数学14年10月月考
贵州省贵阳市第三实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
贵州省贵阳市第三实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知复数z 为纯虚数，且满足22z z -=，则z =（ ）A ．2i 3±B ．2i 3C ．i -D ．i2．已知集(){}(){}222,|log 1,,|4A x y y x B x y x y ==-=+=，则A B U 的非空真子集个数为（ ）A ．13个B ．14个C ．15个D ．16个3．已知函数()2x f x e x =+在点()()0,0f 处的切线为直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为多少（ ）A ．12B ．1C ．2D ．234．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为32，若再往容器中放入一个半径为34的实心铁球，则此时水面的高度为（ ） A ．52 B ．73 C ．10564 D ．2785．心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，a ，80，83，81，85，b 平均数为80分且a ，b 是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（ ）A ．79B ．80C ．81D ．826．若单位向量,a b r r 满足,120a b 〈〉=︒r r ，向量c r 满足()()c a c b -⊥-r r r r ，则a c b c ⋅+⋅r r r r 的最小值为（ ）A B C D 7．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，68795÷=⋅⋅⋅；9712÷=⋅⋅⋅；1701÷=⋅⋅⋅将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式216817175=⨯+⨯+就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的116，其个位数是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．1 8．已知双曲线222:1y C x b-=，在双曲线C 上任意一点P 处作双曲线C 的切线（0,0p p x y >>），交C 在第一、四象限的渐近线分别于A 、B 两点．当2OPA S =△时，该双曲线的离心率为（ ）AB ．CD ．9．若实数0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0.30.3a b <B ．lg lg a b >C ．1111a b <-- D二、多选题10．已知非常数函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x f y f xy xy x y =++，则（ ）A ．()00f =B ．()12f =-或()11f =C ．()f x x 是{}0x x x ∈≠R 且上的增函数D ．()f x 是R 上的增函数 11．芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取M 个，这M 个芯片中恰有m 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.6826P μσξμσ-<≤-≈，()330.9974P μσξμσ-<≤+≈）A ．()()|PB P B A >B ．()()||P A B P A B >C ．()5.35 5.550.84P ξ<<≈D ．()45P m =取得最大值时，M 的估计值为54三、填空题12．若直线l ：2y x =与圆C ：22230x y x +--=交于A ，B 两点，则AB =.13．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,0中心对称，且当1x ≥时，()2f x x a =+，则()0f =.14．已知正方体12345678A A A A A A A A -的棱长为3，取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点i A ，设这24个点中与i A 距离最小的三个点为,,i i i P Q R ，从正方体中切去所有四面体1,2,8,,i i i i A PQ R i =L ，得到的几何体的外接球表面积是．四、解答题15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），函数()f x 和它的导函数f ′ x 的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知()65f α=，求π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'的值. 16．已知函数321()3f x x bx cx bc =-+++. (1)若函数()f x 在1x =处有极值43-，求,b c 的值； (2)若函数()()()2g x f x c x b =-+-在[4,)x ∈+∞内单调递减，求b 的取值范围．17．已知四棱锥P ABCD -的底面是一个梯形，//AB DC ，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2CD =，3PA PD ==，PB PC ==(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C PA D --的余弦值.18．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为()01p p <<，且不同对阵的结果相互独立.(1)若0.6p =，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19．已知集合{}123,,,...,n E x x x x =，记{}2|E S S E =⊆，{}\|,X Y x x X x Y =∈∉，N 是自然数集∙称函数:2N E h →，若对于任意S E ⊆，()N h S ∈；∙称函数:2N E h →是单调的，若对于任意X Y E ⊆⊆，()()h X h Y ≤；•称函数:2N E h →是次模的．．．，若对于任意X Y E ⊆、,()()()()h X Y h X Y h X h Y +≤+U U 已知函数:2N E f →是次模的．．．． (1)判断f 是否一定是单调的，并说明理由；(2)证明：对于任意X Y E ⊆⊆，\e E Y ∈，{}()(){}()()f X e f X f Y e f Y -≥-U U ；(3)若f 是单调的，k 是正整数，k n ≤，记}{|F S S k S E =⊆恰含有个元素，，已知集合S F*∈满足()(),f S f S S F *≤∀∈．初始集合M =∅，然后小明重复k 次如下操作：在集合\E M 中选取使得{}()f M e U 最小的元素e 加入集合M ，最终得到集合M F *∈．证明：()()f M kf S **≤。
广西壮族自治区贵百河武鸣高中2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学(含解析)
2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A . B.C .D .2.已知命题，则是（ ）A .B .C .D .3.已知集合，则“”是“集合M 仅有1个真子集”的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）A .3B .0C .1D .25.给出下列结论：①两个实数a ，b 之间，有且只有a ﹥b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种；②若，则a ﹥b ；③若，；④已知，则.其中正确结论的个数为（ ）A .1B .2C .3D .4x123230{32}A x x =-<<{05}B x x =<<{35}x x -<<{02}x x <<{30}x x -<≤{3025}x x x -<≤≤<或2:1,1p x x ∀<->p ⌝21,1x x ∃≤-≤21,1x x ∃<-≤21,1x x ∀<->21,1x x ∀≥->{}()210R M x ax x a =-+=∈14a =)(x f y ＝)(x g y ＝()1f g ⎡⎤⎣⎦1>ab0a b >>0a bc d d c >>⇒>0ab >11a b a b>⇔<()f x6.已知函数的定义域是，则的定义域为（）A .B .C .D .7．已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .8.已知正实数a ，b ，记，则M 的最小值为（）AB .2C .1D .二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中，已知点是的中点，记，则等于（ ）A. B.C. D.2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D.5.设是的二面角内一点，是垂足，，则的长度为（ ）A.B.56.对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（）A.B.，所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（ ）A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图，已知正六棱柱的底面边长为2，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点，则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）过定点；（2）斜率为.16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，面是的中点，是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.17.（本小题满分15分）如图所示，平行六面体中.（1）用向量表示向量，并求；（2）求18.（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面是等腰三角形.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小.19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形，且，点在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（2）求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一､单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一：如图建系设圆柱底面半径为，则，所以，则所以.解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，则，.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ，如图①，连接，则，所以，所以直线与直线共面，故A 错误；对于B ，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示.因为底面边长为，所以则的最小值为，故B 正确；对于C ，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，故C 错误；对于D ，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.，则，所以球的表面积，故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得，所以，所以点到原点的距离当时等号成立，此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为.四､解答题15.【答案】（1）或.（2）或.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设为则直线的方程为，它在轴，轴上的截距分别是，由已知，得，解得或.故直线的方程为或.（2）设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，它在轴上的截距是，8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知，得，所以.所以直线的方程为或.16.解法一：以为坐标原点，所在直线为z 轴，线段的延长线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得，因为，所以即即所以，所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二：66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点，连接，因为为BM 的中点，所以，所以平面，过作，交BC 于以为坐标原点，的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点，设则设点的坐标为.因为，所以.因为为的中点，故，又为的中点，故，所以又平面BCD 的一个法向量为，故，所以又平面BCD ，所以平面BC D.17.【答案】（1）2【详解】（1），BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，因为是正方形，所以，则.18.【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）证明：在中，因为，所以，因此故，所以，即又平面，所以.又平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.（或者建系求法向量，证明法向量垂直，略）（2）由（1）知两两相互垂直，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，所以.又，因此，.因为，所以四边形是直角梯形.因为，所以，因此，故，所以.因此.设是面的一个法向量，则，解得.取，得.又，设表示向量与平面的法向量所成的角，则，又因为，所以，因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】（1（2）解法一：连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，由于三角形是等边三角形，所以，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为所以又因为为中点，所以所以设面的一个法向量为则令，则所以所以点到平面的距离为（2）因为在棱上（包括端点）设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为，所以设平面的法向量为，令所以，设锐二面角为，则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二：（1）连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形，所以，又以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，又，故，则设平面的法向量为，则，故可设，又，所以点到平面的距离为.（2）设，则，设平面的法向量为，则令，所以，所以，设锐二面角为，ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。
重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}432A B x x ==，，则A B =I （ ）A ．2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．{}316x x ≤<C ．223x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}02x x ≤≤2．命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（ ） A ．230,1x x x ∀≥+≤ B ．230,1x x x ∀<+≤ C ．230,1x x x ∃<+≤D ．230,1x x x ∃≥+≤3．已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1f xg x +的定义域为（ ）A ．()4,3-B ．()2,5-C ．1,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4．使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≥B ．2a >C ．6a >D ．6a ≥5．若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{31}mm -<<∣ B ．{3m m <-∣或1}m > C ．{13}mm -<<∣D ．{1mm <-∣或3}m > 6．函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,1D ．[]0,17．已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（ ）AB ．34a a b ++的最小值为7+C ．()()11a b ++的最大值为94D ．2232a b a b +++的最小值为16 8．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ） A ．2048B ．2024C ．1024D ．512二、多选题9．已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则20242024b b a a +<+ C ．若,a bcd >>，则ac bd >D ．()221222a b a b ++≥--10．下列说法正确的是（ ）A ．若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B ．若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C ．若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D ．“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（ ）A ．()()101320272024f f λ+=B ．当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C ．当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D ．当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三、填空题12．已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有个子集. 13．已知集合[]()(){}1,4,10A B xx a ax ==+-≤∣，若A B B =U 且0a ≥，则实数a 的取值范围是.14．若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为.四、解答题15．已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.(1)若()01f x =，求0x 的值；(2)若()3f a a <+，求实数a 的取值范围. 16．已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣. (1)求A B U ；(2)集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()R A ð，求实数a 的取值范围. 17．已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.(1)求()1f -的值； (2)求函数()f x 的解析式；(3)记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18．教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >L，则有*12,2n a a a n n n+++∈≥N L ，当且仅当12n a a a ===L 时取等.利用此结论解决下列问题：(1)若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；(2)若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；(3)对任意*k ∈N ，判断11k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19．已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=； ③对任意32x >，恒有()0f x <； ④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)判断()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；(3)若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
2024北京人大附中高三10月月考数学
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则AB =（ ）A ．()2,4−B ．[)0,4C ．[]0,1D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x=B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()xxf x e e −=−3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bB C ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ） A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π35．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ） A ．()0,10 B ．()1,10C ．()()0,110,+∞ D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D=，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=） A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b>”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12±B．2± C．2±D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______． 13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1； ②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴． 其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−>< ⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值．①5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程； （2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 20．（本小题15分） 已知函数()()2xf x exx =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−． （1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由； （3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−； 进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N “10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题
2024级高一数学试题总分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（ ）x ∀∈R 2210x x -+>A.， B.，x ∀∈R 2210x x -+<x ∀∉R 2210x x -+>C.， D.，x ∃∈R 2210x x -+≥x ∃∈R 2210x x -+≤2.定义集合运算.设，，则集合的真子{},,A B c c a b a A b B ==+∈∈◇{}0,1,2A ={}2,3,4B =A B ◇集个数为（ ）A.32B.31C.30D.153.设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合且{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤M N 以集合为值域的函数关系的有（ ）NA ①②③④ B.①②③C.②③D.②4.已知函数.下列结论正确的是（ ）()223f x x x =-++A.函数的减区间()f x ()(),11,3-∞- B.函数在上单调递减()f x ()1,1-C.函数在上单调递增()f x ()0,1D.函数的增区间是()f x ()1,3-5.已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f xA. B.若，则()()11f f -=()3f x =x C.的解集为 D.的值域为()1f x <(),1-∞()f x (),4-∞6.已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）()f x []0,1fA.和B.和⎡⎣[]1,0-⎡⎣[]0,1C.和D.和[]1,0-[]1,0-[]1,0-[]0,17.设函数；若，则实数的取值范围是（ ）()()()4,04,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩()()231f a f a ->-a A. B.()(),12,-∞-+∞ ()(),21,-∞-+∞ C. D.()(),13,-∞-+∞ ()(),31-∞-+∞ 8.已知函数满足，则（ ）()f x ()111f x f x x ⎛⎫+=+⎪-⎝⎭()2f =A. B. C. D.34-343294二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设集合，集合，若，则实数的值可以为（ {}2280A x x x =--={}40B x mx =-=A B =∅R m ）A. B. C.0 D.12-1-10.已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）0x <()()240ax x b -+≥A. B.0a >0b <C.的最小值为8 D.的最小值为2a b -1b a +16411.已知，均为正实数.则下列说法正确的是（ ）x y A.的最大值为22xy x y +128.若，则的最大值为84x y +=22x y +C.若，则的最小值为21y x+=1x y +3+D.若，则的最小值为22x y x y +=-12x y x y +++169三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数______()f x =13.已知函数满足对任意实数，都有成立，()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x ≠()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦则实数的取值范围是______a 14.记为，，中最大的数.设，，则的最小值为______.{}max ,,abc a b c 0x >0y >13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；()f x ()()94ff x x =+()f x （2）已知函数.求的解析式；()24212f x x x +=-()f x （3）已知函数满足，求函数的解析式.()f x ()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭()y f x =16.（本小题满分15分）已知定义在的函数，，满足对，等式()0,+∞()f x ()21f =(),0,x y ∀∈+∞恒成立且当时，.()()()f xy f x f y =+1x >()0f x >（1）求，的值；()1f 14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，解关于的不等式：.()21f =x ()()64f x f x +-≤17.（本小题满分15分）已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩（1）若，用定义法证明：为递增函数；3a =()f x （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.x ()22f x x >-a 18.（本小题满分17分）两县城和相距20km ，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含A B AB AB 两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂AB C 对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城A A B 的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，B K A B A B 记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当C A x C A B y 垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.AB AB （1）将表示成的函数；y x（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存AB A B 在，求出该点到坡的距离；若不存在，说明理由.A 19.（本小题满分17分）已知集合，其中，由中元{}()12,,2k A a a a k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥()1,2,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 素可构成两个点集和：，.P Q (){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈其中中有个元素，中有个元素.新定义一个性质：若对任意的，，则称集合具P m Q n G x A ∈x A -∉A 有性质G（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性{}0,1,2,3J ={}1,2,3K =-{}222L y y x x ==-+质，若有，则直接写出其对应的集合、；若无，请说明理由；G P Q （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？A G 2024k =Q （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.A G m n =。
南京市中华中学2023-2024学年高一上数学10月月考试卷(含答案)
中华中学2023—2024学年度第一学期学情调研（二）高一数学本卷调研时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合衣有限公司在暑假期间加班生产提供(](0,20)x x ∈（万元）的专项补贴．该制衣有限公司在收到市政府x （万元）补贴后，产量将增加到(3)t x =+（万件）．同时该制衣有限公司生产t （万件）产品需要投入成本为36(73)t x t ++（万元），并以每件42(8)t+元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本．（1）求该制衣有限公司暑假期间，加班生产所获收益y （万元）关于专项补贴x （万元）的表达式，并求当加班生产所获收益不低于35万元时，实数x 的取值范围；（2）南京市政府的专项补贴为多少万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益y （万元）最大？【解析】（1）4236873y t x t x t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭36422t x t =+--．因为3t x =+，所以363634224533y x x x x x =++--=--++.................................................3分由35y ≥，得3645353x x --+≥，即2760x x -+≤，所以16x ≤≤，又020x <≤，所以实数x 的取值范围是[1,6]．.........................................6分（2）因为36453y x x =--+()363483x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦．（020x <≤）..........................8分又因为(]0,20x ∈，所以3630,03x x +>>+，所以()363123x x ++≥=+（当且仅当36333x x x +==+即时取“=”）所以124836y ≤-+=，即当3x =万元时，y 取最大值36万元............................................11分答：南京市政府的专项补贴为3万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益最大．...12分22.（12分）已知函数2()3f x x ax =++，Ra ∈（1）若函数)(1x f y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若当[]2,2x ∈-时，函数a x f y -=)(有意义，求实数a 的取值范围.（3）若函数a x a x f x g +--=)2()()(，函数)]([x g g y =的最小值是5，求实数a 的值.【解析】由)(1x f y =定义域为R ,则2()3f x x ax =++的值域大于0,所以2120a ∆=-<，所以(a ∈-........................................2分（2）由[2,2],x y ∈-=有意义，即()0f x a -≥恒成立，令2()()3,[2,2]h x f x a x ax a x =-=++-∈-最小值非负，221()(3,[2,2].24a h x x a a x =+--+∈-①当22a-<-即4a >时，()h x 在[2,2]-单调递增，min ()(2)73h x h a =-=-，所以4477303a a a a >⎧>⎧⎪⇒⎨⎨-≤≤⎩⎪⎩，所以a φ∈；................................4分②当222a-≤-≤即44a -≤≤时，()h x 在[2,2]-先单调递减后递增，2min1()()324a h x h a a =-=--+，所以224444441623041204a a a a a a a a -≤≤⎧-≤≤-≤≤⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-≤≤--+≥+-≤⎩⎩⎪⎩，所以[4,2]a ∈-；......6分③当22a->即4a <时，()h x 在[2,2]-单调递减，min ()(2)7h x h a ==+，所以44707a a a a <-<-⎧⎧⇒⎨⎨+≤≥-⎩⎩，所以[7,4)a ∈--综上：[7,2]a ∈-...............................................................8分（3）222()3(2)23(1)22g x x ax a x a x x a x a a =++--+=+++=+++≥+.令22()2,[()]23(1)2t g x a y g g x t t a t a =≥+==+++=+++....................9分①当21a +<-，即3a <-，min 25y a =+=，所以25333a a a a +==⎧⎧⇒⎨⎨<-<-⎩⎩无解；.....10分②当21a +≥-，即3a ≥-，2min (2)2(2)35y a a a =+++++=，所以231(2)3(2)40a a a a ≥-⎧⇒=-⎨+++-=⎩；.....................................11分综上： 1.a =-...............................................................12分。
内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学卷
内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学卷一、单选题1．若集合{},,M a b c =中的元素是ABC V 的三边长，则ABC V 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．复数5i 2-的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i --D ．2i -3．已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ） A ．2x <B ．02x <<C ．01x <<D ．03x <<4．如图，在ABC V 中，1,2AN AC P =u u u r u u u r 是BN 的中点，若AP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．345．在ABC V 中，下列条件不是A B >的充要条件是（ ） A ．sin sin A B >B ．cos cos A B <C ．cos2cos2A B <D ．sin2sin2A B >6．已知函数()()221f x x a x b =+-+是偶函数，那么函数()g x =（ ）A ．1(,]2-∞B ．1(0,]2C ．(]0,2D ．[)2,+∞7．已知sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=，则cos()αβ-=（ ）A ．B ．12-C ．12D 8．已知()2e ex xaf x +=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),b f b 处的切线方程为2y x =，则2a b +=（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．-2二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是14-.B ．若集合{}*11N lg 422x A x x B x-⎧⎫=∈≤=>⎨⎬⎩⎭∣，∣，则集合A B ⋂的子集个数为4.C ．函数()21f x x x =++的最小值为1.D ．若函数()25f x x -=，则()f x 在区间(),0-∞上单调递增.10．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数4()22x f x =+，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的值域为(0,2]B ．函数()f x 的图象关于点(1,1)成中心对称图形C ．函数()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称D ．若函数()g x 满足(1)1y g x =+-为奇函数，且其图象与函数()f x 的图象有2024个交点，记为(,(1,2,,))2024i i i A x y i =L ，则20241(8)404i i i x y =+=∑11．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期是2πB ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x三、填空题12．若正数a ，b 满足1a b +=，则91a b+的最小值为．13．已知函数()()4cos sin 06f x x x πωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在()0,x π∈上恰有2个极大值点，ω的取值范围是14．已知()f x 是R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 均有()()0ln3f x f x '+>成立．若(1)1f -=-，则不等式1()3x f x -<的解集为．四、解答题15．已知函数()π2,4f x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．16．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.18．已知函数()e ln e x xf x x a =-+.(1)若0a =，求函数()f x 的零点.(2)若01,1e x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()00f x ≥成立，试求a 的取值范围(3)当()()e xf x ag x -=在点()()1,1A g 处的切线与函数()2y f x =-的图象交于点B 时，若ABO V 的面积为e 1-，试求a 的值．19．行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det 的矩阵A ，取值为一个标量，写作det()A 或||A ．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()2π2sin()3xxf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程；(2)在ABC V 中，若()0f A =，||AC m =u u u r，[2,4]m ∈，对任意实数t 恒有||||AB t AC BC -≥u u u r u u u r u u u r ，求ABC V 面积的最大值；(3)在ABC V 中，若1cos 3BAC ∠=，点I 为内心，且满足AI xAB yAC =+u u r u u u r u u u r ，求x y +的最大值．。
北京市第一零一中学2024届高三上学期10月月考数学试题(含解析)
北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C.D. 3. 已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则是（）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B.C. D.5. 已知，则下列不等式正确的是（）A.B. C. D. 6. 如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. －4B. －1C. 1D. 47. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的.{}21012M =--，，，，2{|60}N x x x =--≥M N ⋂={}2101--，，，{}012，，{}2-{}2(0,)+∞3y x =29y x =-y x =1y x=ABC cos cos cos a b cA B C==ABC cos isin z αα=+2z α0π4π3π20a b c <<<b aa b>22a c >()()log log c c a b ->-1122ac⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 14AN NC = P BN 25AP mAB AC =+m {}n a q n n S 1q >1012112+>S S SA 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，在曲柄绕C 点旋转时，活塞A 做直线往复运动，设连杆长为40cm ，曲柄长10cm ，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A 移动的距离约为（））A. B. C. D. 9. 已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A.B.C.D.10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（）A. 83B. 87C. 91D. 95二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为________.12. 已知等差数列的前项和为．若，公差，则的最大值为_______.13. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．14. 已知为等边三角形，且边长为2，则________；若，，则最大值为__________..的CB AB CB CB 0CB 0AA 7.81≈8.37≈8.15cm 6.95cm 5.95cm 3.15cm()1,0A x ()2,0B x ()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈x 12min 3x x π-=()f x 6πy ϕ6π3π23π56π020*********N 50N >N N ()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭{}n a n n S 19a =2d =-n S ABC A B C a b c S ABC cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=ABC ,AB BC = 1BD = CE EA = AD EB ⋅15. 已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列满足，.（1）求通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?（3）在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大?17. 如图所示，已知中，为上一点，．（1）求；（2）若，求的长．18. 已知函数.的()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x -+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()f x a 1,0π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x t =t [][)π,441,a a a ++∞ 12a ≤-()()224f x f x +>+()2,2-1a ≥12x x <()()1210f x f x -<=<120x x +>{}n a 1210a a +=432a a -={}n a {}n b 23b a =37b a =6b {}n a 5n n n c a b =-{}n c n n S n n S ABC DAC π,4,4A AB BD AD AB ∠===>sin ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=DC ()()()221ln 02f x a x x a x x -=-+≤≤（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，，求证：.19. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定（1）求的解析式及最小值；（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.20. 对于函数，，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数和在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数，.（1）当，时，判断函数和是否相切?并说明理由；（2）已知，，且函数和相切，求切点P 的坐标；（3）设，点P 的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切?若点P 的坐标为呢?（结论不要求证明）21. 对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.（1）设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；的()f x 1a =()()()()ln g x f x f x x x '=---[]1,2x ∈()12g x ≥()()2sin sin cos 0,f x x x x b b ωωωω=++>∈R ()f x ()f x ()f x ()(),0t t t ->()f x π2()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x ()g x ()f x ()g x ()()20f x ax bx a =-≠()ln g x x =1a =-0b =()f x ()g x a b =0a >()f x ()g x 0a >1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1{}n a 1i i i a a a +=-△{}n a 21+=-i i i a a a △△△{}n a {}n a i j a a ≠△△()*,,i j i j ∀∈≠N {}n a {}n a 22j i a a =△△()*,i j ∀∈N {}n a 1A 2A 1A 2A（2）若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；（3）已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.{}n a {}n a 10a =2a a =2i a d =△d {}n a B 12212,,,,n n b b b b -⋅⋅⋅{}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考二一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】对一元二次不等式求解得到解集，再计算．【详解】不等式解得或，则，又，所以．故选：C.2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，，为奇函数，不符合题意；对于B ，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C ，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D ，为奇函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.3. 已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则{}21012M =--，，，，2{|60}N x x x =--≥M N ⋂={}2101--，，，{}012，，{}2-{}2N M N ⋂260x x --≥2x ≤-3x ≥{}][()2|6023N x x x =--≥=-∞-+∞ ，，{}21012M =--，，，，{}2M N =-I (0,)+∞3y x =29y x =-y x =1y x=3y x =29y x =-(0,)+∞,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩(0,)+∞1y x=ABC cos cos cos a b cA B C==ABC是（）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解.【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角，则，则是等边三角形.故选：B.4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简，再复数的概念得到，结合余弦函数的性质求出，即可得解.【详解】因为，所以，因为为纯虚数，所以，所以，，所以，.故选：B5. 已知，则下列不等式正确的是（）A.B. C D. 【答案】D 【解析】.tan tan tan A B C ==A B C ==sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tan tan tan A B C ==,,A B C A B C ==ABC cos isin z αα=+2z α0π4π3π22z cos 20α=αcos isin z αα=+()2222cos isin cos sin 2sin cos i cos 2sin 2i z αααααααα=+=-+=+2z cos 20sin 20αα=⎧⎨≠⎩π2π2k α=+Z k ∈ππ42k α=+Z k ∈0a b c <<<b aa b>22a c >()()log log c c a b ->-1122ac⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】A 作差法比较大小；B 特殊值法，令即可判断正误； C 令，利用对数函数的性质判断即可；D 根据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：，又，则，，故，即，错误；B ：当时，不成立，错误；C ：由，即，当时有，错误；D ：由，则，正确.故选：D.6. 如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. －4B. －1C. 1D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线定理的推论的推论，根据题意化简，再由即可得解.【详解】由，所以，，由，可得，故选：B7. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件1,2a c =-=01c <<22b a b a a b ab--=0a b <<220b a -<0ab >0b a a b -<b a a b <1,2a c =-=22a c >0a b <<0a b ->->01c <<()()log log c c a b -<-0<<a c 11122a c⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 14AN NC = P BN 25AP mAB AC =+m 2AP mAB AN =+21+=m 14AN NC = 15AN AC =225255AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+21+=m 1m =-{}n a q n n S 1q >1012112+>S S SC. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题，变形得即可选出选项【详解】由题：，，即，由于题目给定各项为正，所以等价于公比为.故选：C【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用.8. 如图，在曲柄绕C 点旋转时，活塞A 做直线往复运动，设连杆长为40cm ，曲柄长10cm ，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A 移动的距离约为（））A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】作图，在三角形中，根据三角函数求出相关线段的长度，结合图形，即可得出答案.【详解】如图，过点作于点，由已知可得，，，，，1012112+>S S S 1211a a >1012112+>S S S 12111110S S S S ->-1211a a >{}n a 1q >1012112+>S S S CB AB CB CB 0CB 0AA 7.81≈8.37≈8.15cm 6.95cm 5.95cm 3.15cm B 1BB AC ⊥1B 40AB =0040A B =10BC =60ACB ∠=︒所以，，，所以，.在中，由勾股定理可得，，所以，，所以，.故选：C.9. 已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】令，解得，因为，故令，并取，则，即可求得.此时，向左平移个单位得到，若其为偶函数，则，解得.当时，.160sin 10BB BC =︒==15601cos 102CB BC =︒=⨯=10015B B CB CB =-=1Rt AB B △139.05AB ==≈011039.05534.05AB AB B B =-≈-=00004034.05 5.95AA A B AB =-≈-=()1,0A x ()2,0B x ()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈x 12min 3x x π-=()f x 6πy ϕ6π3π23π56π12min 3x x π-=ωϕ()2sin 10x ωϕ++=()1sin 2x ωϕ+=-12min 3x x π-=21x x >12711,66x x ππωϕωϕ+=+=()2123x x πω-=2ω=()()2sin 21f x x ϕ=++6π2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭2,32k k Z ππϕπ+=+∈26k πϕπ=+0k =6πϕ=【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（）A. 83B. 87C. 91D. 95【答案】D 【解析】【分析】根据题意进行分组，然后分组求和即可.【详解】根据题意将数列分组，第一组为第一项是，第二组为为第二项和第三项是，，依次类推，第组为，，，…，第组含有项，所以第组的和为：，前组内一共含有的项数为：，所以前组内的项数和为：，若该数列的前项和为2的整数幂.，只需将消去即可；若，则，，不满足；若，则，，不满足；若，则，，满足；故满足如条件的最小整数为95.020*********N 50N >N N 020212n 02122212n -n n n 122112nn -=--n ()12n n +n 123121212121=22n n n S n +=-+-+-+⋯+---N 2n --()122=0n ++--=1n ()12=32n n N +=+50N >()1242=0n +++--5n =()13=182n n N +=+50N >()12482=0n ++++--=13n ()14=952n n N +=+50N >N二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】由，，即，，所以函数的定义域为.故答案为：.12. 已知等差数列的前项和为．若，公差，则的最大值为_______.【答案】25【解析】【分析】由已知求出等差数列的通项公式，求出满足的最大值，代入可得的最大值．【详解】，，令，解得，又，则的最大值为故答案为：2513. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭πππ32x k -≠+Z k ∈5ππ6x k ≠+Z k ∈()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭{}n a n n S 19a =2d =-n S {}n a 0n a ≥n n S 19a = 2d =-()()912112n a n n \=+-´-=-0n a ≥112n ≤*n ∈N 15n ≤≤n S ()554592252S ´=´+´-=ABC A B C a b c S ABC cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．14. 已知为等边三角形，且边长为2，则________；若，，则的最大值为__________.【答案】 ①.②. 【解析】【分析】根据向量夹角的定义即可求出，根据向量的运算可以得到，由，设，由向量夹角的取值范围即可求解.【详解】因为为等边三角形，所以，所以；因为，所以为中点，所以，设，则，所以，又，4π222cos 2b c a A bc +-=22211sin()24S bcA b c a ==+-11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=sin 1C =2C π=4B π=tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=90C =︒B ABC ,AB BC = 1BD = CE EA = AD EB ⋅23π3,AB BC3AD EB BD BE ⋅=-⋅,BD BE θ= ABC π3ABC ∠=2π,3AB BC = CE EA =E AC ()1122AD EB AB BD BA BC ⎛⎫⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭()1111112π1422cos 22222232BA AB BC AB BA BD BC BD BD BA BC=-⋅-⋅-⋅-⋅=⨯-⨯⨯⨯-⋅+ 3BD BE =-⋅,BD BE θ=[]cos 1,1θ∈-1BD BE θθ⎡⋅==∈⎣3AD EB BD BE ⋅=-⋅所以当有最大值故答案为：；15. 已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③④【解析】【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当时，，当时，，若，则当时，，则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，则函数有最小值为满足题意；若，则当时，，时，，要使函数有最小值，则，解得；BD BE ⋅= AD EB ⋅3+23π3()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x -+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()f x a 1,0π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x t =t [][)π,441,a a a ++∞ 12a ≤-()()224f x f x +>+()2,2-1a ≥12x x <()()1210f x f x -<=<120x x +>πx >()()πe44,41x f a a a x -++∈=+ππ2x ≤≤()[]cos 1,0x f x ∈-=0a >π2x <()π(π2f a f x <=0a =π2x <()0f x =πx >()πe4(0,1)x f a x -+∈=+1-a<0π2x <()π()π2f a f x >=πx >()()πe44,41x f a a a x -++∈=+π141a a ≥-⎧⎨≥-⎩104a -≤<综上，的取值范围是，①错误；当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，作图如下，因为无实根，所以或，②正确；当时，因为，所以函数在单调递减，又因为所以由可得，，即，解得，所以，所以不等式的解集为，③正确；a 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x π,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()π,+∞()f x t =π4a t a ≤≤41t a ≥+12a ≤-411a +≤-()f x π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭222,44,x x +≥+≥()()224f x f x +>+224x x +<+220x x --<02x ≤<()2,2x ∈-()()224f x f x +>+()2,2-函数在点处的切线斜率为，所以切线方程为，则由图象可知，时，，设，记直线与函数，，的交点的横坐标为，因为经过点，所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列满足，.()f x π,02⎛⎫⎪⎝⎭π()sin 12f x '=-=-π2y x =-+π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πcos 2x x ≥-+()()()121,0f x f x m ==∈-y m =π(),,2f x x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭π2y x =-+π(),,π2f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦102,,x x x ()2ππ,2f x a x x ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π(,0)2-1a ≥100x x +≥20x x >120x x +>{}n a 1210a a +=432a a -=（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?（3）在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大【答案】（1）（2）第63项（3）当时，的值最大【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解；（2）先求得，，再利用等比数列的定义与通项公式求得，再令，从而得解；（3）利用分组求和法即可求出，再利用导数求得的单调性，从而得解.【小问1详解】依题意，设等差数列的公差为d ，则，又，得，解得，所以；【小问2详解】设等比数列的公比为q ，则，，所以，，所以，令，解得.故是数列的第63项；【小问3详解】由（2）可知，则，所以，{}n a {}n b 23b a =37b a =6b {}n a 5n n n c a b =-{}n c n n S n n S 22n a n =+4n =n S 2b 3b 6b 6n a b =n S {}n S {}n a 432d a a =-=1210a a +=11210a a ++=14a =42(1)22n a n n =+-=+{}n b 238b a ==3716b a ==321628b q b ===214bb q==576422128b =⨯==22128n a n =+=63n =6b {}n a 11422n n n b -+=⨯=155(22)2n n n n c a b n +=-=+-()()()4224(12)546225421122n n n n n S n ++-=++++-=⨯--⎡⎤⎣⎦- 2225154n n n +=-+++令，则，由于，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，，所以当时，有最大值且最大值为.17. 如图所示，已知中，为上一点，．（1）求；（2）若，求的长．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由两角差的正弦展开式求出，在中由正弦定理可得答案．【小问1详解】在中，由正弦定理可得，所以，又因为，所以；()222515)4(N x f x x x x++=-+++∈()2ln 221015x fx x +'=-++N x +∈14x ≤≤()0f x ¢>()f x 5x ≥()0f x '<()f x ()128125754756f =-+++=()4648060480f =-+++=4n =n S 480S =ABC D AC π,4,4A AB BD AD AB ∠===>sin ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=DC ABD △cos ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=BC DC sin ∠C cos C ∠sin DBC ∠BDC ABD △sin sin AB BDADB A=∠∠sin sin ABADB A BD∠∠=π,4,4A AB BD ∠===sin ADB ∠==小问2详解】因为，所以，所以，由（1）结论，计算可得法1：由正弦定理可知，又，所以，由余弦定理可得，化简整理得，解得法2：因为且，所以由题意可得，所以所以，在中，由正弦定理可得，所以18. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；【AD AB >ABD ADB ∠∠>90ADB ∠<o cos ∠==ADB sin sin BC BDBDC C∠∠=sin 2sin BDC C ∠∠=2BC BD ==2222cos BC BD DC BD DC BDC ∠=+-⋅2300DC +-=DC =sin sin BDC ADB ∠∠==sin 2sin BDC C ∠∠=sin sin 2BDC C ∠∠==C ADB ∠<∠cos C ∠=()sin sin DBC ADB C ∠∠∠=-sin cos cos sin ADB C ADB C∠∠∠∠=⋅-⋅35==BDC sin sin DC BDDBC C∠∠=sin sin DBC DC BD C ∠∠===()()()221ln 02f x a x x a x x -=-+≤≤()f x（2）当时，令，，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，然后分，，三种情况，根据导函数即可得出函数的单调性；（2）代入，化简得出，求导根据导函数得出在上的单调性，进而得出最小值，即可证明.【小问1详解】由已知可得，，定义域为，所以.（ⅰ）当时，.当时，有，上单调递增；当时，有，在上单调递减.（ⅱ）当时，解，可得，或（舍去负值）.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.在1a =()()()()ln g x f x f x x x '=---[]1,2x ∈()12g x ≥()()()2312x a f x x x --='0a =02a <<2a =1a =()233121g x x x x=+--()g x []1,2()221ln x ax a x xf x =-+-()0,∞+()()()22331222x ax a a x x f x x x '--=--+=0a =()()321x f x x --='01x <<()()3210x f x x--=>'()f x ()0,11x >()()3210x f x x--=<'()f x ()1,+∞02a <<()()()23120x ax f x x--=='1x =x =1>()0f x ¢>01x <<x >()f x ()0,1⎫+∞⎪⎪⎭()0f x '<1x <<()f x ⎛ ⎝（ⅲ）当时，在上恒成立，所以，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.【小问2详解】由（1）知，当时，，，所以，.所以，.解，可得（舍去负值），且，所以.当时，解可得，所以在上单调递增；当时，解，所以在上单调递减.又，，所以，当时，在处取得最小值，2a =()()()232110x x f x x '-+=≥()0,∞+()f x ()0,∞+0a =()f x ()0,1()1,+∞02a <<()f x ()0,1⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭2a =()f x ()0,∞+1a =()221ln x x x x f x =-+-()231221x f x xx '=--++()()()()ln g x f x f x x x '=---()22321122ln 1ln x x x x x x x x x =⎛⎫-+----++-- ⎪⎝⎭233121x x x =+--()234326g x x x x '=--+()241326x x x=-+-()0g x '=x =45<<4123<<<12x ≤≤()0g x '>1x ≤<()g x ⎡⎢⎣12x ≤≤()0g x '<2x <≤()g x 2⎤⎥⎦()131211g =+--=()()31212112482g g =+--=<12x ≤≤()g x 2x =()122g =所以有.19. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定（1）求的解析式及最小值；（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 的取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将解析式化简，再选择相应条件，结合三角函数的性质逐一分析，从而得解；（2）先求得在附近的五个零点，从而得到关于的不等式组，由此得解.【小问1详解】选条件①②：由题意可知，，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，因为函数的图象经过点，所以，所以，()12g x ≥()()2sin sin cos 0,f x x x x b b ωωωω=++>∈R ()f x ()f x ()f x ()(),0t t t ->()f x π2()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =π3π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x 0x =t 21cos 21()sin sin cos sin 222x f x x x x b x b ωωωωω-=++=++π1242x b ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()f x π2π2π222T ω==1ω=()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭πππ1212242f b ⎛⎫⎛⎫=⨯-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0b =所以，所以.选择条件①③：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，所以，所以.选条件②③：，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，因为函数的图象经过点，所以，所以所以或，显然此时的值有多个，的解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去.【小问2详解】由（1）知，π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =+()f x π2π2π222T ω==1ω=min max 1(),()2f x b f x =++=12b +()f x 11122b b ++++=0b =π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =+min max 11(),()22f x b f x b =++=+()f x 11122b b ++++=0b =()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭πππ1212242f ω⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin π4ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ2π,44k k ω-=+∈Z π3ππ2π,44k k ω-=+∈Z ω()f x π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，得，所以或，即或，所以在附近的五个零点为，，，，，因为在区间上有且仅有2个零点，所以，为在区间上的两个零点，故，解得，所以的取值范围是.20. 对于函数，，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数和在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数，.（1）当，时，判断函数和是否相切?并说明理由；（2）已知，，且函数和相切，求切点P 的坐标；（3）设，点P 的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切?若点P 的坐标为呢?（结论不要求证明）【答案】（1）不相切，理由见解析（2）切点的坐标为.（3）P 的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切，P的坐标为时，不存在.π1202()4f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ22π,44x k k -=-+∈Z π3π22π,44x k k -=-+∈Z π,x k k =∈Z ππ,4x k k =-+∈Z ()f x 0x =πx =-π4x =-0x =3π4x =πx =()f x ()(),0t t t ->π4x =-0x =()f x ()(),0t t t ->ππ43π04t t ⎧-<-≤-⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩π3π44t ≤<t π3π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()g x ()f x ()g x ()()20f x ax bx a =-≠()ln g x x =1a =-0b =()f x ()g x a b =0a >()f x ()g x 0a >1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1P (1,0)1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1【解析】【分析】（1）根据两函数相切可得，即可说明求解；（2）根据题意可知函数和在切点处满足，即可求解；（3）根据两个函数存在切点，则有，即，将所给的两个点坐标分别代入即可求解.【小问1详解】当，时，，，，，令，即无解，所以函数和不相切.【小问2详解】因为，，所以，，，设切点为,则，消去得，（*）注意到，所以，设函数，，令，解得或（舍），令，解得；令，解得；所以函数在单调递增，单调递减，()()f x g x ''=()f x ()g x (,)P s t 2ln 12as as sas a s ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩2ln 12ax bx xax b x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩22ln 21ax bx x ax bx ⎧-=⎨-=⎩1a =-0b =()2f x x =-()lng x x =()2f x x '=-()1g x x'=()()f x g x ''=12x x-=()f x ()g x a b =0a >()()20f x ax ax a =->()2f x ax a '=-()1g x x'=(,),(0)P s t s >2ln 12as as s as a s ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩a 1ln 21s s s -=-10(21)a s s =>-12s >11()ln ,,212x F x x x x -⎛⎫=-∈+∞ ⎪-⎝⎭2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-()0F x '=1x =14x =()0F x '>112x <<()0F x '<1x >11()ln ,,212x F x x x x -⎛⎫=-∈+∞ ⎪-⎝⎭1,12⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞所以,所以（*）方程有且仅有一个解为，于是，所以切点的坐标为.【小问3详解】，，若两个函数存在切点，则有，即，假设存在P 的坐标为，则，即，解得，满足题意，所以P 的坐标为，存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切，此时，.假设存在P 的坐标为，则，解得，不满足题意，所以P 的坐标为，不存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切.21. 对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.（1）设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；max ()(1)0F x F ==1s =ln 0t s ==P (1,0)()2f x ax b '=-()1g x x'=2ln 12ax bx xax b x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩22ln 21ax bx x ax bx ⎧-=⎨-=⎩1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭221e e 21e e a b a b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩221e e 21e ea ba b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩22e 3e a b ⎧=⎨=⎩1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()222e 3e f x x x =-()ln g x x =()e,122e e 12e e 1a b a b ⎧-=⎨-=⎩01e a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩()e,1()f x ()g x {}n a 1i i i a a a +=-△{}n a 21+=-i i i a a a △△△{}n a {}n a i j a a ≠△△()*,,i j i j ∀∈≠N {}n a {}n a 22j i a a =△△()*,i j ∀∈N {}n a 1A 2A 1A 2A（2）若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；（3）已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.【答案】21. 答案见解析22. 答案见解析23. 证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义分析判断即可；（2）根据题意分析可知为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；（3）根据“绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.【小问1详解】对于数列：2，4，8，10，14，16；可得：差数列为：2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：2，，2，，满足，所以是“累差不变数列”，对于数列：6，1，5，2，4，3；可得：差数列为：，4，，2，，不满足，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：9，，5，，不满足，所以不是“累差不变数列”.【小问2详解】因为，则，反证：假设不是定值，即存在，使得，可得，即，这与既是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以为定值，①若，即，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，{}n a {}n a 10a =2a a =2i a d =△d {}n a B 12212,,,,n n b b b b -⋅⋅⋅{}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅2i a △1A i j a a ≠△△2-2-22j i a a =△△2A 5-3-1-i j a a ≠△△7-3-22j i a a =△△2i a d =△2=±i a d △2i a △*k ∈N 2210++=k k a a △△()()1210+++--+=k k k k a a a a △△△△2+=k k a a △△{}n a 2i a △2=i a d △1+-=i i a a d △△{}n a △211=-=a a a a △d当时，则，当时，符合上式，综上所述：；②若，同理可得；综上所述：若，；若，.【小问3详解】因为，根据集合的互异性可知，，则，又因为数列是“绝对差异数列”，则，，充分性：若，可得，即，所以，若差数列为，符合的排序只能为；若差数列为，符合的排序只能为或，若差数列为，符合排序只能为或，若差数列为，符合的排序只能为或或或，的2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()()12111212----=+⋅⋅⋅++=+-+n n n n a a a a n a d △△△1n =10a =()()()1212--=-+n n n a n a d 2=-i a d △()()()1212--=--n n n a n a d 2=i a d △()()()1212--=-+n n n a n a d 2=-i a d △()()()1212--=--n n n a n a d {}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≠i j b b ()*,,i j i j ∀∈≠N 1,2,,21,1,2,,21=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-i n i b n △B ≠i j b b △△()*,,i j i j ∀∈≠N 21-=-n b b n ()()()12212122212----=-+-=+⋅⋅⋅+--n n n n n b b b b b b b b n 21221--++⋅⋅⋅+=-n n b b b n △△△*12,,22i mb m n m m -⎧=≤∈⎨-⎩N 12n -2,1n 22n -2,2,1n 2,1,21-n n 32n -21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n 24n -3,21,2,2,1-n n 21,2,2,1,23--n n n 2,1,21,2,22--n n n 4,2,1,21,2-n n若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；所以符合的排序只能为或，利用数学归纳法证明：当差数列为，符合的排序为，显然，符合题意；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为，符合的排序为；则当差数列为时，符合的排序为或，当差数列为时，对于可得符合的排序为；对于，无法排序；所以符合的排序为，即当差数列为，符合的排序为；所以当差数列为，符合的排序为，成立；同理可证：当差数列为，符合的另一种排序为；依次类推，可得其排列为或，所以，故充分性成立；若，则，若差数列为，则符合的排序为或，若差数列为，则符合的排序为或或或，21,2,2,1,23--n n n 52n -4,2,1,21,2-n n 52n -3,21,2,2,1-n n 2,1,21,2,22--n n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 1i =122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 22-n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 21,,,21,2,2,1,221-+⋅⋅⋅--+n i i n n n i ()1221221--++=-++n i n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n ()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 21,,,21,2,2,1,221-+⋅⋅⋅--+n i i n n n i ()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 122--+n i 2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i 1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n {}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}2131,,,1,2,,2-⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅n b b b n n n ()21±-n 2,1n 1,2n ()22±-n 2,2,1n 2,1,21-n n 1,2,2n 21,1,2-n n若差数列为，则符合的排序为或，因为的排序为，不合题意，的排序为，不合题意，所以若差数列为，则符合的排序为，若差数列为，则符合的排序为或，若差数列为，则符合的排序为或，利用数学归纳法证明：当差数列为时，符合的的排序为，当时，成立；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为，符合的排序为；当差数列为，符合的排序为或，当差数列为，对于可得排序为，对于则无法排序，所以当差数列为，符合的排序为；同理可证：当差数列为，符合的排序为；此时满足数列是“绝对差异数列”的排序只有两种：或，则，必要性成立；所以充要条件是.的()23±-n 21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n 1,2,2n 1,2,2,21-n n 21,1,2-n n 2,21,1,2-n n ()21±-n 2,1n ()22±-n 2,2,1n 2,1,21-n n ()23±-n 21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n ()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 1i =()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ()22±-n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i ()()2121±+-+n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n ()211,1,21,,,21,2,2,1-+++-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i ()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ()212±+-n i 2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i B 1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n ()()()112232221--=-+-+⋅⋅⋅+-n n n b b b b b b b b ()1221-=-++⋅⋅⋅+=-n n b b b △△△12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试卷(含答案)
哈九中2024级高一学年10月月考数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列表示正确的是（）A. B. C.2.若集合，则应满足（）A. B. C. D.3.对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（）A.集合的任何一个元素都属于B.集合的任何一个元素都不属于C.集合中至少有一个元素属于D.集合中至少有一个元素不属于4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件5.若命题是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.6.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D.7.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ）*0∈N 12∈Z π∈Q R{},A x x =-x 0x >0x <0x =0x ≤,A B B A ⊆B AB AB AB Ax ∈R 05x <<01x <<2:,40p x x x a ∃∈++=R a 04a <<4a >0a <4a ≥()y f x =[]1,2y f=[]1,2⎡⎣[]1,4[]2,4a bA.B.8.若函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.下列各组函数表示不同函数的是（）A.B.C.D.)0,02a b a b +≥>>()2220,0a b ab a b +≥>>()20,011a b a b ≥>>+()0,02a b a b +≥>>()22f x ax bx c=++()1f =23-112-16-13-()()0,f x g x ==+()()01,f x g x x==()()f x g x x==()()211,1x f x x g x x -=+=-10.已知，则下列命题正确的是（ ）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若且，则11.已知集合，则可能是（ ）A. B.C.或 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则__________.13.若正数满足，则的最小值是__________.14.表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围__________，方程的解集是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）已知集合（1）求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本题15分）已知函数的解析式（1）求（2）画出的图像，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.,,a b c ∈R 0ab ≠a b <11a b >01a <<2a a<0a b >>11b b a a+>+c b a <<0ac <22bc ac <(){}{}2110,1,0A x ax a x a B x x =-++><=>∣∣A B ⋂10x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{01}x x <<∣{01x x <<∣1x a ⎫>⎬⎭11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}{}2340,230A xx x B x x =+-<=+≥∣∣A B ⋂=,x y 35x y xy +=34x y +[]x x ][2.32, 5.66⎡⎤=-=-⎣⎦[]2x =x []22x x ={}20,21,2x A xB x a x a a x ⎧⎫-=≤=≤≤+∈⎨⎬+⎩⎭R ∣A B A ⊆a ()f x ()350501281x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x（3）若，求的值.17.（本题15分）（1）已知关于的不等式的解集为，求的解集；（2）若不等式对于任何实数恒成立，求实数的取值范围.18.（本题17分）已知函数，且（1）求的解析式；（2）已知：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数，若和只有一个是真命题，求实数的取值范围.19.（本题17分）若存在实数使得，则称是区间的一内点.（1）若是区间的一内点，求的值；（2）求证：的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）给定实数，若对于任意区间是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证：()2f a =a x 220ax x c ++>11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭220cx x a -+->()()()211310m x m x m +--+->x m ()2f x x bx c =++()()()11,02f x f x f +=-=-()f x ,a p ∈R 01x <<()32f x x a +<+q []2,2x ∈-()()g x f x ax =-p q a ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-x (),()a b a b <λ2x =()1,3λλ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ()0,1ω∈()1,(),a b a b x <1λ2x 2λ()22211x a b ωω≤+-()22221x a b ωω≤-+a b ∈R ､121λλ+=答案1-8DADB BCBD9.ABD 10.BCD11.BC 12. 13.5 14.；15.（1）由题意得，解得，则.（2）因为，当时，，解得，满足题意，当时，因为，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.16.【详解】（1）解：因为，所以，则.（2）解：如图所示，当时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为单调递增区间，单调递减区间最大值无法取到（3）解：当时，，解得；当时，，解得，不符合题意；当时，，解得，综上所述，或3.17.（1）由题意得：是方程的两个根，3,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[)2,3{}2()()22020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩22x -<≤{22}A xx =-<≤∣B A ⊆B =∅21a a >+1a <-B ≠∅B A ⊆212212a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+≤⎩112a -≤≤a 1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦1012<<111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x =(),6∞-(],1∞-[)1,∞+0a ≤()352f a a =+=1a =-01a <≤()52f a a =+=3a =-1a >282a -+=3a =1a =-11,32-220ax x c ++=所以，解得，所以不等式即为，即，解得，所以不等式的解集为.（2）因为不等式对任何实数恒成立，①当即时，不等式为，不满足题意，舍去，②当时，则解得，综上所述，实数的取值范围为.18.（1）因为，则的对称轴是，解得，又因为，所以.（2）若为真，，则对任意的恒成立，可知的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递减，且，则；若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为，因为在内是单调函数，则或，解得或；120931104a c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩122a c =-⎧⎨=⎩220cx x a -+->222120x x -++>()()2230x x -+->23x -<<{23}xx -<<∣()()()211310m x m x m +--+->x 10m +=1m =-260x ->1m ≠-()()210Δ(1)12110m m m m +>⎧⎨=--+-<⎩1m >m ()1,∞+()()11f x f x +=-()f x 12b x =-=2b =-()02f c ==-()222f x x x =--p ()32f x x a +<+()22341a f x x x x >-+=-+()0,1x ∈()241h x x x =-+2x =()241h x x x =-+()0,1()01h =1a ≥q ()()()222g x f x ax x a x =-=-+-()g x 22a x +=()g x []2,2-222a +≤-222a +≥6a ≤-2a ≥若与真假性相反，则或，解得或，所以实数的取值范围为或.19.解：（1）（2）①若是区间的一内点，则存在实数使得，，则，②若，取，则，且，则是区间的一内点，故的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）因为是区间的一内点，则，则恒成立，则恒成立，当时，上式不可能恒成立，因此，所以，即，即同理，故.p q 162a a ≥⎧⎨-<<⎩162a a a <⎧⎨≤-≥⎩或6a ≤-12a ≤<a 6a ≤-12a ≤<12λ=x (),()a b a b <λ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-()()()1,x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈(),x a b ∈b x b a λ-=-()1x a b λλ=+-01b x b a b a b a--<<=--x (),()a b a b <λ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ1x 1λ()1111x a b λλ=+-()()2221111a b a b λλωω⎡⎤+-≤+-⎣⎦()()()2222211111220a ab b ωλλλλλω---+-+-≥210ωλ-≤210ωλ->()()()222211111Δ4420λλωλλλω=----+-≤()210λω-≤1,λω=21λω=-121λλ+=。
2024北京交大附中初三上学期10月月考数学试题及答案
2024北京交大附中初三10月月考数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()2,1B. ()2,1−C. ()2,1−D. ()2,1−−3. 将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. y ＝2（x ＋1）2＋5 B. y ＝2（x ＋1）2－5 C. y ＝2（x －1）2＋5 D. y ＝2（x －1）2－54. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒5. 在平面直角坐标系中，把点P （-3,2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P 的坐标为（ ） A. （3，-2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3,2）6. 用配方法解一元二次方程245x x −=时，此方程可变形为（ ） A. ()221x +=B. ()221x −=C. ()229x +=D. ()229x −=7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =−，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. 2B. 4C. 8D. 168. 如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB AP BP ，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9. 请写出一个开口向上且顶点坐标为()0,1的抛物线的解析式_______________．10. 二次函数2y x bx a =++的图像的顶点在x 轴上，写出一组满足条件的实数a 、b 的数值a =________，b =________． 11. 点()13,A y −，()22,By 在抛物线25y xx =−上，则1y ________2y ．（填“>”，“<”或“=”）12. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程()200ax bx c a ++=≠的解为________．13. 已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m −++−=有一个根是0，则m 的值是________．14. 如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++>与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4)A −，(8,2)B ，则使12y y >成立的x 的取值范围是_______________．15. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为_______．16. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的序号为___________________.三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()031−π+−． 18. 解方程：243x x =−19. 已知：如图，ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．（1）根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点 ． （2）请在图中画出111A B C ．20. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC ＝105°，求∠BED 的度数．21. 已知关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．22. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象．（3）结合图象，当0y >时，x 的取值范围是 ． （4）结合图象，当21x −≤≤时，y 的取值范围是 ． 23. 如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，AD DC =，DE 平分∠ADC 交AC 于点E ，DF 平分∠BDC 交BC 于点F ，90DFC ∠=︒．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若30B ∠=︒，2AD =，连接BE ，求BE 的长．24. 2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90100x ≤<，100110x ≤<，…，170180x ≤<）：b ．男生1分钟跳绳次数在140150x ≤<这一组的是：140，141，142，143，144，145，145，147c ．1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如下表：级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀． 根据以上信息，回答下列问题：（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整； （2）写出表中m ，n 的值；（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______（填“男生”或“女生”）组；（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+<．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.4 4.512y x =−−+，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________m ；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度3m 处．当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.1412y x =−−+，已知两次投篮只有一次投中，则__________投中（填写“第一次”或“第二次”）．26. 已知抛物线22y x ax b =−+经过点()11，．（1）用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意12a x a −≤≤+，都有1y ≤，求a 的取值范围．27. 如图，ACB △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点P 在AC 的延长线上，连接DP ，点B 与点E 关于直线DP 对称，连接AE ．（1）依题意补全图形； （2）求证：AE DP ∥；（3）当=AE CP 时，连接CE ，PE ，用等式表示线段AE ，CE ，PE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．（1）当0m =时，①在点()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −中，是折线BA AC −的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC −的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m −．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．【详解】解：A ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D ．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数()2,(,y a x h k a b c =−+为常数，0)a ≠，顶点坐标是()h k ,，据此求解即可．【详解】解：抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是()2,1， 故选：A ． 3. 【答案】C【详解】∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位， 平移后的抛物线的解析式为y ＝2－1）2＋5， 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，平移的规律是左加右减，上加下减，根据规律结合顶点式即求平移后抛物线的解析式． 4. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解：ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5. 【答案】D【详解】根据题意得，点P 关于原点的对称点是点P ′， ∵P 点坐标为（-3，2）， ∴点P ′的坐标（3，-2）． 故选：D ．【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 6. 【答案】D 【详解】245x x −=24454x x −+=+()229x −=故选：D ． 7. 【答案】B【详解】解：过点C 作CA ⊥y 轴于点A ，根据抛物线的对称性得：OBD 的面积等于CAO 的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积．∵22112(2)222y x x x =−=−−， ∴顶点坐标为C （2，－2）．∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B ． 8. 【答案】C【分析】假设1AB =，则1BP x =−，然后根据AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆求出y 关于x 的函数关系式即可得到答案．【详解】解：假设1AB =，则1BP AB AP x =−=−， ∴AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆22211222222x x πππ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−⨯−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221888x x x πππ−+=−−244x x ππ=−+，故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y 关于x 的函数关系式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】21y x =+（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为21y ax =+． ∵开口向上， ∴0a >即可．令1a =，则抛物线的解析式为21y x =+． 故答案为：21y x =+（答案不唯一）． 10.【答案】 ①.14（答案不唯一）． ②. 1（答案不唯一）． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．先化为顶点式，求出顶点坐标，再利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．【详解】解：22224b b y x bx a x a ⎛⎫=++=++− ⎪⎝⎭， ∴该二次函数的顶点坐标为2,24b b a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭．∵该二次函数的顶点在x 轴上，∴204b a −=，∴24a b =． 当1b =时，14a =． 故答案为：14，1（答案不唯一）． 11. 【答案】>【分析】将A ，B 两点代入抛物线，求出对应的y 值即可．【详解】当3x =−时，21524y x x =−=；当2x =时，2256y x x =−=−；∵246>−，∴12y y >．故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键．12. 【答案】13x =−，21x =【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x 轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为()3,0−，即得出其相关一元二次方程的的解为13x =−，21x =．【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为()1,0，∴该二次函数与x 轴的另一个交点为()3,0−，∴方程()200ax bx c a ++=≠的解为13x =−，21x =．故答案为：13x =−，21x =．13. 【答案】1−【分析】把x =0代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．【详解】解：把0x =代入方程，得：210m −=，∴1m =±，∵10m −≠，∴1m ≠，∴1m =−；故答案为：1−.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.14. 【答案】2x <−或8x >【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：抛物线与直线交点坐标为(2,4)A −，(8,2)B ，2x ∴<−或8x >时，抛物线在直线上方，∴使12y y >成立的x 的取值范围是2x <−或8x >．故答案为：2x <−或8x >15. 【答案】y ＝（60﹣x ）（300+20x ）【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.【详解】由题意可得，()()6030020=−+y x x .故答案为：()()6030020=−+y x x .【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式. 16. 【答案】（1）、（3）、（4）【分析】根据表格可得到函数的对称轴，再判断出函数的开口方向，与y 轴的交点、顶点坐标，再根据函数的图像与性质即可一一判断.【详解】（1）函数的对称轴为：x ＝12（0＋3）＝32， 对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a ＜0，x ＝0，y ＝3＝c ＞0，故（1）正确，符合题意；（2）函数的对称轴为x ＝32，故（2）错误，不符合题意； （3）ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0，则ax 2＋bx ＋c ＝x ，当x ＝3时，ax 2＋bx ＋c ＝3，故（3）正确，符合题意；（4）由（3）知，3是方程ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1， 故当−1＜x ＜3时，ax 2＋（b−1）x ＋c ＞0，故（4）正确，符合题意；故答案为：（1）、（3）、（4）．，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先计算零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，再进行加减运算即可．【详解】解：()031π−+11=+=18. 【答案】121,3x x ==【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：243x x =−，2430x x −+=，()()130x x −−=，即10x −=或30x −=，解得121,3x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19. 【答案】（1）1O（2）见解析【分析】（1）分别作1AA 、1BB 的中垂线m 、n ，两者的交点即为所求；（2）作出点C 绕点1O 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；【小问1详解】解：如图，根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点1O ，【小问2详解】如图所示，111A B C 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．20. 【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得60BAC ︒∠=，AB AC =，再由旋转的性质，可得60DAE ︒∠=，AE AD =，从而得到EAB DAC ∠=∠，再证EAB ≌()DAC SAS 即可；（2）根据题意可得EAD 为等边三角形．可得60AED ︒∠=，根据三角形全等可得105AEB ADC ︒∠=∠=，然后利用两角之差即可求解．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，AB AC =．线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，60DAE ︒∴∠=，AE AD =．BAD EAB BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠．EAB DAC ∴∠=∠．在△EAB 和△DAC 中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAB ∴≌()DAC SAS ．()2解： 60DAE ︒∠=，AE AD =，EAD ∴为等边三角形．60AED ︒∴∠=， EAB ≌DAC △．105AEB ADC ︒∴∠=∠=．∴∠BED =∠AEB -∠AED =105°-60°=45°，45BED ︒∴∠=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21. 【答案】（1）32m <且1m ≠；（2）11x =，21x =− 【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m ＝0，可得方程2220x x −++=，利用因式分解法求解可得．【详解】．解：（1）关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根， 10m ∴−≠，即1m ≠．又128m ∆=−，0∴∆>，即1280m −>． 解得32m <． m ∴的取值范围是32m <且1m ≠． （2）在32m <且1m ≠的范围内，最大整数m 为0． 此时，方程化为2220x x −++=．∴方程的根为11x =+，21x =【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．22. 【答案】（1）223y x x =+−，顶点坐标(1,4)−−（2）与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，()1,0，画图象见解析（3）3x <−或1x >（4）40y −≤≤【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键．（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标；（2）令0y =，求出x 的值，即得出该函数图象与x 轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可；（3）求当0y >时，x 的取值范围，即求函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，结合图象可直接得出结果；（4）结合图象可直接得出结果．【小问1详解】解：将 ()2,3−−，()1,4−−，()0,3−代入()20y ax bx c a =++≠， 得：34243a b c a b c c −=−+⎧⎪−=−+⎨⎪−=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的表达式为()222314y x x x =+−=+−，∴这个二次函数图象的顶点坐标为(1,4)−−；【小问2详解】解：对于223y x x =+−，令0y =，则2230x x +−=，解得：13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，(1,0)．画出此二次函数的图象如下： 【小问3详解】解：由图可知，当0y >时，x 的取值范围是3x <−或1x >；【小问4详解】解：由图可知，当21x −≤≤时，y 的取值范围是40y −≤≤．23. 【答案】（1）见解析 （2【分析】（1）证∠EDF =90°，∠CED =90°，再由∠DFC =90°，即可得出结论；（2）证△ACD 是等边三角形，得∠ACD =60°，AC =AD =2，则AE =CE =1，再由勾股定理得DE ，然后由三角形中位线定理得BC =2DE =【小问1详解】解：证明：∵DE 平分∠ADC ，DF 平分∠BDC ，∴∠ADE =∠CDE =12∠ADC ，∠CDF =12∠BDC ， ∴∠CDE +∠CDF =12（∠ADC +∠BDC ）=12×180°=90°， 即∠EDF =90°，∵AD =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠CED =∠AED =12×180°=90°， 又∵∠DFC =90°，∴四边形CEDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形CEDF 是矩形，∴∠CED =∠ECF =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-30°=60°，DE ⊥AC ，∵AD =DC ，∴CE =AE ，△ACD 是等边三角形，∴∠ACD =60°，AC =AD =2，∴AE =CE =1，∴DE =∠DCB =∠ECF -∠ACD =90°-60°=30°，∴∠DCB =∠B ，∴DB =DC =AD ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BE =，即BE【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）141.5m =，70%n =（3）“女生” （4）149人【分析】（1）利用抽取女生的总人数和女生跳绳次数频数分布直方图中的数据，求出成绩在130140x ≤<之间的人数即可；（2）利用中位数的定义求m ，利用八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数除以女生总人数求n ；（3）将这名学生的成绩与男生、女生成绩的中位数比较即可；（4）利用样本估计总体的方法解决．【小问1详解】解：女生成绩在130140x ≤<之间的人数为：20112261115−−−−−−−−=，补全后的频数分布直方图如下图所示：【小问2详解】解：由男生1分钟跳绳次数频数分布直方图和140150x ≤<这一组的数据可知，20名男生中，成绩从低到高排序，第10位和第11位的成绩分别是141，142， 因此男生组的中位数：141142141.52m +==； 女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数为：5611114++++=， 因此女生组的优秀率：14100%70%20n =⨯=， 故141.5m =，70%n =；【小问3详解】解：这名学生的成绩140小于男生组的中位数141.5，大于女生组的中位数138，因此该生属于“女生”，故答案为：“女生”；【小问4详解】解：由已知和（2）的结论知男生组的优秀率为65%，女生组的优秀率为70%，10065%12070%6584149⨯+⨯=+=（人）， 因此估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．【点睛】本题考查统计相关知识，掌握频数分布直方图、中位数的定义和应用，以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．25. 【答案】（1）()2.54，，()28 2.5425y x =−−+ （2）①2.1；②第一次 【分析】（1）由表格中的数据可得篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，，设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+，将()02，代入函数解析式，求出a 的值即可得到答案； （2）①令0x =，求出y 的值即可得到答案；②分别令3y =，计算出x 的值，进行估算，并进行比较即可得到答案．【小问1详解】解：由表格中的数据可得：篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，， 设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+， 将()02，代入函数解析式得：()20 2.542a ⨯−+=， 解得：825a =−， ∴篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：()28 2.5425y x =−−+； 【小问2详解】解：①根据题意得：当0x =时，()250 2.4 4.5 2.112y =−⨯−+=， ∴小明同学第一次投篮的出手点高度为2.1m ，故答案为：2.1； ②在()25 2.4 4.512y x =−−+中，令3y =，则()25 2.4 4.5312x −−+=，解得：1 2.45x =−，2 2.45x =+，在()25 2.1412y x =−−+中，令3y =，则()25 2.14312x −−+=，解得：1 2.15x =−，2 2.15x =+，310 2.4 4.35+≈，2.1 3.65+≈，且当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离4.2m ，∴第一次投中，故答案为：第一次．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．26. 【答案】（1）2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；（2）3a ≥或1a ≤−． 【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =−+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当2x a =+时，代入计算，解不等式即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y x ax b =−+经过点()11，，∴112a b =−+，∴2b a =，∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−， ∴抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；【小问2详解】 解：∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−，∴抛物线的对称轴为直线x a =，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且12a x a −≤≤+，∴当2x a =+时，()22222421y a a a a a a =+−+−=+−≤最大，即2230a a −−≥，∴()()310a a −+≥， ∴3010a a −≥⎧⎨+≥⎩或3010a a −≤⎧⎨+≤⎩， 解得3a ≥或1a ≤−．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．27. 【答案】（1）补图见解析（2）证明见解析 （3）2222CE AE EP +=，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）根据题意画图即可；（2）设BE 与DP 交于点M ，分别证明M 、D 为BE 、AB 中点，利用中位线可证；（3）过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，先证CBN CAE △≌△，得CN CE =，推出45CEN ∠=︒，再证CPD EAC △≌△，推出CD EC =，推出BC ==，再证EP BP =，最后在Rt CBP △中，利用222BC CP BP +=求证．【小问1详解】解：补全图形如图：【小问2详解】解：如图，设BE 与DP 交于点M∵点B 与点E 关于直线DP 对称，∴DP BE ⊥，BM EM =，∵AC BC =，CD AB ⊥，∴AD BD =，∴M ，D 分别为,BE AB 的中点∴DM AE ∥，即：AE DP ∥；【小问3详解】解：2222CE AE EP +=，证明如下：如图，过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACN BCN ACN ACE ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCN ACE ∠=∠，∵90CBN CTB CAE ATE ∠+∠=∠+∠=︒，CTB ATE ∠=∠，∴CBN CAE ∠=∠，又∵CB CA =，∴()ASA CBN CAE ≌，∴CN CE =，∴45CEN CNE ∠=∠=︒，∴135AEC AEB CEN ∠=∠+∠=︒，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，∴45BCD CBD ∠=∠=︒，AD ，∴BC =，135PCD PCB BCD ∠=∠+∠=︒，∴AEC PCD ∠=∠，∵90PCQ BMQ ∠=∠=︒，∴90CPD CQP NBC BQM ∠+∠=∠+∠=︒，∵CQP BQM ∠=∠，∴CPD NBC ∠=∠，∴CPD CAE ∠=∠，又∵CP AE =，∴()ASA CPD EAC ≌，∴CD EC =，∴BC =，∵DP BE ⊥，BMEM =，∴EP BP =，在Rt CBP △中，222BC CP BP +=，即：)222AE EP +=，即：2222CE AE EP +=．28. 【答案】（1）①23,P P ；②223M x −≤<−（2）0m <或8m >【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；②根据题意画出24y x =+，结合定义可知当M 与点B 重合时M x 取得最小值，与直线AC 相交时，M x 取得最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．【小问1详解】当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C −，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C −，()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC −的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC −的“相关点”当M 与点()2,0B −重合时，此时M x 取得最小值，为2−，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =−⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =−+联立224y x y x =−+⎧⎨=+⎩解得2383x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23− 223M x ∴−≤<− 【小问2详解】点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨−+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=−+⎩，12e f m =−⎧⎨=+⎩ ∴直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()23,1F m −−， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m −=−−+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()25,1F m −−，代入直线AC 解析式，可得()1252m m −=−−++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，0m <或8m >．【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．。
2024-2025学年广西南宁二中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年广西南宁二中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z =1+ii ，其中i 为虚数单位，则|z|=( )A. 12B.22C.2 D. 22.已知向量a =(1,3)，b =(t,1)，若(a−b )//b ，则实数t 的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10−S 3=35，a 3+a 10=7，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.函数f(x)=x 3+e x −ax 在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin (x +π2)，g(x)=cos (x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y =f(x)⋅g(x)的最小正周期为πB. 函数y =f(x)⋅g(x)的最大值为12C. 函数y =f(x)⋅g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x)−1为奇函数，f(x +2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知直线l 经过A ，B 两点，则l 的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．已知圆C 的方程是2242110x y x y ++--=，则圆心C 的坐标是（ ） A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()4,2-D ．()4,2-3．在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点.若1,,AB a AD b AA c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则AM u u u u r等于（ ）A ．12a b c ++r r rB ．12a b c -+r r rC ．111222a b c ++r r rD ．111222a b c -+r r r4．两平行直线1l ：20x y -=，2l ：240x y -+=之间的距离为（ ）AB ．3C D ．5．曲线y =x 轴围成区域的面积为（ ） A ．4πB ．2πC ．πD ．π26．已知平面α的一个法向量(1,1,2)n =-r，(0,1,2)A 是平面α内一点，(2,1,4)P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离是（ ）A ．B ．CD ．37．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线1y kx =-上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U8．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA 2BC BO =u u u r u u u r，M 为棱11B C 上的动点，N为线段AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的最小值为（ ）A ．2BC D二、多选题9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）A ．若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面B ．若0a b ⋅>r r ，则a r ，b r 的夹角是锐角C ．不相等的两个空间向量的模可能相等D ．若a r，b r 是两个不共线的向量，且(,c a b λμλμ=+∈R r r r 且0)λμ⋅≠，则{},,a b c r r r 构成空间的一个基底10．已知直线1:30l ax y a +-=，直线2:2(1)60l x a y +--=，则（ ）A ．当3a =时，1l 与2l 的交点为(3,0)B ．直线1l 恒过点(3,0)C ．若12l l ⊥，则13a =D ．存在a ∈R ，使12l l ∥11．“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形2216x y +=，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）A ．黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界所在圆的方程为()2224x y +-= B ．直线780x y -+=与白色部分有公共点C ．点(),P x y 是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则3x y -的最大值为4D ．过点()3,1M 作互相垂直的直线1l 、2l ，其中1l 与圆2216x y +=交于点A 、C ，2l 与圆2216x y +=交于点B 、D ，则四边形ABCD 面积的最大值是22三、填空题12．若直线l 与直线122y x =-+垂直，且它在y 轴上的截距为4，则直线l 的方程为． 13．圆222:1O x y +=和圆()()222:4316C x y -+-=的公切线的方程为. 14．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB CD ∥，且==90BAP CDP ∠∠︒，若PA PD AB DC ===，=90APD ∠︒，则平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值为．四、解答题15．已知直线:210l x y -+=与22:420C x y x y a +-++=e 交于A ，B 两点． (1)求线段AB 的垂直平分线的方程； (2)若AB 4=，求a 的值．16．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO 是圆锥的高，AB 是圆锥底面的一条直径，2PO =，1OA =，C 是»AB 的中点．(1)求直线BC 与PA 所成角的余弦值； (2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．17．在平行四边形ABCD 中，()1,1A --，()1,3B ，()7,5D . (1)若圆E 过A ，B ，D 三点，求圆E 的方程； (2)过点C 作圆E 的切线，切点为M ，N ，求MN .18．如图，四边形ABCD 是直角梯形，//,,22,AB CD AB BC AB BC CD E ⊥===为BC 的中点，P 是平面ABCD 外一点，1,,PA PB PE BD M ==⊥是线段PB 上一点，三棱锥M BDE -的体积是19.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角M DE A --的余弦值.19．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与y 轴正半轴相切，且截直线:20l x y -=所得的弦长为4.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点()5,1B -，M 为线段AB 上一点且满足3AM MB=，记点M 的轨迹为曲线E.①求曲线E的方程，并说明曲线E的形状；②在直线l上是否存在异于原点的定点T，使得对于E上任意一点P，PTPO为定值，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.。
10月月考模拟试卷(试题)-2024-2025学年六年级上册数学人教版
10月月考模拟试卷（1~3单元）（试题）-2024-2025学年六年级上册数学人教版一、单选题（共5题，共10分）1．小明从家出发，步行去少年宫。
行走路线描述正确的是（ ）。
A ．向东北方向行走400米B ．向西南方向行走400米C ．向东北方向行走1200米D ．向西南方向行走1200米2．下面的算式中，计算结果最大的是（ ） A ．415×(56+38)B ．415÷(56+38)C ．415×(56−38)D ．415÷(56−38) 3．一辆汽车从甲地到乙地，已经行驶了全程的25，这时距离终点还有225千米。
已经行驶了（ ）千米。
A ．100B ．120C ．150D ．2004．甲乙两根绳子的长度都是10米，当甲绳剪去310，乙绳剪去310米，剩下部分比较，哪根长？（ ）A ．甲绳剩得长B ．乙绳剩得长C ．剩下的一样长D ．无法比较5．在献爱心活动中，同学们纷纷献出自己的爱心。
果果捐出了自己零花钱的13，优优捐出了自己零花钱的12，他俩相比，( )。
A ．果果捐的零花钱多B ．优优捐的零花钱多C ．他俩捐的零花钱一样多D ．无法比较谁捐的零花钱多6．7÷67+67÷7=6+6=12 （ ） 7．一个数的倒数一定比这个数大。
（ ）8．a 、b 、c 均为非0的自然数，且a ×75＝b ×25＝c ÷56，则b 是最小的数。
（ ）9．如果学校在小明家的东偏北30°方向，那么小明家就在学校的北偏东30°的方向。
（ ） 10．利惠达超市某种商品的价格是200元，元旦期间降价110，后来又涨了110，现价和原价相等。
（ ）三、填空题（共5题，共18分）11．一根绳子长 12m ，如果每23m 截一段，可以截 段。
12．一个足球原价80元，现价降低15。
这个足球现价是 元13．比4m 多25m 是 m ，比4m 多25是 m 。
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杨柳井乡初级中学2014——2015学年度第一学期10月份月考
八年级各班 数学 水平测试试卷
(全卷有三个大题，共23个小题，共4页，满分100分，考试用时120分钟) 班级 学号 姓名 得分_________
一、精心选一选（本大题共9个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分27分）
1、16的算术平方根是（ ）
A.4
B.±4
C.2
D.±2 2、估算331-的值（ ）
A ．在2和3之间
B ．在3和4之间
C ．在4和5之间
D ．在5和6之间
3、如图所示，图中不是轴对称图形的是( )
4、下列数中是无理数的是（ ）
A ．3
1
B ．9-
C ．0.4102∙
D ．2
5、如图，AB 与CD 交于点O ，OA ＝OC ，OD ＝OB ，∠A=50°，∠B ＝30°， 则∠D 的度数为（ ）
A ．50°
B ．30°
C ．80°
D ．100°
6、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．（1，-2）
B ．（-1，-2）
C ．（-1，2）
D ．（2，-1）
7、下列式子中，正确的是（ ）
A ．35-＝－35
B ．－6.3＝－0.6
C ．2
)13(- ＝－13 D ．36＝±6
O D
C
B
A
第5题
8、如图，△ABC 中，∠B =60o
，AB=AC ，BC =3，则△ABC 的周长为（ ）
A ．9
B ．8
C ．6
D ．12 9、点 P （-3，4）到x 轴、y 轴的距离分别是（ ） A ．-3，4
B ．4，3
C ．3，4
D ．4，-3
二、细心填一填（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分）. 10、比较各组数的大小，25_______53，310- 1.
11、化简
=3
1
. 12、在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴对称的点A ’
的坐标为（－2，7），则点A 的坐标为_______
13、5的相反数是________,π3的倒数是 , 的绝对值是3. 14、某轮船由西向东航行，在A 处测得小岛P 的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B 处测得小岛P 的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P 的距离BP = 海里. 15、如图，在ABC ∆中，=∠ABC 90°，分别以BC 、AB 、
AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S .若4S 2=，
6S 3=，则=1S .
16、在平面直角坐标系中，点A （2，-3）在第 象限. 三、耐心解一解（共52分）
17、（本题有3个小题，每小题5分，共15分)求下列各式中x 的值： （1）81
42
=x （2）()02723=+-x （3）051283
=-x
C
A
B 第8题
7560东
北P
B
A
第14
A
B C
2
S 3
S 1
S 第15
18、（本题5分）计算：122432+--
19、（本题5分）计算:0|2|(12)4--++
20、（本题6分）如图，在ABC ∆中，5=AB cm ，6=BC cm ，BC 边上的中线4=AD cm ，试判断ABC ∆的形状.
21、（本题6分）把下列各数填在相应的大括号内：0，3，32-，∙3.0，-6，0.8，4
π
，1.212121…，3
1
，1.020020002…（相邻两个2之间依次多一个0）. 有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …}
A
B
D
C
第20题
22、（本题6分）如图：四边形ABCD 中，AB=CB=2，CD=5，DA=1，且AB ⊥CB 于B .试求：
（1）∠BAD 的度数；
（2）四边形ABCD 的面积.
23、（本题9分）如图所示，ABC ∆在正方形网格中，若点A 的坐标为)5,0(，按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点B 和点C 的坐标；
（3）作出ABC ∆关于x 轴的对称图形'''C B A ∆.(不用写作法)
第23题。