2012年北京市中考数学一模分类汇编代数综合

2012年北京市中考数学一模分类汇编——代数综合题方程存在整数根问题1．（顺义）已知关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k ．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y 的方程2(4)10y a k y a +-++=的整数根（a 为正整数）． 解：（1）△=244(1)(3)k k k --+=2244812k k k --+=812k -+………………………… 1分 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴10,0.k -≠⎧⎨∆>⎩ 即 10,8120.k k -≠⎧⎨-+>⎩∴k 的取值范围是32k <且1k ≠……………………… 3分（2）当方程有两个相等的实数根时，△=812k -+=0．∴32k =…………………………………… 4分∴关于y 的方程为2(6)10y a y a +-++=．2'(6)4(1)a a ∆=--+2123644a a a =-+--21632a a =-+2(8)32a =--．由a 为正整数，当2(8)32a --是完全平方数时，方程才有可能有整数根． 设22(8)32a m --=（其中m 为整数），32p q = （p 、q 均为整数），∴22(8)32a m --=．即(8)(8)32a m a m -+--=． 不妨设8,8.a m p a m q -+=⎧⎨--=⎩ 两式相加，得 162p q a ++=．∵(8)a m -+与(8)a m --的奇偶性相同，∴32可分解为216⨯，48⨯，(2)(16)-⨯-，(4)(8)-⨯-， ∴18p q +=或12或18-或12-．∴17a =或14或1-（不合题意，舍去）或2．当17a =时，方程的两根为1172y -±=，即12y =-，29y =-…… 5分当14a =时，方程的两根为822y -±=，即13y =-，25y =-…… 6分当2a =时， 方程的两根为422y ±=，即13y =，21y =．……… 7分2．（昌平）已知关于x 的方程（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2=0． （1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线y =（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 解：（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程，△=（3k -1）2-4(k +1)(2k -2)=（k -3）2．∵（k -3）2≥0，即△≥0，∴ k 为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根………… 2分综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根． （2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，x 1=-1，x 2=421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数， ∴ 当k =1时，方程的两根为-1，0； 当k =3时，方程的两根为-1，-1． ∴ k =1，3． ………………… 4分（3）∵ 抛物线y =（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2与x 轴两个交点之间的距离为3， ∴12x x -=3，或21x x -=3．当12x x -=3时，k =-3；当21x x -=3时，k =0． 综上，k =0，-3． …………………… 6分3．（怀柔）已知：关于x 的方程(1)(1)20a x a x --++=.（1）a 取何整数值时，关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=的根都是整数；（2）若抛物线y =2(1)(1)20a x a x --++=的对称轴为x =－1，顶点为M ，当k 为何值时，一次函数13y kx k =+的图象必过点M .解：（1） 当10a -=时，即1a =时，原方程变为220x -+=. 方程的解为 1x =； (1)分当10a -≠时，原方程为一元二次方程2(1)(1)20a x a x --++=.[]2224(1)4(1)2(3)0b ac a a a ∆=-=-+--=-≥ .(1)(3)2(1)a a x a -±-=-， 解得1221,.1x x a ==-.…………………………3分∵ 方程(1)(1)20a x a x --++=的根都是整数.∴只需21a -为整数∴ 当11a -=±时，即a =2或a =0时，x =1或x =－2；……………4分 当12a -=±时，即a =3或a =－1时，x =1或x =－1；………5分∴ a 取0，－1，1，2，3时，方程(1)(1)20a x a x --++=的根都是整数…6分（2）∵抛物线y=2(1)(1)20a x a x --++=的对称轴为x =－1，∴ 12b a-=-，∴13a =. ∴顶点坐标为M （－1，83）.把M 点坐标代入一次函数13y kx k =+中，则 4.k =………7分∴当4k =时，一次函数13y kx k =+的图象必过点M.图象的平移、翻折问题4. （西城）已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2， ∴ 22 210p q +++=…………… 1分 整理，得 25q p =--……………………… 2分（2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>． ∴ 0∆>………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点…………… 4分 （3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2p x =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分 由题意得 22FEMN p S EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………7分5．（丰台）已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.（1）证明∵016)4(4)2(22>=---=∆m m ．…………1分∴该方程总有两个不相等的实数根．. ………2分（2）由题意可知y 轴是抛物线的对称轴，y 2y 1∴02=-m ，解得0=m ．………4分 ∴此抛物线的解析式为42-=x y ．.……5分（3）-3<b <1．………7分 6.（门头沟）已知：关于x 的一元二次方程02)21(22=-++-k x k x 有两个实数根. （1）求k 的取值范围；（2）当k 为负整数时，抛物线2)21(22-++-=k x k x y 与x 轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；（3）若（2）中的抛物线与y 轴交于点A ，过A 作x 轴的平行线与抛物线交于点B ，连接OB ，将抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB 的内部（不包括△OAB 的边界），求n 的取值范围.解：（1）由题意得，0)2(42122≥--+k k ）（解得，49-≥kK 的取值范围是49-≥k ……分（2）k 为负整数，k=-2，-1.当k=-2时，232++=x x y 与x 轴的两个交点是（-1，0）（-2，0）是整数点，符合题意 …………………3分 当k=-1时，12-+=x x y 与x 轴交点不是整点，不符合题意 ….4分 抛物线的解析式是232++=x x y （3）由题意得，A （0，2），B （-3，2）设OB 的解析式为mx y = m 32-=,解得32-=mOB 的解析式为x y 32-=232++=x x y 的顶点坐标是（23-，41-）OB 与抛物线对称轴的交点坐标（23-，1）……..5分直线AB 与抛物线对称轴的交点坐标是（23-，2）……6分有图象可知，n 的取值范围是4945<<n …………7分7.（东城）已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441m m ++ =2(21)m +∵ 2(21)m +≥0， ∴ 无论m 取何实数，原方程总有两个实数根.……2分 （2） 解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得 1231,= x m x m =+. ……………3分 由题意得 312,317,7. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 ………………4分解得173m <<. ……………5分（3）符合题意的n 的取值范围是 91544n <<. …………7分代数式变形与整体代入8．（海淀）已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx .（1）求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y m x m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在（2）中抛物线上 (点P 、Q 不重合), 且y 1=y 2, 求代数式81651242121++++n n n x x 的值.解：（1）当m =0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. 1分 当m ≠0时，原方程为一元二次方程.∵()()222311296131m m m m m ∆=+-=-+=-≥0. ∴ 此时方程有两个实数根.…………………2分综上, 不论m 为任何实数时, 方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根.（2）∵令y =0, 则 mx 2+(3m +1)x +3=0. 解得 13x =-，21x m=-. …………………3分∵ 抛物线()2313y m x m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，∴1m =.∴抛物线的解析式为243y x x =++. …………4分（3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵,21y y = ∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++. 可得 04221=++n n n x .即 0)42(1=++n x n . ∵ 点P , Q 不重合, ∴ n ≠0.∴ 124x n =--. ………………………5分∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=……………7分 法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y = ∴ 点 P , Q 关于直线 x =-2对称.∴11 2.x x n++=-（3）以二次函数2248y x ax a =-+-+图象的顶点A 为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形A M N （M ，N 两点在二次函数的图象上），请问：△A M N 的面积是与a 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.解：（1）)2(43216422+-=+-=∆a a a 无论a 为何实数16)2(42+-=∆a 0>...............(1分) ∴抛物线与x 轴总有两个交点 (2)) （2）8422+-+-=a ax x y84)(22+-+--=a a a x y …………………………(3分) ∴由题意得，2≤a （只写<或=其一，不给分）………(4分)（3）解法一：以二次函数8422+-+-=a ax x y 图象的顶点A 为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形A M N （M ，N 两点在二次函数的图象上）， 这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。