北京四中高中数学-01随机事件及其概率
北京市第四中学中考数学总复习 专题训练 概率初步 1 随机事件与概率初步(无答案)
随机事件与概率初步一、随机事件(一) 很多事件的发生具有“偶然性”1．必然事件在一定条件下进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．2．不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．3．随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为．辨析：2008年奥运会在北京举行，全世界均在白天看到北京奥运会开幕式的实况直播梁老师买彩票中500万大奖梁老师的自行车轮胎被扎破例1： (1) 下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨B．打开电视机，正在直播足球比赛C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1D．买一张彩票，一定会中一等奖(2) 下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生（二）不同随机事件发生的可能性的大小是不一定相同的辨析：梁老师买彩票中500万大奖的可能性与买电影票座位号是单号的可能性相比，哪个可能性更高？二、概率有些随机事件发生的可能性的大小是确定的, 是这个事件本身所固有的特征辨析：骰子掷10次，有6次掷得6点，那么是否说明，骰子掷得6点的可能性最大？这个确定的可能性的大小, 用“概率”来描述一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．概率的定义：一般地，在试验中，如果事件A发生的稳定在某个附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，必然事件的概率是，不可能事件的概率是；事件发生的可能性越大，则它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近于0对于事件A，≤P(A)≤．例2：(1)下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等(2)气象台预报“本市明天降水概率是80％”．对此信息，下列说法正确的是( )．A．本市明天将有80％的地区降水B．本市明天将有80％的时间降水C．明天肯定下雨D．明天降水的可能性比较大例3：关于概率与频率，下列说法正确的是（）A 频率等于概率B 当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近C 当试验次数很大时，概率会稳定在频率附近D 试验得到的频率与概率不可能相等例4：下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率．抛掷结果5次50次300次800次3200次6000次9999次出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006出现正面的频率20％62％ 45％51％ 49.4％49.7％50.1％(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20％，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______；(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到______次正 面，正面出现的频率是______；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时， 得到______次反面，反面出现的频率是______；(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是______．例5： (1) 某个事件发生的概率是21，这意味着( )． A ．在两次重复实验中该事件必有一次发生B ．在一次实验中没有发生，下次肯定发生C ．在一次实验中已经发生，下次肯定不发生D ．每次实验中事件发生的可能性是50％(2) 掷骰子时，前10次掷出4次6点，那么掷骰子出6点的概率是 ．例6：投篮次数n8 10 12 9 16 10 进球次数m6 8 97 12 7 进球频率nm (1)(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?思考：小刚做掷硬币的游戏，得到结论：掷均匀的硬币两次，会出现三种情况： 两正，一正一反，两反，所以出现一正一反的概率是31．他的结论对吗? 说说你的理由．。
概率论与数理统计知识点总结!
《概率论与数理统计》第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n nn A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅ A 1所含样本点数：24234=⋅⋅ A 2所含样本点数： 363423=⋅⋅C A 3所含样本点数：4433=⋅C注：由概率定义得出的几个性质： 1、0<P （A ）<1 2、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
北京高二数学知识点概率
北京高二数学知识点概率概率是数学中一个非常重要的概念，也是我们日常生活中经常会遇到的内容。
在高二数学中，概率是一个必学的知识点。
本文将为大家详细介绍北京高二数学中的概率知识点，包括概率的基本概念、概率的计算方法、概率实际应用等方面。
1. 概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在数学中，我们通常用一个数值来表示概率，该数值介于0到1之间。
当事件发生的可能性为0时，概率为0；当事件发生的可能性为1时，概率为1。
对于一个随机试验，它的样本空间是指试验所有可能结果的集合。
而样本空间中的每个元素都称为一个基本事件。
事件是由一个或多个基本事件组成的。
事件的发生是指基本事件中包含了该事件。
2. 概率的计算方法概率的计算方法分为经典概率和统计概率两种。
经典概率适用于基本事件个数有限且等可能的情况。
计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A中基本事件的个数，n(S)表示样本空间中基本事件的总个数。
统计概率适用于基本事件个数无限或不等可能的情况。
计算公式为：P(A) = lim(n->∞) (n(A) / n)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验进行的次数。
3. 概率的实际应用概率在现实生活中有广泛应用，例如：- 航空公司利用概率来计算航班准点率，预测航班延误的概率。
- 保险公司利用概率来计算保险索赔的风险和赔付的概率。
- 股票市场利用概率来预测股票价格的涨跌概率。
- 医生利用概率来评估疾病的风险和治疗方案的效果。
4. 概率的进阶知识点除了基本的概率概念和计算方法之外，高二数学中还会进一步学习条件概率、事件独立性、排列组合等内容。
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
高中数学 第3章 概率 3.1 随机事件及其概率 3.1.1 随机现象 3.1.2 随机事件的概率教
3.1 随机事件及其概率3.1.1 随机现象 3.1.2 随机事件的概率庖丁巧解牛知识·巧学一、随机事件和试验1.随机事件的概念在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.比如：“李强射击一次，不中靶”，“掷一枚硬币，出现反面”，“在一定条件下，一粒发芽的种子会分多少支，1支，2支，还是3支，…”都是随机事件.不可能事件和必然事件虽然具有稳定性，但它们可视为随机事件的两个极端情况，这样我们可完整认识随机事件，完整地理解概率的意义.误区警示“在一定条件下”是不可缺少的，任何事件都是在一定条件下发生的.如种子在条件（温度、水分、土壤、阳光）下，就会发芽接穗，这是必然事件；如果没有这些条件种子就不发芽，发芽就成了不可能事件.2.随机试验对于不可能事件、必然事件我们没有必要专门研究它，生活中只要注意就行了.对于随机事件，知道它发生的可能性的大小是非常重要的，它能为我们的决策提供关键性的依据.要了解随机事件发生的可能性的大小，最直接的方法就是试验（观察）.随机试验需要满足下述条件：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确知道的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在试验前却不能肯定会出现哪个结果.二、随机事件的概率1.频率和概率随机事件的频率，指该事件发生的次数与试验总次数的比值，在相同条件下，大量重复试验时，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率.概率从数量上反映了随机事件可能性的大小.概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与日常所说的“可能性”是不同的，也就说单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”. 辨析比较 事件A 的频率所反映的虽然也是事件A 发生的可能性的大小，但还不是事件A 的概率.频率是随着试验次数的改变而变化的.概率是一个常数.概率可以看作频率在理论上的期望值，频率在大量重复试验的前提下可以近似地看作事件发生的可能性的大小.2.概率的范围由于事件A 在n 次试验中发生的次数至少为0，至多为n ，因此频率0≤nn A ≤1.概率也在0与1之间.归纳总结 对于任一事件A ，有0≤P(A)≤1，其中P(Ω)=1，P(Φ)=0,Ω表示必然事件，Φ表示不可能事件.典题·热题知识点一 概率概念的理解例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件?(1)某地1月1日刮西北风；(2)当x 是实数时，x 2≥0；(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；(4)一个电影院某天的上座率超过50%.思路分析：根据事件发生与否，由随机事件、必然事件、不可能事件的定义作出判断.在一定条件下，必然发生的、不可能发生的、可能发生也可能不发生的事件分别称为必然事件、不可能事件、随机事件.解：(1)(4)是随机事件；(2)是必然事件；(3)是不可能事件.深化升华 必然事件和不可能事件又称为确定事件，反映的就是在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果的确定性现象.例2 下列说法正确的是（ ）(1)频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度.(2)每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数.(3)每个试验结果出现的频率之和不一定等于1.(4)概率就是频率.A.(1)B.(1)(2)(4)C.(1)(2)D.(3)(4) 思路分析：由于在单次试验中随机事件的发生具有不确定性，但在大量重复试验中频率又具有稳定性，其稳定值才是概率.这是偶然性和必然性的对立统一.答案：C误区警示对于（2）和（3），并没有说明是在同一组试验下，在不同组的试验中，随机事件的频率不一定相等，试验次数如果很多的话，频率值相近.知识点二随机事件概率估计例3 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？思路分析：本题利用频率和概率的定义.事件A出现的频数n A与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率f n（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率. 解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.（2）由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.深化升华概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.例4 2个人生日在同一天的概率是____________(一年按365天计算).思路分析：两个人生日在同一天可能是365天中的任意一天，共有365种可能，而如果去掉限定条件，两个人的生日均可以在任一天，共可能有365×365种.所以2个人生日在同一天的概率是365365365⨯. 答案：3651 变式方法 如果研究3个人生日在同一天的概率呢？3个人生日在同一天依然有365种可能.而3个人的生日，其实共可能有365×365×365种.所以3个人生日在同一天的概率是365365365365⨯⨯. 问题·探究误区陷阱探究问题 生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了.”探究过程：在一次试验中某事件发生的可能性有大小，是不依人们的意志为转移的客观存在，直观上，我们意识到这种可能性的大小，通常总是表现为大量试验中该事件出现的频繁程度，在多次试验里，出现频繁的，发生的可能性大；出现稀少的，发生的可能性小.经过大量试验后，尽管频率的值本身不确定，但随着试验次数的增加，频率愈来愈稳定在某一常数附近，试验次数愈大，频率与这个常数出现大偏差的情况越稀少，因此，可用这个常数来刻画该事件发生的可能性的大小，把这个常数作为该事件的概率，而在一次试验中，即使发生的概率是99%的事件也可能不出现，以上这些都体现了随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.探究结论：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，上面的话是错误的.。
2024高考数学随机事件与概率分布
2024高考数学随机事件与概率分布随机事件与概率分布是数学中重要的概念和工具，在2024年的高考数学考试中也将成为不可或缺的考点。
本文将对随机事件与概率分布进行详细的介绍和讨论。
一、随机事件的定义和性质1. 随机事件的定义随机事件是指在一次试验中发生或者不发生的事情。
试验是指具有确定性结果的随机现象，而随机事件则是试验结果的某种子集。
例如，在掷一枚硬币的试验中，出现正面和出现反面可以看作是两个随机事件。
2. 随机事件的性质随机事件具有以下性质：（1）必然事件：必然事件是指一定会发生的事件，它对应于样本空间中的全部样本点。
在抛一枚硬币的试验中，必然事件可以是出现正面或出现反面。
（2）不可能事件：不可能事件是指一定不会发生的事件，它对应于样本空间中的空集。
在抛一枚硬币的试验中，不可能事件可以是出现数字。
（3）对立事件：对立事件是指在一次试验中不能同时发生的两个事件。
例如，在掷一枚硬币的试验中，出现正面和出现反面是对立事件。
二、概率的基本概念和性质1. 概率的定义概率是对随机事件发生可能性的度量。
设S是一次试验的样本空间，A是S的一个事件，P(A)表示事件A发生的概率，通常用来衡量事件A在试验中出现的可能性大小。
2. 概率的性质概率具有以下性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1。
（2）若必然事件S的概率为1，那么对于任意事件A，有P(A) +P(A的对立事件) = 1。
（3）加法公式：对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
三、离散型随机变量与概率分布1. 随机变量的定义随机变量是指赋予每个样本点一个实数的函数。
它用于描述试验结果和对应的数字之间的关系。
2. 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量是指取有限个或可数个数值的随机变量。
概率分布则是离散型随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
例如，在一次掷骰子的试验中，骰子的点数可以是1、2、3、4、5或6，因此点数是一个离散型随机变量。
北京四中---高中数学高考综合复习 专题三十三 概率
高中数学高考综合复习专题三十三概率一、知识网络二、高考考点1、等可能性事件的概率问题；2、互斥事件有一个发生的概率问题；3、相互独立事件同时发生的概率问题；4、上述概率公式的综合运用问题。
三、知识要点（一）随机事件的概率1．随机事件在一定的条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
2．随机事件的概率在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率P（A）∈[0，1]。
提醒：注意频率与概率的区别和联系。
设随机事件A在n次试验中发生了m次，则比值叫做随机事件A的频率（或相对频率），在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率有稳定性——总在某个常数附近摆动，并且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小，此时，这个常数即为随机事件A的概率，概率可以看作频率在理论上的期望值。
3．等可能性事件的概率（古典概型）（1）等可能性事件如果在随机试验中可能出现有限个不同的试验结果，并且这些试验结果出现的可能性都相等，那么这一试验中的某一事件A称为等可能性事件。
（2）古典概型公式（Ⅰ）基本事件一次试验连同可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
认知：基本事件是不可能再分的事件，一次试验中只能出现一个基本事件。
通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成。
（Ⅱ）概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率（Ⅲ）集合解释在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合Ⅰ（这n个结果就是集合Ⅰ的n个元素），各基本事件均对应于集合Ⅰ的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于含有m个元素的子集A，则。
高中数学随机事件及其概率ppt
注意点：
1.随机事件A的概率范围
必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况. 因此，随机事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1
2.频率与概率的关系
(1)联系: 随着试验次数的增加, 频率会在概率的 附近摆动,并趋于稳定. 在实际问题中,若事件的概率未知,常用 频率作为它的估计值.
(2)区别: 频率本身是随机的,在试验前不能确定, 做同样次数或不同次数的重复试验得 到的事件的频率都可能不同. 而概率是一个确定数,是客观存在的, 与每次试验无关.
②至少有1枚出现正面向上是必然事件；
③出现50枚正面向上50枚正面向下是随机事件，
以上说法中正确说法的个数为
（B ）
A．0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.下列说法正确的是
(C)
A.任何事件的概率总是在（0，1）之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率
D.概率是随机的，在试验前Βιβλιοθήκη 能确定114530.524.
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同理可求得2000年、2001年和2002年男婴出生的频率分别为：
0.521,0.512,0.512.
(2)各年男婴出生的频率在0.51~0.53之间，故该市男婴出生
的概率约是0.52.
练一练
1.抛掷100枚质地均匀的硬币，有下列一些说法:
①全部出现正面向上是不可能事件；
作业布置
1.课本P91: 练习第1、2、3题 课本P91: 习题7.1 感受 •理解第1、3题
2.设计一个求某个随机事件概率的实验方案, 并体会随机事件的概率与哪些因素有关.
3.课后探究: 查找以下网址,阅读有关材料,结合生活中 的概率问题,写一篇对概率的体会短文。
北京四中高中数学高清课堂高中数学课堂之几何概型
几何概型北京四中一、回顾1.随机事件的概率2.互斥事件有一个发生的概率()()()P A B P A P B()1()P A P A3.古典概型的特征（1）结果有限（2）等可能4.古典概型概率的计算()AP A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数知识讲解问题1：往一个方格中投针，针尖可能落在方格中的任何一点上.这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？问题2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？问题3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.二、几何概型1.几何概型定义：事件A 可以理解为区域的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．2.几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的．3.几何概型概率的计算构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积A ()()()P A =注：点的长度为0，线的面积为0，面的体积为0.典型例题例1 在一根6m 的绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m 的概率．解析：思考：概率为0的事件会发生吗？概率为1的事件一定会发生吗？例2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解析：例3 在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？解析：例4为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．解析：例5两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．解析：知识拓展3.随机模拟试验——蒲丰实验1777年的一天，法国数学家蒲丰(Buffon)忽发奇想，邀请了许多亲朋好友来到他家里。
高中数学高考总复习---随机事件及其概率知识讲解及考点梳理
高中数学高考总复习---随机事件及其概率知识讲解及考点梳理【考纲要求】1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2、了解两个互斥事件的概率加法公式。
【知识网络】【考点梳理】知识点一、事件的有关概念1．事件在一定条件下出现的某种结果。
在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能：（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件；（3）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。
必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母A、B、C……表示。
2.基本事件一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。
如果一次试验中可能出现的结果有n个，那么这个试验由n个基本事件组成。
3．基本事件的特点（1）不能或不必分解为更小的随机事件；（2）不同的基本事件不可能同时发生；（3）一次试验中的基本事件是彼此互斥的；（4）试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘.知识点二、频率与概率1.频数与频率在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率。
2.概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，则这个常数就叫事件A的概率，记作。
概率的基本性质①任何事件的概率的取值范围：；②P（必然事件）＝1，P（不可能事件）＝0。
3.频率与概率的区别与联系①频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；②随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率；③概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
2024年高考数学---随机事件、古典概型
2.互斥事件与对立事件
名称 互斥事件
对立事件
定义
若A∩B为不可能事件,那么称事 件A与事件B互斥
若A∩B为不可能事件,A∪B为 必然事件,那么称事件A与事件B 互为对立事件
符号表示 A∩B=⌀
A∩B=⌀ 且A∪B=Ω (Ω为全集)
3.概率的基本性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B).
基础篇
考点一 随机事件的概率 1.随机事件的频率与概率 1)频数与频率:在相同的条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现, 称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比 例fn(A)= nA 为事件A出现的频率.
n
2)概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A 的概率用P(A)表示.
对角面(如平面AA1C1C),有6种情况,
在同一个平面的有6+6=12个结果,构成三棱锥的有70-12=58个结果; ②从正方体的8个顶点中任取3个,共有 C83 =56个结果,其中所取3点与中心 共面,则这4个点在同一对角面上,共有6C34 =24个结果,因此,所选3点与中 心构成三棱锥的有56-24=32个结果. 故从正方体的8个顶点和中心中任选4个,则这4个点恰好构成三棱锥的个 数为58+32=90,故所求概率P= 90 = 5 .故选D.
高中数学概率：随机事件的概率知识总结+练习
要求层次重难点事件与概率随机事件的概率 A （1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．②了解两个互斥事件的概率加法公式．（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．随机事件的运算 B两个互斥事件的概率加法公式C古典概型古典概型 B（一）知识内容1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C，，，来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用 表示．例题精讲高考要求概率：随机事件的概率板块一：事件及样本空间（二）典例分析【例1】 下列说法：①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买1000张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次2．其中不正确的说法有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】 下列事件：①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合A B C ，，，满足A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”， 画师抽到死签； ⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”； ⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”；⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”；⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化； ⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； ⑸买彩票中一等奖；⑹若平面α平面m β=，n β∥，n α∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； ⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件； ⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．43214321⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水D ．明天该地区降水的可能性为85%【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．（一）知识内容1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ；2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+ 若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-．<教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．（二）主要方法解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：板块二：随机事件的概率计算第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件n次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n kn nmP AnP A B P A P BP A B P A P Bn P k C p p-⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件:互斥事件：独立事件：次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：⑴随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵互斥事件有一个发生的概率；⑶相互独立事件同时发生的概率；⑷n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；⑸n次独立重复试验中在第k次才首次发生的概率；⑹对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k次才发生”等．（三）典例分析【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．①③④D．①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：抽查件数50100200300500合格件数4795192285478根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数810129101660100进球次数68977124574进球频率（1）在表中直接填写进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确命题的序号为．【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A=“取出的球是白球”；⑵B=“取出的球是蓝球”；⑶C=“取出的球是黄球”；⑷D=“取出的球是白球或黄球”．【例6】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，判断A与B是否为独立事件．【例7】设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是（）A．M N+B．M N⋅C．M N M N⋅+⋅D．M N⋅【例8】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【例9】 ⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①A 与C ；②B 与E ；③B 与D ；④B 与C ；⑤C 与E ．【例10】 抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D【例11】 每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（ ） A ．正确的 B ．错误的 C ．模棱两可的 D ．有歧义的【例12】 甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．【例13】 已知A B ，是相互独立事件，且()0.3P A =，()0.6P B =，则()P A B ⋅=______．【例14】 某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）A ．120B ．110C ．25D ．35【例15】 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴ 摸出2个或3个白球； ⑵ 至少摸出一个黑球．【例16】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品．【例17】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例18】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？【例19】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例20】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例21】从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有一个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率【例22】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例23】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为．【例24】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；【例25】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例26】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．【例27】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，A B C，求：⑴()()()，，P A P B P C；⑵1张奖券的中奖概率；⑶1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【例28】把10张卡片分别写上0129，，，，后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A，“抽到小于7的奇数”为事件B，求()P A，()P B和()P A B．【例29】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率．【例30】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型A B AB O该血型的人所占比例（%）2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【例31】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例32】某射手射击一次射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.120.320.270.11，，，，计算这名射手射击一次：⑴射中9环或8环的概率；⑵至少射中7环的概率；⑶至多射中8环的概率．【例33】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例34】在12345，，，，条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着134，，路车的到来．假如汽车经过该站的次数平均来说2345，，，路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．【例35】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例36】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．【例37】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例38】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例39】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.90.80.7，，．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．【例40】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）【例41】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例42】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例43】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．【例44】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例45】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A=“刮风”，B=“下雨”，求()()P B A P A B，．【例46】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则P B A=．()_____【例47】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例48】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例49】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|)P B A．P A B与(|)。
北京四中---概率的计算
概率的计算撰稿：徐晓阳审稿：郭伦责编：张杨目标认知：重点：古典概型的理解，列举法(列表、画树状图)求概率，用频率估计概率.难点：具体问题具体分析后选择方法求出概率.要点评述与题例分析(一)从事件发生的所有可能结果出发，考虑每种可能结果所占的可能性大小的值，然后将事件A所包含的所有可能结果的各自可能性相加1、一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( )A、 B、 C、 D、解析：选C.袋中每个球被取出的机会均等，从而从袋中随机摸出一个球的所有可能情况共有８种，其中3种情况是黄球，故摸到黄球的概率是.错误思考方法：(1)任取出一球无外乎红球或黄球两种可能情况，黄球是其中一种情况，所以选B；(2)任取出一球无外乎红球或黄球两种可能情况，但其中红球多，故取出红球的可能性比取出黄球的可能性大，所以选D.评述：显然此处思路中仍有可取的地方，只是在思考取出红球的可能性比取出黄球的可能性大多少时没想清楚到底大多少，此问题恰是此处的难点.2、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，它获得食物的概率是多少？解析：蚂蚁可以吃到食物的概率为，因首先蚂蚁爬向左、中、右三个大树杈的概率各是，爬向左边树杈没有食物，爬向中间或右边树杈时又各有的概率可以吃到食物，故蚂蚁可以吃到食物的概率为.也可换一个角度思考，从图左边第一个小树杈顺时针数起，蚂蚁爬到每个树杈的概率依次为：，，，，，，，可以吃到食物的情况只有两个的情况.经典错误：很多同学忽视对古典概型的理解，认为蚂蚁总共面对７条路的选择，其中有食物的路为２条，故蚂蚁可以吃到食物的概率为.评述：在用穷举法求概率时，一定要关注你所举出的各种情况发生的可能性到底是多少？若有其中的一些情况你不能说清楚其可能性大小，则可以肯定你的思考方法有问题，所有情况没列全或分列的标准不统一，需重新考虑.(二)该试验所有可能发生的结果有n种，每种结果发生的可能性相等.直接考虑事件A 包含的可能结果种数为m，则事件A发生的概率为：.3、(本小题5分)在一个布口袋中装着只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球.(1)试用树状图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果；(2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率.解：(1)画树形图来找出所有可能情况或用列表法思考所有情况列表如下(2)由树形图可得，该试验的所有可能情况有9种，其中乙摸到与甲相同颜色球有三种情况，每种情况出现的机会均等，乙取胜的概率为4、一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同．(1)如果从中随机摸出一个小球，那么摸到蓝色小球的概率是多少？(2)小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小李再随机摸出一个小球，记下颜色．当2个小球的颜色相同时，小王赢；当2个小球的颜色不同时，小李赢．请你分析这个游戏规则对双方是否公平？并用列表法或画树状图法加以说明．解析：(1)每个小球被摸到的机会均等，故P(摸到蓝色小球)=．(2)列表思考所有可能情况：由上表可知小王和小李先后摸球的所有情况有9种，每种情况出现的可能性相同，其中小王嬴的情况有3种，小李嬴的情况有6种∴ P(小王赢)==， P(小李赢)==．∵≠∴此游戏规则对双方是不公平的.5、如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字. 小力和小明利用这个转盘做游戏：若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜. 你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由.解:列表考虑所有可能情况：由列表可知，由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，∴P(小力获胜)=，P(小明获胜)=.∴这个游戏对双方不公平.6、“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方做“石头”、“剪刀”、“布”中手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负继续比赛，假定甲、乙、丙三人都是等可能的做这三种手势，那么：(1)一次比赛中三人不分胜负的概率是多少？(2)比赛中一人胜，二人负的概率是多少？解析：当一次实验要涉及3个或3个以上的因素时，列表就有些不方便了，通常采用树形图.为方便表述，我们可以设：剪刀—A，石头—B，布—C，画出3人出手势的树形图：由树形图可以看出，所有可能出现的情况共有27种，(1)其中不分胜负的情况有：AAA，BBB，CCC，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA共9种；所以，P(三人不分胜负)=；(2)一人胜二人负的有：AAB，ABA，ACC，BAA，BBC，BCB，CBB，CAC，CCA，共9种；所以，P(一人胜二人负)==.7、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：(1)三辆车全部直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转；(3)至少有两辆车向左转.解析：用树图表示出三辆车经过路口时所有可能出现的选择：由树形图可以看出，三辆车经过路口时所有可能出现的选择共有27种，(1)三辆车全部继续直行的结果只有一个，所以，P(三辆车全部继续直行)=；(2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3个，所以，P(两辆车向右转，一辆车向左转)==；(3)至少有两辆车向左转的结果有7个，所以，P(至少有两辆车向左转)=.评述：以上几例给我们提供了：(1)计数一种随机试验所有可能情况的方法：列表法和画树形图法，显然两种方法都很有效地不重不漏地计数出随机试验的所有可能出现结果，其中树形图法要比列表法适用范围稍广一些，比如后两题若用列表法就有些不合适，但树形图若对题目理解不深会有些困难，比如例7会有些同学将树形图画成：学生错误的树状图(2)概率的古典定义，古典概型的概率计算：计数该试验所有可能发生的结果有n种，每种结果发生的可能性相等，考虑事件A 包含的可能结果种数m，则事件A发生的概率为：.这里要关注“每种结果发生的可能性相等”，这对我们今后进一步学习概率解决概率问题很重要. (三)用频率估计概率8、在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数摸到白球的频率(1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________；(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是_________；(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是: 在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)? 请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.解析：(1)0.6(2)0.6 ， 0.4 ；(3)白球12，黑球8；(4)尝试自己设计出一种方案？评述：(1)概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用实验估算概率的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，虽然随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个常数就是概率(统计概率的定义)，但从实质上来讲，频率仍是一个随机数，而概率却是一个科学的确定值，所以用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差.(2)用频率估计概率可以解决一些实际问题，在生产实践上人们经常用蒙特卡罗方法：又称随机抽样或统计试验方法，其基本原理及思想是，当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，他们可以通过某种试验的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用他们作为问题的解.其思想依据是：理论概率=试验概率.常用方法是：先做记号，再数记号，然后统计频率，分析规律概括得出概率.9、为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼_________条．解析：设池塘里有鱼n条，则可解得n=20000.评述：这是一道统计概率知识的具体应用题，最早出现为七年级活动课，很多同学可能都还有印象，用这一思路我们可以较为准确地估计很多我们想知道的数据，如：混合杂粮中各种粮食的比例，面对一批产品的正品率等.10、小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看.解析：随实验次数的增加，可以看出石子落在⊙O内(含⊙O上)的频率趋近0.5，有理由相信⊙O面积会占封闭图形ABC面积的一半，所以求出封闭图形ABC的面积为2.。
课程表(北京四中网校高三高考文理全套课程)
椭圆、双曲线和抛物线(一)
圆
直线
充分条件与必要条件
四种命题
平面向量2
平面向量1
平面向量的应用
平面向量的坐标运算
平面向量的数量积
平面向量的性质及运算
不等式的性质与应用（在线辅导回放）
不等式的证明及应用2
不等式的证明及应用1
不等式的解法及应用
不等式的证明
多面体与旋转体
直线与平面（二）
直线与平面（一）
立体几何(二)
立体几何（一）
高三数学 空间向量与立体几何二
高三数学 有关垂直问题与有关成角问题二
高三数学 有关垂直问题与有关成角问题一
高三数学 有关距离问题及简单几何体二
高三数学 有关距离问题及简单几何体一
高三数学 02有关平行问题3
三角函数1
三角函数的定义、图象及性质2
三角函数的定义、图象及性质1
三角函数（二）
三角函数（一）
数列的综合应用（在线辅导回放）
数列（在线辅导回放）
数列的综合问题 2
数列的综合问题 1
数列2
数列1
数列的极限
数列求和、数列的极限及数学归纳法
等差、等比数列的性质及应用
数列
数列
函数（在线辅导回放）
函数的图像及变换2
函数的图像及变换1
基本初等函数2
基本初等函数1
函数.方程.不等式（二）
函数.方程.不等式（一）
幂函数、指数函数、对数函数及综合应用
二次函数
函数的概念和性质
函数（三）
随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率
北 京 四 中编稿老师：李静 审稿老师：赵菁 责 编：马风忠随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率 1、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，了解等可能性及事件的概率的意义，会用排列、组合的公式计算一些等可能性事件的概率。
的概率的意义，会用排列、组合的公式计算一些等可能性事件的概率。
2、了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式。
、了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式。
3、通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。
、通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。
本周知识重点：(等可能性事件的概率)(古典概型)问题。
问题。
本周知识难点：本周知识难点：随机事件的发生存在着规律性。
随机事件的发生存在着规律性。
授课要点梳理：授课要点梳理：1、随机事件及有关概念、随机事件及有关概念 事件：在一定条件下出现的某种结果。
那么在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能： ①必然发生(U)----必然事件(确定性事件) ②必然不发生(V)----不可能事件(确定性事件) ③可能发生也可能不发生(A)----随机事件(或称偶然事件) 2、概率的(统计)定义：在相同的条件下，进行大量重复性试验，事件A 发生的频率P 稳定于某个常数，则称这个常数P 为事件A 的概率，记为P(A)，即：mP(A).n =[说明] (1)任意事件发生的概率：0≤P(A)≤1 而且：①P(U)=1 ②P(V)=0 (2)概率可以看作是频率理论上的期望值，概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
3、等可能性事件的概率：、等可能性事件的概率：(1)定义：如果一次试验中可能出现的结果有有限个，且所有的结果出现的可能性都相等，这样的事件(试验连同出现的结果)叫做等可能性事件。
高中数学随机事件与概率
高中数学随机事件与概率
随机事件指的是在试验过程中，可能发生也可能不发生的事件。
而概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
高中数学中，常常涉及到两类随机事件：简单事件和复合事件。
简单事件指的是只包含一个基本结果的随机事件，比如掷一次骰子，出现点数1的事件。
复合事件指的是包含多个基本结果的随机事件，比如掷两次硬币，出现正反的事件。
在概率论中，随机事件可以用概率来描述其发生的可能性大小。
概率的定义是：事件发生的可能性大小与样本空间中包含事件的基本结果个数的比值。
用数学表达式表示为：P(A) = n(A) /
n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A包
含的基本结果个数，n(S)表示样本空间中包含的基本结果个数。
需要注意的是，概率是一个介于0和1之间的数值，表示事件发生的可能性大小。
当事件不可能发生时，概率为0；当事件
一定会发生时，概率为1。
当事件发生的可能性大小等于样本
空间中包含的基本结果个数时，概率为1/2，表示事件发生和
不发生的可能性大小相等。
在高中数学中，概率的计算方法包括：古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率是基于样本空间中基本结果的等可能性，通过计算事件包含的基本结果个数来计算概率。
几何概率是通
过几何方法计算事件发生的概率。
统计概率则是通过大量实验的结果来估计事件发生的概率。
总之，高中数学中的随机事件与概率是描述随机现象的工具，可以帮助我们理解和解决与概率相关的问题。
高考理科数学总复习例题讲解概率与统计 01随机事件及其概率
随机事件及其概率（无答案）
——北京四中：苗金利
一、知识要点
.基本事件空间：
不可能事件
必然事件
随机事件
基本事件空间
.频率与概率
.概率的加法公式
互斥事件与对立事件
概率的一般加法公式：如果事件、不互斥，那么事件
、有一个发生的概率为：
二、典型例题
例.指出下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件？
（）导体导电时发热；
（）抛一块石头，下落；
（）在标准大气压下且温度低于℃时冰融化；
（）某人射击一次中靶；
（）掷一枚硬币，正面向上；
（）摸彩票中头奖
例. 将骰子先后抛掷次.
（）写出这个试验的基本事件和基本事件空间
（）其中事件：向上的点数之和为包括多少个基本事件？（）向上点数之和是的概率是多少？
（）向上点数之差的绝对值为的概率是多少？
（）向上的点数较大的为的概率是多少？
（）向上的点数之和为偶数的概率是多少？
例. 在，，，…，这个数字中，任取个数字，那么
“这三个数字的和大于”这一事件是( )
.必然事件 .不可能事件
.随机事件 .以上选项均不正确
例. 随机事件的频率满足( )
. << ≤≤
例. 下面事件是必然事件的有( )
①如果、∈，那么··
② >
③
.① .② .③ .①②
例.甲、乙人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是
，则甲不胜的概率是 ( )
. . . .。
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随机事件及其概率（无答案）
——北京四中：苗金利
一、知识要点
1.基本事件空间：
不可能事件
必然事件
随机事件
基本事件空间
2.频率与概率
3.概率的加法公式
互斥事件与对立事件
概率的一般加法公式：如果事件A 、B 不互斥，那么事件 A 、B 有一个发生的概率为：
()()()()P A B P A P B P A B =+- A B A B =
中基本事件数+中基本事件数-中基本事件数试验的基本事件总数
二、典型例题
例1. 指出下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些 是随机事件？
（1）导体导电时发热；
（2）抛一块石头，下落；
（3）在标准大气压下且温度低于0℃时冰融化；
（4）某人射击一次中靶；
（5）掷一枚硬币，正面向上；
（6）摸彩票中头奖
例2. 将骰子先后抛掷2次.
（1）写出这个试验的基本事件和基本事件空间
（2）其中事件：向上的点数之和为5包括多少个基本事件？
（3）向上点数之和是5的概率是多少？
（4）向上点数之差的绝对值为2的概率是多少？
（5）向上的点数较大的为3的概率是多少？
（6）向上的点数之和为偶数的概率是多少？
例3. 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么 “这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均不正确
例4. 随机事件A 的频率n
m 满足( ) A.n m =0 B.n m =1 C.0<n m <1 D.0≤n
m ≤1
例5. 下面事件是必然事件的有( )
①如果a 、b ∈R ，那么a ·b =b ·a
② 3+5>10
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
A.①
B.②
C.③
D.①②
例6. 甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是
2
1，乙获胜的概率是 31，则甲不胜的概率是( ) A.
21 B.65 C.61 D.3
2 例7. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互 斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
例8. 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
例9．（1）从1，2，3，4，5中任取三个数组成一个没有重复
数字的三位数，求：所得数为偶数的概率.
（2）从0，1，2，3，4中任取三个数组成一个没有重复
数字的三位数，求：所得数为偶数的概率.。