第五十讲 空间向量及其运算
空间向量及其运算
空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念，用于描述具有大小和方向的物理量。
本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。
基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
通常用箭头在字母上方表示向量，如向量A表示为$\vec{A}$。
表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。
坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。
y。
z)$，表示向量在$x$轴上的分量为$x$，在$y$轴上的分量为$y$，在$z$轴上的分量为$z$。
点表示法将向量的起点放在坐标原点，然后将向量的终点绘制在空间中，用一条箭头连接起来。
运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。
减法：两个向量相减，就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。
数量乘法：一个向量与一个实数相乘，就是将向量的每个分量都乘以这个实数。
例如，$\vec{A} = (x。
y。
z)$，$k$为实数，则$k\vec{A} = (kx。
ky。
kz)$。
总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。
它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。
空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
以上是关于空间向量及其运算的简要介绍，希望能对您有所帮助。
空间向量及其运算课件 课件
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
高中数学同步教学课件 空间向量及其运算
在 D 中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，
但 a·b 与 a·c 不一定等于零，故 D 错误．
对于 B 项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，
∴|a·b|简： (1)12(a＋2b－3c)＋523a－12b＋23c＝________； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝________． (1)263a－32b＋161c (2)0 [(1)原式＝12a＋b－32c＋130a－52b＋130c ＝263a－32b＋161c． (2)原式＝A→B－A→C－C→D＋B→D＝C→B＋B→D－C→D＝C→D－C→D＝0．]
2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作 0． (2)单位向量：模等于 1 的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相 平行，此 时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常 规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有 向线段通过平移后，都能在 同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？
2．下列命题中正确的是( )
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若 a⊥(b－c)，则 a·b＝a·c＝0
B [对于 A 项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故 A 错误．
对于 C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
空间向量及其运算
空间向量及其运算知识梳理1．空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c.3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos<a，b>.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).例题精讲例1、下面向量中，与向量＝（0，1，1），＝（1，0，1）共面的向量是（B）A．＝（1，1，0）B．＝（1，﹣1，0）C．＝（1，0，0）D．＝（1，0，﹣1）例2、已知＝（1，m，2），＝（n，1，﹣2），若＝λ，则实数m，n的值分别为（A）A．﹣1，﹣1B．1，﹣1C．﹣1，1D．1，1例3、如图，在棱长均相等的四面体O﹣ABC中，点D为AB的中点，，设，，，则向量用向量表示为（D）A．B．C．D．例4、长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是（B）A．B．C．D．例5、如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•＝练习：1、已知空间向量＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣3，1），则|+|等于（）A．B．2C．D．12、已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣4，2，x），且∥，则x＝（）A．5B．4C．﹣4D．﹣53、已知A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1，若B（6，﹣4，﹣1），线段AB的中点为M，则|A1M|等于（）A．B．3C．2D．64、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，设＝，＝，＝，用，，表示，则（）A．＝++B．＝++C．＝++D．＝++5、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点（Q靠近点M），则用向量，，表示，正确的是（）A．＝B．＝+C．＝+D．＝+6、若向量＝（3，2，x），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，4）满足条件（﹣）⊥，则实数x的值为（）A．﹣1B．2C．3D．47、对于空间任意一点O和不共线得三点A、B、C，有如下关系：＝，则（）A．四点O、A、B、C必共面B．四点P、A、B、C必共面C．四点O、P、B、C必共面D．五点O、P、A、B，C必共面8、若向量，，，则实数z的值为（）A．B．2C．D．±29、已知向量＝（2，4，5），＝（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15C．x＝，y＝D．x＝6，y＝10、如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量＝（）A．﹣++B．C．﹣﹣+D．﹣+ 11、已知空间向量，如＝（2x+1，3x，0），＝（1，y，y﹣3）（x，y∈R）果存在实数λ使得＝λ成立，则x+y＝．12、已知＝（，﹣1，0），＝（k，0，1），，的夹角为60°，则k＝．13、在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y＝．14、已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），＝（x，﹣1，2），若，，是共面向量，则x＝．15、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点O是底面正方形A1B1C1D1的中心，且，则x+y+z＝．16、点A（1，2，1），B（3，3，2），C（λ+1，4，3），若的夹角为锐角，则λ的取值范围为．答案：1、A 2、C 3、A 4、D 5、A 6、C 7、B 8、C 9、D 10、A 11、2 12、﹣14、-2 15、2 16、（﹣2，4）13、∪（4，+∞）。
空间向量及其运算
空间向量及其运算空间向量是一门有趣而又重要的数学学科，它主要研究三维空间内的点、线、面及其运动的运算。
涉及的数学知识有向量的概念及矢量场概念，用空间向量来分析三维空间中的运动是一种更加完整、易于理解的方法。
空间向量是一个有方向性的实数组成的三元组，具有起始点和方向的信息。
可以用来描述平移和旋转的大小，常被用来表示物体在空间中的位置和运动。
在三维环境中，可以表示长度的向量可以称作“矢量”，它们可以使用一对坐标（x，y，z）表示。
表示速度向量则需要三个量，其中包括（横向速度，纵向速度，垂直速度）。
空间向量的运算主要涉及加减法和乘除法，其中加减法可以用来计算两个空间向量的和或差，乘除法则可以计算空间向量和数值的乘积和商。
空间向量的加法可以用组合的形式描述，即首先将两个向量的起点连接，然后将他们的终点连接，得到的向量的起点即为两个向量的和，而终点即为这两个向量的差。
空间向量加法也可以用简便的算术方式描述，即：两个向量的每一个分量之和即为新向量的各分量，即：A+B=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
空间向量的减法可以通过组合的形式描述，即以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的起点为终点，连接两个点，即得到两个空间向量的差。
此外，这种形式的减法也可以用简便的算术方式来描述，即：A-B=(a1-b1, a2-b2, a3-b3)。
空间向量的乘除法也可以采取组合的形式描述：两个空间向量中，乘数向量的起点与被乘数向量的终点相连，连接后的新向量就是乘数向量与被乘数向量的乘积，而之所以称之为乘法，是因为两个向量的长度的积，即新向量的长度，就是乘数以及被乘数的乘积。
此外，这种乘法还可以用简便的数学方式来描述，即：乘法A*B=(a1*b1, a2*b2, a3*b3)，除法A/B= (a1/b1, a2/b2, a3/b3)。
空间向量的加减乘除运算是空间向量分析和应用中的重要运算，它可以用来研究物体在空间中的运动、物体在空间中的位置关系等等。
空间向量及其运算(共22张PPT)
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量及其运算 PPT课件
b
③ (a b) c a (b c)
典例
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜 线，AO 是 PA在平面 内的射影，l ，且 l OA.
求证： l PA.
P
OO A a
l
典例
例2 已知直线m, n是平面内的两条相交直线, 如果 l m, l n,求证 : l .
a b | a || b | cos a,b
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
特别地，a a a a cos a, a a 2 . 即：a a2 a b ab 0
ab a b
思考
a b 类似平面向量，你能说出 的几何意义吗？
数量积 a b 等于a 的长度 a 与b 在a
结论：空间任意两个向量都是共面的， 所以它们可用同一平面内的两条有向 线段表示
向量的加法和减法运算
C
B
a b
b
ab
O
a
A
OB OA AB a b,
CA OA OC a b.
空间向量的加法运算律
（1）交换律
a b b a,
（2）结合律
(a b) c a (b c).
练习
例.如图，已知平行四边 ABCD，过平面AC外一点O 作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、 G、H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：四点E、F、G、H
共面。
E
O
DC
A
B
H
G
F
空间向量的基本运算
第六节 空间向量1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝ 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是 的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的条件是存在实数,x y ，使 。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。
若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示。
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：选C∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：选C若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②若MB＝x MA＋y MB，则M、P、A、B共面；③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选D可判断①②③正确．4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，OE＝12OA＋12OD＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2＝3，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .[自主解答] 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG . 解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA ＝λPB 且同过点P MP ＝x MA ＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y)OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝1 2AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1BB ＋1B M ＝1AA ＋12(AD －AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ·BC ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°，且|AB |＝1，|AD |＝2，|1AA |＝3，则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1AC ＝a ＋b ＋c ， 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC |＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM ＝2OA －OB －OC ；②OM ＝15OA ＋13OB ＋12OC ；③MA ＋MB ＋MC ＝0；④OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0.解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB ―→·1B E ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP ，AE 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP ＝(0,0，a )，AE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP ，AE 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD ＝33n . ∵PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD∥平面ABE；(2)求证：AC⊥BE.证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，∴平面DFM∥平面ABE.又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，∴FD∥平面ABE.(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.BE·AC＝(BA＋AE)·(AB＋BC)＝－AB2＋AE·BC＝－36＋36＝0.∴AC⊥BE.∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.又∵AG∩GC＝G，∴BE⊥平面AGC.又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ＝(－1，－3，0)，PC ＝(－3，3，－a )，∵BD ·PC ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ＝(0，3，0)，DP ＝(0,0，a )，PA ＝(1,0，－a )，PC ＝(－3，3，－a )，∵PE ＝λPC ，∴PE ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE ＝DP ＋PE ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB ·n ＝0，PA ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)，∵DE ∥平面P AB ，∴DE ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD ＝CD －CB ＝a －b ，1CC ·BD ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C ⊥BD ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA ＝a ＋b ＋c ，1C D ＝a －c .∴1CA ·1C D ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB ＝(2,0，－2)，FE ＝(0，－1,0)，FG ＝(1,1，－1)，设PB ＝s FE ＋t FG ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB ＝2FE ＋2FG ，又∵FE 与FG 不共线，∴PB 、FE 与FG 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。
空间向量及其运算(讲义及答案)
1 / 10空间向量及其运算（讲义）➢ 知识点睛一、空间向量的定义及定理1. 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．2. 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理对空间任意两个向量a ，b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________．扩充：对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线：①PA PB λ−−→−−→=；②对空间任一点O ，OP OA t AB −−→−−→−−→=+；③对空间任一点O ，1OP x OA y OB x y −−→−−→−−→=++=（）． （2）共面向量定理如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________．扩充：对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面：①MP x MA y MB −−→−−→−−→=+；②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB −−→−−→−−→−−→=++；③对空间任一点O ，1OP xOM y OA z OB x y z −−→−−→−−→−−→=++++=（④PM −−→∥AB −−→（或PA −−→∥MB −−→或PB −−→∥AM −−→）． （3）空间向量基本定理l如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得___________________________．其中，__________叫做空间的一个基底．二、空间向量的线性运算类比平面向量三、空间向量的坐标运算a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b均为非零向量）：a+b=____________________，a-b=_____________________，λa=_____________________；a b⋅=__________________，a=____________________；cos<a，b>=__________________=__________________；a∥b⇔__________⇔__________________；a⊥b⇔__________⇔__________________．四、空间位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任AB为直线l的方向向量．意两点，则称−−→AB平行的任意__________也是直线的方向向量．与−−→（2）平面的法向量①定义：与平面__________的向量，称作平面的法向量．②确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为_______________．2/ 103 / 102. 空间位置关系的向量表示➢ 精讲精练1. 如图，在空间四边形ABCD 中，若G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC −−→−−→−−→++=（ ）A ．BC −−→B ．CG −−→C ．AG −−→D ．12BC −−→4 / 10GDBAE OABCD第1题图 第2题图2. 如图，在四面体OABC 中，设OA −−→=a ，OB −−→=b ，OC −−→=c ，若D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则−−→OE =___________．（用a ，b ，c 表示）3. 已知向量a ，b ，若2AB −−→=+a b ，56BC −−→=-+a b ，72CD −−→=-a b ，则一定共线的三点是（ ）A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D4. 下列条件：①OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→=+-； ②111532OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→=++；③MA MB MC −−→−−→−−→++=0；④OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→+++=0．能推出M ，A ，B ，C 四点共面的是__________．（填写序号）5 / 105. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一个单位正交基底，{a +b ，a -b ，c }是空间的另一个基底，若向量p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为31(3)22-，，，则p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为 _________________．6. 已知a =(x ，4，1)，b =(-2，y ，-1)，c =(3，-2，z )，且a ∥b ，b ⊥c ． （1）x =_______，y =_________，z =_________； （2）a +c 与b +c 所成角的余弦值为______________．7. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，若E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF −−→⋅DC −−→=（ ）A ．14B ．14-CD．DCBA FE第7题图 第8题图8. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，若E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则−−→AE ⋅AF −−→=（ ）A ．2aB ．212aC ．214aD 26 / 109. 若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，则下列结论正确的是（ ）A ．若l ⊥α，则a ⊥nB ．若l ∥α，则a ∥nC ．若a ∥n ，则l ⊥αD ．若a ⋅n =0，则l ⊥α10. 已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)三点，n =(1，1，1)， 则以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 的关系是（ ） A ．垂直 B ．不垂直 C ．平行D ．以上都有可能11. 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则下列能使l ∥α的是（ ）A ．a =(1，0，0)，n =(-2，0，0)B ．a =(1，3，5)，n =(1，0，1)C ．a =(0，2，1)，n =(-1，0，-1)D ．a =(1，-1，3)，n =(0，3，1)12. 已知平面α，β的法向量分别为a =(1，1，2)，b =(x ，-2，3)，若α⊥β，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-4C ．3D ．413. 已知AB −−→=(2，2，1)，AC −−→=(4，5，3)，则平面ABC 的单位法向量是7 / 10________________．14. 如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱111ABC A B C -的顶点C 与原点O 重合，顶点A ，1C ，B 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，若AC =12CC BC =，则直线1BC 与直线1AB 的夹角的余弦值为（ ）A．5B．3C．5D ．3515. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，B 1D 1的中点，求证：EF ⊥A 1D ．B 1D 1C 1A 1D CBAE F8 / 1016. 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点． （1）求证：AG ∥平面BEF ；（2）在棱BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的结论．GFEABC DA 1C 1D 1B 19 / 10【参考答案】➢ 知识点睛一、空间向量的定义及定理2. （1）a=λb（2）不共线，唯一，p =x a +y b （3）p =x a +y b +z c ，{a ，b ，c } 三、空间向量的坐标运算(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)，(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)，(λa 1，λa 2，λa 3)a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a b a b ⋅b =λa ，3121231230b b b a a a a a a λ===≠（，，）0a b ⋅=，a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0四、空间位置关系1. （1）非零向量（2）垂直，00n a n b ⋅⋅=⎧⎨=⎩2.2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，），1212120x x y y z z ++= 1212120x x y y z z ++=，2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，）2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，），1212120x x y y z z ++= ➢ 精讲精练 1. C10 / 102.111244a b c ++ 3. A 4. ①③ 5. (1，2，3)6. （1）2，4-，2；（2）219- 7. B 8. C 9. C 10. A 11. D 12. B13. (13，23-，23)或(13-，23，23-)14. A 15. 证明略16. （1）证明略；（2）M 为BB 1的中点，证明略。
空间向量及其运算
3.1向量及其运算1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量，如位移、速度、力等。
向量的大小叫做向量的长度或者向量的模。
模为0的向量叫做零向量，模为1的向量叫做单位向量。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2.向量的加减运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：b a+=+=； b a -=-=； )(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+；⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++；⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(.说明：①引导学生利用图形验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
例1.下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(6)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．(2)正确．∵AB →＝DC →∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c .(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向． 故选C.例2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c[答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A.3.向量的数乘运算共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .注意：对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量。
空间向量及其加减运算 课件
一、空间向量的定义与表示法 1.定义：在空间，既具有_大__小__，又具有_方__向__的_量__叫做空间 向量． 2.表示法： (1)几何表示法：用有向线段 AB表示，A叫做向量的_起__点__，B 叫做向量的_终__点__． (2)字母表示法：用字母 a,b,c, 或_a_,_b_,_c_,_…表示.
类型 二 空间向量的加减运算 【典型例题】
1.化简： AB CD AC BD ________.
2.如图，已知空间四边形ABCD中，AB a,BC b,AD c, 试用a,b,c表示向量 AC，BD，CD.
【解题探究】1．使用向量加法的平行四边形法则应注意什么 要素？ 2．使用向量加减法的三角形法则应注意什么要素？ 探究提示： 1．使用向量加法的平行四边形法则应注意的要素是：“起点 相同”． 2．使用向量加法的三角形法则的要素是：“首尾相接，指向 终点”；减法的要素是：“起点相同，指向被减”.
其中假命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连 接的向量中，与向量 AA 相等的向量有______；与向量 AB 相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
【解题探究】1.如何对向量的有关概念性问题进行辨析？ 2.相等向量与相反向量有何区别与联系? 探究提示： 1.应与平面向量进行对比，注意空间向量与平面向量的联系 与区别，准确把握空间向量的概念是解答问题的关键． 2.相等向量的模相等，且方向相同；相反向量的模也相等， 但方向相反.
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB化简BA. (3)利用 AB OB把 O各A个，向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.
空间向量及其运算公开课课件
试一试4
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式， (如图)
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An
AB BC CC1 C1D1
D1
A1
C1 B1
D A
C B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
空间中长度相等，方向 相反的两个向量，
空间中方向相同且模 相等的向量
探究1 对于两个向量来说，空间向量 和平面向量有没有区别？
笔记
结论一：空间任意两个向量都可以转化为平面向 量 结论二：平面向量的结论适用于空间任何两向 量
空间向量及其加减法运算
平面向量
空间向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
D A
C B
D1
C1
F1 F1=20N
F2 F2=25N F3=10N
F3
A1
B1
2、三个力同时作用于某物体时，合力多大？
二、向量的运算
C
1、向量的加减法运算
A
⑴向量的加法：平行四边形法则
B
OA+OB=OC O
三角形法则 (首尾相接) OB+BC=OC
⑵向量的减法: 三角形法则
B
OB—OA = AB
1、在正方体中AC1，一只蚂蚁 沿AB、BC、CC1爬行，试问这只蚂蚁 的实际位移是多少？
D A
C B
D1 A1
C1 B1
复习回顾：
内容 概念
画法及表示 方法
零向量
单位向量
平面向量
空间向量
空间向量及其加减运算课件
[一点通] (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件． (2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运 算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
[例 2] 化简( AB－CD)－( AC － BD)． [思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向 量的起点、终点．
[一点通] (1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题 的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类 题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范． (2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加 法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时 可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
定义 在空间，把具有 大小 和方向 的量叫做空间向量. 几 ①零向量：规定 长度为0 的向量叫做零向量，记 类 为0 . ②单位向量： 模为1 的向量称为单位向量. 特 ③相反向量：与向量a长度 相等 而方向 相反 的向 殊 量称为a的相反向量，记为 －a . ④相等向量：方向 向 相同 且模 相等 的向量称为相等向量．在空间，
[精解详析] 法一：∵ AB－CD＝ AB＋ DC ， ∴( AB－CD)－( AC － BD)＝ AB＋ DC － AC ＋ BD ＝ AB＋ BD＋ DC ＋CA＝ AD＋ DA＝0. 法二：( AB－CD)－( AC － BD)＝ AB－CD－ AC ＋ BD ＝( AB－ AC )＋( DC － DB)＝CB＋ BC ＝0.
1.向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比 较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比 较大小.
2.零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样， 0与任何空间向量平行.
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是指在空间中有大小和方向的量。
它在物理学、几何学和工程学等领域具有重要的应用。
空间向量的概念和运算是研究空间中物体位置和运动的基础。
一、空间向量的概念空间向量由大小和方向来确定。
空间中的向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
例如，一个位移向量可以表示为⃗d，箭头的长度表示位移的大小，箭头的方向表示位移的方向。
空间向量的大小也称为向量的模或长度，通常使用两点之间的距离来计算。
二、空间向量的运算1. 向量的加法空间中的两个向量可以进行加法运算。
向量的加法可以表示为：⃗a + ⃗b = ⃗c其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗c是它们的和向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
即：⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a(⃗a + ⃗b) + ⃗c = ⃗a + (⃗b + ⃗c)2. 向量的减法空间中的两个向量可以进行减法运算。
向量的减法可以表示为：⃗a - ⃗b = ⃗d其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗d是它们的差向量。
向量的减法可以通过向量的加法来实现，即：⃗a - ⃗b = ⃗a + (-⃗b)3. 向量的数量积空间中的两个向量可以进行数量积运算。
向量的数量积可以表示为：⃗a ⋅ ⃗b = abcosθ其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，a和b分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角。
向量的数量积满足交换律和分配律。
即：⃗a ⋅ ⃗b = ⃗b ⋅ ⃗a⃗a ⋅(⃗b + ⃗c) = ⃗a ⋅ ⃗b + ⃗a ⋅ ⃗c4. 向量的矢量积空间中的两个向量可以进行矢量积运算。
向量的矢量积可以表示为：⃗a × ⃗b = |⃗a||⃗b|sinθ⃗n其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，|⃗a|和|⃗b|分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角，⃗n是法向量。
向量的矢量积满足反交换律和分配律。
即：⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a⃗a ×(⃗b + ⃗c) = ⃗a × ⃗b + ⃗a × ⃗c以上是对空间向量的概念与运算进行的简要介绍。
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第五十讲空间向量及其运算班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在以下命题中，不正确的命题个数为()(1)已知A、B、C、D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0.(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底．(3)|(a·b)|·c＝|a|·|b|·|c|.(4)对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP＝x OA＋y OB＋z OC(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：AB＋BC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DA＝AD＋DA＝0(1)正确．由向量知识知(2)正确．若a⊥b则a·b＝0，则(3)不正确．由空间向量中点共面知(4)正确，故选A.答案：A2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD ＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：∵BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AB·AD－AC·AB＋AB·AB＝|AB|2>0，同理CB·CD>0，DB·DC>0，故△BCD为锐角三角形．因此选B.答案：B3．如图，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c.点M在OA上，且OM ＝2MA，N为BC中点，则MN等于()A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 解析：MN ＝ON －OM ＝12(OB ＋OC )－23OA ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .故选B.答案：B4．已知四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，给出下列两个命题： ①AB ·CD ＝AC ·BD ＝AD ·BC ；②|AB ＋AC ＋AD |2＝|AB |2＋|AC |2＋|AD |2. 则下列关于以上两个命题真假性的判断正确的是( ) A ．①真、②真 B ．①真、②假 C ．①假、②假 D ．①假、②真解析：由AB ⊥AC 、AB ⊥AD ，得AB ⊥平面ACD ，故AB ⊥CD ，即有AB ·CD ＝0， 同理，AC ·BD ＝AD ·BC ＝0， 于是，命题①为真命题．又以AB 、AC 、AD 为同一顶点出发的三条棱，可构造一个长方体，则AB ＋AC ＋AD 为以A 为起点的长方体的体对角线所对应的向量，从而|AB ＋AC ＋AD |为长方体的体对角线的长，而|AB |2＋|AC |2＋|AD |2亦表示体对角线的长，故命题②亦真．答案：A5．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2，给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝SC·SD；⑤SA·SC＝0.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：容易推出，SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2·2·cos∠ASB，SC·SD ＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确；其余三个都不正确，故选B.答案：B6．已知四面体ABCD的各条棱长相等，E是BC的中点，那么()A.AE·BC<AE·CDB.AE·BC＝AE·CDC.AE·BC>AE·CDD.AE·BC与AE·CD不能比较大小解析：AE·BC＝0，AE·CD＝12(AB＋AC)·(AD－AC)＝12(AB·AD－AB·AC＋AC·AD－AC2)＝12⎝⎛⎭⎫12|AC|·|AD|－AC2<0.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面CC 1D 1D 的中心是F ，若AF ＝AD ＋m AB ＋n AA 1，则m ＝________，n ＝________.解析：如图，∵AF ＝AD ＋DF＝AD ＋12(DC ＋DD 1)＝AD ＋12(AB ＋AA 1)＝AD ＋12AB ＋12AA 1，∴m ＝n ＝12.答案：12 128．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为________．解析：∵OA ·BC ＝OA (OC －OB ) ＝OA ·OC －OA ·OB＝|OA |·|OC |cos 〈OA ，OC 〉－|OA |·|OB |·cos 〈OA ，OB 〉 ∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA ·BC ＝0，即OA ⊥BC .∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 答案：09．如图所示，已知E 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，则向量A 1C 1与DE 所成的角是________．解析：设正方体棱长为a ， 则|AB |＝|AD |＝|AA 1|＝a ，且AB ·AD ＝AD ·AA 1＝AA 1·AB ＝0， ∵A 1C 1＝A 1B 1＋B 1C 1＝AB ＋AD ，DE ＝DD 1＋D 1E ＝AA 1＋12DC ＝AA 1＋12AB ，∴A 1C 1·DE ＝(AB ＋AD )·(AA 1＋12AB )＝AB ·AA 1＋12AB 2＋AD ·AA 1＋12AD ·AB＝12|AB |2＝12a 2， 又∵|A 1C 1|＝2a ，|DE |＝52a ， ∴cos 〈A 1C 1，DE 〉＝A 1C 1·DE|A 1C 1||DE |＝12a 22a ·52a ＝1010，∴〈A 1C 1，DE 〉＝arccos1010， 即向量A 1C 1与DE 所成的角为arccos 1010. 答案：arccos101010．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题： ①(A 1A ＋A 1D 1＋A 1B 1)2＝3(A 1B 1)2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°；④此正方体体积为|AB·AA1·AD|.则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)．解析：①∵|A1A＋A1D1＋A1B1|＝|A1C|＝3|A1B1|，∴正确；②∵A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1，由三垂线定理知A1C⊥AB1，∴正确；③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，A1B＝D1C，注意方向．④∵AB·AA1＝0，正确的应是|AB|·|AA1|·|AD|.答案：③④三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，已知四边形ABCD，ABEF为两个正方形，M，N分别在其对角线BF和AC 上，且FM＝AN，求证：MN∥面EBC.分析：要证MN∥平面EBC，可证MN∥平面EBC，即证MN，BC，BE共面．证明：在正方形ABCD与ABEF中，因为FM＝AN，FB＝AC，所以存在实数λ使FM＝λFB，AN＝λAC.又因为BE＝AB所以MN＝MF＋F A＋AN＝λBF＋EB＋λAC＝λ(BE＋BA＋AB＋AD)＋EB＝λ(BE＋AD)＋EB＝(λ－1)BE＋λBC.所以MN，BC，BE共面．因为M∉平面EBC，所以MN∥平面EBC.评析：向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝x a ＋y b，利用共面向量定理，可以证线面平行问题．12．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD 的中点，求MN的长．分析：由于该空间四边形的每条边和对角线的长都相等，因此每一个面都是正三角形，以从同一个顶点出发的三条棱作为基底，将有关向量分解即可．解：如图所示，设AB＝p，AC＝q，AD＝r.由题意知|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r两两夹角均为60°.MN＝AN－AM＝12(AC＋AD)－12AB＝12(q＋r－p)，所以有：|MN |2＝14(q ＋r －p )2＝14[]q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q ·p －r ·p ) ＝14⎣⎡⎦⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝⎛⎭⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. 所以|MN |＝22a .故MN 的长为22a . 13．在二面角α—l —β中，A ，B ∈α，C ，D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，P A ⊥α，且P A ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点．(1)求二面角α—l —β的大小； (2)求证：MN ⊥AB ；(3)求异面直线P A 与MN 所成角的大小． 分析：(1)∠ADP 为所求二面角的平面角； (2)求证MN ·AB ＝0；(3)利用向量的数量积的有关知识．解：(1)由三垂线定理，PD ⊥l ，故∠ADP 为二面角α—l —β的平面角，由P A ＝AD 得∠ADP ＝45°.∴二面角α—l —β的大小为45°. (2)证明：PC ＝PD ＋DC ，PN ＝12PC ＝12PD ＋12DC ＝12(AD －AP )＋12DC ，AN ＝PN －P A ＝PN ＋AP ，∴AN ＝12AD ＋12AP ＋12DC ，MN ＝AN －AM＝12AD ＋12AP ＋12DC －12DC ＝12AD ＋12AP ， ∵AD ⊥AB ，AP ⊥AB∴MN ·AB ＝12·AD ·AB ＋12AP ·AB ＝0，∴MN ⊥AB .(3)设AP ＝a ，则AP ·MN ＝12AD ·AP ＋12AP ·AP ＝12a 2，|AP |＝a ，|MN |＝⎝⎛⎭⎫12AD ＋12AP 2 ＝14AD 2＋14AP 2＝22a ， ∴cos 〈AP ，MN 〉＝AP ·MN|AP |·|MN |＝22，即异面直线P A 与MN 所成角为45°.评析：本题考查向量法证明垂直问题和求异面直线所成的角，关键是选合适的基向量．。