第二节 离散随机变量及其分布律
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离散型随机变量及其分布律
5.离散型随机变量及其分布律【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律【教材分析】：概率论考察的是与各种随机现象有关的问题，并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性，由此，就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。
随机变量正是为了适应这种需要而引进的，随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具，把研究深入，一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。
【学情分析】：1、知识经验分析学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义，学习了事件的关系及运算，掌握了概率的基本计算方法。
2、学习能力分析学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。
【教学目标】：1、知识与技能：了解离散型随机变量的分布律，会求某些简单的离散型随机变量的分布律列；掌握伯努利试验及两点分布，2、过程与方法由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。
3、情感态度与价值观通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。
【教学重点、难点】：重点：掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质，理解伯努利试验，两点分布。
难点：伯努利试验，两点分布。
【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：一、问题引入（离散型随机变量的概念）例1：观察掷一个骰子出现的点数。
随机变量 X 的可能值是 ：1， 2， 3， 4， 5， 6。
例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则 X 的可能值是： 1,2,3,.例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手射了30次，则随机变量 X 记为“击中目标的次数”，则 X 的所有可能取值为：0,1,2,3,,30.定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
2.5第2节离散型随机变量的分布律
3
例６． 将一枚均匀骰子抛掷 ３ 次， 令:X 表示 3 次中出现“4”点的次数
求: X的概率函数
解: 显然，X的概率函数是：
P{
X
=
k
}
=
C
k 3
(
1 6
)k
(
5 6
)3− k
,
k = 0,1,2,3
3
0 .
定理
设一次试验中事件A发生的概率为 p , (0 < p < 1)
则在 n 次贝努利试验中事件A 恰发生 k 次概率为:
概 [(1
率− pP)+n (kp)x]就n 等的于展二开项式式中
xk
的系数， 这也是二项分布的名称
P(X = k) ≥ 0,
的由来 .
n
∑Cnk pk(1− p)n−k =( p +q)n =1
k=0
例7. 设某炮手射击的命中率为 0.8，为炸毁某个 目标， 经预测只要命中两发就够炸毁.
问 :希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?
路 口3
路 口2
路 口1
P(X=2)=P(
A1
A2
A3
)
=
1⋅ 2
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路 口3
路 口2
路 口1
P(X=3)=
P(
A1
A2
A3
)=
1 2
⋅
1 2
⋅
1 2
=1/8
于是得其分布律为：
X0 1 2 3
例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
第二节 离散型随机变量及其分布
说明： 1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的数学模 型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大 p 很小时的近似计算。 2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件，如地震、 火山爆发、特大洪水等等。
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
离散型随机变量及其分布律
λ
n! k n− k P{ X = k } = ( pn ) (1 − pn ) k!( n − k )!
n! λ 1 λ o(1) n− k k [ + o(1)] [1 − − ) = k ! ( n − k )! n n n n
[λ + o(1)]k λ o(1) n n( n − 1)⋯ ( n − k + 1) [1 − − ] = λ o(1) k k! n n k n [1 − − ] n n
的分布函数. 求随机变量 X 的分布函数 解
1 p{ X = 1} = p{ X = 0} = , 2
•
•
当x < 0时, 时
0
1
x
F ( x ) = P{ X ≤ x < 0} = P (φ ) = 0
•
•
0
当0 ≤ x < 1时,
1
x
1 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = 0} = ; 2 当x ≥ 1时, 0, x < 0, F ( x ) = P{ X ≤ x } 1 = P{ X = 0}+ P{ X = 1} 得 F ( x ) = , 0 ≤ x < 1, 2 1 1 1, x ≥ 1. = + = 1. 2 2
( k −1 )
服从几何分布. 所以 X 服从几何分布
( k = 1,2,⋯)
首次成功” 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型. 的概率模型
7.超几何分布 超几何分布
设X的分布律为 的分布律为
m n C M C N−−m M P{ X = m } = n CN
( m = 0,1,2,⋯ , min{ M , n})
第二节 离散性随机变量及其分布
X 0 0.1 1 0.6
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
概率离散型随机变量及其分布律
P( X k) 1
k
即
a≥0 ,
a k! ae
k 0
k
1
e
k 0
k
k!
从中解得
ae
概率论
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法
P{ X xk } pk , k 1, 2,
（2）列表法 X
x1 p1
x2 xk p2 pk
把观察一个灯泡的使用 P{X 1} =P{时数看作一次试验 X=0}+P{X=1} , “使用到1000小时已坏” )3+3(0.8)(0.2) 2 视为事件 A .每次试验 , =(0.2 A 出现的概率为0.8
P( X k )C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
设随机变量序列 {Xn }, Xn ~ b(n, pn ),则 k e k k n k limP{ X n k } limC n pn (1 pn ) , n n k! 其中 npn 0, k为任一固定的非负整数 .
泊松定理的意义：
1. 在定理的条件下, 二项分布的极限分布是泊松分布.
pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, （ 2）
k k
p 1
k=1,2, …
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
概率论
例1 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a
试确定常数a .
k
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据分布律的性质
P(X =k)≥0,
PX k p 1 p
2-2离散型随机变量及其分布律
P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
思考：本例中的“有放回”改为”无放回” 思考： 本例中的“有放回”改为”无放回”？ 不是伯努利试验。 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验 此时, 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验。此时, 1 2 只能用古典概型求解. 古典概型求解 只能用古典概型求解. C C
3. 泊松分布
定义 若一个随机变量 X 的概率分布为 λke−λ P{ X = k} = , k = 0,1,2,⋯, k! 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布， 泊松分布， 记为 X ~ P (λ ) 或 X ~ π (λ ). 易见， 易见，1) P { X = k } ≥ 0; ( k −λ ∞ ∞ ∞ λk λe −λ (2)∑P{X = k} = ∑ =e ∑ k! k=0 k ! k=0 k=0
泊松分布是常见的一种分布： 泊松分布是常见的一种分布： 地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
4. 二项分布的泊松近似
很大时， 对二项分布 b( n, p ), 当试验次数 n 很大时， 计 算其概率很麻烦. 例如， 算其概率很麻烦 例如，b(5000, 0.001), 要计算
.
二、几种常见分布
1. 两点分布 只可能取x 设随机变量 X 只可能取 1与x2两个值 , 它的 分布律为 x x
X pi
p 1− p
1
2
0< p<1
则称 X 服从x1 , x2处参数为 的两点分布。 处参数为p的两点分布。
说明： 只可能取0与 两个值 说明：若随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的 分布律为 0 1
则随机变量 X的分布律为 X 的分布律为
2.2离散型随机变量及其分布律
当1≤x<2时, {X≤x}={X=0}∪{X=1} X 0 1x 2
又{X=0}与{X=1}互不相容 得: F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}
=0.6+0.3=0.9
当x≥2时, {X≤x}为必然事件
X
0 1 2x
8
得: F(x)=P{X≤x}=1
0, x 0
F
(
x)
0.6, 0.9,
P{X k} C5k pk (1 p)5k
k 0,1,..., 5 18
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有
两弹击中目标的概率.
解:.设X为击中目标的次数.
X : B6000,0.001
P X 2 1 P X 2 1 PX 0 PX 1
0 1
x x
1 2
1 0.9
1, x 2 0.6
注: 左闭右开
0 1 2x
9
0, x 0
F(x)
0.6, 0.9,
0 1
x1 x2
1, x 2
(3)
P(X
1 2
)
F
(
1 2
)
0.6
P
(
1 2
X
3 2
)
F
(
3 2
)
F
(
1 2
)
0.9
0.6
0.3
P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1<X≤2})
P
X k
Ck41 C150
(k 5, 6, 7, 8, 9,10)
具体写出,即可得 X 的分布律:
X 5 6 7 8 9 10
2-2离散型随机变量及其分布律
k P{ X k } C10 0.2k 0.810k , k 0,1,10
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
第二节 离散型随机变量及其分布1
概率论与数理统计
广
东
工
业
广
大 学
东 工 业
主讲教师：
大 学
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
广 东 工 业 大 学
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
广
东
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业
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
概率与数理统计 第二章-2-离散型随机变量及其分布律
(0–1)分布的分布律也可以写成：
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1,0 p 1.
两点分布的模型为：
（1）Ω= {1, 2}， 只有两个基本事件。
P({1}) = p , P({2}) = 1-p =q.
令
X
()
1, 0,
1, 2,
（2） W A A ，有两个结果。
1
2
P 0.04 0.32 0.64
PX 0 0.2 0.2 0.04
PX 1 0.80.2 0.20.8 0.32
PX 2 0.8 0.8 0.64
(2) ∵是并联电路 ∴ P{线路接通} =P{只要一个继电器接通} =P{X≥1} =P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96
所以，X 的概率分布为
P{X k } C4k p k (1 p )4k ,
k 0, 1, 2, 3, 4 .
(1) 伯努利试验 若随机试验E只有两个可能的结果： 事件A发生与事件A不发生，则称这样的 试验为伯努利(Bermourlli)试验。记
P(A) p, P(A) 1 p q (0 p 1),
P{X=1}：o o o Co41 p1(1 p)41
P{X=2}：o o oo oo oo C42opo2(1oop)42
P{X=3}：ooo oo o o oo oooC43 p3(1 p)43 P{X=4}：oooo C44 p4(1 p )44 p4
其中“×”表示未中，“○”表示命中。
P(A) p, P(A) 1 p ；
③ 各次试验相互独立。
我们关心的问题是：
n次的独立伯努利试验中，事件A发生的次数 及A发生k次的概率。
第二章 第二节 离散型随机变量及其分布律
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那么, X ~ b(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 N , 使得
P{X N } 0.99. 由泊松定理得
P{ X N } N 3k e3 ,
k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
即 1 N 3k e3 3k e3 0.01,
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1
2
3
4
P{Y 4}
(0.8)k k 0.8 0.0091.
k4
k!
5. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为X1 Nhomakorabea2
k
,
p
q
1,
pk p qp qk1 p
则称 X 服从几何分布. 几何分布随机数演示
实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
上面我们提到
是确定最小的 N , 使得
P{X N } 0.99. 由泊松定理得
P{ X N } N 3k e3 ,
k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
即 1 N 3k e3 3k e3 0.01,
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1
2
3
4
P{Y 4}
(0.8)k k 0.8 0.0091.
k4
k!
5. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为X1 Nhomakorabea2
k
,
p
q
1,
pk p qp qk1 p
则称 X 服从几何分布. 几何分布随机数演示
实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
上面我们提到
第二节离散随机变量及其分布律
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3, .
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品",
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
P(X k)
b( 2)k
b2 3
k 1
k 1 3
1 2
2
b
3 1
2b
1
3
3
b 1. 2
二、常见离散型随机变量的概率分布
1、两点分布(0-1分布 )
△定义： 若随机变量X的分布律为:
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的两点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
( X=k )对应着事件 A1 A2 Ak1 Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…
P(X=k)=P(A1A2 Ak1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…
例 设随机变量X的分布律为
PX k b( 2)k , k 1, 2,3,L
3
试确定常数b.
解
由分布律的性质,有
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型
随机变量
1 X 0
（取得红球） （取得白球）
其概率分布为 P( X 1) 3 10
离散型随机变量及其分布律4
0 123456789
K
1 看出当 k 增加时,P(X=K) 先是随之增加 ,直至达到最大值。(本例
是K = 4 时达最大值 )。随后单调减少。
2 一般对固定的n，p，二项分布b(n,p)都具有此性质，且最大值与
n,p有关，在m =[(n+1) p ] 处达到最大，
例4:某种产品有 N 件, 其中次品有M 件,每次从中任取一件有放回抽
且取各个值的概率为P{X
K}
k ek
k！
， k 0 ，1，2
其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松（Poission）分布。
记为 X ~ ()
2. 定理一：
设有一列二项分布 X n ~ b（n ，pn） ， n 1，2 ，
如果
lim n
n
pn
， 是与n无关的正常数，
则对任意固定的非负整数 k ，都有
2.典型应用（模型）：
试验E 只有两种完全对立的结果。我们可将一种结果叫做“成功”A= ，
另一种结果称做“失败”=A ，
且 P（ A） p（0 p 1）,
P(A ) 1 pq
称E为 伯努利试验。
若随机变量X 表示成功的次数，则X～b（1，p）
例2. E：从一批产品中任取一件，观察其“正品”和“次品”情况。
3 泊松分布有表可查,请参见其他教材或数学统计表
注意:(1) 表中 最大值是5 ,若 >5 可查 =5 表中值
解： 由题意知： X ~ b（n，M ） N
所以
X
~
P{X
K}
C（nk
M N
）（k 1
M N
）nk
(k 1,2 n)
问题：
2-2离散型随机变量及其分布律
P(X=0)=P(A1)=1/2,
P(X 1) P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 1 4 P(X 2) P(A1 A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) 1 8 P(X 3) P(A1 A2 A3A4 ) P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16 P(X 4) P(A1A2 A3 A4 ) P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 1 16
例4 100个产品中有5个次品。现从中有放回取3次，每次任 取1个，求所取3个中恰有2个次品的概率.不放回时概率多少？
解: 有放回抽取，试验结果只有次品(记为A)、正品，3重伯努里试验
设X为所取的3次中的次品数，显然X服从二项分布。
根据题意，P(A)=0.05.
显然, X ~ b (3, 0.05)
n重伯努里试验中, 每次试验中事件A发生的概率P(A)=p, 记X为n次试验 中A发生的次数, 则X所服从的分布称为二项分布.表示为: X : b(n,p)
二项分布描述的是n重伯努里试验中事件A发生次数X的分布律.
求分布律：
X的所有可能取值：0，1，2，…，n
各次试验独立, 因而P(AiAj..Ak ) P(Ai)P(Aj)..P(Ak )
列举法
Y=k 1 2 3 4 5 6
P(Y=k) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
P{Y=4}=P{(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1)}=
7 36
公式法
P{Y=k}=P{(i,j)|max(i,j)=k, i,j=1,2,...,k}
nk
说明：
a.
可以验证
Pk=n(0XC=nkkp)k(1Cnk
P(X 1) P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 1 4 P(X 2) P(A1 A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) 1 8 P(X 3) P(A1 A2 A3A4 ) P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16 P(X 4) P(A1A2 A3 A4 ) P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 1 16
例4 100个产品中有5个次品。现从中有放回取3次，每次任 取1个，求所取3个中恰有2个次品的概率.不放回时概率多少？
解: 有放回抽取，试验结果只有次品(记为A)、正品，3重伯努里试验
设X为所取的3次中的次品数，显然X服从二项分布。
根据题意，P(A)=0.05.
显然, X ~ b (3, 0.05)
n重伯努里试验中, 每次试验中事件A发生的概率P(A)=p, 记X为n次试验 中A发生的次数, 则X所服从的分布称为二项分布.表示为: X : b(n,p)
二项分布描述的是n重伯努里试验中事件A发生次数X的分布律.
求分布律：
X的所有可能取值：0，1，2，…，n
各次试验独立, 因而P(AiAj..Ak ) P(Ai)P(Aj)..P(Ak )
列举法
Y=k 1 2 3 4 5 6
P(Y=k) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
P{Y=4}=P{(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1)}=
7 36
公式法
P{Y=k}=P{(i,j)|max(i,j)=k, i,j=1,2,...,k}
nk
说明：
a.
可以验证
Pk=n(0XC=nkkp)k(1Cnk
离散型随机变量及其分布律
3 2 5 3 P{ X 1} 2 1 3 10 3 2 5 3 P{ X 2} 1 2 3 10
定义1 ：某些随机变量X的所有可能取值是有限多 个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机 变量 .
X
pk
a1 1 n
a2 an 1 1 n n
其中 (ai a j ), ( i j ) , 则称 X 服从等可能分布.
例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
3. 伯努利试验和二项分布
看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次.
这样的试验E称为伯努利试验 .
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变. “独立”是指各 次试验的结果互不影响 . 用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数， 则
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
X pk
0 1 p
1 p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
例6 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
0, 当e 正面, X X (e ) 1, 当e 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布. 其分布律为
X
pk
0 1 2
1 2
1
例7 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
第二节 离散型随机变量及其分布律
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m0
λ m λ m! e pk qmk k!(m k)! m k m!
(p)k λ (q)mk e k! m k (m k)!
k' m k
(p)k λ (q)k' (p)k λ λq e e e k! k! k' 0 k'!
超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.
说明
5、泊松分布
定义
Poisson distribution
若随机变量 X 的分布律为:
P( X k )
k
k!
e , k 0,1,2...
其中 >0, 则称X服从参数为的泊松分布
X～P()
泊松分布的图形
实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的
第二节 离散随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
定义 设 离 散 型 随 机 变 量 X 所有可能取的值为 xk ( k 1,2 , ), X 取 各 个 可 能 值 的 概 率 ,即 事 件
{X x k } 的 概 率, 为 P{X x k } p k , k 1,2, . 称 此 式 为 离 散 型 随 机量 变 X 的分布律或分布列 .
P{ X k} C p (1 p)
k n k
nk
k 0,1, 2..., n;
其中0< p <1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布 (也称Bernoulli 分布）,记为
X～B( n, p)
二项分布的图形
例
从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回 地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率. 有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验 A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, n=5 p=1/4
解
X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品 ",
P{ X k } P( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak 1 ) P ( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p q k 1 p.
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的 设备 台数为 X , 那末, X ~ B(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 N , 使得
P{ X N } 0.99.
由泊松定理得
N k 3
3 e P{ X N } , k 0 k!
故有 1
1 P(Ω( P(X xk ) pk
k 1 k 1
离散型随机变量的分布函数
F ( x ) P{ X x} pk P ( X x k ).
xk x xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系 分布律
pk P { X x k }
X pk
1 2 k , p q 1, p qp q k 1 p
则称 X 服从几何分布. 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.
例
则
Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
( X=k )对应着事件 X的所有可能取值为
A1 A2 Ak 1 Ak
1，2，3，… ,k,…
P(X=k)= P( A1 A2 Ak 1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…
例
设随机变量X的分布律为
试确定常数b.
2 k P X k b( ) , k 1, 2,3, 3
51 3 54 27 P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} 190 190 190 95
实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事 件的方式变了
从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽 到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布 律。 解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…
则称X服从参数为p
的两点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例
设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中 随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型 随机变量
服务台在某时间段内接待的服务次数X； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目
体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏
分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由 观测值的平均值求出。
离散型随机变量的分布律也可表示为
x1 X ~ p1
或
x2 xn p2 pn
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
离散型分布律的两个基本性质
(1) pk 0, k 1,2,;
( 2) pk 1.
k 1
证明：因为x1,x2,x3,….是X的所有可能取的值， 且当i≠j时，{X=xi} ∩{X=xj}= Φ，故 {X xk } Ω 从而有
n很大, p 很小
泊松分布
合理配备维修工人问题 例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
证明：由题设知
P(Y k | X m) 0 k m
P( Y k | X m) C p q
k k m mk
P( X m ) e m!
m
m 0,1,2,
k 0,1,2,, m
这里q=1-p,由全概率公式得
P( Y k ) P( X m)P( Y k | X m)
解
记X为共抽到的次品数，则
1 X ~ B ( 5, ) 4
1 1 P{ X 2} C 1 4 4
2 5
2
5 2
例
一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒. 求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2） 不小于8粒发芽的概率。 X～B（10, 0.9）
( p ) e k!
k
p
k 0,1,2,
即Y服从参数 为λp的泊松 分布.
解
8 (1) P(X=8)= C10 0.98 0.12 0.1937
( 2) P(x 8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
C 0.9 0.1 C 0.9 0.1 C 0.9
8 10 8 2 9 10 9 10 10
10
0.9298
3. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
分布函数
F ( x ) P{ X x }
pk x x
k
求分布律举例
例 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中
任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变 量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解：X的可能取值为 0，1，2
2 C17 136 P{X=0} 2 C 20 190
N
3k e 3 3k e 3 0.01, 1 k ! k N 1 k ! k 0
N
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的 概率小于0.01.
例:设一只昆虫所产虫卵个数X服从参数为λ的泊松分布， 而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，并且各个虫卵是否发 育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫 个数Y服从参数为λp的泊松分布。
例
已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从
4 的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3
次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率
解 P( X k )
k
k!
3
e
4, k 3
4 4 P( X 3) e 0.19563 3!
P( X 4) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) P( X 4) 0.628838
二项分布的泊松近似
The Poisson Approximation to the Binomial Distribution
泊松定理
C p (1 p )
k n k
n k
k
k!
e
np
实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即 可用泊松公式近似替换二项概率公式
上面我们提到
二项分布
( k 1 )
所以 X 服从几何分布.
( k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
4.超几何分布
设X的分布律为
m n m CM CN M P{ X m} n CN
(m 0,1,2,, min{M , n})
这里n N , m M , M N , 则称X服从超几何分布 .
由分布律的性质,有
λ m λ m! e pk qmk k!(m k)! m k m!
(p)k λ (q)mk e k! m k (m k)!
k' m k
(p)k λ (q)k' (p)k λ λq e e e k! k! k' 0 k'!
超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.
说明
5、泊松分布
定义
Poisson distribution
若随机变量 X 的分布律为:
P( X k )
k
k!
e , k 0,1,2...
其中 >0, 则称X服从参数为的泊松分布
X～P()
泊松分布的图形
实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的
第二节 离散随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
定义 设 离 散 型 随 机 变 量 X 所有可能取的值为 xk ( k 1,2 , ), X 取 各 个 可 能 值 的 概 率 ,即 事 件
{X x k } 的 概 率, 为 P{X x k } p k , k 1,2, . 称 此 式 为 离 散 型 随 机量 变 X 的分布律或分布列 .
P{ X k} C p (1 p)
k n k
nk
k 0,1, 2..., n;
其中0< p <1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布 (也称Bernoulli 分布）,记为
X～B( n, p)
二项分布的图形
例
从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回 地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率. 有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验 A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, n=5 p=1/4
解
X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品 ",
P{ X k } P( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak 1 ) P ( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p q k 1 p.
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的 设备 台数为 X , 那末, X ~ B(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 N , 使得
P{ X N } 0.99.
由泊松定理得
N k 3
3 e P{ X N } , k 0 k!
故有 1
1 P(Ω( P(X xk ) pk
k 1 k 1
离散型随机变量的分布函数
F ( x ) P{ X x} pk P ( X x k ).
xk x xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系 分布律
pk P { X x k }
X pk
1 2 k , p q 1, p qp q k 1 p
则称 X 服从几何分布. 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.
例
则
Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
( X=k )对应着事件 X的所有可能取值为
A1 A2 Ak 1 Ak
1，2，3，… ,k,…
P(X=k)= P( A1 A2 Ak 1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…
例
设随机变量X的分布律为
试确定常数b.
2 k P X k b( ) , k 1, 2,3, 3
51 3 54 27 P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} 190 190 190 95
实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事 件的方式变了
从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽 到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布 律。 解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…
则称X服从参数为p
的两点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例
设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中 随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型 随机变量
服务台在某时间段内接待的服务次数X； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目
体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏
分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由 观测值的平均值求出。
离散型随机变量的分布律也可表示为
x1 X ~ p1
或
x2 xn p2 pn
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
离散型分布律的两个基本性质
(1) pk 0, k 1,2,;
( 2) pk 1.
k 1
证明：因为x1,x2,x3,….是X的所有可能取的值， 且当i≠j时，{X=xi} ∩{X=xj}= Φ，故 {X xk } Ω 从而有
n很大, p 很小
泊松分布
合理配备维修工人问题 例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
证明：由题设知
P(Y k | X m) 0 k m
P( Y k | X m) C p q
k k m mk
P( X m ) e m!
m
m 0,1,2,
k 0,1,2,, m
这里q=1-p,由全概率公式得
P( Y k ) P( X m)P( Y k | X m)
解
记X为共抽到的次品数，则
1 X ~ B ( 5, ) 4
1 1 P{ X 2} C 1 4 4
2 5
2
5 2
例
一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒. 求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2） 不小于8粒发芽的概率。 X～B（10, 0.9）
( p ) e k!
k
p
k 0,1,2,
即Y服从参数 为λp的泊松 分布.
解
8 (1) P(X=8)= C10 0.98 0.12 0.1937
( 2) P(x 8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
C 0.9 0.1 C 0.9 0.1 C 0.9
8 10 8 2 9 10 9 10 10
10
0.9298
3. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
分布函数
F ( x ) P{ X x }
pk x x
k
求分布律举例
例 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中
任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变 量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解：X的可能取值为 0，1，2
2 C17 136 P{X=0} 2 C 20 190
N
3k e 3 3k e 3 0.01, 1 k ! k N 1 k ! k 0
N
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的 概率小于0.01.
例:设一只昆虫所产虫卵个数X服从参数为λ的泊松分布， 而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，并且各个虫卵是否发 育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫 个数Y服从参数为λp的泊松分布。
例
已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从
4 的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3
次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率
解 P( X k )
k
k!
3
e
4, k 3
4 4 P( X 3) e 0.19563 3!
P( X 4) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) P( X 4) 0.628838
二项分布的泊松近似
The Poisson Approximation to the Binomial Distribution
泊松定理
C p (1 p )
k n k
n k
k
k!
e
np
实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即 可用泊松公式近似替换二项概率公式
上面我们提到
二项分布
( k 1 )
所以 X 服从几何分布.
( k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
4.超几何分布
设X的分布律为
m n m CM CN M P{ X m} n CN
(m 0,1,2,, min{M , n})
这里n N , m M , M N , 则称X服从超几何分布 .
由分布律的性质,有