相交线
七年级数学下《相交线》概括
七年级数学下《相交线》概括
相交线是七年级数学下册的一个重要概念，主要研究两条直线在平面内相交形成的角度及其性质。
相交线有四个角，其中两对对顶角相等，邻补角互补。
当两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
此外，还有三线八角的性质，包括同位角、内错角、同旁内角等。
在解决实际问题时，需要灵活运用相交线的性质和垂直线的性质，如计算角度、判断线段的位置关系等。
同时，要注意相交线与平行线、三角形等其他几何概念的联系与区别。
综上所述，七年级数学下《相交线》主要讲述了相交线的定义、性质、应用等方面的内容，是初中数学几何知识的基础之一。
人教版七年级数学下册 5.1.1相交线 课件(共18张PPT)
变式2：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？ 解:设∠1=x°,则∠2=3x°
根据邻补角的定义,得 x+3x=180 所以 x=45 则∠1=45°
根据对顶角相等,可得 ∠3=∠1=45°
今天我们学了什么？
邻补角、对顶角概念 邻补角、对顶角性质
今天我们学了什么？
两直线相交
C
2
B
1
3
4
A
D
位置 特征
1、两直线相交，形成小于平角的角有哪几个？
2、以∠1和∠2为例分析这两个角存在怎样的
位置关系和大小关系？像这样的角还有哪些？
3、以∠1和∠3为例分析这两个角存在怎样的
位置关系？像这样的角还有哪些？
C
2
B
1 o3
4
A
D
动手画出两条相交直线
1、两条直线相交，形成的小于平角的角
有哪几个？
C
2
B
1
o3
4
A
1 2
（1）不是
1 2
（2） 是
1 2
（3） 不是
1
2
（4） 不是
2 1
（5）是
7、你能得到对顶角∠1和∠3的大小关系吗？
C
2
B
动动手：（1）、用量角器测
1
o3
量对顶角∠1和∠3，比较他们
4
的大小
A
D
（2）将对顶角∠1和∠3
进行翻折，比较它们的大小？
4、你能得到对顶角∠1和∠3的大小关系吗？
猜猜看：若直线CD绕点O转 C
例、如图,直线a、b相交，∠1=40°,求
∠2、∠3、∠4的度数。
b
解：由邻补角的定义可知 ∠2=180°-∠1
初中数学 什么是相交线
初中数学什么是相交线
相交线是指在平面上两条直线相交于一个点的情况。
下面我将详细介绍相交线的概念以及与之相关的性质：
1. 相交线的定义：
相交线是指在平面上两条直线相交于一个点的情况。
这个相交点是两条直线的公共点，也是这两条直线的交点。
2. 相交线的性质：
-两条相交线的交点是这两条直线上的点，也是这两条直线的公共点。
-相交线的交点将平面分成四个部分，分别是交点的四个象限。
-相交线的交点是两条直线的垂直平分线，即交点到两条直线的距离相等。
-相交线的交点是两条直线的角平分线，即交点将两条直线的夹角分成两个相等的角。
3. 相交线的应用：
相交线在几何学中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，相交线可以用于解决直线的交点、角的平分等问题；在图形的构造中，相交线可以用于定位和布局。
此外，相交线的性质也可以用于证明几何定理和推理。
需要注意的是，相交线是指两条直线在平面上相交于一个点的情况。
以上是有关相交线的概念和性质的介绍。
希望以上内容能够满足你对相交线的了解。
理解平面几何中的相交与平行线关系
理解平面几何中的相交与平行线关系相交与平行线关系是平面几何学中的重要概念。
在平面几何中，直线与直线可能会相交，也可能会平行。
本文将深入探讨相交与平行线的定义、性质以及相关的定理。
一、相交线的定义与性质相交线是指平面中两条线段或线的交点不为空的情况。
具体地说，如果两条线段、直线或射线在平面上存在一个交点，则它们是相交线。
相交线具有以下性质：1. 相交线上的交点只能有一个，即两条线不能在多个点相交。
2. 相交线可以有部分重合的情况，但至少有一个点是不重合的。
3. 相交线可以相交于任意位置，包括内部交叉、外部交叉以及重叠。
二、平行线的定义与性质平行线是指在平面内永远不会相交的两条线段或线。
具体地说，如果在平面上两条线段、直线或射线之间不存在任何交点，则它们是平行线。
平行线具有以下性质：1. 平行线上的两条线是平行的，它们的方向相同且永远不会相交。
2. 平行线之间的距离是相等的。
也就是说，从一条平行线到另一条平行线的垂直距离是恒定的。
3. 平行线可以在平面上任意位置平行延伸。
三、相交与平行线的关系相交与平行线是两种互斥的情况。
在平面几何中，两条直线要么相交，要么平行，不存在其他的可能。
在判断两条直线的相交与平行关系时，可以利用以下定理：1. 相交线与一条平行线永远不会平行。
2. 如果两条直线与一条第三条直线分别平行，那么它们之间要么相交，要么平行。
3. 如果两条直线与一条第三条直线分别平行，并且两条线间还有一组对应的内角或外角相等，则它们是相交线。
四、相交与平行线的应用相交与平行线在实际生活中有广泛的应用，尤其在建筑、地理、计算机图形学等领域中起到重要作用。
以下是一些实际应用的例子：1. 建筑设计中，相交与平行线的概念用于确定墙体、屋顶以及其他结构的位置和方向。
2. 地理学中，相交与平行线用于描述纬度线和经度线的关系，帮助确定地理位置和导航方向。
3. 计算机图形学中，相交与平行线的原理用于线段与多边形的相交检测以及线段的裁剪等问题。
初中数学 什么是相交线
初中数学什么是相交线相交线是指在平面上相交的两条线。
在平面几何中，我们可以通过两个基本概念来定义相交线：直线和交点。
直线是无限延伸的，由无数个点组成的连续直线。
它可以由两个点确定，也可以由方程表示。
直线具有无宽度和无厚度的特点。
交点是指两条线在平面上相交的点。
当两条线共享相同的点时，我们称之为交点。
交点可以是一个，也可以是无数个，或者不存在。
在平面几何中，相交线是指两条线在平面上形成的交点。
具体而言，相交线是两条直线在平面上的交点形成的线段。
当两条直线相交时，它们可以形成四个角，其中相对的两个角被称为互补角，它们的和为90度。
相交线可以具有不同的性质和特征。
根据相交线的关系，我们可以将其分类为以下几种情况：1. 相交垂直线：当两条直线相互垂直时，它们形成的交点线段是相交垂直线。
相交垂直线的特点是形成的角为90度。
2. 相交平行线：当两条直线相互平行但不重合时，它们形成的交点线段是相交平行线。
相交平行线的特点是形成的角不为90度。
3. 相交交叉线：当两条直线相交且形成的交点不在任一直线上时，它们形成的交点线段是相交交叉线。
相交交叉线的特点是形成的角既不为90度也不为180度。
相交线在几何学中具有重要的应用和意义。
它们可以帮助我们研究平面的性质和关系，解决各种几何问题，如求解角度、证明定理等。
通过研究相交线，我们可以深入理解几何学的基本原理和概念。
总结起来，相交线是指在平面上相交的两条线所形成的交点线段。
它们可以是相交垂直线、相交平行线或相交交叉线，具有不同的性质和特征。
相交线在几何学中有着广泛的应用，并能帮助我们解决各种几何问题。
相交线的性质和几何应用
相交线的性质和几何应用相交线是几何学中常见的概念，不仅有着重要的性质，还能在许多几何问题中得到应用。
本文将主要探讨相交线的性质以及在几何学中的一些应用。
一、基本性质相交线是指在平面上相交的两条线段、射线或直线。
首先，我们来讨论相交线的基本性质。
1. 相交线的位置关系：当两条线段相交时，其交点在两条线段的两个延长线段之间；当射线和线段相交时，其交点在射线的起点和线段的延长线段上；当两条射线相交时，其交点在两个射线的延长线段上；当两条直线相交时，其交点在两条直线上。
2. 相交线的夹角：相交线的夹角是指两条相交线之间的夹角。
根据夹角的大小，我们可以将相交线分为三种情况：相交线的夹角为锐角、直角或钝角。
这种性质在解决角度相关的几何问题时非常有用。
3. 相交线的长度关系：当两条相交线段及其延长线段相交时，我们可以根据线段长度的比较来判断相交线段的位置关系。
若两条线段相等，则交点在两条线段中间；若一条线段较长，则交点在较长线段的外侧；若一条线段较短，则交点在较短线段的内侧。
二、几何应用1. 证明几何定理：相交线在证明几何定理时起到关键作用。
比如，在证明“两角平分线相交于一点”的定理时，常常需要通过画两条角的角平分线，然后证明这两条角平分线相交于一点。
2. 解决几何问题：相交线可以用来解决许多几何问题。
比如，当我们需要构造一个平行于已知直线的直线时，可以通过画一条与已知直线相交的射线，然后测量出相同长度的线段，从而得到平行线。
3. 分析图形关系：相交线可以帮助我们分析图形之间的关系。
比如，在分析平行四边形时，我们可以通过相交线的性质来证明四个内角相等、对边平行等性质。
4. 求解几何问题：相交线可以用来求解几何问题。
比如，在解决三角形的面积时，我们可以通过画三角形的高，将三角形分为两个直角三角形，从而应用熟悉的面积公式来求解。
综上所述，相交线是几何学中重要的概念，具有许多重要的性质和应用。
通过研究相交线的性质，我们不仅能够深入理解几何学的基本概念，还能够应用它们来解决实际问题。
相交线知识点总结归纳
相交线知识点总结归纳一、基本概念1. 两条线的相交相交线是指当两条线在平面上交汇时的情况。
如果两条线相交于一个点，则称这两条线相交。
如果两条线永远不会相交，则称这两条线平行。
2. 交点两条线相交的点称为交点。
3. 直线直线是一条无限延伸的线段，在数学中用直线上任意两个点来确定直线。
4. 平行线平行线是指在同一平面上的两条直线，它们的方向完全相同，永远不会相交。
5. 垂直线垂直线是指两条直线在相交点的交角为90°的情况。
二、相交线的交角关系1. 同位角同位角是指两条直线被一条直线所切割时，同位于两条直线的同侧的两个内角或外角。
2. 内错角内错角是指两条直线被一条直线所切割时，相对的两个内角。
3. 互补角互补角是指两个角的和为90°的角。
4. 补角补角是指两个角的和为180°的角。
5. 相对角相对角是指两条平行线被一条截线所切割时，相对的两对内角或外角。
6. 交错角交错角是指两条平行线被一条截线所切割时，相对的交错的内角。
三、平行线与角的关系1. 同位角内错角对应角当两条平行线被一条截线相交时，同位角、内错角和对应角都相等。
2. 同位角性质同位角的性质是指同位角是交错角的对应角，并且同位角的和为180°。
3. 内错角性质内错角的性质是指内错角的和为180°。
4. 对应角的性质对应角的性质是指两条平行线被一条截线所切割时，对应角相等。
5. 交错角性质交错角的性质是指交错角相等。
四、平行线的判定方法1. 定理一如果两条直线被一条第三条直线所切，使得同位角相等，则这两条直线是平行线。
2. 定理二如果两条直线被一条第三条直线所切，使得内错角相等，则这两条直线是平行线。
3. 定理三如果两条直线被一条第三条直线所切，使得对应角相等，则这两条直线是平行线。
4. 定理四如果两条直线被一条第三条直线所切，使得交错角相等，则这两条直线是平行线。
五、应用题1. 平行线的应用平行线的知识在日常生活中有很多应用，比如在建筑工程中，为了保证建筑物的结构稳定，需要使用平行线的原理来设计和施工。
《相交线》课件
利用平行线性质作图
总结词
操作复杂，适用于特定情况
详细描述
利用平行线的性质，通过平移、旋转等方法进行作图。这种方法操作较为复杂，适用于 需要绘制特定形状的相交线。
05
相交线的定理与证明
对顶角相等定理
总结词
对顶角相等定理是相交线的基本定理之 一，它表明在两条相交的直线中，相对 的两个角是相等的。
VS
要点二
详细描述
在两条相交的直线中，除了对顶角外，还会形成一些相邻 的角。这些相邻的角被称为邻补角。根据邻补角互补定理 ，这些邻补角的和总是等于180度。这个定理对于证明其 他相交线定理和解决几何问题也非常重要。
同位角相等定理和内错角相等定理
总结词
同位角相等定理和内错角相等定理是相交线 定理中的重要组成部分，它们分别表明在两 条平行线和被截线相交的情况下，同位角和 内错角是相等的。
详细描述
交通信号灯利用相交线的原理，通过不同颜色的灯光来控制交通流量的方向和速度。红灯表示停止，绿灯表示通 行，黄灯则作为警告信号，提醒行人和车辆注意安全。交通信号灯的设置有效地减少了交通事故的发生，保障了 交通秩序。
剪刀的交线
总结词
剪刀的交线是相交线在机械制造中的实例，通过两片剪刀的 交线形成剪切力，实现材料的剪切。
详细描述
根据两条直线相交形成的角度，可以将相交线分为垂直相交和平行相交两种类型 。此外，根据两条直线的位置关系，还可以将相交线分为一般位置和特殊位置两 种类型。这些分类有助于我们更好地理解和应用相交线的性质和特点。
02
相交线的角度关系
对顶角
对顶角
证明
如果两条直线相交，相对的两个角就 是对顶角。
可以通过全等三角形的性质来证明对 顶角相等。
平面几何中的相交线和平行线
平面几何中的相交线和平行线在平面几何中，相交线和平行线是两个重要的概念。
它们在解题和证明过程中起着重要的作用。
本文将对相交线和平行线的定义和性质进行详细的阐述。
一、相交线的定义和性质相交线是指在平面中两条直线或曲线交叉的现象。
下面对相交线的定义和性质进行详细介绍：1. 相交线的定义：两条直线或曲线在平面中有一个或多个点的重合，即称它们为相交线。
2. 相交线的性质：a. 相交线存在交点：两条相交的直线或曲线在平面中总存在一个或多个交点，这是相交线的基本特点。
b. 相交线的交点数目：两个不平行的直线在平面中相交，交点只有一个；两个平行的直线在平面中不相交，交点为零；两个曲线在平面中可以有零个、一个或多个交点。
c. 相交线的角度关系：相交线将平面分成四个角，其中相邻两个角的和为180度，也就是说，相交线的两个内角和为180度，而两个外角的和也为180度。
二、平行线的定义和性质平行线在几何学中具有重要的地位，它们有着特殊的性质和关系。
下面对平行线的定义和性质进行详细介绍：1. 平行线的定义：在平面中，如果两条直线无论如何延长都不相交，那么这两条直线被称为平行线。
2. 平行线的性质：a. 平行线的判定定理：有三种常见的判定平行线的方法，即同位角相等定理、内错角相等定理和同旁内角互补定理。
根据这些定理，我们可以在解题和证明过程中判定两条直线是否平行。
b. 平行线与转角：如果一条直线与平行线相交，那么形成的转角是相等的。
c. 平行线的性质：平行线之间的距离是相等的，平行线与平面上的任意一线相交时，所形成的内错角和同位角都是相等的。
三、应用举例相交线和平行线在几何学中有广泛的应用，下面通过几个具体的例子来说明它们的应用：1. 证明三角形相似：当两条相交线与两边成一致的夹角时，可以得到两个相似的三角形。
2. 角平分线定理：角平分线将一个角分成两个相等的角，同时与这个角的两边所成的角也是相等的。
3. 平行线判定定理：当在三角形内部的两个角以及对应于这两个角的一对边上取点，并通过这两个点分别作与对应边平行的直线，如果这两条直线相交，那么这两条直线平行。
相交线的概念
相交线的概念
什么是相交线？它是一种几何图形，代表两条以上的线的交叉点。
在几何学中，相交线定义了一个具有特定数量交叉点的图形。
在相交线中，两条线可以重叠或不重叠，而每条线上都有一个或两个交叉点。
当两条线重叠时，它们有且只有一个交叉点。
当两条线不重叠时，它们会有两个交叉点。
当多条线存在时，它们可能会相交或不相交。
但不管怎样，所有的相交线都必须有共同的交叉点，这就是图形中所有相交线之间的共同点。
在几何学中，相交线被广泛用于计算图形和地图中不同线段、平面、曲线或其他图形之间的特定关系。
通过分析不同图形之间的关系，几何学家可以了解物理世界和数学世界中各种特定关系。
此外，对于很多几何学中的问题，研究者也可以利用相交线去研究几何形状的特征和结构。
在计算几何学中，相交线的研究可以帮助解决几何学上的问题，例如，点与线之间的交叉关系，线段到圆的长度，点到线段的距离，球面上的面积等。
此外，相交线也是不同学科中非常重要的概念。
在机械学学中，它有助于描述和理解装配元件的特定运动。
在统计学中，它也可以帮助研究者们研究不同变量之间的关系，从而获得更有意义的结果。
总之，相交线是一个重要的几何学概念，它的重要性不仅限于几何学，而且在不同的学科中都具有重要的作用。
在使用相交线来
解决问题时，我们需要了解它的特征，然后再利用这些特征来研究它们之间的关系。
这样才能更准确地解决问题。
相交线与平行线的概念
相交线与平行线的概念几何学是研究空间中点、线、面等几何图形及其性质与变化规律的学科。
其中，线是几何学中最基本的概念之一。
在几何学中，我们常常遇到两条线相交或者平行的情况。
本文将介绍相交线与平行线的概念以及它们的特点和性质。
一、相交线的概念相交线指的是在平面或者空间中相互交叉的两条线。
当两条线交于一点时，我们称其为交点。
相交线可以是直线与直线的交叉，也可以是曲线与曲线的交叉。
不论是直线与直线的相交，还是曲线与曲线的相交，我们都可以通过几何学的方法来研究它们的性质和关系。
相交线的特点：1. 相交线的交点可以是一个点，也可以是多个点。
2. 当两条相交线的交点唯一时，我们称其为公共交点。
3. 相交线的交点将平面或者空间划分为不同的区域。
二、平行线的概念平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
平行线之间的距离始终保持相等，它们永远保持平行的方向。
平行线的特点：1. 平行线的距离始终相等。
2. 平行线的方向始终保持平行，不会相交。
三、相交线与平行线的关系在几何学中，相交线与平行线之间存在着一些重要的关系。
1. 直线相交定理直线相交定理指的是两直线相交时，交点两侧各自对应的内角互补。
也就是说，两条直线相交时，交点两侧的角度之和为180度。
2. 平行线定理平行线定理指的是如果一条直线与另外两条直线分别相交，且两个交点的同位角相等，那么这两条直线是平行线。
3. 欧几里德平行公设欧几里德平行公设是几何学中关于平行线的一个基本公设，它指的是通过一个点可以作一条与已知直线平行的直线。
这个公设是区分平行线与非平行线的重要依据。
通过以上的介绍，我们对相交线与平行线的概念有了更加清晰的认识。
相交线是指在平面或者空间中相互交叉的两条线，而平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
相交线与平行线之间存在着一些重要的性质和关系，如直线相交定理、平行线定理和欧几里德平行公设等。
这些性质和关系在几何学的研究中起到了重要的作用，帮助我们理解和分析各类几何问题。
相交线知识点总结图文
相交线知识点总结图文在数学中，相交线是指两条或多条线交叉或相交的情况。
在几何学中，相交线具有特定的性质和规律，对于解决几何问题和证明定理都有重要的作用。
相交线的性质和应用在各个层面的数学中都有所体现，因此掌握相交线的知识对于数学学习是至关重要的。
1. 基本概念和性质相交线的基本概念可以通过以下几个方面来介绍：1）相交线的定义：相交线是指两条或多条线在同一平面上具有共同点或交叉的情况。
2）相交线的分类：相交线可以分为两种情况，一是两条线交叉成锐角，二是两条线交叉成直角或钝角。
3）相交线的特性：相交线的特性包括对应角相等、垂直角相等、同位角相等等。
对于直线、射线和线段的相交，有以下的几点性质：1）两条直线相交，则会形成四个不同的角，这四个角中，相对的角相等，即对应角相等；相邻的角相互补，即相邻角的和为180度。
2）两条射线相交，同一侧的两个角的和等于180度，这两个角称为邻补角。
3）两条线段相交，所形成的四个角都是锐角，并且相对的两个角相等。
以上是相交线的一些基本概念和性质，通过这些基本性质可以进行很多几何问题的证明和推理。
2. 相交线的应用相交线的应用广泛存在于几何学和解析几何中，下面就相交线的一些应用进行讨论。
1）证明定理在几何学中，证明定理是一种重要的方法，而相交线有时可以用来证明一些几何定理。
例如，证明垂直线的性质、证明线段的平行性质等都可以通过相交线的性质进行证明。
这些定理的证明对于建立几何学的知识体系具有重要的意义。
2）解决几何问题在解决几何问题的过程中，有时需要利用相交线的性质来分析和解决问题。
例如，求解平行线的性质、求解角的大小等都需要利用相交线的性质进行分析和计算。
3）解析几何中的应用在解析几何中，相交线也有很多应用。
例如，利用相交线的性质求解直线方程、求解平面图形的问题等都需要利用相交线的性质进行分析。
以上是相交线的一些应用，相交线的性质和规律在数学学习中有着广泛的应用和重要性。
数学平面几何中的相交线与平行线
数学平面几何中的相交线与平行线数学平面几何是几何学的一个重要分支，主要研究平面内的点、线、面及其相互关系。
在平面几何中，相交线与平行线是两个常见且重要的概念。
本文将从相交线和平行线的定义、性质及应用等几个方面进行探讨。
一、相交线的定义与性质相交线是指在平面上存在一个或多个共同点的直线。
相交线通常具有以下性质：1. 相交线的交点数量：两条相交线在平面上交于一点，三条相交线在平面上交于一点或两点，四条相交线在平面上交于两点或三点，依此类推。
一般而言，n 条相交线在平面上最多可以交于（n-1）个点。
2. 相交线的交点位置：两条相交线交于一点时，此交点为两条线的公共点；三条或更多的相交线，其交点为前述相交线两两之间的公共点。
3. 相交角的性质：相交线所形成的相交角具有一些重要的性质。
如垂直相交线所形成的相交角是直角，平行线所形成的相交角为零。
二、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面内，它们永不相交的直线。
平行线具有以下性质：1. 平行线的方向相同：平行线在平面上具有相同的方向，无论其延长到何处，始终不会相交。
2. 平行线的间距相等：同一组平行线中，任意一对平行线之间的距离相等。
3. 平行线与横线的性质：当一组平行线与一条横线相交时，所形成的对应角、内错角和同旁内角是相等的。
三、相交线与平行线的应用相交线与平行线在数学和实际生活中有广泛的应用，其中一部分应用如下：1. 几何证明：相交线与平行线在几何证明中经常被使用，通过这些线的关系可以得到一些重要的结论，帮助解决各种几何问题。
2. 建筑设计：在建筑设计中，平行线与垂直线的概念十分重要。
建筑师通过运用相交线与平行线的性质，设计出稳定且美观的建筑结构。
3. 交通规划：在交通规划中，平行线被广泛应用于道路、铁路等建设。
平行线的使用可以有效提高交通流量和整体交通效率。
4. 图像处理：在图像处理中，利用相交线与平行线的性质可以实现图像的裁剪、旋转、缩放等操作，提高图像处理的效果与准确性。
相交线与平行线知识点大全
相交线与平行线知识点大全一、基础概念1.相交线：当两条线在空间中有一个交点时，我们称它们为相交线。
2.平行线：当两条线在空间中没有任何交点时，我们称它们为平行线。
3.直线：无限延伸的一维物体。
二、相交线的性质1.两条相交线的交点只有一个。
2.相交线的交点与每条线上的点都是共线的。
3.直线与平面的交点是一个点或直线。
三、平行线的性质1.平行线的斜率相等。
2.平行线之间的距离是始终相等的。
3.平行线在任意一点上的两个角相等。
4.如果两条线与一条平行线的交点的两个内角相等，则这两条线平行。
四、判断相交线与平行线的方法1.观察交线的边长关系：如果两条线段相等，则这两条线段平行。
2.观察角度关系：如果两个角的对角线相等且一个角是直角，则这两条线段平行。
3.观察线段的斜率关系：如果两条线段的斜率相等，则这两条线段平行。
4.观察线段的方程：如果两条线段的方程满足平行线的定义，则这两条线段平行。
五、平行线的判定定理1.垂直平行线定理：如果一条线段与两条平行线相交，且这两条交线是垂直的，则这两条平行线是垂直平行线。
2.异面直线平行定理：如果两条异面直线有一条平行于每条还是的直线，则这两条直线平行。
3.平行线的等价定理：如果两条直线与一条平行线平行，则这两条直线平行。
六、平行线的性质定理1.平行线的平移定理：平行线的平移仍为平行线。
2.平行线的垂直定理：平行线与同一平面内的垂直线垂直。
七、平行线与角的关系1.平行线对应角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么对应的内角和对应的外角是互补的。
2.平行线夹角定理：如果两条平行线被一条截断，那么所截断的两条线上的对应角相等。
3.平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么内角的和是180度。
以上是关于相交线与平行线的知识点的详细介绍，相交线与平行线是基础几何概念，掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和应用直线之间的关系。
相交线与平行线知识点
相交线与平行线知识点相交线与平行线是几何学中的核心概念，作为直线的特殊情况，它们在解决几何问题以及应用于实际生活中都有着重要的作用。
本文将从定义、性质、应用等多个方面详细介绍相交线与平行线的知识点。
一、相交线的定义与性质1.定义：相交线是指在平面上两条直线相交形成的交点。
两条直线相交时，形成四个角，其中两个相邻角的和为180度，这是相交线的核心性质。
2.垂直相交线：垂直相交线是指两条相交线所形成的角为90度。
垂直相交线的特殊性质使得它在许多几何问题中起着重要的作用，例如在平面坐标系中，直角坐标系的两条坐标轴就是垂直相交线。
3.平行线：平行线是指在同一平面中永远不会相交的两条直线。
平行线间的距离在任意两点间是相等的，这也是平行线的核心性质。
4.平行线的判定：平行线的判定方法有很多，最基本的方法是使用直线的斜率。
当两条直线的斜率相同且不相交时，它们就是平行线。
除此之外，还有使用过直线上两点之间的距离、点斜式等方法判定平行线。
5.平行线的性质：平行线具有多个性质，如在平行线中，对应角、错位内角、同位内角的大小关系是相等的，这些性质为解决几何问题提供了重要的依据。
二、相交线与平行线的应用1.平行线的应用：平行线在实际生活和工程中有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的稳定性，常常需要使用平行线技术绘制平行线，使得构件之间保持一定的距离；在道路规划中，为了确保路线在地理空间上的平行性，也需要使用平行线。
2.相交线的应用：相交线在几何问题的解决中具有重要的应用价值。
如在解决三角形相关问题中，能利用两条相交线划分出的角来求解未知量；在解决射影几何问题时，经常会利用相交线的性质进行几何推理。
三、相交线与平行线的扩展知识点1.倾斜平行线：除了平行于坐标轴的水平平行线和垂直平行线之外，还存在倾斜平行线。
倾斜平行线是指在平面上倾斜但永远不相交的两条直线。
2.交错平行线：交错平行线是指两组平行线相互交错而不相交的情况。
平面几何的相交线
平面几何的相交线相交线是平面几何中一种重要的线段关系，它是指在同一平面上两条线段或直线相交所形成的交点和连接交点的线段。
相交线在几何学中具有丰富的性质和应用。
本文将从相交线的定义、性质和应用三个方面进行论述。
一、相交线的定义在平面几何中，相交线是指两条线段或直线在同一平面上交于一个点，并连接交点的线段。
根据相交线的定义，我们可以得出以下结论：1. 相交线存在唯一性：在平面上，两条不平行的直线必然相交于一点，而两条平行线不会相交。
2. 相交线的交点位置：交点位于两条相交线的内部。
3. 相交线的延长线：交点外部的两条线段或直线延长到相交点处，仍然构成相交线。
二、相交线的性质相交线在几何学中具有多种性质，包括角度关系、长度关系以及对称性等。
1. 角度关系：当两条相交线段所夹角度为90度时，称其为直角。
当夹角小于90度时，为锐角，夹角大于90度时为钝角。
2. 长度关系：在两条相交线段中，连接交点的线段称为副位线。
根据副位线定理，副位线相等时，其它副位线也相等。
3. 对称性：相交线可以形成平面的对称封闭图形，如矩形、正方形等。
对称图形的特点是具有对称轴，两侧对称关系。
三、相交线的应用相交线在实际应用中具有广泛的用途，涉及到建筑设计、地理测量、工程布局等领域。
1. 建筑设计：在建筑设计中，相交线常用于确定建筑物的平面布局和空间分割，如确定房间的分隔线、墙壁的交接处等。
2. 地理测量：在地理测量中，相交线被用于确定地理位置和边界。
例如，在地图绘制中，通过相交线可以确定地图上两个城市的位置以及道路、河流的交叉口。
3. 工程布局：在工程布局中，为了保证工程的精确性和合理性，相交线常用于确定工程设施的布局、机器的位置等。
综上所述，相交线是平面几何中重要的线段关系，具有唯一性、角度关系、长度关系和对称性等性质。
相交线在建筑设计、地理测量和工程布局等领域有广泛的应用。
深入理解和应用相交线的性质和特点，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
探索相交线认识相交线的性质和特点
探索相交线认识相交线的性质和特点探索相交线：认识相交线的性质和特点相交线是几何学中的重要概念，它们具有丰富的性质和特点，对于我们理解几何关系和应用数学知识都非常重要。
本文将通过探索相交线的性质和特点，帮助读者更好地理解这一概念。
1. 什么是相交线相交线是指在平面上相互交叉的两条直线。
当两条直线交叉于一点时，我们称其为交点。
对于任意两条不平行的直线，它们都会相交于一点。
2. 相交线的性质相交线具有以下性质：2.1 相交线的交点唯一性对于两条相交线，它们的交点是唯一的。
这意味着两条不同的相交线在平面上只有一个交点。
2.2 相交线的夹角两条相交线之间形成的夹角有多种类型，包括锐角、直角、钝角和补角。
对于夹角的度量，我们可以通过角度单位（如度或弧度）来计量。
2.3 相交线的相对位置当两条直线相交时，会有不同的相对位置。
如果夹角小于90°，则我们称这两条直线为锐角相交；如果夹角等于90°，则称为直角相交；如果夹角大于90°，则称为钝角相交。
3. 相交线的特点除了上述性质外，相交线还有一些特点值得我们关注：3.1 垂直相交线当两条直线相交且形成的夹角为90°时，我们称其为垂直相交线。
垂直相交线具有多个应用，比如垂直平分线能够将线段等分为两部分，垂直角的性质在解决几何问题中也非常重要。
3.2 平行相交线当两条直线相交且形成的夹角为零度时，我们称其为平行相交线。
平行相交线具有一些重要的性质，如平行四边形的特征、同位角和内错角等概念。
平行相交线的研究在几何学和应用数学中具有广泛的应用。
3.3 交错相交线当两组相交直线形成的交点依次排列时，我们称其为交错相交线。
交错相交线在几何图形和模型设计中扮演了重要的角色，这是因为它们能够创造出复杂而美观的图案和结构。
4. 相交线的应用相交线的性质和特点在几何学的研究和应用中发挥着重要作用。
它们可以用于解决平行线和垂直线的相关问题，推导出其他几何图形的性质，甚至应用于工程设计、建筑规划和计算机图形学等领域。
第1讲 相交线
第五章相交线与平行线第1讲相交线知识导航1．对顶角定义及其性质2．邻补角定义及其性质3．垂直定义、性质及其画法4．垂线段和点到直线的距离的概念，理解并掌捱“垂线段最短”的性质【板块一】相交线题型一对顶角与邻补角的概念方法技巧1．判断两个角是否互为对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角两边的反向延长线．2．判断两个角是否互为邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是否是公共边，另外两边是否互为反向延长线．【例1】判断题:(1)若两个角有一条公共边，且这两个角相等，则这两个角互为对顶角；( ✗)(2)若两个角有一条公共边，且这两个角的和为180°，则这两个角互为邻补角；( ✗)(3)三条直线最多把平面分成7个部分．( ✓)【解答】(1)用角平分线定义的反例就可说明本題错误；(2)以150°角的一边为一边，在150°角的内部画一个30°角就可说明本题错误；(3)三条直线两两相交于不同点时，把平面分成的部分是最多的，有7个部分，(3)对．题型二对顶角邻补角的性质方法技巧(1)对顶角相等；(2)角α的邻补角为180°－α【例2】如图，直线a、b、c两两相交，∠3＝2∠1，∠2＝x°，|x－155|＝－|310－2x|，求∠4的度数．【分析】利用非负性求x，利用邻补角和对顶角性质求∠4．【解答】∵|x－155|＝－|310－2x|，∴|x－155|＋|310－2x|＝0，∵|x－155|≥0， |310－2x|≥0，∴|x－155|＝0， |310－2x|＝0，x＝155，∴∠2＝x°＝155°，∠1＝180°－∠2＝25°(邻补角定义)，∠3＝2∠1＝50°，∴∠4＝∠3＝50°(对顶角相等)题型三运用方程思想求角方法技巧题目含有多个未知角，且未知角之间有某种确定的数量关系时，往往设未知数，列方程求解．【例3】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠DOE ＝30°，OF 平分∠COE ，如果∠AOD ∶∠BOE ＝4∶1，求∠AOF 的度数．【分析】根据题目已知条件∠AOD :∠BOE ＝4:1，设未知数列方程求解． 【解答】设∠BOE ＝x ，则∠AOD ＝4x ．∵∠AOD ＋∠DOE ＋∠BOE ＝180， ∴4x ＋30°十x ＝180°，x ＝30°，∠BOE ＝30°．∵∠DOE ＋∠EOC ＝180°(邻补角定义)．∴∠EOC ＝180°－∠DOE ＝150°， ∵OF 平分∠COE ，∠EOF ＝12∠EOC ＝75°(角平分线定义) ∴∠BOF ＝∠EOF －∠BOE ＝75°－30°＝45°， ∴∠AOF ＝180°－∠BOF ＝135°．题型四 利用整体思想求角 方法技巧具有多个数量关系的未知角问题，设一个或多个未知数整体求解．【例4】如图，直线AB ，CE 交于点O ，∠AOD ＝120°，OH 平分∠EOD ，OF 平分∠COD ，求∠HOF 的度数．【分析】本题未知数的个数多于方程个数，采用整体求解，设∠AOE ＝x ，导角整体法求∠HOF 的度数． 【解答】设∠AOE ＝x ，则∠BOC ＝∠AOE ＝x (对顶角相等)．∵∠AOD ＝120°(已知)，∴∠DOB ＝180°－∠AOD ＝60°(邻补角性质)．∴∠EOD ＝∠AOD －∠AOE ＝120°－x (角的和差)，∠DOC ＝∠DOB ＋∠BOC ＝60°＋x (角的和差)． ∵OH 平分∠EOD ，OF 平分∠COD (已知)，∴∠HOD ＝12∠BOD ＝60°－12x ，∠DOF ＝∠FOC ＝30°＋12x (角平分线定义)． ∴∠HOF ＝∠HOD ＋∠DOF ＝60°－12x ＋30°＋12x ＝90°．题型五 分类讨论思想求角【例5】如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 把∠AOC 分成两部分，且∠AOE ∶∠EOC ＝3∶5，∠EOFOFE DC AB＝∠BOF ，若∠BOF ＝∠AOE ＋45°，求∠BOF ．【分析】分OF 在∠EOB 的外部或内部两种情形讨论， 【解答】设∠AOE ＝3x ，∠EOC ＝5x ．(1)当OF 在∠EOB 外部时，∠AOF 1＝∠EOF 1－∠AOE ＝∠BOF 1－∠AOE ＝45°， ∴∠BOF 1＝180°－∠AOF 1＝135°．(2)当OF 在∠EOB 内部时，∠BOF 2＝∠EOF 2＝∠AOE ＋45°＝3x ＋45°， 又∠AOE ＋∠EOF 2＋∠F 2OB ＝180’，∴3x ＋3x ＋45°＋3x ＋45°＝180°，x ＝10°，∴∠AOE ＝3x ＝30°，∠BOF 2＝∠AOE ＋45°＝75°． 故∠BOF ＝75或135°．题型六 相交线的规律探究问题【例6】l 1与l 2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点．如果在这个平面内再画第3条直线l 3，那么这3条直线最多可有 3 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l 4，那么这4条直线最多可有 6 个交点．由此可以猜想:在同一平面内，6条直线最多可有 15 个交点；n (n 为大于1的整数)条直线最多可有()12n n -个交点(用含n 的代数式表示)．【分析】画图找规律因为1＋2＋3＋…＋(n －1)＝()12n n -，所以平面内有n 条直线，最多可有()12n n -个交点．针对练习11．观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角): (1)如图1，图中共有 2 对对顶角； (2)如图2，图中共有 6 对对顶角； (3)如图3，图中共有 12 对对顶角；(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角?(5)若有100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角?E 1【解答】(4)2×(2－1)＝2，3×(3－1)＝6，4×(4－1)＝12，所以若有n 条直线相交于一点，则可形成n (n －1)对对顶角；(5)100×(100－1)＝9900，若有100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角．2．如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，OE 平分∠AOM ，OD 平分∠BON ，若∠MON ＝100°，求∠COF 的度数．【解答】设∠AOE ＝x ，∠BOD ＝y ．∵OE 平分∠AOM ，OD 平分∠BON ，∴∠MOE ＝∠AOE ＝x ，∠NOD ＝∠DOB ＝y ，易得2x ＋2y ＋100°＝180°，x ＋y ＝40°， ∴∠COF ＝∠EOD ＝x ＋y ＋100°＝140°．3．如图，直线MD 、CN 交于点O ，OA 是∠MOC 内的一条射线，OB 是∠NOD 内的一条射线，∠MON ＝70°．(1)若∠AOC ＝30°，∠BOD ＝12∠COD ，求∠BON 的度数； (2)若∠AOD ＝2∠BOD ，∠BOC ＝3∠AOC ，求∠BON 的度数．【解答】(1)∠COD ＝∠MON ＝70°(对顶角相等)，又∵∠BOD ＝12∠COD ，∴∠BOD ＝35°． ∴∠BON ＝180°－∠MON －∠BOD ＝180°—70°－35°＝75°． (2)设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝3x ．∵∠COD ＝∠MON ＝70°，∴∠BOD ＝∠BOC －∠COD ＝3x －70°，∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝x ＋70°． ∵∠A 0D ＝2∠BOD ，∴x ＋70°＝2(3x －70°)，x ＝42°，∴∠BOD ＝3x －70°＝56°，∠BON ＝180°－∠COD －∠DOB ＝54°．4．如图，直线AB ，CD 交于点O ，∠AOD 比∠AOC 的2倍还多30°，∠AOE ＝2∠AOC ，求∠DOE 的度数．图3图2图1HD A O BCEF AOB C DO AB CDFOA BCD M【解答】设∠AOC ＝x ，则∠AOD ＝2x ＋30°∵∠AOC ＋∠AOD ＝180°，∴x ＋2x ＋30°＝180°，x ＝50°． ∴∠AOC ＝50°，∠AOD ＝∠COB ＝130°．①当OE 在OA 的右侧时，∠AOE 1＝2∠AOC ＝100°，∠DOE 1＝180°－∠AOC －∠AOE 1＝180°－50°－100°＝30°； ②当OE 在OA 的左侧时，∠AOE 2＝2∠AOC ＝100°，∠COE 2＝100°－50°＝50°，∴∠DOE 2＝180－∠COE 2＝180°－50°＝130°． 综上所述，∠DOE ＝30°或130°．5．如图1，点O 在直线AB 上，∠AOE ＝α°，若关于x ，y 的多项式:ax 2y －50xy 2＋axy ＋1－60xy 中不含x ，y 的二次项． (1)求∠AOE 的度数；(2)作射线OC ，使∠AOC ＝100°，求∠EOC 的度数；(3)如图2，将直线AB 绕点O 逆时针旋转，∠AOC ＜120°，若OM 平分∠COE ，ON 平分∠BOD ，求∠MON 的度数．【解答】(1)ax 2y －50xy 2＋axy ＋1－60xy ＝ax 2y －50xy 2＋(a －60)xy ＋1 ∵不含xy 的二次项，∴a －60＝0，a ＝60，∠AOE ＝60°． (2)当点C 在AB 下方时，∠EOC 1＝∠EOA ＋∠AOC 1＝160°； 当点C 在AB 上方时，∠EOC 2＝∠AOC 2－∠EOA ＝40°； 故∠EOC ＝160°或40°．(3)设∠AOC ＝∠BOD ＝x ，则∠EOC ＝60°＋x ． ∵OM 平分∠COE ，ON 平分∠BOD ，∴∠A 0M ＝12∠EOC ＝30°＋12x ，∠BON ＝12∠DOB ＝12x ，易得∠A 0M ＝30°－12x ． ∴∠MON ＝180°－∠AOM －∠BON ＝180°－(30°－12x )－ 12x ＝150°．【板块二】垂线◆题型一 垂线的画法与计算 方法技巧1．过一点画已知直线的垂线有两种方法：一是用三角板，二是用量角器．用这两种工具时，应掌握以下DD EBAO图1图1OAB EC 1C 2要领：一贴：将三角形的一条直角边紧贴在已知直线上，或将量角器的0°刻度线与已知直线重合； 二过：使三角板的另一直角边经过已知点，或使量角器的90°刻度线经过已知点和另一点； 三画：沿已知点所在直角边画出所求直线，或用量角器的直边连接已知点和另一点． 2．画垂线时，常在垂足处打上垂直符号“”，便于识别和应用． 3．注意等积(面积)法求高或底．【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝39，BC ＝25，AC ＝56，过点A 作BC 的垂线交CB 延长线于点D ． (1)过点B 作AC 的垂线，垂足为点E ；过点C 作AB 的垂线，垂足为点F ，画出图形；(2)若AD ＝1685，求BE ，CF 的长； (3)你发现题目中三条垂线的位置关系有何特征?【分析】(1)，(3)画图解决问题；(2)用面积法解决问题． 【解答】(1)如图；(2)S △ABC ＝12AB ⋅CF ＝12BC ⋅AD ＝12AC ⋅BE ，39CF ＝25×1685＝56BE ，解得BE ＝15，CF ＝28013； (3)发现三条垂线交于一点．◆题型二 运用方程思想求与垂直有关的角度问题． 方法技巧1．将线的垂直关系转化为特殊角——90°．2．理清题目中多个未知量之间的数量关系，巧设未知数，列方程求解．【例2】直线AB ，EF 交于点O ，OC ⊥AB ，OM 平分∠EOB ，若∠COM ＝2∠EOC ，求∠AOE 的度数．【分析】图中未知角都可用∠EOC 的代数式表示，设未知数列方程求解． 【解答】设∠EOC ＝x ，则∠COM ＝2x ．∵OM 平分∠EOB ， ∴∠EOM ＝∠MOB ＝3x ．∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°．D CB ADABCEFF E ABCO M又∵∠COM ＋∠MOB ＝∠COB ，∴2x ＋3x ＝90°，x ＝18°， ∴∠EOC ＝18°，∠AOE ＝90°－∠EOC ＝72°． ◆题型三 整体思想求角 方法技巧多个具有某种确定数量关系的未知角的问题，可以巧设一个或两个未知数，运用角的和或差整体求角． 【例3】如图，∠AOB ＝120°，OC ⊥OD ，OE 平分∠DOB ，OM 平分∠AOC ，OM 的反向延长线为射线ON ．求∠EON 的度数．【分析】由于∠AOC 与∠DOB 的度数未知，且列不出两个方程求出它们的值，设两个未知数，整体求解． 【解答】设∠AOC ＝2x ．∠DOB ＝2y ． ∵OE 平分∠DOB ，OM 平分∠AOC ，∴∠AOB ＝2x ＋2y ＋90°＝120°，x ＋y ＝15°，∠MOE ＝∠MOC ＋∠DOE ＋∠COD ＝x ＋y ＋90°＝105°． ∴∠EON ＝180°－∠MOE ＝75°．◆题型四 分类讨论思想求角 方法技巧1．无图或关键线没有画出的题目，考虑是否有多种情形，运用分类讨论法求解．2．分类讨论的标准有：线在角的内部或外部；一条射线在另一条射线的左边还是右边，上面还是下面等． 【例4】如图，∠AOB ＝110°，OD 为∠AOB 内一条射线，∠AOE ＝∠DOE ，∠DOF ＝∠BOF ．求∠EOF 的度数．【分析】分OE 在∠AOD 的内部和外部，OF 在∠BOD 的内部和外部出现的四种情形进行讨论求解． 【解答】设∠AOE ＝∠DOE ＝x ，∠DOF ＝∠BOF ＝y ，①当OE ，OF 都在∠AOD ，∠BOD 的内部时(图中OE 1，OF 1的位置)， 则∠AOB ＝2x ＋2y ＝110°，x －y ＝55°，∴∠E 1OF 1＝x ＋y ＝55°； ②当OE 在∠AOD 内部，OF 在∠BOD 的外部时，此时OF 在①中OF 1的反向延长线上(图中OE 1，OF 2的位置)， 此时∠E 1OF 2＝180°－∠E 1OF 1＝125°；③当OE ，OF 都在∠AOD ，∠BOD 的外部时(图中OE 2，OF 2的位置)， 易得∠E 2OF 2＝∠E 1OF 1＝55°；④当OE 在∠AOD 外部，OF 在∠BOD 的内部时(图中OE 2，OF 1的位置)， 易得∠E 2OF 1＝180°－∠E 1OF 1＝125°．E ABCDOM NABDO综上所述．∠EOF ＝125°或55°．◆题型五 垂线的性质及其应用 方法技巧1．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成“垂线段最短"．【例5】在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝＝3，过点C 作CP ⊥AB ，垂足为点P ，则CP 长的最大值为(C ) A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据垂线段最短得出结论．【解答】根据垂线段最短可知PC ≤3．∴CP 长的最大值为3，故选C ．针对练习21．如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点A 到BC 的距离是线段AD 的长度，点B 到AC 的距离是线段_______的长度，点C 到AB 的距离是线段________的长度．若BF ＝3cm ，CF ＝4cm ，BC ＝5cm ，则F 到BC 边的距离为________cm ．答案：BF ，CE ，125． 2．点P 为直线l 外的一点，点A ，B ，C 在直线l 上，P A ＝5，PB ＝4，PC ＝3，则点P 到直线l 的距离()A ．大于等于3B ．等于3C ．小于3D ．小于等于3答案：D3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥OF ，OD 平分∠AOE ，下列结论： ①∠BOE 的余角是∠AOE ，补角是∠BOF ；②∠AOD ＝∠DOE ＝12∠AOE ； ③∠BOE ＝2∠COF ；④∠BOF ＝∠COF ．其中正确的有()F 2F 1BO DAE 1E 2EFAB CD EFAB C D OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B4．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是∠AOC 的平分线，OF ⊥CD ，OG ⊥OE ，∠BOD ＝52°． (1)求∠AOF 的度数；(2)∠EOF 与∠BOG 是否相等呢?请说明理由； (3)直接写出图中∠AOE 的所有余角．【解答】(1)∠AOF ＝38°，(2)相等，理由：∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角， ∴∠AOC ＝∠BOD ＝52°．∵OE 是∠AOC 的平分线，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝26°，又∵OG ⊥OE ， ∴∠EOG ＝90°，∴∠BOG ＝180°－∠AOE －∠EOG ＝64°．而∠EOF ＝∠AOF ＋∠AOE ＝38°＋26°＝64°，∴∠EOF ＝∠BOG ． (3)图中∠AOE 的所有余角∠EOF ，∠COG ，∠BOG ．5．如图，OB ⊥AC ，垂足为点O ，∠EOF ＝120°，OC 平分∠EON ，OF 平分∠AON ．求∠BOE 的度数。
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PO A B C相交线一、知识点总结（一）邻补角、对顶角 对顶角：有一个公共顶点一个角的两边是另一角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。
领补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为领补角。
相邻关系的两个角互补，对顶角相等（二）垂线、垂线段 1、垂线的定义当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB 、CD 互相垂直，记作CD AB ⊥。
注意：1、 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。
2、掌握如下的推理过程：（如上图）.(90(垂直定义）已知），︒=∠=∠=∠=∠∴⊥AOD BOD COB AOC CD AB 反之，2、垂线的画法 探究：（1）用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ （2）经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ （3）经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
3、垂线的性质经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成： 垂线段最短。
4、点到直线的距离垂直定义）已知）((90CD AB AOC ⊥∴︒=∠DCB AOFE DC BA直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如上图，PO 的长度叫做点 P 到直线l 的距离。
例1则下列结论：垂足为如图，,,,90D BC AD BAC ⊥︒=∠（1）AB 与AC 互相垂直；（2）AD 与AC 互相垂直；（3）点C 到AB 的垂线段是线段AB ；（4）点A 到BC 的距离是线段AD; （5）线段AB 的长度是点B 到AC 的距离；（6）线段AB 是点B 到AC 的距离。
其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个例2 如图，直线AB,CD 相交于点O,的度数。
和求AOC BOE DOF AB OF CD OE ∠∠︒=∠⊥⊥,65,,（三）同位角、内错角、同旁内角的概念同位角、内错角、同旁内角指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中， 不共顶点的角之间的特殊位置关系。
如图：直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截，构成八个角，简称：“三线八角”（1）同位角：∠1与∠5，∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8，它们分别在AB 、CD 的同侧，且在EF 的同侧（2）内错角：∠3与∠5,∠4与∠6,它们分别夹在AB 、CD 之间，同时又各在EF 两侧（3）同旁内角：∠4与∠5,∠3与∠6,它们夹在AB 、CD 之间， 又在EF 的同旁 注意：（1）这三类角都是成对出现的（2）这三类角必须是两直线被第三条直线所截形成的 （3）每对角的顶点都不相同例1、已知：如图，AD 、BE 、CF 相交于点O ，0110=∠AOC ，0130=∠BOD ，求.CO E ∠ DAOE F CB2 3 417856CA E BDF二、课堂练习基础练习一、判断下列说法的对错（1） 邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角（ ） （2） 邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角（ ） （3） 对顶角相等，相等的两个角是对顶角（ ）（4） 两条直线相交，如果它们所成的邻补角相等，那么一对对顶角就互补（ ） （5） 如果两个角有公共顶点和一条公共边，而且这两个角互为补角，那么它们互为邻补角（ ） 二．填空题1．如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AOE ∠的对顶角是 ，COF ∠的邻补角是 若AOC ∠：AOE ∠=2：3，130=∠EOD ，则BOC ∠=2．如图，直线AB 、CD 相交于点O30,90=∠=∠=∠AOC FOB COE 则=∠EOF三、简答1.如图，直线a,b 相交，401=∠，求4,3,2∠∠∠的度数。
2.已知，如图，80,35=∠=∠COF AOC ，求：DOF AOD ∠∠和的度数CBA3. 为钝角。
中，如图，已知BAC ABC ∠∆的距离是多少？到）点（的垂线；点画）过（的垂线段；到）画出点（AC B BC A AB C 321提升练习一、判断. 1.如图4-47,其中共有4对同位角,4对内错角,4对同旁内角.( )2.O 是直线AB 上一点,C,D 分别在AB 的两侧,且∠DOB=∠AOC,则C,O,D 三点 在同一条直线上.考查对顶角，( ) 3.如图4-48,∠2和∠10是内错角.( ) 4.如图4-48,∠9和∠10是同旁内角,∠1和∠7也是同旁内角. ( ) 5.如图4-48,∠1和∠3是同位角. ( ) 6.如图4-48,∠2和∠4是同位角. ( ) 7.如图4-48,∠2和∠8是对顶角.( ) 8.直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做这点到这条直线的距离.( ) 9.相交直线构成的四个角中若有一个角是直角,就称这两条直线互相垂直. ( ) 10.顶点相同并且相等的两个角是对顶角.( )二、填空.11.如图4-49,直线AB,CD 被EF 所截,∠1=∠2,要证∠2+∠4=180°，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：∵直线AB 与EF 相交，∴∠1=∠3（_______________）,又∵∠1+∠4=180°（_______________）,∠1=∠2(已知),∴∠2=∠3,∠2+∠4=180°（_______________）。
12.如图4-50,要证BO⊥OD,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:∵AO⊥CO(已知),∴∠AOC=_____________________（_______________）.又∵∠COD=40°(已知),∴∠AOD=_______________.∵∠BOC=∠AOD=50°(已知),∴∠BOD=_______________,∴_______________⊥_______________（_______________）.13.经过直线外或直线上一点,有且只有_______________直线与已知直线垂直.14.从直线外一点到这条直线的_______________叫做这点到直线的距离.15.直线外一点与直线上各点连结的线段中,以_______________为最短.16.如图4-51,AB是一直线,OM为∠AOC的角平分,ON为∠BOC的角平分线,则OM,ON的位置关系是_______________.*17.如图4-52,AB⊥CD于O,EF为过点O的直线,MN平分∠AOC,若∠EON=100°，那么∠EOB=_______________，∠BOM=_______________.18.如图4-53,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOD,FO⊥OD于O,∠1=40°,则∠2=_______________,19.如图4-54,∠1的同位角是_______________,∠1的内错角是_______________,∠1的同旁内角是.____________20.如图4-55,直线l截直线ba,所得的同位角有_______________对,它是_______________;内错角有对,它们是_______________;同旁内角有_______________对,它们是_______________;对_______________顶角有_______________对,它们是_______________.三、选择.21.已知OA ⊥OC ，∠AOB ：∠AOC=2：3，则∠BOC 的度数是（ ）.A.30°B.150°C.30°或者说150°D.以上答案都不对*22.如果∠1与∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是( ). A.21(∠1+∠2) B.21∠1 C.21(∠1–∠2) D.21∠2 23.下列说法正确的是( ).A.两条直线相交成四个角,如果有三个角相等,那么这两条直线垂直.B.两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直.C.两条直线相交成四个角,如果有一对对顶角互余,那么这两条直线垂直.D.两条直线相交成四个角,如果有两个角互补,那么这两条直线垂直. 24.如图4-56,与∠C 是同旁内角的有( )个.A.2B.3C.4D.525.下列说法正确的是( ).A.在同一平面内,过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条.B.连结直线外一点和直线上任一点,使这条线段垂直于已知直线.C.作出点P 到直线的距离D.连结直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离. 26.如图4-57,OA ⊥OB,OC ⊥OD,则( ).A.∠AOC=∠AODB.∠AOD=∠DOBC.∠AOC=∠BODD.以上结论都不对27.如图4-58,PO ⊥OR,OQ ⊥PR,能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( ).A.1B.2C.3条D.5条28.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是( ).A.1B.2C.3或2D.1或2或329.下列语句正确的是( ).A.相等的角为对顶角B.不相等的角一定不是对顶角C.不是对顶角的角都不相等D.有公共顶点且和为180°的两角课后练习.1.如图4-59,按要求作出:(1)AE⊥BC于E;(2)AF⊥CD于F;(3)连结BD,作AG⊥BD于G.2.如图4-60,OE,OF分别是∠AOC与∠BOC的平分线,且OE⊥OF.求证:A,O,B三点在同一直线上.3.如图4-61,已知AO⊥OB于O,∠2-∠1=20°,求∠1,∠2的度数.4.如图4-62,已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB.求证:(1)CD⊥CB;(2)CD平分∠ACE.。