1高中数学2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义导学案新人教A版必修4
人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图.思考1 如何计算这个力所做的功？ 答案 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 梳理知识点二 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b 在向量a 上的投影？什么叫做向量a 在向量b 上的投影？答案 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影.思考2 向量b 在向量a 上的投影与向量a 在向量b 上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同. 梳理 (1)条件：向量a 与b 的夹角为θ. (2)投影：(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 知识点三 平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定.当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数. 梳理 设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(3)a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.类型一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积.解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方. 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值. 解 |3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20. 类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角. 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a与b 的夹角θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.2.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， ① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3.若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 答案 11解析 (a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －2a ·c －4b ·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.4.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，C ＝90°. ∴cos B ＝513，又cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B )， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 5.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫做b 在a 方向上的投影和a 在b 方向上的投影，要结合图形严格区分.4.求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b|b |.5.两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.课时作业一、选择题1.已知|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝19，则|a －b |等于( ) A.7 B.13 C.15 D.17答案 A解析 因为|a ＋b |2＝19，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝19， 所以2a ·b ＝19－4－9＝6，于是|a －b |＝|a －b |2＝4－6＋9＝7.2.已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A.－6 B.6 C.－6 3 D.6 3 答案 C3.已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150° 答案 B解析 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4.若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A.－3B.－2C.2D.－1 答案 D解析 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 5.已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A.|a |＝a ·a B.|a·b |＝|a ||b | C.λ(a·b )＝λa·b D.|a·b |≤|a ||b | 答案 B解析 因为|a·b |＝||a ||b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a ||b ||cos θ|， 当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a ||b |，故B 错.6.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0，π6]B.[π3，π]C.[π3，2π3]D.[π6，π]答案 B解析 ∵Δ＝a 2－4|a ||b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0，即a 2－4|a ||b |cos θ≥0， 又|a |＝2|b |，∴Δ＝4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又∵0≤θ≤π， ∴π3≤θ≤π. 7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝(12AB →＋34AC →)·(AC →－AB →)＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18.故选B.8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形答案 B 二、填空题9.设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 答案 －9210.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________. 答案 120°11.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 答案223解析 ∵|a |＝(3e 1－2e 2)2＝ 9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.12.已知向量a 在向量b 方向上的投影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________.答案 2解析 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉 ＝3×23＝2.13.已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －25解析 ∵|CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2，∴∠B ＝90°，∴AB →·BC →＝0. ∵cos C ＝45，cos A ＝35，∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos (180°－C ) ＝4×5×(－45)＝－16.CA →·AB →＝|CA →||AB →|cos(180°－A ) ＝5×3×(－35)＝－9.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 三、解答题14.已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算： (1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |. 解 (1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2＝4×42－82＝0. (2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256. ∴|4a －2b |＝16. 四、探究与拓展15.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影；(3)AB →在BC →方向上的投影. 解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16.(2)|AC →|·cos〈AC →，AB →〉＝AC ，→·AB →|AB →|＝5×3×355＝95.(3)|AB →|·cos〈AB →，BC →〉＝BC ，→·AB →|BC →|＝－BA ，→·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.。
人教版高中数学必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【导学案】
平面向量数量积的物理背景及其含义
班级姓名设计人日期
♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒
温馨寄语
你要知道科学方法的实质，不要去听一个科学家对你说些什么，而要仔细看他在做什么。
——爱因斯坦
学习目标
．熟练掌握向量数量积的定义形式.
．掌握向量投影的形式.
．掌握向量数量积的重要性质及运算律，并能进行相关计算.
学习重点
利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等
学习难点
平面向量数量积坐标运算的灵活应用
自主学习
．平面向量数量积的有关概念
()向量的数量积.
①前提：，为非零向量.
②结论：称与的数量积(θ为向量与的夹角).
③表示： .
()投影.
叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. ()数量积的几何意义.
数量积•等于的长度与在的方向上的投影的乘积.
．向量数量积的性质和运算律
()向量数量积的性质.
设，为非零向量.
①
②与同向时，；与反向时，•.
③.
()向量数量积的运算律.
①• (交换律)；
②(λ)•＝＝•(λ)(结合律)；。
高一数学人教A版必修四教案：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 Word版含答案
2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件.2、过程与方法：通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积,培养学生的抽象概括能力.三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算: W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2; (2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π). 其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律); ②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律). 特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律). ③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cosθ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0. 3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙. 4°cosθ=||||b a ba ∙.5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1, |CA |=3,求AB ·+·+AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+||2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故AB ·+·+·AB =2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2 =62-6×4×cos60°-6×42 =-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16, ∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9, ∴|a |=3. 又∵a ·b =-12, ∴|a ·b |=12. ∵|a ·b |≤|a ||b |, ∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+++=0,即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2, 即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2. 又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2. 同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA, ∴ABCD 是平行四边形. 故AB = ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥.综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2. ∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2,而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2, ∴|a -b |=3|b |.② ∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］, ∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c , 即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c . 由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b . ∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4, ∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m-4a ·b =0,即a ·b =2m.① 再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a·b-16=-4,即m a·b=12.②联立①②得2m2=12,即m2=6.∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业。
人教A版《必修4》“2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义”导学案
高一数学《必修4》导学案 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义【课前导学】（阅读课本P103～105的内容后，完成下列内容）1. 如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，其中F 与S 的夹角为θ，那么力F 所做的功w=________________（功是一个__________量）2. 平面向量数量积的定义:已知两个非零向量a 与b ，我们把___________ __ ____叫做a 与b 的数量积（或________）记作__________即________________________其中θ是a 与b 的夹角，___________________ ______叫做a 在b 方向上（___________________）的投影.●规定：零向量与任一向量的数量积为___________.3. 设a 和b 都是非零向量，a b θ为与和夹角 ,则（1）a b ⊥⇔________________； （2）当a 与b 同向时， a b ⋅=_________ ；当a 与b 反向时，a b ⋅=________ ；特别地，a a ⋅=______________或a =____________ _（3）a b ⋅_______a b （用不等号填空）； （4）cos θ=4.运算律:已知向量a b c 、、和实数λ则 5、对任意向量a 和b ，有（1）2()a b +=___________________________________(2)()()a b a b +⋅-=_______________________________________________【预习自测】 （巩固概念）判断下列各题正确与否： （1）若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b =0 ( ) （2）若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零 ( ) （3）若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c ( ) （4）对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c ) ( ) （5）对任意向量a ，有a 2 = |a | ( )【课内探究】 例1: 已知｜a ｜＝３，｜｜＝６，分别求满足下列条件的a ·：①a 与的夹角是60°；②a ⊥，③a ∥.变式1：已知||a =5，||b =4, 10a b ⋅=-.（1）求a 与b 的夹角θ ；（2）求向量a 在向量b 的方向上的投影.例2: 已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）.思考:此运算过程类似于实数哪种运算？ 变式2: 已知||a =4，||b =3. （1）若a 与b 的夹角是150°求2(),||a b a b ++；（2）若（2a -3 ）·（2a +）=61, 求a b ⋅、a 与b 的夹角θ 例3、已知|a |=2,|b |=5,且 a 与b 不共线， k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？【总结提升】【反馈检测】1、已知下列命题：(1)||||||a b a b ⋅=⋅ ;(2)000a b a b ⋅=⇔==或 ;(3)||||||a a λλ=⋅ ;(4)00a λλ=⇔=或0a =. 其中正确的命题序号是 2、已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= 3、已知∆ABC 中=a ，=b ，当a b ⋅<0或a b ⋅=0时∆ABC 是 三角形。
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义导学案 新人教A版必修4(1)
1河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义导学案 新人教A 版必修4 学习目标1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式. 学习过程一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W= ，其中 是F 与s 的夹角.二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的含义 问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？2、平面向量数量积的性质：设ab 与均为非零向量：2①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _， 特别地，a ⋅a =______或a =___________。
③a b ⋅≤___________ _④cos =θ_______ ____ ⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？ 3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅＝___________；②()a b λ⋅＝___________；③()a+b c ⋅＝___________。
问题4：我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=-对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2b a ； ⑵()()=-⋅+b a b a . ※ 典型例题例1、已知6a =，8b =，且a 与b 的夹角 120=θ，求a b ⋅.3变式1：若6a =，8b =，且//a b ，则a b ⋅是多少？变式4：若6a =，4=b ，且()()7232-=-⋅+b a b a ，求a 与b 的夹角。
人教A版《必修4》“2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义”导学案-文档资料
高一数学《必修4》导学案 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义【课前导学】（阅读课本P103～105的内容后，完成下列内容）1. 如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，其中F 与S 的夹角为θ，那么力F 所做的功w=________________（功是一个__________量）2. 平面向量数量积的定义:已知两个非零向量a 与b ，我们把___________ __ ____叫做a 与b 的数量积（或________）记作__________即________________________其中θ是a 与b 的夹角，___________________ ______叫做a 在b 方向上（___________________）的投影.●规定：零向量与任一向量的数量积为___________.3. 设a 和b 都是非零向量，a b θ为与和夹角 ,则（1）a b ⊥⇔________________； （2）当a 与b 同向时， a b ⋅=_________ ；当a 与b 反向时，a b ⋅=________ ；特别地，a a ⋅=______________或a =____________ _（3）a b ⋅_______a b （用不等号填空）； （4）cos θ=4.运算律:已知向量a b c 、、和实数λ则5、对任意向量a 和b ，有（1）2()a b +=___________________________________(2)()()a b a b +⋅-=_______________________________________________【预习自测】 （巩固概念）判断下列各题正确与否： （1）若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b =0 ( ) （2）若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零 ( ) （3）若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c ( ) （4）对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c ) ( ) （5）对任意向量a ，有a 2 = |a | ( )【课内探究】 例1: 已知｜a ｜＝３，｜b ｜＝６，分别求满足下列条件的a ·b ：①a 与的夹角是60°；②a ⊥，③a ∥.变式1：已知||a =5，||b =4, 10a b ⋅=-.（1）求a 与b 的夹角θ ；（2）求向量a 在向量b 的方向上的投影.例2: 已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）.思考:此运算过程类似于实数哪种运算？ 变式2: 已知||a =4，||b =3. （1）若a 与的夹角是150°求2(),||a b a b ++；（2）若（2a -3b ）·（2a +b ）=61, 求a b ⋅、a 与b 的夹角θ 例3、已知|a |=2,|b |=5,且 a 与不共线， k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？【总结提升】【反馈检测】1、已知下列命题：(1)||||||a b a b ⋅=⋅ ;(2)000a b a b ⋅=⇔==或 ;(3)||||||a a λλ=⋅ ;(4)00a λλ=⇔=或0a =. 其中正确的命题序号是 2、已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= 3、已知∆ABC 中=a ，=b ，当a b ⋅<0或a b ⋅=0时∆ABC 是 三角形。
高中数学 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修4
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义：2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3．“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：5．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅b =b e =2︒ a ⊥b ⇔a ⋅ b = 设a 、为两个非零向量，e 是a 与同向的单位向量.e ⋅a =a ⋅e =3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = 当a 与b 反向时，a ⋅b = 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。
平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：那么力F所做的功：W=（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱·︱︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱cosα（2）定义说明：①记法“a·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案设计新人教A版必修4
第二章平面向量平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积概念进行探讨.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的进程,培育学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:一辆小车,在力F的作用下,从A处到B处拉动的位移为s,那么请问力F在这个运动进程中所做的功?(1)力F所做的功W=.(2)请同窗们分析公式的特点:W(功)是量,F(力)是量,s(位移)是量.(3)师生一路探讨矢量乘矢量和引出向量乘以向量.二、信息交流,揭露规律1.数量积的概念已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,咱们把数量叫做a与b的数量积(或内积),记作.问题2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?问题3:数量积的几何意义是什么?2.由数量积的概念可以取得下面几个重要结果:(1)当<a,b>=0时,;当<a,b>=180°时,.(2)cos<a,b>=.(3)当b=a时,有<a,a>=0,所以a·a=|a||a|=,即|a|=.(4)当<a,b>=90°时,a⊥b,因此,a·b=cos90°=0,因此对非零向量a,b,有⇔a⊥b.3.可以验证,向量的数量积知足下面的运算律:(1)(2)(3)注意:一般地,向量的数量积不知足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c.三、运用规律,解决问题【例1】判断下列各题正确与否:(1)若a=0,则对任一贯量b,有a·b=0.( )(2)若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0.( )(3)若a≠0,a·b=0,则b=0.( )(4)若a·b=0,则a,b至少有一个为零.( )(5)若a≠0,a·b=a·c,则b=c.( )(6)若a·b=a·c,则b=c当且仅当a≠0时成立.( )(7)对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c). ( )(8)对任意向量a,有a2=|a|2 .( )【例2】已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求a·b.【例3】已知|a|=|b|=,a·b=-,求<a,b>.【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.四、变式演练,深化提高练习1:四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求.五、反思小结,观点提炼请同窗们想一想,本节课咱们学习了哪些知识?布置作业讲义P108习题2.4A组第1,2,3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)力F所做的功W=Fs cosθ.(2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量.(3)W=F·s.二、信息交流,揭露规律1.数量积的概念|a|·|b|cosθa·b问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.(1)a·b=|a||b|a·b=-|a||b|(2)(3)|a|2(4)a·b=03.(1)a·b=b·a(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(3)(a+b)·c=a·c+b·c三、运用规律,解决问题【例1】(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×(8)√【例2】解:a·b=|a|·|b|·cos120°=5×4×(-)=-10.【例3】解:cos<a,b>==-.由于0≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=135°.【例4】解:由(a+3b)(7a-5b)=0⇒7a2+16a·b -15b2=0 ①(a-4b)(7a-2b)=0⇒7a2-30a·b+8b2=0 ②两式相减:2a·b=b2,代入①或②得:a2=b2,设a,b的夹角为θ,则cosθ=,∴θ=60°.四、变式演练,深化提高练习1:解:四边形ABCD是矩形,这是因为:一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d),∴(a+b)2=(с+d)2,即|a|2+2a·b+|b|2=|с|2+2с·d+|d|2,由于a·b=с·d,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2①同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2②由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形ABCD两组对边别离相等.∴四边形ABCD是平行四边形.另一方面,由a·b=b·с,有b(a-с)=0,而由平行四边形ABCD可得a=-с,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,∴a⊥b,即AB⊥BC.综上所述,四边形ABCD是矩形.练习2:解:=(a+b)·(a+b)=a2+b2+2a·b=25+16-20=21,所以.五、反思小结,观点提炼1.掌握数量积的概念、重要性质及运算律;2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题.。
高中数学 第2章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义导学案 新人教A版必修4-新
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义[教材研读]预习课本P103～105，思考以下问题1．怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？2．向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？3．向量数量积的性质有哪些？4．向量数量积的运算律有哪些？[要点梳理]1．向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.(2)数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|.当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|. 4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．两个向量的数量积仍然是向量．( )2．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )3．若a与b的夹角为θ，则cosθ>0⇔a·b>0.( )4．若a·b＝b·c，则a＝c.( )[答案] 1.× 2.× 3.√ 4.×题型一向量数量积的运算思考：要求a·b，需要知道哪些量？提示：需要知道|a|，|b|及cosθ.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.[思路导引] 利用数量积的定义求解．[解] (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×32＝10 3.求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a |和|b |；(3)求数量积，即a ·b ＝|a |·|b |·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．[跟踪训练]已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )．[解] (2a ＋3b )·(3a －2b )＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos120°－6×72＝－268.题型二 向量的模思考：如何求向量的模？提示：|a |＝a ·a .(1)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.[解析] (1)令e 1与e 2的夹角为θ，∴e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos θ＝cos θ＝12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b ·(e 1－e 2)＝0，∴b 与e 1，e 2的夹角均为30°，∴b ·e 1＝|b ||e 1|cos30°＝1，从而|b |＝1cos30°＝233. (2)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |cos45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10， ∴|b |＝3 2.[答案] (1)233(2)3 2求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．[跟踪训练](1)已知非零向量a ＝2b ＋2c ，|b |＝|c |＝1，若a 与b 的夹角为π3，则|a |＝________； (2)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则|a －b |＝________.[解析] (1)由于c ＝12a －b ，所以c 2＝14|a |2＋|b |2－2×12|a ||b |×12，整理得|a |2－2|a |＝0，所以|a |＝2或|a |＝0(舍去)．(2)由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a ·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10.[答案] (1)2 (2)10题型三 向量的夹角和垂直问题思考1：已知向量a 与b ，如何求a 与b 的夹角？提示：利用cos θ＝a ·b|a ||b |，求出cos θ，然后借助θ∈[0，π]，求θ.思考2：当向量a ⊥b 时有a ·b ＝0，反之成立吗？提示：不成立．a ·b ＝0，有可能a ＝0或b ＝0.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．[思路导引] 先求a 、b 的模，再求a 与b 的数量积，代入夹角公式．[解] ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m ||n |cos60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )24×1＋1＋4m ·n ＝4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )24×1＋9×1－12m ·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7， a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. [变式] 若将本例中m 与n 的夹角改为90°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 夹角的余弦值．[解] 由题意知m ·n ＝0，∵|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝5，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝13，而a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－4设向量a 与向量b 夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－45·13＝－46565.求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．[跟踪训练]已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？[解] 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a ·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．课堂归纳小结1.本节课的重点是向量数量积的定义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．2．要掌握与数量积相关的三个问题(1)向量数量积的运算，见典例1；(2)向量的模，见典例2；(3)向量的夹角和垂直问题，见典例3.3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0，③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b ＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( )A ．|a |2＝a 2B ．|a ·b |＝|a ||b |C ．λ(a ·b )＝λa ·bD ．|a ·b |≤|a ||b |[解析] ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，∴选B.[答案] B2．已知|a |＝3，|b |＝23，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角是( )A ．150° B．120° C．60° D．30°[解析] ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33·23＝－12， 而θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[答案] B3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．2D ．3[解析] ∵(a －m b )⊥a ，∴(a －m b )·a ＝0，即a 2－m b ·a ＝0，|a |2－m ·|a ||b |cos60°＝0，∴32－m ×2×3×12＝0，∴m ＝3. [答案] D4．已知|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则b 在a 上的投影为________． [解析] b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝2×12＝1. [答案] 15．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. [解析] |a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝a 2＋2|a ||b |cos θ＋b 2 ＝25＋2×5×5×12＋25＝75＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2|a ||b |cos θ＋b 2 ＝25－2×5×5×12＋25＝5. [答案] 5 3 5。
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学
第二章 平面向量 2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系． 2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．基础梳理 一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ()0≤θ≤π叫做a 与b 的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a 与b 同向； (2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2时，a 与b 垂直，记a⊥b ．2．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||a ||b cos_θ叫做a 与b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝||a ||b cos_θ，其中θ是a 与b 的夹角，||a cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：||a cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为||a ；当θ＝π时投影为－||a .4．零向量与任意向量的数量积为0． 思考应用1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.1．设a 与b 均为非空向量： (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝||a ||b ，当a 与b 反向时，a ·b ＝－||a ||b ，特别地a ·a＝||a 2或||a(3)cos θ＝a ·b |a ||b |．(4)||a ·b ≤||a ||b ．2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||b cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律： 已知向量a ，b ，c 与实数λ， (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)()λa ·b ＝λ(a ·b ) ＝ a ·(λb ) (结合律)． (3)()a ＋b ·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 思考应用2．判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a ·b |＝|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0. 对于②：应有0·a ＝0.对于④：由数量积定义有|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b |＝|a ||b |.对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝0. 对于⑥：由a ·b ＝0可知a ⊥b 可以都非零． 对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc . 则a ·b ＝(λc )·b ＝λ(c ·b )＝λ(b ·c )， ∴(a ·b )·c ＝λ(b ·c )c ＝(b ·c )λc ＝(b ·c )a . 若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠(b ·c )a .自测自评1．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(－5，8)，则(a ＋b )·b 等于(C ) A ．－34 B ．34 C ．55 D ．－55解析：a ＋b ＝(－3，5)，∴(a ＋b )·b ＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋40＝55.故选C. 2．已知a ·b ＝12，且||a ＝3，||b ＝5，则b 在a 方向上的投影为4．3．设i ，j 是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i －j )·(－3i ＋2j )等于(A ) A ．－92 B.92C ．－8D ．8解析：(2i －j )·(－3i ＋2j )＝－6i 2＋7i ·j －2j 2＝－6|i |2＋7|i ||j |cos 60°－2|j |2＝－6＋72－2＝－92.故选A.4．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝－20．基础提升 1．下列命题正确的是(B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．a ·b ＝b ·aC ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )解析：a ·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b ·c ∈R，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为(B ) A ．6 B ．－6 C ．－6 2 D ．6 23．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则(D )A ．a ＝bB ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0， ∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.4．在△ABC 中，若()CA →＋CB →·()CA →－CB →＝0，则△ABC 为(C ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于(D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 解析：因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝()AC →＋CB →·AC →＝()AC →2＋AC→·CB →＝16，故选D. 巩固提高6．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝(B ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝－a 2＝－1①，2a ·b ＋b 2＝0②； ∴把①代入②得－2＋b 2＝0；∴b 2＝2∴|b |2＝ 2.故选B.7．已知|a |＝|b |＝5，a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25＋2×252＋25＝75，(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝25－2×252＋25＝25.∴|a ＋b |＝53，|a －b |＝5.8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. ∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角， ∴()a ＋λb ·()λa ＋b <0.又()a ＋λb ·()λa ＋b ＝λa 2＋()λ2＋1a ·b ＋λb 2，∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 解得λ<5－212或λ>5＋212.∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋212，＋∞.9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状． 解析：如下图所示，a ·b ＝||a ||b cos ()π－C ＝ －||a ||b cos C ，b ·c ＝||b ||c cos ()π－A ＝－||b ||c cos A ， c ·a ＝||c ||a cos ()π－B ＝－||c ||a cos B .∵a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD →|＝a cos C ，|AD →|＝|c |cos A ，∴|CD →|＝|AD →|.∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|. 同理可证|AB →|＝|AC →|. ∴△ABC 为正三角形．10．如下图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.解析：(1)因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°. 所以AD →·BC →＝|AD |→·|BC |→cos 0°＝3×3×1＝9.(2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律．3．计算长度||a ＝a ·a ，||a ±b ＝()a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2；求向量夹角cos θ＝a ·b||a ||b ；证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b ，数量积这三公式可解决长度、角度、垂直等问题．。
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一教案新人教A版必修4
向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
探究点一 平面向量数量积的含义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12.
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
【典型例题】
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs 180°＝4×5×(－1)＝－20
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°
＝4×5× ＝10 .
跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，
课后
反思
教学内容
教学环节与活动设计
高中数学 (2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义)教案 新人教A版必修4
2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课新知探究提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cosθ.2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •. 4°cosθ=||||b a b a •.5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1,|CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值. 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△A BC 是直角三角形.而且∠AC B=90°, 从而sin∠ABC=23,sin∠B AC=21. ∴∠A BC =60°,∠B AC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°. 变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,AB =a ,BC =b ,CD =c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴A BCD 是平行四边形.故AB =CD ,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若AB =a ,CB =b ,则CA =a +b ,DB =a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠A BC =60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --•作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2, ①由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |. ② ∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --• 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=•b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m. ① 再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12. ② 联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.知能训练课本本节练习.解答:1.p·q=24.2.a·b<0时,△A BC为钝角三角形;a·b=0时,△A BC为直角三角形.3.投影分别为32,0,-32.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.作业课本习题2.4 A组2、3、4.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.。
人教版数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．1．平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________叫做a 与b 的数量积(或内积)，其中θ是a 与b 的夹角 记法 记作a ·b ，即a ·b ＝|a||b |cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为____投影 ____________(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影 几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影______________的乘积(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a 的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定 2．运算律交换律 a ·b ＝________ 结合律 (λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·________分配律(a ＋b )·c ＝________(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bca ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】 有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )． 其中正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．向量数量积的性质垂直 a ⊥b ________共线 同向 a·b ＝________a ·a ＝a 2＝|a |2 |a |＝a ·a反向a·b ＝________绝对值|a ·b |≤________符号a ·b ＞0θ∈________ a ·b ＝0 θ＝________a ·b ＜0θ∈________夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； (2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2； (3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )．【做一做3－1】 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________. 【做一做3－2】 已知|a |＝7，则a ·a ＝__________. 【做一做3－3】 已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1. 2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c 【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎡⎭⎫0，π2 π2 ⎝⎛⎦⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0. 【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】0cos θ＝a·b|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b；在向量的数乘中，若λa＝0，则λ＝0或a＝0；在实数的乘法中，若ab＝0，则a＝0或b＝0.在向量的数量积中，a·b＝b·c b＝0或a＝c或b⊥(a－c)；在向量的数乘中，λa＝λb(λ∈R) a＝b或λ＝0；在实数的乘法中，ab＝bc a＝c或b＝0.在向量的数量积中，(a·b)c≠a(b·c)；在向量的数乘中，(λm)a＝λ(m a)(λ∈R，m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c＝a(bc)．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a，b到原点的距离的积．题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(3a＋b)的值为__________．反思：已知向量a与b的夹角为θ，且|a|＝m，|b|＝n，求(x a＋y b)·(s a＋t b)，其中x，y，s，t，m，n∈R，且m＞0，n＞0，其步骤是：①先求a·b；②化简(x a＋y b)·(s a＋t b)＝xs|a|2＋(xt＋ys)a·b＋yt|b|2；③将a·b，|a|，|b|代入即可．题型二求向量的长度【例2】若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于()A．3 B．2 2 C．10 D.10反思：已知不共线的向量a与b，求|x a＋y b|(x，y∈R)时，其步骤是：①求a·b；②求|x a ＋y b|2＝x2|a|2＋2xy a·b＋y2|b|2；③求|x a＋y b|.题型三求两向量的夹角【例3】已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，求a与b的夹角θ.分析：求出a，b的数量积a·b，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值．反思：求向量a与b的夹角θ的步骤：(1)计算a·b，|a|，|b|；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |计算cos θ；(3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四 证明两向量垂直【例4】 已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )． 分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零． 反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五 判断平面图形的形状【例5】 在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】 －8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】 解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29，∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12.又0≤θ≤π，∴θ＝π3.【例4】 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2. ∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2. ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】 解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2， 则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ， 所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12D ．23．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0， ∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0， 所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |. 3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3， 则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60. (2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案4平面向量的数量积4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ叫与的夹角.说明：当θ＝０时，与同向；当θ＝π时，与反向；当θ＝时，与垂直，记⊥；新知梳理：．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ=，.并规定向量与任何向量的数量积为.思考感悟：向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.向量的数量积写成•；符号“•”既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若，且，则b=0=0，不能推出=.因cos0.．“投影”的概念：作图：定义：||cos.思考感悟：=0投影为||=180||．向量的数量积的几何意义：||cos.两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，==，==||2或； ||≤||||；cos= 平面向量数量积的运算律= ===+说明：一般地，≠•＝•＝对点练习．下列叙述不正确的是A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律c.向量的数量积满足结合律D. ．||=3，||=4，向量+与-的位置关系为A.平行B.垂直c.夹角为D.不平行也不垂直已知|→|=，n →=，→•n →=9，则→,n →的夹角为A.150ºB.120ºc.60ºD.30º已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。
【合作探究】典例精析：例1．证明：变式1．已知||=6，||=4，与的夹角为60o，求：•.|+|与|-|.例2．已知||=12，||=9，，求与的夹角。
高一数学人教A版必修四教案：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 Word版含答案
2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a·b=b·a(交换律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.图3(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a⊥b⇔a·b=0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •. 4°cosθ=||||b a b a •. 5°|a ·b |≤|a ||b |. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1, |CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠AC B=90°, 从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC=60°,∠BAC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+k b与a-k b互相垂直?解:a+k b与a-k b互相垂直的条件是(a+k b)·(a-k b)=0,即a2-k2b2=0.∵a2=32=9,b2=42=16,∴9-16k2=0.3.∴k=±43时,a+k b与a-k b互相垂直.也就是说,当k=±4点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a、b满足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范围.解:∵|a|2=a2=9,∴|a|=3.又∵a·b=-12,∴|a·b|=12.∵|a·b|≤|a||b|,∴12≤3|b|,|b|≥4.故|b|的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=c·d=b·c=d·a,试问四边形ABCD的形状如何？解:∵AB+BC+CD+DA=0,即a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.同理可得a2+d2=b2+c2.由上两式可得a2=c2,且b2=d2,即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD,且BC=DA,∴ABCD是平行四边形.,即a=-c.故AB=CD又a·b=b·c=-a·b,即a·b=０,∴a⊥b,即AB⊥BC.综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --•作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --• 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=•b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21 )=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m-4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业。
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§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义
【学习目标】
1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；
2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功 ，其中θ是F 与s 的夹角.
（二）自主探究：（预习教材P103—P105） 探究：平面向量数量积的含义 问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？
1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的
数量积。
（或________）记作_________即a b ⋅ ＝___________________其中θ是a b 与的夹角。
__________叫做向量a b 在方向上的______。
我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？
2、平面向量数量积的性质：设a b 与均为非空向量： ①a b ⊥⇔ ___________ ②当a b 与同向时，a b ⋅ ＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅ ＝_______ _， =⋅a __________或a = ___________。
③a ⋅ ___________ _ ④cos =θ_______ ____
⑤.的几何意义：______________ ______________________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 吗？ 3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅ ＝___________；②()a b λ⋅ ＝___________；③()
a+b c ⋅ ＝___________。
问题4：我们知道，对任意,a b R ∈ ，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=- 对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2 ； ⑵()()
=-⋅+ . 二、合作探究 1、已知6a = ，8b = ，且与的夹角 120=θ，求a b ⋅ .
变式1：若
6a = ，8b = ，且//a b ，则a b ⋅ 是多少？ 变式2：若
6a = ，8b = ，且a b ⊥ ，则a b ⋅ 是多少？ 变式3：若
6a = ，8b = ，且与的夹角 60=θ，求()()32-⋅+。
变式4：若
6a = 4=，且()()7232-=-⋅+，求与的夹角。
2、在平行四边形ABCD 中，4AB =，2BC =，120BAD ∠= ，求AB AD ⋅ .
变式：判断下列命题的真假，并说明理由
.
⑴在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<
，则ABC 是锐角三角形；
⑵在ABC ∆中，若0
AB BC ⋅>
，则
ABC 是钝角三角形；
⑶ABC ∆为直角三角形，则0AB BC ⋅= .
三、交流展示
1、已知2a = ，3b = ，a 与b 的夹角为60 ，求：
⑴a b ⋅ ；
⑵22
a b - ；
⑶()()23a b a b +⋅+ ； ⑷a b + .
254==，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb + 与a kb - 互相垂直？
四、达标检测
（A 组必做，
B 组选做）
A 组：1. 设12a = ，9b = ，a b ⋅=- a 与b 的夹角θ为（ ）
A.45
B.135
C.60
D.120
2. 已知ABC ∆，AB a = ，AC b = ，当0a b ⋅= 时，ABC ∆为（ ）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.
等腰三角形
3. 已知平面内三个点()()()0,3,3,3,1,1A B C --，则向量AB 与BC 的夹角为（ ）
A.0
B.90
C.60
D.180
4. 已知3a = ，5b = ，且12a b ⋅= ，则向量a 在向量b 的方向上的投影为 .
5. 已知向量a 满足28a = ，则a = .
6. 已知6,4a b == ，a 与b 的夹角为30 ，求：⑴a b ⋅ ；⑵2a ；⑶2b .
B 组：
1. 已知6,a = a 与b 的夹角为60 ，且()()2372a b a b +⋅-=- ，则b 为（ ）
A.16
B.6
C.5
D.
4
2. 已知1,a b = ()a b - 与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）
A.60
B.
30 C.
135 D.45 3. 3,4a b == ，且a 与b 的夹角为150 ，则()2a b + = .
4. 已知2,5,3a b a b ==⋅=- ，则a b + = ， a b - = .
5. 设,m n 是两个单位向量，其夹角为60 ，求向量2a m n =+ 与23b n m =- 的夹角.。