第十二章第二节参数方程
第十二章 选修4-4 第二节 参数方程
(1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线？ (2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标．
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第十二章 选考系列
解
(1)当
k＝1
时，C1：xy＝ ＝csions
t， t，
消去参数 t 得 x2＋y2＝1，
故曲线 C1 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆． (2)当 k＝4 时，C1： x＝cos4t，
解析 依题意，消去参数可得 x－2＝y－1，即 x－y－1＝0.
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5．曲线
C
的参数方程为yx＝＝csions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C 的普通方程为
______y＝__2_－___2_x_2(_－__1_≤_x_≤_1_)______．
解析
大值与最小值．
解
(1)曲线 C 的参数方程为xy＝ ＝23csions
θ， θ
(θ 为参数).
直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
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(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为
d＝
5 5
|4cos
θ＋3sin
θ－6|.
θ， θ
(θ 为参数).
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
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第十二章 选考系列
解 (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0，圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a| ≤4， 解得－2 5 ≤a≤2 5 . 即实数 a 的取值范围为[－2 5 ，2 5 ].
2022年高考数学(理)一轮复习教师用书：第十二章 坐标系与参数方程 Word版含答案
第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)考点一 极坐标与直角坐标的互化[例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6[方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围.要留意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.由于点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3. 2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用[例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．[例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.[方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[高考真题体验]1．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x－10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2021·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4，由于ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另始终线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程．(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹 一般方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 双曲线 x 2a －y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ，(φ为参数) 抛物线 y 2＝2px (p ＞0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)考点一 参数方程与一般方程的互化及应用命题点1.求参数方程2.消参数化为一般方程[例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．[方法引航] 1.由一般方程求参数方程，要依据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到一般方程的思路是消参，消去参数的方法要视状况而定，一般有三种状况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数； (3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12.设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos α，y 4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点． 考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用命题点1.直线与圆的方程应用2.直线与椭圆的方程应用[例2] (1)(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. ①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2)(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.[方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的一般方程f (x ，y )＝0再应用.假如直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝ 4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.[高考真题体验]1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsinθ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 由于圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α， |OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。
68第十二章 系列4选讲 第2课时 参数方程
思维升华
消去参数的方法一般有三种 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数. (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数. 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小， 必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
师生共研
题型二 参数方程的应用
x＝2cos θ，
例 1 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
(θ 为参数)，
y＝4sin θ
x＝1＋tcos α，
直线 l 的参数方程为
(t 为参数).
y＝2＋tsin α
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
椭圆
ax22＋by22＝1(a>b>0)
抛物线 y2＝2px(p>0)
x＝acos φ，
(φ 为参数)
__y_＝__b_s_in__φ______________
x＝2pt2，
(t 为参数)
y＝2pt
【概念方法微思考】
x＝x0＋tcos α，
1.在直线的参数方程
(t 为参数)中，
y＝y0＋tsin α
跟踪训练 1
已知椭圆
C：x42＋y32＝1，直线
x＝－3＋ l：
y＝2 3＋t
3t，
(t 为参数).
(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程；
x＝2cos θ，
解 椭圆 C 的参数方程为
(θ 为参数)，
y＝ 3sin θ
直线 l 的普通方程为 x－ 3y＋9＝0.
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
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距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
高中数学精品课件：第二节 参数方程
当 a＜－4 时，d 的最大值为－a1＋7 1.
由题设得－a＋1＝ 17
17，解得 a＝－16.综上，a＝8 或 a＝－16.
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[解题师说] 1．方法要熟 (1)解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程的应用问题时， 一般是先化为普通方程，再根据直线与圆、圆锥曲线的位置关 系来解决问题． (2)对于形如xy＝＝yx00＋＋batt， (t 为参数)的参数方程，当 a2＋ b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题．
解析：由xy＝＝35scions
φ， φ
(φ 为参数)得，2x52＋y92＝1，
当 AB⊥x 轴时，|AB|有最小值．
所以|AB|min＝2×95＝158. 答案：158
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3．曲线
C
的参数方程为xy＝＝csoins
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C 的普
通方程为____________．
解析：由xy＝＝csoins
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)消去参数 θ，得 y＝2－2x2(－
1≤x≤1)．
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)
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4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
x＝1＋12t，
y＝
3 2t
(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋y42＝1，设直线
l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为___________．
第二 节
参数方程
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
返回
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
参数方程的概念 课件
x＝2tcos 已知弹道曲线的参数方程为
π6，Leabharlann y＝2tsin π6－12gt2.
(1)求炮弹从发射到落地所需时间；
(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．
(t 为参数)
[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实 际意义及其应用．
[解] (1)令 y＝0，则 2tsin π6－12gt2＝0， 解之得 t＝2g . ∴炮弹从发射到落地所需要的时间为2g .
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理 意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．
(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求 出参数的取值范围并标注出来．
[本节热点命题关注] 曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容．本考题以实 际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题 的一个新亮点．
(1)把点 M1 的坐标代入参数方程yx＝＝32tt2，－1， 得－0＝1＝2t，3t2－1， ∴t＝0.即点 M1 在曲线 C 上． 把点 M2 的坐标代入参数方程xy＝＝32tt2，－1， 得140＝＝23t，t2－1， 方程组无解．即点 M2 不在曲线 C 上．
(2)∵点 M(2，a)在曲线 C 上，∴2a＝＝23tt，2－1. ∴t＝1，a＝3×12－1＝2.即 a 的值为 2.
方法·规律 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将 点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组， 如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．
考点2
求曲线的参数方程
如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是 直角，腰长为 a，顶点 B、A 分别在 x 轴、y 轴 上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程．
第十二章 双口网络
（2）Y参数的定义式 —— 计算式 Y参数的定义式为：
•
Y11
I1
•
U1
•
U 2 0
•
Y21
I2
•
U1
•
U 2 0
•
Y12
I1
•
U2
•
U 1 0
归纳
•
Yjk
Ij
•
（j 1,2; k 1,2）
Uk
•
U 非k 0
•
Y22
I2
•
U2
•
U 1 0
式中j＝1或2，k＝1或2，所以共有四种组合。U• 非k 之意是：
§12－1 双口网络概述
1. 网络端口定义 端口：任一瞬时，由网络某端口流入的电流等于由另一端子流 出的电流，则此对端子称为端口。 2. 单口、双口、多口网络 单口网络（简称单口）：二端网络均为单口网络。 双口网络（简称双口）：四端网络有的是双口（如理想变压 器），有的不是（如三相Y0负载）。
多口网络（简称多口）：双口以上的网络统称为多口网络，如 三绕组（线圈）变压器为三口网络。
（2）节点电压法：列节点电压方程求Y参数的方法。Π形电路 的Y参数用节点电压法求解比用定义法求解要简便得多。
（3）测量计算法：通过测量数据计算Y参数的方法，其依据是 参数方程。
例 图（a）所示为电阻性双口网络，其参数可用直流进行测量。 1－1′接压源10V，当 2－ 2′短路时，A1 读数为6A， A2 读数为5A； 当 2－ 2′开路时， A1 为2.5A，V2 读数为5V。求该双口的Y参数矩 阵，该双口是否为互易双口？
U1
•
U 2 0
（驱）动点导纳
•
Y21
成考教材高等数学二目录
成考教材高等数学二目录高等数学二目录第一章极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限1.1.2 函数极限1.1.3 极限的性质与运算法则1.2 无穷小量与无穷大量1.2.1 无穷小量的定义与性质1.2.2 无穷大量的定义与性质1.2.3 无穷小量与无穷大量的关系与运算1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的定义与性质1.3.2 连续函数的四则运算1.3.3 间断点及其分类1.4 极限运算与连续函数的应用1.4.1 利用极限计算函数的连续性1.4.2 连续函数的介值性定理 1.4.3 立体几何问题中的应用第二章导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的运算法则2.1.3 高阶导数与隐函数求导 2.2 函数的微分与近似2.2.1 微分的定义与性质2.2.2 微分的应用2.2.3 泰勒公式及其应用2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义与性质 2.3.2 高阶微分的定义与性质 2.3.3 高阶导数的应用2.4 隐函数与参数方程的导数 2.4.1 隐函数求导的基本方法2.4.2 参数方程求导的基本方法2.4.3 参数方程与隐函数在几何中的应用第三章微分中值定理与Taylor公式3.1 微分中值定理3.1.1 Rolle定理与Lagrange中值定理3.1.2 Cauchy中值定理及其应用3.1.3 Bernoulli中值定理及其应用3.2 Taylor公式3.2.1 Taylor公式及其余项3.2.2 Taylor公式的应用3.2.3 幂级数与函数的展开第四章不定积分和定积分4.1 不定积分4.1.1 不定积分的定义与性质4.1.2 基本不定积分表4.1.3 不定积分的运算与换元法4.2 定积分4.2.1 定积分的概念与性质4.2.2 Newton-Leibniz公式4.2.3 定积分的计算与应用4.3 定积分的应用4.3.1 定积分在几何中的应用 4.3.2 定积分在物理中的应用 4.3.3 定积分在生活中的应用第五章多元函数微积分学5.1 二元函数微分学5.1.1 偏导数的定义与性质5.1.2 二元函数的全微分5.1.3 链式法则与隐函数定理 5.2 多元函数的导数5.2.1 多元函数的方向导数5.2.2 梯度与方向导数5.2.3 多元复合函数的导数5.3 多元函数的极值与条件极值5.3.1 多元函数的极值判定5.3.2 多元函数的条件极值5.3.3 基本最值定理5.4 重积分5.4.1 重积分概念与性质5.4.2 二重积分的计算与应用5.4.3 三重积分的计算与应用第六章无穷级数与幂级数6.1 无穷级数的收敛性与性质6.1.1 无穷级数的概念与性质6.1.2 收敛级数的性质与判别法 6.1.3 收敛级数的运算与函数展开 6.2 函数项级数6.2.1 函数项级数的收敛性6.2.2 函数项级数的性质与判别法 6.2.3 函数项级数的一致收敛性 6.3 幂级数与泰勒级数6.3.1 幂级数的收敛域与运算法则 6.3.2 幂级数的应用与性质6.3.3 泰勒级数与其应用第七章曲线与曲面积分7.1 曲线积分7.1.1 第一类曲线积分7.1.2 第二类曲线积分7.1.3 Green公式及其应用7.2 曲面积分7.2.1 第一类曲面积分7.2.2 第二类曲面积分7.2.3 Gauss公式及其应用7.3 广义积分7.3.1 第一类广义积分7.3.2 第二类广义积分7.3.3 海涅公式与其应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间平面与直线8.1.1 空间平面的方程与性质 8.1.2 空间直线的方程与性质 8.1.3 空间曲线的参数方程8.2 空间向量与点线面距离8.2.1 空间向量的定义与运算 8.2.2 向量的数量积与向量积 8.2.3 点线面间的距离与投影 8.3 空间曲面与曲线的参数化8.3.1 参数方程的定义与性质 8.3.2 曲线的切线与法平面8.3.3 曲面的法线与切平面第九章偏导数与微分9.1 函数的偏导数9.1.1 函数的偏导数概念与性质 9.1.2 高阶偏导数与混合偏导数 9.1.3 隐函数的偏导数计算9.2 多元函数的全微分9.2.1 多元函数的全微分定义与性质9.2.2 多元函数的全微分计算9.2.3 隐函数的全微分计算9.3 微分的近似与应用9.3.1 微分的近似计算9.3.2 微分在局部线性化中的应用9.3.3 微分在误差估计中的应用第十章多元函数的极值与条件极值10.1 多元函数的极值判定10.1.1 多元函数的极值性质与判别法 10.1.2 多元函数的极值存在性与应用 10.2 多元函数的条件极值10.2.1 多元函数的条件极值求解10.2.2 条件极值的充分条件与应用10.2.3 无约束极值与最大值最小值问题第十一章重积分及其应用11.1 二重积分的概念与性质11.1.1 二重积分的定义11.1.2 二重积分的性质与计算11.1.3 二重积分的应用11.2 三重积分的概念与性质11.2.1 三重积分的定义11.2.2 三重积分的性质与计算11.2.3 三重积分的应用11.3 重积分的变量替换与坐标变换 11.3.1 重积分的变量替换方法11.3.2 极坐标与柱坐标变换11.3.3 面积分与体积分的计算方法第十二章曲线积分与曲面积分12.1 曲线积分12.1.1 一类曲线积分12.1.2 二类曲线积分12.1.3 Green公式与环量计算12.2 曲面积分12.2.1 一类曲面积分12.2.2 二类曲面积分12.2.3 Gauss公式与通量计算12.3 散度与旋度12.3.1 向量场的散度与旋度12.3.2 散度定理与Stokes公式12.3.3 求解散度与旋度的应用第十三章多元函数积分学的进一步应用 13.1 广义积分13.1.1 广义积分的基本概念13.1.2 一类广义积分的收敛性13.1.3 第二类广义积分的计算13.2 多元函数积分学的应用13.2.1 空间曲线与空间曲面的长度13.2.2 形心、质心与薄片质量13.2.3 统计学中的应用第十四章参数方程与空间解析几何 14.1 参数方程的求法与性质14.1.1 参数方程的求法与简化14.1.2 参数方程的性质与性质14.1.3 参数方程与向量函数的关系 14.2 空间曲线的性质与判断方法14.2.1 曲线的切线与法平面14.2.2 曲线的凸凹性与对称性14.3 空间几何体的性质与计算14.3.1 空间几何体的体积与表面积 14.3.2 空间几何体的位置关系14.3.3 空间几何体的方向角与夹角第十五章应用题综合实例分析15.1 实际问题的数学建模15.1.1 数学建模的基本思想15.1.2 实际问题的模型假设15.1.3 实际问题的数学建模步骤15.2 应用题的综合实例分析15.2.1 空间点与空间曲线的几何关系 15.2.2 变力做功与功率15.2.3 流体的力学性质与运动规律第十六章常微分方程16.1 常微分方程的基本概念与性质16.1.1 微分方程的基本概念16.1.2 微分方程的解与解的存在唯一性 16.1.3 微分方程的解的初值问题16.2 一阶常微分方程16.2.1 可分离变量方程16.2.2 齐次方程与非齐次方程16.2.3 一阶线性方程16.3 高阶线性常微分方程16.3.1 齐次线性方程16.3.2 常系数非齐次线性方程16.3.3 变系数非齐次线性方程16.4 常微分方程的应用16.4.1 物理问题的微分方程模型16.4.2 生态问题的微分方程模型16.4.3 人口问题的微分方程模型总结本教材共包括16章，分别介绍了高等数学二的各个知识点和概念。
第十二章第二节参数方程
第十二章第二节参数方程课下练兵场1.（2018•欠r f y=3x+4,那么厶与/2 间的距离为（）A.V10B.D. 3^10解析：直线h的参数方程『一""’（/为参数）.b 二1+3tx・1丿・1化为一般方程为：一p二丁，即女・），-2 = 0.又“ ：3x・〉，+ 4二0.由两平行线间距离公式知lei ・ C2I 14 ・（• 2）1d = ^p^ = ^~= 5 ■答案：Bx=l—2t92.（2018•广5如假设直线—（/为参数）与直线4x+ky=l垂直，那么常数R=（）ly=2+3fA. 25B. -6C. 6 D・ 7解析：直线h：3x + 2y・7二0,直线b ：4x+灯・1二0.由人丄li t+ 3-4 = 0 f:.k=・6・答案:B|x=—2+cos^v3.点P （x 9 y ）在曲线 .q（&为参数）上，那么*的取值范畴为（）[y=sin0xA. （一¥，谢B.[一净習]C. [-1,1]D.[—芈,習]x 二・ 2 + cosO v解析：曲鏘（0为参数）是以（-2,0）为圆心，以1为半径的圆，谜二JV = sin&哉的取值范畴，即求当直线丿二也与圆有公共点时R 的取值范畴,如图结合圆的几何性质解析:设直线的斜率为萌，当r 二・4时小二0 "二3・2萌，故直线的斜截式方程为J 二答案:B5.点P （x 』）是椭圆2x 2+3y 2= 12上的一个动点,那么x+2j 的最大值为椭圜才+葺二 1 ,设点 P(&cos& , 2sin&), 那么 x + 2y = &cos0 + 4sin0 = ^/22sin(^ + 卩) 答案：B（/为参数），那么它的斜截式方程为A.丿=萌尤+（2萌一3） C.〉=伍+（2迄一3）B ・ y=©x+(3—2回 D.)=伍+(3—2问A.V21B.A /22C.A /23解析: 答案:B6-假设一】)为圆二s觸'(°为参数且V)的弦的中点，那么该弦所在的直线方程为( )A. x+y+3=0B. x+j—3=0C. x—j—3=0D. x—)+3=0x = 1 + 5cos0 #解析：丁圆,=5sin& ・消去0,得(x・ 1)2*2 = 25,・••圆心C(l,0), :.k C p= - 1.・••弦所在的直线的斜率为1.・・•弦所在的直线方程为y(-l)= l(x - 2),即为x-y-3 = 0.答案：C(x=t+3,7.在平面直角坐标系xO丿中，直线/的参数方程为L=3_/ (参数伍R)，圆*的参数方程x 2c?os0为二•… (参数&曰02刃)，那么圆C的圆心坐标为 _______________ ,圆心到直线/的距离ly=2sin0+2为________ .解析：直线和圆的方程分不是：x +〉，・6二0,0 + 0，- 2)2二22 ,因此圆心坐标为(0,2),其到10 + 2 - 61 「直线距离为d = -^=~ = 2y{2.小+ 1答案：(0,2) 2<2&动圆方程0+)，2一旳112&+2问sin(0+扌)=0(0为参数)，那么圆心的轨迹方程是_____________ .解析：圆心轨迹的参数方程为:消去参数&得尸二1 + "（・*0 w£）・ 答案：护=1+" XG[—|]9. a, b, a+/＞成等差数列，a, b, a 力成等比数列，点P （x, y ）为椭圆十+十=1上的一点，那 么*+¥町+护的最大值为 ______________ .（2b = 2a + b 2 v 2 解析：依题意得| ，解得a = 2.b 二4,得椭圆方程为+生二1,[b 2 = a 2b 2 4设P （迄cos& , 2sin&）（0为参数）,那么有x 2 + 丰xy +y 2 =（迄 cos 。
第十二章 第1节 第2课时 参数方程
17
知识衍化体验
考点聚集突破
(2)由x＝2＋sin2 θ，0≤sin2 θ≤1⇒2≤2＋sin2 θ≤3⇒2≤x≤3，
xy＝ ＝2－＋1s＋inc2oθs，2θ⇒xy－ ＝2－＝1s＋in12－θ，2sin2 θ
14
知识衍化体验
考点聚集突破
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.
设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).
则
P
到
l
距离
d＝|3cos
θ＋4sin 17
θ－4－a|＝|5sin(θ＋φ)－4－a|，其中 17
tan
φ＝34.
又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17，
所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17. 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16. 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.
(1)参数方程xy＝ ＝fg((tt))，中的 x，y 都是参数 t 的函数.(
)
(2)过
M0(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α (t
为参数).参数
t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M→0M 的数量.( )
知识衍化体验
考点聚集突破
考点二 参数方程的应用
【例 2－1】
已知椭圆
C：x42＋y32＝1，直线
第十二章 二端口网络
第12章 二端口网络通过引出一对端钮与外电路连接的网络常称为二端网络，通常分为两类即无源二端网络和有源二端网络。
二端网络中电流从一个端钮流入，从另一个端钮流出，这样一对端钮形成了网络的一个端口，故二端网络也称为一端口网络。
如图'i i =。
在正弦稳态电路中，....U Z II Y U ==可见端口的两个物理量仅需一个参数去联系。
§12－1 二端口网络如图所示的四端网络，如果满足11'I I =，22'I I =，则称该网络为二端口网络。
其中11′ 端口称为输入端口，22′ 端口称为输出端口。
在输入端口处加上激励，在输出端口处产生响应。
对于线性无源的二端口网络，端口共有四个物理量, 要研究端口的电压和电流之间的关系，任选其中两个为自变量，则另外两个就为因变量。
11111222211222()()()()()()f t W x t W x t f t W x t W x t =+=+可见两个端口上的四个物理量需四个参数去联系。
根据不同的组合方式，就有六种不同的二端口参数方程，这里只介绍常用的四种参数。
可逆二端口网络：满足互易定理的二端口网络。
对称二端口网络：如果将二端口网络的输入端口(端口11′)与输出端口(端口22′)对调后，其各端口电流、电压关系均不改变，这种二端口网络称为对称二端口网络，这种网络从联接结构看也是对称的。
+_ u+ _ .2U+ _ .1U 1§12－2 二端口网络方程和参数注意：讨论二端网络的网络方程式，其端口上电压、电流的参考方向必须向内关联。
一、Y 参数方程和短路导纳矩阵取..12,U U 作自变量，..12,I I 作因变量...1111222...2211222I Y U Y U I Y U Y U =+=+..111112..212222Y Y UI Y Y UI ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记为 =..I Y U11122122Y Y Y Y Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中 .111.1.20|U I Y U == .221.1.20|U I YU ==.112.2.10|U I Y U ==.222.2.10|U I YU ==可见，Y 参数又叫短路导纳参数。
高中数学第二节 参数方程ppt课件
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道 变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1， 即 C 的普通方程为x92＋y2＝1， 由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2， 所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及 其参数的意义. 2.能选择适当的参 数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin
机翼理论
2 2
2 2
0
2 2
2 2
0
( , ) 、 ( , ) 组成的复势为： W ( ) ( , ) i ( , )
设解析函数 z f ( ) 可使 平面的C 变换成z 平面的Cz ，则W ( ) 通过z f ( )
可变成z 平面的复势： W (z) (x, y) i (x, y)
Cl
1 2
L
v2 b
Cd
1 2
D
v2 b
Cm
1 2
M
v2 b
4．空气动力学特性曲线 1）升力系数Cl 与攻角 关系曲线Cl ~
Cl ~ 曲线在实用范围内，近似成一直线，在较大攻角时，略向下弯 曲，当达到最大值后，则突然下降。飞机如在飞行时遇到这种情况，则有 坠毁的危险，这一现象称为“失速”。
翼型的升力是由其表面上、下压力差提供的，翼型上表面的低压对压 差（升力）的贡献远超过下表面的高压。 三、翼型几何形状对气动性能的影响
1．弯度的影响
对同一冲角，随着弯度的增加，升、阻力将显著增加，其中阻力增加 较升力增加快。
升力增大：是由于弯度增加后导致上、下弧的流速差加大，从而压差 也增大。
阻力增大：弯度增大后，上弧流速增大，从而摩擦阻力上升，并且由 于翼型迎流面积增大压差阻力也将增大。
R1ei1 R2ei2
(
1ei1 2ei2
)2
R1 ei12 ( ) e 1 2 i212
R2
2
R1 ( 1 )2 R2 2
1 2 2(1 2 )
（3）
3）过 c 的二曲线1c, 2c 与 轴的夹角分别为1 、1 1 ，点1, 2
与2
c 的连线与实轴夹角为2，2 ，近似2 0 ，2 对于z 平面，设z1, z2 为1, 2 的对应点，z12 c,
第12章 第2节 参数方程
第二节 参数方程
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝fgtt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数．
2．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝coskt， y＝sinkt (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0．
(1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线？ (2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标．
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0．
∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
第二节 参数方程
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
点评：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值 范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t) 的值域，即 x 和 y 的取值范围．
第二节 参数方程
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
考点二 参数方程的应用
1．直线的参数方程中 t 的几何意义
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
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第十二章第二节参数方程
课下练兵场
1．(2018·天津高考)设直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t ，(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，
那么l 1与l 2间的距离为
( )
A.10
B.3105
C.210
5
D ．310
解析：直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t ，
y ＝1＋3t
(t 为参数)．
化为一般方程为：x －11＝y －1
3，即 3x －y －2＝0.
又l 2：3x －y ＋4＝0.由两平行线间距离公式知 d ＝
|c 1－c 2|
a 2＋
b 2
＝|4－(－2)|10＝310
5.
答案：B
2．(2018·广东高考)假设直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝( )
A ．25
B ．－6
C ．6
D ．7 解析：直线l 1：3x ＋2y －7＝0，直线l 2：4x ＋ky －1＝0. 由l 1⊥l 2，∴2k ＋3·4＝0，∴k ＝－6. 答案：B
3．点P (x ，y )在曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上，那么y
x 的取值范畴为 ( )
A ．(－
22，22] B ．[－33，33] C ．[－1,1] D ．[－55，5
5
] 解析： 曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)是以(－2,0)为圆心，以1为半径的圆，设y
x
＝k ，
求y
x 的取值范畴，即求当直线y ＝kx 与圆有公共点时k 的取值范畴，如图结合圆的几何性质可得－
33≤k ≤33
.
答案：B
4．设直线参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋t 2
，
y ＝3＋3
2
t (t 为参数)，那么它的斜截式方程为 ( )
A ．y ＝3x ＋(23－3)
B ．y ＝3x ＋(3－23)
C ．y ＝3x ＋(22－3)
D ．y ＝3x ＋(3－22)
解析：设直线的斜率为3，当t ＝－4时，x ＝0，y ＝3－23，故直线的斜截式方程为y ＝ 3x ＋( 3－23)． 答案：B
5．点P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，那么x ＋2y 的最大值为 ( )
A.21
B.22
C.23 D ．26 解析：椭圆x 26＋y 2
4＝1，设点P (6cos θ，2sin θ)，
那么x ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22sin(θ＋φ)≤22. 答案：B
6．假设P (2，－1)为圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋5cos θ，
y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，那么该弦所在的直
线方程为
( )
A ．x ＋y ＋3＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．x －y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
解析：∵圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋5cos θ，
y ＝5sin θ.
消去θ，得(x －1)2＋y 2＝25， ∴圆心C (1,0)，∴k CP ＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为1.
∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)， 即为x －y －3＝0. 答案：C
7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋3，
y ＝3－t (参数t ∈R)，圆C 的参数方程
为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，那么圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________．
解析：直线和圆的方程分不是：x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，因此圆心坐标为(0,2)，其到直线距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.
答案：(0,2) 2 2
8．动圆方程x 2＋y 2－x sin2θ＋22y sin(θ＋π
4
)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是___________．
解析：圆心轨迹的参数方程为：
⎩⎨⎧
x ＝1
2sin2θ，y ＝－2sin(θ＋π4
)，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θcos θ，
y ＝－(sin θ＋cos θ)，
消去参数θ得y 2＝1＋2x (－12≤x ≤1
2)．
答案：y 2＝1＋2x x ∈[－12，1
2
]
9．a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，点P (x ，y )为椭圆x 2a ＋y 2
b ＝1上的一点，那么x 2＋
2
2
xy ＋y 2的最大值为________． 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＝2a ＋b b 2＝a 2
b
，解得a ＝2，b ＝4，得椭圆方程为x 22＋y 2
4＝1，
设P (2cos θ，2sin θ)(θ为参数)，那么有 x 2＋
22xy ＋y 2＝(2cos θ)2＋2
2
×2cos θ×2sin θ＋4sin 2θ ＝2＋2sin 2θ＋sin2θ＝3＋sin2θ－cos2θ ＝3＋2sin(2θ－π
4)≤3＋2，
故最大值为3＋ 2. 答案：3＋ 2
10．(2018·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧
x ＝t ＋1
t
y ＝t －1
t
(t 为参数)相交于A 、
B 两点，求线段AB 的长．
解：曲线⎩⎨⎧
x ＝t ＋
1t
y ＝t －1
t
的一般方程为x 2－y 2＝4.
过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝3
3
x ＋3， 联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得，
23
x 2
－2x －7＝0，
∴x 1x 2＝－21
2.x 1＋x 2＝3，
∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝
1＋k 2
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝217
11．直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，y ＝1＋2t
(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π
4)(θ为参
数)．
(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判定直线l 和圆C 的位置关系．
解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin(θ＋π
4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离 d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，
因此直线l 和⊙C 相交．
12．极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的参数方程
为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos θ
y ＝t sin θ(t 为参数，θ为直线l 的倾斜角)，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0. (1)假设直线l 与圆C 相切，求θ的值；
(2)假设直线l 与圆C 有公共点，求θ的取值范畴．
解：因为直线l 的直角坐标方程为y =x tan θ或x =0，圆C 的直角坐标方程为(x -4)2+y 2=4. 由图形可知：
(1)当直线l 与圆C 相切时，θ=π6或θ=5π6
；
(2)当直线l 与圆C 有公共点时，θ∈[0，π6]∪[5π
6
，π)．。