2011年高三数学三模(理科)试卷
数学_2011年山东省某校高考数学三模试卷(理科)_(含答案)
2011年山东省某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，M ＝{1, 3, 5, 7}，N ＝{5, 6, 7}，则∁U (M ∪N)＝（ ）A {5, 7}B {2, 4}C {2, 4, 8}D {1, 3, 5, 6, 7}2. 在等差数列{a n }中，已知a 1+a 3+a 11=6，那么S 9=( )A 2B 8；C 18D 363. 已知a ，b ，l 是不同的直线α，β是不重合的平面，有下理命题：①若a ⊥β，α⊥β，则a // α；②若a // α，a ⊥b ，则b ⊥α③若a // b ，l ⊥α，则l ⊥b ；④α⊥γ，β⊥γ则α // β以上命题正确的个数是（ ）A 1B 2C 3D 44. 设ω>0，函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A 23B 43C 32D 3 5. 设a =log 54，b =(log 53)2，c =log 45，则( )A a <c <bB b <c <aC a <b <cD b <a <c6. 设p:x 2−x −20>0，q:1−x 2|x|−2<0，则p 是q 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7. ∫(π2−π21+cosx)dx 等于（ ）A πB 2C π−2D π+28. 某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A 30种B 35种C 42种D 48种9. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1，(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点△ABF 2是正三角形，那么双曲线的离心率为（ ）A 2B √2C 3D √310. 已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p →=(−sinA,1)q →=(1,cosB)，则p →与q →的夹角是（ ）A 锐角B 钝角C 直角D 不确定11. 设x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥08x −y −4≤0x ≥0,y ≥0，若目标函数z =abx +y(a >0, b >0)的最大值为8，则a +b 的最小值为（ ）A 2B 4C 6D 812. 下列关于函数f(x)=(2x −x 2)e x 的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x|0<x <2}；②f(−√2)是极小值，f(√2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A ①③B ①②③C ②D ①②二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. 抛物线y=2x2的准线方程是________．14. 已知(x32+x−13)n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是________．（以数字作答）15. 在△ABC中，A=120∘，b=1，面积为√3，则a+b+csinA+sinB+sinC=________．16. 函数y=f(x)定义在R上单调递减且f(0)≠0，对任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，集合A={(x, y)|f(x2)⋅f(y2)>f(1)}，B={(x, y)|f(ax−y+2)=1, a∈R}，若A∩B=φ，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，满分74分）17. 设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x．（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期．（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f(C3)=−14，且C为非钝角，求sinA．18. 已知各项均为正数的数列{a n}满足2a n+12+3a n+1⋅a n−2a n2=0，n为正整数，且a3+ 132是a2，a4的等差中项，（1）求数列{a n}通项公式；（2）若C n=−log12a na n⋅T n=C1+C2+⋯+C n求使T n+n⋅2n+1>125成立的正整数n的最小值．19. 甲、乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，2，3，3．现从中任选三条网线，设可通过的信息量为ξ．若可通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量ξ的分布列和数学期望．20. 在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF // AC，AB=√2，EF=EC=1，（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；（2）求二面角A−BF−E的大小．21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0, −1)，且其右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为k(k≠0)，且过定点Q(0,32)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22. 设f(x)=ax+xlnx，g(x)=x3−x2−3．（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）如果存在x1，x2∈[0, 2]，使得g(x1)−g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的s,t∈[12，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．2011年山东省某校高考数学三模试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. C5. D6. A7. D8. A9. D10. B11. B12. D13. y=−1814. 3515. 2√716. −√3≤a≤√317. 解：（1）f(x)=cos(2x+π3)+sin2x=cos2xcosπ3−sin2xsinπ3+1−cos2x2=12−√32sin2x∴ 函数f(x)的最大值为1+√32，最小正周期π．（2）f(C3)=12−√32sin2C3=−14，∴ sin2C3=√32，∵ C为三角形内角，∴ 2C3=π3，∴ C=π2，∴ sinA=cosB=13．18. 解：（1）根据题意可得：2a n+12+3a n+1⋅a n −2a n 2=0，所以(a n+1+2a n )(2a n+1−a n )=0，因为数列{a n }各项均为正数，所以a n+1=12a n ，所以数列{a n }是等比数列，并且公比为12． 因为a 3+132是a 2，a 4的等差中项，所以a 2+a 4=2a 3+116，即a 1q +a 1q 3=2a 1q 2+116，解得：a 1=12． 所以数列{a n }通项公式为a n =(12)n ． （2）由（1）可得C n =−n ⋅2n ，所以T n =−2−2×22−3×23−...−n ×2n …①，所以2T n =−22−2×23−3×24...−(n −1)2n −n ×2n+1…②所以①-②并且整理可得：T n =(1−n)⋅2n−1−2．所以要使T n +n ⋅2n+1>125成立，只要使2n+1−2>125成立，即2n+1>127， 所以n ≥6，所以使T n +n ⋅2n+1>125成立的正整数n 的最小值为6．19. 解：（1）∵ 通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．∴ 线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到 P(ξ=8)=C 22C 31C 73=335， P(ξ=7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(ξ=6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，∴ 线路信息通畅的概率为P =335+835+1335=2435．（2）线路可通过的信息量ξ，ξ的所有可能取值为4，5，6，7，8．P(ξ=5)=C 22C 21+C 32C 21C 73=835， P(ξ=4)=C 22C 31C 73=335． P(ξ=8)=C 22C 31C 73=335， P(ξ=7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(ξ=6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，∴ ξ的分布列为∴ Eξ=4×335+5×835+6×1335+7×835+8×335=6． 20. 解：（1）∵ 平面ACEF ⊥平面ABCD ， EC ⊥AC ，∴ EC ⊥平面ABCD ； 建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，是A(√2,√2,0) B(0,√2，0)，D(√2,0,0)，E(0,0,1)，F(√22,√22,1)， ∴ EF →=(√22,√22,0)，BE →=(0,−√2,1)，DE →=(−√2,0,1)设平面BEF 、平面DEF 的法向量分别为m →=(x 1,y,1)，n →=(x 2,y 2,1)，则m →⋅EF →=√22x 1+√22y 1=0①m →⋅BE →=−√2y 1+1=0②n →⋅EF →=√22x 2+√22y 2=0③n →⋅DE →=−√2x 2+1=0④由①②③④解得x 1=−√22，y 1=√22；x 2=√22，y 2=−√22， ∴ m →=(−√22,√22,1)，n →=(√22,−√22,1) ∴ m →⋅n →=−12−12+1=0，∴ m →⊥n →，故平面BEF ⊥平面DEF（2）设平面ABF 的法向量p →=(x 1,y 1,1)，∵ BF =(√22，−√22，1)，BA →=(√2,0,0) ∴ p →⋅BF →=√22x 3−√22y 3+1=0，p →⋅BA →=√2x 3=0，解得x 3=0，y 3=√2 ∴ p →=(0,√2,1)∴ cos <m →，p →>=|m →|⋅|p →|˙=2√2⋅√3=√63由图知，二面角A −BF −E 的平面角是钝角，故所求二面角的大小为：π−arccos√63． 21. 解：（1）设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)，由已知得b =1．设右焦点为(c, 0)，由题意得√2√2=3，∴ c =√2，∴ a 2=b 2+c 2=3．∴ 椭圆的方程为x 23+y 2=1．（2）直线l 的方程y =kx +32，代入椭圆方程，得 (1+3k 2)x 2+9kx +154=0．由△=81k 2−15(1+3k 2)>0得k 2>512，设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−9k1+3k 2，设M 、N 的中点为P ，则点P 的坐标为(−9k 2+6k 2，32+6k 2)．∵ |BM|=|BN|，∴ 点B 在线段MN 的中垂线上． k BP =−1k =32+6k 2+1−9k2+6k 2，化简，得k 2=23． ∵ 23>512，∴ k =±√63， 所以，存在直线l 满足题意，直线l 的方程为√63x −y +32=0或√63x +y −32=0．22. 解：（1）当a =2时，f(x)=2x +xlnx ，f′(x)=−2x 2+lnx +1，f(1)=2，f ′(1)=−1，所以曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为y =−x +3；（2）存在x 1，x 2∈[0, 2]，使得g(x 1)−g(x 2)≥M 成立 等价于：[g(x 1)−g(x 2)]max ≥M ，考察g(x)=x 3−x 2−3，g′(x)=3x 2−2x =3x(x −23)，由上表可知：g(x)min =g(23)=−8527，g(x)max =g(2)=1，[g(x 1)−g(x 2)]max =g(x)max −g(x)min =11227，所以满足条件的最大整数M =4； （3）当x ∈[12，2]时，f(x)=ax +xlnx ≥1恒成立 等价于a ≥x −x 2lnx 恒成立，记ℎ(x)=x −x 2lnx ，ℎ′(x)=1−2xlnx −x ，ℎ′(1)=0．记m(x)=1−2xlnx−x，m′(x)=−3−2lnx，，2]，m′(x)=−3−2lnx<0，由于x∈[12，2]上递减，所以m(x)=ℎ′(x)=1−2xlnx−x在[12，1)时, ℎ′(x)>0, x∈(1, 2]时，ℎ′(x)<0，当x∈[12，1)上递增, 在区间(1, 2]上递减，即函数ℎ(x)=x−x2lnx在区间[12所以ℎ(x)max=ℎ(1)=1，所以a≥1．。
2011年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数、又在(0,)+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的 侧视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。
2011朝阳高三三模数学理
朝阳区2010~2011学年度第二学期高三年级保温测试数 学 试 卷（理工类）（考试时间120分钟，满分150分） 2011.5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B I = （ ）A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ． ∅2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m//3．已知ξ～N (0, s 2)，若P (ξ >2) = 0.023，则P (-2≤ξ≤2) = （ ）A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．6的展开式中常数项是（ ）A ．-160B ．-20C ．20D ．1605．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．13B ．23C ．53D ．436．a ，b 为非零向量，“函数2()()f x x =+a b 为偶函数”是“⊥a b ”的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．非充非要条件7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．98．已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++= ，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．由直线x y =与曲线2x y =所围图形的面积=S ________．10．样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为________． 11．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是________．12．如图，已知⊙O 的直径5A B =，C 为圆周上一点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则C D =________．正视图侧视图俯视图13．若直线l 的参数方程为31,545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则直线l 的斜率为________；在极坐标系中，直线m 的方程为sin()42πρθ+=，则点7(2,)4A π到直线m 的距离为________．14．已知点(4, 1)A 和坐标原点O ，若点(,)B x y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则OA OB ⋅ 的最大值是________． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）设函数()cos(2)6f x x π=+sin 2x +．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若AB=1，sinB=31，()22C f =，求AC 的长．16．（13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率．开始a =2，i =1 i ≥2010i =i +1结束输出a是否lOADCB17．（13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA//平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM = tMC ，试确定t 的值．18．（13分）已知数列}{n a ，其前n 项和为237()22n S n n n N *=+∈．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和．19．（14分）已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为大于零的常数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12y x =-平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．20．（14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b ab+=>>的长轴长为，离心率22=e ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E ，F （E 在B ，F 之间），且∆OBE 与∆OBF 的面积之比为12，求直线l 的方程．PABCD QM高三数学练习题参考答案 （理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）D （6）C （7）A （8）C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）61（10） 2 （11）-1 （12）125（13）43-；2（14）11三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15（本小题共13分） 解：()cos(2)6f x x π=+sin 2x +=1cos 2cossin 2sinsin 22sin 2sin(2)66223x x x x x x πππ-+=+=+......3分（I ）令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，则5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数f(x)的单调递增区间为5[,]().1212k k k Z ππππ-+∈ .............6分（II）由已知()sin()3C f C π+==２２， ……………………………………………….8分因为40,333C C ππππ<<∴<+<所以233C ππ+=，3C π=，所以2. ……10分在∆ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB BC=，得1sin sin 92AB B AC C ⋅===. …..13分 16（本小题共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A . …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0，1，2，3.3463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分C(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ， ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ………………………………………………………13分 17（本小题共13分）证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ………………………………………1分∵BC ∥AD 且BC=12AD ，即BC //AQ ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点，又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA. ……………………………………………………………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ， …………………………………3分 ∴ PA // 平面MBQ ． …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．……………………………………6分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ………………………………………………7分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………………………………………………8分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………………………………………………9分 另证：AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ ，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD． …………………………………6分 ∵ PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ． …………………………………………………7分 ∵ PQ ∩BQ=Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ………………………………………………8分 ∵ AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ⊥平面ABCD ．…10分（不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分） 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n = ；(0,0,0)Q ，(0,0,P ，0)B，(0)C -．………设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =-，(1,)M C x y z=---，∵PM t M C = ，∴(1))(x tx y t yz t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩）， ∴ 111t x tyt z t ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩……12分在平面MBQ 中，0)Q B = ，(,111t Q M t t t=-+++ ，∴ 平面MBQ法向量为0,)m t =．∵二面角M-BQ-C 为30°，cos 302n m t n m ︒⋅===3t =．…………13分 18（本小题共13分）解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， ……………………………………………………1分当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+--37(21)3222n n =-+=+． ……………………………3分又15a =满足32n a n =+， ……………………………………………………5分 32()n a n n N *∴=+∈． ………………………………………………………6分∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ……………………………7分（Ⅱ）由已知得2na nb = ()n N *∈， …………………………………………8分∵+1+13+12==2=2=82n n nna a -a n a nb b ()n N *∈， ……………………10分又11232a b ==， ∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. …………12分∴数列}{n b 前n 项和为32(18)32(81)187nn-=--. …………………………13分19（本小题共14分） 解：2221()1'()x a x ax af x x x x x x----=+=-=(0x >) ………………………………..4分 （I ）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线1-2y x =平行，所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………6分(II)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为增函数 min ()(1)1f x f a ∴==-. ………………………………………………….8分当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a]上为减函数， 对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，min ()()ln f x f a a ∴==. …………………………………………………..11分当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立， 这时()f x 在[1，2]上为减函数，m in ()(2)ln 212af x f ∴==+-.综上，()f x 在[1，2]上的最小值为①当01a <≤时，m in ()1f x a =-,②当12a <<时，min ()ln f x a =，③当2a ≥时，m in ()ln 212a f x =+-.…………….14分20（本小题共14分）.解：（I ）椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a bya x，由已知得22222c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……..3分解得 1,1a b c ===∴所求椭圆的方程为1222=+yx. ………………………………………………… 5分(II)由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①，将①代入1222=+yx，整理得22(2)420m y m y +++=，由0>∆得2 2.m > ………….……………….……….7分设),(11y x E ，),(22y x F ，则1221224222m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②. …………………………8分由已知，12OBEOBF S S ∆∆=， 则||1||2BE BF =由此可知，2BF BE =，即212y y =. …………………………………………….10分 代入②得，12212432222m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去1y 得222221629(2)2m m m ⋅=++ 解得，2187m =，满足22.m >即7m =±. ………………………………………………………….13分所以，所求直线l的方程为71407140x x --=+-=或. …….14分。
2011届高三年级第三次月考数学试卷
2011届高三年级第三次月考数学试卷一、选择题（10×5=50分） 1、0sin(330)-的值为（ ） A ．12B ．-12CD ．2、若34sin ,cos 55θθ==-，则2θ所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四3、如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．3|1|(02)2y x x =-≤≤B ．33|1|(02)22y x x =--≤≤C ．3|1|(02)2y x x =--≤≤D ．1|1|(02)y x x =--≤≤4、函数()y f x =图象如图所示，则函数12log ()y f x = 图象大致是（ ）5、函数32()ln 2f x xπ=-的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4） D ．（4，5）6、直线1ln()y x y x a =+=+与曲线相切，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-27、已知1sin 2sin ,'2y x x y =+则是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数8、函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（ ） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤AB C D9、函数32()6f x ax ax b =-+在[-1,2]上最大值为3，最小值为-29（a>0），则（ ） A ．a=2，b=-29B ．a-3， b=2C ．a=2, b=3D ．以上都不对10、函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[0，1） C ．（-1，0]D ．(,)-∞+∞二、填空题（6×4=24分）11、设230.311331log ,log ,(),,,2a b c a b c ===则大小关系为 。
四川省内江市2011届高三第三次模拟考试理科数学试卷word版
四川省内江市2011届高三第三次模拟考试数学（理科）第I卷(选择题,共60分）本试卷分笫I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分,第I卷1 -2页，第II卷.3 -4页。
满分150分,考试时间120分钟。
考试结束将机读答题卡和第II卷答题卷一并收回。
注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔分别填写在机读答题卡和第II卷答超卷上。
2:选择题使用2B铅笔填涂在机读答题卡对应题目标号的位置上，并将考号和科目填涂，其它试题用0.夕毫米黑色签字笔书写在第II卷答题卷对应题框内，不得超越题框区域。
在草稿纸或试卷上答题无效。
3.考试结束后,监考人员将机读答题卡和第II卷答题卷分别收回并装袋。
参考公式：如果亊件A、B互斥,那么P(A + B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A.B)=P(A).P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式，其中R表示球的半径.球的体积公式，其中R示球的半径一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在机读卡的指定位置.1. 直线2x+ l=0的倾斜角为A.不存在B.C.D.2. 复数的值是A. B. C. D.3. 集合S=丨a,b，C,d，e|，包含丨a，b丨的S的子集共有A.2个B.3个C.5个D.8个4.已知函数在（ )上是连续函数,则实数a的值为A. -1B.0C. -1D.15.的三边长分别为AB=3，B C=4，CA=5,则的值为A.9B. -9C. -18D. -126.在120°的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半平面各仅有一个公共点，则这，两点伺的球面距离为A. B. C. D.7.函数的反函数图像大致是8.如右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点,则在正方体盒子中的值为 A.450C. 120°D, 180°9. 已知a>l,函数的图象与函数的图象的交点的个数是10. 我市自“除陋习，树新风”,集中整治“五乱”以来，市容市貌有很大的改善.某停车点划出一排8个停车位置，今有5辆车需要停放，要求空位置连在一起，则不同的停车方法有()种.A.720 A.600 C.5040 D. 144011. 如果直线y= kx +1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线x+ y=0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是A.2B.C.12. 已知数列，满足关系式…，且，则＝A. B.C.`D.第II卷（非选择题,共90分)注意事项：1. 用0.5亳米黑色签字笔直接答在第II卷答题卷上,答在试卷上无效。
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S （，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98× (81)（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．祝福语祝你考试成功!。
山东省青岛市2011届高三教学质量3月统一检测数学试卷理科
山东省青岛市2011届高三教学质量3月统一检测数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：台体的体积公式为：121(3V S S h =+，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面积，h 为台体的高.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数21iz i =-，则复数z 的共轭复数为 A .1i + B .1i -+ C .1i - D .1i --2. 已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U A B ð等于A .{|20}x x x ><或B .{|12}x x <<C . {|12}x x <≤D .{|12}≤≤x x3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A .2log y x =B . 1y x =C .1()2xy =- D .13y x =4. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5. 二项式62()x x-的展开式中，2x 项的系数为A .15B .15-C .30D .606. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是A .2233y x y x ==-或B .23y x =C .2293y x y x =-=或D .22-9y x y x ==或7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为2和4正视图 侧视图A .283π B .73πC .28πD .7π8. 若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A .1B .2C .3D .49. 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线MP不过点O )，则20S 等于A .15B .10C .40D .2010. 定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos x f x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是A .6π B .3π C .56π D .23π11. 下列四个命题中，正确的是A .已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-；B .设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；C .已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=D .对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++>12. 若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A .[0，1)2B .1[2，)+∞C .[0，1)3D .(0，1]2第Ⅱ卷 (选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速 频率分布直方图如右图所示，则时速超过60/km h 的汽车数量为14. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值 为16，图中判断框内?处应填的数为15. 若不等式1|21|||a xx-?对一切非零实数x 恒 成立，则实数a 的取值范围16. 点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到 直线2y x =-的距离的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量(sin m x =u r，1)-，向量n x =r ，1)2-，函数.()()f x m n m =+u r r u r .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；(Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC D 内角A ，B ，C 的对边，A为锐角，a =4c =，且()f A 恰是()f x 在[0，]2p上的最大值，求A ，b 和ABC D 的面积S .18. (本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面A B C D ，90BAD ADC ?? ，12AB AD CD a ===，PD (Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用h 表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x =--h 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用x 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列及数学期望E x .20.(本小题满分12分)已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和. (Ⅰ)求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式；(Ⅱ)如果对任意*n N Î，不等式1227122nkn n T ?+-恒成立，求实数k 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数322()233f x x ax x =-++. (Ⅰ)当14a =时，求函数()f x 在[2-，2]上的最大值、最小值； (Ⅱ)令()ln(1)3()g x x f x =++- ，若()g x 在1(2-，)+ 上单调递增，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分14分)已知圆1C ：22(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r，O为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点(0S ，1)3-且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.青岛市高三教学质量统一检测 2011.03高中数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A C B B D D B A B A A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 38 14. 3 15.13[,]22- 16．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）解: (Ⅰ)21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=+++…………2分1cos 211222x x -=++12cos 222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分 从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯=12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中 点 ∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-…………6分设平面PAD 的单位法向量为1n ， 则可设1(0,1,0)n =…………7分 设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,2)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a a n BC x y a a ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ M Dx即：00ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22(,22n =…………10分∴121212cos 2||||1n n n n θ⋅===⨯…………11分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为12…………12分 19．（本小题满分12分） 解:(Ⅰ) 函数()21fx x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 (Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分 于是()2222510215250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分20．（本小题满分12分）解: (Ⅰ) 对任意*N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=-则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为12…………2分 所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分 (Ⅱ) 因为1113()22n n b -=⨯+ 所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n n n n n T --=+++++=+=-+-…………6分 因为不等式1227(122)n k n n T ≥-+-，化简得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立…………7分 设272n n n c -=，则1112(1)72792222n nn n n n n nc c ++++----=-=…………8分 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332…………11分 所以, 要使272n n k -≥对任意*N n ∈恒成立，332k ≥…………12分21．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)14a =时, 3221()332f x x x x =-++，2()23(23)(1)f x x x x x '=-++=--+ 令()0f x '=,得1x =-或3x =…………2分可以看出在1x =-取得极小值,在2x =取得极大值…………5分 而48(2),(2)33f f -==由此, 在[2,2]-上,()f x 在1x =-处取得最小值116-,在32x = 处取得最小值278…………6分(Ⅱ)()ln(1)3()g x x f x '=++-2ln(1)3(243)x x ax =+---++2ln(1)24x x ax =++-2'144(1)14()4411x a x ag x x a x x +-+-=+-=++…………7分在1(,)2-+∞上恒有10x +>考察2()44(1)14h x x a x a =+-+-的对称轴为44182a a x --=-= (i)当1122a -≥-,即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以0a =时成立…………9分(ii)当1122a -<-,即0a <时，应有1()02h ->即:114(1)1402a a --⨯+-> 解得0a <…………11分综上：实数a 的取值范围是0a ≤…………12分 22. （本小题满分14分）解: (Ⅰ) 因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC所以动点P 的轨迹ω是以点21,C C 为焦点的椭圆……………2分设椭圆的标准方程为12222=+by a x则22,222==c a ，1222=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2212x y +=……4分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222112222,22a b a b +=+= ① 因为122OM ON OC +=则121222,20a a b b +=-+= ②由①②解得112215,,2448a b a b ===-=……………7分 所以直线MN 的斜率k 212114b b a a -==-……………8分 (Ⅲ)直线l 方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得: 221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得229(12)12160k x kx +--=…………9分 由题意知：点)31,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点， 设).,(),,(2211y x B y x A 则121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点D ,则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即:1212()()0x x y m y m +--= (*)因为112211,33y kx y kx =-=-则(*)变为21212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…………11分21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =……13分 因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………………14分。
2011年高考数学(理科)试卷(及答案)_全国卷
2011年高考全国卷 数学（理工）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y xx R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22 (B) 33 (C) 63(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B)3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)含详细答案
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．50404．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．38．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．409．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．610．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P411．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选B．3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N成立，有k=2P=2，k＜N成立，有k=3P=6，k＜N成立，有k=4P=24，k＜N成立，有k=5P=120，k＜N成立，有k=6P=720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．4．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．3【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，由题设知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故选B．8．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r∵展开式的通项为T r+1令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选D9．（5分）（2011•新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．10．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即co sθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选A．11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．12．（5分）（2011•新课标）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx 的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+=1．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c，将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：816．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，=•，即可求得M点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3=0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a=1，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为523．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．24．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；双曲线；w3239003；涨停；sllwyn；zlzhan；wdnah；301137；ywg2058；danbo7801；zhwsd；394782；minqi5（排名不分先后）菁优网2017年2月3日。
2011天门高三三模数学(理)题及答案
湖北天门市2011届高三年级第三次模拟数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合M ＝{ x | x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝{ x |x )1(≤4}，则M ∪N 为A ．{x | x ≥－2}B ．{ x | x ＞－1}C ．{ x | x ＜－1}D ．{ x | x ≤－2}2．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为 A ．4 B ．－4 C ．4＋4i D ．2i 3．一个与球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则球的体积为 A ．π4B ．π8C ．π4D ．π328 4．F 1，F 2是1422=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则21PF PF ∙的最大值是 A ．4 B ．5 C ．2 D ．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝133+-n n a a (n ∈N ﹡)，则a 2011等于A ．1B ．23+-C ．23--D ．23-6．设g (x )是函数f (x )＝ln(x ＋1)＋2x 的导函数，若函数g (x )按向量a 平移后得到函数y ＝x1，则向量a 等于 A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(－2，－1) D ．(2，1)7．平面直角坐标系中，点(3，t )和(2t ，4)分别在顶点为原点，始边为x 轴的非负半轴的角α，45+α的终边上，则t 的值为A ．±6或±1B ．6或1C ．6D ．18．在抛物线y 2＝4x 上有两点A ，B ，点F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，若＋2＋3FB ＝0，则直线AB 与x 轴的交点的横坐标为 A ．53B ．1C ．6D ．56 9．若0＜α＜π，则函数y ＝ααcos 12sin+的值域为 A ．(0，22)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(22，＋∞)AB ′C NM B 10．平面直角坐标系中，点集M ＝⎩⎨⎧⎩⎨⎧β-α=β+α=sin cos cos sin |),(y x y x ⎭⎬⎫∈βα),(R ，则点集M 所覆盖的平面图形的面积为A ．π4B ．π3C ．π2D ．与βα,有关二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上） 11．6)1(xx -的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）12．已知适合不等式(x 2－4x ＋a )＋| x －3|≤5的x 的最大值为3，则a ＝ ． 13．已知O 为△ABC 的外心，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，设AB ＝a ，AC ＝b ，AO ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1＋λ2＝ ． 14．如图∠C ＝90°，AC ＝BC ，M ，N 分别为BC 和AB 的中点，沿直 线MN 将△BMN 折起，使二面角B '－MN －B 为60°，则斜线A B '与平面ABC 所成角的正切值为 ．15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (x )＝x 无实根，下列命题中： （1）方程f [f (x )]＝x 一定无实根； （2）若a ＞0，则不等式f [f (x )]＞x 对一切实数x 都成立； （3）若a ＜0，则必存在实数x 0，使f [f (x 0)]＞x 0；（4）若a ＋b ＋c ＝0，则不等式f [f (x )]＜x 对一切x 都成立； 正确的序号有 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的周长为6，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列．（1）求角B 及边b 的最大值；（2）设△ABC 的面积为S ，求S BCBA ∙117．（本小题满分12分）某工厂2010年第三季度生产的A ，B ，C ，D 四种型号的产品产量用条形图形表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加2011年4月份的一个展销会。
2011届高三数学第三次模拟考试试题4
高三第三次模拟考试数学试题（文科B ）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 祝考试顺利注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|{|31}M x y N x x ==-≤≤，且M 、N 都是全集I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A．{|1}x x ≤ B ．{|31}z z -≤≤C．{|1x x < D．{|3z z -≤<2. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则公差d =（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3. 记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有（ ）A ．72种B ．144种C ．240种D ．480种 4. 已知向量,m n 的夹角为6π，且||3m =，||2,n = 则||m n -=（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 5. 给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数sin()2y x π=-在区间)23,[ππ上单调递减；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y的图象的一条对称轴．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.若函数)(x f 的导函数34)(2+-='x x x f ，则使得函数)1(+x f 单调递减的一个充分不．．．必要．．条件是x ∈（ ） A ．（1，3） B ．[0,2] C ．（0，1） D ．（2，4）7. 某企业2010年初贷款a 万元，年利率为r ，按复利计算，从2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）万元A ．1)1()1(55-++r r aB ．1)1()1(55-++r r arC ．1)1()1(45-++r r ar D ．5)1(r ar + 8. 如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{}n a :1,3,3,4,6,5,10,,记其前n 项和为n S ，则15S 的值为（ ） A ． 172B ．152C ．129D ．162 第8题图9. 已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为（ ）A ．b aB ．a bC ．c aD ．a c10. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -内有一个内切球O ，则过棱1AA 和BC 的中点P 、Q 的直线被球面截在球内的线段MN 的长为（ ）A．1) BCD ．12 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11.若2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为_______． 第10题图12. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车．．．．；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．．．．．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为___________．13. 从集合{}1,2,0,1,2,3--中，随机选出3个数组成子集，使得这3个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为___________． 14.已知实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y z xy +=的取值范围是________________． 15. 设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是______________（填所正确条件的代号）．①x 为直线，,y z 为平面 ②,,x y z 为平面 ③,x y 为直线，z 为平面 ④,x y 为平面，z 为直线 ⑤,,x y z 为直线三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222．（Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -=+⋅，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =，(3,cos2)n A =，试求n m ⋅的最大值．17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 设定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++，当x =时，f (x )函数图1第18题图Py ＝'()f x 为偶函数．（Ⅰ）求f (x )的表达式；（Ⅱ）若函数()y f x =的图像的切线斜率为7，求切线的方程．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）如图，直角△BCD 所在的平面垂直于正△ABC 所在的平面，P A ⊥平面ABC ，2DC BC PA ==,E 为DB 的中点． （Ⅰ）证明：AE ⊥BC ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点F 使得PF 与面DBC 所成的角为60︒，若存在，试确定点F 的位置，若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格x （3054x -≤≤）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值||x 的平方．．成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格x 成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费．（Ⅰ）试将每星期的销售利润y 表示为价格变化值x 的函数；（Ⅱ）若降价销售，试问如何定价才能使产品销售利润最大？20．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足258,30a S ==且*2120,n n n a a a n N +++-=∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12...,n n S a a a =+++求n S ； （Ⅲ）设**121(),...(),(14)n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-求是否存在最大的整数k ，使得对任意*n N ∈，均有128n k T >成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 已知椭圆C 与曲线22112x y m m +=-+（21m -<<）共焦点，点P 在椭圆C 上且满足421=+PF PF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ，(i)求使PAB ∆ 的面积为12的点P 的个数； (ii)设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，求22μλ+的值．薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
2011中山高三三模数学(理)试题及答案
广东省中山市2011届高三第三次模拟（数学理）本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式： 线性回归方程系数公式：ˆybx a =+，其中121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数421ii -+（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ）A ．3B ．6C ．3-D ．22．命题“,xx e x ∃∈>R ”的否定是（ ） A ．,x x e x ∃∈<R B ．,xx e x ∀∈<R C ．,x x e x ∀∈≤R D ．,xx e x ∃∈≤R 3．已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，且(1)0.9P ξ>=，则(5)P ξ<=（ ） A ．0.9 B ．0.8 C ．0.1 D ．0.2 4．下列命题正确的是（ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形 5．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足1133CM CB CA=+，则MA MB ⋅=（ ）A ．2-B ．2 C．- D．6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①②7．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2011项2011a 满足（ ）A ．20111010a <<B ．20111110a ≤<C ．2011110a ≤≤D ．201110a >8．方程|sin |(0)x k k x =>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ） A ．sin cos ϕϕθ= B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.关于x 的二项式41(2)x x -展开式中的常数项是 10．已知x 、y 的取值如下表所示：6.7若y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = ； 11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 ； 12． 在ABC ∆中，已知(1,3)A ，A ∠的平分线的方程为2y x =+，BC 边上的高所在的直线的方程是142y x =-+，则AC 边所在的直线的方程为13. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则点集 {1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈{}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B==+=+∈∈所表示的区域的面积分别为 ； ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________；15．(几何证明选讲选做题）如图, ,PC DA 是O 的两条切线，AB 为O 的直径， 若2, :1:2DA CD DP ==，则AB = ________ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2011年四川高考数学—理科(答案及解析)
1、答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。
2、答案：A解析：12i i i i i-+=--=-3、答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 4、答案D解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=5、答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
6.答案：C 解析：由题意正弦定理22222222211c o s23b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤ 7．答案：A解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。
当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A 8.B 解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9.答案：C解析：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =10.答案：A解析：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩11.答案：D 解析：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-12.答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.答案：20-解析：12111(lg lg 25)100lg20410010--÷=÷=- 14.答案：565解析：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为14，所以1455645c d d a ==⇒=15.答案：22R π 解析：22222max 224()S r R rrR r Sππ=⋅-=-⇒侧侧时，22222222R r R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=16.答案：②③④解析 ：①错，12x x =± ，②③④正确。
浙江省三校2011届高三数学联考试卷 理 【会员独享】
2011年浙江省三校高三联考数学(理)试卷试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分。
请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数=⎪⎭⎫⎝⎛-+213i i （ ▲ ）A. 34i --B. 34i -+C. 34i -D. 34i +2．已知实数a ，b ，则ab ≥2是a 2＋b 2≥4的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．阅读右面的程序框图，则输出的k = （ ▲ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 74．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字 的三位数，这个数不能被3整除的概率为 （ ▲ ）（A ）1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160 5.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ ▲ ） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥ C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a α D ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥6.若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m = （ ▲ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 7．若sin cos tan (0),2πααααα+=<<∈则（ ▲ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 8．已知10<<a ，则方程|log |||x a a x =的实根个数为n ，且11(1)(1)n x x +++210110121011(2)(2)(2)(2)a a x a x a x a x =+++++++++ ，则=1a （ ▲ ）A ．9B ．10-C ．11D. 12-9．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ▲ ）A．2BC．2D ．10. 已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，其图像是一条连续的曲线，且满足下列条件：① ()f x 的值域为G ，且[],G a b ⊆；② 对任意的[],,x y a b ∈，都有()()f x f y x y -<-.那么，关于x 的方程()f x x =在区间[],a b 上根的情况是 （ ▲ ）A ．没有实数根 B. 有且仅有一个实数根 C. 恰有两个实数根 D. 有无数个不同的实数根第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。
广东省惠州市2011届高三第三次调研考试数学理科含详细答案
广东省惠州市2011届高三第三次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式： 2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅⋅+-． 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数12z i=+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则q p ⌝是成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 3. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) A.y ＝2x －2 B.y ＝(12)x C.y ＝log 2x D.y ＝12(x 2－1)4. 右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩 数据的平均数和方差分别为（ ）A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，45. 若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．86. 若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b的最小值为( )A ．8 B ．12 C ．16 D ．207. 已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,58 9 4 4 6 4 7 37 9俯视图NM CABO8. 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．1-8π B ．1-4π C ．1- 2πD ．1-34π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9.一简单组合体的三视图及尺寸 如右图示（ 单位：ｃｍ）则该组合体的表面积为 _______ 2cm ．10.已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则AD →的坐标是：_______．11.在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中， x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 ．12. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________． 13. 已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r（用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=； 类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分） 14.（坐标系与参数方程选做）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为．15.（几何证明选讲选做题）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ， 45BNA ∠= ，若⊙O 的半径为OM ，则MN 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）FE DCBA GFDECBA已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2A x ωϕπ>><∈R 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)当2[6,]3x ∈--时,求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.17.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（本题满分14分）2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本题满分14分）已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF∥BC，AE = x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）. （1）当x=2时，求证：BD⊥EG ；（2）若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ， 求()f x 的最大值；（3）当()f x 取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值．ABC 60︒20.（本题满分14分）已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，过坐标原点O 且斜率为21的直线l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ．⑴求a 、b 的值；⑵若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．21.（本题满分14分）已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ,1263)(2++=x x x g ,和直线m ：9+=kx y . 又0)1(=-'f . (1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是()y g x =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由.(3)如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围.惠州市2011届高三第三次调研考试数学试题(理科）答案一1．【解析】答案：D z ＝12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i .故选D.2．【解析】B ⌝p ：1x >，q ：110x x<⇔<或1x >，故q 是⌝p 成立的必要不充分条件，故选B.3．【解析】选D 直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数1(2x y =是单调递减的，也不符合要 求；对数函数12log y x =的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求. 4．【解析】C 去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.5．【解析】答案：C 依题意及面积公式S ＝12bcsinA ，得103＝12bcsin60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：222220222222cos 2cos60()3(20)120a b c bc A b c bc b c bc b c bc a =+-=+-=+-=+-=--，故a 解得a ＝7.6．【解析】答案：C 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a ＋b ＝1，从而1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(4a ＋b)＝8＋b a ＋16ab ≥8＋2×4＝16(当且仅当b ＝4a 时取“＝”)．7．【解析】C ； 根据题中规律，有()1,1为第1项，()1,2为第2项，()1,3为第4项，…，()5,11为第56项，因此第60项为()5,7．8．【解析】B ；若使函数有零点，必须必须()()22224π0a b ∆=--+≥，即222πa b +≥．在坐标轴上将,a b 的取值范围标出，有如图所示当,a b 满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．于是概率为321144πππ-=-．二.填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）9．12800 10．(－1,2) 11．1 12．750013．)1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++ 14．2215．29．【解析】该组合体的表面积为：222212800S S S cm ++侧视图主视图俯视图＝。
数学_2011年上海市某校高考数学三模试卷(理科)_(含答案)
2011年上海市某校高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（每题4分，共56分） 1. 若集合A ={x||x −2|<3}，集合B ={x|x−3x>0}，则A ∩B =________．2. 若sin(π+α)=13，α∈(−π2，0)，则tanα=________． 3. 若|020z3i i −i01+i|=4i −2（i 为虚数单位），则复数z =________． 4. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6, 10)内的频数为________．5. 若函数f(x)的反函数是f −1(x)=log 2(x −1)，则f(12)=________．6. (√x 3√x)15二项展开式中，第________项是常数项． 7. 已知y 是1+x 和1−x 的等比中项，则x +y 的取值范围是________．8. 在五一节期间，甲外出旅游的概率是15，乙外出旅游的概率是14，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则五一期间两人中至少有一人外出旅游的概率是________．9. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为________cm ． 10. 在极坐标系中，定点A(1,π2)，动点B 在曲线ρ=2cosθ上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为________．11. 已知f(x)=x 13x ∈[−1, 8]，g(x)=asinxsin(x −π3)，x ∈[0,π2]．若对任意x 1∈[−1, 8]，总存在x 2∈[0,π2]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是________． 12. 已知AB 是椭圆x 24+y 23=1的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P n−1，设左焦点为F 1，则lim n →∞1n (|F 1A|+|F 1P 1|+⋯+|F 1P n−1|+|F 1B|)=________．13. 已知函数f(x)＝2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|为两点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)之间的“折线距离”．则圆x 2+y 2=1上一点与直线2x +y −2√5=0上一点的“折线距离”的最小值是________．二、选择题：（每题4分，共16分）15. 若函数f(x)=2x−1−a 有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A (−∞, 0] B [0, +∞) C (−∞, 0) D (0, +∞)16. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A 求数列{1n }的前10项和(n ∈N ∗) B 求数列{12n }的前10项和(n ∈N ∗) C 求数列{1n }的前11项和(n ∈N ∗) D 求数列{12n }的前11项和(n ∈N ∗)17. 在△ABC 中，“AB →⋅AC →=BA →⋅BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件18. 已知关于x 的方程a →x 2+b →x +c →=0→，其中a →、b →、c →都是非零向量，且a →、b →不共线，则该方程的解的情况是（ ）A 至多有一个解B 至少有一个解C 至多有两个解D 可能有无数个解三、解答题：（12+14+16+18+18=78分）19. 已知虚数z 1=cosα+isinα，z 2=cosβ+isinβ， （1）若|z 1−z 2|=25√5，求cos(α−β)的值；（2）若z 1，z 2是方程3x 2−2x +c =0的两个根，求实数c 的值．20.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1=AC =BC =2，∠ACB =90∘，P 是AA 1的中点，Q 是AB 的中点． （1）求证：PQ ⊥平面B 1CQ ；（2）求平面B 1CQ 和平面A 1C 1Q 所成锐二面角的大小．21. 某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润f(x)={1(1≤x ≤20,x ∈N ∗)110x(21≤x ≤60,x ∈N ∗)（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率g(x)=第x 个月的利润第x 个月前的资金总和，例如：g(3)=f(3)81+f(1)+f(2)．（1）求g(10)；（2）求第x 个月的当月利润率g(x)；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率． 22. 已知抛物线y 2=2px(p >0)和四个点A 、B 、C 、D ，其中A 在抛物线上，B(b, 0)，C(0, c)(c ≠0)，且直线AC 交X 轴于D 点（1）若p =2，b =−8，且D 为AC 中点，求证：AC ⊥BC（2）若p =2，b =1，且AC ⊥BC ，判断A ，C ，D 三点的位置关系，并说明理由． （3）对（1）（2）两个问题的探究过程中，涉及到以下三个条件： ①AC ⊥BC ； ②点A 、C 、D 的位置关系； ③点B 的坐标．对抛物线y 2=2px(p >0)，请以其中的两个条件做前提，一个做结论，写出三个真命题，（不必证明）．23. 已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1−a n 其中n =1，2，3，…． （1）若b n =n 且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n+1b n−1=b n (n ≥2)，且b 1=1，b 2=2时 ①求数列{b n }的前6n 项和；②判断数列{an n }中任意一项的值是否会在该数列中出现无数次？若存在，求出a 1满足的条件，若不存在，并说明理由．2011年上海市某校高考数学三模试卷（理科）答案1. (−1, 0)∪(3, 5)2. −√243. −2i4. 645. 1+√26. 77. [−√2，√2] 8. 0.4 9. 25310. √2−√2 11. a ≥4或a ≤−2 12. 2 13. (0, 8) 14. √5215. D 16. B 17. C 18. A19. 解（1）∵ z 1−z 2=(cosα−cosβ)+i(sinα−sinβ)，… ∵ |z 1−z 2|=25√5，∴ √(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2√55，… ∴ cos(α−β)=2−452=35．…（2）由题意可知cosα=cosβ，sinα=−sinβ … 且z 1⋅z 2=c3=cos 2α+sin 2α=1…∴ c =3，经检验满足题意． …20. 解：（1）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系． …由题意可知C(0, 0, 0)，P(2, 0, 1)，Q(1, 1, 0)，B 1(0, 2, 2)，… 则PQ →=(−1,1,−1)，CQ →=(1,1,0)，B 1Q →=(1,−1,−2)又因为PQ →⋅CQ →=0，，PQ →⋅B 1Q →=0，∴ PQ ⊥CQ ，PQ ⊥B 1Q ，…∴ PQ ⊥平面B 1CQ … （2）由题意可知C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)， 设平面A 1C 1Q 的一个法向量为n →=(x,y,z)则由{n →⋅C 1Q →=0˙⇒{x =0x +y =2z，∴ 平面A 1C 1Q 的一个法向量n →可以是(0, 1, 2)…又由（1）可知PQ →=(−1,1,−1)是平面B 1CQ 的一个法向量．… 设平面B 1CQ 和平面A 1C 1Q 所成锐二面角为α，则cosα=||PQ →||n →|˙|=√1515， ∴ 平面B 1CQ 和平面A 1C 1Q 所成锐二面角的大小为arccosα=arccos√1515… 21. 解：（1）由题意得：f(1)=f(2)=f(3)=...=f(9)=f(10)=1g(x)=f(10)81+f(1)+⋯+f(9)=181+1+⋯+1=190．（2）当1≤x≤20时，f(1)=f(2)=f(x−1)=f(x)=1∴ g(x)=f(x)81+f(1)+⋯+f(x−1)=181+1+⋯+1=181+(x−1)=1x+80．当21≤x≤60时，g(x)=f(x)81+f(1)+⋯+f(20)+f(21)+⋯+f(x−1)=110x81+1+⋯+1+f(21)+⋯f(x−1)=110x81+20+2110+⋯+x−110=110x101+12(2110+x−110)(x−21)=110x101+(x−21)(x+20)20=2xx2−x+1600∴ 当第x个月的当月利润率g(x)={1x+80(1≤x≤20,x∈N∗) 2xx2−x+1600(21≤x≤60,x∈N∗)；（3）当1≤x≤20时，g(x)=1x+80是减函数，此时g(x)的最大值为g(1)=181当21≤x≤60时，g(x)=2xx2−x+1600=2x+1600x−1≤22√1600−1=279当且仅当x=1600x时，即x=40时，g(x)max=279，又∵ 279>181，∴ 当x=40时，g(x)max=279所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为279．22. 解：（1）由题意可设A(y024，y0)，B(−8,0)，…D为AC中点，∴ D(y028，0)，C(0,−y0)…又∵ AC →⋅BC →=(−y 024,−2y 0)⋅(8,−y 0)=0∴ AC ⊥BC…（2）由题意可设A(y 024，y 0)，B(1,0)，C(0,c)，…∵ AC ⊥BC ，∴ AC →⋅BC →=0⇒(−y 024,c −y 0)⋅(−1,c)=0⇒y 024+c 2−cy 0=0⇒(c −y 02)2=0即c =y 02，C 是A ，D 的中点．…（3）真命题共有8种情况：每个①②⇒③共3种情况：(I)若AC ⊥BC ，C 为A ，D 的中点，则B(p2，0)(II)若AC ⊥BC ，D 为A ，C 中点，则B(−4p, 0) (III)若AC ⊥BC ，A 是C ，D 中点，则B(−4p, 0) ①③⇒②共2种情况：(I)若AC ⊥BC ，B(p2，0)，则C 为A ，D 的中点(II)若AC ⊥BC ，B(−4p, 0)，则D 为A ，C 中点或A 是C ，D 中点 ②③⇒①共3种情况：(I)若C 为A ，D 的中点，B(p2，0)，则AC ⊥BC(II)若D 为A ，C 中点，B(−4p, 0)，则AC ⊥BC (III)若A 是C ，D 中点，B(−4p, 0)，则AC ⊥BC 23. 解：（1）当n ≥2时，有a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1)=a 1+b 1+b 2+...+b n−1 (1)(n−1)×n2=n 22−n2+1．…又因为a 1=1也满足上式，所以数列{a n }的通项为a n =n 22−n2+1．…(2−①)解：因为b n+1b n−1=b n (n ≥2)， 所以，对任意的n ∈N ∗有b n+6=b n+5b n+4=1bn+3=bn+1b n+2=b n ，即数列{b n }各项的值重复出现，周期为6．…又数列{b n }的前6项分别为1,2,2,1,12，12，且这六个数的和为7．设数列{b n }的前n 项和为S n ，则，S 6n =7n ； … ②解：设c n =a 6n+i (n ≥0)，（其中i 为常数且i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}），所以c n+1−c n =a 6n+6+i −a 6n+i =b 6n+i +b 6n+i+1+b 6n+i+2+b 6n+i+3+b 6n+i+4+b 6n+i+5=7(n ≥0) 所以数列{a 6n+i }均为以7为公差的等差数列．… 设f k =a 6k+i 6k+i=a i +7k i+6k=76(i+6k)+a i −7i 6i+6k=76+a i −7i6i+6k ，（其中n =6k +i(k ≥0)，i 为{1, 2, 3, 4, 5, 6}中的一个常数），当a i =7i6时，对任意的n =6k +i 有a n n=76； …当a i ≠7i6时，f k+1−f k =a i −7i 66(k+1)+i −a i −7i 66k+i =(a i −7i 6)(16(k+1)+i −16k+i ) =(a i −7i 6)(−6[6(k +1)+i](6k +i)) (I)若a i >7i6，则对任意的k ∈N 有f k+1<f k ，所以数列{a6k+i6k+i }为单调减数列；(II)若a i <7i6，则对任意的k ∈N 有f k+1>f k ，所以数列{a 6k+i 6k+i}为单调增数列；综上：设集合B ={76}∪{43}∪{12}∪{−13}∪{−16}∪{12}={76，43，12，−13，−16}，当a 1∈B 时，数列{an n }中必有某数重复出现无数次．当a 1∉B 时，{a 6k+i 6k+i }(i =1, 2, 3, 4, 5, 6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{an n }中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…。
数学_2011年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)(含答案)
2011年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 已知全集为实数R ，集合A ={x|x 2−1≤0}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=( ) A {x|−1≤x ≤1} B {x|−1≤x <1} C ⌀ D {x|x =1}2. 若复数z =1+i 1−i+m(1−i)（i 为虚数单位）为非纯虚数，则实数m 不可能 为（ ）A 0B 1C −1D 23. 如果过曲线y =x 4−x 上点P 处的切线平行于直线y =3x +2，那么点P 的坐标为（ ） A (1, 0) B (0, −1) C (0, 1) D (−1, 0)4. 将函数y =sin2x +cos2x 的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式是（ ）A y =cos2x +sin2xB y =cos2x −sin2xC y =sin2x −cos2xD y =cosxsinx 5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列．则S 4=( ) A 7 B 8 C 16 D 156. 如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）A 1π B 2π C π4 D 3π7. 执行程序框图，若输出的n =5，则输入整数P 的最小值是（ ）A 7B 8C 15D 168. 设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α // β，则l // m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么（ ）A ①是真命题，②是假命题B ①是假命题，②是真命题C ①②都是真命题D ①②都是假命题9. 已知双曲线x 2a 2−x 2b 2=1的左焦点为F ，A(a, 0)，B(0, b)，当FB →⊥AB →时，则该双曲线的离心率e 等于（ ） A√5+12 B √5−12C √5−1D √5+110. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N ∗)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数．对下列4个函数：①f(x)=−cos(π2−x)；②f(x)=(13)x ；③f(x)=3π(x −1)2+2；④f(x)=log 0.5x ；其中是一阶格点函数的有（ ）A ①③B ②③C ③④D ①④二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. 在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：________．12. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为________．13. 已知企业生产汽车甲种配件每万件要用A 原料3吨，B 原料2吨；乙种配件每万件要用A 原料1吨，B 原料3吨；甲配件每件可获利5元，乙配件每件可获利3元，现有A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，利用现有原料该企业可获得的最大利润是________万．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2−bc ，且AC →⋅AB →=−4，则△ABC 的面积等于________．15.A ．（不等式选做题）不等式|x+2x+1|≤1的实数解集为________．B ．（几何证明选做题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．则AECE =________．C ．（坐标系与参数方程选做题）若△ABC 的底边BC =10，∠B =2∠A ，以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为________．三、解答题（共6小题，满分75分）16. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|≤π)在一个周期内，当x =π6时，y 取最小值−3；当x =2π3时，y 最大值3．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在区间[π2，π]上的最值．17. 已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n =a n 2+2a n −3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知b n =2n ，求T n =a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n 的值．18. 如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE // DB ，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE =1，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为√64．(1)在线段DC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥面DBC ，若存在，求线段DF 的长度，若不存在，说明理由；(2)求二面角D −EC −B 的平面角的余弦值．19. 某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通过的概率均为23；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =√22，且其中一个焦点与抛物线y =14x 2的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点S(−13, 0)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2+lnx −ax ．（1）当a =3时，求f(x)的单调增区间；（2）若f(x)在(0, 1)上是增函数，求a 得取值范围；（3）在（2）的结论下，设g(x)=x 2+|x −a|，(1≤x ≤3)，求函数g(x)的最小值．2011年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）答案1. D2. A3. A4. B5. D6. A7. B8. D9. A 10. A11. 正四面体（正方体）内一点到四（六）个面的距离之和是一个定值 12. 3π 13. 27 14. 2√315. {x|x ≤−32},13,p =20cosθ+10或30−40sin 2θ2或p =40cos 2θ2−10 16. 解：(1)∵ 在一个周期内，当x =π6时，y 取最小值−3；当x =2π3时，y 最大值3．∴ A =3,T2=2π3−π6=π2，∴ T =π，ω=2，∴ f(x)=3sin(2x +φ)， 由当x =2π3时，y 最大值3，得sin(4π3+φ)=1，4π3+φ=2kπ+π2(k ∈Z) ，φ=2kπ−5π6，∵ |φ|≤π， ∴ φ=−56π∴ f(x)=3sin(2x −5π6)．(2)∵ x ∈[π2，π]，∴ π6≤2x −5π6≤7π6∴ 当x =2π3时，f(x)取最大值3；当x =7π6时，f(x)取最小值−32．17. 解：（1）当n =1时，a 1=s 1=14a 12+12a 1−34，解出a 1=3，又4S n =a n 2+2a n −3①当n ≥2时4s n−1=a n−12+2a n−1−3②①-②4a n =a n 2−a n−12+2(a n −a n−1)，即a n 2−a n−12−2(a n +a n−1)=0， ∴ (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，∵ a n +a n−1>0∴ a n −a n−1=2(n ≥2)，∴ 数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，∴ a n =3+2(n −1)=2n +1． （2）T n =3×21+5×22+...+(2n +1)⋅2n ③又2T n =3×22+5×23+(2n −1)⋅2n +(2n +1)2n+1④④-③T n =−3×21−2(22+23++2n )+(2n +1)2n+1−6+8−2⋅2n−1+(2n +1)⋅2n+1=(2n −1)⋅2n +218. 解：(I)取AB 的中点G ，连接CG ，则CG ⊥AB ，∵ DB ⊥平面ABC ，∴ DB ⊥CG ， 所以CG ⊥面ABDE ， 所以sin∠CDG =CGCD =√64，CG =√3，故CD =2√2，DB =√CD 2−CB 2=2取CD 的中点为F ，BC 的中点为H ， 因为FH // −12BD ，AE // −12BD ， 所以AEFH 为平行四边形，得EF // AH ， AH ⊥BC AH ⊥BD }⇒AH ⊥平面BCD ∴ EF ⊥面DBC存在F 为CD 中点，DF =√2时，使得EF ⊥面DBC ．(II)以B 为原点，BA 为x 轴，BD 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ 在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE // DB ， 且△ABC 是边长为2的等边三角形，AE =1， CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为√64．∴ C(1,√3，0)、B(0, 0, 0)、E(2, 0, 1)、D(0, 0, 2)，从而BE →=(2, 0, 1)，EC →=(−1,√3，−1)，DE →=(2,0,−1)．设n 1→=(x,y,z)为平面BCE 的法向量，则{n 1→⋅EC →=−x +√3y −z =0˙⇒可以取n 1→=(1,−√33,−2) 设n 2→=(x,y,z)为平面CDE 的法向量，则{n 1→⋅EC →=−x +√3y −z =0˙⇒取n 2→=(1,√3,2)因此，cos <n 1→⋅n 2→>=8√63=−√64， 故二面角D −EC −B 的余弦值为√6419. 设该小组中有n 个女生，根据题意，得C n 1C10−n 1C 102=815解得n ＝6，n ＝4（舍去）， ∴ 该小组中有6个女生；由题意，ξ的取值为0，1，2，3； P(ξ＝0)=13×13×14=136P(ξ＝1)=C 21×23×13×14+(13)2×34=736P(ξ＝3)=(23)2×34=1236P(ξ＝2)＝1−136−736−1236=1636∴ ξ的分布列为：∴ Eξ＝1×736+2×1636+3×1236=251220. 解：(I)设椭圆的方程为x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)，离心率e =√22，c a =√22，抛物线y =14x 2的焦点为(0, 1)，所以c =1,a =√2，b =1，椭圆C 的方程是x 2+y 22=1(II)若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是(x +13)2+y 2=169．由{x 2+y 2=1(x +13)2+y 2=169解得{x =1y =0即两圆相切于点(1, 0)． 因此所求的点T 如果存在，只能是(1, 0)． 事实上，点T(1, 0)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T(1, 0)． 若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l:y =k(x +13)．由{y =k(x +13)x 2+y 22=1即(k 2+2)x 2+23k 2x +19k 2−2=0． 记点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=−23k 2k 2+2x 1x 2=19k 2−2k 2+2又因为TA →=(x 1−1, y 1)，TB →=(x 2−1, y 2)，TA →⋅TB →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)+k 2(x 1+13)(x 2+13)=(k 2+1)x 1x 2+(13k 2−1)(x 1+x 2)+19k 2+1=(k 2+1)19k 2−2k 2+2+(13k 2−1)−23k 2k 2+2+19k 2+1=0，所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T(1, 0)． 所以在坐标平面上存在一个定点T(1, 0)满足条件 21. 解：（1）当a =3时，f(x)=x 2+lnx −3x ； ∴ f ′(x)=2x +1x −3由f′(x)>0得，0<x <12或x >1；故所求f(x)的单调增区间为(0,12)、(1,+∞) （2）f′(x)=2x +1x −a ．∵ f(x)在(0, 1)上是增函数，∴ 2x +1x−a >0在(0, 1)上恒成立，即a <2x +1x恒成立．∵ 2x +1x≥2√2（当且仅当x =√22时取等号）． 所以a <2√2．当a =2√2时，易知f(x)在(0, 1)上也是增函数， 所以a ≤2√2．（3）由（2）知a ≤2√2当a ≤1时，g(x)=x 2+x −a 在区间[1, 3]上是增函数 所以g(x)的最小值为g(1)=2−a ． 当1<a ≤2√2时，g(x)={x 2−x +a(1≤x <a)x 2+x −a(a ≤x ≤3)因为函数g(x)在区间[a, 3]上是增函数，在区间[1, a]上也是增函数， 所以g(x)在[1, 3]上为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)=a．所以，当a≤1时，g(x)的最小值为2−a；当1<a≤2√2时，g(x)的最小值为a．。
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a 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
∙
锥体的体积公式Sh V 3
1
=
锥体，其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. ∙
柱体的体积公式Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. ∙
如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 已知复数
i i
i
--在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a 的值为 (A) 2- (B) 1- (C) 0 (D) 2 (2) 下列说法中,错误的是
(A) 命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的逆否命题为:“若1≠x ,则0232≠+-x x ” (B) “1>x ”是“1>x ”的充分不必要条件 (C) 若q p ∧为假命题，则q p 、均为假命题
(D) 若命题：p “∈∃0x R ,使得0102
0<++x x ”,则：p ⌝“∈∀x R ,均有12++x x ≥0”
(3) 已知某个几何体的三视图,根据图中标出的尺寸, 计算可得这个几何体的体积是 (A) π+)1123(
(B) π+)163
( (C) π+)133(
(D) π+)23
3
( (4) 已知函数4ln )(-+=x x x f 的零点],[0b a x ∈, 且∈b a ,N *,2=-a b ,则=ab
(A) 8 (B) 15 (C) 8或15 (D) 3或8
侧视图
俯视图
正视图
(5) 右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试 成绩的程序框图,若输出的结果是720,则这次数 学考试分数不低于90分的同学的频率是 (A) 28.0 (B) 38.0 (C) 62.0 (D) 72.0
(6) 如图,非零向量=OA a ,=OB b ,且OA BC ⊥,
C 为垂足,设向量=OC a λ,则λ的值为
(A)
2
a
b a ⋅ (B)
b
a b
a ⋅⋅ (C)
2
b
b a ⋅ (D)
b
a b a ⋅⋅
(7) 在△ABC 中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,且4=a ,5=+c b , C B C B tan tan 33tan tan ⋅=++,则△ABC 的面积为 (A)
43 (B) 33 (C) 433 (D) 4
3 (8) 已知函数2)2(1)(2+--=x x f ,若3221<<<x x ，则有
(A) )()(1221x f x x f x > (B) )()(1221x f x x f x < (C) )()(1221x f x x f x = (D) )()(2211x f x x f x =
第Ⅱ卷
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. (9) 若直线2+=x y 与曲线⎩⎨
⎧+=+=α
αsin 22cos 21y x (α为参数)相交于B A ,两点,则=AB .
(10) 已知数列}{n a 满足301=a ,n a a n n 21=-+,则n
a n
的最小值为 . (11) 定义在R 上的函数⎩
⎨
⎧>----=0),2()1(),
4(log )(2x x f x f x x f ,则)2011(f 的值为 .
(12) 用6,5,4,3,2,1组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数字5,3,1有且只有两
个相邻,则不同的排法种数为 (用数字作答).
(13) 设圆过双曲线116
92
2=-y x 的一个顶点和一个焦点, 圆心在此双曲线上,则圆心到双
曲线中心的距离为 .
(14) 设)(x f 是定义在实数集R 上的函数, 如果存在函数B Ax x g +=)((B A 、为常数),
使得)(x f ≥)(x g 对一切实数x 都成立,那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数.下 列说法正确的是: (写出所有正确说法的序号) . ①1)(-=x g 为x x f sin )(=的一个承托函数；②1
2)(2+=
x x x f 不存在承托函数；
③22)(2++=x x x f 存在无数个承托函数；④16)(3+-=x x x f ,若)(x g 的图象 恰为)(x f 在点)4,1(-P 处的切线,则)(x g 为)(x f 的一个承托函数.
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)
已知函数x x x x f 2cos )4
2
(sin sin 4)(2++
=π
.
(Ⅰ)设0>ω为常数,若)(x f y ω=在区间]3
2,
2
[π
π
-上是增函数,求ω的取值范围； (Ⅱ)设集合6
{π
x
A =≤x ≤
}3
2π
,}2)({<-=m x f x B ,若B A ⊆,求m 的取值范围. (16) (本小题满分13分)
在进行一项掷骰子放球的游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球；若掷出2点或3点,乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷球3次,设z y x ,, 分别表示甲,乙,丙3个盒子中的球数.
(Ⅰ) 求z y x ,,依次成公差大于0的等差数列的概率； (Ⅱ) 记y x +=ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
x ≤0
本小题满分13分)
在如图所示的多面体中,⊥EF 平面AEB ,EB AE ⊥,EF AD //, BC EF //,42==AD BC ,3=EF ,2==BE AE ,G 为BC 的中点.
(Ⅰ) 求证://AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证:EG BD ⊥；
(Ⅲ) 求二面角E DF C --的正弦值. (18) (本小题满分13分)
已知)0,2(-A ,)0,2(B 为椭圆C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆C 上异于
B A ,的动点,且△APB 面积的最大值为32.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程及离心率；
(Ⅱ) 若直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ,当直线AP 绕点A 转动时,试判断 以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系,并加以证明. (19) (本小题满分14分)
设函数b
x ax x f ++
=1
)((∈b a ,Z ),曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为3=y .
(Ⅰ) 求)(x f 的解析式；
(Ⅱ) 证明:函数)(x f y =的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心；
(Ⅲ) 证明:曲线)(x f y =上任一点的切线与直线1=x 和直线x y =所围成三角形的面 积为定值,并求出此定值. (20) (本小题满分14分)
已知数列}{n a 中,21=a ,021=---n a a n n (n ≥2,∈n N *).
(Ⅰ) 写出32,a a 的值； (Ⅱ) 求数列}{n a 的通项公式； (Ⅲ) 设n
n n n n a a a a b 23
2
1
1
111+
++
+
==++ ,若对任意的正整数n ,当]1,1[-∈m 时,不等式n b mt t >+
-6
1
22恒成立,求实数t 的取值范围. B
C
D
E
F
G
A。