函数与方程思想3
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，在高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。
函数思想是指用函数的概念、性质、图像去分析问题、转化问题和解决问题，具体体现在：①运用函数的性质解决数学问题；②用映射、函数的观点去观察、分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而解决问题；③对解不等式、讨论方程的解的个数或分布、某些参数范围的讨论问题等可通过构造函数，利用函数的性质解决。
方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的一种思想方法，具体体现在：①解方程及含参数方程的讨论；②可转化为方程（组）求解的讨论问题及构造方程（组）。
下面通过几个具体例题说明它们的应用。
一、运用函数、方程思想转化解决函数、方程和不等式问题【例】若a，b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
思维精析把方程转化成关于ab的不等式。
解法一：（看成函数的值域）：∵ab=a+b+3∴b=而b＞0∴＞0 即∵a＞0 ∴a＞1∴ab=a•==(a-1)++5≥9当且仅当a-1=,即a=3时取等号。
又a＞3时，a-1++5是关于a的单调增函数，∴ab的取值范围是［9,+∞）。
解法二：（看成不等式的解集）：∵a，b为正数，∴a+b≥2又ab=a+b+3∴ab≥2+3即( )2-2-3≥0即≥3或≤-1∴ab≥9解法三：解若设ab=t，则a+b=t-3∴a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根△=（t-3）2-4t≥0a+b=t-3＞0ab=t＝＞t≤1,t≥9t＞3t＞0 得t≥9 ，即ab≥9。
点拨：从以上解法可以看出，对于同一个问题，用不同的观点去看，会产生不同的想法，从而有不同的处理方法，解法一用函数观点去分析，则应将已知条件变形后去消元；解法二，解法三则利用题中和、积特征构造不等式、方程来求解，它们分别体现了用函数、用不等式、用方程来解决问题的意识，因此，在解题过程中，应多方位、多角度去思考、去探索，选用合理简明的解题途径，以求取得事半功倍之效。
函数与方程思想总结很好很面
函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】. 关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t＜1时，原方程有4个根，③当t＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个答案：1234【例2】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值为_____________解答：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，a≥－52.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围.3. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. 4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.【例3】 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为___________解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ，则a b +=_________ 解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有 一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=, 根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+.函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有于是, ()()()111,f a f b f b -=--=-因而得 11.2.a b a b -=-+= 【例5】 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________解答： 圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2，∴ 22|22|2a b a b ++≤，∴ 241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0， ∴ 2323a b ⎛⎫--≤≤-+ ⎪⎝⎭，a k b =-，∴ 2323k -≤≤+， 直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么y x的最大值为___________ 心,以3为半径的解答：根据已知等式,画出以()2,0为圆圆,则y x的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率.显然, y x 的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,3OC CA ==可得3AOC π∠=. 于是,y x 的最大值是tan 33π= 【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是___________ 解答：由题意，， 因此和都在直线上，∴原点到该直线的距离，∴过的直线与单位圆相切． 【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答：画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根. 因此, 充要条件是0<b 且0=c【例9】. 设函数)(x f ＝x 2－1，对任意x ∈),23(+∞，)(4)1()(4)(2m f x f x f m mx f +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m ＋4m 2f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m 2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1m 2＋4m 2≥2x ＋3x 2，设g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 于是题目化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞的最大值．设u ＝1x ，则0＜u ≤23. 函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间⎝⎛⎦⎥⎤0，23上是增函数，因而在u ＝23处取得最大值． h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2×23＝83，所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝83， 整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32，因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (解法2)(前面同解法1)原题化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞的最大值． 设t ＝2x ＋3，则t ∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝4t t 2－6t ＋9＝4t ＋9t －6. 因为函数t ＋9t 在(3，＋∞)上是增函数，所以当t ＝6时，t ＋9t 取得最小值6＋32.从而h(t)有最大值46＋32－6＝83.所以1－1m 2＋4m 2≥g max (x)＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32，因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (解法3)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即 (x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m 2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0，令F(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3. 由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立，必须使F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32为最小值， 即实数m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1－1m 2＋4m 2＞0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥0，解得m 2≥34，因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 【例10】．某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答： 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ，每月的增加投入百分率为r ．则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列， 如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故W>N1. (2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4.(2010·天津)设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解答：1. (0,1) 解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．2. 10 解析：S 9＝S 4,9a 1＋9×82d ＝4a 1＋4×32d ，a 1＝1，d ＝－16；由1＋(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，得k ＝10. 本题也可用数列性质解题，S 9＝S 4a 7＝0.3. (－∞，0) 解析：由题意可知f ′(x)＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝＝－13x 3(x ＞∈(－∞，0)．4. (－∞，－1) 解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －1mx －m x ＜0恒成立，显然m ≠0.所以当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m 2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解，综上所述实数m 的取值范围是m ＜－1.解答题题型一 构造函数与方程思想【例1】 已知函数f(x)＝x|x 2－3|，x ∈[0，m]，其中m ∈R ，且m>0(1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m 的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm 2]，试求实数λ的最小值．解答：(1) 证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x 2)＝3x －x 3，因为f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x 2)>0，所以f(x)是增函数，(2) 解：令g(x)＝x|x 2－3|，x ≥0，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 3，0≤x ≤3，x 3－3x ，x> 3. 当0≤x ≤3时，g ′(x)＝3－3x 2，由g ′(x)＝0得x ＝1，所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．当x>3时，g ′(x)＝3x 2－3>0，所以g(x)在[3，＋∞)上是增函数，所以x ∈[0，3]时，g(x)max ＝g(1)＝2，g(x)min ＝g(0)＝g(3)＝0，所以0<m<1不符合题意，1≤m ≤3符合题意．当m>3时，在x ∈[0，3]时，f(x)∈[0,2]，在x ∈[3，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3<m ≤2.综上，m 的取值范围是[1,2]．(3) 由(2)可知，0<m<1时，函数f(x)的最大值为f(m)＝3m －m 3，当1≤m ≤2时，函数f(x)的最大值为f(1)＝2.由题意知2＝λm 2，即λ＝2m 2，m ∈[1,2]时这是减函数，∴ λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m 3－3m ，由题意知m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3m ，这是增函数，∴ λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 综上，当m ＝2时，实数λ取最小值为12.变式训练 已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2. 点拨：确定变量，构造函数证明不等式．证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x 2， 则F ′(x)＝g ′(x)－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x 2′＝lnx －ln a ＋x 2. 当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数．从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)．因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0，即0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2. 再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，则G ′(x)＝lnx －ln a ＋x 2－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．当x ＞0时，G ′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数．因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0，即g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2. 综上得0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2. 【例2】已知二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f(x)＝g ?x ?x .(1) 若曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值(2) k(k ∈R )如何取值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点．解：(1) 设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴ 2a ＝2，a ＝1.(1分)又g(x)在x ＝－1取极小值，－b 2＝－1，b ＝2，∴ g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ；(2分)f(x)＝g ?x ?x ＝x ＋m x ＋2，设P(x 0，y 0)，则|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，(4分) 当且仅当2x 02＝m 2x 02时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值 2. 当m>0时，22m ＋2m ＝2，∴ m ＝2－1(6分)当m<0时，－22m ＋2m ＝2，∴ m ＝－2－1(7分)(2) 由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋m x ＋2＝0，得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0. (*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m 2；(8分)当k ≠1时，方程(*)有二解＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m ?1－k ?2?1－k ?＝1±1－m ?1－k ?k －1；(10分) 若m<0，k<1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点，x ＝－2±4－4m ?1－k ?2?1－k ?＝1±1－m ?1－k ?k －1；(12分) 当k ≠1时，方程(*)有一解＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m ， 函数y ＝f(x)－kx 有一个零点，x ＝1k －1.(14分) 【例3】．对于定义域为D 的函数，若同时满足下列条件： ①f(x)在D 内单调递增或单调递减；②存在区间使f(x)在上的值域为；那么把叫闭函数．（1）求闭函数符合条件②的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的范围．分析：这是一个新定义型的题目，要能从题中所给信息，进行加工提炼，得出解题的条件．解：（1）由题意，上递减，则解得所以，所求的区间为[－1，1]．（2）当所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f(x)的值域为[a，b]，即，的两个实数根，即方程有两个不等的实根．设f(x)=x2－(2k＋1)x＋k2－2.法一：当时有解得．当有此时不等式组无解．综上所述，．法二：只需满足方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有两大于或等于k的不等实根，即：点评：在解数学题的过程中，寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键，本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题．题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】．设a>b>c，且a＋b＋c=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：．证明：，且．从而．故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得．．可见，是的二次函数．由及，得，解得．在上是减函数，，即．题型三函数与方程思想在三角函数中的应用【例5】．已知函数f(x)=x2－(m＋1)x＋m(m∈R)．(1)若tanA，tanB是方程f(x)＋4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5；(2)对任意实数α，恒有f(2＋cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m．（1）证明：f(x)＋4=0即x2－(m＋1)x＋m＋4=0．依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，∴＜A＋B＜π．∴tan(A＋B)＜0，即．∴∴m≥5．(2)证明：∵f(x)=(x－1)(x－m)，又－1≤cosα≤1，∴1≤2＋cosα≤3，恒有f(2＋cosα)≤0．=3，∴m≥x max=3．即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x－1)(x－m)≤0，∴m≥x但xmax(3)解：∵f(sinα)=sin2α－(m＋1)sinα＋m=，且≥2，∴当sinα=－1时，f(sinα)有最大值8．即1＋(m＋1)＋m=8，∴m=3．题型四函数与方程思想在解析几何中的应用【例6】．直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．解：由消去y，得．（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根．所以解得．设，则由三点共线，得出．设，则在上为减函数，，且．，或，，或．题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】．如图，已知面，于D，．（1）令，，试把表示为x的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使成立？解答：（1）∵面，于D，∴．∴．．∵为在面上的射影．∴，即．∴．即的最大值为，等号当且仅当时取得．（2）．令，解得：，与交集非空．∴满足条件的点Q存在．点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键．。
函数与方程思想
程 ， 根据余 弦定 理 即可解 决 问题 ．例 ２有两 再 个 未知数 是 “ 二元 ”问题 ， 需建 立方程 组 ， 能 才 使 问题获 得解 决．这两 个 题 目， 知识 依托 各不 相 同 ，但都是 考 查 方 程 思 想 在解 题 中的应 用 ，
分 析 ：利用 向量垂直 的条 件 ｍ 上 ｎ ，可建 立 方程 Ｊ ・ｌ：０ ， ， ｌ ．即 ６ ｂ—ｃ （ ）＋（ ｃ一口 （ ） ｃ＋
个逻辑 关 系 ： 程 （ ）如 果有 负 根 ， 么必 方 那
在 （ ｏ 一１ 一ｏ， ］内（ 这是 因为直线 和双 曲线 的左 支交于两 点 ）依 此就 只须 方 程 （ ）有 两 负根 ，
＞ ， （） 增函 ． ＞ ０故ｇ 为 数 当ｎ
（Ｉ １）不 妨 设 Ｅ 与 Ｍ 的 四 个 交 点 坐 标 为
ｏ 孚 ＞ ，， ） 。 ） 选 Ｂ． 时 即（ ＞ ｏ， （ 故 ）
例 ５ 已知 ｛ ａ ｝为等 差数 列 ，１＋ａ ａ ３＋ａ
Ａ（ ｘ，
Ｄ（ ｘ， 为： 一 ） ，
● 杨 继
函 数 与 方 程 思 想
函数 与方程 思想 的核心 ， 就是构 建函数和 在高考试 题 中这类 问题是 大量存在 的．
例 ３ 直 线 Ｙ＝ｋ ｘ＋１ 和双 曲线 一ｙ ２＝
方程 解决 问题 的思 想．《 试 大纲 》指 出 ： 高 考 “
考对 函数 与方 程思想 进行重 点考 查 ， 通常 以选 择题 和填 空 题 的形 式 考 查 函数 与方 程 思 想 的 简单 应 用 ，而在解 答 题 中 ，则从 更深 层 次 ，在 知识 网络 的交 汇处 ， 从思想 方法 与相 关能力 综
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络2．命题思路与知识要点：2．1一般函数2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：①点P(x ，y)在xy=0； 点P(x ，y)在y ； ②点P(x ，y)x=y ； 点P(x ，y)③点P(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ，－y)；点P(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x ，y)； 点P(x ，y)关于原点对称的点的坐标是(－x ，－y)；确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
高中四大数学思想方法
高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。
分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。
应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。
如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。
2021年中考数学复习精讲课件专题3 方程、函数思想 - 副本
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题 型 一 用方程思想解决实际问题
例1.欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中 一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服 装的盈利情况是( B )
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
D．与售价a有关
重重点点题题型型
题组训练
【解析】列一元一次方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈 亏．设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x(1＋20%)＝a，设 第二件衣服的进价为y元，依题意得：y(1－20%)＝a，得出x(1 ＋20%)＝y(1－20%)，整理得：3x＝2y，该服装店卖出这两件 服装的盈利情况为：0.2x－0.2y＝0.2x－0.3x＝－0.1x，即赔了 0.1x元．
DF，EF.若∠EFD＝90°，则 AE 长为( B )
A．2 B． 5
C．3 2 2
D．3
3 2
重点题型
题题组组训训练练
4．(2020·咸宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上 ，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半 圆O的切线DF，交BC于点F. (1)求证：BF＝DF； (2)若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
14×40)×20%，解得：a≤95 .答：a 的最大值为95 .
重点题型
题题组组训训练练
1．(2020·牡丹江)某种商品每件的进价为120元，标价为180元． 为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商 店应打__8__折．
重点题型
题题组组训训练练
2．(2020·湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量 大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份 平均日产量达到24200个． (1)求口罩日产量的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
方程和函数思想的关系（摘录）
方程和函数思想的关系（摘录）方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。
王永春（课程教材研究所）1、方程和函数思想的概念方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
（1） 方程思想。
含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已之与未知数的对立统一。
(2) 函数思想。
设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。
其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y 的取值范围b叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。
高中数学 函数与方程思想
g(1)＝1，又
g(1e)＝e13＋3，g(e)＝e3－3，
且 g(1)<g(e)， e
故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 x∈[1，e]上的最大值为 g(e)＝e3－3，故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 e
区间[1，e]上的值域为[1，e3－3]． e
则有 1≤a＋1≤e3－3，则有 0≤a≤e3－4，
2
66
4
∵f(π)＝π－cosπ＝π， 2 4 24
∴在区间(－π，7π)上有且只有一个实数 x＝π满足 f(x)＝π.
66
2
4
当 x≤－π时，有 1x≤－ π ，－cosx≤1，
6
2 12
∴x≤－π时，f(x)＝1x－cosx≤－ π ＋1<π，
6
2
12 4
由此可得当 x≤π时，f(x)＝π没有实数根．
所以有 x≤－y，故选 B.
规律总结
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点
1．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题．
2．要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
1．已知函数 f(x)＝1x－cosx，则方程 f(x)＝π所有根的和为( C )
2
4
A．0
B．π 4
C．π 2
D．3π 2
[解析] ∵f(x)＝1x－cosx，∴f ′(x)＝1＋sinx.
2
2
当 x∈(－π，7π)时， 66
∵sinx>－1，∴f ′(x)＝1＋sinx>0，
小学数学：方程和函数思想
方程和函数思想1．方程和函数思想的概念。
方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
(1)方程思想。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题：χ=0 和χ=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已知与未知的对立统一。
(2)函数思想。
设集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系?，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝f(χ)。
其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：Ｖ＝πr2h。
半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值；也就是说，体积随着半径和高的变化而变化。
函数与方程的思想
函数与方程的思想
函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。
所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。
而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
3-24函数与方程思想
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考情分析
化为方程模型加以解决．函数与方程思想几乎渗透到中 学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用．
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要点串讲
函数与方程思想是高中数学的一条主线，也是数学 最本质的思想之一．函数思想使常量数学进入了变量数 学，高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何 等问题都可以转化为函数与方程问题．
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[证明] 令 f(n)＝ (n＝2,3，„)． 则 f(n＋1)＝
1 1 1＋ 1 1＋ 1＋ „ 3 5 2n－1
1＋2n
1 1 1＋ 1 1＋ 1 1＋ 1＋ „ 3 5 2n－1 2n＋1
④
由③④可得所求实数 a 的取值范围是－ 2 1－ 10 ≤a≤ . 2
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[点评] 此类已知恒成立的不等式求参数的问题，常 见的解题思路： 一是分离参数与已知范围的变化， 通过求 函数最值来确定参数的取值范围； 二是数形结合， 寻找参 数满足的关系式， 进而求出参数的取值范围． 在解题过程 中注意区分以下情形： (1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； (2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min； (3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min； (4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.
方程思想涉及的知识点多、知识面广，在概念性、理解
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性、应用性等方面都有一定的要求，所以是高考考查的重 点．我们应用函数与方程思想解题时可以从以下几个方面去
函数与方程思想
一、函数与方程思想(1)函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．(2)方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )>0(或f (x )<0)，就是求函数y ＝f (x )的正(或负)区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．[例1] 长度都为2的向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC ＝m OA ＋n OB ，则m ＋n 的最大值是________．[思维流程]四类参数范围(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．1．(1)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．(2)如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则a 的取值范围为________． [例2] 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0[思维流程]解决图像交点及方程根等问题的方法函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．2．已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，则实数k 的取值范围为________．[例3]已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．[思维流程]不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．3．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)； (2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.[例4] 若数列{a n }的通项公式为a n ＝83×⎝⎛⎭⎫18n －3×⎝⎛⎭⎫14n ＋⎝⎛⎭⎫12n (其中n ∈N *)，且该数列中最大的项为a m ，则m ＝_______.[思维流程]数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究． 第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列,求{a n }的通项公式．[例5]椭圆C 的中点为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP ＝3PB(1)求椭圆C 的方程；(2)求m 的取值范围．[思维流程]求椭圆方程→设直线l →联立直线l 与椭圆C 的方程→由Δ>0→得出m 的取值范围 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．5．如图，椭圆C ：x 2＋y 2m＝1(0<m <1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫95，435，求m 的值； (2)若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围．应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思考和切入(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( )A.12B.13C.25D.492．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，5) C ．[2，5] D ．(3，5)3．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3) 4．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥05.如图，A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ ＝OA ＋OP ，四边形OAQP 的面积为S ，当OA ·OP ＋S 取得最大值时θ的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π26．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32二、填空题7．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________．8．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．三、解答题10．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．11．如图，曲线M ：y 2＝x 与曲线N ：(x －4)2＋2y 2＝m 2(m >0)相交于A ，B ，C ，D 四个点．(1)求m 的取值范围；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与BD 的交点坐标．12．已知函数f (x )＝ax 3＋(2－a )x 2－x －1(a >0)．(1)若a ＝4，求f (x )的单调区间；(2)设x 1，x 2,1为关于x 的方程f (x )＝0的实根，若x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的取值范围．。
函数与方程思想
函数与方程思想[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.体验高考1.(2015·湖南)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 函数g (x )有两个零点， 即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根， 则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点. ①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增； 当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点. ②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点. ③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点. 综上，a <0或a >1.2.(2015·安徽)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号). ①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 答案 ①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，②错误.所有正确条件为①③④⑤.3.(2016·课标全国甲)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A.0B.mC.2mD.4m答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2此时m ＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m ，故选B. 方法二 由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y＝f (x )的图象关于点(0，1)对称.又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0，1)对称. 则∑i ＝1m(x i ，y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 (2016·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0⇒13≤a ≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象.由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解. 故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解.当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0， 解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件.综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题.变式训练1 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5，1]上的所有实根之和为( )A.－5B.－6C.－7D.－8 答案 C解析 g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，由题意知函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5，1]上的图象如图所示：由图象知f (x )、g (x )有三个交点，故方程f (x )＝g (x )在x ∈[－5，1]上有三个根x A 、x B 、x C ，x B ＝－3，x A ＋x C2＝－2，x A ＋x C ＝－4，∴x A ＋x B ＋x C ＝－7.题型二 函数与方程思想在不等式中的应用例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )ex <1的解集为( )A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，2)D.(2，＋∞) 答案 B解析 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x ·f ′(x )－e x ·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减.又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x <1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞).故选B. 点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练2 已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2，16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( ) A.(－∞，－2]B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵x ∈[2，16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1，4]， 即m ∈[1，4].不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立， 即为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2， 则此函数在[1，4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋(x －2)2>0，4(x －2)＋(x －2)2>0，解得x <－2或x >2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例3 已知数列{a n }是首项为2，各项均为正数的等差数列，a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n (其中S n 是数列{a n }的前n 项和)，若对任意n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值. 解 因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3.令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为： 第一步：分析数列式子的结构特征.第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.变式训练3 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *).若a 8a 7＜－1，则( )A.S n 的最大值是S 8B.S n 的最小值是S 8C.S n 的最大值是S 7D.S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1)，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，也满足AP →＝3PB →，此时m ＝±12.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.则3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0， 即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0， 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋2m 2－2＝0， 当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0， 所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1，综上，所求m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，－12∪⎣⎡⎭⎫12，1. 点评 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程. 第二步：求解判别式Δ.第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围. 第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节. 变式训练4 已知点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y ) ＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得 x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.高考题型精练1.关于x 的方程3x ＝a 2＋2a ，在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.[－2，－1)∪(0，1] B.[－3，－2)∪[0，1] C.[－3，－2)∪(0，1] D.[－2，－1)∪[0，1]答案 C解析 当x ∈(－∞，1]时，3x ∈(0，3]，要使3x ＝a 2＋2a 有解，a 2＋2a 的值域必须为(0，3]， 即0<a 2＋2a ≤3，解不等式可得－3≤a ＜－2或0＜a ≤1，故选C.2.设函数f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ，若不等式f (x )≤0有解，则实数a 的最小值为( ) A.2e －1 B.2－2e C.1＋2e 2 D.1－1e 答案 D解析 因为f (x )≤0有解，所以f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ≤0，a ≥x 3－3x ＋3－xe x ＝F (x )，F ′(x )＝3x 2－3＋x －1e x ＝(x －1)(3x ＋3＋e －x )，令G (x )＝3x ＋3＋e －x ，G ′(x )＝3－e －x ，3－e －x ＝0， x ＝－ln 3，G (x )最小值G (－ln 3)＝6－3ln 3>0， F (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， F (x )的最小值为F (1)＝1－1e ，所以a ≥1－1e ，故选D.3.已知f (x )＝x 2－4x ＋4，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，函数y ＝f n (x )的零点个数记为a n ，则a n 等于( ) A.2n B.2n －1 C.2n ＋1 D.2n 或2n －1 答案 B解析 f 1(x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，有1个零点2，由f 2(x )＝0可得f 1(x )＝2，则x ＝2＋2或x ＝2－2，即y ＝f 2(x )有2个零点，由f 3(x )＝0可得f 2(x )＝2－2或2＋2，则(x －2)2＝2－2或(x －2)2＝2＋2，即y ＝f 3(x )有4个零点，以此类推可知，y ＝f n (x )的零点个数a n ＝2n －1.故选B.4.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0，2)，x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围为____________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，142解析 问题等价于f (x )min ≥g (x )max . f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2，令f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1，3)，单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1，2].当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时；g (x )max ＝g (b )＝b 2－4； 当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解. 综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，142. 5.满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________. 答案 2 2解析 可设BC ＝x ，则AC ＝2x ， 根据面积公式得S △ABC ＝x 1－cos 2B ， 由余弦定理计算得cos B ＝4－x 24x ，代入上式得S △ABC ＝x 1－(4－x 24x)2＝128－(x 2－12)216.由⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，得22－2<x <22＋2.故当x ＝23时，S △ABC 有最大值2 2.6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________. 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.7.设函数f (x )＝ln x ＋ax －1(a 为常数).(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； (2)若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，由f (x )＝ln x ＋a x －1得f ′(x )＝1x －a (x －1)2， 由于曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，所以f ′(2)＝0，即12－a (2－1)2＝0， 所以a ＝12. (2)因为f ′(x )＝1x －a (x －1)2＝x 2－(2＋a )x ＋1x (x －1)2， 若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，则函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点， 令φ(x )＝x 2－(2＋a )x ＋1.设x 2－(2＋a )x ＋1＝(x －α)(x －β)，可知αβ＝1， 不妨设β>α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)， 若函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点， 即y ＝φ(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，所以β>e ，又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e 2－(2＋a )e ＋1<0，解得a >e ＋1e－2， 所以实数a 的取值范围是(e ＋1e－2，＋∞). 8.已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a ，当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞).(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立.∵当x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0].9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2. 又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 所以k 的值为1或－1.10.已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值. 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4. ② 由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意.舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n .(2)b n ＝a n ＋log 21a n＝2n ＋log 212n ＝2n －n . 所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
函数与方程的思想
函数与方程的思想1、专题概述函数思想，就是通过建立函数关系式或构造函数，运用函数的概念和性质等知识去分析、转化和解决问题。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的特征，重在对问题的变量的动态研究。
方程的思想，就是分析变量间的等量关系，通过构造方程，从而建立方程〔组〕或方程与不等式的混合组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。
方程的思想与函数的思想是密切相关的，方程0)(=x f 的解，就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标，函数式)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-x f y ；函数与不等式也可以相互转化，对于函数)(x f y =，当0＞y 时，就化为不等式0)(＞x f ，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性态，也离不开不等式。
这种函数与方程、不等式之间的关系表达了“联系和变化〞的辩证唯物主义观点，应注意函数思想与方程思想是相辅相成的。
利用函数思想方法解决问题，要求我们必须深刻理解掌握初等图像与性质，以及函数与反函数、最值或值域、图像的变换、函数图像的交点个数，这是必备的基础。
因此，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
运用函数思想解题具体表现在：〔1〕遇到变量，构造函数关系，利用函数沟通知识间的联系；〔2〕有关的不等式恒成立、方程根的个数及其一元二次方程根的分布、最值、值域之类的问题转化为函数问题；〔3〕含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，使问题得以解决；〔4〕等差、等比数列中，通项公式、前n 项和公式都可以看成关于自然数n 的函数，因此数列问题可以用函数思想解决；〔5〕解析几何中的直线与直线、直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过方程或方程组解决；〔6〕利用函数)()()(+∈+=N n b a x f n 用赋值法或比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题；〔7〕通过构造函数〔或建立函数关系〕，解决实际或应用问题。
函数与方程思想专题
函数与方程思想专题淮南三中 蔡田1 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函 数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
3函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x 轴交点问题，方程f(x)=a 有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
例1．若a 、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
解析：方法一：（看成函数的值域）∵3++=b a ab，∴()31+=-a a b ∵1=a 不满足上式，∴1≠a∴13-+=a ab ，由于0>b ，∴013>-+a a 可得1>a 或3-<a （舍） ∴514)1(14)1(5)1(131322+-+-=-+-+-=-+=-+⋅=a a a a a a a a a a a ab∵1>a ，∴01>-a 由基本不等式得9≥ab当且仅当14)1(-=-a a，即3=a 时，等号成立. ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二(看成不等式的解集) ∵a 、b 为正数, ∴ab b a 2≥+，又因为3-=+ab b a∴ab ab 23≥- 即032)(2≥--ab ab解得3≥ab 或1-≤ab （舍去）∴9≥ab ，即ab 的取值范围是[9,+∞).例2：已知a ，b ，c R ∈，0=++c b a ，01=-+bc a ，求a 的取值范围。
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函数与方程思想一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设直线 ax +by +c =0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a ,b 满足 （ ）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．40084．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 （ ） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种5．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b )有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个6．设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 27．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．若函数f (x )=(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x ) （ ）A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减9．定义在（－∞，+∞）上的奇函数f (x )和偶函数g (x )在区间（－∞,0]上的图像关于x 轴对称，且f (x )为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )成立的是 （ ）A ．a >b >0B ．a <b <0C ．ab >0D ．ab <010．△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°,△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+11．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4。
若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于 （ ）A ．23B ．415C ．25D ．312．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为1049+n 元（n ∈N *），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了 （ ）A ．800天B ．1000天C ．1200天D ．1400天二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．若1(2)n x x+-的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝ . 14．x 0是x 的方程a x =log a x (0<a <1)的解，则x 0,1,a 这三个数的大小关系是 . 15．已知函数y f x y fx ==-()()与1互为反函数，又y fx y g x =+=-11()()与的图象关于直线y x =对称，若f x x x fx ()log ()()()=+>=-122120，则___ __;g ()6=_______ .16．已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________.（填上一个正确的数据序号即可） 三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知集合A={x |x 2－ax +a 2－19=0}，集合B={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，集合C={x |m 822-+x x =1,m ≠0，|m |≠1}满足A ∩Bφ, A ∩C=φ，求实数a 的值.18．（本小题满分12分）有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11.（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;（2）若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据.19．（本小题满分12分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为p %的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%170p -元，预计年销售量将减少p 万件.（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？20．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.21．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m ,n （m <n ），使f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[4m ,4n ]，如果存在，求出m ,n 的值；如果不存在，说明理由.22．（本小题满分14分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . （1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.答 案一、选择题（每小题5分，共60分）(1).D (2).C (3).B (4).A (5). A(6).B (7).C (8).B (9).A (10).B (11).C (12).A 二、填空题（每小题4分，共16分） (13). 3； (14). 10或1031- (15).12214⎛⎝ ⎫⎭⎪-<--xx ()，； (16). ①或② 三、解答题（共74分，按步骤得分）17.解：由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，由A ∩Bφ，A ∩C=φ，可知3∈A ，2∉A 。
将x=3代入集合A 的条件得：a 2－3a －10=0 ∴a=－2或a=5 当a=－2时，A={x|x 2+2x －15=0}={－5,3},符合已知条件。
当a=5时,A={x|x 2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A ∩C ”=φ，故舍去. 综上得：a=－2.18.解：（1） 依条件得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)2()1(9)1(103212121n x x x n x x x nx x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111 （2）由于1x 是正整数，故1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n 当n =10时, 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x , 此时，62=x ,73=x ,84=x ,95=x ,116=x ,127=x ,138=x ,149=x .19. 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p ）万件，年销售收入为%170p -（11.8－p ）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -（11.8－p ）p %（万元）.故所求函数为:y =p-1007（118－10p ）p .11.8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559.（2）由y ≥14，得p-1007（118－10p ）p ≥14.化简得p 2－12p +20≤0，即（p －2）（p －10）≤0，解得2≤p ≤10. 故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元. （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时， 厂家的销售收入为g （p ）=%170p -（11.8－p ）（2≤p ≤10）.∵g （p ）=%170p -（11.8－p ）=700（10+100882-p ）为减函数，∴g （p ）max =g （2）=700（万元）.故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元. 20. 解：,2111)(x x x f -+=' ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.21.解：(1)∵方程ax 2+bx －2x=0有等根，∴△=(b －2)2=0，得b=2。
由f(x －1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－ab2=1，得a=－1， 故f(x)=－x 2+2x.(2)∵f(x)=－(x －1)2+1≤1，∴4n ≤1，即n ≤41. 而抛物线y=－x 2+2x 的对称轴为x=1，∴当n ≤41时，f(x)在[m,n]上为增函数。
若满足题设条件的m,n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(- 11 - 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-nn n m m m 424222⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或又m<n ≤41. ∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]. 由以上知满足条件的m,n 存在,m=－2,n=0.22. 解：（1）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以. （2）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得 ⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a,)(239S s ≠故所得数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，（1） （2）。