二次函数--最大面积问题.

二次函数动点之最大面积一．选择题（共8小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．2．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．4．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二象限与抛物线交于点P，与直线y=x+2交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分？5．如图，二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，己知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．8．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．10．二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．11．二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．12．已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．13．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（﹣3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，并求最大值．14．如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求A点和顶点C的坐标；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB 的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？19．如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？21．用50米长木条，做如图等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°设AB为x米，等腰梯形ABCD面积为y平方米．当x为多少时，才能使y最大？最大面积y是多少？（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c，当x=﹣时，y最大（小）值=）二次函数动点之最大面积参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2009•大田县校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．【解答】解：（1）把x=﹣1和2分别代入y=x+2，得到y的值分别是1、4，因而A、B的坐标分别是（﹣1，1），（2，4）．根据题意得到：解得因而二次函数的解析式是y=x2．（2）过点A、B作AM⊥x轴，BN⊥x轴，分别交于M、N．过点C作CP⊥BN于P．设C的坐标是（x，y）．梯形AMNB的面积=（AM+BN）•MN=（1+4）×3=；△AOM的面积=AM•OM=；△BCP的面积=CP•BP=（2﹣x）（4﹣y）=（2﹣x）（4﹣x2）；四边形CPNO的面积是（CP+ON）•PN=[（2﹣x）+2]•y=（4﹣x）•x2．因而四边形OABC面积s=梯形AMNB的面积﹣△AOM的面积﹣△BCP的面积﹣四边形CPNO的面积=﹣x2+2x+3．当x=1时，函数s=﹣x2+2x+3有最大值是4．2．（2016•湘潭一模）如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）存在，理由如下：设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，∴E点的坐标为（t，t﹣2），∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，=4，当t=2时，S最大∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．3．（2016•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即B点的坐标为（0，3），当y=0时，有﹣x+3=0，解得x=4，即A点坐标为（4，0）．将A、B点坐标代入抛物线的解析式，得，解得，故抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x+3．（2）过点E作EF⊥x轴于点F交直线AB与点M，如图1所示．∵点E是直线AB上方抛物线上的点，∴设点E的坐标为（m，﹣m+3），点M的坐标为（m，﹣m+3），∴EM=﹣m+3﹣（﹣m+3）=﹣m，∴S=S△BEM+S△AEM=ME•O A=×（﹣m）×4=﹣+3m=﹣（m﹣2）△ABE2+3，∴当m=2时，△ABE面积最大，且最大值为3，此时点E的坐标为（2，3）．（3）抛物线的对称轴为x=﹣=1．设点P的坐标为（n，﹣n+3），Q点的坐标为（1，d）．∵点E的坐标为（2，3），∴直线EM的解析式为x=2，∴点M的坐标为（2，）．∵令y=0，则有﹣x+3=0，解得x=﹣2，或x=4，∴点C的坐标为（﹣2，0），当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如图2所示，线段CM为对角线，且CM的中点为点N．∵点C（﹣2，0），点M（2，），∴点N的坐标为（0，）．又∵点N为线段PQ的中点，∴有=0，解得n=﹣1，此时P点的坐标为（﹣1，）；②线段CM为一条边时，PQ的横坐标之差等于CM的横坐标之差，即|1﹣n|=|2﹣（﹣2）|，解得：n=﹣3或n=5，此时点P的坐标为（﹣3，﹣）或（5，﹣）．综上可知：点P的坐标为（﹣3，﹣），（5，﹣）和（﹣1，）．4．（2016•孝义市二模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二象限与抛物线交于点P，与直线y=x+2交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分？【解答】解：（1）∵对于直线y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣4．∴点C（0，2），A（﹣4，0）．∴由抛物线的对称性可知，点A与点B关于x=﹣对称，∴点B的坐标为B（1，0）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，可得，解得：．∴抛物线的解析式是y=﹣x2﹣x+2；（2）设P（m，﹣m2﹣m+2），如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q．∴Q（m，m+2），∴PQ=﹣m2﹣m+2﹣（m+2）=﹣m2﹣2m，=×PQ×OA=×PQ×4=2PQ，∵S△APC∴S=2（﹣m 2﹣2m ）=﹣m 2﹣4m=﹣（m +2）2+4；∴当m=﹣2时，△PAC 的面积有最大值4．此时P 点坐标为（﹣2，3）．（3）存在正比例函数y=kx ，将△ABC 的面积分为2：3的两部分．则S △ABC =×AB ×OC=×5×2=5，分两种情况：①如图2，过点D 作DM 1⊥AD ，垂足为M 1，当S △ADO ：S 四边形ODCB =2：3时，S △ADO =×5=2， ∴×OA ×DM 1=2，即×4×DM 1=2，∴DM 1=1．把y=1代入y=x +2，得x=﹣2，∴点D 坐标为（﹣2，1）．把x=﹣2，y=1，代入正比例函数y=kx 中，解得：k=﹣；②如图3，过点D 作DM 2⊥AD ，垂足为M 2，当S △ADO ：S 四边形ODCB =3：2时，S △ADO =×5=3， ∴×OA ×DM 2=3，即×4×DM 2=3，∴DM 2=．把y=代入y=x +2，得x=﹣1，∴点D 坐标为（﹣1，）．把x=﹣1，y=，代入正比例函数y=kx 中，解得：k=﹣．综上可得：k 的值为﹣或﹣．5．（2016•苏州一模）如图，二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，己知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在二次函数y=ax2+x+c的图象上，∴，解得，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；（2）连接BC，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于G，如图所示，令y=0，得﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0），OB=4，=OB•OC=×4×2=4．∴S△BOC设直线BC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2．设点D的横坐标为p，则y D=﹣p2+p+2，y G=﹣p+2，∴DG=（﹣p2+p+2）﹣（﹣p+2）=﹣p2+2p=﹣（p﹣2）2+2，=S△CDG+S△BDG∴S△CDB=DG•OH+DG•BH=DG•OB=×4DG=2DG=﹣（p﹣2）2+4．=S△BOC+S△CDB=﹣（p﹣2）2+8∴S四边形OCDB∵﹣1＜0，取最大值，∴当p=2时，S四边形OCDB此时y D=﹣×22+×2+2=3，∴点D的坐标为（2，3）；（3）①若BC为平行四边形的一边，则C、E到BF的距离相等，∴|y E|=|y C|=2，∴y E=±2．当y E=2时，解方程﹣x2+x+2=2得，x1=0，x2=3，∴点E的坐标为（3，2）；当y E=﹣2时，解方程﹣x2+x+2=﹣2得，x1=，x2=，∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若BC为平行四边形的一条对角线，则CE∥BF，∴y E=y C=2，∴点E的坐标为（3，2）．综上所述：满足条件的点E的坐标为（3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．6．（2016•富顺县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣4，0），B（0，4）代入得：，解得k=1，b=4，∴直线AB的解析式为y=x+4．设抛物线的解析式为y=ax2+4．∵将A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P的坐标为（a，﹣+4），则点Q的坐标为（a，a+4）．则PQ=﹣+4﹣（a+4）=﹣﹣a．的面积=PQ•（x B﹣x A）=×4×（﹣﹣a）=﹣a2﹣2a=﹣（a+2）∵S△ABP2+2，∴当a=﹣2时△ABP的面积最大，此时P（﹣2，3）．（3）如图2所示：延长MN交x轴与点C．∵MN∥OB，OB⊥OC，∴MN⊥OC．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BA0=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（2，2）．如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（﹣2，﹣2）．如图4所示：连接MN交y轴与点C．∵四边形BNOM为菱形，OB=4，∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．∴点的纵坐标为2．∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．∴点N的坐标为（2，2）．如图5所示：∵四边形OBNM为菱形，∴∠NBM=∠ABO=45°．∴四边形OBNM为正方形．∴点N的坐标为（﹣4，4）．综上所述点N的坐标为或或（﹣4，4）或（2，2）．7．（2016•泰安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，四边形APCD∴当x=﹣=时，=，∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），8．（2016•阜新）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．∴，∴，∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，（2）如图1，由（1）有，二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，令y=0，得x=﹣4，或x=1，∴B（1，0）连接AC，PA，PC，∴点P是直线AC平移之后和抛物线只有一个交点时，点P到直线AC的距离最大，所以S△PAC 最大，即：S四边形AOCP最大；∵A（﹣4，0），C（0，4），∴直线AC解析式为y=x+4，设直线AC平移后的直线解析式为y=x+4+b，∴，∴x2+4x+b=0，∴△=16﹣4b=0，∴b=4，∴点P（﹣2，6），过点P作PD⊥y轴∴PD=2，OD=4，∵A（﹣4，0），C（0，4）∴OA=4，OC=4，∴CD=2，=S梯形AODP﹣S△PCD=（PD+OA）×OD﹣PD×CD=（2+4）×6﹣×2∴S四边形AOCP×2=16．（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB过点C，平行于AB的直线l，∵C（0，4），∴直线l解析式为y=4，∴点Q在直线l上，设Q（d，4），∴CQ=|d|∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5，∴Q（﹣5，4）或（5，4），②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴线段AB中点坐标为（﹣，0），∵C（0，4），∴直线CQ解析式为y=x+4，设点Q（m，m+4），∴=，∴m=0（舍）或m=﹣3，∴Q（﹣3，﹣4），即：满足条件的点Q的坐标为Q（﹣5，4）或（5，4）或（﹣3，﹣4）．二．选择题（共11小题）9．（2013秋•房山区期末）如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．【解答】解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．令x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），C（0，3），将B（3，0），C（0，3），代入y=kx+b（k≠0），得，解得：k=﹣1，b=3，BC所在直线为：y=﹣x+3；（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．∵直线BC为y=﹣x+3，∴设过D点的直线为y=﹣x+b，∴，∴x2﹣3x+3﹣b=0，∴△=9﹣4（3﹣b）=0，解得b=，∴，解得，，则点D的坐标为：（，﹣）．10．二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．【解答】解：（1）如图所示：连接OD，∵二次函数y=﹣x2+x+4，当y=0时，﹣x2+x+4=0，解得：x=4，或x=﹣2，∴A（4，0），B（﹣2，0）；当x=0时，y=4，∴C（0，4），∵二次函数y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，∴D（1，），∴四边形ABCD的面积=△BOC的面积+△OCD的面积+△OAD的面积=×2×4+×4×1+×4×=15；（2）如图2所示：设D′（x，﹣x2+x+4），四边形ABCD′的面积为S，则四边形ABCD′的面积S=△BOC的面积+△OCD′的面积+△OAD′的面积=×2×4+×4×x+×4×（﹣x2+x+4）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，∵﹣1＜0，∴S有最大值，当x=2时，S最大，当x=2时，﹣x2+x+4=4，∴D′坐标为（2，4）．11．二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，2）分别代入y=ax2+x+c，得，解得，则该函数解析式为：y=﹣x2+x+2．因为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+．所以该抛物线的顶点坐标是（，）；（2）存在．设点D如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，∵A（﹣1，0），对称轴是x=，∴B（4，0）．设点D的坐标为（a，﹣a2+a+2），则E点坐标为（0，﹣a2+a+2）∴EC=﹣a2+a+2﹣2=﹣a2+a，DE=aS四边形OCDB=S梯形OEDB﹣S△EDC=（a+4）（﹣a2+a+2）﹣a（﹣a2+a）即S=﹣a2+4a+4=﹣（a﹣2）2+8，当a=2时，S=8，最大当a=2时，﹣×4+×2+2=3，∴此时点D的坐标是（2，3）．12．（2015•合肥校级自主招生）已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．【解答】解：由题意可得b=2，a=﹣4代入方程得c=﹣5．∴二次函数为y=﹣4x2+2x+2与x轴的交点为P（﹣，0），Q（1，0），当点M的横坐标为x=﹣或x=或x=时，△PQM的面积可能取最大，经比较可得x=﹣时，△PQM的面积取最大，此时y=﹣10即点M（﹣，﹣10），．13．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（﹣3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，并求最大值．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把A（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，解得a=﹣1，所以抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+m，把A（0，3），B（﹣3，0）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则Q（t，t+3），所以PQ=﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）=﹣t2﹣3t，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积S=S△PBQ +S△PCQ=•（﹣t2﹣3t）•3=﹣t2﹣t，当t=﹣=﹣，S有最大值，最大值==，此时P点坐标为（﹣，）．即P点坐标为（﹣，）时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，最大值为．14．（2005•资阳）如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A 的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，∴点B的坐标为（）．（1分）（2）将A（2，0）、B（）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得（2分）解方程组，有a=，b=，c=0．（3分）∴所求二次函数解析式是y=x2+x．（4分）（3）设存在点C（x，x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大∵△OAB面积为定值，∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．（5分）过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，（6分）则S△OBC而|CF|=y C﹣y F=x2+x﹣x=﹣x2+x，=x2+x．（7分）∴S△OBC∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．（8分）此时，点C坐标为（），四边形ABCO的面积为．（9分）15．（2015春•青海校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求A点和顶点C的坐标；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB 的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当y=0，则0=x2﹣3x，故x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3，故A（3，0），y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，故C（，﹣）；（2）设B（x，x2﹣3x），因为△AOB的面积等于6，所以•3•|x2﹣3x|=6，当x2﹣3x=4时，解得x1=﹣1，x2=4，则B点坐标为（4，4）；当x2﹣3x=﹣4时，方程无实数解．所以点B的坐标为（4，4）；（3）∵在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大，∴此时P到OB的距离最大，即PO⊥OB时，∵B（4，4），∴直线OB的解析式为：y=x，∴OP的解析为：y=﹣x，则设P点坐标为：（x，﹣x），∵P点在抛物线上，∴y=x2﹣3x=﹣x，解得：x1=0（不合题意舍去），x2=2，故P（2，﹣2），∴OP=2，∴△POB的面积最大为：×OB×2=×4×2=8．16．（2012秋•文昌校级期末）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，，故该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x﹣2．（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．∴S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．△DAC∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．（3）假设存在这样的点P．∵A（4，0），C（0，﹣2），∴AC=2．设P（x，0）．①当AC=PC时，=2，解得，x=4（不合题意，舍去）或x=﹣4，即P1（﹣4，0）；②当AP=AC时，|x﹣4|=2，解得，x=4+2或x=4﹣2，即P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）；③当AP=PC时，|x﹣4|=，解得，x=，即P4（，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P1（﹣4，0）、P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）、P4（，0）．17．（2010秋•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解答】解：（1）∵点B（3，0），C（0，﹣3）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，∴将B、C两点的坐标代入得，解得：∴二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．∴Q点的坐标为（x，x﹣3），=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ∴S四边形ABPC=AB•OC+QP•OE+QP•EB=×4×3+（3x﹣x2）×3=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积．18．（2012春•上城区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C 在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？【解答】解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0），∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）；（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，将D，B坐标代入：a（3﹣1）2=m，a（0﹣1）2=m﹣3，得：a=1，m=4，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1，B坐标（3，4），A（﹣1，0）；（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则PM=（x﹣1），QM=x2﹣2x+1，MC=（3﹣x），=S△ABC﹣S△PQM﹣S梯形BCMQ，∴S四边形ABQP=×4×4﹣•（x﹣1）•（x2﹣2x+1）﹣•（3﹣x）•（x2﹣2x+1+4）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．19．（2007•陆丰市校级模拟）如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=cos30°=，BD=BO=，∴点B的坐标为（，）；（2）将A（2，0）、B（，）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得：，解方程组，，∴所求二次函数解析式是y=﹣x2+x；（3）设存在点C（x，﹣x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，则S△OBC而|CF|=y C﹣y F=﹣x2+x﹣x=﹣x2+x，=﹣x2+x，∴S△OBC∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．此时C点坐标为（，），故四边形ABCO的最大面积为：．三．解答题（共2小题）20．（2012春•上城区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C 在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？【解答】解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0），∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）；（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，将D，B坐标代入：a（3﹣1）2=m，a（0﹣1）2=m﹣3，得：a=1，m=4，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1，B坐标（3，4），A（﹣1，0）；（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则PM=（x﹣1），QM=x2﹣2x+1，MC=（3﹣x），=S△ABC﹣S△PQM﹣S梯形BCMQ，∴S四边形ABQP=×4×4﹣•（x﹣1）•（x2﹣2x+1）﹣•（3﹣x）•（x2﹣2x+1+4）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．21．（2009秋•哈尔滨校级期中）用50米长木条，做如图等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°设AB为x米，等腰梯形ABCD面积为y平方米．当x为多少时，才能使y最大？最大面积y是多少？（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c，当x=﹣时，y最大（小）值=）【解答】解：过A作AF∥CD交BC于F，AE⊥BC于E，∵AD∥BC，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD=CF，∠AFB=∠C=∠B=60°，∴AB=AF，∴三角形ABF是等边三角形，∴AB=BF=AF=x，∵AE⊥BC，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=x，由勾股定理得：AE=x，∵AD+DC+BC+AB=50，∴x+x+x+2AD=50，∴AD=，BC=+x=，梯形ABCD的面积y=（AD+BC）×AE=×（+）×x，即y=﹣x2+x，∵a=﹣＜0，∴y有最大值，当x=﹣=时，y的最大值是：y==，答：当x为时，才能使y最大，最大面积y是．。