控制原理4

第四章 线性系统的根轨迹法4-1 什么是根轨迹？它有什么主要性质？如何把握根轨迹作图？ 答 用()G K s 表示开环系统传递函数，K 为开环增益因子，而11()()()mii nii s z G S s p ==-=-∏∏ （4-7）为K=1时的开环传递函数。

闭环特征方程有以下几种等价表示形式：11()()0nmi i i i s p K s z ==-+-=∏∏ （4-6）()()0a s Kb s += （4-8）这里1110111101()()()()nn n i n i m m m i m i a s s p s a s a s a b s s z s b s b s b --=--==-=++++=-=++++∏∏1()0KG s += （4-9） 1()G s K=-（4-10） 所谓根轨迹就是以K 为参变数，取值从零连续地变化到无穷大时闭环特征根的轨迹。

式（4-10）说明根轨迹上的点应同时满足两个条件。

⑴相角条件：00()180360G s l ∠=+⋅0,1,2,l =±± （4-11）即： 0011()()180360m ni i i i s z s p l ==∠--∠-=+⋅∑∑ （4-12）⑵幅值条件：1()G S K=（4-13） 即：111mii n ii s zKs p==-=-∏∏ （4-14） 根轨迹的性质可以归纳为九条规则。

规则一 当n m ≥时，根轨迹分支数等于开环极点数n 。

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，包括无穷远零点。

规则二 根轨迹对称于实轴。

规则三 根轨迹在实轴上部分为线段或射线，其右边的开环实极点和实零点的个数和为奇数。

规则四 根轨迹有n m -条渐近线，它们在实轴上有公共交点为：i i a p z n mσ-=-∑∑ （4-15）各渐近线对正实轴的倾角为180360(0,1,,1)a l l n m n mϕ+⋅==---(4-16)规则五 根轨迹在开环极点j p 处对正实轴的出射角为 11180360()()jm np j i j i i i i jl p z p p ϕ==≠=+⋅+∠--∠-∑∑(4-17)在开环零点j z 处对正实轴的入射角为:11180360()()jn mz j i j i i i i jl z p z z θ==≠=+⋅+∠--∠-∑∑(4-18)规则六 根轨迹的分离点为闭环特征方程的重根点,应同时满足: 1()0KG s += (4-9) 和()0dG s ds= (4-19) 即同时满足: ()()0a s Kb s += (4-8) 和 ()()()()0da s db s b s a s ds ds-= (4-20) 分离点处进入根轨迹与离开根轨迹是彼此相间隔的,其切线间夹角(分离角)相等,为:180d rψ=（4-21）r 为分离点d 处闭环特征根的重数。

规则七 根轨迹与虚轴交点，由1()0KG j ω+= （4-22） 或用劳斯判据判定。

规则八 当根轨迹上一点1s 确定后，由幅值条件决定该点处的K 值：1111ni i m ii sp K sz ==-=-∏∏ （4-23）规则九 K 值固定后，对应的闭环特征根12,,,n s s s 与开环零极点有关系：11n niii i s p ===∑∑ （当2n m ≥+时） （4-24）和111(1)n n nn miiii i i s p K z -====+-∏∏∏ （4-25）上述规则中，规则二和规则九是由于式（4-8）是实系数方程性质推知；规则三、五，规则四的式（4-16）和规则六的式（4-21）涉及根轨迹走向，都可以由相角条件导出；规则一、八可决定根轨迹上特殊点（分离点及与虚轴交点）的位臵及相应的K 值，故除幅值条件外，还要补充一个条件。

灵活地运用这些规则，可以正确地绘出根轨迹概图。

4-2 在根轨迹作图中，确定渐近线和分离附近根轨迹很关键，如何理解有关它们的计算公式？答 当n m >时，开环传递函数11101110()m m m n n n s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++ （4-26） 在无穷远处有一个n m -重零点，n m -条渐近线就是根轨迹趋近于这个无穷远零点的状态，渐近线倾角就是根轨迹在无穷远零点处的入射角，渐近线交点就是无穷远零点关于根平面上以a σ为圆心的单位圆的反演点。

在无穷远看（当s →∞时）， 1()()n ma G s s σ-≈- （4-27）而由式（4-26），在s →∞时时，有 1111()()n m n m n m G s s a b s -----≈+-+（4-28） 比较式（4-27）和式（4-28），得1111()()n m n m n m n m a n m s n m s s a b s σ----------+=+-+得 1111()n mi i n m i i a p za b n mn mσ--==---==--∑∑ （4-15）a σ是无穷远零点反演点的坐标，也即是渐近线交点的坐标，它是实数。

由于无穷远是n m -重零点，根轨迹渐近于它的形态可从式（4-27）得到：00()()()180360a G s n m s l σ∠=--∠-=+⋅ 令()a a s ϕσ=∠-，故180360,0,1,,1a l l m n n mϕ+⋅==---(4-16)分离点s d =，它是闭环特征方程的重根点，故应同时满足1()0KG s += (4-9) 和 ()0dG s ds= (4-19) 式（4-19）与[]0ln ()dds G s = (4-29)等价，故d 满足11110mni i i id z d p ==-=--∑∑ (4-30)用式（4-30）确定分离点有时是很方便的。

分离点可以看做根轨迹的中继点，根轨迹是闭环特征方程：11()()0n miii i s p K s z ==-+-=∏∏ (4-6)K 从0→∞的根的轨迹。

如果我们把K 分成两段：[)10,K 和[)1,K ∞，其中1K 是重根点K 值。

对应1K 的闭环特征根除了这个r 重根点d 外，还有n r -个点：1,,r n s s + 。

则这些点既可看做根轨迹在[]10,K K ∈段的终止点，又可看做根轨迹在[)1,K K ∈∞段的起始点：⑴先看[)1,K K ∈∞这一段：令1K K K *=+代入式（4-6），有1111()()()0nm mi i i i i i s p K s z Ks z *===-+-+-=∏∏∏ (4-31) 而12,,,n s s s （其中12r s s s d ==== ）是1K K =时的闭环特征根，故有：1111()()()nm ni i i i i i s p K s z s s===-+-=-∏∏∏ (4-32) 因此式（4-31）变为“11()()0mnii i i s sKs z *==-+-=∏(4-33) [)1,K K ∈∞等价于[)0,K *∈∞，故这一段根轨迹可以看做是以12,,,n s s s 为新起点，12,,,m z z z 及无穷远零点为终点的根轨迹。

由根轨迹起始点出射角公司（4-17）可得d 处根轨迹对正实轴的离开角：00111180360()(),0,1,,1m nd i i i i r l d z d s l r ABC r ϕ==+⎡⎤=+⋅+∠--∠-=-⎢⎥⎣⎦∑∑ (4-34)⑵对于[]10,K K ∈这一段：将根轨迹方程式（4-6）写成：111()()0mni i i i s z s p K ==-+-=∏∏ (4-35) 式（4-35）与式（4-9）有相同的根，因此有相同的根轨迹。

令11111K K K K **=+，代入式（4-33），并再次利用式（4-30），有 111()()0nni i i i s p s s K **==-+-=∏∏ (4-36) 即11()()0n niii i s p K s s **==-+-=∏∏ (4-37)当1:0K K →时，相当于K **：0→∞，故式（4-37）表示[]10,K K ∈这一段可以看做式（4-37）系统起始点在12,,,n p p p ，终止点在12,,,n s s s 的根轨迹，由根轨迹终止点入射角公式（4-18）可决定d 处根轨迹对正实轴的进入角为：00111180360()(),0,1,,1n nd i i i i r l d p d s l r r θ==+⎡⎤=+⋅+∠--∠-=-⎢⎥⎣⎦∑∑ (4-38)根轨迹某一进入分支与各离开分支的夹角：001(180360),0,1,,1d d d l l r rθϕψ=-=+⋅=- (4-39)这表明在d 处根轨迹进入分支与离开分支彼此相间隔，它们切线间夹角（分离角）为：180d rψ= （4-21）4-3 如何绘制负参数根轨迹？答 正反馈系统可以看做开环增益因子K 为负值的负反馈系统，此外在非最小相系统中绘制根轨迹图时，也会遇到K 为负值情形。

研究闭环特征方程：1()0KG s += （4-6）K 从0变到-∞的根轨迹称为负参数根轨迹或零度根轨迹。

由式（4-6）可得负参数根轨迹的相角条件为：0()360,0,1,2,G s l l ∠=⋅=±± （4-40）幅值条件为： 1()G s K=（4-41） 和常规根轨迹相对照，负参数根轨迹仅仅是相角条件变化了，因此在绘制负参数根轨迹时，只要将与相角条件有关的规则修改，其余规则照用不误。

修改的规则如下。

规则三 负参数根轨迹在实轴上的部分为线段或射线，其右边开环实零点和实极点的个数和为零或偶数。

规则四 负参数根轨迹的n m -条渐近线对正实轴的倾角分别为：360,0,1,2,,1n l l n m n mϕ⋅==--- （4-42）规则五 负参数根轨迹在开环极点j p 处对正实轴的出射角为：11360()()jm np i i j i i i i jl p z p p ϕ==≠=⋅+∠--∠-∑∑ （4-43）负参数极轨迹在开环零点j z 处对正实轴的入射角为：11360()()jn mz j i j i i i i jl z p z z θ==≠=⋅+∠---∑∑ （4-44）规则六 分离点d 处负参数根轨迹对正实轴的离开角为：111360()(),0,1,,1m nd i i i i r l d z d s l r r ϕ==+⎡⎤=⋅+∠--∠-=-⎢⎥⎣⎦∑∑ （4-45）负参数根轨迹对正实轴的切入角为：00111180360()(),0,1,,1m n d i i i i r l d p d s l r r θ==+⎡⎤=+⋅+∠--∠-=-⎢⎥⎣⎦∑∑ （4-46）负参数根轨迹在分离点d 处进入分支与离开分支是彼此相间隔的，其分离角同样为：180d rψ= （4-47）4-4 如何绘制多参数根轨迹？答 在有些控制系统的分析与设计中需要研究多个参数变化的影响，当一个以上的可变参数连续地从0变化到∞，闭环特征方程根的轨迹称为多参数根轨迹，或广义根轨迹。