一阶线性微分方程组

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第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20）归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解，并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26）中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

一阶线性微分方程

在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述物体在重力作用下的自由落体运动，如速度和位移随时间的变化

第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论

第二讲一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时）一、目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念.二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式.三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩(3.6)则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ⊂ 上连续.为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及12()()()()n f x f x F x f x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式()()dY A x Y F x dx=+ (3.7)如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成()dY A x Y dx= (3.8)我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组.如果(3.8)与(3.7)中()A x 相同, 则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似, 我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理.定理 3.1′ 如果(3.7)中的()A x 及()F x 在区间[],I a b =上连续, 则对于[],a b 上任一0x 以及任意给定的0Y , 方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在[],a b 上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成. 它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间[],a b 上存在.2. 一阶线性齐次方程组的一般理论⑴一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.定理3.2 如果11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()m m m n n nm y x y x y x y x y x y x Y x Y x Y x y x y x y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是方程组(3.8)的m 个解，则1122m m Y C Y C Y C Y =+++ (3.9)也是(3.8)的解，其中12,,,m C C C 是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解.证明因为(1,2,,)i Y i m = 是(3.8)的解，即()()()i i dY x A x Y x dx = (1,2,,)i m =成立. 再由1122[()()()]m m d C Y x C Y x C Y x dx+++ 1212()()()m m dY x dY x dY x C C C dx dx dx=+++ 1122()()()()()()m m C A x Y x C A x Y x C A x Y x =+++ 1122()[()()()]m m A x C Y x C Y x C Y x =+++这就证明了(3.9)是(3.8)的解. 定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念.定义3.1 设12(),(),,()m Y x Y x Y x 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数. 如果存在m 个不全为零的常数12,,,m C C C ，使得1122()()()0m m C Y x C Y x C Y x +++= 在区间I 上恒成立, 则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关, 否则称它们在区间I 上线性无关.显然，两个向量函数12(),()Y x Y x 的对应分量成比例是它们在区间I 上线性相关的充要条件. 另外, 如果在向量组中有一零向量, 则它们在区间I 上线性相关.若12(),(),,()n Y x Y x Y x 是(3.8)的n 个解, 称下面的矩阵为这个解组对应的矩阵[]12()(),(),,()n x Y x Y x Y x Φ=111212122212()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦它的第i 个列向量为()i Y x . 如果这组解是线性无关的, 则称此矩阵为(3.8)的基本解矩阵例1 向量函数它21cos ()1,x Y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22sin 1()1x Y x x ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在任何区间(a , b )上是线性相关的. 事实上取121C C == 有1122()()0.C Y x C Y x +≡例2 向量函数3313(),x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 6626()2x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦在(-∞,+∞)上线性无关. 事实上，要使得1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞成立，或写成纯量形式，有3123123120,20,0,x x x C C e C C e C C e ⎧+=⎪-=⎨⎪+=⎩ (,)x ∈-∞+∞显然, 仅当120C C == 时, 才能使上面三个恒等式同时成立, 即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3 向量函数212()0,x x e Y x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2220()x x Y x e e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在(,)-∞+∞上线性无关. 事实上，由于1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞相当于纯量形式212222120,0,0,x x x x C e C e C e C e ----⎧≡⎪⎪≡⎨⎪--≡⎪⎩ (,)x ∈-∞+∞由此可以看出：仅当120C C ==时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组. 这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.下面介绍n 个n 维向量函数组12(),(),,()n Y x Y x Y x (3.10)在其定义区间I 上线性相关与线性无关的判别准则.我们考察由这些列向量所组成的行列式111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x W x y x y x y x =通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronsky)行列式.定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I 上线性相关，则它们的朗斯基行列式()W x 在I 上恒等于零.证明依假设，存在不全为零的常数12,,,n C C C ,使得1122()()()0,n n C Y x C Y x C Y x +++≡x I ∈把上式写成纯量形式, 有111212112122221122()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++≡⎧⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ x I ∈这是关于12,,,n C C C 的线性齐次代数方程组，且它对任一x I ∈，都有非零解12,,,n C C C .根据线性代数知识，它的系数行列式W (x )对任一x I ∈都为零.故在I 上有W (x )≡0.证毕.对于一般的向量函数组, 定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数1(),0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22()0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论.定理3.4 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是方程组(3.8)的n 个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W (x )在I 上恒不为零. 证明(反证法) 如果有0x I ∈使得0()0W x =，考虑线性齐次代数方程组111021201012102220201102200()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式0()0W x =, 所以它存在非零解21(,,,)T T n C C C C =, 即1102200()()()0n n CY x C Y x C Y x +++=考虑函数 1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++由定理3.2知函数()Y x 是(3.8)的解，而且它满足初始条件0()0Y x ≡.另一方面，()0Y x ≡也是方程(3.8)的满足初值条件()0Y x =的解. 因此，根据定理3.1′有()0,Y x x I ≡∈即1122()()()0,n n CY x C Y x C Y x +++≡ x I ∈因为11,,,n C C C 不全为零，从而12(),(),,()n Y x Y x Y x 在I上线性相关，这与假设矛盾，定理证毕. 由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推论.推论3.1 如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W (x )在区间I 上的某一点0x 处不等于零，即0()0W x ≠, 则向量组(3.10)在I 上线性无关.实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题.推论3.2 如果方程组(3.8)的n 个解的朗斯基行列式W (x )在其定义区间I 上某一点0x 等于零，即0()0W x =, 则该解组在I 上必线性相关.实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题.推论3.3 方程组(3.8)的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W (x )在I 上任一点不为零.条件的充分性由推论3.1立即可以得到．必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕．3. 一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n 个线性无关解称为它的基本解组. 显然基本解组对应的矩阵中基本解矩阵.例4 易于验证向量函数11()1,()1tx t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦222()1()2t x t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 是方程组 ,xy = 2y x y =+的基本解组.定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组.证明由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件10200100010(),(),,(),000001n Y x Y x Y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x I ∈(3.11)的n 个解12(),(),,()n Y x Y x Y x . 由于它们所构成的朗斯基行列式()W x 在0x x = 处有010000100()100001W x ==≠因而，由推论3.3知 12(),(),,()n Y x Y x Y x 是基本解组.满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组. 标准基本解组对应的矩阵称为标准基本解矩阵. 显然, 标准基本解矩阵在0x=时的值为单位阵. 下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了.定理3.6 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++(3.12)是齐次方程组(3.8)的通解,其中12,,,n C C C 为n 个任意常数.证明我们仅需证明如下两点.首先，由定理3.2，对任意一组常数12,,,n C C C ,(3.12)是齐次方程组(3.8)的解.其次，证明：对于任何满足初始条件(3.2)′的齐次方程组(3.8)的解()Y x ，都可找到常12,,,n C C C ,使得1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++为此，作方程组11022000()()()()n n C Y x C Y x C Y x Y x +++=或写成纯量形式11102120101012102220202011022000()()(),()()(),()()(),n n n n n n n nn n C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(3.13)这是一个线性非齐次代数方程组，它的系数行列式恰是线性无关解12(),(),,()n Y x Y x Y x 的朗斯基行列式()W x 在0x x =处的值，由定理3.4知0()0W x ≠，从而方程组(3.13)有唯一解21(,,,)T T n C C C C =令1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++显然，()Y x 是(3.8)的一个解，且与()Y x 满足同一个初始条件，由解的唯一性，()()Y x Y x ≡定理得证.推论3.4 线性齐次方程组(3.8)的线性无关解的个数不能多于n 个.实际上，设121(),(),,()n Y x Y x Y x +是(3.8)的任意n +1个解. 现任取其中n 个解，如果它们线性相关，这时易证n +1个解当然也线性相关.如果它们线性无关，从而构成(3.8)的基本解组，由定理3.6，余下的这个解可由基本解组线性表出，这就说明这n +1个解是线性相关的.至此，我们证明了一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解的全体构成一个n 维线性空间. 4．刘维尔公式齐次方程组(3.8)的解和其系数之间有下列联系. 定理3.7 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的n 个解，则这n 个解的朗斯基行列式与方程组(3.8)的系数有如下关系式11220[()()()]0()()xnn x a t a t a t dtW x W x e+++⎰=(3.14)这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.证明仅证n = 2情形，n 的情形类似．11111222211222()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （3.15）设11121()(),()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12222()()()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是（3.15）的两个解，它们的朗斯基行列式11122122()()()()()y x y x W x y x y x =1112111221222122()()()()()()()()()dy x dy x y x y x dW x dx dx dy x dy x dxy x y x dxdx=+因为12(),()Y x Y x 分别是（3.15）的解，所以有 11111112212121112221()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ,12111212222221122222()()()()dy a x y a x y dx dy a x y a x ydx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩分别代入()dW x dx中，然后对每一个行列式进行化简，第一个行列式的第二行乘以12()a x -再与第一行相加，第二个行列式的第一行乘以21()a x -再与第二行相加，具体计算如下1111122111121222111221222111222121122222()()()()()a y a y a y a y y x y x dW x y x y x a y a y a y a y dx++=+++1111111211121122212222212222()()()()()()a y a y y x y x a a W x y x y x a y a y =+=+即1122()[()()]()dW x a x a x W x dx=+11220[()()]()xx a t a t dtW x ce+⎰=或11220[()()]0()()xx a t a t dtW x W x e+⎰=在代数学中，1()nkkk ax =∑称为矩阵()A x 的迹，记作()trA t ，因此刘维尔公式可表为0()0()()xx trA t dtW x W x e⎰=从公式（3.14）可以有显看出，齐次方程组（3.8）的几个解所构成的朗斯基行列式()W x 或者恒为零，或者恒不为零．本讲要点：1．一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间．2．向量函数组和向量解组相关性判定向量函数组向量解组线性相关()0W x ⇒≡ 线性相关()0W x ⇔=线性无关0()0W x ⇐≠ 线性无关()0W x ⇔≠3．齐次线性方程组通解基本定理解空间是n 维线性空间．4．刘维尔公式解与系数关系．作业：练习3.3 1., 2., 3.。

线性微分方程组

线性微分方程组线性微分方程组是一类十分重要的微分方程，在数学理论、物理学和工程应用等各个领域都能发挥着重要作用。

它们被用来求解许多实际问题，如热传导、振动理论、脉冲传播、催化反应动力学等等。

线性微分方程是描述实际系统问题运动规律的理论和工具，是解决实际问题的重要依据，因此，对其有着较深入的研究，并获得了较为广泛的应用。

线性微分方程组的形式是一类常见的微分方程，或者称为常微分方程组。

它以一维或多维的函数表示，比如，一阶线性普通微分方程组可以表示为：$$frac{dy}{dt}=A(t)y+f(t)$$其中$A(t)$为系数矩阵，$f(t)$为右项函数。

类似地，二阶线性普通微分方程组可以表示为：$$frac{d^2y}{dt^2}=A(t)frac{dy}{dt}+f(t)$$其中$A(t)$为系数矩阵，$f(t)$为右项函数。

线性微分方程组的解有两种主要方法：函数积分法和行列式法。

函数积分法的基本思想是，将给定的线性微分方程组表示为积分形式$$y(t)=int_a^t x(t_1)e^{-int_{t_1}^tA(s)ds}dt_1+int_a^tf(t_1)e^{-int_{t_1}^tA(s)ds}dt_1+y(a)$$首先，划分整个函数空间，将空间划分为离散的有限段，并使用欧拉公式、把积分式分解为相加的积分段，最后将每一段的结果求和即可解得函数的解。

行列式法则是用行列式法则以一种简洁的方式来计算线性微分方程组。

该方法快速求解矩阵方程，其基本思想是使用行列式展开式，将矩阵形式的方程转换成一元方程组来解决。

线性微分方程组在有限元法、积分变换法、波动方程法、系数正交分解法等数值解法中都能得到应用。

其中，有限元法是科学家们研究热传导、振动模式等实际问题的算法之一。

积分变换法和波动方程法提供了一种新的解决线性微分方程组的方法，这种方法可以将原来的微分方程组转换成一系列积分方程，之后利用积分公式，从而求解线性微分方程组的解。

一阶线性常微分方程组

一阶线性常微分方程组
一阶线性常微分方程组:
1.什么是一阶线性常微分方程组？
一阶线性常微分方程组是一组由若干一阶常微分方程组成的系统，这些方程采用同一组参数，其解可以由另一组函数作为其近似解。

2.一阶线性常微分方程组的性质
(1)一阶线性常微分方程组的性质是指当函数f(x)为一阶常数时，方程本身满足常数性。

(2)一阶线性常微分方程的的形式可以用dy/dx=bg(x)来表示，其中b 为常数，g(x)为函数。

(3)一阶线性常微分方程组的解是非线性的，因为它的解可以使用另一组函数替代d积分，以更快的速度解决问题。

3.一阶线性常微分方程组的应用
(1)一阶线性常微分方程组可用于解决复杂的物理、生物、经济和工程问题。

(2)一阶线性常微分方程组可以用于预测模型的动态变化。

(3)一阶线性常微分方程组可以用来描述复杂的流体力学系统的运动学。

(4)一阶线性常微分方程组可以用来分析复杂的社会系统变化。

(5)一阶线性常微分方程组可以被应用到生态学系统中，以研究物种及其数量在时间变化上的变化。

(6)一阶线性常微分方程组可以用于测量复杂系统中多种不同参数相互作用的结果，以更好的理解非线性的数据。

(7)一阶线性常微分方程组可以用于估计序列数据的运动趋势及其变化规律。

高数-一阶线性微分方程

(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2

一阶微分方程的常见类型及解法

解法多样性
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。

一阶线性微分方程组解析

第4章一阶线性微分方程组一内容提要1．基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1）的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。

若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。

如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。

满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。

令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。

一阶微分方程组矩阵求解方法

一阶微分方程组矩阵求解方法引言：微分方程组是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

一阶微分方程组矩阵求解方法是解决微分方程组的一种有效途径。

本文将介绍一阶微分方程组矩阵求解的基本原理和方法。

一、基本概念：1. 线性微分方程组：由一系列线性微分方程组成的方程组。

2. 矩阵：由一组数按一定规律排列成的矩形阵列。

3. 矩阵乘法：矩阵A与矩阵B相乘得到的新矩阵C，满足C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

二、一阶微分方程组矩阵表示：对于一个含有n个未知函数的一阶微分方程组，可以将其表示为矩阵形式，即：dx/dt = Ax其中，x是一个n维列向量，A是一个n×n的矩阵，t是自变量。

三、一阶微分方程组矩阵求解方法：1. 特征值与特征向量法：通过求解矩阵A的特征方程和特征向量，可以得到一阶微分方程组的通解。

具体步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程：det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

（2）求解特征方程得到的特征值。

（3）对每个特征值，求解(A-λI)x=0得到对应的特征向量。

（4）将特征向量按照一定规律组合，得到一阶微分方程组的通解。

2. 线性代数方法：利用矩阵的行列式、逆矩阵和矩阵乘法等基本性质，可以求解一阶微分方程组。

具体步骤如下：（1）将一阶微分方程组表示为矩阵形式dx/dt = Ax。

（2）求解矩阵A的行列式，若行列式不为零，则矩阵可逆。

（3）若A可逆，则方程组的通解为x = e^(At)C，其中C为任意常数列向量。

（4）若A不可逆，则方程组的通解为x = e^(At)(C1 + tC2)，其中C1和C2为任意常数列向量。

四、实例分析：考虑一个简单的一阶微分方程组：dx/dt = 2x + ydy/dt = -3x + 4y将其表示为矩阵形式，得到：dX/dt = AX其中，X = [x, y]是一个二维列向量，A是一个2×2的矩阵，具体形式为：A = [2 1-3 4]根据特征值与特征向量法或线性代数方法，可以求解出该方程组的通解。

高数同济74一阶线性微分方程

迭代步骤
在每个步长内，通过计算多个点的斜率并加权平均得到增量函数，再利用该增量函数更新解的值。
误差分析
龙格-库塔方法的局部截断误差比欧拉方法和改进欧拉方法更高阶，全局误差也更小。
适用范围
适用于求解各种类型的一阶常微分方程初值问题，尤其是非线性问题。该方法具有高精度、稳定性和收敛性好的特点，在实际应用中广泛使用。
解的连续性与可微性
解的连续性
解的高阶可微性
若$y(x)$是方程在区间$I$上的解，则 $y(x)$在$I$上连续。
若$P(x)$和$Q(x)$在$I$上具有直到$n$ 阶的连续导数，则方程的解$y(x)$在$I$ 上也具有直到$n$阶的连续导数。
解的可微性
若$y(x)$是方程在区间$I$上的解，且 $P(x)$和$Q(x)$在$I$上可微，则$y(x)$ 在$I$上可微，并且其导数$y'(x)$满足方程。
求解曲线长度
02
通过一阶线性微分方程，可以推导出曲线的长度公式，进而计
算曲线的长度。
研究曲线性质
03
利用一阶线性微分方程，可以研究曲线的凹凸性、拐点等几何
性质。
在物理学中的应用
描述运动规律
一阶线性微分方程在物理学中广泛应用于描述物体的运动规律，如速度、加速度等。
解决振动问题
对于简谐振动等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来描述物体的振动状态。
Hale Waihona Puke 03 一阶线性微分方程的解法
变量分离法
01
02
03
基本思想
将方程中的变量分离到等式两边，使一边只含未知数，另一边为已知函数。
适用条件
一阶线性微分方程中，当未知函数的系数仅为自变量的函数时，可考虑使用变量分离法。

三种形式的一阶线性微分方程

三种形式的一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一种十分常见的数学模型，它可以用来描述物理学、化学、生物学、经济学等不同领域的现象。

一般来说，一阶线性微分方程可以分为三种形式：常数项、单变量和多变量。

常数项常数项一阶线性微分方程是由如下形式构成的：du/dt + c_1u = c_2其中，c_1和c_2是常量，u是未知函数。

这种微分方程用来描述某一个量在时间上的变化，可以用来描述物理学、生物学、化学等多个领域的现象。

例如，在化学反应中，可以用常数项一阶线性微分方程来描述某物质在反应过程中的变化。

单变量单变量一阶线性微分方程可以用如下的形式表示：du/dt + c_1u + f(t) = 0其中，c_1是常数，f(t)是t的函数，u是未知函数。

这一类微分方程可以用来描述某个量在时间上受到外部力引起的变化，而这个外部力可以是化学反应、物理过程、生物进化等等。

它们可以用来模拟许多实际中的现象，比如物质在特定温度和压强下扩散的速度，物质在特定条件下经历反应时的变化，动物在自然环境中的生态系统改变等等。

多变量多变量一阶线性微分方程的一般形式为：du/dt + c_1u + f(t,u) = 0其中，c_1是常数，f(t,u)是两个变量的函数，u是未知函数。

这类微分方程可以用来描述某些量在时间上受外部力和其他量的影响而发生变化。

它们可以用来模拟复杂多变的系统，比如矩阵方程组，用来解决物理系统、生物系统、经济系统等的问题。

总结一阶线性微分方程有三种形式：常数项、单变量和多变量，它们可以用来描述物理学、化学、生物学、经济学等多个领域的现象，并可以用来模拟实际中的场景，进而帮助我们解决实际中的问题。

42一阶微分方程——一阶线性

1 2x x2

1 x2

2x x2
，
通解为：
y

Ce P ( x )dx

Ce
(
2x x2

1 x2
)dx
ln x2 1
Ce x
，
1
即 y Cx2 e x 。
将初始条件 y x1 e 代入通解，得C 1 ，
1
故所求特解为 y x2 e x 。
4
4.2 一阶微分方程
14
4.2 一阶微分方程
例 2．求方程 dy 4 y x y 的通解。
dx x
解：把方程 dy 4 y x y 改写为 dy 4 y x y ，
dx x
dx x
令 z y 或 y z2 ，则有 dy 2z dz ， dx dx
代入原方程，得 2z dz 4z2 zx ， dx x
8
4.2 一阶微分方程
方法 2 （用通解公式法）
y 1 y sin x ， P( x) 1 ， Q( x) sin x ，
x
x
x
x
ye1 xdx[ sinxe1 xdxdxC] x
1 x[sin xxxdxC]1 x[cosxC].
9

C1e

1 x
dx

C1 x

C x
(C

C1 )
，
令
y

C(x) x
，则得
y

C( x) x

C(x) x2
，代入原方程得
C( x) x

讨论一阶线性齐次微分方程组的通解结构

讨论一阶线性齐次微分方程组的通解结构
一阶线性齐次微分方程组是一类常见的微分方程组，它们的通解结构可以用来描述系统的行为。

一阶线性齐次微分方程组的通解结构可以用一个矩阵来表示，这个矩阵称为系统矩阵。

系统矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是方程组中的未知量的个数。

系统矩阵的每一行都代表一个方程，每一列代表一个未知量。

系统矩阵的每一行都可以用一个向量来表示，这个向量称为系统向量。

系统矩阵的特征值和特征向量可以用来求解一阶线性齐次微分方程组的通解。

特征值是系统矩阵的根，它们可以用来求解方程组的通解。

特征向量是系统矩阵的特征值对应的向量，它们可以用来求解方程组的通解。

一阶线性齐次微分方程组的通解结构可以用系统矩阵的特征值和特征向量来求解。

特征值和特征向量可以用来求解方程组的通解，这些通解可以用来描述系统的行为。

总之，一阶线性齐次微分方程组的通解结构可以用系统矩阵的特征值和特征向量来求解。

这些特征值和特征向量可以用来求解方程组的通解，从而描述系统的行为。

§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例

2x
+ 2(c1e
x
+ c2e
2x
) c3e
2x
= ( 4c2 c3 )e 2 x + c1e x .
dx dt = y + z dy 的通解。例 3．求微分方程组 = z + x 的通解。． dt dz = x + y dt
d ( x y) 由第一个方程和第二个方程得：解：由第一个方程和第二个方程得： = ( x y ) ， dt
则称方程组（）齐次的，若 gi ( x )= 0 ( i =1, 2, L, n) ，则称方程组（1）为齐次的，否则称为非齐次的非齐次的。否则称为非齐次的。
则称方程组（）若 aij ( x ) ( i , j =1, 2, L n)为常数，则称方程组（1）为一阶常系数线性微分方程组。一阶常系数线性微分方程组。
x y = C1e ，
同理得 x z = C 2 e t ，
dx = 2 x (C 1 + C 2 ) e t , 由上面两式得 dt
t
解得 x = e 2 t [ ∫ (C 1 + C 2 ) e t e 2 t dt + C 3 ]
1 = e [ (C1 + C 2 )e 3t + C 3 ], 3
2t
即 x = C 3e
y = C 3e
2t
2t
1 + (C 2 2 C 1 )e t ， 3
1 + (C 1 + C 2 ) e t ， 3
1 + (C 1 2 C 2 )e t 。 3
z = C 3e
2t
作
业
习题七（P249） P249）

特殊结构的一阶线性微分方程组的解法

特殊结构的一阶线性微分方程组的解法
字来描述：
一阶线性微分方程组是由一阶常微分方程组构成的系统，其中每条方程都是一个一阶常微分方程，每条方程都可以用代数形式简单表示，只有一个未知函数及其一阶偏导数。

一阶线性微分方程组的解是满足所有方程条件的实数函数，满足整个系统的一组通解，可用来表示一个特定的状态方程。

特殊的一阶线性微分方程组由一个以上的未知变量组成，即每个变量都是独立的，且每个变量的偏导数由同样的函数组成，但可以取不同的参数，因此特殊的一阶线性微分方程组的解法有其特殊性。

要求解一个特殊的一阶线性微分方程组，首先需要对其特征方程进行分析，即将特征方程改写成特征方程的通解型。

具体而言，首先将方程组中的函数，偏导数和常数项，用适当的方法统一起来，并将其转换为一般化的“参数-未知量”形式；然后使用不同的参数来构建不同的特征方程，计算其特征组；最后，结合每个特征方程，会形成一个线性方程组，再使用回归分析方法，即可求得特殊一阶线性微分方程组所需要的解。

最后，要指出的是，由于特殊的一阶线性微分方程组有特殊结构，应该特殊对待，因此应当使用特殊的解法来处理该类问题。

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满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。

在（3．5）式A (，的每一个元素都为常数)x 即A (⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==nn n2n12n 22211n 1211a a a a a a a a ) a A x )(x F AY dxdY+= (3.7) 叫做常系数线性非齐次微分方程组.AY dxdY= (3.8) 叫做常系数线性齐次微分方程组.2．一阶线性微分方程组的通解结构.定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组)()(x F Y x A dxdY+=中的A )(x 及F )(x 在区间I=[]b a ,上连续，则对于[]b a ,上任一点0x 以及任意给定的Y 0，方程组 )()(x F Y x A dxdY+=的满足初始条件的解在[]b a ,上存在且唯一。

1)向量函数线性相关性及其判别法则定义：设)(),(),(21x Y x Y x Y m 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数。

如果存在m 个不全为零的常数,,,,21m C C C 使得0)()()(2211=+++x Y C x Y C x Y C m m 恒成立，则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关；否则它们在区间I 上线性无关。

判别法则：①定义法②朗斯基（Wronski ）行列式判别法：对于列向量组成的行列式)( )()( )()(1111x y x y x y x y x W nn n n =通常把它称为n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 的朗斯基（Wronski ）行列式。

定理1 如果n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 在区间I 线性相关，则们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在I 上恒等于零。

逆定理未必成立。

如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0)(Y02)(221x x x x Y朗斯基行列式)(x W 在I 上恒等于零，但它们却是线性无关。

定理2 如果n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上某一点0x 处不等于零，即,0)(0≠x W 则向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 在区间I 线性无关。

逆定理未必成立。

同前例。

但如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解，则上述两定理及其逆定理均成立。

即定理 3 一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性无关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处不等于零；解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处恒等于零2).基本解组及其有关结论定义：一阶线性齐次微分方程组Y x A dx dY)(=的n 个线性无关解称为它的基本解组判别：一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是一个基本解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处不等于零。

结论：①一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=必存在基本解组。

②基本解组有无穷多个。

3）一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=通解的结构定理：如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的基本解组，则其线性组合Y =)(x )()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ 是线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的通解。

结论：线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解的全体构成一n 维线性空间。

4）解与系数的关系，即刘维尔公式定理：如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解，则这n 个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的系数的关系是： []⎰=+++xx nn dtt a t a t a e x W x W 02211)()()(0)()(此式称为刘维尔（Liouville ）公式.由此公式可以看出n 个解的朗斯基行列式)(x W 或者恒为零，或者恒不为零∑=nk kkx a1)(称为矩阵A )(x 的迹。

记作)(x trA 。

一阶线性非齐次方程组的通解结构定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组)()(x F Y x A dxdY+=的通解等于对应的齐次微分方程组 Y x A dx dY )(= 的通解与)()(x F Y x A dxdY+=的一个特解之和。

即)(x F AY dxdY +=的通解为Y =)(x )()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ )(~x Y + 其中)()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ 为对应的齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的通解，)(~x Y 是)()(x F Y x A dxdY +=的一个特解。

求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的一个基本解组)(),(),(21x Y x Y x Y n 构成基本解矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Φ)(y )(y )( (x))(nn n1111x x x y y x n 齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的通解为 C X x Y )()(Φ= 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n 21C C C C线性非齐次方程组)(x F AY dxdY+=的通解为 ⎰-ΦΦ+Φ=x x dt t F t x C x x Y 0)()()()()(1。

结论：线性非齐次方程组)()(x F Y x A dxdY+=解的全体并不构成n+1维线性空间。

3．常系数线性微分方程组的解法常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）① 求特征根：即特征方程式det(A-0)21222211n 1211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=λλλλnn n n n a a a a a a a a a E 的解。

②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。

（详略）常系数线性非齐次微分方程组的解法：①求相应的齐次微分方程组的基本解组； ② 用待定系数法求特解。

（详略）二．典型例题及解题方法简介（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。

例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：0)()(2=++y x q dxdyx p dx y d 解：令21dxdy,y y y ==则 0)()(dx dy ,d , 122221221=++==y x q y x p dx dy dxy y dx dy ∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==12221)()(yx q y x p dxdy y dxdy 例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-020322x dtdy t y dt xd 解：令,, dtdx, 321x y x x x ===则有 dtdx x dt dx 321dt dy , == ∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31332212t x dt dx x dtdx x dt dx （一）一般线性微分方程组的求解问题对于一般线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(= ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法。