1.2.1函数的概念第二课时
必修1课件1.2.1-2 函数的概念 (二)
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变 量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通 常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个 函数. 4．复合函数：设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，
则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11为复合函数.
2
a2
实数a 的取值范围(0,2].
复合函数
例如、y f (u ) u 2 , u R u g ( x) 2 x 1, x R 则y f [ g ( x)] (2 x 1) , x R.
2
例4．已知
f ( x) 的定义域为[-1,3]，
的定义域。 解：∵f(x)的定义域为[-1,3]，∴ 1 ∴
例2、求函数 y x 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得 ( x 2) 2 y xR y 2
2
函数的值域为 y | y 2} {
7 7 ∴函数的定义域为： , ) ( , ) ( 3 3
例3. 若函数
1 y ax ax 的定义域是R， a
2
求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,
1 ∴ ax ax 0恒成立， a a0 0 1 等价于 2 a 4a 0 a
例6．已知y=f(x+1)的定义域为[1,2]，求f(x)，f(x-3) 的定义域。 解：∵y=f(x+1)的定义域为[1,2]， 即f(x)的定义域为[2,3] 又∵f(x)的定义域为[2,3]， ∴ ∴
∴ 2 x 1 3
2 x3 3
3.1.2函数的概念(第二课时)课件高一上学期数学人教A版
80x(0≤x≤5).
其中表示同一函数的是________(填序号).
例题巩固
解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同， 不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与 g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故 是同一函数. 答案 ⑤
函数的概念 （第二课时）
知识回顾
函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它
对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集 合B的子集．
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
课堂小结
1．构成函数的三要素： 定义域，对应关系和值域． 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函
数是同一个函数．
2．求函数定义域的依据 1）分式中分母不为零； 2）偶次根式内的式子不小于零； 3）0的0次方无意义； 若某函数是由多个函数通过加、减、乘运算构成的新函数，则该函数
例题巩固
规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与 值域都相同，也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没 有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.
例题巩固
【训练2】 (1)下列各组函数是同一函数的是( )
1.2.1函数的概念(2)
x2 1 A、f ( x) 与g ( x) x 1 x 1
B、f ( x) 2 x 3 与g ( x) x 2 x C、f ( x) x与g ( x) ( x ) 2 D、f ( x) x 2 2 x 1与g (t ) t 2 2t 1
练习 、函数f ( x) 1
( x 1) 0 x x
的定义域为 C ) (
x A、 | x 0
B、x | x 1} { D、x | x 0} {
C、x | x 0, 且x 1} {
1 练习2、已知f ( x) , 则函数f f ( x)的定义域为( C ) x 1 A、 | x 1} {x B、 | x -2} {x C、 | x 1, 且x -2} {x D、 | x 1, 或x -2} {x
5 例3、函数 y 2 的值域为( D ) 2x 4x 3 A、 (-∞,5］ B、 (0,+ ∞)
C、［5,+ ∞)
D、(0,5]
练习、函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( C ) A、(-∞,2］ C、［2,4］ B、(-∞ ,4］ D、［2, +∞)
例4、求函数 y x 2x 1 的值域
已知复合函数定义域求原函数定义域 已知f[g(x)]的定义域为D，则f(x)的定义域为 g(x)在D上值域。 例如、若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则 y=f(2x-1)的定义域是（ A ）。
A、[0，5/2]
C、[-5，5]
B、[-1，4]
D、[-3，7]
三、函数的值域
函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
1.2.1函数的概念2
④ 实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞）， “∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”， “+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x≥a,
x>a, x≤b, x<b的实数x的集合分别表示为 [a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。
3 .小结
1．区间的概念 2. 函数的值域： 3．关于求解析式：
请同学们认真完成相关的课后强化作业!!
复习回顾
1．函数的定义及三要素 2. 初中已学函数的定义域、值域 3. 定义域,函数的值和值域 4. 函数的三要素判断同一函数
1. 区间பைடு நூலகம்概念 设a、b是两个实数，且a<b，规定：
（1）满足不等式 a x b
的实数的x集合叫做闭区间，表示为[a,b];
（2）满足不等式 a x b
的实数的x集合叫做开区间，表示为(a,b)；
2. 关于求值域：
例1、求下列函数的值域
(1) y=3x+2(-1≤x≤1)
(2) y x2 4x 1, x [0,5]
(3) y 2x 4 1 x
3. 关于求解析式：
例2、 (1)已知f(x)为一次函数，且f(x+1)+f(x)=5x+8,求f(x) (2)已知f(2x+1)=6x+5,求f(x) (3)f(x)+2f(-x)=5x,求f(x)
（3）满足不等式 a x b 或 a x b
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b), (a,b] ；
1.2.1函数的概念
1.2.1函数的概念1、下列（1）、（20、（3）是否满足函数定义(1) 若物体以速度v 作匀速直线运动，则物体通过的距离S 与经过的时间t 的关系是S = vt .(2) 某水库的存水量Q 与水深（3） 设时间为t ，气温为T (0点到半夜24点的温度曲线如下图.2、 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x D ．对于不同的x ，y 值也不同3、 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4、 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = ，f (–1) = .5、 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ ）20151050 6 12 18 24℃1.2.1函数的概念（第二课时函数的三要素）1、求下列函数的定义域.（1）1()2f x x =-；（2）()f x =；（3）1()2f x x=-.2、（1）已知f (x ) = 2x + 3，求f (1)，f (a )，f (m + n )，f [f (x )].（2）①已知f (x ) = x 2 + 1，则f (3x + 2) = ；②已知f (x ) = 2x 3 – 1，则f (–x ) = .（3）已知函数f (x ) =1,(0),(0)0,(0)x x x x π+>⎧⎪=⎨⎪<⎩，则f {f [f (–1)]} = .（4）在函数f (x ) =22,(1),(12)2,(2)x x x x x x +≤-⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩中，若f (x ) = 3，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32 C．±3、 求下列函数的定义域（1）2112y x =-+； （2）224x y x -=-； （3）1||y x x =+；（4）2y ； （5）1||3y x -； （6）y =(a 为常数).4、（1）已知函数f (x )的定义域为(0, 1)，求f (x 2)的定义域.（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x )的定义域.（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x 2 – 2)的定义域.。
《函数的概念》第二课时参考课件全文
f(2)+f(-2)=2828=0
2．已知函数f(x)=3x3+2x, (1) 求f(2)、f(-2)、f(2)+f(-2)的值； (2) 求f(a)、f(-a)、f(a)+f(-a)的值； (3) 你从（2）中发现了什么结论？
(1) y=( x)2 (3) y= x2
(2) y=3 x
(4)
y=
x32 x
解： 函数y=x(x∈R)。 Nhomakorabea(4) 函数
y=
x2 x
=x(x≠0)
这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同， 所以这两个函数不相等。
1．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由： (1) 表示导弹飞行高度h与时间t关系的函数
(2) 使根式 1有-x意义的实数集合为{x|x≤1}；
使根式 有x+意3义的实数集合为{x|x≥-3}；
所以定义域为：[-3，1]。
2．已知函数f(x)=3x3+2x, (1) 求f(2)、f(-2)、f(2)+f(-2)的值； (2) 求f(a)、f(-a)、f(a)+f(-a)的值； (3) 你从（2）中发现了什么结论？
这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同， 所以这两个函数不相等。
例2：下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
(1) y=( x)2 (3) y= x2
(2) y=3 x
(4)
y=
x32 x
解： 函数y=x(x∈R)。
(2) 函数 y=3 x =x(x∈R) 3
这两个函数的对应关系相同，定义域也相同， 所以这个函数与函数y=x(x∈R)相等。
函数的概念(第二课时)教案(人教A版)
1.2.1 函数的概念第二课时 函数概念的应用A 【教学目标】1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。
B 【教学重难点】教学重点能熟练求解常见函数的定义域和值域．教学难点对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．C 【教学过程】1、创设情境下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数？为什么？（1）f (x )＝ (x －1) 0；g(x )＝1 ； （2） f (x )＝x ；g(x )＝x 2；（3）f (x )＝x 2；g(x )＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f (x ) ＝|x |；g(x )＝x 2．2、讲解新课总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同3、典例例1 求下列函数的定义域：（1）11+⋅-=x x y ； （2）232531x x y -+-=；分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解 ： （1）由⎩⎨⎧≥+≥-,01,01x x 得⎩⎨⎧-≥≥,1,1x x 即1≥x ，故函数11+⋅-=x x y 的定义域是1[，)∞+．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠-,05,0322x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠,55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3， 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}．点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：① 分式中，分母不等于零．② 偶次根式中，被开方数为非负数．③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．变式练习1求下列函数的定义域： （1）x x x y -+=||)1(0；（2）x x x y 12132+--+=．解 （2）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0是{x |x <0，且x ≠1-}． （4）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠<-≥0,2,23x x x ∴23-≤x ＜2，且x ≠0， 故函数的定义域是{x |23-≤x ＜2，且x ≠0}．说明：若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ，在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f ：AB 而言，如果如果值域是C ，那么B C ⊆，因此不能将集合B当成是函数的值域．我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f (x )=(x -1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；（2）f (x )=( x -1)2+1．解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f (-1)= 5，f (0)=2，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．（2）函数的定义域为R ，因为(x -1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1}点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．变式练习2 求下列函数的值域：（1）642+-=x x y ，1[∈x ，)5； （2）113+-=x x y ；解：（1）2)2(2+-=x y ． 作出函数642+-=x x y ，1[∈x ，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y ≤y ＜}11．（2）解法一：14)1(3+-+=x x y 143+-=x ，显然14+x 可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． 解法二：把113+-=x x y 看成关于x 的方程，变形得(y －3)x ＋(y ＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x |x ≠－1｝内有解的条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －3≠0，－y ＋1y －3≠－1，解得y ≠3，即即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． 点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．4、 课堂小结（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y 的取值范围．。
1.2.1.2 函数的概念(第二课时)学案设计
1.2.1 函数的概念(第二课时)一、教材分析：1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。
通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用 ，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、学习目标①掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.②启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.三、教学重点：进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.四、教学难点：符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．五、课时安排：1课时 六、教学过程（一）、自主导学（预习）1、设计问题,创设情境教师根据课堂需要，提出问题，合理引入新课（内容）：问题1:y=x 与y=xx 2是同一个函数吗? 两个函数不是同一个函数,主要是定义域不同.2、自主探索,尝试解决问题2:指出函数y=x+1的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分? ①函数y=x+1的构成要素为:定义域R ,对应关系x →x+1,值域是R.②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.问题3:分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.两个函数的定义域和对应关系分别相同,分别为R ,x →x+1,不同点是变量所用字母不同. 问题4:函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗?两个函数的值域相同,都是R.问题5:根据问题3和问题4的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?值域一定相同.提示学生并一起分析总结得出新的认识：两个函数只要定义域和对应法则相同，则这两个函数就相同（等）.3、信息交流,揭示规律函数相等的条件: 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. （二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导【例1】下列函数中哪个与函数y=x 相等?⑴2y = ⑵y =⑶y = ⑷2x y x=解：⑴2y =（0x ≥）与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．⑵y =（x R ∈）与y x =（x R ∈）不仅定义域相同，而且对应关系也相同，所以两个函数相等．⑶y =（x R ∈）与函数y x =（x R ∈）定义域相同，但是对应关系不同，所以两个函数不相等． ⑷2x y x=定义域是{x|x ≠0}，与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．【例2】已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x 的取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x≤1.(三)、当堂检测1、判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x -1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; ②y=4-x 2与y=2-x ·2x +; ③y=1+x 1与u=1+x1; ④y=x 2与y=x 2x ;⑤y=2|x|与y=⎩⎨⎧<-≥;0,2,0,2x x x x⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R ,后者的定义域是N ,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=⎩⎨⎧<-≥,0,2,0,2x x x x 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.2.求函数y=x x x --++11)1(2的定义域. 答案：{x|x ≤1,且x ≠-1}.3.函数y=x 2与S=t 2是同一函数吗?（四）、课堂小结提问并让学生回忆和总结，最后师生一起得出本节课所学习的内容及注意事项：（1）主要内容：初步介绍了①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。
【教案】1.2.1 第2课时 函数的定义域与值域-《新课程同步进阶(人教A版必修一》第一章集合与函数概念
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析：要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一 函数相等的判断[例1] 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3； (2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二 函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)0|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下， f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]． 解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}．(2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( A ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6，又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同． [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112.。
高中数学 1.2.1函数的概念(第2课时)课件 新人教A版必
前后整体范围一致
f (x 1)的定义域为 (0,2]
定义域就是指x的取值范围
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, ) 求f ( x )的定义域
2
f ( x )的定义域为[2,) 2
本课小结
• 复习并巩固了函数的概念
下列函数的定义域。
(1) f (2x 1) (2) f (1 x) f (x)
(1)[1,0] (2)[0,1]
可简要概括为：
１.定义域仅指x的取值；
２.对同一对应法则括号里的
整体范围一致
题型二：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f (x 1)的定义域为[1,1],
求f ( x )的定义域 2
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
解：f (2x 1)中0 x 1
定义域就是指x的取值范围
1 2x 11
f (x 1)中1 x 1 1 0 x 2
练：已知f ( x 3)的定义域为[4,9], 求函数f (x)的定义域。
f (x)的定义域为：[1,0]
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, )
函数的概念
1.2.1 函数的概念(2)
1.2.1 函数的概念（2）函数相等一、【学习目标】1、进一步理解函数的三要素；进一步熟悉区间的写法；2、深刻理解函数相等的含义，并会用此解决相关题目.【教学效果】：学习目标的出示，引起学生的学习兴趣.对于函数三要素的复习，起到了良好的作用.复习时引入一个实际函数有助于学生的理解.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，然后回答问题（函数相等）材料一：通过上一节课的学习，我们可以知道，构成一个函数的三要素是：定义域、值域和对应关系，譬如函数2)(x x f =的三要素为定义域：R ；对应法则：2x x →；值域：[]∞+，0 材料二：教材1.2.1 函数相等部分内容<1>指出构成函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应法则；指出二者的值域相同吗？由此你可以得出一个什么结论？<2>由题目<1>，你能理解函数相等的真正含义吗？结论：<1>函数y=x+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：x →x+1；函数y=t+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：t →t+1；二者的值域都是R ，相同；由此我们可以知道，两个函数若是定义域和对应关系完全相同，则两个函数的值域相同；<2>如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等.(引申：若两个函数的值域和对应法则相同，两个函数相等吗？你能说出原因吗？)【教学效果】:对于材料一和材料二，由于教学内容很艰涩，所以要注意领学.领学占主要部分，学生的自学，在这一节要占次要部分.教学中出现一些问题，譬如学生实在是搞不清楚到底为什么三要素相同函数就相等？为什么只要定义域和对应法则相同值域就确定？这些问题的出现都是很正常的，关键是要在习题课作辅导，通过练习，让学生逐渐的明白其中的含义.三、【练习与巩固】自学教材1.2.1 例2，做练习一、二练习一：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由 y=x-1，x∈R 与y=x-1，x∈N ；②y=4-x 2与y=2-x ·2x +；③y=1+x /1与u=1+x /1；④y=x 2与y=x 2x ；⑤y=f(x)与y=f(u).注意：两个函数是否相等，主要看函数的定义域和对应法则，若两个函数的值域明显不相同，则这两个函数肯定不相等.练习二：教材1.2.1 练习3.【教学效果】：对于第一个，学生们都能从定义域看出来，两个函数的定义域是不同的.但是对于第二个，学生们可能还是分的不是很清楚.要加强训练和锻炼.四、【作业】五、【小结】这节课主要讲了函数相等这一个数学内容，其中着重的复习了函数的定义域值域对应法则的相关知识.本节课的重点是理解定义，运用定义做题.但是由于刚刚的学习了区间的写法，应当注意的是引导学生多多的训练区间的写法，达到熟练的程度.六、【反思】有时候课堂上虽然学生很投入，但是还是有很多地方不能够理解.所以我们备课一定要备课堂、备学情，不能仅仅是备“课”而已.。
高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念第2课时函数的定义域与值域教案数学教案
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：12对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析： 要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．[例1] 下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3；(2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．(2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x. 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下，f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]．解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}． (2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6， 又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}．(2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同．[典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112.。
1.2.1函数的概念(2)
回顾3.函数 f ( x) 1 | x | 的定义域如何？怎 样表示？ 区间 问、 上述集合还有更简单的表示方法吗？
四、区间概念：
定义 名称 符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间 {x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等 式 怎样表示？ x a, x a, x a, x a 思考2：满足不等式 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合如何用 区间符号表示？ [a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
课题: 1、2、1函数的概念
第二课时
知识回顾
回顾1.什么叫函数？用什么符号表示函数？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 回顾2.什么是函数的定义域？值域？ 定的数f(x)和它对应， 自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.
五、复合函数 由简单函数复合而成 的函数叫做复合函数. 若y= f (u), u= g(x), 则y= f [g(x)],
例2. 已知 f －5x+2, g (x)=2x-1 求f(3), g(-1),f[g(1)],f[f(1)]. f [g(3)].
1.2.1函数的概念二
2、求函数的值域
1 (1) y 2 x
2
1 (2) y 1 x 1 x
(3) y x 4 x 2
变式1： y
变式2：
x 4x 2在1,2上的值域
2
y x 4x 2
2
4x 1 4 y 2x 3
• • • • • •
注意： （1）函数除用 f ( x ) 表示外，有时也常用 g ( x )， F ( x ) ，G ( x ) 等符号来表示. （2）当自变量 x 在定义域中任取一个确定的值 a 时，对应的函数值用符号 f ( a ) 来表示. 例如，函数 f ( x ) = x2 + 3x + 1，当 x = 2 时的函 数值为 f ( 2 ) = 22 + 32 + 1 = 11. （3）函数符号 y = f ( x ) 中的 f 表示对应法则， 不同的函数，f 的具体含义是不一样的 .
• •
（三）函数三大要素： 定义域，值域，对应法则是函数的三大要素，而 定义域和对应法则，是基本要素，因为函数的定义域 和对应法则确定以后，它的值域也就随之确定了. • 因此，在判定两个函数是否相同时，就要看定义 域和对应法则是否完全相同，完全相同时，这两个函 数才是同一个函数. 解决本课开始所提出的两个问题： （1） y = 1 (x R) 是不是函数？
3x 2 (5) y 2 x 1
2
再见
1 1 x x 1 ( 3 ) f ( x) x , f ( x) . 2 x
略解： （1）定义域不同，不是同一函数. （2）定义域不同，不是同一函数.
（3）是同一函数.
例 2 求下列函数的定义域：
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
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−1 < x ≤ 5
∴−3 < 2x −1≤ 9
∴ −3 < 2 − 5x ≤ 9
7 ∴ − ≤ x < 1 5
∴ f (2 − 5 x )的定义域是 [ − 7 ,1) 5
题型三： 已知函数的定义域，求含参数的取值范围
kx + 7 例 : 当 k 为何值时 , 函数 y = 的定义域是一切实数 2 kx + 4 kx + 3 kx + 7 的定义域为一切实数 , 可知 解: 由 y = 2 kx + 4 kx + 3
函数的概念
（第二课时）
要研究函数，我们必须了解 区间
区间： 是两个实数， 区间：设a,b是两个实数，且a<b，规定： 是两个实数 ，规定： 定义 名称 符号 几何表示 · ·b {x|a≤x ≤b} 闭区间 [a,b] a a {x|a<x<b} (a,b) 开区间 b · {x|a ≤x<b} 半闭半开区间 半闭半开区间[a,b) b a · {x|a<x ≤b} 半开半闭区间 半开半闭区间(a,b] a b
归纳小结： 求定义域的方法： 归纳小结： 求定义域的方法：
1常规求定义域的方法
（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R
（2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合 （3）二次根式时，则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合 (4) 如果f(x)是由几个数学式子构成时，那么函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。
分母 kx 2 + 4 kx + 3 ≠ 0 对 x ∈ R 恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成 立 3 ( 2)当 K ≠ 0时 : ∆ < 0, 解得 : 0 < k < 4
综上 (1), ( 2)知, 当0 ≤ k <
y=
3 时 4
kx + 7 的定义域是一切实数 2 kx + 4 kx + 3
1 3 {x ≤ x ≤ } 2 2
练习 2 : 若 f ( x )的定义域是 [0, 2 ], 求 f ( x 2 )的
∴− 2 ≤ x ≤ 2
故 : f x 2 的定义域是
( )
[−
2,
2]
(题型二) :已知f [g (x )]的定义域, 求f ( x)的定义域
2 、已知 f ( x )的定义域
3已知 f [g ( x )]的定义域
, 求 f [g ( x )]的定义域
, 求 f ( x )的定义域
4已知函数的定义域,
求 含参数的取值范围
例 题:
1 : 求函数 f ( x ) =
解:
x − 5x + 6 的定义域 x−2
2
x2 − 5x + 6 ≥ 0 依题有: x − 2 ≠ 0
解得:
x ≥ 3或 x < 2
x2 − 5x + 6 的定义域是 : { x x ≥ 3或 x < 2} x−2
∴ f ( x) =
练 习:
1 : 求函数 f ( x ) = 1 − x 2 + x 2 − 1的定义域 () ( A)[ −1,1]( B )( −∞,−1] U [1,+∞ ) (C )[0,1]( D ){−1,1}
2.复合函数求定义域的几种题型
题型(一) :已知f ( x)的定义域, 求f [ g ( x)]的定义域
例 2 .若 f ( x )的定义域是 [ 0, 2 ], 求 f ( 2 x − 1)的定义域
解: 由题意知:
0 ≤ 2x −1 ≤ 2
1 3 ∴ ≤ x ≤ 2 2
故 : f ( 2 x − 1 )的定义域是
R x≥a X>a x ≤b X<b (-∞,+ ∞) [a,+ ∞) (a,+ ∞) (- ∞,b] (- ∞,b)
1.求函数的定义域方法: 1.求函数的定义域方法: 求函数的定义域方法 （1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R （2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合 （3）二次根式时，则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合 (4) 如果f(x)是由几个数学式子构成时， 那么函数的定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合。
例3 :已知f (2 x − 1)的定义域( −1,5], 求f ( x)的定义域
解： 由题 意知:
−1 < x ≤ 5
∴ −3 < 2 x − 1 ≤ 9
∴ f ( x )的定义域为
(− 3, 9 ]
练习3:
已知 f ( 2 x − 1)的定义域 (− 1, 5 ], 求 f ( 2 − 5 x )的定义域