二次函数--最大面积问题.

二次函数动点之最大面积

一．选择题（共8小题）

1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2

的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B

的横坐标是2．

（1）求二次函数的表达式；

（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形

OABC面积的最大值．

2．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，

0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使

得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA

面积的最大值；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于

点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，

点E是直线AB上方抛物线上的一点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式．

（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．

（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．

4．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与

x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二

象限与抛物线交于点P，与直线y=x+2交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐

标；

（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分

为2：3的两部分？

5．如图，二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，己知点A（﹣1，0），点C（0，2）

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；

（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．

（1）求直线AB和抛物线的解析式．

（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB

面积最大时点P的坐标．

（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是

否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱

形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明

理由．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的

顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴

交于点E、B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P

为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y

轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD

的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以

A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

8．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A

（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面

积的最大值和此时点P的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，

Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；

若不存在，说明理由．

9．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两

点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD

的面积最大时，求D点坐标．

10．二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．

11．二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，

已知A（﹣1，0），点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；

（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．

12．已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．

13．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（﹣

3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二

象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于

点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围

成的凹四边形的面积最大，并求最大值．

14．如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，

且点A的坐标为（2，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，

求此二次函数的解析式；

（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、

B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？

若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，

请说明理由．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与

x轴相交于O、A两点．

（1）求A点和顶点C的坐标；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面

积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB 的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．