2014-2015年湖南省益阳市沅江三中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2014-2015学年湖南省益阳市沅江三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、单项选择（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知A是三角形ABC的内角，则“cosA=”是“sinA=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）下面有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．命题“∃x0∈R，log2x0≤0”的否定为：“∃x0∈R，log2x0＞0”D．命题“∃x0∈R，log2x0≤0”的否定为：“∀x∈R，log2x＞0”3．（4分）某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分．如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行整理后，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46．下列说法：（1）学生的成绩≥27分的共有15人；（2）学生成绩的众数在第四小组（22.5～26.5）内；（3）学生成绩的中位数在第四小组（22.5～26.5）范围内．其中正确的说法有（）A．0个 B．3个 C．1个 D．2个4．（4分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．245．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x26．（4分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=7．（4分）有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）8．（4分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+3x3+2x2+6x+1，当x=0.5时的值，需要做乘法的次数是（）A．9 B．14 C．4 D．59．（4分）执行如图的程序框图，若p=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．10．（4分）在可行域内任取一点，规则为如图所示的流程图，则能输出数对（s，t）的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷中相应横线上.）11．（4分）命题“存在有理数x，使x2﹣2=0”的否定为．12．（4分）已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围．13．（4分）若k进制数123（k）与十进制数38（10）相等，则k=．14．（4分）如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为．15．（4分）给出下列四个命题：①“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；②函数y=sin（2x﹣）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=cos2x；③函数y=lg（ax2﹣2ax+1）的定义域是R，则实数a的取值范围是（0，1）；④设O是△ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为1：2；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案写在答题卷上指定位置处.）16．（10分）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：（Ⅰ）至多有2人排队的概率是多少？（Ⅱ）至少有2人排队的概率是多少．17．（10分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．（10分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60，70]的汽车大约有多少辆？19．（10分）已知关于x的一次函数y=ax+b．（Ⅰ）设集合A={﹣2，﹣1，1，2}和B={﹣2，2}，分别从集合A和B中随机取一个数作为a，b，求函数y=ax+b是增函数的概率；（Ⅱ）若实数a，b满足条件，求函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率．20．（10分）求证：函数f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数的充要条件是a=0．21．（10分）（1）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值．（2）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间，求你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？（须有过程）2014-2015学年湖南省益阳市沅江三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单项选择（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知A是三角形ABC的内角，则“cosA=”是“sinA=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A是三角形ABC的内角，∴若cosA=，则A=，此时sinA=成立，即充分性成立．若sinA=，则A=或，当A=，cosA=，即必要性不成立，故“cosA=”是“sinA=”充分不必要条件，故选：A．2．（4分）下面有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．命题“∃x0∈R，log2x0≤0”的否定为：“∃x0∈R，log2x0＞0”D．命题“∃x0∈R，log2x0≤0”的否定为：“∀x∈R，log2x＞0”【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆命题应为：“若x=1，则x2﹣3x+2=0”；B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题应为“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1”；C．命题“∃x0∈R，log2x0≤0”的否定应为“∀x∈R，log2x＞0”；D．由上面的C可知D正确．故选：D．3．（4分）某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分．如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行整理后，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46．下列说法：（1）学生的成绩≥27分的共有15人；（2）学生成绩的众数在第四小组（22.5～26.5）内；（3）学生成绩的中位数在第四小组（22.5～26.5）范围内．其中正确的说法有（）A．0个 B．3个 C．1个 D．2个【解答】解：从左至右前5个小组的频率之和为1；且前四个分别为0.02，0.1，0.12，0.46；故第五组的频率是1﹣（0.02+0.1+0.12+0.24）=0.3，学生的成绩≥27分的在第五组，总共有50名学生，故第五组共有50×0.3=15人，故（1）正确；观察直方图：第四组人数最多，但学生成绩的众数不一定在第四小组（22.5～26.5）内，故（2）不正确；学生成绩的中位数是第25个数和第26个数的平均数，应该落在第四组，故（3）正确．故选：D．4．（4分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．24【解答】解：根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为；故选：A．5．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x2【解答】解：由程序框图得：输出还是f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0且存在零点．∵满足f（x）+f（﹣x）=0的函数有①③，又函数③不存在零点，∴输出函数是①．故选：A．6．（4分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．7．（4分）有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【解答】解：命题“所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，（3）“至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定故选：C．8．（4分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+3x3+2x2+6x+1，当x=0.5时的值，需要做乘法的次数是（）A．9 B．14 C．4 D．5【解答】解：由秦九韶算法可得：f（x）=（（（3x+3）x+2）x+6）x+1，当x=0.5时的值，需要做乘法的次数是4．故选：C．9．（4分）执行如图的程序框图，若p=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．【解答】解：执行程序框图，有p=5，n=0，s=0满足条件n＜p，n=1，s=满足条件n＜p，n=2，s=+满足条件n＜p，n=3，s=++满足条件n＜p，n=4，s=+++满足条件n＜p，n=5，s=++++=不满足条件n＜p，退出循环，输出s的值为．故选：D．10．（4分）在可行域内任取一点，规则为如图所示的流程图，则能输出数对（s，t）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的几何图形如下图中矩形所示，满足条件的几何图形如下图中阴影所示，其中矩形面积为：S矩形==2，阴影部分的面积为：S阴影==，则能输出数对（x，y）的概率P==，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷中相应横线上.）11．（4分）命题“存在有理数x，使x2﹣2=0”的否定为任意有理数x，使x2﹣2≠0．．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在有理数x，使x2﹣2=0”的否定为：任意有理数x，使x2﹣2≠0．故答案为：任意有理数x，使x2﹣2≠0．12．（4分）已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围a＞4．【解答】解：∵A={x|x＜4}，∵P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，∴集合A是集合B的子集，由图易得a＞4．故答案为：a＞4．13．（4分）若k进制数123（k）与十进制数38（10）相等，则k=5．【解答】解：由k进制数123可判断k≥4，若k=4，38（10）=212（4）不成立．若k=5，38（10）=123（5）成立．∴k=5．14．（4分）如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为3．【解答】解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，P==，又∵S正方形=4，∴S阴影=3；故答案为：315．（4分）给出下列四个命题：①“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；②函数y=sin（2x﹣）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=cos2x；③函数y=lg（ax2﹣2ax+1）的定义域是R，则实数a的取值范围是（0，1）；④设O是△ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为1：2；其中真命题的序号是④（写出所有真命题的序号）．【解答】解：①当k=﹣1时，函数y=cos2kx﹣sin2kx=cos2x的最小正周期也为π，故①错误②函数y=sin（2x﹣）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=sin[2（x）﹣]==﹣cos2x，故②错误③由函数y=lg（ax2﹣2ax+1）的定义域是R可得ax2﹣2ax+1＞0恒成立，①若a=0，满足条件②解可得0＜a＜1，从而有0≤a＜1，故③错误④设AC边上的中线为BD，由O是△ABC内部一点，且，可得O为BD的中点，==，正确故答案为：④三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案写在答题卷上指定位置处.）16．（10分）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：（Ⅰ）至多有2人排队的概率是多少？（Ⅱ）至少有2人排队的概率是多少．【解答】解：（Ⅰ）记没有人排队为事件A，1人排队为事件B．2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥．P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56；（Ⅱ）记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B 是对立事件，则P（D）=P（）=1﹣（P（A）+P（B））=1﹣（0.1+0.16）=0.74．17．（10分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．（10分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60，70]的汽车大约有多少辆？【解答】解：根据频率分布直方图，时速在[60，70]的汽车频率是0.04×10=0.4，∴时速在[60，70]的汽车频数是200×0.4=80，∴时速在[60，70]的汽车大约有80辆．19．（10分）已知关于x的一次函数y=ax+b．（Ⅰ）设集合A={﹣2，﹣1，1，2}和B={﹣2，2}，分别从集合A和B中随机取一个数作为a，b，求函数y=ax+b是增函数的概率；（Ⅱ）若实数a，b满足条件，求函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率．【解答】解：（Ⅰ）抽取全部结果所构成的基本事件空间为（﹣2，﹣2），（﹣2，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，2），（1，﹣2），（1，2），（2，﹣2），（2，2），共8个．设函数是增函数为事件A，∴a＞0，有4个，∴（Ⅱ）实数a，b满足条件，对应的区域为五边形ABCQP，对应的面积S=2×2﹣×1×1=，要函数y=ax+b的图象不经过第四象限则需使a，b满足，即，对应的图形为正方形OCBD，面积为1，作出不等式组对应的平面区域如图：则根据几何概型的概率公式可得函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率P==．20．（10分）求证：函数f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数的充要条件是a=0．【解答】证明：充分性：若a=0，则函数f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数．因为a=0，所以f（x）=x2+|x|+1（x∈R），又因为f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=x2+|x|+1，所以f（x）是偶函数．必要性：若f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数，则a=0．因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即（﹣x）2+|﹣x+a|+1=x2+|x+a|+1，所以x2+|x﹣a|+1=x2+|x+a|+1，从而|x﹣a|=|x+a|，因此（x﹣a）2=（x+a）2，展开整理，得ax=0．因为x∈R，所以a=0．21．（10分）（1）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值．（2）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间，求你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？（须有过程）【解答】解：（1）f（x）=（（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x，∴f（3）=21324．（2）解：如图，设送报人到达的时间为X，我离家去工作的时间为Y．（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ=4，事件A表示离家前不能看到报纸，所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y ≤9，X＞Y}即图中的阴影部分，面积为S A=0.5．这是一个几何概型，所以P（A）==0.125．答：我离家前不能看到报纸的概率是0.125．。