公理3的应用
高中数学北师大版必修二 1.4.1公理1、公理2、公理3及应用 课件(39张)
方法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α， 又∵A∈a，B∈b，∴AB Ø α，即l Ø α. ∵c∥b，∴c，b确定一个平面β， 而B∈b，C∈c，∴BC Ø β，即l Ø β. ∴b，l Ø α，b，l Ø β，而b∩l＝B， ∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．
方法归纳 解决点线共面问题的基本方法
类型三 [例3]
多线共点和多点共线问题
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于 P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．
【证明】 方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB Ø 平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 方法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR， ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC Ø 平面APR，又∵Q∈直线BC， ∴Q∈平面APR.又Q∈α， ∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．
类型二 点、线共面问题 [例2] 已知一条直线与另三条互相平行的直线都相交，求 证：这四条直线共面．
【思路点拨】 可运用已有的平行或相交条件，先确定一个 平面，然后证明剩余元素也在这个平面内，或者由两组元素分别 确定平面，然后证明两平面重合．
【解析】 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c，l共面． 证明：方法一：如图，∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l上有两点A，B在α内，即直线l Ø α， ∴a，b，l共面． 即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则b Ø α. 同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内． ∴a，b，c，l共面．
“立体几何公理3”在篮球投篮技术中的应用研究
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欧氏几何的原理和应用
欧氏几何的原理和应用1. 欧氏几何的概述欧氏几何，是指由希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中所提出的一套基本原理和公理，被广泛应用于平面和空间的几何学中。
它以点、直线和平面为基础，通过定义距离、角度等几何概念，建立了一套完整的几何理论体系。
2. 欧氏几何的基本原理和公理欧氏几何的基本原理和公理包括以下几个方面：•公理1：点线度量公理。
欧氏几何中，可以用长度表示的线段具有可加性，即两个线段的长度之和等于这两个线段连在一起的线段的长度。
•公理2：等距传递性公理。
如果两个线段等距，且一个线段和另一个线段等距，则这两个线段之间的所有线段都等距。
•公理3：等角传递性公理。
如果两个角等对顶角，且一个角和另一个角等对顶角，则这两个角之间的所有角都等对顶角。
•公理4：一致性公理。
如果点A在线段BC上，点B在线段CD上，则点A、B、C、D四个点在同一条直线上。
3. 欧氏几何的应用欧氏几何的原理和公理在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：3.1 建筑设计在建筑设计中，欧氏几何的原理和公理被用于确定建筑物的尺寸和布局。
设计师根据欧氏几何的原理进行空间规划，确保建筑物的各个部分符合几何比例和美学原则。
例如，在设计一座居住建筑时，设计师可以利用欧氏几何的原理来确定房间的大小、窗户的位置等，让整个空间更加协调和谐。
3.2 测量和地理学欧氏几何的原理被广泛应用于测量和地理学领域。
地理学家和测量工程师使用欧氏几何的原理来确定地球表面上的距离、角度和面积。
他们通过测量线段长度、角度大小等来绘制地图，并计算出地图上不同地点之间的距离和位置关系。
3.3 计算机图形学欧氏几何在计算机图形学中也扮演着重要的角色。
计算机图形学是一门研究如何利用计算机来生成、处理和显示图像的学科。
在三维计算机图形学中，欧氏几何的原理被用来计算和描述三维空间中的物体和场景。
例如，在计算机游戏开发中，设计师可以利用欧氏几何的原理来实现物体的运动、相机的视角变换等效果。
平面及其基本性质--三个公理三个推论的应用
资源信息表（3）平面及其基本性质——三个公理三个推论的应用上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行证明.公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.二、教学目标设计理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题四、教学流程设计五、教学过程设计（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α∉ C 、AB α⊄ D 、AB C α⋂= 2）判断①若直线a 与平面α有公共点，则称a α⊄. （×）②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ）A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C 、三条互相平行的直线一定共面.D 、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.（二）证明 1、共面问题例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上.证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ⋂=⋂=⋂=⋂=l 3l 2B C l 1A1312131232,1,,,l l C C l l C l B BC l l l l ααααα⎫⇒⎫⇒∈⎬⎪=⋂⇒∈⎬⎭⎪∈⎭⇒⊂∈⇒（推论）可确定平面平面同理平面（公理）平面即平面直线在同一平面上【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法. 归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个平面内. 练习：l 4D FE l 3l 2B Cl 1A12341234123123424121212123343442,,,,,,,,,,,l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l E l l C l l l l A AB B l l A l l B l l l D DE l l l E αααααααα⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⇒⇒⊂∈⎫⎧⇒⇒⊂⎬⎨∈⋂=⋂=⎩⎭⇒⊂⎫⎪⋂=⇒⊂⇒⊂⎬⎪⋂=⎭⇒33已知：两两相交且无三线共点。
摩擦学的三个公理
摩擦学的三个公理在摩擦学中，存在着三个重要的公理，它们在研究物体之间的摩擦力时起到基础性的作用。
这三个公理分别是：1. 马丁摩擦定律：马丁摩擦定律是摩擦学的基础，它表明物体之间的摩擦力与它们之间的压力成正比。
即，摩擦力与物体之间的压力大小有直接关系。
这是一个经验规律，适用于大多数情况下。
2. 库仑摩擦定律：库仑摩擦定律是描述干摩擦力与物体之间相对速度的关系的规律。
它指出，干摩擦力的大小与两个物体间相对速度的乘积成正比。
换句话说，当物体之间的相对速度增加时，摩擦力也会增大。
3. 静摩擦力与滑动摩擦力的切换条件：当一个物体相对于另一个物体处于静止状态时，两者之间的摩擦力称为静摩擦力。
而当一个物体开始相对滑动时，两者之间的摩擦力则变为滑动摩擦力。
这一转换发生的条件是，物体之间的相对运动达到一个临界值，这个临界值称为静摩擦力的极限，也被称为摩擦系数。
通过这三个公理，我们能更准确地描述物体之间的摩擦力现象，进而研究和解决与摩擦相关的问题。
除了上述的三个公理外，摩擦学还涉及到一些其他的概念和原理，以下是与摩擦相关的一些补充内容：1. 摩擦系数：摩擦系数是一个量化摩擦力大小的物理量，用符号μ表示。
它描述了两个物体间的摩擦力与压力的比值。
通过测量和实验，可以确定不同材料之间的摩擦系数，从而在工程和科学应用中方便地计算摩擦力。
2. 滑动摩擦力和滚动摩擦力：摩擦力可以分为滑动摩擦力和滚动摩擦力两种形式。
滑动摩擦力发生在两个物体表面之间相互滑动的情况下，而滚动摩擦力则是当一个物体在另一个物体上滚动时产生的摩擦力。
两者之间存在一定的差异，例如滚动摩擦力通常比滑动摩擦力小。
3. 摩擦力的应用：摩擦力是生活中和工程实践中非常常见和重要的现象。
正是通过摩擦力，人类可以正常步行、操控车辆以及使用工具等等。
摩擦力也广泛应用于机械工程、运输工程、建筑和材料科学等领域，例如在设计车辆刹车系统时需要考虑摩擦力的大小，以确保安全性和可靠性。
1_平面基本性质第三课时
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或 两个平面可以把空间分成________部分 部分， （2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分， ， ， 或 三个平面呢?_________________。 。 三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 上 在 上 ： ： ， ： ： ， 求证： 、 交于一点。 求证：EF、GH、BD交于一点。 、 交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法： 证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上， 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又 往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题：可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面， 再证其余元素都在此平面内； 再证其余元素都在此平面内 ； 或者指出给定的元素中的某些元 素在一个平面内，再证两个平面重合． 素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内 题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、 两两相交， 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 、直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
立体几何三大公理应用超级全面
立体几何三大公理的应用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，P是B′D′的中点，对角线A′C∩平面AB′D′=Q.求证：A，Q，P三点共线．2.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．4.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．5.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．(1)求证：E,F,B,D四点共面；(2)若AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P,Q,R三点共线．6.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，如图．(1)若A1C交平面EFBD于点R，则P，Q，R三点共线．(2)证明DE、BF、CC1三线共点．7.如图，空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别在AB、BC上，且CFFB =AEEB=13．(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：FG、HE、BD三条直线交于一点．8.已知空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC,CD上的点，且CFCB =CGCD=23．求证：(1)E,F,G,H四点共面；(2)三条直线EF,GH,AC交于一点．9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG︰GC=DH︰HC=1︰2．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：直线EG、FH、AC交于一点．10.正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都为2，D、E、F分别是AB、A1C1、BC的中点，(1)证明：A1、C1、D、F四点共面；(2)求异面直线B1C与DE所成角余弦值；(3)证明：A1D、C1F、B1B三线共点．11.如图，已知平面α，β，且α∩β=l，设梯形ABCD中，AD//BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC=//12AD，BE=//12FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？13.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=1，AD=√3，E，F分别为棱PD，PA的中点．(1)求证：B、C、E、F四点共面；(2)求异面直线PB与AE所成的角．能力提升一、共线问题例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。
静力学四大公理
静力学四大公理静力学四大公理是静力学的基本原理，它们为我们理解和分析物体的静力学问题提供了基础。
本文将详细介绍静力学四大公理，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、公理一：物体的平衡条件物体处于平衡状态时，合外力和合外力矩均为零。
这是静力学最基本的原理，也是其他公理推导出来的基础。
在实际问题中，我们常常需要分析物体在平衡状态下所受到的各个外力和外力矩。
通过应用公式和计算方法，我们可以求解出物体所受到的各个外力分量，并进一步分析物体是否处于平衡状态。
二、公理二：合外力矢量等于零合外力矢量等于零是指所有作用在物体上的外部作用力所构成的向量之和等于零。
这意味着所有作用在物体上的受约束作用力之和等于零。
这个公理可以帮助我们解决受约束问题。
通过将约束条件转化为向量方程，并利用合外力矢量等于零来求解未知变量，我们可以计算出约束条件下物体所受到的各个作用力。
三、公理三：合外力矩等于零合外力矩等于零是指所有作用在物体上的外部力矩所构成的向量之和等于零。
这意味着物体在平衡状态下所受到的所有外部力矩之和为零。
在实际问题中，我们常常需要分析物体所受到的各个外部力矩。
通过应用公式和计算方法，我们可以求解出物体所受到的各个外部力矩分量，并进一步分析物体是否处于平衡状态。
四、公理四：约束反作用约束反作用是指当一个物体受到一个约束时，该约束会对该物体施加一个与该约束方向相反的作用力。
这是因为根据牛顿第三定律，对于任何一个施加在物体上的作用力，都会有一个与之大小相等、方向相反的反作用力。
通过应用公理四，我们可以计算出各个约束对物体施加的反作用力，并进一步分析这些反作用力对平衡状态下物体所产生的影响。
综上所述，静力学四大公理为我们解决静态问题提供了基本原理。
通过应用这些公理，并结合相关知识和计算方法，我们可以准确地分析和解决各种静力学问题。
在实际问题中，我们常常需要根据物体所受到的各个外力和外力矩，以及约束条件和约束反作用力等因素，来分析物体的平衡状态。
只适用于刚体的静力学公理
只适用于刚体的静力学公理1.引言1.1 概述静力学公理是力学领域中的基本原理之一，它在描述刚体的静力学问题时具有重要的应用价值。
静力学公理假设刚体处于静止状态时，力的作用仅仅与刚体本身的几何形状和力的大小有关，而与力的作用点和作用方向无关。
在静力学公理中，刚体被认为是一个由无限个无限小微团组成的系统，无论是内力还是外力，都可以看作是这些微团之间的相互作用引起的。
这个公理的基本前提是刚体具有稳定的结构，其内部微团之间的相互作用力使得刚体保持静止，即不产生任何形变和运动。
静力学公理的适用范围主要限制在刚体系统上。
刚体是指具有固定几何形状的物体，其各个部分在受力作用下不产生相对位移。
这一特性使得刚体可以通过应用静力学公理进行分析和求解，从而预测和解释刚体在各种条件下的静力学行为。
通过研究刚体的静力学性质，可以得出许多重要结论和定理，这些定理不仅对工程学科具有重要意义，而且在建筑设计、材料力学等领域中也有广泛的应用。
例如，在建筑桥梁的设计中，静力学公理可以用来确定桥梁的稳定性和结构承载能力；在工程机械的设计中，静力学公理可以用来优化机械结构和增强工作效率。
总之，静力学公理作为刚体力学分析的基础，为我们研究刚体的静力学行为提供了重要的理论工具。
通过应用静力学公理，我们可以深入理解刚体的特性和行为，并将其应用于实际工程和科学研究中。
1.2 文章结构本文将围绕"只适用于刚体的静力学公理"这一主题展开深入研究。
文章整体结构安排如下：第一部分是引言部分，共计三小节。
首先，我们将在1.1概述中对静力学公理的概念进行简要介绍，以引起读者的兴趣。
接着，在1.2文章结构中，我们将具体介绍文章的结构框架，帮助读者更好地理解本文的组织和内容。
最后，在1.3目的部分，我们将明确本文的研究目标和意义，明确为什么我们要研究只适用于刚体的静力学公理。
第二部分为正文部分，共计两小节。
首先，在2.1静力学公理的定义中，我们将详细解释什么是静力学公理以及它的基本定义。
《立体几何三个公理的应用》教学设计
执笔人：甘淑清 2010。12.25
单位：江西省宜春市万载中学（336100） 课 题：9.1.3 平面（三） 教学目标：1、掌握公理 3 的三个推论及初步应用。
2、会用图形语言、符号语言表示推论的文字语言 3、掌握推论的作用。 教学重点：公理 3 的三个推论。 教学难点：三个推论的证明及简单应用。
三、新课讲授：
推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个
平面。
A
图形表示 α a
符号：A a 存在唯一平面,使aA
推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。
bP a
图形： α
符号： a
b
p
存在唯一平面 , 使ba
。
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
图形：
a
α
b
个人备课笔录
符号：a∥
b
存在唯一平面,
使ba
对于推论的正确性，还需要进行严格的证明。 分析：⑴与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一 般步骤是： 第一步：根据题意作图 ，写出已知，求证。 第二步：写出证明过程。 ⑵对于“有且只有”型命题的证明，要从“有”和“只有” 两方面证明，即既论存在性一“有”，又证唯一性一“只有”。 ⑶化生疏为熟悉，化未知为已知是我们常用的证题方法。 推论 1 的证明：
N、P 分别是 AB、A1D1、BB1 的中点。
D
C
A
MB
N D1 A1
P C1
B1
⑴画出过 M、N、P 三点的平面与平面 A1C1 的交线以及与平 面 BC1 的交线。
⑵设过 M、N、P 三点的平面与 B1C1 交于 Q，求 PQ 的长。 答案：2、D；3、C；4、6；5、1 或 3 或 4；6、（1）略（2）
高考数学复习考点讲解与真题分析02---平面的基本性质与推论
) 来源 [ :]
．A 0
．B 2
．C 4
D．无穷多个
2.D 解析：作一个与 l 平行且距离为 π 的平面 α，在 α 内作一条直线 m 与 l 的夹角为π3，则 α 上与 m 平行的 直线均同时满足三个条件．故选 D. 【失分点分析】本题借助于异面直线的夹角、距离等概念考查空间想象能力．在空间中 ，当两条异面直线
c 与 ，a b 分别交于 ，A B 两点，因为 a ⊂ α,b ⊂ α ， A∈ a, B ∈ b ，则 A∈α,C ∈α ， 所以c ⊂ α ，同理可证d ⊂ α ，所以 a，b，c，d 四线共面。
（2）三线共点情况，设 a， ，b c 三线相交于点 ，H d 与 a，b，c 分别交于 E，F，G 三点，因为 a，c， ，c d 两两相交且不共点，所以 H ∉d ，所以点 H 与直线 d 可确定一平面 β ， 由 E ∈ d ，得 E ∈ β ，又由 H ∈ β ， E ∈ β 得 a ⊂ β ，同理可证b ⊂ β ， c ⊂ β ，所以 a，b，c，c 四线 共面。
2/9
M、N、P、Q 四点共面。
解：如图，连结 并延长交 延长线于 ， MN
DC
O
[来源:学,科,网]
则 ∆MBN ≅ ∆OCN ，所以 CO＝MB，连结 PQ 并延长交 DC 延长线于O1 ，则 ∆PC1Q ≅ ∆O1CQ ，所 以CO1 = PC1 ，又因为CO = CO1，所以 O 与O1 重合，所以 、 PQ MN 相交于一点， 所以 M、N、P、Q 四点共面。
形的存在性，又保证了图形的唯一性．性质 3 符号语言：P∈α,且 ∈P β⇒ α I β =l,且P∈l..揭示了两个平
面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．今后所说的两个平面(或 两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)王奎新新屯疆敞，性质 3 的应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直 线上
公理1的三个推论及空间中的等角定理
12
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何 ?
C' D'
B' A'
B A D'
C'
B'
A'
C B A
13
C
D
D
思考3:如图，在空间中AB// A′B′， AC// A′C′，你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗？ C´
C
(1) M , N为中点， 作截面DMN
A
M
B D1
C1
N
A1
B1
练习：
D
C
A
B
N
D1
C1
A1
B1
M
M , N为中点，作截面 DMN
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三 条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。
C G D H A B H G C E A B D
F
E F
18
例2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平面 A1BD=M，求作点M。 C D
A B C1
D1
A1
B1 本题体现了转化的思想，将在空间难以把握 的线面交点转化为同一平面内的线线交点， 确定了交点的位置。
例3：求作下列截面：
D
A
推论2
推论3
l
B
C
b
a
C
B A
a
欧几里得公理体系五条公理
欧几里得公理体系是几何学的基础，它由五条公理组成。
这五条公理可以简单明了地描述几何学中的基本概念和关系，是我们理解几何学的基础。
下面我们将详细介绍这五条公理及其应用。
一、公理一：任意两点之间都有一条直线段连接
这条公理是几何学的基础，它表明了空间中任意两点之间都可以通过一条直线段连接。
这条公理的应用非常广泛，例如，我们在地图上标记两个城市，可以通过一条直线段来计算它们之间的距离。
二、公理二：任意直线段可以无限延伸
这条公理表明了直线的性质，即任意直线段可以无限延伸。
这条公理也是几何学的基础之一，它使得我们可以在空间中构建出复杂的几何形状。
三、公理三：任意角度可以通过一条直线分成两个角
这条公理表明了角的性质，即任意角度可以通过一条直线分成两个角。
这条公理的应用非常广泛，例如，在建筑设计中，我们需要计算两个墙壁之间的夹角，可以通过这条公理来计算。
四、公理四：所有直角相等
这条公理表明了直角的性质，即所有直角都是相等的。
这条公理的应用非常广泛，例如，在建筑设计中，我们需要保证两个墙壁之间的夹角是直角，可以使用这条公理来验证。
五、公理五：平行线不相交
这条公理表明了平行线的性质，即平行线不相交。
这条公理的应用非常广泛，例如，在道路设计中，我们需要保证两条道路是平行的，可以使用这条公理来验证。
总之，欧几里得公理体系是几何学的基础，它由五条公理组成，这五条公理可以简单明了地描述几何学中的基本概念和关系，是我们理解几何学的基础。
这些公理的应用非常广泛，例如，在建筑设计、地图制作、道路设计等领域都有重要的应用。
平面、平面的基本性质及应用
平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。
例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。
思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。
因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。
思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。
另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。
写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。
关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。
例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。
分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。
另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。
已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。
工程力学静力学基础知识
§1-3 约束与约束反力
（3）活动铰链支座 铰链将桥梁、房屋等结构连接在有几个圆柱形滚 子的活动支座上，支座在滚子上可作左右相对运动， 两支座间距离可稍有变化
约束特点：在不计摩擦的情况下，能够限制被连接件 沿着支撑面法线方向的上下运动。
§1-3 约束与约束反力
固定与活动铰链支座约束
铰链支座
铰链支座结构简图
二力杆
§1-2 静力学公理
公理一与公理二的区别
公理一描述的是两物体间的相互作用关系 。 公理二描述的是作用在同一物体上二力的平衡条件 。
公理一与公理二的区别
§1-2 静力学公理
巧拆锈死螺母
该方法的力学原理是：
根据二力平衡公理，若在 锈死螺母的相对面作用一 对大小相等、方向相反的 平衡力（F，F′），螺栓与 螺母将保持平衡，确保螺 栓不会折断。
主动力与约束反力的区别
主动力
约束反力
定 促使物体运动或有运 阻碍物体运动的力，随主动 动趋势的力，属于主动 力的变化而改变，是一种被动
义 力，工程上常称为载荷 力
大小未知，取决于约束本身
特
的性质，与主动力的值有关，
大小与方向预先确定，可由平衡条件求出。约束力的
可以改变运动状态 征
作用点在约束与被约束物体的 接触处。约束力的方向与约束
集中力
分布力
§1-1 力与静力学模型
3．对接触与连接方式的合理抽象与简化 ——约束
约束是构件之间的接触与连接方式的抽象与简化。
§1-2 静力学公理
一、作用与反作用公理（公理一） 二、二力平衡公理（公理二） 三、加减平衡力系公理（公理三） 四、力的平行四边形公理（公理四）
§1-2 静力学公理
一、作用与反作用公理（公理一）
皮亚诺的五条公理
皮亚诺的五条公理介绍•皮亚诺的五条公理是逻辑和数学中的基本原理，被广泛应用于数学推理和证明过程中。
•本文将详细介绍皮亚诺的五条公理及其应用。
一、非零性公理1.1 公理的定义与意义•非零性公理是皮亚诺的五条公理的第一条。
•非零性公理表明，存在一个称为“1”的自然数，它不是任何其他自然数的后继。
•这个公理确保了自然数的起点，为后续的推理提供了基础。
1.2 公理的应用•非零性公理可用于证明数学中的基本等式和不等式。
•例如，通过非零性公理可以得出：1 + 1 = 2。
•同样，非零性公理也可用于证明整数的性质，如负数的存在性等。
二、继承公理2.1 公理的定义与意义•继承公理是皮亚诺的五条公理的第二条。
•继承公理表明，每个自然数都有唯一的后继自然数。
•这个公理确保了自然数的无限性，每个自然数都有下一个自然数。
2.2 公理的应用•继承公理可用于定义自然数的集合和基本操作，如加法、乘法等。
•通过继承公理，我们可以证明自然数的无限性，以及自然数之间的顺序关系。
三、归纳公理3.1 公理的定义与意义•归纳公理是皮亚诺的五条公理的第三条。
•归纳公理表明，如果一个数学命题对于1成立，并且对于任意自然数n成立时也对n+1成立，那么该命题对于所有自然数都成立。
•这个公理确保了数学推理的基础，通过归纳法可以证明无穷多个命题。
3.2 公理的应用•归纳公理可用于证明对于所有自然数成立的命题。
•通过归纳公理，我们可以证明自然数的各种性质，如数列的性质、等式或不等式的性质等。
四、替换公理4.1 公理的定义与意义•替换公理是皮亚诺的五条公理的第四条。
•替换公理表明，给定一个数学函数和一个集合，如果对于集合中的每个元素都存在一个唯一的函数值，那么可以构造一个新的集合，包含所有函数值。
•这个公理确保了数学操作的可行性，通过替换公理可以构建新的集合。
4.2 公理的应用•替换公理可用于定义数学函数和进行集合操作。
•通过替换公理，我们可以定义数学中的映射、函数、集合运算等。
三个公理及应用
A
8
? 题型一 点线共面问题
规律方法： ?在证明多线共面时，可用下面的方法来证明： ?纳入法：先由部分直线确定一个平面（ 公理2及推论 ），再证
明其他直线在这个平面内（ 公理 1）．
A
9
应用举例 例2:△ABC在平面? 外, AB∩ ? =Ｐ, BC ∩? =Ｑ， AC∩? =Ｒ,求证:Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线 .(点共线问题 )
“有且只有一个” 的含义分两部分理解，“有”说
明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如
果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，
“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证
了图形的唯一性 .
?
A
B
β
C
A
4
小结：公理 2及其推论 A,B,C 不共线
? A,B,C确定一平面 .
A∈ a
? A和a确定一平面 .
上 即 P∈ BD. 新疆 王新敞 奎屯
A
12
规律方法：
? 线共点的证明方法： ? 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两
条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点 在此直线上．
A
H
E
D
P G
B
F
C
A
13
小结 本课主要的学习内容是平面的基本性质
平面的基本性质是研究空间图形性质的理
论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．
这条直线上的所有点都在这个平面内 .
公理 1说明了平面与曲面的本质区别 通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过
直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展
性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面
的方法．
D
初中九大公理
初中九大公理初中九大公理是初中数学中最基本、最重要的九个定理，它们为后续的数学学习奠定了坚实的基础。
这篇文章将会详细介绍这九大公理及其应用。
公理一：任何数加上0等于它本身。
这个公理表明了加法的单位元是0。
也就是说，任何数加上0，结果都是它本身。
这个公理的应用非常广泛，它在后续的加法、减法、乘法、除法等运算中都有着重要的作用。
公理二：任何数乘以1等于它本身。
这个公理表明了乘法的单位元是1。
也就是说，任何数乘以1，结果都是它本身。
这个公理的应用也非常广泛，它在后续的乘法、除法等运算中都有着重要的作用。
公理三：任何数乘以0等于0。
这个公理表明了乘法的零元是0。
也就是说，任何数乘以0，结果都是0。
这个公理的应用非常广泛，它在后续的乘法、除法等运算中都有着重要的作用。
公理四：任何数加上它的相反数等于0。
这个公理表明了加法的逆元是相反数。
也就是说，任何数加上它的相反数，结果都是0。
这个公理的应用非常广泛，它在后续的加法、减法等运算中都有着重要的作用。
公理五：两个数的和与它们的顺序无关。
这个公理表明了加法的交换律。
也就是说，两个数相加，它们的顺序不影响结果。
这个公理的应用非常广泛，它在后续的加法、减法等运算中都有着重要的作用。
公理六：两个数的积与它们的顺序无关。
这个公理表明了乘法的交换律。
也就是说，两个数相乘，它们的顺序不影响结果。
这个公理的应用非常广泛，它在后续的乘法、除法等运算中都有着重要的作用。
公理七：分配律。
这个公理表明了乘法对加法的分配律。
也就是说，两个数相加后再乘以一个数，等于先分别乘以这个数再相加。
这个公理的应用非常广泛，它在后续的加法、乘法等运算中都有着重要的作用。
公理八：结合律。
这个公理表明了加法和乘法的结合律。
也就是说，三个数相加或相乘的结果，不受它们的加括号顺序的影响。
这个公理的应用非常广泛，它在后续的加法、乘法等运算中都有着重要的作用。
公理九：存在0和1以外的数。
这个公理表明了实数系中存在着0和1以外的数。
课题二：静力学公理教案
云南工业技师学院基础课教学备课教案课题二：静力学公理公理是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律，是进行逻辑推理计算的基础与准则。
一、作用于反作用公理【问题引导】如图2-1所示，人拎物体时为何感觉物体向下坠的重感？引发学生讨论和思考。
图2-1 人拎物体总结解释：由牛顿第三定律可知：当人手拎着物体时，人的手臂给物体一个向上的力F，同时物体也给手臂一个向下的力F'，F和F'大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，若人松开手，物体就会向下掉，F和F'同时消失。
【理论讲解】由此得出作用与反作用公理一：两物体之间的作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
公理一的特点：二力同时存在，且大小相等，方向相反，作用在一条直线，两个物体上。
特别强调：这个公理概括了物体间相互作用的关系，而非平衡力表明作用力和反作用力总是成对出现的。
【公理一应用】游泳、划船、拔河、火箭发射等，如图2-2所示。
a) b)c) d)图2-2 公理一的应用a）游泳 b）划船 c）拔河 d）火箭发射【课程思政】如视频2-3所示火箭发射原理，引出中国航天三大精神，60多年来，中国航天事业从无到有、从小到大、从弱到强，走出了一条具有鲜明中国特色的发展道路。
伴随着航天事业的发展，在出成果、出人才的同时，航天科技工业培育形成了航天传统精神、“两弹一星”精神和载人航天精神。
图2-3 火箭发射原理2016年4月24日，在首个“中国航天日”到来之际，习近平总书记指出：探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦。
经过几代航天人的接续奋斗，我国航天事业创造了以“两弹一星”、载人航天、月球探测为代表的辉煌成就，走出了一条自力更生、自主创新的发展道路，积淀了深厚博大的航天精神。
二、二力平衡公理【问题引导】如图2-4所示，放在桌子上的书，杂技演员头顶上的大缸，它们显然是静止的，如何用力学角度解释这种现象？图2-4 二力平衡公理示例总结解释：书放在桌面上，书受到自身重力G和桌面对书的支持力F N的作用而处于平衡状态（静止）。
三力平衡汇交公理
三力平衡汇交公理
三力平衡汇交公理是物理学中的一个基本原理，它指出在一个静止的物体上，三个力的合力为零。
这个公理是物理学中的基础，也是我们理解物理世界的重要工具。
三力平衡汇交公理的意义在于，它告诉我们在一个静止的物体上，三个力的合力为零。
这意味着，如果我们知道一个物体上的三个力，我们就可以确定这个物体的状态。
这个公理是物理学中的基础，因为它可以用来解释很多现象，比如为什么一个物体会保持静止，为什么一个物体会运动等等。
三力平衡汇交公理的应用非常广泛。
在机械工程中，我们可以用这个公理来设计机械结构，以确保机械结构的稳定性。
在建筑工程中，我们可以用这个公理来设计建筑结构，以确保建筑物的稳定性。
在航空航天工程中，我们可以用这个公理来设计飞机和火箭的结构，以确保它们在高速飞行时的稳定性。
三力平衡汇交公理的应用还可以延伸到其他领域。
在生物学中，我们可以用这个公理来研究动物的运动和姿态。
在经济学中，我们可以用这个公理来研究市场的平衡和稳定性。
在社会学中，我们可以用这个公理来研究社会的平衡和稳定性。
三力平衡汇交公理是物理学中的一个基本原理，它告诉我们在一个静止的物体上，三个力的合力为零。
这个公理的应用非常广泛，可
以用来解释很多现象，也可以用来设计各种结构，以确保它们的稳定性。