九年级数学比例线段3
《比和比例(3)》教学案
3.6 比和比例 教学案第三课时【教与学目标】1.掌握比例线段，两条线段的比2.进一步探索比例线段、认识连比【重、难点】比例基本性质的应用鼓励学生积极主动地参与教学的整个过程，激发学生求知欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生的学习兴趣和信心。
【教与学过程】一、情境引入1、人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618，越给人以美感，遗憾的是即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美，某女士身高1.68m ，下半身为1.02m.请你帮她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？2、一个三角形的三个内角的度数比是2：3：4，那么这个三角形三角度数为 .二、学习新知探究点1，比例线段阅读课本P98内容，回答下列问题.选用同一单位长度表示两条线段长度时，它们的量数的比，叫做这两条_______________.如线段AB 与线段CD 的长度之比记作_____________.注：两条线段的比与所选用的单位长度_______，但必须使用同一单位长度。
在线段a,b,c,d 中，如果a:b=c:d,那么这四条线段a,b,c,d 叫做_________,简称___________.1、已知3532=+y y x ，求y x 的值. （温馨提示：先根据比例的基本性质进行化简，再根据比例的基本性质求出yx 的值）2、已知2a =3b =4c ，且a 、b 、c 都是正数，求ba cb a +-+223的值. （温馨提示：可以考虑设比值，然后进行整理）例5：如图，,1540,28,AD AE AD AB AC DB EC====已知且，求AE 的长.探究点2，连比阅读课本P99内容，回答下列问题.像线段AD ：DB ：AB=3：5：8这种形式的比例叫做.例6：三角形的周长为52厘米，三边长的比是3：4：6，求三条边的长.例7：如果a ：b=4：5，b ：c=2：1，求连比a ：b ：c .三、练习巩固 1、已知x ：y=2：3，y ：z=4：7，求连比x ：y ：z=2、若a ：b ：c=2：3：4，则c c b a ++=3、学校把270本科技图书按2：3：4分配给低、中、高年级，低年级的得到 本图书，中年级得到图书 本，高年级得到图书 本.4、若a ：b ：c=3：4：2，且a ＋2b －c=18，求3a －b ＋2c 的值.四、学习思考：同学们，通过对比和比例的学习，你了解它们的区别吗？认识什么是连比吗？怎样才能构成连比？与同学们交流讨论.五、教学反思：四、学习思考：同学们，通过对比和比例的学习，你了解它们的区别吗？认识什么是连比吗？怎样才能构成连比？与同学们交流讨论.五、教学反思：。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章的第一节内容。
本节主要让学生了解比例线段的定义、性质和应用，培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生探索比例线段的性质，进而得出比例线段的定义，并通过例题和练习题使学生掌握比例线段的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对线段、射线、直线等概念有了一定的了解。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际问题探索比例线段的性质，从而理解比例线段的定义。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义及其性质。
2.学会运用比例线段解决实际问题。
3.培养学生的几何思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义及其性质。
2.难点：运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探索比例线段的性质。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生思考、讨论，从而培养学生的问题解决能力。
3.实践性教学法：通过例题和练习题，使学生掌握比例线段的运用。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、投影仪、PPT等。
2.学具：学生每人一份比例线段的相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“在一条直线上，两点间的距离是否相等？”引发学生的思考，进而引导学生探索比例线段的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示比例线段的定义及其性质，让学生初步了解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关比例线段的问题，让学生分组讨论、解答。
例如：“已知线段AB和线段BC的长度比为2:3，求线段AC的长度。
”通过解答这些问题，学生能够更好地理解比例线段的性质。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、选择题和解答题，题型多样，难度适中。
九年级数学上册《成比例线段》教案、教学设计
（5）课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调成比例线段的重要性。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、问题解决能力等方面，给予积极的评价和鼓励；
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等形式，了解学生对成比例线段知识的掌握情况，及时发现问题并进行针对性的辅导。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对成比例线段知识的掌握，我将设计以下课堂练习：
1.基础练习：给出一些成比例线段的判定题，让学生独立完成；
2.提高练习：设计一些实际问题，让学生运用成比例线段知识解决；
3.拓展练习：给出一些复杂几何问题，如相似三角形中的成比例线段问题，让学生尝试解决。
在练习过程中，我会及时给予学生反馈，指导他们纠正错误，提高解题能力。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，提供个性化的辅导，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（2）注重培养学生的几何直观能力，引导学生通过观察、分析、归纳等方法探索几何规律；
（3）鼓励学生提问和质疑，培养学生的批判性思维和创新意识；
（4）整合现代教育技术，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
5.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.创设情境，引导学生自主探究成比例线段的概念；
2.通过实际例子，让学生感受成比例线段在生活中的应用，培养学生学以致用的意识；
3.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动发现、提出和解决问题；
四、教学内容与过程
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计3
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计3一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容。
本节课主要让学生了解比例线段的概念，掌握比例线段的性质和运用。
教材通过生活中的实际例子引入比例线段，使学生能够更好地理解和掌握比例线段的概念和性质。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似多边形的性质，对图形的相似性有一定的理解。
但是，对于比例线段的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际操作，让学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解比例线段的概念，掌握比例线段的性质和运用。
2.过程与方法：通过实际例子和操作，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的概念和性质。
2.难点：比例线段的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际例子引入比例线段，使学生更好地理解和掌握比例线段的概念和性质。
2.操作教学法：通过实际操作，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.小组合作学习：让学生在小组合作中交流、讨论，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：练习本、尺子、铅笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的比例线段例子，如相框、衣服等，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.呈现（10分钟）呈现比例线段的定义和性质，通过具体的例子和图示，使学生理解和掌握比例线段的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，测量和比较线段的长度，验证比例线段的性质。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和讨论比例线段在实际生活中的应用，如建筑设计、制作工艺品等。
冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计
冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第25.1节《比例线段》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进行的一节内容。
本节通过介绍比例线段的定义、性质和应用，使学生掌握比例线段的知识，培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探究比例线段的规律，从而提高学生的数学思维能力和创新能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平面几何的概念和性质有一定的了解。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和练习来理解和掌握。
此外，学生可能对比例线段的性质和应用有一定的困难，需要教师的引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究比例线段的规律，培养学生的数学思维能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。
2.难点：比例线段的性质和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例和练习，引导学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
2.问题驱动法：通过提出问题和引导学生思考，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，包括比例线段的定义、性质和应用的实例和练习。
2.练习题：准备一些关于比例线段的练习题，包括不同难度的题目，以满足不同学生的需求。
3.教学道具：准备一些实际的线段模型，以帮助学生更好地理解比例线段的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入比例线段的概念，如两个相似图形之间的对应线段成比例。
引导学生思考：比例线段有什么特点和性质？2.呈现（15分钟）通过PPT展示比例线段的定义、性质和应用的实例。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》是全册的第一个单元，主要让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质和应用。
教材通过引入实际问题，让学生探究比例线段的关系，培养学生的动手操作能力和探究能力。
本节课的内容是学生进一步学习几何的基础，对于学生来说，具有很高的实用价值和意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了八年级的数学知识，对于图形的认识和线段的知识有一定的基础。
但是，对于比例线段的定义和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要从基础入手，让学生逐步理解和掌握比例线段的知识。
同时，学生已经具备了一定的探究能力和动手操作能力，可以利用这一点，让学生在实际操作中理解和掌握比例线段的性质。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质。
2.能够运用比例线段解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的动手操作能力和探究能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质。
2.比例线段在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生动手操作，探究比例线段的性质，提高学生的探究能力。
2.实例讲解法：通过引入实际问题，让学生理解比例线段的定义和应用，提高学生的应用能力。
3.小组讨论法：通过小组讨论，让学生互相交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生理解和应用比例线段。
2.准备比例线段的模型或者图片，用于帮助学生形象地理解比例线段。
3.准备黑板和粉笔，用于板书教学内容和重点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的兴趣，引导学生进入学习状态。
例如：在一条直线上，有三点A、B、C，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，请问AB、BC、AC三条线段之间是否存在某种特殊关系？2.呈现（10分钟）教师通过展示比例线段的模型或者图片，让学生直观地理解比例线段的定义。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的定义的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，接着引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习题来巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于比例和线段的概念已经有了一定的了解。
但是，对于比例线段的性质和应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、探究来理解比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的含义和性质。
2.教学难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。
问题驱动法能够激发学生的思考和探究欲望，小组合作法则能够培养学生的团队合作意识。
此外，我还将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握比例线段的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.探究：让学生通过小组合作的方式，观察和分析比例线段的性质，引导学生得出结论。
3.巩固：通过练习题，让学生运用比例线段的性质解决实际问题，巩固所学知识。
4.拓展：引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：比例线段是指两个线段的比相等的线段。
九年级数学比例线段3省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
在平面直角坐标系中，过点（a，b）和坐标原
点旳直线是一种怎么样旳正百分比函数旳图像？ 假如a，b，c，d四个数成百分比，你以为点 （a，b），点（c，d）和坐标原点在一条直线 上吗？请阐明理由
解：设经过点（a，b）是过原点成正百分比函数
y＝kx ∴k＝b/a ∴y＝（b/a）x
∵a，b，c，d成百分比
b、c 叫做百分比内项，
试一试:
下列各组数能否成百分比?假如能成百分比,请 写出一种百分比式,并指出百分比旳内项与外
项. 13,9,2,6
2 12, 6, 10, 5
33, 3, 2,2
做一做
1,请指出下列百分比式旳百分比内项和百分比 外项,.
(1) 0.3 0.6 (2) 2 1
2
4
6
3
2、求出两百分比内项旳积和两百分比外项旳积
你有什么发觉？
3、利用等式性质,你能从 ad=bc 吗?
a b
c d
推导出
百分比有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
反过来呢?
试一试：
1,根据下列条件,求a:b旳值. (1)2a 3b(2) a b
54
2,求下列百分比式中旳 x.
(1)4 : 3 5 : x(2) x x 1 32
3、已知
a b
=
2c d
，求 a b
b
旳值。
利代用入等法式性质
4、已知 a c 判断下列百分比式是 否成 b d
立,并阐明理由
(1) a b c d (2) a a c
b
d
b bd
百分比式变形旳常用措施:
利用等式性质
设比值 k
练习:
问题导学促进深度学习的教学实践——以“初中数学4.1 比例线段(3)”为例
2022年第6期教育教学1SCIENCE FANS 深度学习理念下的问题导学法教学，是指在教师的问题引导下，学生主动参与，多维度思考，逐步完善认知结构，达到深度学习的教学。
本文以浙教版数学九年级上册“4.1比例线段（3）”为例，探索以问题导学引导学生深度学习的教学实践。
1 初中数学教学各要素分析1.1 初中生的学习特点与现状初中阶段学生学习科目多，各科作业时间总和增加。
学生在学习上疲于奔命，容易陷入机械式学习，对数学概念、定理只是背一背、记一记、不知所以然，解题时不会正确运用，不能形成明确清晰的思路。
1.2 数学的重要性及教学现状学好数学能够帮助学生更好地理解物理、化学等学科知识，也能够帮助学生在面对问题时有更严密的逻辑。
在数学课堂教学中，部分教师过于注重“讲课、做题、订正反馈、再做题”模式，认为熟能生巧，在做题中学生会理解知识；认为互动教学会浪费时间，在课堂上不重视对概念、定理的教学。
这有三大弊端。
第一，不利于激发学生的积极性。
第二，不利于学生的深度学习。
第三，不利于培养学生数学素养。
1.3 问题导学法下的深度教学探究“深度教学”是学生深度学习的前提，是培养学生数学思维能力的重要途径。
问题是深度教学的核心。
问题导学法是指在教学中以提问的形式引入教学内容，激发起学生的浓厚兴趣；以问题串的形式引导学生探究新的知识，调动起学生自主探究的积极性，实现开放式、有效性的深度教学的一种方法。
笔者认为问题导学法下的数学课堂教学应该更加注重教学情境的创设，导学问题的指向性，教学活动的创造性以及适时的教学拓展[1]。
1.3.1 创设教学情境，引导学生积极参与合理情境的创设，一方面可以拉近学生与学习间的距离；另一方面，也有利于激发学生的数学思维，使学生在沉浸式体验中感受数学的魅力。
教师应根据教学内容和学生的最近发展区创设相应的教学情境，激起学生学习的欲望，感受知识的本质、学习的意义，进而参与到学习中。
1.3.2 设定导学问题，明确思维发展方向概念、定理的理解与运用需要不断地体验、探究、反思、归纳。
初中数学九年级上册《比例线段》
a 2.已知 b
c d
, 判断下例比例式是否成立，并
说明理由． (1) a b c d
bd
(2) a a c b bd
注意: 1.若a:b=k , 说明a是b的k倍。 2.两条线段的比与所采用的长度单位
无关，但求比时两条线段的长度单 位必须一致。 3.两条线段的比值是一个没有单位的 正数。 4.除了a=b外,a:b≠b:a, a 与 b 互为倒数
a2 即 a:b=2:3或 b = 3
如果改用米、毫米作为线段的长度单位， 那么a、b两条线段的比分别是：
a 0.02米 2 b = 0.03米 = 3
a 20毫米 2 b = 30毫米 ＝ 3
２．比例的基本性质:
a c ad bc(a,b, c, d都不为零) bd
例 （１1: ）1.２根a据=3下b 例; 条件，(求2)a:b的值a5 ． b4
(3)a=50mm , b=6cm ;
(4)a=3m , b=10mm .
答: (1) a:b=5
(2) a:b=1:100
(3) a:b=5:6 (4) a:b=300
例2
已知：A、B两地的实际距离AB=250m 画在地图上的距离A'B'=5cm
求：图上距离与实际距离的比 (即该地图的比例尺)
解：∵ AB=250m=25000cm
两个边数相同的多边形,如果他们的 对应角相等,对应边长度的比相等,那么 这两个多边形叫做形似多边形.
相似多边形对应边长度的比叫做 相似比或相似系数
1.线段的比
定义：在同一长度单位下，两条线段 的长度的比叫做这两条线段的比。
即如果用同一长度单位量得线段a、b的 am
湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》教学设计
湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是湘教版数学九年级上册3.1章节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现比例线段的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形的认识和理解也有一定的基础。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对比例线段的性质和应用有一定的困难，需要通过教师的引导和同学的交流来加深理解。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、交流等方法，探索和发现比例线段的规律，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，主动与同学交流，培养合作意识和团队精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。
2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察和思考，发现比例线段的性质和规律。
2.合作交流法：学生分组进行讨论和实践，分享彼此的想法和经验，共同解决问题。
3.实例分析法：教师通过出示实例，引导学生分析比例线段的运用和解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示比例线段的定义、性质和应用。
2.实例材料：准备一些实际问题，供学生练习和思考。
3.练习题库：准备一些练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过出示一些实际问题，引导学生思考比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现比例线段的定义和性质，让学生初步了解和认识比例线段。
湘教版数学九年级上册3.1.2《成比例线段》教学设计
湘教版数学九年级上册3.1.2《成比例线段》教学设计一. 教材分析《成比例线段》是湘教版数学九年级上册3.1.2的内容，主要介绍了成比例线段的定义、性质及其应用。
本节内容是在学生已经掌握了比例线段的基础上进行的，是进一步深化对比例概念的理解，培养学生运用比例解决实际问题的能力。
教材通过实例引入成比例线段的概念，然后引导学生探究成比例线段的性质，最后通过练习巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于比例线段的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，对于成比例线段的深度理解和灵活运用还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决能力还有待提高，需要通过实例来引导他们将所学知识运用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握成比例线段的定义和性质，能够判断两条线段是否成比例。
2.过程与方法：通过实例引入成比例线段的概念，引导学生探究成比例线段的性质，培养学生运用比例解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.成比例线段的定义和性质。
2.如何判断两条线段是否成比例。
3.如何将成比例线段的知识运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过实例引入成比例线段的概念，引导学生探究成比例线段的性质，鼓励学生主动发现、总结和运用成比例线段的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教材、PPT、黑板。
2.相关实例和练习题。
3.小组合作学习的安排。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入成比例线段的概念：在一条直线上，有两点A和B，距离为3cm和4cm，如果在这条直线外有一点P，使得AP和BP的距离成比例，那么AP和BP的距离可能的取值是多少？2.呈现（10分钟）通过PPT展示成比例线段的定义和性质，引导学生理解和记忆。
成比例线段的定义：如果两条线段的乘积相等，则这两条线段成比例。
2024年浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册4.1的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的含义，掌握比例线段的判定方法，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生深入理解和掌握比例线段的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对线段、比例等概念有一定的了解。
但学生在学习比例线段时，可能会对比例线段的定义和性质产生困惑，难以理解和运用。
因此，在教学过程中，需要注重对学生的基础知识的巩固，通过生动的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义和性质。
2.能够判定两条线段是否成比例线段。
3.能够运用比例线段解决实际问题。
4.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质的理解。
2.比例线段的判定方法的掌握。
3.运用比例线段解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
2.利用多媒体和实物模型，生动形象地展示比例线段的定义和性质，帮助学生直观地理解和记忆。
3.通过小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固和运用比例线段的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾线段和比例的基础知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体和实物模型，生动形象地展示比例线段的定义和性质，让学生直观地理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生通过小组讨论和合作交流，共同完成一些关于比例线段的练习题，巩固和运用所学知识。
4.巩固（5分钟）让学生独立完成一些关于比例线段的练习题，检验学生对知识的掌握程度，并及时给予指导和帮助。
初中数学重点梳理：比例线段
比例线段知识定位比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。
在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。
知识梳理知识梳理1：比例线段相关定理平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，ED CBAB DAE C则BD EGDC FG=．知识梳理2：圆中的比例线段角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。
2、切割线定理如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。
3、割线定理如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。
例题精讲【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。
若MN=1，求11AB CD+的值。
G FE DCBAADAEGFCPOC ABAOPBTAOPBCD【答案】2【解析】【知识点】比例线段【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BFAFmn=(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BEEC的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BFAFmn=的值；如果不能，证明你的结论。
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第1讲 相似性与比例线段(解析版)
相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要讲解比例线段的有关概念和性质，以及三角形一边的平行线的相关性质和判定．比例线段的知识点，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．对比例线段的学习之后，我们进一步学习三角形一边的平行线分线段成比例的相关性质和判定．三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论和三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理．重点是掌握这两个定理及其推论，分清两个定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，最后灵活运用本节的三个定理及两个推论，理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．知识结构模块一：放缩与相似形知识精讲1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．例题解析【例1】下列说法中错误的是（）A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形B．同一颗树在太阳光下先后两次形成的影子是相似形C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形【答案】B【解析】不同的时刻下，阳光与树射入的夹角不同，形成的影子大小不同，即不是相似形．【总结】考查相似形的定义，抓住相似形的基本定义即形状完全相同才是相似形．【例2】有以下命题：1邻边之比为2 : 3的两个平行四边形相似；2有一个角是40°的两个菱形相似；3两个矩形相似；4两个正方形相似，其中正确的是（）A．1和2B．2和4C．3和4D．1和3【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B．【总结】考查相似形的定义，根据相似形的性质可知对应角相等，对应边成比例才是相似形．【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为______．2/ 29a 甲b 乙【答案】4.8cm或7.5cm．【解析】设矩形另一边长为xcm，根据相似形的定义，对应边成比例，可知546x=或546x=，解得： 4.8x=或7.5x=．【总结】考查相似图形的性质，对应边成比例，但要注意好对应关系，题目未指明的要进行分类讨论．【例4】在平面内，两个形状相同、大小不一定相同的图形称作相似形．我们可以把这一概念推广到空间：如果两个几何体的形状完全相同，大小不一定相同，我们称它们为相似体．如图，甲乙两个不同的正方体，它们是相似体．若两个正方体的棱长分别为a和b，则称这两个相似体的相似比为a : b．我们不难发现它们的一些基本性质：设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则2226=6S a aS b b⎛⎫= ⎪⎝⎭甲乙；设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则333V a aV b b⎛⎫== ⎪⎝⎭甲乙．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A．两个圆柱体B．两个圆锥体C．两个球体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①两个相似体的对应线段或对应弧长的比等于______；②两个相似体表面积的比等于______；③两个相似体体积的比等于______．（3）某海岛周围海域出产一种鱼，在体长10厘米之后的生长过程中，体型可以近似地看作相似体．若体长20厘米的鱼质量为0.2千克，则体长为60厘米的鱼质量为多少？当地市场上出售这种鱼价格与体长成正比，购买哪种鱼更划算？【答案】（1）C；（2）相似比，相似比的平方，相似比的立方；（3）5.4kg，60cm划算【解析】（1）和圆一样，球只有一个基本量，即半径，所有球体都是相似体，类似所有圆都是相似形，其它的几何体都是至少两个基本量，不能确定相似；（2）表面积是进行平方运算，体积是进行立方运算，由正方体相似进行归纳总结，由此可得相似体对应线段比是相似比，表面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方；（3）鱼的体型可看作相似体，可知其体积比即为相应相似比的立方，即鱼体长比的立方，设60cm长鱼体重mkg，则有30.22060m⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 5.4m=，这种鱼的价格与体长成正比，可知体型越大，这种鱼的单价越低，由此可知60cm体长的鱼划算．【总结】阅读题，主要考查归纳总结的能力，要用题目中的条件分析清楚，进行类比，即可解决问题．4/ 291、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b）； 如果::a b c d =（或a cb d=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例． 2、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d =，那么ad bc =；如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c da b=． （2）合比性质： 如果a c b d =，那么a b c db d ++=；如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a ck b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强调0b d +≠）． 3、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 4、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．模块二：比例线段知识精讲APB6 / 29【例5】把12ab cd =写成比例式，不正确的写法是（ ）A ．2a dc b= B ．2a d c b= C ．2a d c b= D ．2c ab d= 【答案】B【解析】应用比例的基本性质，可知B 选项即为2ab cd =，与原条件不符，故选B ． 【总结】考查比例式的变形，应用比例的基本性质转化为等积式，看能不能得到原本题目条件乘积式即可．【例6】已知线段x 、y 满足()():3:1x y x y +-=，那么x : y 等于（ ） A ．3 : 1 B ．2 : 3 C ．2 : 1 D ．3 : 2【答案】C【解析】令3x y k x y k +=⎧⎨-=⎩，可解得2x ky k =⎧⎨=⎩，即得:2:2:1x y k k ==．【总结】比例运算中，可应用设“k ”法计算相应字母比例关系．【例7】等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是______． 【答案】2:2．【解析】设三角形直角边长为a ，根据勾股定理可知斜边长为2a ，直角边与斜边比为:21:22:2a a ==．【总结】考查应用勾股定理解决等腰直角三角形三边比，注意结果要进行化简．【例8】已知a cb d=，则下列式子中正确的是（ ） A ．22::a b c d =B ．::a d c b =例题解析C ．()()::a b a c b d =++D ．()()::a b a d b d =--【答案】C【解析】根据比例的合比性，可知C 正确．【总结】考查比例的性质的变形应用，本题根据合比性即可很快得出答案．【例9】若a = 8 cm ，b = 6 cm ，c = 4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d = ______cm ；a 、c 的比例中项x = ______cm ．【答案】3，【解析】根据第四比例项和比例中项的基本定义，可得a c b d =，a xx c=，代入即可分别求得3d cm =，x =．【总结】考查比例定义中的相关基本概念．【例10】已知点C 是线段AB 的黄金分割点，5AC =，且AC > BC ，则线段AB =______，BC =______．【答案】10，15-【解析】根据黄金分割点的概念，且AC > BC ，可知AC AB =，5AC =代入可得10AB =，则15BC AB AC =-=-【总结】考查黄金分割点的概念，以及相关的黄金比．【例11】已知三个数2、5，填一个数，使这四个数能组成比例，这个数可能是____________．【解析】设这个数是x ，根据比例的基本性质，转化后，可以得到三种情况，即2x =，8 / 29352x =⨯，523x =，分别解得53x ，103x =23x =． 【总结】考查对比例基本性质的应用，一定要注意题目条件的说明是否需要进行分类讨论的情况，通过转换为乘积的形式，可以做到不重不漏．【例12】已知实数a 、b 、c 满足b c c a a b a b c +++==，求b ca+的值． 【答案】2或1-【解析】当0a b c ++≠时，根据比例的等比性质，可得2b c b c c a a ba ab c++++++==++； 当0a b c ++=时，则有b c a +=-，由此1b c aa a+-==-．故b ca+的值为2或1-． 【总结】考查比例的等比性质，注意等比性质在实数运算中运用的条件，要根据分母是否为0进行分类讨论．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC =．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE // BC ，那么DE AD AEBC AB AC ==．3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=，那么l //BC ．模块三：三角形一边的平行线知识精讲lA B CDEABCDEABCDE ll ABC D E10 / 296、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例13】如图，DE // BC ，AD = 5，BD = 2，AE = 3，BC = 8，求线段AC 、DE 的长．【答案】215AC =，407DE =． 【解析】AD = 5，BD = 2，可得7AB AD BD =+=，由DE // BC ，根据三角形一边平行线性质定理的推论，可得AE DE ADAC BC AB ==，即3587DE AC ==，可求得：215AC =，407DE =． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意解题中适当应用边的关系和相关比例的性质．【例14】如图，ABC ∆中，DE // BC ，AD = EC ，BD = 4 cm ，AE = 3 cm ，则AB =______．例题解析ABCDEABCDEABCDEB CDE F GABC DE【答案】()423cm +．【解析】设AD xcm =，由DE // BC ，可得AD AEAB AC=，又AD EC =， 则该式即为343x x x=++，整理得212x =，由此得23x =， ()423AB AD BD cm =+=+．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意好题目中对相关条件的应用，改写成比例式解决问题．【例15】ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在BC 上，若DE BDAC BA=，那么DE ______平行于AC ．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”）【答案】不一定．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知一条直线截三角形两边所得的线段对应成 比例，可判定平行，本题中对应成比例的并不是截三角形两边所得线段对应成比例，即 不可判定平行，在AB 上固定一点D ，作ED AB ⊥交BC 于点E ，以点D 为圆心，ED 长为半径画圆，与边AB 还会有另外一个交点，即不一定能判定平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的条件，只能根据所截得的两边线段对应成比例判定平行，而不能根据这条直线对应成比例关系判定平行．【例16】如图，两条相交于点O 的直线被另外三条直线所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，则下列说法中正确的有（ ）ABCDE12 / 29A B CDE FO （1）若AD // BE // FC ，则AB BCDE EF=； （2）若AD // BE // FC ，则OF ACOC DF =； （3）若AB DEBC EF =，则AD // FC ； （4）若BC BOEF EO=，则BE // FC ； （5）若BE BOFC OC=，则BE // FC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，知（1）正确；同时OF OD OF OD DFOC OA OC OA AC+===+， 知（2）错误；根据平行线分线段成比例定理，由于题目中没有给出有直线与BE 平行的条件，则不能证明平行，（3）错误；根据三角形一边平行线的判定定理，BC BOEF EO =， 根据比例的基本性质变形可得BO OEOC OF=，即可证平行，可知（4）正确，（5）错误． 【总结】考查平行线分线段成比例相关的性质定理和判定，注意前提条件再进行判断．【例17】如图，ABC ∆，DE // BC ，若23AD DB =，则:CDE BDC S S ∆∆=（ ） A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 15D ．6:15【答案】B【解析】根据DE // BC ，可得23AE AD EC DB ==，三角形为同高三角形，则有23ADE CDE S AE S EC ∆∆==，可设2ADE S a ∆=，则有3CDE S a ∆=，5ACD S a ∆=，同理23ACD BCD S AD S BD ∆∆==，可得152BCD S a ∆=，则有15:3:2:52CDE BDC S S a a ∆∆==．【总结】结合三角形一边平行线性质定理，考查三角形中的同高三角形，面积比即为其底边长度之比．【例18】如图，DF // AC ，DE // BC ，下列各式正确的是（ ）A ．AD BE BC CF =B ．AE CE DE BC = C ．AE BD CE AD = D ．AD AB DE BC=A B CDE【答案】D【解析】由DE // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得AD DE AB BC =，变形即为AD ABDE BC =，D 正确． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，利用比例变形可以将对应边成比例转化为一个三角形中对应边的比例关系，利用相关性质等积转化即可进行判断．【例19】如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下2.7米宽的亮区DE ，如果亮区一边到 窗下墙脚的距离CE = 8.7，窗口高AB = 1.8米，那么窗口底边离地面的高度BC =______．【答案】4m ．【解析】射入的光线平行，则有AB DEAC CE =，代入可求得 5.8AC m =，4BC AC AB m =-=．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例20】如图，AD // EG // BC ，AF = 12，FC =3，BC = 10，AD = 5，那么EG 的长是______． 【答案】9【解析】由AD // EG // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得AF EF AC BC =，CF FGAC AD =，代入即为 121015EF =，3515FG =，求得8EF =，1FG =，即得：9EG EF FG =+=．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例21】如图，已知ABCD 是梯形，其中AB // CD ，对角线AC 与BD 交于O ，过O 作AB的平行线交AD 于点ABCDEFA B CDE AB C DEFGA BC D EFO14 / 29E ，交BC 于点F ，若AO : OC = 2 : 1，且CD = 1.8，CF = 0.8，那 么AB = ______，BC=______．【答案】 3.6，2.4．【解析】由////AB CD EF ，根据三角形一边平行线的性质定理及推论，可得2AB AO OB BFCD OC OD CF====，由此可求得：AB =3.6， 1.6BF =，故 2.4BC BF CF =+=．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例22】如图，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，MN // BC ，且交对角线BD 于O ，AD = DO = p ，BC = BO = q ，则MN 为（ ）A ．pq p q +B ．2pq p q +C ．p qpq+ D ．2p qpq+ 【答案】B【解析】由AD // MN // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得MO BOAD BD =， ON DOBC BD =，由AD = DO = p ，BC = BO = q ，代入即为MO q p p q =+，ON p q p q =+，求得：pq MO p q =+，pq ON p q =+，即得：2pqMN MO ON p q=+=+． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例23】如图，直角ABC ∆中两条直角边CA = 4，CB = 3，点E 为斜边AB 上的一个动点，ED ⊥BC 于D ，设AE = x ，BD = y ，则y 关于x 的函数解析式为________________．A B CD ONMAB CD EFG【答案】335y x =-．【解析】由勾股定理，可得225AB AC BC =+=，AE = x ， 则5BE x =-，由ED ⊥BC ，90C ∠=︒，可得//DE AC ，根据三角形一边平行线性质定理，则有BD BEBC AB =，即535y x -=，即可得335y x =-． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例24】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，求证： （1）AE AB AD CF =；（2）2GD GF GE =． 【答案】略【解析】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，//AD BC ，AB CD =DC GC CFAE AG AD∴==AB CFAE AD ∴=即得AE ABAD CF=（2）同样地，由//AD CF ，//DC AE ，可得：GD AG GEGF GC GD==． ∴2GD GF GE =．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的基本应用，考查在有平行线的图形中的基本图形，“A ”字型和“8”字型，“A ”字型和“8”字型有叠合的时候可进行等比例转化．【例25】如图，在ABC ∆中，AB > AC ，AD ⊥BC 于D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC 垂线交AB 于点E ，BD : DC = 3 : 2，则BE : EA =______．【答案】5:1．【解析】由BD : DC = 3 : 2，F 为BC 中点，即可得ABCDEA B CD EF16 / 2932BF FD BF FD +=-，则5BF FD =，由EF BC ⊥，AD ⊥BC ，可得：//EF AD ，根据三角形一边平行线性质定理， 即可得：::5:1BE EA BF FD ==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，过程中注意比例转化．【例26】如图，在ABC ∆中，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE 、BF 交于点G ，过G 作GD // AC 交BC 于点D ，若ED = 5，则BC 的长为______．【答案】30．【解析】∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点， ∴G 是ABC ∆的重心．∴13GE AE =．∵GD // AC ，∴可得13ED GE EC AE ==，由此315EC ED ==，230BC EC ==．【总结】考查重心性质的证明，构造平行线，结合三角形一边平行线性质定理即可解决问题．【例27】如图，AD // OM // BC ，AC 、BD 相交于点O ．求证：111AD BC OM +=． 【答案】略【解析】证明：////AD OM BC ，OM BM AD AB ∴=，OM AM BC AB=． ABCDOM ABCDE FG1OM OM BM AMAD BC AB AB∴+=+=． 即得：111AD BC OM+=． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，尤其图形中“A ”字型等基本图形有部分叠加图形的情况下可进行等比例转化．【例28】如图，已知：在ABC ∆中，13BD CD =，2AF DF =，求AEAC的值． 【答案】13．【解析】过点D 作//DG BE 交AC 于点G ， 根据三角形一边平行线的性质定理，可得13EG BD GC CD ==，2AE AF EG DF ==，则有23AE GC =，则有21132AE EC ==+，根据比例的合比性，则有13AE AC =． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造平行线，构造出“A ”字型等相关基本图形进行等比例转化解决问题．【例29】如图，已知AM 是ABC ∆的中线，P 是BC 边上的一个动点，过点P 作AM 的平行线分别交AB 、AC 所在直线与点Q 、R ，求证：PQ + PR 为定值．【答案】略．【解析】证明：//PR AM ，PQ BP AM BM ∴=，PR PCAM MC =． BM CM =，2PQ PR BP PC BC AM BM BM++∴===．ABC DEFABCR MP QG18 / 29ABCD E P Q 图1R A B C DO PN MS即得：2PQ PR AM +=，即证PQ + PR 为定值．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意观察图形中的基本图形，本题中即用到两个“A ”字型．【例30】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、 DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ．求证：PM PN PR PS =．【答案】略【解析】证明：//BD MSBO AO MP AP ∴=，DO AOPS AP =BO DOPM PS ∴=PS DOPM BO∴=同时由//OB PR ，//OD PN ， OB OC PR CP ∴=，OD OCPN CP=OB ODPR PN ∴=PN DO PSPR BO PM∴==即证PM PN PR PS =【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，找准图形中的“A ”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化即可．【例31】（1）如图1，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上满足DE // BC ，点P 为BC上的任意一点，AP 交DE 于点Q ，求证：DQ BPQE PC =． （2）试参考（1）的方法解决下列问题：如图2，M 、N 为边BC 上的两点，且满足BM = MN = NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ． 求EF : DE 的值．PN M FEDCBA【答案】（1）略；（2）3:1． 【解析】（1）证明：//DE BC ，DQ AQ BP AP ∴=，QE AQPC AP =． DQ QEBP PC ∴=．DQ BPQE PC ∴=． （2）过点B 作//BQ DF 交AF 延长线于点Q ，交AM 延长线于点P ， 则有////BQ DF AC ，BM MN NC ==， 12BP BM AC MC ∴==，2BQ BN AC NC ==． 14BP BQ ∴=，即得：13BP PQ =．由（1）的结论即可得::3:1EF DE PQ BP ==．【总结】考查三角形一边平行线的应用，“8”字型的叠合，可以进行相应等量转化确定相关线段之间的比例关系解决问题．20 / 29【习题1】如果图形A 与图形B 相似，图形B 与图形C 相似，那么图形A 与图形C ______相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）【难度】★ 【答案】一定．【解析】根据相似形定义，可知图形A 与图形B 形状相同，图形B 与图形C 形状相同，则必有图形A 与图形C 形状相同，即两图形相似．【总结】考查相似形具有传递性．【习题2】若():8:3x y y +=，则:x y =_____． 【难度】★ 【答案】5:3．【解析】令83x y k y k +=⎧⎨=⎩，可解得：53x ky k =⎧⎨=⎩，即得:5:35:3x y k k ==．【总结】比例运算中，可应用设“k ”法计算相应字母比例关系，也可直接利用比例的合比性质进行求解．【习题3】如图，DE // BC ，下列比例式成立的是（ ） A ．AD AC AB AE = B ．DE DA BC AB = C ．EA DA AB AC =D ．DA AEAB AC =【难度】★ 【答案】C【解析】根据三角形一边平行线性质定理的推论，由DE // BC ，可得：DA EAAC AB =，可知C 正确． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．随堂检测BCDEA【习题4】有以下命题，其中正确的判断有（ ）个（1）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，则有a cb d =；（2）如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；（3）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC > BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； （4）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC > BC ，且AB = 2，则51AC =-． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据比例相关定义，可知（1）正确；C 是AB 中点时，则有12AC BC AB ==，此 时AB ACAC BC≠，（2）错误；根据黄金分割点的基本定义，可知（3）正确，同时黄金比 为512-，即512AC AB -=，可得51AC =-，（4）正确；（1）（3）（4）正确．综上所述，故选C ．【总结】考查比例中的相关概念，以及黄金分割等基本知识．【习题5】如图，已知菱形BEDF 内接于ABC ∆，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC 上，若AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，则菱形边长为______．【答案】203cm ．【解析】根据三角形一边平行线的性质定理，则有DE AEBC AB=， 则有1BE AE BE DEAB AB AB BC+=+=，由AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，DE BE =，即为11512DE DE +=，解得：203DE =，即菱形边长．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用．【习题6】如图，在ABC ∆中，DE // BC ，EF // CD ，AF = 3，FD = 2，求AB 的长．ABCDEF22 / 29【答案】253． 【解析】AF = 3，FD = 2，可得5AD AF FD =+=，由DE // BC ，EF // CD ，可得AF AE AD AD AC AB ==，即得355AB =，求得253AB =． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意利用基本“A ”字型，尤其有叠合的图形进行等比例转化．【习题7】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 24，X 、Y 是对角线AC 上的三等分点，联结DX 并延长，交AB 于P ，再联结PY 并延长，交DC 于Q ，则CQ 的长为______【答案】6．【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，可知 //AB CD ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得2DC XC AP AX ==，12CQ CY AP AY ==，由此可得14CQ CD =，即得11644CQ CD AB ===． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找到图形中的“X ”字型．【习题8】如图，在矩形ABCD 中，截去一个矩形ABFE （图中阴影部分），余下的矩形DEFC与原矩形ABCD 相似．（1）设AB = 6 cm ，BC = 8 cm ，求矩形DEFC 的面积；ABCDE FAB CDPQXYA BCDEF GHO（2）若截去的矩形ABFE 是正方形，求ABBC的值． 【答案】（1）227cm ；（2）512-． 【解析】（1）余下矩形与原矩形相似，根据相似形的性质，则有DE EF AB BC =，代入即为668DE =，求得 4.5DE cm =，则有227DEFC S DE EF cm =⋅=矩形；（2）同（1）有DE EF AB BC =，设原矩形宽为a ，则有AE EF BF a ===，代入即为BC a aa BC-=，整理得：220a aBC BC +-=，两边同除以2BC ，即得210a a BC BC ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解方程得512a BC -=，即512AB BC -=，此时为黄金比． 【总结】考查相似形的基本性质的应用．【习题9】如图，平行四边形ABCD 中，对角线交点为O ，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F ，交AB 于G ，交CB 的延长线与H ，试求AB ADDF DE-的值． 【答案】2．【解析】由平行四边形的性质，则有DO OB =，由此可得 DF GB =，又//DC AB ，则有AG AEDF DE=，则有112AB AD AG GB AE DE AG AE DF DE DF DE DF DE +-⎛⎫⎛⎫-=-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找准图形中的“A ”字型和“8”字型等基本图形进行比例转化，同时应用好平行四边形的相关性质．【习题10】如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为边向外作正方形BCDE ，联结AE交BC 于F ，作FG // AC ，交AB 于G ．（1）试判断FCG ∆的形状，并加以证明；（2）若正方形BCDE 边长为1，30AEB ∠=︒，求AB 的长．ABCDEF24 / 29【答案】（1）等腰直角三角形；（2）523-．【解析】（1）FCG ∆是等腰直角三角形． 证明：四边形BCDE 是正方形， //BC DE ∴，////BE CD FG ．CF AF DE AE ∴=，FG AFBE AE=． CF FGDE BE∴=． CF FG ∴=． //FG AC ，90CFG ACB ∴∠=∠=︒．即证FCG ∆是等腰直角三角形．（2）1BE BC ==，30AEB ∠=︒，333BE BF ∴==． 313FG CF ∴==-． 由//FG AC ，可得33FG BF AC BC ==，则331AC FG ==-，根据勾股定理，即可得()2222311523AB AC BC =+=-+=-．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，结合归纳猜想进行解题．ABCDEFGA B C DEFO【作业1】下列说法正确的是（ ） A ．边数相同的多边形相似 B ．对应边成比例的多边形相似 C ．对应角相等的多边形相似D ．全等的多边形相似【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的概念和性质，形状大小完全相同，即对应角相等，对应边对应成比例同时满足，可知ABC 错误，全等的图形是特殊的相似形，可知D 正确．【总结】考查相似形的基本概念和性质．【作业2】已知137x y y-=，则x y y +的值为______． 【答案】277． 【解析】由137x y y -=，则有137x y y -=，根据比例的合比性，13772777x y x +++==． 【总结】考查相关比例的转化，可利用比例的性质进行求解．【作业3】如图，已知AD // BE // CF ，下列比例式成立的有（ ）（1）AB AC DE DF =；（2）AB DE EF BC =；（3）AC DF EF BC =；（4）BC EFAC DF =． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，可得AB DEBC EF=， 结合比例的合比性，即得AB DE AC DF =，BC EFAC DF=， （1）正确，（2）错误，（3）错误，（4）正确，综上所述，故选B ．【总结】考查平行线分线段成比例定理，结合比例基本性质进行等比例转化．【作业4】已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB = 10 cm ，则PQ 长为（ ） A ．()551-B ．()551+C ．()1052-D ．()535-课后作业26 / 29D RQPCBA【答案】C【解析】假设P 在Q 左侧，根据黄金分割点的性质，可知512AQ AB -=，5112AP AB -=-，由10AB cm =，可得()551AQ =-，()535AP =-，则()1052PQ AQ AP =-=-．【总结】考查线段的黄金分割点和黄金分割比的应用．【作业5】已知578a b c==，且a + b + c = 20，求2a b c +-的值． 【答案】9．【解析】根据比例的等比性，可得1578578a b c a b c ++====++，由此可得5a =，7b =，8c =，所以225789a b c +-=⨯+-=．【总结】考查比例的等比性基本知识的应用，应用在部分方程题中可以使题目简便易于计算，当然也可以用设“k ”法．【作业6】如图，小华是个爱动脑筋的小朋友，他发现可以通过如下的方法测得路灯的高度； 晚上他由路灯下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长度为2米，已知小华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB等于（ ） A ．4.5米 B ．6米 C ．7.2米D ．8米【答案】B【解析】设小明身高为h ， 1.5h m =，依题意可得，h CD AB BD =，h EF AB BF =，即得12123BC BC =+++，求得3BC m =，则4BD m =，1.514AB =，即可求得6AB m =，故选B ． 【总结】考查三角形一边平行线性质的实际应用，注意把握好“A ”字型等比例转化． 【作业7】如图，ABC ∆中，在BC 上取一点P ，CA 上取一点Q ，使得BP : PC = 2 : 5，CQ : QA = 3 : 4，AP 与BQ 交于点R ，则AR : RP =______．【答案】14:3．【解析】过点P 作//PD BQ 交AC 于D ，根据三角形一边平行线性质定理，则有AR AQPR QD=， ABC DEF。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿1
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿1一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了线段、射线、直线的概念以及平行线、相交线的基础知识上进行学习的。
比例线段是数学中一种重要的比较方法，它不仅可以解决实际问题，而且也是解决比例、比例分配等问题的重要工具。
本节内容主要包括比例线段的定义、性质和应用。
教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，然后引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习让学生掌握比例线段的运用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于线段、射线、直线等基础知识也有了一定的了解。
但是，学生对于比例线段的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生可能对于比例线段的实际应用场景还不够了解，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握比例线段的定义、性质和运用。
2.过程与方法目标：通过实例引入比例线段的概念，引导学生探究比例线段的性质，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学与生活的紧密联系，培养学生的学习兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的定义、性质和运用。
2.教学难点：比例线段的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、案例教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、练习题等。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例引入比例线段的概念，让学生感受数学与生活的联系。
2.新课导入：介绍比例线段的定义和性质，引导学生进行探究和证明。
3.实例分析：通过具体的例子让学生理解比例线段的运用和解决实际问题的能力。
4.练习巩固：让学生通过练习题来巩固比例线段的定义、性质和运用。
5.总结提升：对本节内容进行总结，强调比例线段的重要性和应用场景。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出比例线段的定义、性质和运用。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计4
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计4一. 教材分析“比例线段”是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的有关知识的基础上进行学习的。
比例线段是指在两个比例中，如果两个外项相等，那么两个内项也相等。
本节课的教学内容主要包括比例线段的定义、比例线段的性质以及比例线段的运用。
通过本节课的学习，使学生能理解和掌握比例线段的知识，提高他们的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和数学基础，他们对比例和线段的知识有一定的了解。
但是，对于比例线段的深度理解和运用还需要加强。
学生在学习过程中可能会对比例线段的性质产生疑问，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、讨论等活动，自主探索比例线段的性质，提高他们的数学素养。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质。
2.能够运用比例线段的知识解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质。
2.比例线段的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生观察、操作、思考，从而探索比例线段的性质。
同时，通过小组合作学习，培养学生的合作交流能力。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
3.教学道具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置问题，引导学生回顾比例和线段的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过课件展示比例线段的定义和性质，让学生初步了解比例线段的概念。
3.操练（15分钟）让学生通过观察、操作、思考，探索比例线段的性质。
在此过程中，教师给予引导学生，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过练习题，让学生运用比例线段的知识解决问题，巩固所学内容。
5.拓展（5分钟）引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，提高学生的实际问题解决能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，加深对比例线段知识的理解。
九年级数学上册 4.1.3 比例中项课件 (新版)浙教版
9．(10 分)(1)已知 a＝4，c＝9，若 b 是 a，c 的比例中项，求 b 的值． (2)已知线段 MN 是 AB，CD 的比例中项，AB＝4 cm，CD＝5 cm，求 MN 的长，并思考两题有何区别？ 解：(1)∵b 是 a，c 的比例中项，∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac，b＝± ac，∵ a＝4，c＝9，∴b＝± 36＝±6，即 b＝±6； (2)∵MN 是线段，∴MN＞0； ∵线段 MN 是 AB，CD 的比例中项，∴AB∶MN＝MN∶CD，∴MN2＝AB·CD， ∴MN＝± AB·CD；∵AB＝4 cm，CD＝5 cm，∴MN＝± 20＝±2 5，MN 不可能为负值，则 MN＝2 5 cm，通过解答(1)，(2)发现，b，MN 同时作为比 例中项出现，b 可以取负值，而 MN 不可以取负值．
PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是 AB，宽是PB的矩形的面积，则S1____＝S2.(填“＞”“＝” 或“＜”)
13．(12 分)如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝4，BC＝2( 5
－1)，∠A＝36°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，试说明点 D
是线段 AC 的黄金分割点．
52－1，∴ACDD＝AADC，故点 D 是线段 AC 的黄金分割点．
14．(12 分)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片 ABCD，先折 出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新位置 B′，因 而 EB′＝EB.类似地，在 AB 上折出点 B″使 AB″＝AB′.这时 B″就是 AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．
证明：设正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，∴ BE＝1，∴AE＝ AB2＋BE2＝ 5.又∵B′E＝BE＝1，∴AB′ ＝AE－B′E＝ 5－1.又∵AB″＝AB′＝ 5－1，∴AB″∶ AB＝(5－1)∶2，∴点 B″是线段 AB 的黄金分割点．
数学 4.1 成比例线段 第三课时-课件
谈谈感受 清点收获
1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比.
5.用数学美去装点和美化生活.
十、布置作业 : 课本P102 1、3、4、5
课外作业:请同学们收集建筑、雕刻和自然界 的黄金分割
数阅
学读
使使
人人
精充
细实
；；
博会
AF BF BF AB
Ａ
Ｐ
Ｂ
如图，如果点Ｐ把线段ＡＢ分成２条线段ＡＰ和ＢＰ，使
BP AP AP AB
，那么称线段ＡＢ被点Ｐ黄金分割，线段
ＡＰ与ＡＢ的比叫黄金比，点Ｐ叫线段ＡＢ的黄金分割点
如何来求 AP 的值呢？
AB
设ＡＢ＝a, AP=x
Ａ
BP AP AP AB
AP2 BP• AB (AB AP) • AB
成比例线段
第四章 图形的相似
如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说 这四个数成比例.
我们把 a、b、c、d 这四个数成比例，
a b
=
c d
，
a、d 叫做比例外项，
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
结论1：比例的基本性质： a c ad bc bd
一、动手折一折
取一张长与宽之比为 2 : 1的长方形，将它对折， 请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例 ，如果成比例，请写出比例式
b c
a
b
解：这四条线段成比例
a 2, b1
a b bc
b 1 2 c 21
2
这个比例式 有什么特别 之处吗？
定义：
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式 a b (a : b b : c) ， 则b就 bc
冀教版初中数学九年级上册 25.1 比例线段 课件
解得 X=0.03 答：适合我的鞋跟高度是3厘米。
.
吗？与同
伴交流！
❖思考：由 ad=bc ,你还能得到什么比例
式？
结论1：比例的基本性质
如果ad bc(a, b, c, d都等于0), 那么 a c .
bd
a
b
b
=
c
4.比例中项
如果
，或 a : b = b : c,即b2=ac ，那么
线段b叫线段a、c的比例中项。
请用类比的方法得出结论
b 4 2b
8 4.已知3x4y(x0),则下列式子成立的是
9
3.已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,
b=6cm,d=9cm,则c=__
A. x y B. x y C. x 3 D. x 4
3
4
4
3
y
4
3
y
CB AC
AC
AB
2.若
a
1
,则 3a
b
7
___8___
b 4 2b
8 4.已知3x4y(x0),则下列式子成立的是
AEFD，
BC = AB
BE
BC
那么我们可以惊奇的发现，
。点E是AB
的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
为什么翩翩起 舞的芭蕾舞演员要 掂起脚尖? 为什么 身材苗条的时装模 特还要穿高跟鞋? 为什么她们会给人 感到和谐、平衡、 舒适，美的感觉?
黄金身材比例
王小姐想以最佳的形象出现在一次宴会上， 经过测量，她身高1.60米，躯干（指肚脐到脚 底的距离）0.96米，请你为王小姐选择一双高 跟鞋，使得视觉效果最佳（精确到毫米）.
3、a=20cm，b=10cm，c=20cm，d= 40cm;
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