结构力学4静定结构的位移计算
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《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
第4章 结构位移计算
1
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
讲课 第四章 静定结构的位移计算
(1)虚设位移状态——求未知力（虚功的应用之一——虚位移原理） FX 例：图(a)示扛杆，其中B端作用巳知荷载 FP ，求扛杆平衡时在A端需加的未知力。 A
C
解：扛杆是一个可变体系，可绕 C 点自由 转动，如图(b)示。把这个刚体位移取作虚 位移，可得出虚功方程为：
a (a)
b
B
P
FX X FP P 0 设 P 表示位移 P 和 X 之间的 b 比例系数： P P X a
虚功：力在其它因素引起的位移上作 的功。力与位移是彼此无关的量，分 别属于同一体系的两种彼此无关的状 态。
△11
2
P2
△22
B
△12
A
1
P1
2
B
△21
△11
Tkj=Pk· △kj
虚功是代数量，有正有负。
A
1
P2
2
B
△12
△22
9
注意：作功的力必须和位移在一条作用线上，否则，二者的乘积就不是功。
4.2 刚体体系的虚功原理
小结： ⑴ 虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。 ⑵ 求解问题直接，不涉及约束力。
15
4.2 刚体体系的虚功原理
例：如图(a)所示简支梁，现欲求B支座反力X。步骤如下 ①首先解除 B 支座的约束，以相应的未知 力 X 代替，于是原结构变成了具有一个自 由度的体系，它在荷载与未知力 X 的共同
应的广义位移。
当广义位移与广义力方向一致时，虚功为正，相反时为负。
12
12
4.2 刚体体系的虚功原理
计算静定结构内力的另一个普遍方法 — 虚功原理，它等价于平衡方程。
应该指出，在虚功方程中，力状态与位移状态是彼此独立的，因
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
结构力学考研《结构力学习题集》4-静定位移
第四章 静定结构位移计算一、是非题1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。
5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
Mk M p21y 1y 2**ωω7、图示桁架各杆EA 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
A8、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
aa9、图示简支梁，当P 11=，P 20=时，1点的挠度为0.01653l EI /，2点挠度为0.0773l EI /。
当P 10=，P 21=时，则1点的挠度为0.0213l EI /。
（ ）l10、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式即可求出杆AC 的转角。
C1P11、图示梁AB 在所示荷载作用下的M图面积为ql 3。
lAl /212、图示桁架结点C水平位移不等于零。
13、图示桁架中，结点C 与结点D 的竖向位移相等。
二、选择题1、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;;B.D.M C.=1=1=12、图示结构A 截面转角（设顺时针为正）为：A.22Pa EI / ;B.-Pa EI 2/ ;C.542Pa EI /() ;D.-542Pa EI /() 。
aa3、图示刚架l a >>0 , B 点的水平位移是：A .不定，方向取决于a 的大小；B .向左；C .等于零；D .向右。
4、图示静定多跨粱，当EI 2增大时，D 点挠度：A .不定，取决于EI EI 12；B .减小；C .不变；D .增大。
5、图示刚架中杆长l ，EI 相同，A 点的水平位移为:A.()2302M l EI /→;B.()M l EI 023/→;C.()2302M l EI /←;D.()023M l EI /←。
结构力学——静定结构位移计算
结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。
其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。
静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。
这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。
在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。
静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。
在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。
在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。
它可以通过求解一组线性方程组得到。
具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。
静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。
这些方程可以根据物理实际条件进行建立。
2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。
支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。
3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。
4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。
静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。
它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。
除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。
它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。
静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。
结构力学——静定结构的位移计算 免费
虚拟状态 M, Q, N
t10C, t2 0C —内、外侧温度的改变
1 kt Mdt Ndut
du t , dt —实变形，温度不引起剪切变形
ⅰ）对称截面
u 2
u1
第三节 温度位移
轴向伸长（内、外表面纤维）
u1 t1ds 杆轴处伸长： u2 t2ds
杆轴处的平均温度
ⅱ） 不对称截面
t轴
MP
dP
MP dS EI
QP
dP
QP dS GA
第一节 一般荷载作用下的位移计算公式
外力虚功: Pk kP (虚外力在实位移上作的虚功) 内力虚功:
MdP NduP QdP
(虚内力在实变形上作的虚功)
1 kP
MMPdS EI
NNPdS EA
k
QQPdS GA
则
MMPdS EI
NNPdS EA
第三节 温度位移
公式符号判断规则
• t轴,t可用绝对值代入
•若为正t，引反起之的为杆负件弯曲变形方向和由 M 引起的弯曲方向一致
•若 t轴 引起的杆件轴向伸缩和由 N 引起的杆件轴向伸缩一致
为正，反之为负
例1－2：求图示刚架因温度产生的竖向位移ct ，设内测温升100 C，
AB杆外侧升高 200C，BC杆外侧无变化，各杆截面 h 16cm,
L 4m, 105
B t1 200C C
BL
1
1B
1
C
C
t2 100C
M
N
A
A
A
第三节 温度位移
AB段： t轴
10 20 2
150 C, t
t1 t2
100 C
BC段：
t10C, t2 0C —内、外侧温度的改变
1 kt Mdt Ndut
du t , dt —实变形，温度不引起剪切变形
ⅰ）对称截面
u 2
u1
第三节 温度位移
轴向伸长（内、外表面纤维）
u1 t1ds 杆轴处伸长： u2 t2ds
杆轴处的平均温度
ⅱ） 不对称截面
t轴
MP
dP
MP dS EI
QP
dP
QP dS GA
第一节 一般荷载作用下的位移计算公式
外力虚功: Pk kP (虚外力在实位移上作的虚功) 内力虚功:
MdP NduP QdP
(虚内力在实变形上作的虚功)
1 kP
MMPdS EI
NNPdS EA
k
QQPdS GA
则
MMPdS EI
NNPdS EA
第三节 温度位移
公式符号判断规则
• t轴,t可用绝对值代入
•若为正t，引反起之的为杆负件弯曲变形方向和由 M 引起的弯曲方向一致
•若 t轴 引起的杆件轴向伸缩和由 N 引起的杆件轴向伸缩一致
为正，反之为负
例1－2：求图示刚架因温度产生的竖向位移ct ，设内测温升100 C，
AB杆外侧升高 200C，BC杆外侧无变化，各杆截面 h 16cm,
L 4m, 105
B t1 200C C
BL
1
1B
1
C
C
t2 100C
M
N
A
A
A
第三节 温度位移
AB段： t轴
10 20 2
150 C, t
t1 t2
100 C
BC段：
结构力学第四章(荷载作用下位移计算公式)
By
0l
MPM EI
ds
0 2
MPM EI
Rd
PR3
4EI
()
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MM Pds EI
FN FNP ds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
2x6 2
3
AC段
0 x 2
80x qx 2
1 x 3
D
2720 9EI
()
例题：计算D处竖向位移，B处角位移？（EI为常数）
解：1.构造虚设状态
x
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
DB段
0 x2
P 轴向
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
式中：
剪切 弯曲
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。
解：1.构造虚设状态
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
结构力学课件位移计算的一般公式
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
iP
(N Q M )dx
0
i
l
iP
( N Q M )dx
0
i
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP , kQP , M P
EA GA
EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
NP E
N A
i
kQPQi GA
MPMi EI
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
微段外力: 微段变形:
M
M dM
N
N dN
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
iP
(N Q M )dx
0
i
l
iP
( N Q M )dx
0
i
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP , kQP , M P
EA GA
EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
NP E
N A
i
kQPQi GA
MPMi EI
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
微段外力: 微段变形:
M
M dM
N
N dN
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
结构力学—位移计算
QP Mi
P1
qk2l ql4 ()
Ab h,I b h3/1 2,k6/5,
2GA 8EI
对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计.
位何移h确方/l定向Q1的是/1?如0,1E/G2Q.5il(钢 x 砼 )
M 100
精选ppt
9
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
适用于线弹性 直杆体系,
ip [N E P N i精A 选 ppk t G P Q Q i A M E P M i] Id8 s
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
Ah
解：构造虚设单位力状态.
N i(x ) 0 ,N P (x ) 0
l
b
Q i( x ) 1 ,Q P ( x ) q ( l x )
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB ?
精选ppt
14
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
精选ppt
15
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
精选ppt
16
4-3 图乘法及其应用
Q
1
N 1
ip P[ R N E P kN P iA R 似k P G 计MP Q 算小Q R 3;(曲轴i 40 A )率向0 M 杆变E 可形P M 利、M 用i 剪] Id 1直切20杆变0公s 形式对近位
结构力学静定结构位移计算
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
截面转角
相对线位移
相对转角
Δ
P=1
1/2
1/2
（三）计算步骤:
➢ 根据拟求位移作单位力状态 ➢ 求单位力作用下的支反力 ➢ 利用公式求位移
R iCi
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
T M
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
A
B
T M A M B M ( A B ) M AB
（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
图（a）中P1所作的功为：T11
1 2
P111
实功
△11
图（b）中P2所作的功为：T22
变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功
即 T12＝W12
说明：
（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。 （2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）
第二状态要求虚位移条件 （3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。 （4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
1 2
P2 22
图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为： 第一个下标表示位移的地点和方向
1 T11 2 P111 再作用P2，此时P2所作的功为：T22
1 2
第二个下标表示产生位移的原因
△22
P2 22
P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：
P2
T12 P112
虚功
第四章静定结构位移计算
广义力：用符号F表示集中力、力偶、力对、力偶对等， 称F为广义力。广义力在相应的广义位移上作功 功的表达式写成： W=F Ｆ——广义力，——广义位移。
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
实功：力在与力有关的位移上作的功。
1 线弹性体上外力的实功： W F 2
虚功：力在与之无关的位移上作的功。
W F
——作功的过程中，力保持不变。
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
２、虚功原理：
(a) 刚体的虚功原理：刚体体系处于平衡的充要条 件是对任何虚位移，所有外力作的虚功总和为零。 （外力包括何在和约束力（如支座反力））
(b) 变形体的虚功原理：变形体处于平衡的充要条件 是对任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上内力 在其变形上所作虚功总和。
A 2Ax 2Ay
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
相对（线）位移：两点之间距离变化 CD C D
相对角位移（转角）：两截面之间夹角变化
章
静定结构位移 （北京建筑大学）
2、广义位移的概念：
为便于进行理论分析和公式推导，将所 讨论的各种结构位移用统一的符号来表 示—，称为广义位移。
2、是广义位移。 3、F=1 是在上作功的广义力。
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
公式为虚设单位力F=1在上作的功，因此F=1要与 相应（F=1为广义力）。下面举例说明F=1的类型：
故
Wi 0
所以
W We
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
du
2、按刚体虚功和变形虚功来计算总虚功：
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
实功：力在与力有关的位移上作的功。
1 线弹性体上外力的实功： W F 2
虚功：力在与之无关的位移上作的功。
W F
——作功的过程中，力保持不变。
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
２、虚功原理：
(a) 刚体的虚功原理：刚体体系处于平衡的充要条 件是对任何虚位移，所有外力作的虚功总和为零。 （外力包括何在和约束力（如支座反力））
(b) 变形体的虚功原理：变形体处于平衡的充要条件 是对任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上内力 在其变形上所作虚功总和。
A 2Ax 2Ay
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第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
相对（线）位移：两点之间距离变化 CD C D
相对角位移（转角）：两截面之间夹角变化
章
静定结构位移 （北京建筑大学）
2、广义位移的概念：
为便于进行理论分析和公式推导，将所 讨论的各种结构位移用统一的符号来表 示—，称为广义位移。
2、是广义位移。 3、F=1 是在上作功的广义力。
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
公式为虚设单位力F=1在上作的功，因此F=1要与 相应（F=1为广义力）。下面举例说明F=1的类型：
故
Wi 0
所以
W We
结构力学
第 4 章
静定结构位移 （北京建筑大学）
du
2、按刚体虚功和变形虚功来计算总虚功：
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
结构力学04位移计算(新)
功：力×力方向位移之总和 广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项 广义力：功的表达式中， 功：广义力×广义位移之总和 广义力× 实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 实功： 虚功： 虚功：广义力与广义位移无关时所作的功 变力功 W=FP1×∆∆12 W=FP1× 11 /2 or W=FP×∆/2 W=FP2×∆∆21 W=FP2× 22 /2
二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
（2）桁架
∆ kP
（3）拱
F N FN P F N FN P F N FN P l = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds = ∑ EA EA EA
F N FN P MM P ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA
试计算悬臂梁A点的竖向位移 例1. 试计算悬臂梁 点的竖向位移 ∆AV , EI = C 。 P=1 q x A x C C B A
ϕA = ?
P=1 B A
(a)
P=1
∆ AB = ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 P= d
C d A B
(c)
ϕ BC = ?
1 d1 1 d1
C
1 P= d
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
ϕ AB − AC = ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
MP dϕ P = ds EI
k--为截面形状系数 为截面形状系数
FN P duP = ds EA
1.2
QP γ P ds = k ds GA
10 9
二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
（2）桁架
∆ kP
（3）拱
F N FN P F N FN P F N FN P l = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds = ∑ EA EA EA
F N FN P MM P ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA
试计算悬臂梁A点的竖向位移 例1. 试计算悬臂梁 点的竖向位移 ∆AV , EI = C 。 P=1 q x A x C C B A
ϕA = ?
P=1 B A
(a)
P=1
∆ AB = ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 P= d
C d A B
(c)
ϕ BC = ?
1 d1 1 d1
C
1 P= d
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
ϕ AB − AC = ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
MP dϕ P = ds EI
k--为截面形状系数 为截面形状系数
FN P duP = ds EA
1.2
QP γ P ds = k ds GA
10 9
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i FP2
D M d FQ dh FN du F R c（4.6）
P1 1
(a) 实际状态
i FP =1
Q N
M 、F 、F F ds K 此即平面杆件结构位移计算的一般公式， K ds K 这种计算位移的方法又称为单位荷载法。 d d 此方法既适用于静定结构，也适用于 du i i 超静定结构；既适用于弹性材料，也适用于 F c 非弹性材料；既适用于荷载作用下的位移计 算，也适用于由支座移动、温度改变等因素 F c 影响下的位移计算。 图4.9虚力原理 (b) 虚拟状态 (a) 实际状态 河南理工大学万方科技学院
FP FP1
FP
W1=FPΔ （4.2）
图4.5虚功
FP
FP1
力状态
FP1
位移状态
图4.6虚功
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2.2 刚体体系的虚功原理
对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述为： 刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合刚体体 系约束情况的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做 的虚功总和等于零。 或者说：对于具有理想约束的刚体体系，如果力状态 中的力系能满足平衡条件，位移状态的刚体位移是约束容 许的可能位移，则外力所作的虚功总和等于零，即 W 外= 0
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
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结构力学 土木工程指导性专业规范系列教材
第四章 静定结构的位移计算
主编：文国治
副主编：陈名弟
2013年12月8日
出版社
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
第4章
静定结构的位移计算
●基本要求 了解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用； 理解广义力及广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练 掌握图乘法在位移计算中的应用；了解线性弹性体系的互等定理。 ●重点 静定结构由于荷载、支座位移、温度变化等原因引起的位移计算 ，特别是用图乘法计算静定梁和刚架在荷载作用下的位移。 ●难点 变形体系的虚功原理及其证明；广义力及广义位移的概念。
结构力学 ②虚拟力状态，求未知位移
第四章 静定结构的位移计算
在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用 虚功原理，这种形式的虚功原理又称为虚力原理。 本章就采用此方法求结构位移。
【*例4.2】 已知图(a)所示静定梁的支座B向下移动
距离c，试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C 点的竖向位移 ΔCV ，可虚拟一力状态如图(b)所示。 应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0 令F=1。得 ΔCV=
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
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结构力学 2．实功
第四章 静定结构的位移计算
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自身引起的位移 上所作的功称为实功。力F 本身引起的位移对力F 而言为实位 移，力在实位移上所作的功称为实功。(设比例常数为β) F F
P
P
T= 0
D
FP1d D1
D
0
1 1 2 D D1d D1 D1 |0 D 2 2 2
(a)力状态
图4.7虚功原理的证明
(b)位移状态
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 （1）按外力虚功与内力虚功计算W总(考虑变形连续条件) F M q dW总=dW外+dW内 dW总 dW外 dW内 ds
P2
(考虑力系平衡条件) F M q 将微段的虚位移分解为两步：先只发 ds 生刚体位移(由ABCD移到A1q 1C2D2)，然后 B F 再发生变形位移(截面AM B1不动，C2D2再移 1 M+d M F +d F F 到C1D1)，如图4.7(b)所示。 F +d F F dW总=dW刚+dW变 d s dW刚=0
本章小结
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.1 概 述
4.1.1 广义位移
荷载、温度变化、支座位移等外因作用下，结构各截面位臵的移 动，称为位移。 线位移(挠度) —截面形心所移动距离 绝对位移 结构的 (图4.1ΔA)、 (图4.2ΔCD) 广义位移 —截面转动的角度 相对位移 角位移(转角) (图4.1 A)、 (图4.1 AB) 广义荷载—— 力和力偶
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结构力学 ① 虚拟位移状态，求未知力
第四章 静定结构的位移计算
We＝FB B FδF =0
F FB F B F a 根据几何 关系有: B l
F
a FB F l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
可令δB =1，这种沿未知力方向虚设单位位移的方 法称为单位位移法
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 4.2.3 变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合变形体 系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所 做的虚功总和W，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形 上所做的虚功U。即外力虚功等于变形虚功（或称虚应变能）。 W=U (4.3) 证明：图示力状态和位移状态互不相关。将图4.7(a)中微 段上的各力在图4.7(b)中微段上的对应位移上做虚功，并把所 有微段的虚功总加起来，便是整个结构的虚功W总。 F F
FP1 FP
A
1 FP D 2
（4.1a）
FP
O
1
即T为三角形OAB的面积。
图4.3 静力荷载所做的实功
B O d
1
FP
1
FP1
FP
M
图4.4 静力荷载所做的实功
1 T M 2
（4.1b）
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
3．虚功 外力在其他原因(其他荷载、温度变化、支座位移等)引起的 位移上所做的功称为虚功。位移不是由作功的力引起的，而是 由其他因素引起的是虚位移,力F在虚位移上所作的功称为虚功。
§4-1 概述 §4-2 变形体系的虚功原理 §4-3 平面杆件结构位移计算的一般公式 §4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §4-5 图乘法 §4-6 静定结构在支座移动时的位移计算 §4-7 静定结构在温度变化时的位移计算 *§4-8 具有弹性支座的静定结构的位移计算 §4-9 线性静定结构的互等定理
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
F
M
F
Δ
W=F· （F表示广义力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方 程 3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值，表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致；如果求得的位移为负值，表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
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第四章 静定结构的位移计算
i FP2 K K1 ds FP1
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
FP D Md FQdh FN du
平衡力系
(4.4)
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结构力学 (4)变形体系的虚功原理的几点说明
第四章 静定结构的位移计算
①力系是平衡力系，位移是可能的、微小的、连续的位移。 ②平衡力系和位移状态是相互独立无关的。 ③虚功原理具有普遍适用性。适用于弹性、非弹性、线性、非 线性的变形体系。 ④虚功原理同样适用于刚体系。此时变形虚功U =0，则W =0。 即外力虚功之和为零。刚体系的虚功原理是变形体系 虚功原理的一个特例。 虚功原理的两种表述形式： ①若平衡力系状态实际存在，位移状态是虚设的，称为 虚位移原理，可用于求未知力。 ②若位移状态实际存在，平衡力系状态是虚设的,称为 虚力原理。此时式(4.4)表示变形协调条件，可用于求位移。
M q M
P2
q
P2
ds ds FP1 M FN FQ ds q FP1 M+d M M FN +d FN FN FQ +d FQ FQ ds ds q M+d M FN +d FN FQ +d FQ A B ds B1 ds C D A1 A C2
ds ds C C2 C1 C1 A1 B D D2 d s D2 D1 D1 B1
间的几何关系，由此可得到力系之间的平衡关系。
因此，该法的特点是把静力平衡问题转化为几何问 题求解。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
【*例4.1】 试用虚位移原理(单位位移法)求图(a)所示 多跨静定梁的支座B处的反力。
【解】去掉支座B处的约束，代之以相应的约束反力FB。设在B 处产生一个向下的虚单位位移δB=1，则体系的虚位移如图(b)中 虚线所示。应用虚位移原理建立虚功方程为
D M d FQ dh FN du F R c（4.6）
P1 1
(a) 实际状态
i FP =1
Q N
M 、F 、F F ds K 此即平面杆件结构位移计算的一般公式， K ds K 这种计算位移的方法又称为单位荷载法。 d d 此方法既适用于静定结构，也适用于 du i i 超静定结构；既适用于弹性材料，也适用于 F c 非弹性材料；既适用于荷载作用下的位移计 算，也适用于由支座移动、温度改变等因素 F c 影响下的位移计算。 图4.9虚力原理 (b) 虚拟状态 (a) 实际状态 河南理工大学万方科技学院
FP FP1
FP
W1=FPΔ （4.2）
图4.5虚功
FP
FP1
力状态
FP1
位移状态
图4.6虚功
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第四章 静定结构的位移计算
4.2.2 刚体体系的虚功原理
对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述为： 刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合刚体体 系约束情况的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做 的虚功总和等于零。 或者说：对于具有理想约束的刚体体系，如果力状态 中的力系能满足平衡条件，位移状态的刚体位移是约束容 许的可能位移，则外力所作的虚功总和等于零，即 W 外= 0
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
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结构力学 土木工程指导性专业规范系列教材
第四章 静定结构的位移计算
主编：文国治
副主编：陈名弟
2013年12月8日
出版社
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
第4章
静定结构的位移计算
●基本要求 了解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用； 理解广义力及广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练 掌握图乘法在位移计算中的应用；了解线性弹性体系的互等定理。 ●重点 静定结构由于荷载、支座位移、温度变化等原因引起的位移计算 ，特别是用图乘法计算静定梁和刚架在荷载作用下的位移。 ●难点 变形体系的虚功原理及其证明；广义力及广义位移的概念。
结构力学 ②虚拟力状态，求未知位移
第四章 静定结构的位移计算
在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用 虚功原理，这种形式的虚功原理又称为虚力原理。 本章就采用此方法求结构位移。
【*例4.2】 已知图(a)所示静定梁的支座B向下移动
距离c，试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C 点的竖向位移 ΔCV ，可虚拟一力状态如图(b)所示。 应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0 令F=1。得 ΔCV=
a c l
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第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
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结构力学 2．实功
第四章 静定结构的位移计算
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自身引起的位移 上所作的功称为实功。力F 本身引起的位移对力F 而言为实位 移，力在实位移上所作的功称为实功。(设比例常数为β) F F
P
P
T= 0
D
FP1d D1
D
0
1 1 2 D D1d D1 D1 |0 D 2 2 2
(a)力状态
图4.7虚功原理的证明
(b)位移状态
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 （1）按外力虚功与内力虚功计算W总(考虑变形连续条件) F M q dW总=dW外+dW内 dW总 dW外 dW内 ds
P2
(考虑力系平衡条件) F M q 将微段的虚位移分解为两步：先只发 ds 生刚体位移(由ABCD移到A1q 1C2D2)，然后 B F 再发生变形位移(截面AM B1不动，C2D2再移 1 M+d M F +d F F 到C1D1)，如图4.7(b)所示。 F +d F F dW总=dW刚+dW变 d s dW刚=0
本章小结
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第四章 静定结构的位移计算
4.1 概 述
4.1.1 广义位移
荷载、温度变化、支座位移等外因作用下，结构各截面位臵的移 动，称为位移。 线位移(挠度) —截面形心所移动距离 绝对位移 结构的 (图4.1ΔA)、 (图4.2ΔCD) 广义位移 —截面转动的角度 相对位移 角位移(转角) (图4.1 A)、 (图4.1 AB) 广义荷载—— 力和力偶
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结构力学 ① 虚拟位移状态，求未知力
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We＝FB B FδF =0
F FB F B F a 根据几何 关系有: B l
F
a FB F l
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第四章 静定结构的位移计算
可令δB =1，这种沿未知力方向虚设单位位移的方 法称为单位位移法
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 4.2.3 变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合变形体 系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所 做的虚功总和W，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形 上所做的虚功U。即外力虚功等于变形虚功（或称虚应变能）。 W=U (4.3) 证明：图示力状态和位移状态互不相关。将图4.7(a)中微 段上的各力在图4.7(b)中微段上的对应位移上做虚功，并把所 有微段的虚功总加起来，便是整个结构的虚功W总。 F F
FP1 FP
A
1 FP D 2
（4.1a）
FP
O
1
即T为三角形OAB的面积。
图4.3 静力荷载所做的实功
B O d
1
FP
1
FP1
FP
M
图4.4 静力荷载所做的实功
1 T M 2
（4.1b）
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3．虚功 外力在其他原因(其他荷载、温度变化、支座位移等)引起的 位移上所做的功称为虚功。位移不是由作功的力引起的，而是 由其他因素引起的是虚位移,力F在虚位移上所作的功称为虚功。
§4-1 概述 §4-2 变形体系的虚功原理 §4-3 平面杆件结构位移计算的一般公式 §4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §4-5 图乘法 §4-6 静定结构在支座移动时的位移计算 §4-7 静定结构在温度变化时的位移计算 *§4-8 具有弹性支座的静定结构的位移计算 §4-9 线性静定结构的互等定理
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
F
M
F
Δ
W=F· （F表示广义力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方 程 3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值，表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致；如果求得的位移为负值，表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
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i FP2 K K1 ds FP1
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
FP D Md FQdh FN du
平衡力系
(4.4)
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结构力学 (4)变形体系的虚功原理的几点说明
第四章 静定结构的位移计算
①力系是平衡力系，位移是可能的、微小的、连续的位移。 ②平衡力系和位移状态是相互独立无关的。 ③虚功原理具有普遍适用性。适用于弹性、非弹性、线性、非 线性的变形体系。 ④虚功原理同样适用于刚体系。此时变形虚功U =0，则W =0。 即外力虚功之和为零。刚体系的虚功原理是变形体系 虚功原理的一个特例。 虚功原理的两种表述形式： ①若平衡力系状态实际存在，位移状态是虚设的，称为 虚位移原理，可用于求未知力。 ②若位移状态实际存在，平衡力系状态是虚设的,称为 虚力原理。此时式(4.4)表示变形协调条件，可用于求位移。
M q M
P2
q
P2
ds ds FP1 M FN FQ ds q FP1 M+d M M FN +d FN FN FQ +d FQ FQ ds ds q M+d M FN +d FN FQ +d FQ A B ds B1 ds C D A1 A C2
ds ds C C2 C1 C1 A1 B D D2 d s D2 D1 D1 B1
间的几何关系，由此可得到力系之间的平衡关系。
因此，该法的特点是把静力平衡问题转化为几何问 题求解。
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【*例4.1】 试用虚位移原理(单位位移法)求图(a)所示 多跨静定梁的支座B处的反力。
【解】去掉支座B处的约束，代之以相应的约束反力FB。设在B 处产生一个向下的虚单位位移δB=1，则体系的虚位移如图(b)中 虚线所示。应用虚位移原理建立虚功方程为