【最新】北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》公开课课件1
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北师大版数学七年级下册1.6.1《完全平方公式1》课件 (共12张PPT)
=m2+3m+3m+9 =m2+2×3m+9 =m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x)
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2 =4+12x+9x2
2.再举两例验证你的发现
(a+b) 2=a2+2ab+b2
你能用自己的语言叙述这一公式吗？
你能用图1-5解释这一公式吗？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
结果不同： 平方差公式的结果是两项 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
2. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公 式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、 2ab时不少乘2。
1.计算：
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2 =4+12x+9x2
2.再举两例验证你的发现
(a+b) 2=a2+2ab+b2
你能用自己的语言叙述这一公式吗？
你能用图1-5解释这一公式吗？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
结果不同： 平方差公式的结果是两项 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
2. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公 式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、 2ab时不少乘2。
1.计算：
新北师大版七年级数学下册第一章《完成平方公式》公开课课件
3、公式证明 你能用我们学过的多项式的乘法法则来证明 公式吗？
(a+b) 2=a2+2ab+b2
公式证明 (a+b) 2=(a+b)(a+b) =a 2+ab+ab+b2 =a2 +2ab+b2
3、公式证明 你能用图1-7解释这一公式吗？ 提示：如何计算大正方形的面积 b 算法一：S正＝ （a＋b）2 算法二： S正＝ a2＋ab＋ab＋b2 2＋2ab＋b2 ＝ a a 算法一和算法二表示的是同一 个图形的面积，所以 a b 2＝a2＋2ab＋b2 （ a ＋ b ） 图1 —7
设计目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾， 要尽量让学生畅谈自己的切身感受，本节课学了什 么，怎么学的，一问一答间对内容进行总结，使学 生达到对所学知识巩固的目的。
(3) (mn−a)2
7、巩固练习
1.计算：
1 (1) ( x − 2y)2 ； 2 1 2 (2) (2xy+ 5x ) ;
(3)(n +1)2 − n2 ; 2.指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
三、教学设计
1、复习引入 2、探求新知 3、公式证明 4、换元拓展 5、观察特征 6、例题讲解 7、巩固练习 8、小结提高 9、作业布置
1、复习引入
（1）. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2 （2）.公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与 这两数差的积；右边是两数的平方差。
1.6完全平方公式课件数学北师大版七年级下册
=
2
30 +2×30× +
2
=
感悟新知
知1－练
2-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋ 4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2 ＝10 000－40＋ 0.04＝9 960.04；
感悟新知
知1－练
阴影部分面积的关系，可以验证的乘法公式是
②
_______.(填序号)
①(a+b)(a－b)=a2－b2；
② (a－b )2 = a2－2ab+b2；
③(a+b)2=a2+2ab+b2；
④(a+b)2=(a－b)2+4ab.
感悟新知
知识点 3 利用乘法公式进行整式的混合运算
知3－讲
1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘
感悟新知
知1－练
1-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
解：原式＝4y2－4y＋1；
(2)(3a+2b)2；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
(3)(－x+2y)2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知1－练
例2 计算：(1)9992；(2) 2.
=－(4x2+12xy+9y2)
若两项都相同或都相反，
=－4x2－12xy－9y2.
则用完全平方公式计算.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·怀化] 下列计算正确的是( C )
2
30 +2×30× +
2
=
感悟新知
知1－练
2-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋ 4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2 ＝10 000－40＋ 0.04＝9 960.04；
感悟新知
知1－练
阴影部分面积的关系，可以验证的乘法公式是
②
_______.(填序号)
①(a+b)(a－b)=a2－b2；
② (a－b )2 = a2－2ab+b2；
③(a+b)2=a2+2ab+b2；
④(a+b)2=(a－b)2+4ab.
感悟新知
知识点 3 利用乘法公式进行整式的混合运算
知3－讲
1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘
感悟新知
知1－练
1-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
解：原式＝4y2－4y＋1；
(2)(3a+2b)2；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
(3)(－x+2y)2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知1－练
例2 计算：(1)9992；(2) 2.
=－(4x2+12xy+9y2)
若两项都相同或都相反，
=－4x2－12xy－9y2.
则用完全平方公式计算.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·怀化] 下列计算正确的是( C )
【最新】北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式(1)》公开课课件.ppt
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
作作业业
1、基础训练：教材p.43 习题1.13 . 2、扩展训练：试一试.
P41---42 读一读.
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
形式不同． 结果不同：
完全平方公式的结果 是三项， 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方 时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键
= a 2 + 2a (−b) +(−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
初 识 完全平方 公式
(a+b)22= a22++22aabb+b22 . (a−b)2 = a2−2ab++bb22.
结构特征: 左边是 二项式 (两数和(差)) 的平方;
右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
拓展练习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
【最新】北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式(2)》公开课课件.ppt
A. -11 B. 13 C. 37 D. 61
3.若 (xy)29,(xy)25,则xy= 1
４.若x－y＝３，xy＝10,则 x2 y 2 29
5.用完全平方公式计算：
(1) 4992 (2) 9982 答案
(1) 249001 (2)996004
(3) 532 (4) 882 (3) 2809 (4) 7744
3、仿照课本例2的解法计算：
(1)(ab+1)2-(ab)2
(2)(a-b+3)(a-b-3)
(3)(y-7)2-(y+1)(y+2)
（学生自学，教师巡视4分钟）
自学检测1（8分钟）
1、利用整式乘法公式计算：
(1)962 (2)(2x+y+1)(2x+y-1)
2、计算：
(1)(ab+1)2-(ab-1)2 (2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (3)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)
1.6.2 完全平方公式（2）
学习目标：（1分钟）
1、应用完全平方公式解决数字 计算问题 2、完全平方公式在整式计算中 的应用
自学指导1（1分钟）
自习课本P26页“怎样计算1022，1972更 简单呢？”下面的内容，并思考：
1、如何应用公式解决数字计算问题？
2、仿照课本解法计算：（1）1012（2）982
2、第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩 子多少块糖?
3、第三天这（a+b）个孩子去了老人家，老人一共给了 这些孩子多少块糖?
4、这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的 糖果总数哪个多？多多少？为什么？
答案：( 1 ) a 2( 2 )b 2( 3 ) ( a b ) 2 ( 4 )( a b ) 2 ( a 2 b 2 ) 2 a b
3.若 (xy)29,(xy)25,则xy= 1
４.若x－y＝３，xy＝10,则 x2 y 2 29
5.用完全平方公式计算：
(1) 4992 (2) 9982 答案
(1) 249001 (2)996004
(3) 532 (4) 882 (3) 2809 (4) 7744
3、仿照课本例2的解法计算：
(1)(ab+1)2-(ab)2
(2)(a-b+3)(a-b-3)
(3)(y-7)2-(y+1)(y+2)
（学生自学，教师巡视4分钟）
自学检测1（8分钟）
1、利用整式乘法公式计算：
(1)962 (2)(2x+y+1)(2x+y-1)
2、计算：
(1)(ab+1)2-(ab-1)2 (2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (3)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)
1.6.2 完全平方公式（2）
学习目标：（1分钟）
1、应用完全平方公式解决数字 计算问题 2、完全平方公式在整式计算中 的应用
自学指导1（1分钟）
自习课本P26页“怎样计算1022，1972更 简单呢？”下面的内容，并思考：
1、如何应用公式解决数字计算问题？
2、仿照课本解法计算：（1）1012（2）982
2、第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩 子多少块糖?
3、第三天这（a+b）个孩子去了老人家，老人一共给了 这些孩子多少块糖?
4、这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的 糖果总数哪个多？多多少？为什么？
答案：( 1 ) a 2( 2 )b 2( 3 ) ( a b ) 2 ( 4 )( a b ) 2 ( a 2 b 2 ) 2 a b
北师大版七下1.6完全平方公式课件(1)
• 4题答案：
• (1) (y-6)²=y²-2y×6+6²=y²-12y+36 • (2) (-1+½y) ²=(-1) ²+2×(-1)(½y)+ (½y) ²
•
=1-y+¼y ²
• (3) 101 ²=(100+1)²=100²+2×100×1+1²
•
=10000+200+1=10201
• (4) (x+3)(x-3)(x²-9)
间的符号相同。 首平方，尾平方， 积的2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空): (1)(a+1)2=( a )2+2( a )( 1 )+( 1 )2
=( a2 2a 1 )
∴a2+b2=(a+b)2-2ab =25-8 =17
做一做
完一块全边长平为a方米的公正方式形实验田因，需
要将其边长增加 b 米。形成四
块实验田，以种植不同的新品
种(如图1—6).
b
用不同的情势表示实验
田的总面积, 并进行比较.
探索: 你发现了什么?a
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
间
法二
接 求
=(4a2 20ab 25b2 )
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2
例1.运用完全平方公计算⑴(x+2y)2,⑵(x-2y)2
新北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》公开课课件1
【预习思考】 (a-b)2与(-a+b)2相等吗？ 提示：相等.
完全平方公式
【例1】(2012·盐城中考)化简：(a-b)2+b(2a+b).
【解题探究】(1)(a-b)2化简后的结果为a2-2ab+b2.
(2)b(2a+b)化简后的结果为2ab+b2. 所以原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
5.(2012·泉州中考)先化简，再求值：(x+3)2+(2+x)(2-x)，其 中x=-2. 【解析】原式=x2+6x+9+4-x2=6x+13， 当x=-2时，原式=6×(-2)+13=1.
(1)(a+b)2=a2+b2.
(2)(a-b)2=a2-b2.
(3)(a-b)2=a2-2ab-b2.
【跟踪训练】 1.(2012·南通中考)已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等 于( (A)64 ) (B)48 (C)32 (D)16
【解析】选A.因为16x=2×x×8，所以这两个数是x，8，所以 k=82=64.
a2＋2ab＋b2 ，(a－b)2＝___________. a2－2ab＋b2 【归纳】(1)(a＋b)2＝___________ 三 项,且有___ 两 平方 ②右边是___ (2)公式特征：①左边：二项式的_____; 个平方项,中间项为首尾两项底数积的2倍. 平方和 (3)语言叙述：两数和(或差)的平方,等于这两个数的_______,
2.(2012·凉山州中考)整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2，则
A=_____.
北师大版数学七年级下册1.6完全平方公式(一)课件
求（2 023－x）（x－2 022）的值．
1
解：(3)①因为 xy＝2，所以xy＝4.
2
又因为x＋y＝6，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy
＝36－2×4
＝28.
②设a＝2 023－x，b＝x－2 022，则a2＋b2＝
9，a＋b＝1.
由（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，得12＝9＋2ab.
解得ab＝－4，即（2 023－x）（x－2 022）
的值为－4．
谢
谢
平方和加上它
2＝_______________.
______________.(a＋b)
们的积的2倍
a2＋2ab＋b2
对点范例
3.
下列各式计算正确的是(
A. (a＋b)2＝a2＋b2
B. (2a＋b)2＝4a2＋2ab＋b2
C. (a＋2b)2＝a2＋4b2
D.
1
1 2
2
( a＋3) ＝ a ＋3a＋9
＝60，再根据(m－n)2＝m2＋n2－2mn，即可求出
mn的值.
母题变式
6. 如图1－11－2，将边长为(a＋b)的正方形
剪出两个边长分别为a，b的正方形(图中阴影
部分). 视察图形，解答下列问题：
(1)根据题意，用两种不同的方法表
示阴影部分的面积，即用两个不同的
代数式表示阴影部分的面积.
方法一：________，
则m－n＝2，m2＋n2＝60.
由(m－n)2＝m2＋n2－2mn，得22＝60－2mn.
解得mn＝28＝(5＋2x)(2x＋3)，
即(5＋2x)(2x＋3)的值为28.
(1)从整体和部分两个方面用含有a
，b的代数式表示图形的面积即可；
1
解：(3)①因为 xy＝2，所以xy＝4.
2
又因为x＋y＝6，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy
＝36－2×4
＝28.
②设a＝2 023－x，b＝x－2 022，则a2＋b2＝
9，a＋b＝1.
由（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，得12＝9＋2ab.
解得ab＝－4，即（2 023－x）（x－2 022）
的值为－4．
谢
谢
平方和加上它
2＝_______________.
______________.(a＋b)
们的积的2倍
a2＋2ab＋b2
对点范例
3.
下列各式计算正确的是(
A. (a＋b)2＝a2＋b2
B. (2a＋b)2＝4a2＋2ab＋b2
C. (a＋2b)2＝a2＋4b2
D.
1
1 2
2
( a＋3) ＝ a ＋3a＋9
＝60，再根据(m－n)2＝m2＋n2－2mn，即可求出
mn的值.
母题变式
6. 如图1－11－2，将边长为(a＋b)的正方形
剪出两个边长分别为a，b的正方形(图中阴影
部分). 视察图形，解答下列问题：
(1)根据题意，用两种不同的方法表
示阴影部分的面积，即用两个不同的
代数式表示阴影部分的面积.
方法一：________，
则m－n＝2，m2＋n2＝60.
由(m－n)2＝m2＋n2－2mn，得22＝60－2mn.
解得mn＝28＝(5＋2x)(2x＋3)，
即(5＋2x)(2x＋3)的值为28.
(1)从整体和部分两个方面用含有a
，b的代数式表示图形的面积即可；
北师大版数学七年级下册1.6完全平方公式(第一课时)课件
b
b
a
ab 图1
a
b a 图2
ZYT
探究新知
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
探究新知
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
为另一组”.
ZYT
典例精析
例3 已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8， (x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy ＝36-16＝20；
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy ＝20-16＝4.
=(3a)2－(b－2)2 =9a2-b2+4b-4.
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]
=(x-y)2-(m-n)2
=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
ZYT
课堂检测
能力提升题
1.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
北师大版七下数学1.6完全平方公式(一)课件
读一读
作业布置
1、课 本: P26 第1、2题（必做题） 2、课 本: P26 第3、4题（选做题）
3 、思考：(a+b)2与(a-b)2有怎样的 联系？能否用一个等式来表示两者 之间的关系，并尝试用图形来验证 你的结论？
小组讨论
完全平方公式
பைடு நூலகம்
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
用自己的语言叙述这一公式
两项差的平方,等于这两个项 的平方和减去它们的积的2倍
小组讨论 完全平方公式 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
积，等于它们的平方差
同号是a 异号后面是b
引入新课
李大爷去年在一块边长为a米的正
方形实验田里种玉米，今年为了增加收
入，将其边长增加b米。形成四块实验
田，以种植不同的新品种(如图）。
你能用不同的情势 b
表示实验田的总面积,
并进行比较吗？
a
a
b
b
a ab
b b2
a 你发现了什么?
a2
(a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能说明这个等式的结构特点吗？ 用自己的语言叙述。
两项和的平方,等于这两个项 的平方和加上它们的积的2倍
小组讨论
如何计算(a-b)2? 解: (a-b)2
=[a+(-b)]2 =a2+2·a·(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2
新北师大版七年级下册初中数学 课时1 完全平方公式 教学课件
(2)少了第一数与第二数乘积的2倍（丢了一项）； 应改为： (2a ＋ 1)2=（2a)2 ＋ 2 ×2a •1＋1 ； (3)第一数平方未添括号，第一数与第二数乘积的 2倍错了符号；第二数的平方这一项错了符号； 应改为： (－ a－1)2=（－a)2 － 2 • （－ a） •1
＋1 2．
第十七页，共十八页。
如图(2) ，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . 它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即 a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 .
a-b
所以：(a-b)2=a2-2ab+b2
b
第六页，共十八页。
a (2)
新课讲解
知识点1 完全平方公式
公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加 上（或减去）它们的积的2倍.
（a - b）2 （a b）2 - 4ab
（a b）2 （- a - b）2 4ab
（a b）2 （a - b）2 （ 2 a2 b2）
ab 1（a b）2 （a2 b2）（a b）2 （a b）2
2
2
2
（a b c）2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
完全平方公式的特点：
(1) 两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同； (2) 两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方， 中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
第七页，共十八页。
新课讲解
知识点1 完全平方公式
北师大七年级下《完全公式》课件
北师大七年级下《完全 公式》ppt课件
目录
Contents
• 完全平方公式介绍 • 完全平方公式推导 • 完全平方公式应用 • 完全平方公式习题 • 总结与回顾
01 完全平方公式介绍
什么是完全平方公式
01
完全平方公式是指一个多项式等 于它自身乘以它自身的公式。
02
它是一种特殊的二次公式，可以 用来简化复杂的代数表达式。
• 下一章我们将学习一元一次不等式的解法，了解如何解一元一次不等式，以及如何解决与一元一次不等式相关的问题。
02 完全平方公式推导
平方差公式
平方差公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
证明
利用多项式乘法展开$(a+b)^2$，得到$a^2+2ab+b^2$。
完全平方公式推导过程
完全平方公式
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
证明
利用多项式乘法展开$(a-b)^2$，得到$a^2-2ab+b^2$。
完全平方公式
完全平方公式是数学中一个重要的公式，用于将一个二次多项式表示为 一个一次多项式和一个常数的平方和。在本章中，我们学习了如何识别 和运用完全平方公式。
平方差公式
平方差公式是用于计算两个数的平方差的一种简便方法。在本章中，我 们学习了如何应用平方差公式进行计算。
03
因式分解
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式。在本章中，我们
在数学其他领域的应用
总结词
完全平方公式在数学其他领域的应用 。
详细描述
除了代数和几何领域，完全平方公式 还广泛应用于解析几何、微积分和线 性代数等领域。这些领域中的许多问 题可以通过应用完全平方公式得到解 决或简化。
目录
Contents
• 完全平方公式介绍 • 完全平方公式推导 • 完全平方公式应用 • 完全平方公式习题 • 总结与回顾
01 完全平方公式介绍
什么是完全平方公式
01
完全平方公式是指一个多项式等 于它自身乘以它自身的公式。
02
它是一种特殊的二次公式，可以 用来简化复杂的代数表达式。
• 下一章我们将学习一元一次不等式的解法，了解如何解一元一次不等式，以及如何解决与一元一次不等式相关的问题。
02 完全平方公式推导
平方差公式
平方差公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
证明
利用多项式乘法展开$(a+b)^2$，得到$a^2+2ab+b^2$。
完全平方公式推导过程
完全平方公式
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
证明
利用多项式乘法展开$(a-b)^2$，得到$a^2-2ab+b^2$。
完全平方公式
完全平方公式是数学中一个重要的公式，用于将一个二次多项式表示为 一个一次多项式和一个常数的平方和。在本章中，我们学习了如何识别 和运用完全平方公式。
平方差公式
平方差公式是用于计算两个数的平方差的一种简便方法。在本章中，我 们学习了如何应用平方差公式进行计算。
03
因式分解
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式。在本章中，我们
在数学其他领域的应用
总结词
完全平方公式在数学其他领域的应用 。
详细描述
除了代数和几何领域，完全平方公式 还广泛应用于解析几何、微积分和线 性代数等领域。这些领域中的许多问 题可以通过应用完全平方公式得到解 决或简化。
北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式(1)》公开课课件
4、公式中的字母a，b可以表示数、字母、单 项式或多项式。
当堂训练（17分钟）
1、计算：
12x5y2;21m12;32t 12;
3 2
41x 1 y2;57ab22;6cd12.
5 10
2
2、一个圆的半径长为rcm，减少2cm后，这个圆
的面积减少了多少？
3、观察下列各式：152=225，252=625， 352=1225，…个位数字是5的两位数平方后， 末尾的两个数有什么规律？为什么？
3、完成课本p24页的随堂练习计算(1)(2)(3)
讨论，更正，点拨
1、(1)(x+2y)2
解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
这里的2强 调不能漏乘
=x2+4xy +4y2
2、下列计算是否正确？如何改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 4:17:11 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
当堂训练（17分钟）
1、计算：
12x5y2;21m12;32t 12;
3 2
41x 1 y2;57ab22;6cd12.
5 10
2
2、一个圆的半径长为rcm，减少2cm后，这个圆
的面积减少了多少？
3、观察下列各式：152=225，252=625， 352=1225，…个位数字是5的两位数平方后， 末尾的两个数有什么规律？为什么？
3、完成课本p24页的随堂练习计算(1)(2)(3)
讨论，更正，点拨
1、(1)(x+2y)2
解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
这里的2强 调不能漏乘
=x2+4xy +4y2
2、下列计算是否正确？如何改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 4:17:11 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
北师大版七年级数学下册第一单元《完全平方公式(1)》课件
2
= 2 − 2 + 2
文字语言：
两个数差的平方，等于这两个数平方的和，减去
这两个数乘积的2倍.
二、探究新知
你能用下面的图形推导差的完全平方公式吗？
b
a
ab
图中红色正方形的面积如何表示？
b²
ab
(a-b)²
a b
(a b) a ab ab b 2
2
2
=2 − 2 + 2
2
= 22 + 4 + 1
2
1
2
（4） 3 −
=
2
2
− +
1 2
4
= 92 − 3 + 2
2.利用完全平方公式计算：
1
3
（1） 2 + 5
2
（2）
（3） −2 − 1
2
（4）1012
−
1 2
2
谢谢聆听
同学们，再见
符号看前方
三、典例解析
例1
±
利用完全平方公式计算：
（1） +
1 2
2
2
= 2 ± 2 + 2
（2） 2 − 3
（4） − 2
2
2
1
1
1
1
2
2
（1） +
= +2∙ ∙+
= ++
解：
2
4
2
2
（2） 2 − 3 2 = 2 2 − 2 ∙ 3 ∙ 2 + 32 = 4 2 − 12 + 9
（2） 2 + 3
最新北师大版七年级数学下册《完全平方公式》精品ppt教学课件
第 一章 整式的乘除
完全平方公式
第2课时
学习目标
1.进一步掌握完全平方公式；（重点） 2.灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)
复习导入
提问： （1） 什么是平方差公式？ （2） 什么是完全平方公式？ （3）语言叙述这两个公式？
知识讲解
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
(1) 1022；
4.已知x+y=8，x-y=4，求xy. 解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.
∵x-y=4， ∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②. ①-②，得 4xy=48， ∴xy=12.
人生格言：
我们要知道别人能做到的事，只要自己有恒心，坚持努力， 就没有什么事是做不到的。在我们心里必须懂得： 1. 人生想学习一点东西，就应该先学会谦逊。 3. 没有伞的孩子必须努力奔跑。 4. 你不勇敢，没人替你坚强。 5. 好学而不勤问非真好学者。 6. 形成天才的决定因素应该是勤奋。 7. 一分耕耘，一分收获。一艺之成，当尽毕生之力。 8. 虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理。 9.读书不知要领，劳而无功。
(2) 1972.
解：原式= (100+2)2
解：原式= (200 –3)2
= (100)2+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404.
= (200)2-2×200×3+32 =40000-1200400+9 =38809.
练一练 （1）992
（2）1992
解：（1）992 = (100-1)2 = 1002-2×100×1+12 = 10000-400+1
完全平方公式
第2课时
学习目标
1.进一步掌握完全平方公式；（重点） 2.灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)
复习导入
提问： （1） 什么是平方差公式？ （2） 什么是完全平方公式？ （3）语言叙述这两个公式？
知识讲解
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
(1) 1022；
4.已知x+y=8，x-y=4，求xy. 解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.
∵x-y=4， ∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②. ①-②，得 4xy=48， ∴xy=12.
人生格言：
我们要知道别人能做到的事，只要自己有恒心，坚持努力， 就没有什么事是做不到的。在我们心里必须懂得： 1. 人生想学习一点东西，就应该先学会谦逊。 3. 没有伞的孩子必须努力奔跑。 4. 你不勇敢，没人替你坚强。 5. 好学而不勤问非真好学者。 6. 形成天才的决定因素应该是勤奋。 7. 一分耕耘，一分收获。一艺之成，当尽毕生之力。 8. 虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理。 9.读书不知要领，劳而无功。
(2) 1972.
解：原式= (100+2)2
解：原式= (200 –3)2
= (100)2+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404.
= (200)2-2×200×3+32 =40000-1200400+9 =38809.
练一练 （1）992
（2）1992
解：（1）992 = (100-1)2 = 1002-2×100×1+12 = 10000-400+1
《完全平方公式课件 》课件 (公开课)2022年北师版七下
第一章 整式的乘除
6 完全平方公式〔第2课时〕
知识回忆
1. 完全平方公式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 2. 想一想： 〔1〕两个公式中的字母都能表示什么? 〔2〕完全平方公式在计算化简中有些 什么作用? 〔3〕根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗?
∴ OA＝OC
又∵AC⊥BD
图 2 0 .3 .3
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线
∴ AB＝BC ∴ 四边形ABCD是菱形
例如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分
线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形 A分F析CE要是证菱四形边．形AFCE是菱形，由条件可
知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是 平行四边形，又EF垂直平分AC，所以只
由此，可以得到一个猜测：“如果一个平行四边形 垂直〞是菱形所特有的性质。 的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱
形。〞
如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木 棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个 端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行 四边形．假设转动其中一个木棒，重复上面的做法，当 两 个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形 呢？
由此我们得到了判定菱形的又一种方法：
四条边都相等的四边形是菱形．
其实，这个结论同样是正确的．这里的条件能否再减少 一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的 四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会 知道，这个结论是不成立的．
想一想
菱形的判定方法 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.四条边都相等的四边形是菱形
6 完全平方公式〔第2课时〕
知识回忆
1. 完全平方公式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 2. 想一想： 〔1〕两个公式中的字母都能表示什么? 〔2〕完全平方公式在计算化简中有些 什么作用? 〔3〕根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗?
∴ OA＝OC
又∵AC⊥BD
图 2 0 .3 .3
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线
∴ AB＝BC ∴ 四边形ABCD是菱形
例如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分
线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形 A分F析CE要是证菱四形边．形AFCE是菱形，由条件可
知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是 平行四边形，又EF垂直平分AC，所以只
由此，可以得到一个猜测：“如果一个平行四边形 垂直〞是菱形所特有的性质。 的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱
形。〞
如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木 棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个 端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行 四边形．假设转动其中一个木棒，重复上面的做法，当 两 个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形 呢？
由此我们得到了判定菱形的又一种方法：
四条边都相等的四边形是菱形．
其实，这个结论同样是正确的．这里的条件能否再减少 一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的 四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会 知道，这个结论是不成立的．
想一想
菱形的判定方法 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.四条边都相等的四边形是菱形
北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式 》公开课课件
计算:
1. (1 x 2y)2 2
2. (2xy 1 x)2 5
3. (n1)2n2
小结：
作业：P3பைடு நூலகம்习题
完全平方公式(2)
成都市实验外国语学校 初中数学教研组
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都 要拿出糖果招待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖， 来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……
(2) (a+b+3)(a+b-3)
=[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9
(3) (x+5)2-(x-2)(x-3)
=x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19
随堂练习：
计算： 1. 962 2. (a-b-3)(a-b+3)
小结：
作业：P38习题1.14
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月29日星期二2022/3/292022/3/292022/3/29 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/292022/3/292022/3/293/29/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/292022/3/29March 29, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
计算：(-2x-3)2
(-2x-3)2 =[(-2x)+(-3)]2 (-2x-3)2 =[(-2x)-3)]2 (-2x-3)2 =[-(2x+3)]2= (2x+3)2
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【规律总结】 学习完全平方公式“三注意” 1.明确结构特征：公式的左边是两数和(或差)的平方，而右边 是这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍. 2.理清字母含义：公式中的字母a，b可以是具体的数，也可以 是单项式、多项式.只要符合公式的结构特征，就可以利用公式 .
3.避免常见错误：在学习中不少同学经常出现如下错误：
2.(2012·凉山州中考)整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2，则
A=_____.
【解析】A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)=4mn.
答案：4mn
3.计算：(1)(－m－n)2.(2)(－5a－2)(5a＋2). 【解析】(1)(－m－n)2＝(－m)2＋2(－m)(－n)＋(－n)2＝m2＋ 2mn＋n2. (2)(－5a－2)(5a＋2)＝－(5a＋2)(5a＋2) ＝－(5a＋2)2＝－(25a2＋20a＋4) ＝－25a2－20a－4.
6 完全平方公式
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一、完全平方公式的推导
1.两数和的平方.
a2+ab+ab+b2 a2+2ab+b2 (a+b)2=(a+b)(a+b)=___________=_________.
2.两数差的平方.
a2-ab-ab+b2 a2-2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b)=___________=_________.
3.(2012·南安中考)已知a+b=3，ab=1，则a2+b2的值为_____. 【解析】因为(a+b)2=a2+b2+2ab，所以a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2=7. 答案：7
4.(2012·常州中考)已知x=y+4，则代数式x2-2xy+y2-25的值为
_____.
【解析】因为x=y+4，所以x-y=4， 所以x2-2xy+y2-25=(x-y)2-25=16-25=-9. 答案：-9
)
(A)2 cm2 (C)4a cm2
(B)2a cm2 (D)(a2-1)cm2
【解析】选C.矩形的面积是(a+1)2-(a-1)2
=a2+2a+1-(a2-2a+1)=4a (cm2).
2.已知a+b=5,ab=6，则(a-b)2的值为(
(A)1 (B)4 (C)9 (D)16
)
【解析】选A.(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×6=1.
5.(2012·泉州中考)先化简，再求值：(x+3)2+(2+x)(2-x)，其 中x=-2. 【解析】原式=x2+6x+9+4-x2=6x+13， 当x=-2时，原式=6×(-2)+13=1.
(1)(a+b)2=a2+b2.
(2)(a-b)2=a2-b2.
(3)(a-b)2=a2-2ab-b2.
【跟踪训练】 1.(2012·南通中考)已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等 于( (A)64 ) (B)48 (C)32 (D)16
【解析】选A.因为16x=2×x×8，所以这两个数是x，8，所以 k=82=64.
【规律总结】 完全平方公式的常见变形 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. (2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). (3)(a+b)2-(a-b)2=4ab. 在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活 应用.
【跟踪训练】
4.我们已经用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们
a=-2,b=3.
【解析】原式=4a2-4ab+b2-b2=4a2-4ab. 当a=-2,b=3时，原式=4×(-2)2-4×(-2)×3 =16+24=40.
1.(2012·遵义中考)如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪
去一个边长为(a-1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼
成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(
积 的2 倍. 加上(或减去)这两数的___
二、几何解释
如图,最大正方形的面积可用两种形式表示： (a+b)2 ，②_________ a2+2ab+b2 ， ①______ 由于这两个代数式表示同一块面积,所以应
2 2+2ab+b2 (a+b) a 相等,即______= _________.
【点拨】公式中的a和b可代表一个字母、一个数字、单项式或 多项式.
a2＋2ab＋b2 ，(a－b)2＝___________. a2－2ab＋b2 【归纳】(1)(a＋b)2＝___________ 三 项,且有___ 两 平方 ②右边是___ (2)公式特征：①左边：二项式的_____; 个平方项,中间项为首尾两项底数积的2倍. 平方和 (3)语言叙述：两数和(或差)的平方,等于这两个数的_______,
【预习思考】 (a-b)2与(-a+b)2相等吗？ 提示：相等.
完全平方公式
【例1】(2012·盐城中考)化简：(a-b)2+b(2a+b).
【解题探究】(1)(a-b)2化简后的结果为a2-2ab+b2.
(2)b(2a+b)化简后的结果为2ab+b2. 所以原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
完全平方公式的应用
【例2】已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值. 【解题探究】(1)因为x+y=8，所以(x+y)2的值是64. (2)由完全平方公式可知(x+y)2=x2+2xy+y2，由上述探究可得 x2+2xy+y2=64，即x2+y2=64-2xy. (3)由已知xy=12可得x2+y2=64-2×12=40.
也可用如图对三项的完全平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+ 2ca作说明，那么其中用来表示b2的是( (A)区域①的面积 (B)区域⑤的面积 (C)区域⑥的面积 (D)区域⑧的面积 )
【解析】选C.由图形可知，区域⑥是边长为b的正方形，所以用 来表示b2的是区域⑥的面积.
Hale Waihona Puke 5.(2012·株洲中考)先化简，再求值：(2a-b)2-b2，其中