-- 2322y x =±22(1)1x y +-=2393[)[)2,04,-+∞16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为221(42)(1)3a S S λλλ=-=+-+=+， ………………2分 所以34λ+=，所以1λ=. ………………4分 所以112a S ==，所以212d a a =-=.所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1λ=，所以111122n n n nb S --+=⨯=. 所以1111122()(1)1n n n b n n n n --=-=--++. ………………9分所以01111111(222)[(1)()()]2231n n T n n -=+++--+-++-+L L121(1)121n n -=---+ 2121n n n +=-+………………13分 17.（本小题13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B ； ………………3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ； ………………6分（Ⅲ）A 组两个数据为22，22，E 组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)， 共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A ，事件A 包括4种结果所以42()63P A ==. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为BCD △是正三角形，且AB BC a ==，所以234BCD S a =△． ………………2分 又AB ⊥平面BCD ， ………………3分故13D ABC A BCD V V AB --==⋅⋅S △BCD 21334a a =⋅⋅3312a =． ………………4分 （Ⅱ）在底面ABC 中，取AC 的中点H ，连接BH ，因AB BC =，故BH AC ⊥． 因3AF FC =，故F 为CH 的中点． 又E 为BC 的中点，故EF ∥BH ， 故EF AC ⊥．……5分因AB ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABC ， 故平面ABC ⊥平面BCD ．BCD △是正三角形，E 为BC 的中点，故DE BC ⊥，故DE ⊥平面ABC ． ………………7分AC ⊂平面ABC ，故DE ⊥AC ． ………………8分又D E EF E ⋂=，故AC ⊥平面DEF ． ………………9分（Ⅲ）当38CN CA =时，连CM ，设CM DE O ⋂=，连OF ．因E 为BC 的中点，M 为DB 中点，故O 为△BCD 的重心，23CO CM =． ………………10分因3AF FC =，38CN CA =，故23CF CN =，所以MN ∥OF ． ………………12分 又OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所以MN ∥平面DEF ． ……14分ABCDN F M EHO19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为222c =， 所以2c =． ………………1分因为22c e a ==，所以2b c ==． ………………3分 因为222a b c =+， 所以24a =． ………………4分所以椭圆方程为22142x y +=． ………………5分 （Ⅱ）方法一：证明：C (－2，0)，D (2，0)，设()()0112,,,M y P x y ，则OP uu u r ＝()11,x y ，OM uuu r＝()02,y ． ………………7分直线CM ：()024y y x =+，即0042y y y x =+． ………………8分代入椭圆方程2224x y +=，得222200011140822y x y x y ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 所以()()22001220048281288y y x y y --=-⨯=-++． ………………10分 所以012088y y y =+． 所以OP uu u r ＝()2002200288,88y y y y ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭． ………………12分 所以OP uu u r ·OM uuu r ＝()2220002220004884324888y y y y y y -+-+==+++．即OM uuu r ·OP uu u r为定值． ………………13分方法二：设(,),(2,)P x y M t ，由CP CM λ=uu r uuu r 可得24y t x =+，即42y t x =+. ∵点(,)P x y 在22142x y +=上∴2242(4)y x =-.∴2OM OP x ty ⋅=+u u u r u u u r 242(2)(2)22422y x x x x x x+-=+=+=++.∴OM OP ⋅uuu r uu u r为定值4.方法三：因为直线CM 不在x 轴上，故可设:2CM l x my =-.由221422x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(2)40m y my +-=， ∴222424,22P P m m y x m m -==++，即222244(,)22m mP m m -++．在直线2x my =-中令2x =，则4M y m =，即4(2,)M m． ∴2224816422m OM OP m m -⋅=+=++uuu r uu u r .∴OP OM ⋅uu u r uuu r为定值4.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为2'()(0)x ef x x x -=>， 所以当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减；当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ． ………………3分 （Ⅱ）=-'=3)()(x x f x g 312xx m x --)0(>x ， 令0)(=x g ，得31(0)3m x x x =-+>．设31()(0)3x x x x ϕ=-+>，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x ．所以当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在(0,1)上单调递增；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知：①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零． ……………9分 （Ⅲ）原命题等价于a a f b b f -<-)()(恒成立．)(*.设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xmx ， 则)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减． 即011)(2≤--='x mx x h 在),0(+∞上恒成立， 所以=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立， 所以41≥m ． 即m 的取值范围是),41[+∞． ………………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】。
2017-2018学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|x≤3或x＞4}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|3≤x ＜4}2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若实数x，y满足则z=3x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．94．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）5．（5分）“m＞10”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．如图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为．10．（5分）抛物线y2=4x上一点到此抛物线焦点的距离为．11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为0，则输出的y的值是．12．（5分）在数列{a n}中，a1=2，且对任意的m，n∈N*有a m+n=a m•a n，则a6=．13．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=．14．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d），符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n}为递增的等比数列，a1•a4=8，a2+a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．16．（13分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．17．（13分）某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生．（1）完成下面的2×2列联表；（2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段[40，50）和[60，70）的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率．18．（14分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AE=AD=1，AB=2EF=2，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）若G点是DC中点，求证：FG∥平面AED；（Ⅱ）求证：BF⊥平面DAF；（Ⅲ）求三棱锥D﹣AFC的体积．19．（14分）已知椭圆离心率等于，P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（1，+∞）都有f'（x）＜a﹣2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．2017-2018学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|x≤3或x＞4}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|3≤x ＜4}【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}．故选：C．2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由=，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．3．（5分）若实数x，y满足则z=3x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（，），此时z max=3×+=6，故选：C．4．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：函数f（x）=x3+x（x＞0）为增函数，作出函数数的图象如图：由图可知，函数为非奇非偶函数，在定义域中不是单调函数，不是周期函数，其值域为[﹣1，+∞）．故选：D．5．（5分）“m＞10”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，若m＞10，则有m﹣10＞0，m﹣8＞0，则方程表示双曲线，反之，若方程表示双曲线，则有（m﹣10）（m﹣8）＞0，解可得m ＞10或m＜8，则“方程表示双曲线”不一定有“m＞10”；故“m＞10”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件；故选：A．6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象知，=﹣=，∴T==π，解得ω=2；由五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣；∴ω、φ的值分别是2和﹣．故选：A．7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．如图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×1×2=3，四棱锥的体积V2=×1×3×1=1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V=V1+2V2=5（立方丈），故选：B．8．（5分）小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．【解答】解：a=ln＜0，b=∈（0，1），c=＞1．∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．10．（5分）抛物线y2=4x上一点到此抛物线焦点的距离为3．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，若抛物线上一点（2，2），该点到准线的距离d=2﹣（﹣1）=3，则该点到抛物线的焦点的距离也为3；故答案为：311．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为0，则输出的y的值是13．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=0满足条件x＜2，x=1满足条件x＜2，x=2不满足条件x＜2，y=13输出y的值为13．故答案为：13．12．（5分）在数列{a n}中，a1=2，且对任意的m，n∈N*有a m+n=a m•a n，则a6=64．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a1=2，且对任意的m，n∈N*有a m+n=a m•a n，令m=1可得：a n=a1•a n=2a n，+1又由a1=2，则数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，则a1=2×2n﹣1=2n，则a6=26=64；故答案为：64．13．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=2．【解答】解：由题意得，||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴•=2×1×cos60°=1，∴|+2|===2．故答案为：2．14．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d）（3，2，1，4），符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【解答】解：根据条件分别讨论得：（3，2，1，4），（2，3，1，4）（3，1，2，4）（3，1，4，2）（4，1，3，2）（2，1，4，3）任选一个即可，第二空2分）故答案为：（3，2，1，4）；6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n}为递增的等比数列，a1•a4=8，a2+a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6…（2分）得或（舍）…（4分）所以，a1=1所以…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（7分）所以T n=b1+b2+…+b n=（20+21+…+2n﹣1）+（1+2+…+n）==…（13分）16．（13分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）设∠BAD=α，∠CAD=β，则，，所以，因为α+β∈（0，π），所以，即．（Ⅱ）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，因为，所以，所以；所以．17．（13分）某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生．（1）完成下面的2×2列联表；（2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段[40，50）和[60，70）的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率．【解答】解：（1）根据分层抽样的定义，知抽取男生130人，女生70人，…（1分）…（3分）（2）由直方图知在[60，70）内的人数为4人，设为a，b，c，d．在[40，50）的人数为2人，设为A，B．…（5分）从这6人中任选2人有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种情况…（7分）若x，y∈[60，70）时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．…（9分）若x，y∈[40，50）时，有AB一种情况．…（10分）事件A：“她们在同一区间段”所包含的基本事件个数有6+1=7种，…（11分）故答：两名女生的运动时间在同一区间段的概率为．…（12分）18．（14分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AE=AD=1，AB=2EF=2，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）若G点是DC中点，求证：FG∥平面AED；（Ⅱ）求证：BF⊥平面DAF；（Ⅲ）求三棱锥D﹣AFC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵，，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形EFGD为平行四边形，FG∥ED，又∵ED⊂面AED，FG⊄面AED，∴FG∥面AED；（Ⅱ）证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，且AD⊥AB，∴AD⊥面ABFE，∵BF⊂面ABFE，∴AD⊥BF．∵AB∥EF，∠EAB=90°，∴，得AF2+BF2=AB2，∴AF⊥BF，又∵AD∩AF=A，BF⊥面DAF；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，AE为三棱锥F﹣ADC的高，∵四边形ABCD是矩形，AE=AD=1，AB=2，∴，即三棱锥D﹣AFC的体积为．19．（14分）已知椭圆离心率等于，P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆离心率等于，则有，又a2=b2+c2，所以a2=4c2，b2=3c2设椭圆方程为，代入（2，3），得c2=4，a2=16，b2=12椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）设AB方程为，代入化简得：x2+tx+t2﹣12=0，△=t2﹣4（t2﹣12）＞0，解可得：﹣4＜t＜4，，又P（2，3），Q（2，﹣3）S APBQ=S△APQ+S△BPQ=当t=0时，S最大为．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（1，+∞）都有f'（x）＜a﹣2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，，得f'（x）=﹣x2+3x﹣2…（1分）因为f'（x）=﹣x2+3x﹣2=﹣（x﹣2）（x﹣1），所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）…（4分）（Ⅱ）由，得f'（x）=﹣x2+ax﹣2．因为对于任意x∈（1，+∞）都有f'（x）＜a﹣2成立，即对于任意x∈（1，+∞）都有﹣x2+ax﹣2＜a﹣2成立，即对于任意x∈（1，+∞）都有成立，设，x∈（1，+∞），则等号成立当且仅当即x=2．所以实数a的取值范围为（﹣∞，4）…（9分）（Ⅲ）设点是函数y=f（x）图象上的切点，则过点P的切线的斜率为k=f'（t）=﹣t2+at﹣2，所以过点P的切线方程为．因为点在切线上，即．若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解．令，则函数y=h（t）与t轴有三个不同的交点．令h'（t）=2t2﹣at=0，解得t=0或．因为，，所以必须，即a＞2．所以实数a的取值范围为（2，+∞）…（13分）。
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2017-2018学年北京市石景山区高三上学期数学期末试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|x≤3或x＞4}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|3≤x ＜4}2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若实数x，y满足则z=3x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．94．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）5．（5分）“m＞10”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．如图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为．10．（5分）抛物线y2=4x上一点到此抛物线焦点的距离为．11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为0，则输出的y的值是．12．（5分）在数列{a n}中，a1=2，且对任意的m，n∈N*有a m+n=a m•a n，则a6=．13．（5分）向量与的夹角为60°，若=（0，2），||=1，则|+2|=．14．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d），符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n}为递增的等比数列，a1•a4=8，a2+a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．16．（13分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．17．（13分）某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，30[40，50）18．（14分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AE=AD=1，AB=2EF=2，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）若G点是DC中点，求证：FG∥平面AED；（Ⅱ）求证：BF⊥平面DAF；（Ⅲ）求三棱锥D﹣AFC的体积．19．（14分）已知椭圆离心率等于，P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（1，+∞）都有f'（x）＜a﹣2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．2017-2018学年北京市石景山区高三上学期数学期末试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|x≤3或x＞4}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|3≤x ＜4}【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}．故选：C．2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由=，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．3．（5分）若实数x，y满足则z=3x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（，），此时z max=3×+=6，故选：C．4．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：函数f（x）=x3+x（x＞0）为增函数，作出函数数的图象如图：由图可知，函数为非奇非偶函数，在定义域中不是单调函数，不是周期函数，其值域为[﹣1，+∞）．故选：D．5．（5分）“m＞10”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，若m＞10，则有m﹣10＞0，m﹣8＞0，则方程表示双曲线，反之，若方程表示双曲线，则有（m﹣10）（m﹣8）＞0，解可得m ＞10或m＜8，则“方程表示双曲线”不一定有“m＞10”；故“m＞10”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件；故选：A．6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象知，=﹣=，∴T==π，解得ω=2；由五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣；∴ω、φ的值分别是2和﹣．故选：A．7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．如图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×1×2=3，四棱锥的体积V2=×1×3×1=1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V=V1+2V2=5（立方丈），故选：B．8．（5分）小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．【解答】解：a=ln＜0，b=∈（0，1），c=＞1．∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．10．（5分）抛物线y2=4x上一点到此抛物线焦点的距离为3．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，若抛物线上一点（2，2），该点到准线的距离d=2﹣（﹣1）=3，则该点到抛物线的焦点的距离也为3；故答案为：311．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为0，则输出的y的值是13．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=0满足条件x＜2，x=1满足条件x＜2，x=2不满足条件x＜2，y=13输出y的值为13．故答案为：13．12．（5分）在数列{a n}中，a1=2，且对任意的m，n∈N*有a m+n=a m•a n，则a6=64．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a1=2，且对任意的m，n∈N*有a m+n=a m•a n，令m=1可得：a n=a1•a n=2a n，+1又由a1=2，则数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，则a1=2×2n﹣1=2n，则a6=26=64；故答案为：64．13．（5分）向量与的夹角为60°，若=（0，2），||=1，则|+2|=2．【解答】解：由题意得，||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴•=2×1×cos60°=1，∴|+2|===2．故答案为：2．14．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d）（3，2，1，4），符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【解答】解：根据条件分别讨论得：（3，2，1，4），（2，3，1，4）（3，1，2，4）（3，1，4，2）（4，1，3，2）（2，1，4，3）任选一个即可，第二空2分）故答案为：（3，2，1，4）；6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n}为递增的等比数列，a1•a4=8，a2+a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6…（2分）得或（舍）…（4分）所以，a1=1所以…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（7分）所以T n=b1+b2+…+b n=（20+21+…+2n﹣1）+（1+2+…+n）==…（13分）16．（13分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）设∠BAD=α，∠CAD=β，则，，所以，因为α+β∈（0，π），所以，即．（Ⅱ）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，因为，所以，所以；所以．17．（13分）某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，30[40，50）【解答】解：（1）根据分层抽样的定义，知抽取男生130人，女生70人，…（1分）…（3分）（2）由直方图知在[60，70）内的人数为4人，设为a，b，c，d．在[40，50）的人数为2人，设为A，B．…（5分）从这6人中任选2人有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种情况…（7分）若x，y∈[60，70）时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．…（9分）若x，y∈[40，50）时，有AB一种情况．…（10分）事件A：“她们在同一区间段”所包含的基本事件个数有6+1=7种，…（11分）故答：两名女生的运动时间在同一区间段的概率为．…（12分）18．（14分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AE=AD=1，AB=2EF=2，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）若G点是DC中点，求证：FG∥平面AED；（Ⅱ）求证：BF⊥平面DAF；（Ⅲ）求三棱锥D﹣AFC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵，，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形EFGD为平行四边形，FG∥ED，又∵ED⊂面AED，FG⊄面AED，∴FG∥面AED；（Ⅱ）证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，且AD⊥AB，∴AD⊥面ABFE，∵BF⊂面ABFE，∴AD⊥BF．∵AB∥EF，∠EAB=90°，∴，得AF2+BF2=AB2，∴AF⊥BF，又∵AD∩AF=A，BF⊥面DAF；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，AE为三棱锥F﹣ADC的高，∵四边形ABCD是矩形，AE=AD=1，AB=2，∴，即三棱锥D﹣AFC的体积为．19．（14分）已知椭圆离心率等于，P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆离心率等于，则有，又a2=b2+c2，所以a2=4c2，b2=3c2设椭圆方程为，代入（2，3），得c2=4，a2=16，b2=12椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）设AB方程为，代入化简得：x2+tx+t2﹣12=0，△=t2﹣4（t2﹣12）＞0，解可得：﹣4＜t＜4，，又P（2，3），Q（2，﹣3）S APBQ=S△APQ+S△BPQ=当t=0时，S最大为．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（1，+∞）都有f'（x）＜a﹣2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，，得f'（x）=﹣x2+3x﹣2…（1分）因为f'（x）=﹣x2+3x﹣2=﹣（x﹣2）（x﹣1），所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）…（4分）（Ⅱ）由，得f'（x）=﹣x2+ax﹣2．因为对于任意x∈（1，+∞）都有f'（x）＜a﹣2成立，即对于任意x∈（1，+∞）都有﹣x2+ax﹣2＜a﹣2成立，即对于任意x∈（1，+∞）都有成立，设，x∈（1，+∞），则等号成立当且仅当即x=2．所以实数a的取值范围为（﹣∞，4）…（9分）（Ⅲ）设点是函数y=f（x）图象上的切点，则过点P的切线的斜率为k=f'（t）=﹣t2+at﹣2，所以过点P的切线方程为．因为点在切线上，即．若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解．令，则函数y=h（t）与t轴有三个不同的交点．令h'（t）=2t2﹣at=0，解得t=0或．因为，，所以必须，即a＞2．所以实数a的取值范围为（2，+∞）…（13分）。