北师大版数学八年级上册：第1章勾股定理复习课件
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北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m， 所以AB2+BC2=82+62=64+36=100. 又因为AC2=92=81， 所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°， 所以该农民挖的不合格．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
数学：第一章勾股定理复习课件(北师大版八年级上)
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由折叠知点D、F关于AE对称 Rt△RDE≌Rt△AEF从而 AF=AD=10cm DE=FE 在Rt△ABF中， ∠B=90°，AB=8，AF=10 ∵BF² =AF² -AB² 即BF² =10² 且BF＞ -8² 0 ∴BF=6 从而FC=BC-BF=10-6=4 设EC=X 则DE=（8-X） 在Rt△CEF 中，∠C=90° ∵EF² =EC² +CF²则 （8-X）² +4²解得X=3 =X² 答：EC=3cm。
1.利用勾股定理验证三个 半圆面积之间的关系 SA+SB=SC
A C B
2.如图两阴 影部分都是 正方形,若它 们面积之比 为1:3,则它 们的面积分 9和27 别为___
3.如果一个三角形三边为a,b,c, a2+b2=c2 满足_________,则这个三角 形是 直角三角形.
4.四根长度分别为3,4,5,6的 木棒,取其中三根组成三角形, 4 有__种取法,能构成直角三 3,4,5 角形的是________
2.判断满足下列条件的三角形是不 是直角三角形? (1)△ABC中, A=15 , B=75 ; (2)△ABC中,a=12,b=16,c=20; (3)三边满足a -b =c ;
2 2 2 o o
(4)三边满足(a+b)2-c2=2ab;
(5) A: B: C=1:5:6
3.如图,求阴影部分面积.
勾股定理复习
学习目标:
1.掌握勾股定理,会用拼图法验证 勾股定理.
2.能应用勾股定理解决实际问题.
3.掌握判断一个三角形是 直角三角形的条件.
1.勾股定理的内容是什么? 导学检测:
北师大版数学八年级上册：第1章 勾股定理 复习课件(共17张PPT)
问题导学:
2.你会用下面的图形验证勾股定
理吗? a
bc
c b
a
1.利用勾股定理验证三个 半圆面积之间的关系
SA+SB=SC
AC
B
2.如图两阴 影部分都是 正方形,若它 们面积之比 为1:3,则它 们的面积分 别为_9_和_27
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:47:03 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
则梯子底部在水平方向上
滑动几米?
4.一直角三角
形纸片直角边
AC=6,BC=8, A
现将直角边 AC沿AD折叠,
E
使C与E重合, C D
B
则CD=____.
5.折叠矩形的一边AD,使点
D落在点F处,已知
AB=8cm,BC=10cm,求EC.
A
D
E
F
B
C
A
综合训练:
1.一个直角三角形周长为60, 一直角边与斜边之比为4:5, 则此三角形三边分别为 __________ 2.如图,求半圆面积 6 6
北师大版数学八年级上册全册复习ppt课件
北师大版八年级上册 期末总复习典型题
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
北师大版初中八年级上册数学：第一章 勾股定理 复习课件
1m
x （x+1）
3
在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的池 塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向 池塘的A处，如果两只猴子所经过距离 相等，试问这棵树有多高？
D B.
C
A
专题三 折叠
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前 后图形全等，找到对应边、对应角相等便 可顺利解决折叠问题。
第一章 勾股定理 复习课件
一、知识要点
一、勾股定理的发现
勾股定理：直角R三角形两A 直角边的平方 和等于斜边的平方。 Q
B
C
P
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么：
a2+ b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
二、勾股定理的证明
b
c
a
b
a
a
c
c
b
c
b
c
a
1.几何体的内部路径最值的问题，一般画出 几何体截面。 2.利用两点之间线段最短及勾股定理求解。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米， 那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能 估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
Ｂ
例4：如图，长方体的
长为15cm，宽为10 cm，高
为20cm，点B离点C5cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？
A
5B
C
20
x （x+1）
3
在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的池 塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向 池塘的A处，如果两只猴子所经过距离 相等，试问这棵树有多高？
D B.
C
A
专题三 折叠
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前 后图形全等，找到对应边、对应角相等便 可顺利解决折叠问题。
第一章 勾股定理 复习课件
一、知识要点
一、勾股定理的发现
勾股定理：直角R三角形两A 直角边的平方 和等于斜边的平方。 Q
B
C
P
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么：
a2+ b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
二、勾股定理的证明
b
c
a
b
a
a
c
c
b
c
b
c
a
1.几何体的内部路径最值的问题，一般画出 几何体截面。 2.利用两点之间线段最短及勾股定理求解。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米， 那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能 估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
Ｂ
例4：如图，长方体的
长为15cm，宽为10 cm，高
为20cm，点B离点C5cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？
A
5B
C
20
北师版八年级数学上册第1章勾股定理PPT教学课件全套.p
12/12/2020
知识点 1 勾股定理的验证
知1－导
做一做
为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形
适当割补后得到图2、图3.
12/12/2020
图1
图2
图3
知1－导
（1）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式
表示出来； （2） 图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？
你们有哪些表示方式？与同伴进行交流. （3）你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？
4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则
BC的长是( C )
A．14
B．4
C．14或4 D．无法确定
2020/12/12
返回
5．(中考•漳州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5， BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线 段AD长为正整数，则点D的个数共有( C ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2020/12/12
设EC＝x cm，则EF＝DC－EC＝(8－x) cm. 在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC2＋FC2＝EF2， 即x2＋42＝(8－x)2. 解这个方程，得x＝3， 即EC的长为3 cm.
返回
2020/12/12
倍长中线法 15．(中考•柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，
2020/12/12
知1－练
1 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正
确的是( C )
A．b2＝c2－a2
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b2
2020/12/12
知1－练
知识点 1 勾股定理的验证
知1－导
做一做
为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形
适当割补后得到图2、图3.
12/12/2020
图1
图2
图3
知1－导
（1）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式
表示出来； （2） 图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？
你们有哪些表示方式？与同伴进行交流. （3）你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？
4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则
BC的长是( C )
A．14
B．4
C．14或4 D．无法确定
2020/12/12
返回
5．(中考•漳州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5， BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线 段AD长为正整数，则点D的个数共有( C ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2020/12/12
设EC＝x cm，则EF＝DC－EC＝(8－x) cm. 在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC2＋FC2＝EF2， 即x2＋42＝(8－x)2. 解这个方程，得x＝3， 即EC的长为3 cm.
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2020/12/12
倍长中线法 15．(中考•柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，
2020/12/12
知1－练
1 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正
确的是( C )
A．b2＝c2－a2
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b2
2020/12/12
知1－练
北师大版八年级上册第一章勾股定理 复习 课件 (共20张PPT)
感恩你的陪伴， 相约下一段旅程！
立体图形
平面图形
做中感悟（一）
3.若直角三角形的三边长分别是6，8，x ， 分类
则 x = 10或2 7 . 解析：两种可能 当第三边为斜边时, x= 62 82 =10 当第三边为直角边时, x= 8262= 28=2 7
智慧锦囊（一）
三个题目有什么共同特点？
已知直角三角形的两边 求第三边
做中感悟（二）
解：设BN=x 由折叠可得 DN=AN=9-x ∵D是BC的中点 ,BC=6 ∴BD=3 在Rt△DBN中, 由勾股定理得
DN2 =BD2+BN2 则（9-x）2=32+x2 解得 x=4 故线段BN的长为4．
方程思想智慧锦囊（二）方源自思想两个题目有什么共同特点？
已知直角三角形一边及另两 边的关系,求未知边长
边: 若三角形三边满足a2+b2=c2
是直角三角形
做中感悟（一）
S阴影部分 S S = 正方形ABCD - △ABE
1.如图，点E在正方形ABCD内， 满足∠AEB=90°， AE=5，BE=6，则阴影部分的面积是 46 .
解析：在Rt△ABE中,由勾股定理得 AB2=AE2+BE2=52+62 =61
的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落
在x轴正半轴上的点C处.
（1）A点的坐标是 ，B点的坐标 .
（2）求AB的长和点C的坐标.
（3）求直线CD的解析式．
A CB
3.乐凯中学有一块三角形劳动基地，量得两边长分别为40m，50m，第三 边上的高为30m，请你帮忙计算这块劳动基地的面积（结果保留根号）。
将未知量AB的高度设为xm ，则未知量AC=(x+1)m 又已知CB=5m 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC2=AB2+BC2 则有（x+1）2=x2+52 解得 x=12
北师大版八上数学第1章勾股定理：全章热门考点整合应用课件
13．求下列图形中阴影部分的面积． (1)如图①，BA⊥CA，AB＝8，AC＝6；
解：因为AB＝8，AC＝6，BA⊥AC， 所以BC2＝AB2＋AC2＝100.所以BC＝10.所以BO＝5. 因为 S△ABC＝12AB×AC＝12×8×6＝24，S 半圆＝12π×52＝252π， 所以 S 阴影＝252π－24.
n2
3
4
5…
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b4
6
8
10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并说
明你的理由．
解：是直角三角形．理由如下：因为a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2
＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，所以a2＋b2＝c2.
解：如图，△PQC是直角三角形．理由如下： 由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5， 可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a， 因为△PBQ为等边三角形，所以PQ＝PB＝4a. 在△PQC中，因为CQ＝AP＝3a， 所以PQ2＋CQ2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2，所以△PQC是直角 三角形．
8．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线 AD＝12.求：
7．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC， 以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，且△PBQ是等边三 角形，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【点拨】说明一个三角形是直角三角形的方法较 多，但在已知三角形各边长度或各边长度之间的关 系时，利用直角三角形的判定方法判断这个三角形 是否为直角三角形，是比较常用且比较方便的方 法．
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
北师大版八年级数学上册《勾股定理》复习课教学课件
北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件 北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件
北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件
三、典例分析
例1、（1）已知直角三角形的两条直角边为 6cm和8cm,斜边是___1_0_c_m__, 则斜边上的高是 _4__.8_c_m__。 （2）若直角三角形的三边长分别为3、 6、x， 则x2=___4__5_或_2_7___。（分类思想）
新北师大版
八年级上册第一章 勾股定理复习
一、导课
商高，西周初数学家。商高在公元前 1000年发现勾股定理并完成证明。此发现 早于毕达哥拉斯定理五百到六百年。勾股定 理是中国数学家的独立发现，在中国早有记 载。勾股定理，我们把它称为世界第一定理。 勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比 较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝 贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考 中的几个问题更进一步了解勾股定理的应用。
六、当堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，
2. ①若a=5，b=12，则c=___1_3_______； 3. ②若a=15，c=25，则b=__2_0________； 4. ③若c=61，b=60，则a=__1_1_______； 5.下列各组数中为勾股数的一组是（ D ）
A、7、12、13；B、1.5、2、2.5 C、3、4、7 D、8、15、17 3. 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
勾股定理的逆定理是判定一 个三角形是否是直角三角形 的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角 形的可能形状，
北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件
北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件
北师大版数学八年级上册第一章《勾股定理》复习课件
BC=15 20
3 2 3 2 3 2
专题四 转化思想（将军饮马）
5．如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝ 10 ，BD＝30 ，且CD＝30 ，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两 镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．请你在河岸l上选择自来水 厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少．
A．13 B．26 C．47 D．94
2、如图，直线l上由三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5 和11，则b 的面积为 ．
3、如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，分别以它的三边为直径作
B
A
例2：如图，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的
顶点A沿正方体的表面到顶点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短
路程的长是多少？
C′
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
A
B
例3.有一个牛奶盒，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火 腿肠粒，你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路线吗？
解：由题意知有三种展开方法，如 图.由勾股定理得
例3 如图，在 ABC中，D是BC边上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求 ABC的周长和面积.
判定 ABD、 ACD
在Rt ACD中已知
已知三边求周长，
A
为直角三角形
两边求第三边
已知底和高求面
积。
B
D
C
练习：装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装， 如果电梯的长、宽、高分别是1.5m, 1.5m, 2.2m,那么能放入电梯 内的木条的最大长度大约是多少米?你能估计出装修工人买的木条 至少是多少米吗?
3 2 3 2 3 2
专题四 转化思想（将军饮马）
5．如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝ 10 ，BD＝30 ，且CD＝30 ，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两 镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．请你在河岸l上选择自来水 厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少．
A．13 B．26 C．47 D．94
2、如图，直线l上由三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5 和11，则b 的面积为 ．
3、如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，分别以它的三边为直径作
B
A
例2：如图，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的
顶点A沿正方体的表面到顶点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短
路程的长是多少？
C′
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
A
B
例3.有一个牛奶盒，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火 腿肠粒，你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路线吗？
解：由题意知有三种展开方法，如 图.由勾股定理得
例3 如图，在 ABC中，D是BC边上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求 ABC的周长和面积.
判定 ABD、 ACD
在Rt ACD中已知
已知三边求周长，
A
为直角三角形
两边求第三边
已知底和高求面
积。
B
D
C
练习：装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装， 如果电梯的长、宽、高分别是1.5m, 1.5m, 2.2m,那么能放入电梯 内的木条的最大长度大约是多少米?你能估计出装修工人买的木条 至少是多少米吗?
北师版八年级上册第一章勾股定理的复习课件
B
பைடு நூலகம்
3
C
A
B
C
4
O
o
A
D
A
D
折叠问题
1、矩形纸片ＡＢＣD中，ＡD＝4cm，AB=10cm，按 如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？
E
A
B
D
（B）
FC
（C）
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,
求 1.CF 2.EC. 10
D
A
8-X
8 10
26 A
B
10
24
C
五、勾股定理的综合运用
勾股定理与其逆定理综合的问题
1.如图，在四边形ABCD中，∠B= 90◦
AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。
D
A
B
C
x z y 已知 x 6 y 8 z 102 0 ，则由
、
、
为三边的三角形是 三角形。
若△ABC的三边a、b、c满足 a2-6a+9+(b-4)2+(c-5)2=0，
E
8-X X
B
6
F4 C
一、情景导入
从行政
行政楼
楼A点走
教 学B 楼
A
到教学
楼B点怎
样走最
近？
你能说出
这样走的
理由吗？
在同一平面内，两点之间,线段最短
如图，学校有一块长方形花园，有极少数人
为了躲开拐角走“捷径”，在花园内走出了
一条“路”，仅仅少走了____4____步路, 却
踩伤了花草。 （假设1米为2步）