小学奥数必学几何五大模型及例题解析

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

一、等积变换模型一一很重要，小学常考

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图右图S i : = a :b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S^ ACD = S^ BCD 反之，如果S A ACD =

S A BCD，则可知直线AB平行于CD

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

经典例题：

（第四届”迎春杯欄试题）如图‘三角形A眈的面积为1 ,其中AE = 3AB ,，三角形册肉的面积是多少？

解析：连接CE，如图。AE=3AB,所以S A AEC =3S △ABC=3

所以S A BCE =2

又因为：BD=2BC,所以S A BDE=2S A BCE=4

点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用

二、鸟头定理(共角定理)模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在△ ABC中，D，E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，

E 在AC 上( 女口图2) ，则S A ABC：ADE二(AB AC): (AD AE)

此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！

因为S^ABC=AB >ACsinA，S^ADE=AD >AEsinA

所以：S A ABC: S A ADE= (AB/CsSA): (AD >AEsinA) = (AB 0C):

(AD >AE)

经典例题：

已知MEF的面积为7平方厘米，BE = CE、AD = 2BD*CF=3AF，求心眈

的面积・

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”:

① S i

： S 2 = S 4 ： S

3 或者

S S

^ = S

2 S 4

②

AO:OC 二 $ S 2 ： S 4 S 3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一

个途径•通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系 与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应 的对角线的比例关系。

蝴蝶定理实际上也是由三角形的等级变换模型推导而出的，即高相等的两个 三角形面积比等于底的比

因为：S i ： S 2二DO:BO , S 4： S 3二DO:BO 所以：S: S 2= S: S 3二DO:BO

所以，由等比性质得：（S+S 4）: （S 2： S 3） =DO:BO 同理可得：结论②（S 1+S 2） : （S 4： S 3） =AO:CO

a 2

: b

②

S 1 : S 3: S 2: S 4 = a 2: b 2

: ab: ab ；

2

②梯形S 的对应份数为

a

b

梯形由于其是特殊的四边形，所以不但对普通四边形的蝴蝶定理适用外，还有 上面几个特殊的结论。

经典例题:

四边形朋⑴的对角线.忙与心交于点如圏所示）如果三倉形昇朋的 面积等于三角形放◎的面积的7』且,那么匸。的长度是 DO 的长度的 倍,

解析：S ^ ABD ：

S ^BCD =AO : CO=1 : 3 A0=2,所以 CO=6=2DO 点评：此题直接应用了蝴蝶模型的结论

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

金字塔模型 沙漏模型

AD AE DE AF

① AB AC BC AG

②

S A ADE : S A ABC = AF 2

： AG 2o

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不 改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及 定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

相似模型实际就是初中的相似三角形，最常见的就上上面的“ A ”型和“X ”型 （也称沙漏）两种。

经典例题：

如图,已知在平行四边形磁Q 中，^ = 16 , AD=\O 1 BE = 4 ,那么尺' 的长度是多少？

解析：四边形ABCD

是平行四边形，所以DC=AB=16,BC=AD=10 BECD 构成一个沙漏模型：所以有：DC:BE=CF:BF 即 16:4=CF:（10-CF ） 解得CF=8

点评：此题直接应用了相似模型中的沙漏模型，同学们做题的时 候只要注意观察就很容易能发现这个模型。

四、相似模型

相似三角形性质:

五、燕尾定理模型

.

1

S^ABG :AGC BGE : S AEGC = BE：EC

S A BGA : S A BGC =S A AGF : S A FGC =AF ：FC

S A AGC : S A BCG =S A ADG : S^DGB =AD：DB

燕尾模型实际也可以由三角形的等积变换模型推导而出，即高相等的三角形面积比等于底的比此处进行简单的证明：

如图，因为：S A AG B S A GE B=AG:GE S A AGC S A GE C=AG:GE

所以：S A AG B：S A GE B= S A AG C S A GEC

所以：S A AGB:S A AGC= S A GEB S△GE C=BE：EC（此处用到更比性质，以后我们会学到）

经典例题解析:

燕尾模型

如图,上在月匸上，。在衣厂上’且AE EC = 2 i AD与眈

交于点卜.四边形的面积等于22,则三角形『出「的面

积，

解析：连接FC,设S A ABD=X,则，S A ABD=2X,

S A ABF : S A BCF=CE : AE=3 : 2,所以S A ABF=2X，所以S A AFC=4X，所以

S A F EC=12X/5,

所以S 四边形DFE(=2X+12X/5=22，得：X=5,所以S A ABC =9X=45(cm2)