材料力学 第03章 扭转

sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me


扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(

4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
πd 3 Wp d / 2 16 Ip
'
a
d


b
'
c
§3-4 圆轴扭转时截面上的应力 扭转强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力 （1） 0 0 （2） 0 0 因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
剪应变的变化规律：
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究 0 0

D
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：

2
d
T dA.r0 r0 td r0 t 2
2 A 0
§3-2 外力偶矩的计算
扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算
右图
设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n (r/min）
P(kW) 的功率相当于每分钟作 功
W = P kW ×1000 60 (1) ×
外力偶矩M e所作的功：
W = 2nMe
(2)
(1) = (2) 得 P kW ×1000 60 = 2n M e ×
空心圆截面：
π 4 D d 4 32
πD 4 1 4 32 Ip
d D
D d
I p 2 π 3 d
D 2 d 2
O
d A 2π d
πD 4 d 4 πD 3 1 4 Wp D/2 16 D 16
二、斜截面上的应力 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一 斜截面 ef (如图)上的应力。
得
F 0 F 0 M 0
y x z
自动满足
存在'
y
切应力互等定理
'
a dy

O ' dx
d

c x
b
z
在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。

单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
1,max
T1 M e 16 M e Wp1 Wp1 πd13
2,max
T2 Me 16 M e 3 4 Wp 2 Wp 2 πD2 1
2. 求D2/d1和二轴重量之比。 由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
G
d G dx
三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
d T A dA G A 2 dA dx
I p A 2dA
d T dx GI p
T GI p
d dx
扭转变形计算式
d 代入物理关系式 G dx 得：
D
3
πD 3 16
1
4
16T π 3 D (1 4) 16

16T 76.3 mm 4 π(1 )
d D 68.7mm
取： D 76 mm ， d 68 mm
3. 重量比较
π 2 (D d 2 ) 4 39.5% π 2 d 4
微段扭转 变形 d
DD' Rd tg dx dx
tg dd d
dx
dx
d dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内
max P
→ G
方向垂直于半径。
线断开。
材料抗拉能力差， 构件沿45斜截面因拉 应力而破坏（脆性材 料）。
sin 2 ; cos2
分析：
1 ) max , min :
450 , max ; 450 , min ; 2 ) max :
0 , max ; 横截面上！
Tmax Wp
Tmax 1）校核强度: max WP
≤

2）设计截面尺寸:WP ≥ Tmax
[ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ WP [ ]
D 3 实 心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空 心. 16 m
例 已知 T=1.5 kN . m，[t ] = 50 MPa，试根据强度条件设计 实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。
T Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
圆轴中τmax的确定 横截面上 — max
T T max IP IP T WP
max
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm4 Ip WP —抗扭截面模量，单位：m3 , mm3. WP max Tmax 整个圆轴上——等直杆： max WP
G
该式称为剪切胡克定律。 剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
E G 2(1 )
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 Me M
e
y a
dy b
'
d xd z
d

O '

c
d yd z
x
z
dx
d y d z d x d x d z d y
T图（kN· m）
14
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
22
T图（kN· m）
T1 22 106 N mm 64.8MPa AB段 1,max π Wp1 3 120mm 16 T2 14 106 N mm 71.3MPa BC段 2,max π 3 Wp 2 100mm [ ] 80MPa 16
45 max 45 min
低碳钢扭转试验演示
低碳钢扭转破坏断口
铸铁扭转破坏试验演示
铸铁扭转破坏断口
圆轴扭转破坏分析
低碳钢试件：沿横截面断开。
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；
铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋
分离体上作用力的平衡方程为 F 0, d A d A cos sin d A sin cos 0
d A d A cos cos d A sin sin 0
利用 = '，经整理得
F 0,
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
T π 3 d 16
3
T max 3 πd 16
16T 3 16(1.5 103 N m) 0.0535 m d 6 π(50 10 Pa) π
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
T(N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§3-3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒轴的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力 (壁厚 1、实验：
t
1 r0 , r0：为平均半径） 10
2、变形规律：

'


圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
2

T 2 2r0 t