2020届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试数学(理)试卷及答案
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在△ABC 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠BAC =60°，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6 B. 4 C. −6 D. −4 2. 已知复数z =4+3i ，则|z|z =( )A. 4−3iB. 4+3iC. 45+35iD. 45−35i3. 已知集合A ={x|x −1>0}，B ={x ∈N|x <4}，则A ∩B =( ) A. (2,4) B. {2,3，4} C. {2,3} D. (2,3)4. 直线过点(−1,2)且与直线2x −3y =0垂直，则直线的方程是( )A. 3x +2y −1=0B. 3x +2y −7=0C. 2x −3y −5=0D. 2x −3y +8=05. 若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5，则f(x)在(−∞,0)上有( )A. 最小值−5B. 最大值−5C. 最小值−1D. 最大值−3 6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+a 6=10，则S 9=( )A. 20B. 35C. 45D. 90 7. 已知−1<a <4，1<b <2，则a −b 的取值范围是( )A. (−2,3)B. (−2,2)C. (−3,2)D. (−3,3)8. 如图所示，正三棱锥V −ABC 中，D,E,F 分别是VC,VA,AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )A. B.C.D. 随P 点的变化而变化9. 与双曲线C ：x 216−y 29=1有相同的渐近线的双曲线E 的离心率为( )A. 53B. 54C. 53或54D. 53或5310. 已知△ABC 中，已知∠A =45°，AB =√2，BC =2，则∠C =( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°11. 将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为S 1，S 2，那么S 1：S 2=( ) A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：112.已知F1，F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，且|AB|=7，则△ABF1的周长为()A. 10B. 12C. 16D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆x24+m2+y2m2=1与双曲线x2a2−y2b2=1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______．14.曲线y=3lnx−1x在点(1,−1)处的切线的斜率为______．15.若tanα=−2，则sinαcosα=____________．16.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，给山下列四个结论：①CE//D1F；②平面AFD//平面B1EC1；③AB1⊥EF；④平面AED⊥平面ABB1A1．其中，正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.高中本科硕士博士合计35岁以下101505035245 35～50岁201002013153 50岁以上3060102102随机地抽取一人，求下列事件的概率．(1)50岁以上具有本科或本科以上学位；(2)具有硕士学位．18.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．(1)求a n及S n；(2)求数列{1S n}的前n项和T n．19.如图，在三棱锥PABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点．求证：PF⊥AD．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，直线l：y=2x与椭圆交于M，N，四边形MF1NF2的面积为4√23．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)作与l平行的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为P，若PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．21.已知函数f(x)=xln(x+a)，a∈R．(1)若f(x)不存在极值点，求a的取值范围；(2)若a≤0，证明：f(x)<e x+sin x−1．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(2√33,π2)，圆C的参数方程为{x=2+2cosθ,y=−√3+2sinθ(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．23.已知．(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了向量的数量积运算，解题中一定要注意向量的夹角． 直接根据向量的数量积求解即可． 【解答】解：∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠BAC =60°， 由向量数量积的定义可知，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=−3×4×12=−6， 故选C ．2.答案：D解析： 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 把z =4+3i 代入|z|z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z =4+3i ，∴|z|=5， 则|z|z =54+3i =5(4−3i)(4+3i)(4−3i)=45−35i ． 故选：D ． 3.答案：C解析： 【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 【解答】解：因为B ={x ∈N|x −4<0}={0,1,2,3}，A ={x|x >1}， 所以A ∩B ={2,3}． 故选C ．4.答案：A解析：解：设与直线2x−3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点(−1,2)代入可得：−3+4+m=0，解得m=−1．∴要求的直线方程为：3x+2y−1=0，故选：A．设与直线2x−3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点(−1,2)代入解得m即可得出．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：φ(x)、g(x)为奇函数，∴f(x)−2=aφ(x)+bg(x)为奇函数．又f(x)在(0,+∞)上有最大值5，∴f(x)−2有最大值3.∴f(x)−2在(−∞,0)上有最小值−3，∴f(x)在(−∞,0)上有最小值−1．6.答案：C解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a6=10，∴S9=92(a1+a9)=92(a4+a6)=45．故选：C．利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.答案：D解析：【分析】本题考查了不等式的性质，是一道基础题．由1<b<2，得出−b的范围，然后利用不等式的基本性质求解即可．【解答】解：−1<a<4，①，∵1<b<2，∴−2<−b<−1，②，①+②得：−3<a−b<3，故选：D．8.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．连结VF，BF，则VF⊥AC，BF⊥AC，从而AC⊥平面VBF，由此能求出直线DE与PF所成的角的大小是90°．【解答】解：连结VF，BF，∵正三棱锥V−ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，∴VF⊥AC，BF⊥AC，又∵VF∩BF=F，VF，BF⊂平面VBF，∴AC⊥平面VBF，又PF⊂平面VBF，∴AC⊥PF，∴直线DE与PF所成的角的大小是90°．故选C．9.答案：C解析：解：与双曲线C：x216−y29=1有相同的渐近线的双曲线E的渐近线方程为：x4±y3=0，可得双曲线的焦点坐标在x轴时，离心率为：ca =√16+94=54．双曲线的焦点坐标在y轴时，离心率为：ca =√9+163=53．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10.答案：A解析：解：由正弦定理得：BCsinA =ABsinC，又∠A=45°，AB=√2，BC=2，所以sinC=√2×√222=12，又AB=√2<BC=2，得到：0<C<A=45°，则∠C=30°．故选：A．由∠A，AB，BC的值，利用正弦定理即可求出sin C的值，又根据AB小于BC得到C度数的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意判断C度数的范围．11.答案：C解析：【分析】本题考查扇形弧长和圆锥底面积的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．由已知设两个扇形的半径为r，圆心角分别为θ，2θ，然后求出两扇形的弧长，求出圆锥底面积作比得答案．【解答】解：设两个扇形的半径为r，圆心角分别为θ，2θ，则第一个扇形的弧长为rθ，对应的圆锥底面半径为，第二个扇形的弧长为2rθ，对应的圆锥底面半径为，，，∴S1：S2=1：4．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．【解答】解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．13.答案：x2−y23=1解析：解：椭圆x24+m2+y2m2=1与双曲线x2a2−y2b2=1有共同的焦点，可得a2+b2=4，即c=2，双曲线的离心率为2，所以a=1，则b=√3，所以双曲线x2a2−y2b2=1的方程为：x2−y23=1．故答案为：x2−y23=1．求出焦点坐标，得到a，b的关系式，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.答案：4解析：解：曲线y=3lnx−1x的导数为：y′=3x +1x2，可得曲线y=3lnx−1x在点(1,−1)处的切线的斜率为k=3+1=4，故答案为：4．求得函数的导数，由导数的几何意义，代入x=1，可得切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于基础题．15.答案：−25解析：【分析】本题考查同角三角函数基本关系式在化简求值中的应用，属于基础题．由已知将弦化切代入直接计算即可．【解答】解：若tanα=−2，则．．故答案为−2516.答案：③④解析：解：如图，在D1B，A1C上分别取点E，F，∵ABCD−A1B1C1D1为正方体，则四边形A1BCD1为矩形，∵∠FD1C+∠ECD1<∠A1D1C+∠BCD1=180°，∴CE与D1F不平行，故①错误；不妨取F与A1重合，E与O重合，此时平面平面AFD与平面B1EC1相交，故②错误；AB1⊥A1B，AB1⊥BC，且A1B∩BC=B，则AB1⊥平面A1BCD1，则AB1⊥EF，故③正确；AD⊥平面ABB1A1，而AD⊂平面AED，则平面AED⊥平面ABB1A1，故④正确．∴正确结论的序号是③④．故答案为：③④．由题意画出图形，利用两直线平行，同旁内角互补判断①；取特殊位置判断②；利用线面垂直的判定与性质判断③；由面面垂直的判定判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，是中档题．17.答案：解：(1)由调查结果统计表得：50岁以上具有本科或本科以上学位的概率为：p 1=102−30500=18125．(2)具有硕士学位的概率为： p 2=50+20+10500=425．解析：(1)基本事件总数n =500，由调查结果统计表得50岁以上具有本科或本科以上学位的有102−30=70人，由此能求出50岁以上具有本科或本科以上学位的概率．(2)具有硕士学位的有50+20+10=80人，由此能求出具有硕士学位的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 18.答案：解：(1)等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26， 则：{a 3=7a 5+a 7=26，解得a 1=3，d =2．所以a n =3+2(n −1)=2n +1． S n =3n +n(n−1)2⋅2=n 2+2n ．(2)由(1)可知，S n =n 2+2n ， 则1S n=12(1n −1n+2)，所以T n =1S 1+1S 2+⋯+1Sn−1+1S n，=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)， =12(1+12−1n+1−1n+2)，=34−12(1n+1+1n+2)．解析：(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式和数列的和． (2)利用数列的和公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法的应用． 19.答案：证明： ∵∠PAC =∠BAC =90°， ∴AC ⊥AB ，AC ⊥AP ，又∵AB ∩AP =A ，AB ，AP 在平面PAB 内， ∴AC ⊥平面PAB ， ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC ⊥PF ．∵PA =PB ，F 为AB 的中点，∴PF ⊥AB ，∵AC ⊥PF ，PF ⊥AB ，AC ∩AB =A ，AC ，AB 在平面ABC 内， ∴PF ⊥平面ABC ， ∵AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥PF 即PF ⊥AD ．解析：考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 由AC ⊥AB ，AC ⊥ AP ，得AC ⊥平面PAB ，从而AC ⊥PF ，再推导出PF ⊥AB ，从而PF ⊥平面ABC ，由此能证明AD ⊥PF ．20.答案：解：由(Ⅰ){y =2xx 2a 2+y 2b 2=1可得y 2=4a 2b 24a 2+b 2，e =c a =√22，e 2=a 2−b 2a 2=12， ∴a =√2b,c =b ………(2分) 2c 22=4√23，带入得√2b 3√8b 2+b 2=√23{b=1a=√2， 椭圆方程为x 22+y 2=1………(5分)(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =2x +m(m ≠0)由{y =2x +m x 22+y 2=1，得9x 2+8mx +2m 2−2=0△=64m 2−36(2m 2−2)>0， 得m 2<9，∴m ∈(−3,0)∪(0,3)………(7分)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，则x 1+x 2=−89m,x 1x 2=2m 2−29x 0=−49m,y 0=2x 0+m =m 9k 1+k 2=y 0x 0+1+y 0x 0−1=2x 0y 0x 02−1=8m 281−16m 2=881m 2−16(m ≠0)………(10分)∴k 1+k 2∈(−∞,−87)∪(0,+∞)………(12分)解析：(Ⅰ)利用直线与椭圆的位置关系以及离心率，转化求解即可． (Ⅱ)设直线AB 的方程为y =2x +m(m ≠0)，由{y =2x +m x 22+y 2=1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)f(x)的定义域为(−a,+∞)，且f′(x)=ln(x+a)+xx+a，设g(x)=ln(x+a)+xx+a ，则g′(x)=1x+a+a(x+a)2=x+2a(x+a)2．[1]当−2a≤−a，即a≥0时，gˈ(x)>0，所以g(x)在(−a,+∞)上单调递增；又g(1)=ln(1+a)+11+a>0，g(e−2−a)=−1−e2a<0，即g(1)g(e−2−a)<0，所以g(x)在(−a,+∞)上恰有一个零点x0，且当x∈(−a,x0)时，fˈ(x)=g(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fˈ(x)=g(x)>0；所以f(x)在(−a,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以x0是f(x)的极小值点，不合题意，[2]当−2a>−a，即a<0时，令gˈ(x)=0，得x=−2a，当x∈(−a,−2a)时，gˈ(x)<0，当x∈(−2a,+∞)时，gˈ(x)>0；即g(x)在(−a,−2a)上单调递减，在(−2a,+∞)上单调递增．①当g(−a)=ln(−a)+2≥0，即a≤−e−2时，fˈ(x)=g(x)≥g(−2a)≥0恒成立，即f(x)在(−a,+∞)上单调递增，无极值点，符合题意．②当g(−2a)=ln(−a)+2<0，即−e−2<a<0时，g(1−a)=1−a>0，所以g(−2a)g(1−a)<0，所以g(x)在(−2a,+∞)上恰有一个零点x1，且当x∈(−2a,x1)时，fˈ(x)=g(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，fˈ(x)=g(x)>0；即f(x)在(−2a,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，所以x1是f(x)的极小值点，不合题意．综上，a的取值范围是(−∞,−e−2]；(2)因为a≤0，x>−a，所以x>0，f(x)=xln(x+a)≤xlnx，要证明f(x)<e x+sinx−1，只需证明xlnx<e x+sinx−1，当a<x≤1时，因为e x+sinx−1>0，xlnx≤0，所以xlnx<e x+sinx−1成立；当x>1时，设g(x)=e x+sinx−xlnx−1，则gˈ(x)=e x−lnx+cosx−1，设ℎ(x)=gˈ(x)，则ℎ′(x)=e x−1x−sinx，因为x>1，所以ℎˈ(x)>e−1−1>0，所以ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=e+cos1−1>0，即gˈ(x)>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)>=e+sin1−1>0，即xlnx<e x+sinx−1，综上，若a≤0，则f(x)<e x+sinx−1解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出a的范围即可．(2)设g(x)=e x +sinx −xlnx −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)M ，N 的极坐标分别为(2,0)，(2√33,π2)， 所以M 、N 的直角坐标分别为：M(2,0)，N(0,2√33)， P 为线段MN 的中点(1,√33)，∴直线OP 的平面直角坐标方程y =√33x ；(2)圆C 的参数方程{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ(θ为参数)，它的直角坐标方程为：(x −2)2+(y +√3)2=4， 圆的圆心坐标为(2,−√3)，半径为2，直线l 上两点M ，N 的直角坐标分别为M(2,0)，N(0,2√33)， 方程为√3x +3y −2√3=0， 圆心到直线l 的距离为：√3−3√3−2√3|√3+9=32<r ，所以，直线l 与圆C 相交．解析：本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l 与圆C 的位置关系． 23.答案：解：(1)当a =1时，f (x )=|x +1|−|x −1|， 即f (x )={−2,x ≤−1,2x,−1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0,1)时|x +1|−|ax −1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax −1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax −1|≥1；若a >0,|ax −1|<1的解集为{x |0<x <2a }，所以2a ≥1，故0<a ≤2． 综上，a 的取值范围为(0,2]．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，转化为|ax−1|<1，分a≤0,a>0解不等式，即可求出a 的范围．。
高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ）A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ） A ．3-B ．12-C ．12D ．3 8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（ ）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围 请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3．D4．A 5．C 6．B 7．A8．B 9．A 10．D11．B12．A13．(-14．315．52π1617．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B =+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+， 所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=， 所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，2DF =，则tan DEDFE DF∠==A PB E --大小为60°法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，∴()1,0,0B ，()0,0,3P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()1,0,3PB =-，30,,32PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅， 所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x +'=++，易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点， 则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，00x x e t =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求 22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分） （2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤， 当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤， 当12a -<<，34≤，可得12a -<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
黑龙江省大庆中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆中学2019--2020学年高三期中考试试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合,,则( )A.B.C.1, D. 2,2.的值等于( )A. B. 10 C. D.3.已知a,b,,则下列说法正确的是A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则4.已知,,且,则A. 1B. 3C.D.5.定义在R上的函数满足则等于A. B. C. 3 D. 86.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是质点P移动五次后位于点的概率是( )A. B. C. D.7.圆与圆的公切线有几条( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8.如图所示,D,C,B三点在地面同一直线上,,从C,D两点测得A点的仰角分别是,,则A点离地面的高等于A. B.C. D.9.的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度10.在中,,则的周长为( )A. B.C. D.11.已知数列满足：,,,那么使成立的n的最大值为( )A. 4B. 5C. 24D. 2512.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,,点P是两曲线的一个公共点,且,,分别是两曲线,的离心率,则的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a,,i是虚数单位,若,则的值为______．14.在锐角中,,,,则______ ．15.已知,在处有极值,则______ ．16.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线P A垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：平面P AC；平面MOB；平面P AC；平面平面PBC．其中正确的命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在数列中,设,且满足,且．设,证明数列为等差数列；求数列的前n项和．18.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏．求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列．19.如图,等腰直角中,,平面平面ABC,,,。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期中考试 理
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期中考试 理【会员独享】一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知复数_212iz i+=-，其中i 是虚数单位，则复数z = （ ）A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2．已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===，则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >> 3．满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1，a 2}的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为（ ） A ．[－13，1]∪[2，3）B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[43，3）5．已知数列﹛n a ﹜为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为（ ）AB ．C ．D ．-6．14 P ＝{a |a＝（－1,1）＋n （1,2），n ∈R}，Q ＝{b |b ＝（1，－2）＋n （2,3），n ∈R}是两个向量集合， 则P ∩Q 等于（ ） A ．{（1，－2）} B ．{（－23，－13）}C ．φD ．{（－13，－23）}7．若定义在R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间[]02，上是增函数，且()(0)f m f ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ． 02m ≤≤C ． 0m ≤D ． 0m ≤或4m ≥8．下列命题错误的是（ ） A ．若),(42sin 2)(R x xx x f ∈+=则1)(0/≤≤x fB ．点)0,83(π为函数)42sin(2)(π+=x x f 的图象的一个对称中心 C ．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若2||,1||==b a ，则b 在a 上的投影为1D ．ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件9．定义在R 上的函数)(x f y =满足()()f x f x -=-，()()11f x f x +=-．当x ∈(]0,1时，1)(+=x x f ，则()2010f 的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．210．直线2y x =与抛物线23y x =-围成的封闭图形的面积是（ ）A ．23B ．323C ． 23-D ．35311． 如果函数()22f x x a x =+--()0a >没有零点，则a的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．()0,1()2,+∞C ．()0,1()2,+∞D ．()0,2()2,+∞12．已知数列的通项为，下列表述正确的是（ ）A ． 最大项为0，最小项为B ． 最大项为0，最小项不存在C ． 最大项不存在，最小项为D ． 最大项为0，最小项为二、填空题（每小题5分，共20 分）13．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域为_______． 14．．已知(2)1(1)()(1)xa x x f x ax -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a 的取值范围是_______． 15．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ．16．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),5a b a b ααββ==-=，（1）求cos()αβ-的值 （2）若50,sin 2213ππβαβ-<<<<=-，求sin α的值． 18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为)(3,1,*11N n S a a S n n n ∈==+．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n a b 4log =,试比较2)1( (2)21-+++n b b b n 与的大小．19．（本小题满分12分）已知函数)(,21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--=（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值； （2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且0)(,3==C f c ，若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值．20．（本小题满分12分）设a ∈R，函数1()2x f x e -=（12++a ax ），其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ） 判断函数)(x f 在R 上的单调性;（Ⅱ） 当01<<-a 时，求函数)(x f 在[1，2]上的最小值．21．（本小题满分12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在等比数列{b n }，使a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n =（2n －1）·2n ＋1＋2对一切正整数都成立？并证明你的结论． （31(*)1n n a =∈+N ，且数列{c n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与16的大小．22．（本小题满分12分）已知函数x x x f ln )(=的图象为曲线C , 函数b ax x g +=21)(的图象为直线l ． （Ⅰ） 当3,2-==b a 时, 求)()()(x g x f x F -=的最大值; （Ⅱ）设直线l 与曲线C 的交点的横坐标分别为21,x x , 且21x x ≠,求证: 2)()(2121>++x x g x x ．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B 11．Ｃ 12． Ａ 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．[)1,0 14．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,2315．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ 16．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2三、解答题（共6小题，共70分）17． （本小题满分10分）解：（1）∵255a b -=，∴22425a ab b -+= 又(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ==∴42351,cos()25a b a b αβ-===-== ……………………5分 （2）∵50,sin 2213ππβαβ-<<<<=-∴0αβπ<-<，由（1）得()3cos ,5αβ-=从而()4sin 5αβ-=又5sin 13β=-，得12cos 13β=代入，可得[]33sin sin ()65ααββ=-+=……………………10分 18．（本小题满分12分）解: （Ⅰ） 由n n S a 31=+ （1） 得123++=n n S a （2） （2）-（1）得 1123+++=-n n n a a a , 整理得412=++n n a a （)*∈N n ∴数列 ,,,,,432n a a a a 是以4为公比的等比数列．其中,333112===a S a ,所以，⎩⎨⎧⨯=-2431n n a ),2()1(N n n n ∈≥= …………………………6分 （2⎩⎨⎧≥-+==)2()2(3log )1(04n n n b n 2)1(.......2)1()]1(49[log 2)1()]1(13log 2[2)1(2)1)(2(3log )1()2(3log .......13log 03log 0.......,202)11(,122124444442121-≥+++∴->-+-=-+--=--+-=-++++++=+++≥=-==∴n b b b n n n n n n n n n b b b n b n n n…………………………12分19． （本小题满分12分）解:（I）1)62sin()(--=πx x f …………………………3分12512ππ≤≤-x32623πππ≤-≤-∴x ∴⇒≤-≤-1)62sin(23πx 01)62sin(231≤--≤--πx 则)(x f 的最小值是231--,最大值是0． ……………………6分（II ）01)22sin()(=--=πC c f ,则1)62sin(=-πC ,0,022C C ππ<<∴<<,611626πππ<-<-∴C ,26C π∴-=2π,3C π=, ……………………8分向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线∴1sin 2sin AB =， ……………………10分由正弦定理得，21=b a ① 由余弦定理得，3cos2222πab b a c -+=，即322=-+ab b a ②由①②解得2,1==b a ． ……………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)12(21221)1(21)(22--+-=⋅+++-='---a ax ax e ax e a ax e x f x x x ． (2)分由于021>-xe , 只需讨论函数12)(2--+-=a ax ax x g 的符号: 当a = 0时, 01)(<-=x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在R 上是减函数；当a >0时, 由于04)(4422<-=+-=a a a a ∆，可知0)(,0)(<'<x f x g 即，函数)(x f 在R 上是减函数； ……………4分当a <0时, 解0)(=x g 得a ax -±=1，且a aa a --<-+11．在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-a a 1,和区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞--,1a a 上，0)(,0)(>'>x f x g 即，函数)(x f 是增函数；在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a 1,1上，0)(,0)(<'<x f x g 即， 函数)(x f 是减函数．……7分综上可知：当a ≥0时，函数)(x f 在R 上是减函数；当a <0时,函数)(x f 在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞-a a 1,上是增函数； 在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a 1,1上是减函数；在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞--,1a a 上是增函数． （Ⅱ） 当01<<-a 时，21,11>--<-+a aaa,所以, 函数)(x f 在区间[1，2]上是减函数，其最小值是2215)2(e a f +=． ……………12分2211111112111112311112211321(1) 424113,()(2)0.4240,2,{}.1130,3,2 1.424(2)12,2(211)26,2(2n n n n n n n n n n n n n n n n S a a S a a a a a a a a a a a a S a a a a n n a b a b a b +++++++=+-=+-+--=+>=+==+->∴==+==⨯-+=+=⨯解∶由得相减并整理为又由于则故是等差数列故当时、、112112223123234121)226. (5),2, 4. 22(21)2.(7)325272(21)22(21)2325272(21)2,2325272(21)2, (21)2n n n n n n n n n b b b a b a b a b n n n S n S n S n +++-+====+++=-++++++=-+=+++++=+++++∴=+分可解得猜想使成立分下面证明恒成立令①②②-①可得111212222(21)2 2. (10)11111(3)(),(21)(23)22123(22)11111111111()(),235572123232361. (146n n n n n n n n c n n n n n T c c c n n n T +++-+=-+=<=-+++++=+++<-+-++-=-<+++<分则故即)分22．（本小题满分12分）解：（1）3ln )(3,2+-=∴-==x xxx F b a10ln 11ln 1)(222=⇒=--=--='x xx x x x x F )(,0)(),1,0(x F x F x '>'∈单调递增， )(,0)(),,1(x F x F x '<'+∞∈单调递减， 2)1()(max ==F x F ……………6分（2）不妨设21x x <，要证2)()(2121>++x x g x x 只需证2)(21)(2121>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++b x x a x x⇒+>++21212)(21x x b x x a 2112122122)(2)()(21x x x x x x b x x a +->-+-2112121222)(2)21(21x x x x bx ax bx ax +->+-+b ax x x +=11121ln b ax x x +=22221ln 121212)(2ln ln x x x x x x +->-，即121212)(2ln x x x x x x +->)(2ln )(121212x x x xx x ->+ 令)(2ln)()(111x x x xx x x H --+= ),(1+∞∈x x 只需证)(0)(2ln)()(1111x H x x x xx x x H =>--+= 1ln)(11-+='xx x x x H 令 1ln )(11-+=x x x x x G 0)(21>-='xx x x G )(x G 在),(1+∞∈x x 单调递增。
高2018级2020年10月黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试理科数学试题及参考答案
2021届黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试高三年级理科数学试题考试时间：120分钟；试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
.1已知集合{|(4)0}A x N x x =∈-≤,{|22}B x x =-≤≤,则=A B （ ).A {|02}x x ≤≤ .B {|02}x x << .C {012}，， .D {12}， .2设复数()12i z i -=,在复平面内z 对应的点位于（ ).A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限.3给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题,则p ,q 均为假命题②命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若a b ≤,则221a b ≤-” ③命题“x R ∃∈,211x +<”的否定是“x R ∀∈,211x +≥” ④在ABC 中,“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件 其中错误的命题的是（ ) .A ①.B ② .C ③ .D ④.4己知-a =（2，1）,,4b x =（）,且a b ⊥,则=a b +（ ) .A 1 .B 3 .C .D 5.5若x ,y 满足28390,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩,则2z x y =+的最大值为（ ) .A 1 .B 2 .C 7 .D 8.6《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有女善织,日增功速,初日织三尺,末日织五尺,今共织四十四尺,问织几日？”其中“日增功速”的具体含义是每天比前一天多织同样多的布.则此问题中,该女每天比前一天多织布的尺数为（ ) .A 110 .B 15 .C 14 .D 25.7某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为（ ).A 1 .B 2 .C 3 .D 4.8已知sin 222cos 2,a a =-则tan a =（ ).A 2.B 0 .C 12.D 102或 .9若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4,则41a b+的最小值是（ ).A 9.B 4 .C 12.D 14.10设双曲线C ：2221y x b-=（a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则离心率e =（ ).A 3 .B 2 .C 5 .D 10.11设函数()ln |21|ln |21|f x x x =++-,则f (x )（ ).A 是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增 .B 是奇函数,且在11(,)22-单调递减.C 是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增 .D 是奇函数,且在1(,)2-∞-单调递增12.已知函数()f x 的导函数为()f x ',任意x ∈R 均有()()e xf x f x '-=,且()10f =,若函数()()g x f x t =-在[)1,x ∈-+∞上有两个零点,则实数t 的取值范围是（ ).A ()1,0-.B 21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭ .C [)1,0- .D 21,e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。
2020届黑龙江省大庆市大庆中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市大庆中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．集合{}|0,M x x x R =>∈, {|12,}N x x x N =-≤∈，则M N =（ ）A ．{|02,}x x x R <<∈B ．{|02,}x x x Z <<∈C ．{1,2,--1,2}D ．{}1,2,3【答案】D【解析】先求解{|12,}N x x x N =-<∈,再计算M N ⋂即可. 【详解】{}{|12,}{|212,}{|13,}0,1,2,3N x x x N x x x N x x x N =-≤∈=-≤-≤∈=-≤≤∈=又{}|0,M x x x R =>∈,故M N ={}1,2,3.故选D 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型. 2．2152log +的值等于（ ）A ．2B ．10C ．22+D ．1+【答案】B【解析】根据指数与对数的运算法则求解即可. 【详解】22log 51152212250log +=⋅=⨯=.故选B 【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型. 3．已知,,a b m R ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b >>B ．若a b <，则22am bm <C ．若11a b<，则a b > D ．若33a b >，则a b >【解析】根据不等式的性质可推得D 正确，利用特殊值举例可说明A,B,C 错误. 【详解】解：A.a b >>a 4=，b 2=-时；B.m 0=时，a b <得不出22am bm <；C.11a b<得不出a b >，比如，a 2=-，b 4=； D.3y x =是增函数，33a b ∴>得出a b >．故选D ． 【点睛】判断关于不等式的命题真假的常用方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．4．已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ）A ．4B ．3C D【答案】C【解析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +的坐标后可求a b +. 【详解】因为//a b ，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-， 故()2,1a b +=-，故5a b +=. 故选C. 【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.5．定义在R 上的函数满足2,0()(6),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩则()2019f 等于（ ）A ．13B ．18C ．3D ．8【解析】当0x >时,()(6)f x f x =-,此时()f x 周期为6.将()2019f 利用周期性使自变量化成负数再求解即可. 【详解】由题得当0x >时,()(6)f x f x =-,此时()f x 周期为6. 故()2019(63363)(3)(3)f f f f =⨯+==-. 又当0x ≤时, ()2-=x f x ,故3(3)28f -==. 故选D 【点睛】本题主要考查分段函数的求值,注意函数必须在满足的定义域内才能进行求解.属于基础题型.6．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 A ．51()2B ．2551()2CC ．14/E mgd q =D ．235551()2C C【答案】B【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22P C =-。
高三试卷数学(理)丨黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(三)数学(理)试卷及参考答案
大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学试卷参考答案1．已知集合{|A x y ==，{}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（）A ．{}|1<<3x x B ．{}|1<<6x x C ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A 【详解】解：{|A x y ==={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ，故选A.2．i 是虚数单位，复数z =，则（）A ．1322z -=B ．34z =C ．3322z i =-D ．3344z i =+【答案】D 【详解】3333444z i +===+1122z -=，3||2z =故选：D 3．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ”的充分不必要条件；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解.A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④【答案】A【详解】①1x >，则有21x ≥，但21x ≥，则1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件，所以①正确；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故③错误；④当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确.故选：A.4．二项式261(2x x-的展开式中3x 的系数为（）A ．52-B ．52C ．1516D ．316-【答案】A 【详解】通项为()()6212316611122rrrr r r rr T Cx C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A5．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（）A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线0x y +=，0x -=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）A ．60B ．120C ．180D ．240【答案】C 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能；若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际，故选：C .7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α【答案】D【详解】选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确；选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确；选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确；选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确.故选：D 8．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】1()ln1xf x x x+=-定义域为：(1,1)-11()lnln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C 11()22ln 30f =>，排除D 故选B 9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（）A ．6i >，7S S =B ．6i 7SS =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S=【答案】A 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7SS =，故选：A.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（）A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===，所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--；同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D【详解】因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在面ABCD 内的射影落在正方形ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O ,连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE==,所以971442PE R OE=-=-=或97444PE R OE=+=+=，当12PE=时，32PA==,则PA与底面ABCD所成角的正弦值为112332PEAP==,当4PE=时，PA===则PA与底面ABCD所成角的正弦值为3PEAP==,即PA与底面ABCD所成角的正弦值为13或3，故选D.13．已知平面向量a与b的夹角为3π，1)a=-，1b||=，则|2|a b-=________.【详解】由1)a=-可得||2a==，则||||cos13a b a bπ⋅=⋅=，所以|2|a b-===故答案为:14．已知各项均为正数的等比数列{}n a的前n项积为n T，484a a=，1122log3bT=（0b>且1b≠），则b=__________.【答案】由于0na>，24864a a a⋅==，所以62a=，则11111162T a==，∴1122log11log23b bT=⨯=，2log23b=，233b==故答案为：15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y+的最大值为________.【答案】16【详解】由三视图之间的关系可知2210802x y=--,整理得22128x y+=,故22222()2()2562xx y x y x yy=++=++≤,解得16x y+,当且仅当8x y==时等号成立,故答案为:1616．已知曲线1C ：()2xf x e x =--，曲线2C ：()cosg x ax x =+，（1）若曲线1C 在0x =处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a =________；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为1l ，总存在2C 上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为________.【答案】－21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】(1)()2x f x e '=--,则曲线1C 在0x =处的切线的斜率1(0)3k f '==-,2()sin ,g x a x C '=-在2x π=处的切线的斜率212k g a π⎛⎫'==- ⎪⎝⎭,依题意有13a -=-,即2a =-;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--,则与1l 垂直的直线的斜率为110,22x e ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭,而过2C 上一点处的切线的斜率[]2()sin 1,1k g x a x a a '==-∈-+,依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩,解得112a -≤≤,故答案为:12;,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+，2sin sin cos 2CA B =，（1）求C ；（2）若ABC的面积为c ．解：（1）()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+ ，由正弦定理得:()()()c a c a a b b -+=+，∴222a b c ab +-=-，又由余弦定理得：222cos 2a b c C ab+-=，1cos 22ab C ab -∴==-，即：1cos 2C =-，∵0C π<<，∴23C π=.（2）因为21cos sin sin cos 22C C A B +==，所以()2sin cos 1cos 1cos A B C πA B =-=+-+⎡⎤⎣⎦()1cos 1cos cos sin sin A B A B A B=-+=-+化简得()cos 1A B -=，∵23C π=，则A ，0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴33ππA B -<-<，∴0A B -=，得：A B =，因为ABC的面积为，所以212sin 234πS ab a ===，得216a =，∴4a b ==由余弦定理知：2222212cos 44244482c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ；（2）若PE EC λ=，F 是PB的中点，AD =，22AB AP CD ===，且二面角F AD E --的正弦值为10，求λ的值.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AB AD ⊥,PA AB A = ,所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB ;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P,C,D ,(0,1,1)F ,由(1)知AD ⊥平面PAB ,故AD PB ⊥,又F 是PB 的中点,AB AP =,∴PB AF ⊥,且AF A AD = ,∴PB ⊥平面ADF ,∴平面ADF 的一个法向量为(0,2,2)PB =-,∵PE EC λ=,∴2,,1111PE PC λλλλλλλ⎛⎫-== ⎪ ⎪++++⎝⎭ ,∴2,,111AE AP PE λλλλ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z = ,则0n AD ⋅=且0n AE ⋅=r uu u r ,0=且20111x y zλλλλλ++=+++,∴0x =,令1y =,则2z λ=-,∴平面ADE 的一个法向量0,1,2n λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,∵二面角F AD E --的正弦值为10,∴()cos ,10PB n = ,31010=,∴1λ=或4.19．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-,所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=;(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,2231212(15)3327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,30311(15)327P x C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,故得分为x 的分布列为:x30150-15812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===,故y 的分布列为:x30150P110610310故163015121010Ey =⨯+⨯=,∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲.(2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=,②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥),∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥),又11122P -=,所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列,∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).20．如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB=，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ；（2）求MNF ∆面积的最大值.【详解】（1）∵8AB =,∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c -=-⇒-+=∴12e =∴2c =,22212b a c =-=∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0-直线l 的方程为()184y x =+即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设()()1122,,M x y N x y ，()00,H x y 则124813y y +=，123613y y =所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=-直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---= ⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设()()1122,,M x y N x y ()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+222248144143434m MN m m m ⎛⎫=+⋅-⨯ ⎪++⎝⎭222241434m m m +⋅-=+点F 到直线l 的距离2228611d m m -==++2211223434MNFm m m S MN d m m ∆=⋅=⨯=++7216=≤=当且仅当=m =时（此时适合于△＞0的条件）取等号,所以当114k m ==±时，直线l为()814y x =±+时，MNF ∆面积取得最大值为21．已知函数()()1ln 1f x x x =++，()ln 1x g x e x -=++（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最小值为M ，证明：2211M e e--<<-.【详解】(1)()()1ln 1ln ln 1f x x x x x x =++=++()1ln 1f x x x+'=+，设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x-=++=-='()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增()()min 120m x m ==>，即()0f x ¢>所以()f x 在()0,+¥上单调递增(2)()()()()1ln ln ln x xh x f x g x x x e x x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++'，设()ln 1x F x e x -=++()11x x x e x F x e x xe='-=-+，设()x G x e x =-()10x G x e ='->，所以()G x 在()0,+¥上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在()0,+¥上单调递增()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在()0,+¥上恰有一个零点()210,x e e --∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e ==-=++，()210,x e e --∈由（1）知()0f x 在()0,+¥上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=-所以2211M e e --<<-22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PA PB PB PA+的值．【详解】解：（1）l 的参数方程消去参数，易得l 的普通方程为10x y --=，曲线C：()2cos sin 2πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即()22cos sin ρρθθ=+，∴22220x y x y +--=，所以曲线C 的直角坐标方程为：22220x y x y +--=.（2）l的参数方程22,21,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设A 对应参数为1t ，B 对应参数为2t ，将l 的参数方程与22220x y x y +--=联立得：210t +-=，得：12t t +=，121t t ⋅=-，所以2212122112PA PBt t t t PB PAt t t t ++=+=()()2212121221222411t t t t t t -⨯-+-+====-即4PA PBPB PA +=.23．设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥.【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++，即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=，所以a b c ++得证．。
黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学(理)试题及答案
大庆实验中学2020—2021学年度上学期第一次月考高三数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合M =}{46y y x =-+，P ={(x ，})32y y x =+，则M P 等于（ ）A. （1,2）B. {}{}12⋃C.(){}1,2D. ∅2. 复数()12z i i -=（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A. 1i + B. 1i -C. 1i -+D. 1i --3. 函数()()1f x x =-的定义域为（ ）A. ()0,1B. [)0,1C. (]0,1D. []0,1 4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确是（ ）A. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<5. 已知在等比数列{}n a 中，11a =，59a =，则3a =（ ） A. 5B.5±C. 3±D. 36. 下列说法中正确的是（ ） A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等C. 若a b→→，满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→> D. 对于任意向量a b →→，，必有a b a b →→→→+≤+ 7. 若tan()2cos()2παπα-=-+，则cos2=α（ ）的A.12B.34C. 1-或12D. 0或128. 函数2()ln 8x f x x =- 图象大致为( )A. B.C. D.9. 若把单词“error "的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ） A. 17B. 18C. 19D. 2010. 已知函数()2sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭，()1f α=-，()1f β=，若||αβ-的最小值34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（ ） A. 34x π=-B. 4x π=C. 2x π=-D. 12x π=11. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为（ ）A.12B.C.23D.12. 设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()2xf x =“似周期函数”；③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”． 以上正确结论的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____， 14. 已知向量(3,1),(2,1)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_______________ 15. 在()()51a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =______. 16. 函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2231x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的参数方程：（2）P 为曲线C 上任一点，Q 为直线l 上任一点，且直线PQ 与l 所成角为30°，求PQ 的最大值与最小值.18. 已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，函数()21f x a b =⋅-.是（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 单调递增区间.19. 从某小组的5名女生和n 名男生中任选3人去参加速滑比赛. 设事件A ：“所选3人中恰有一名男生”，且10()(,24)21P A n N n =⋅∈≤≤， （1）求n ；（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望.20. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤<)满足下列条件：()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合，对任意的x ∈R 都有()(26f x f π≤=）成立. （1）求()f x 的解析式；（2）若锐角△ABC 的内角B 满足()1f B =，且B 的对边1b =，求△ABC 的周长l 的取值范围. 21. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[)50,70的适合托班幼儿使用（简称A 类产品），在[)70,90的适合小班和中班幼儿使用（简称B 类产品），在[]90,110的适合大班幼儿使用（简称C 类产品），A ，B ，C ，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位的的于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）影响，对近5年的年营销费用i x ，和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中ln i i u x =，ln i i y υ=，5115i i u u ==∑，5115i i υυ==∑.根据散点图判断，by a x =⋅可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）. 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu uuυυβ==--=-∑∑，ˆˆu αυβ=-. 22. 已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．的。
黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年度高三第一次线上教学质量检测数学理科试题参考答案
因为 (x) = x + ln x −1在 (0, +) 上是单调增函数，且(1) = 0 ，所以 x1 1 ， 由（1）可知， f (x) = xex 在 (1, +) 是单调递增，
所以 a
=
x1e x1
e .又 1 e
x1
，
F
1 e
=
1
1
ee
e
−
a
∴ sin ( B + C ) = 2sinAcosA ，
∴ sinA = 2sinAcosA .
∵ A(0, ) ，∴ sinA 0 ，
∴ cosA = 1 ，∴ A = .
2
3
（2）∵ a = 2 ， sinBsinC = sin2 A ，∴ bc = a2 = 4 .由 a2 = b2 + c2 − 2bccosA ，得 4 = b2 + c2 − 4 ，
∴ P ( X 90) = P ( X + 2 ) = 1 (1− 0.9544) = 0.0228
2 ∴估计笔试成绩不低于 90 分的人数为 0.02285000 = 114 人
（2） Y 的取值分别为 0，3，5，8，10，13，则
P (Y = 0) = (1− 3) (1− 2)2 = 1
x2
3) ( kx1x2 + 1−
) ( =
3 kx1x2 + 1+
)3 x2 )，
3 x1
其中 kx1x2
=
−
8k 4k 2 +
3
=
x1
+
x2
，
实验三部第一次线上教学质量检测答案 第 3 页共 5 页
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高三(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1.已知集合P={x|y=√x−1}，集合Q={y|y=√x−1}，则P与Q的关系是()A. P=QB. P⊆QC. Q⊆PD. P∩Q=⌀2.已知全集U=Z，集合A={−1,2,3}，B={3,4}，则(C U A)∩B=()A. {4}B. {3}C. {1,2}D. ⌀3.命题“∀x∈R，都有x2+x+1>0”的否定是()A. 不存在x∈R，x2+x+1>0B. 存在x0∈R，x02+x0+1>0C. 存在x0∈R，x02+x0+1≤0D. 对任意的x∈R，x2+x+1≤04.若α，β满足−π2<α<β<π2，则a−β的取值范围是()A. −π<α−β<πB. −π<α−β<0C. −π2<α−β<π2D. −π2<α−β<05.集合P={x|x=2k,k∈Z}，Q={x|x=2k+1,k∈Z}，M={x|x=4k+1,k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A. a+b∈PB. a+b∈QC. a+b∈MD. a+b不属于P、Q、M中任意一个6.已知命题“存在x∈{x|−2<x<3}，使得等式2x−m=0成立”是假命题，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−4]∪(6，+∞)B. (−∞,−4)∪(6,+∞)C. (−∞,−4)∪[6，+∞)D. (−∞,−4]∪[6,+∞)7.实数a，b满足a>0，b>0，a+b=6，则a2a+1+b2b+1的最小值是()A. 4B. 6C. 92D. 728.已知函数f(1−x1+x )=1−x21+x2，则f(x)的解析式为()A. f(x)=2x1+x2(x≠−1) B. f(x)=−2x1+x2(x≠−1)9.设集合A={x|y=√x}，B={x|−1<2x<4}，则A∩B=()A. [0,2)B. (0,2)C. (−12,2) D. [0,4)10.若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位)，则|z|=()A. 1B. 2C. √2D. √311.已知A(1,−2)，B(4,−1)，C(3,2)，则cos∠BAC=()A. −√210B. √210C. −√22D. √2212.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为()(参考数据：√3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A. 12B. 24C. 36D. 4813.若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A(−1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值是()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√214.我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为()A. 1140B. 920C. 910D. 1215.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为A. x23−y2=1 B. x29−y23=1 C. x23−y29=1 D. x2−y23=116.已知正方体ABCD−A1B1C1D1体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为()A. 323π B. 4√23π C. 12π D. 4√6π17.已知实数a=2ln2，b=2+2ln2，c=(ln2)2，则a，b，c的大小关系是()A. c<a<bB. c<b<aC. b<a<cD. a<c<b18.函数f(x)=cosx⋅sin(3x−13x)的图象大致为()A.B.C.D.19.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A−sinBsinC=0，则sinB−sinC2sinA的取值范围为()A. (√√3−12√√3−12B. [0,14)C. [0,12) D. (−1,1)20.已知函数f(x)=−x2+a，g(x)=x2e x，若对任意的x2∈[−1,1]，存在唯一的x1∈[−12,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是()A. (e,4]B. (e+14,4] C. (e+14,4) D. (14,4]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）A. 空集是任何一个非空集合的真子集B. ∀x∈R，4x2>2x−1+3x2C. ∃x∈{−2,−1,0,1,2}，|x−2|<2D. ∀a，b∈R，方程ax+b=0恰有一解22.下列命题中为真命题的是()A. “a−b=0”的充要条件是“ab=1”B. “a>b”是“1a <1b”的既不充分也不必要条件C. 命题“∃x∈R，x2−2x<0′的否定是∀x∉R，x2−2x≥0”D. “a>2，b>2”是“ab>4”的充分条件23.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)={1,x为有理数0,x为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有()A. 函数y=f(x)的图象是两条直线B. f(f(x))=1C. f(√3)>f(1)D. ∀x∈R，都有f(1−x)=f(2+x)24.下列结论错误的是()A. 不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为⌀B. 不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的必要条件是a<0且Δ=b2−4ac≤0C. 若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为RD. 不等式1x>1的解为x<1三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）25.若−1<x<1，则y=x2−2x+22x−2的最大值是．26.已知函数f(x)的定义域为[−2,2]，函数g(x)=√2x−1，则g(x)的定义域为．27.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4}，且下列四个关系： ①a=1; ②b≠1; ③c=2; ④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是．28.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 人.29. 函数f(x)={2x −3,x >0g(x),x <0是奇函数，则函数f(x)的零点是 ．30. 如果(3x +1√x 32)n 的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中x 的系数为______ ．31. 如图所示的圆锥中，轴截面APB 是等腰直角三角形，M 是底面圆周上AB ⏜的中点，N 为PB 的中点，则异面直线PA 与MN 所成角的正切值是______ ．32. 各项均为正数且公比q >1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1a 5=4，a 2+a 4=5，则(S n +52)22a n的最小值为______．四、解答题（本大题共13小题，共152.0分）33. 已知集合A ={x|−3 <x +1<3}，集合B 为整数集，令C =A ∩B .(1)求集合C;(2)若集合D ={1,a}，C ∪D ={−3,−2,−1,0,1,3}，求实数a 的值．34. 已知全集为R ，集合P ={x|2≤x ≤10}，集合M ={x|x <a 或x >2a +1}(a >0)．(1)若x ∈P 是x ∈M 成立的充分不必要条件，求a 的取值范围; (2)若P ∩(C R M)≠⌀，求a 的取值范围．35.解关于x的不等式：2x−a−2x−2≤1(a∈R)．36.已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<b，或x>2}．(1)求a，b的值;(2)当x>0，y>0，且满足ax +by=1时，有4x+y≥k2−8k恒成立，求k的取值范围．37.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.5x%．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少?38.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足：(x+1)2成立． ①对任意实数x，都有f(x)≥x; ②当x∈(0,2)时，有f(x)≤14(1)求证：f(1)=1;(2)若f(−1)=0，求函数f(x)的解析式;(3)在(2)的条件下，若对任意的实数x∈[0,+∞)，有f(x)−mx≥1恒成立，求实数4 m的取值范围．39.已知数列{a n}满足a1+a2+a3+⋯+a n=2n(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；}(n∈N∗)的前n项和S n．(2)若b n=(n+1)⋅log2a n，求数列{1b n40.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x−(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x−作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．41.如图，在多面体ABCDE中，DE//AB，AC⊥BC，BC=2AC=2，AB=2DE，且D点在平面ABC内的正投影(1)证明：面BCE⊥面ABC；(2)求BD与面CDE夹角的余弦值．42.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆上的点到焦点的最小距离为2−√2且过点P(√2,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(3,0)的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P′Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．43.已知函数f(x)=x−alnx+1+ax(a∈R)(1)求f(x)的单调区间；(2)若在[1,e](e=2.71828…)上存在一点x0，使得f(x0)≤0成立，求a的取值范围．44.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求圆C的极坐标方程；(2)射线OM：θ=θ1(π6≤θ1≤π3)与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|⋅|OQ|的范围．45.已知函数f(x)=|x−a|+12a(a≠0)(1)若不等式f(x)−f(x+m)≤1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a<12时，函数g(x)=f(x)+|2x−1|有零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题考查集合的关系，考查子集和真子集的概念，考查了集合的化简，属于基础题．【解答】解：由题设得P={x|x≥1}，Q={y|y≥0}.则P⊆Q，故选：B．2.【答案】A【解析】【分析】利用补集、交集的定义直接求解．本题考查集合的运算，补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：因为U=Z，A={−1,2,3}，B={3,4}，所以(∁U A)∩B={4}．故选：A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，全称量词命题的否定为存在量词命题，属于基础题．【解答】解：∵命题为全称量词命题，∴命题的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式的性质．利用不等式的性质进行求解即可．【解答】解：∵−π2<α<β<π2，∴−π2<α<π2，−π2<−β<π2，且α−β<0，∴{−π<a −β<πα−β<0，∴−π<α−β<0.故选B ．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．根据元素与集合的关系进行判断即可．【解答】解：由P ={x|x =2k,k ∈Z}可知P 表示偶数集：由Q ={x|x =2k +1,k ∈Z}可知Q 表示奇数集：由M ={x|x =4k +1,k ∈Z}可知M 表示所有被4除余1的整数组成的集合： 当a ∈P ，b ∈Q ，则a =2k 1，，b =2k 1+1，k 1，k 2∈Z则a +b =2(k 1+k 2)+1，k 1+k 2∈Z ，所以a +b ∈Q ，故选B ．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查存在量词命题的否定的应用，属于中档题．分析可得“任意x ∈{x|−2<x <3}，使得2x −m ≠0成立”是真命题，转化为任意x ∈{x|−2<x <3}， m ≠2x ，即可求解．【解答】解：因为命题“存在x ∈{x|−2<x <3}，使得等式2x −m =0成立”是假命题， 所以命题“任意x ∈{x|−2<x <3}，使得2x −m ≠0成立”是真命题，即任意x ∈{x|−2<x <3}， m ≠2x 恒成立，因为−4<2x<6，所以m⩽−4或m⩾6故选D7.【答案】C【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值令a+1=m，b+1=n，对已知式子变形，利用基本不等式求最值即可【解答】解：令a+1=m，b+1=n，则m>1，n>1，m+n=8．a2 a+1+b2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m+n+1m+1n−4=4+6mn≥4+8(m+n2)2=92，当且仅当m=n=4时取等号.故选C．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解．利用换元法，令t=1−x1+x ，求出f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=2t1+t2，(t≠−1)，即可得f(x)的解析式．【解答】解：由题意：函数f(1−x1+x )=1−x21+x2，令t=1−x1+x，则x=1−t1+t，(t≠−1)，所以函数f(1−x1+x )=1−x21+x2转化为f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=2t1+t2，(t≠−1)，∴函数f(x)的解析式为：f(x)=2x1+x2(x≠−1).故选A．9.【答案】A【解析】解：要使函数|y=√x有意义，则需：x≥0，即A=[0,+∞)，又−1<2x<4，所以−12<x<2，即B=(−12,2)，则A ∩B =[0,2)，故选：A ．根据集合A 的代表元，集合A 为函数的定义域，即A =[0,+∞)，又解得B =(−12,2)，故A ∩B =[0,2)，本题考查了函数的定义域及集合交集及其运算，属简单题．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i 的幂运算性质，求出z ，可得|z|．【解答】解：∵复数z 满足z(1+i)=2i(i 为虚数单位)，∴z =2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，∴|z|=√12+12=√2，故选C ．11.【答案】D【解析】解：由已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)， ∴cos∠BAC =cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+12√22+42=√22． 故选：D ．求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，则cos∠BAC =cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >，套用向量夹角公式计算即可． 本题考查了向量的夹角公式，注意计算要准确．属于基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查程序框图的应用，考查了计算能力，属于基础题．列出循环过程中S 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=3√32，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选B．13.【答案】B【解析】解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(−1,0)，B(1,0)为两个定点，∴|PA|2+|PB|2=4，∵(|PA|+|PB|)2≤2(|PA|2+|PB|2)=8，∴|PA|+|PB|≤2√2，当且仅当|PA|=|PB|=√2时“=”成立，故|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选：B．根据不等式的性质求出|PA|+|PB|的最大值即可．本题考查了直线和圆，考查不等式的性质，是一道中档题．14.【答案】D【解析】解：我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，基本事件总数n=C63C63=400，他们选课至少两科相同包含的基本事件个数m=C63+C62C41C31=200，∴他们选课至少两科相同的概率为：p=mn =200400=12．故选：D．基本事件总数n=C63C63=400，他们选课至少两科相同包含的基本事件个数m=C63+C62C41C31=200，由此能求出他们选课至少两科相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】A【解析】解：双曲线的渐近线为y=±bax，∵渐近线与直线x=0的夹角为60°，∴ba ═tan30°=√33，①∵双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，∴4√a2+b2=8，②由①②，解得a=√3，b=1．∴双曲线C的标准方程为x23−y2=1．故选：A．写出双曲线的渐近线方程，由已知可得ba ═tan30°=√33，再由双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则答案可求．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线方程的求法，是基础题．16.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积，求出球的半径是解答的关键．由已知求出半球的半径，代入球的体积公式可得答案．【解答】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1体积为8，∴正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则平面ABCD的外接圆半径r=√2，球心到平面ABCD的距离d=2，则球的半径R=√d2+r2=√6，故此半球的体积V =23πR 3=4√6π，故选：D ．17.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0<ln2<1，∴1<2ln2<2，2+2ln2>2，0<(ln2)2<1，∴c <a <b ．故选：A ．18.【答案】C【解析】解：由f(1)=cos1⋅sin 83>0，可排除A 、D ；又f(12)=cos 12⋅sin(√3√3)>f(1)=cos1⋅sin(3−13)，可排除B ．故选：C ．由f(1)>0，可排除AD ，再由f(12)>f(1)，可排除B ，由此得出正确选项． 本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．19.【答案】A【解析】解：因为sin 2A −sinBsinC =0，根据正弦定理可得，a 2=bc ，由余弦定理可知，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，∴b 2+c 2−2bc =2bccosA −bc ，∴(b −c)2=bc(2cosA −1)≥0，∴2cosA −1≥0，即cosA ≥12，∵A 为锐角，∴π6<A ≤π3， ∴12≤cosA <√32， ∴0≤2cosA −1<√3−1，根据正弦定理可得sinB−sinC 2sinA =b−c 2a ， 令p =b−c 2a ， ∴p 2=(b−c)24a 2=bc(2cosA−1)4bc=2cosA−14<√3−14， ∴−√√3−12<p <√√3−12，故选：A ．由已知结合正弦定理可得，a 2=bc ，然后结合余弦定理，a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b −c)2+2bc(1−cosA)，令p =sinB−sinC 2sinA =b−c2a ，代换后结合余弦的性质可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的灵活应用，属于中档试题．20.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性和值域间的关系，考查运算能力和推理能力，属于中档题．由题意可得f(x)在(12,2]单调递减，此时f(x)∈[a −4,a −14)，g(x)在[−1,1]上的值域为[0,e]，由题意可得[0,e]⊆[a −4,a −14)，可得a −4≤0<e <a −14，求解即可．【解答】解：f(x)=−x 2+a 在[−12,2]的值域为[a −4,a]，但f(x)在(12,2]单调递减，此时f(x)∈[a −4,a −14).g(x)=x 2e x 的导数为g′(x)=2xe x +x 2e x =x(x +2)e x ，可得g(x)在[−1,0]单调递减，(0,1]单调递增，则g(x)在[−1,1]的最小值为g(0)=0，最大值为g(1)=e，即值域为[0,e]．,2]，使得f(x1)=g(x2)，对任意的x2∈[−1,1]，存在唯一的x1∈[−12)，可得[0,e]⊆[a−4,a−14，可得a−4≤0<e<a−14<a≤4．解得e+14故选B．21.【答案】AC【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，考查集合的基本知识的应用，是基础题．根据命题的真假的判断和集合的应用，主要对下列选项进行判定即可得解．【解答】解：对于A:空集是任何一个非空集合的真子集，故A正确：对于B:4x2>2x−1+3x2，整理得x2−2x+1>0，当x=1时不成立，故B错误：对于C i∃x∈{−2,−1,0,1,2}，|x−2|<2，当x=1或2时，不等式成立，故C正确：对于D:当a=0，b≠0时，方程无解，当a≠0，b≠0时，方程ax+b=0恰有一解，当a=b=0时，方程有无数解，故D错误．故选：AC．22.【答案】BD【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，存在量词命题的否定，充分，必要条件的应用，属于基础题．根据存在量词命题的否定，充分，必要条件的应用，逐一分析选项即可．【解答】解：对于A，当b=0时，ab无意义，A错误;对于B，当a>b时，取a=1，b=−1，则1a <1b不成立：当1a <1b时，取a=−1，b=1，则a>b不成立，B正确;对于C，根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知C错对于D，“a>2，b>2”是“ab>4”的充分条件。
大庆实验中学数学高三上期中测试题(含解析)
一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20473．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．624．在ABC 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．555．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．37．若ABC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=,2ABCS =,则b =（ ）A ．5B ．25C ．41D ．528．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-39．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71010．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．612．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5213．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S15．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．(22,10C ．()22,10D ．)10,8二、填空题16．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）17．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 18．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 19．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.20．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC的最大值是__________． 21．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．22．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .23．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++等于__________．24．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 25．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题26．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 27．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/minm，山路AC长为1260m，经测量12 cos13A=，3cos5C=．（1）求索道AB的长；（2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？28．设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n−1.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n.29．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且211a=，7161S=．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若6512n nS a n>--，求n的取值范围；（3）若11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和nT．30．已知数列{}n a是等差数列，数列{}n b是公比大于零的等比数列，且112a b==, 338a b==.（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式;（2）记nn bc a=，求数列{}n c的前n项和n S.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．A4．C5．A6．A7．A8．D9．B10．B11．B12．B13．C14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等；18．7【解析】由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)两式相减得2an＋1－2an＋an＝0化简得2an＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a119．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数20．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB⋅AC= bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c21．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据22．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行23．50【解析】由题意可得=填5024．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误25．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由已知条件判断出公差0d<，对20191 <-aa进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.3．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.4．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.5．A【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+ 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈ 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2AB -()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x ，则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.所以=1,2AB -().因为不等式2+0x ax b +<的解集为AB ,所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.7．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 8．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．9．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =， 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．10．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=+++=++++，所以，14912 x y++，当且仅当4111x yy xx y+⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y++的最小值为92，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】由z＝x＋3y得y＝－13x＋3z，先作出{xy x≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.12．B解析：B【解析】【分析】设f（x）1221x x=+-，根据形式将其化为f（x）()1152221x xx x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2，得到f（x）的最小值为f （13）92=，再由题中不等式恒成立可知m≤（1221x x+-）min，由此可得实数m的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．13．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.14．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.15．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.二、填空题16．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题解析：128【解析】 【分析】 由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；18．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n n S S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 19．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30【解析】 【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.【详解】 ∵()3af x x x=++，*x ∈N ， ∴()2221a x af x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意， 当0a >时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，函数()f x在区间(上单调递减，当x ()0f x '>，函数()f x在区间)+∞上单调递增，∴当x =()f x 取最小值，又*x ∈N ，∴x()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值，∴56<<或45<≤，∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354a a++≤++， 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.20．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：2√2【解析】试题分析：由题意得12bcsinA =12a 2⇒bcsinA =a 2，因此AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC=b c+cb+a 2bc=b 2+c 2+a 2bc=a 2+2bccosA+a 2bc=2cosA +2sinA ≤2√2,从而所求最大值是2√2考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.21．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】 【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】 1112222n n nn b b b H n-++++==,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅,故2121()(22212)n n n b b n b n --⋅++=-≥+,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.22．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22xy+的最小值，为2455=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】 线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.23．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===，填50.24．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误； 而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误； 对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.25．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：23π【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3.三、解答题26．（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式． （2）推出112n S n n -=，令n n Sc n =，得到{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ，又∵d ≠0，可得a 1=-5d ；而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6．（2）因为()2111122n n n n nS na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令nn S c n =，则112n nc c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．27．（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ） 【解析】 【分析】 【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin AB AC C B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+， 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=， 得12605sin 50063sin 1365AC BC A B=⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.28．(1)a n =3n−1;(2)T n =94−6n+94×3.【解析】 试题分析：(1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得a n =3n−1;(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列{b n }的前n 项和T n =94−6n+94×3n.(3) 试题解析：(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①2S n －1＝3a n －1－1 ②②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴＝3，(n ≥2)又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意）∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝∴T n ＝＋＋＋…＋，…………………③ T n ＝＋＋…＋＋，………④ ③－④得：T n ＝＋＋＋…＋－ ＝－＝－∴T n ＝－.29．（1）61n a n =-；（2）9n ≥且*n N ∈；（3）5(65)n n T n =+． 【解析】【分析】（1）首先根据题意列出方程217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解方程组再求n a 即可. （2）首先计算n S ，再解不等式6512n n S a n >--即可.（3）首先得到11166(1)65n b n n =--+，再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】（1）由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得156a d =⎧⎨=⎩ 所以61n a n =-． （2）由（1）得2(1)56322n n n S n n n -=+⨯=+， 因为6512n n S a n >--，即2329180n n -+≥. 解得23n ≤或9n ≥， 因为1n ≥且*n ∈N ，所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . （3）因为11111611()()6(615)566n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111[()()()]651111176165n T n n =-+-+⋯+--+ 1116565(5)65)(n n n -==++ 【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.30．（1）31,2n n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得． 所以． （2）因为， 所以．。
大庆中学2019-2020学年高三上学期数学(理)期中试题及答案
20.(12 分) 已知椭圆
的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个边
④ 设随机变量 服从正态分布 N (0,1) ，若 P( 1) 0.2 ，则 P(1 0) 0.6 ； 则正确命题的序号为 _______． （写出所有正确命题的序号） 三．解答题（本大题共 6 道题，共 70 分） 17.（12 分）数列 an 的前 n 项和为 S n ， a1 1 ， an 1 2 S n 1 (n N ) ，等差数列 bn 满
2．已知复数 A．4
（是虚数单位） ，它的实部和虚部的和是( B．6
8
a1
11． 定义行列式运算
a2 b2
b1
a1b2 a 2 b1
， 将函数
f ( x)
3 1
2 3
sin x cos x
的图象向左平移 t (t 0) 个
3．二项式(2 − 3 ) 的展开式中常数项是 (
√x
x
1
单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 t 的最小值为( D．-28 ) A.
F D O A E B C
+ 1 ② 命题 p : “ x R ，������������������ ������ + ≥ 1 ”是真命题； ������������������ ������
③ 已知线性回归方程为
ˆ 3 2 x ，当变量 x 增加 2 个单位，其预报值平均增加 4 个单位； y
2− 3ⅈ 1− i
B．
x x 1或x 0
C．2 ) C．7
C．
x x 4
) D．3
D．
x 1 x 4
10.P 是 ABC 所在平面内一点，若 CB PA PB ，其中 R ，则 P 点一定在( A. ABC 内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
黑龙江省大庆市大庆中学2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆与双曲线的定义可以求得 与 的关系，再表达出 求最值即可。
【详解】由题得 ，又因为 ,故 ,
即 ,所以
,当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
【点睛】本题主要考查共焦点的椭圆与双曲线的问题，需要根据椭圆与抛物线的定义，同时结合垂直找到 的关系再进行求解,属于中等题型.
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次,因此质点P 移动5次后位于点 的概率为 。
7。圆 与圆 的公切线有几条（)
A。 1条B。 2条C。 3条D。 4条
【答案】C
【解析】
分析】
首先求两圆的圆心距,然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数。
A。 B。 10C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数与对数的运算法则求解即可.
【详解】 。
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数的基本运算，属于基础题型.
3.已知 ，则下列说法正确的是（ )
A。 若 ，则 B。 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ,则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质可推得D正确，利用特殊值举例可说明A,B,C错误.
4.已知 ,且 ，则 （ ）
A. 4B。 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量共线的坐标形式可求 ，求出 的坐标后可求 .
【详解】因为 ，故 ，所以 ，
故 ，故 。
故选C。
【点睛】如果 ，那么：(1）若 ，则 ；（2）若 ，则 .
黑龙江省大庆实验中学高三数学第一学期期中考试试题(理科)
黑龙江省大庆实验中学2007-2008学年度高三数学第一学期期中考试试题（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，则其值域为 （ ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y2．下列函数中，值域为()∞+,0的是（ ）A ．122-=x y B ．2lg(1)y x =+ C ．21x y = D ．122--=x x y3．函数y=)(x f 的值域是[-2,2],则函数y=)2(-x f 的值域是（ ）A ．[-2,2]B ．[-4,0]C ．[0,4]D ．[-1,1] 4．已知集合}73|{≤≤=x x A ,}121|{-<<+=m x m x B ,若A ∪B =A ，则（ ）A ．42≤≤mB ．<m <4C ．m ≤4D ．2<m ≤45．已知三个不等式①0342<+-x x ,②0862<+-x x ,③0922<+-m x x ,要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③,的实数m 的取值范围是 （ ） A ．),9(+∞ B ．}9{ C ．]9,(-∞ D ．]9,0( 6．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ． 0,1<>b aB ． 0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a7．若关于x 的不等式)(1212R x a a x x ∈++≥---的解集为空集，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（-1，0）C ．（-∞，-1）D ．),0()1,(+∞--∞8．已知数列}a {n , 那么“对任意的*∈N n , 点)a ,n (P n n 都在直线1x 2y +=上”是“}a {n 为等差数列”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知等差数列}{n a 中，1697=+a a ， 14=a 则12a 的值为 （ ）A ．15B ．16C ．32D ．6410．已知等比数列｛a n ｝的公比为2，a 1+ a 2+ a 3= 21，则a 3+ a 4+ a 5= （ ）A ． 33B ．72C ．84D ．189 11．若函数)(x f y =的导函数)(,56)(2x f x x f 则+='可以是（ ）A ．x x 532+B ．6523++x xC ．523+xD ．6562++x x12．已知函数)(x f 的导数为x x x f 44)(3-='，且图象过点（0，5），当函数)(x f 取得极大值时，x 的值应为（ ）A ．–1B ． 0C ． 1D ． ±1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若xa y )(log 21=在R 上为减函数，则∈a14．在数列{a n }中, a 1=1, 且)( 1*+∈=-N n n a a n n ，则3a =_ ___.15．已知不等式221(1)x m x ->-对于m ∈[0,1]恒成立，则实数x 的取值范围为16．设曲线b ax x y ++=4在x =1处的切线方程是x y =，则=a ，=b .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）记函数()f x 的定义域为A , g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B.（1）求A ；（2）若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等比中项.已知数列,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k19．（本小题满分12分）设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）的图象关于原点对称，且x =1时，)(x f 取极小值.32-（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.20．（本小题满分12分）函数xax x f -=2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1=a 时，求函数)(x f y =的取值范围； （2）当1-=a 时，求函数)(x f y =的取值范围。