成教Ch5_1定积分的概念

i =1
n
S = ∫ [− f ( x)]dx
a
=− lim ∑ f (ξ i )∆xi
λ →0
b
n
O
a
b
x
i =1
∫a f ( x)dx =− S
y = f(x)
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b
=− ∫ f ( x)dx ．
a
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我们对面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号． 在一般情形下，定积分 ∫ f ( x)dx 的几何意义为：
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•在 [a, b]中任意插 入 n −1个分点． •得n个小区间： [xi−1 , xi ] (i=1, 2 , · · ·, n)． •区间[xi−1 , xi ]的长 度∆xi= xi −xi−1 ．
y = f(x) y f(ξ2) f(ξ1) f(ξi)∆xi f(ξi)
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二、定积分的定义
设函数f(x)在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入n-1个分点 a =x0<x1<x2< ··· <xn−1<xn=b， 把区间[a，b]分成n个小区间 [x0，x1]，[x1，x2]，··· ，[xn−1，xn] ， 各小段区间的长依次为 ∆x1=x1−x0，∆x2=x2−x1，··· ，∆xn =xn −xn−1． 任取ξi ∈[xi−1，xi] ，作函数值 f (ξi)与小区间长度∆xi的乘积 f (ξi) ∆xi (i=1，2，··· ，n) ， 并作出和 S=
0
∑
∑
∑
∑
∫
1
0
x 2 dx = lim
λ →0
∑
i =1
n
f(ξ i ) ∆x i = lim 1 (1+ 1 )(2+ 1 ) = 1 ． n →∞ n n 3 6
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利用几何意义求定积分
求积分
∫0 (1 − x)dx
1
．
解 以y=1−x为曲边，以区间[0, 1]为底的曲边梯形为一直角 三角形， 所以
•在 [a, b]中任意插 入 n −1个分点． •得n个小区间： [xi−1 , xi ] (i=1, 2 , · · ·, n)． •区间[xi−1 , xi ]的长 度∆xi= xi −xi−1 ．
y = f(x) y f(ξ2) f(ξ1) f(ξi)∆xi f(ξi)
O
a ξ 1 x1 ξ 2 x2
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定积分的几何意义
在区间[a，b]上，当f(x)≥0时，积分
∫a f ( x)dx
曲边梯形的面积； y
b
，
在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x 轴所围成的
y = f(x)
∫a f ( x)dx
O a
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b
，
b x
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∫a f ( x)dx
T2
1
b
，
S=
注：
∫T v(t )dt ．
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变 量的记法无关，即
b b b
∫a f ( x)dx = ∫a f (t )dt = ∫a f (u )du ．
(2)和 ∑ f (ξ i )∆xi 通常称为f (x)的积分和．
i =1 n
[a，b]上的定积分，记作
∫a f ( x)dx
积分上限
b
，
积分和
即
积分
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
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根据定积分的定义，曲边梯形的面积为 A= 变速直线运动的路程为
a b
它是介于x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 x=a、x=b之间的各部 分面积的代数和． y y = f(x) + a O − + b x
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利用定义计算定积分
例 利用定义计算定积分 x 2 dx ．

∫
1
i 解 把区间[0, 1]分成 n 等份， 分点为x i = , i=1, 2, ··· , n−1 ； n 1 每个小区间[xi−1，xi]的长度∆xi= ，i=1，2，··· ，n ； n i 取ξi =xi = ， i=1，2，··· ，n ． 作和 n n n n i 2 1 1 n 2 f(ξ i) ∆x i = ( ) · = 3 i ξ i 2 ∆x i = n n i =1 n i =1 i =1 i =1 1 1 1 1 1 (1+ )(2+ )． = 3 n (n+1)(2n+1) = n n 6 n 6 当λ→0时，n →∞．
∑ f (ξi )∆xi ．
i =1
n
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记λ = max{∆x 1, ∆x 2 ,··· , ∆x n}, 如果不论对[a, b]怎样分法， 也不论在小区间[x i−1, x i]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时，和 S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间
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定积分的可积性问题
如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a, b]上可 积． 定理1 设f (x)在区间[a，b]上连续，则f (x) 在[a，b]上可积． 定理2 设f (x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在[a，b]上可积．
1 (1 − x)dx = ． ∫0 2
1
1 其面积为 ． 2
1
y
y=1-x
O
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1
x
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作业：P185（习题5.1 ）
1(2)，2(1)，3(1)(2)
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当f(x)≤0时，由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b 与x 轴所围 成的曲边梯形位于x 轴的下方， 定积分在几何上表示上述曲线 边梯形面积的负值： S = ∫ [− f ( x)]dx
a b b
y
y = − f(x)
= lim ∑ [− f (ξ i )]∆xi
λ →0
O
a ξ 1 x1 ξ 2 x2
xi-1 ξi xi
xn-1 b x
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形． •任取ξi ∈[xi−1，xi ] ，以f (ξ i) ∆xi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． •曲边梯形的面积近似为：A≈
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∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
．
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i =1 n
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所求变速直线运动路程S 的近似值为 S ≈ ∑ v(τ i )∆ti ．
i =1
n
记λ= max{∆t1，∆t2，··· ，∆tn}．则变速直线运动的路程为： S
=
λ →0
lim ∑ v(τ i )∆ti ．
i =1
n
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第五章 积分
• 定积分的概念 • 定积分的性质 • 微积分基本定理
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§5.1 定积分概念
一、定积分问题的产生
曲边梯形、曲边梯形的面积 变速直线运动的路程
二、定积分定义
定积分的定义、可积性问题 定积分的几何意义 利用定义计算定积分 利用几何意义求定积分
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一、定积分问题的引入
1．曲边梯形的面积 曲边梯形： 设函数y=f(x)在区间[a，b]上非负、连续．由直线x=a、x=b、 y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为 曲边． y y = f(x)
x=a O a
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x=b b
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2．变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T1 , T2]上 t 的连续函数, 且v(t)≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S ． 在时间间隔[T1 , T2]内任意插入n−1个分点 T1=t0<t1<t2< · · · <tn−1<tn=T2 , 把[T 1 , T 2]分成n个小段 [t0, t1], [t1, t2], · · · , [tn−1, tn] , 各小段时间的长依次为 ∆t1=t1−t0, ∆t2=t2−t1, · · · , ∆tn =tn − tn−1． 任取τi∈[ti−1, ti] , 在时间间隔[ti−1, ti]内物体所经过的路程近 似为∆S ≈ v(τi) ∆t i (i=1, 2 , · · · , n)． 所求变速直线运动路程S 的近似值为 S ≈ ∑ v(τ i )∆ti ．
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y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A ≈ A1+ A2+ A3+ A4