北京市房山区2012届高三上学期期末数学含答案
房山2012年二模数学(文科)带详细答案
俯视图侧（左）视图24主（正）视图房山区2012年高考第二次模拟试卷高三数学(文科)考 生 须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题直接填涂在机读卡上。
3. 第Ⅱ卷非选择题直接写在答题纸上的指定位置，在试卷作答无效。
4.考试结束后，将机读卡与答题纸一并交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题纸上。
1.集合{}10≤≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=21x x B ，则B A 等于（ ） (A){}1<x x (B){}1≤x x (C){}10<≤x x (D){}0≤x x2．已知等比数列{}n a 中，43=a ，216=a ，则公比q =（ ）(A)21- (B)2- (C)2 (D)213.“3πθ=”是“21cos =θ”的（ ）（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既不充分也不必要条件4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（ ） （A ）2423+ （B ）24 （C ）38 （D ）435. 设12log 3a =，3.031⎪⎭⎫⎝⎛=b ，πln =c ，则（ ）(A)a b c << (B)a c b << (C)c a b << (D)b a c <<6．如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a ，2a ，则一定有（ ）（A ）a 1>a 2 （B ）a 1<a 2（C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关7．已知b a ,均为单位向量，且b a 3+=13，则b a ,的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π（D ）23π0795455184464793m甲乙8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x->，且(2)0f -=，则不等式()0f x x >的解集是( )(A) (2,0)-∪(0,2) (B) (,2)-∞-∪(2,)+∞ (C) (2,0)-∪(2,)+∞ (D) (,2)-∞-∪(0,2)第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
高考数学 房山区2012年高三第一次模拟试题参考答案(文)
最新整理房山区2015年高三第一次模拟试题高三数学(文科)参考答案一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）9．(0,1)-; 10.61; 11. 60137； 12. 5-，⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 ; 13. [04]， 14. 23三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。
共80分）15.（本小题共13分）解：（I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21， ………………2分 所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n ………………4分 （II ）数列}{n a 的前n 项和2n S n = ………………6分 等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，13-=n n b ……………9分数列}{n b 的前n 项和2133131-=--=n nn T ……………11分n n S T ≤即2213n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2 ……………13分16．（本小题共13分）解：(I)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.由π4×1＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π4，Z k ∈又|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 ……………6分(II)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4∵x ∈1[6,]3--，∴5[,]4446x ππππ+∈-，最新整理∴当5444x πππ+=-，即6x =-时 (x)f 当442x πππ+=-，即3x =-时 (x)f 取得最大值为2- ……………13分17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A ，B ，C ，D 四个区域的家长共有200人， ……………1分 其中来自A 区域的家长为40人， ……………2分 由分层抽样可得从A 区域的家长问卷中抽取了 42004020=⨯份. ……………4分设事件M =“家长甲被选中进行问卷调查”， ……………5分 则.10404)(==M P . ……………6分(II) 由图表可知，来自A ，B ，C ，D 四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个 . ………7分 记来自A 区域不满意的家长是a ；来自B 区域不满意的家长是b ；来自D 区域不满意的家长是c ，d. ………8分 设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D ” …………9分 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， ……10分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………11分 故()65=N P . ………13分18.（本小题共14分）证明：（I ）设M 为BE 的中点,连结FM ，AM∵F 为EC 的中点∴FM ∥BC ，12FM BC =∵AD ∥BC ，2BC AD =∴四边形AMFD 是平行四边形∴AM ∥DF ………6分 又DF ⊄平面EAB ，AM ⊂平面EAB∴DF ∥平面EAB(II)∵AD ∥BC ，090DAB ∠=∴BC ⊥AB又侧面EAB ⊥底面ABCD ，侧面EAB I 底面ABCD AB =,AB ⊂平面ABCD最新整理∴BC ⊥平面EAB ,又AM ⊂平面EAB∴BC ⊥AM∵△EAB 是正三角形，F 为EC 的中点∴BE ⊥AM又BC I BE B =,BC ⊂平面EBC ,BE ⊂平面EBC∴AM ⊥平面EBC∵AM ∥DF∴DF ⊥平面EBC …………………14分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）1()=f x a x '- …………………2分(1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分 （Ⅱ）)(x f 定义域为()+∞,01()=f x a x '-x ax-=1（1）当0=a 时，()01>='x x f ，)(x f 在()+∞,0为增函数（2）当0≠a 时， 令01=-x ax得，0=x 或a x 1=①当0<a 时，)(x f 在()+∞,0为增函数②当0>a 时，)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上是增数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a 是减函数 …………………9分（Ⅲ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x ''--， 解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，最新整理即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． ……………13分20.（本小题共14分）解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4.∴24a =，2a =. 又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=.∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分（Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k =-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-=∵点(0,1)在椭圆内，∴△0> ∴122834kx x k +=-+， ∴1224234E x x kx k +==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴34EOE E y k x k==- 同理33144()FOF F y kk x K ==-=- ∴916OE OF k k ⋅=-…………………14分。
北京市各区2012届高三第一学期文科数学期末试卷汇编
北京市昌平区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测（数学文）北京市房山区2012届高三上学期期末统测数学（文）试题北京市丰台区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市石景山区2012届高三上学期期末考试数学（文）试卷北京市西城区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）2012年2月昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科） 2012 .1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合}7,3,1{},5,3{==B A ，则()U A B ð等于A ．{5}B ．{3，5}C ．{1，5，7}D ．Φ2．21i -等于A ． 22i -B ．1i -C ．iD ．1i +3．“x y >”是“22x y>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是A ．910B ．45C ．25D ．125.若某空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积是 A ．2 B ．4 C ．6. D ．8 6. 某程序框图如图所示，则输出的S =A ．120B ． 57C ．56D ． 267.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.主视俯视同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是A.第7档次B.第8档次C.第9档次D.第10档次8. 一圆形纸片的圆心为点O ,点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点.把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与OA 交于P 点.当点A 运动时点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线第Ⅱ卷（非选择题 共110分）填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.已知函数x x y cos sin = ，则函数的最小正周期是 .10.已知向量(2,1)=a ，10⋅=a b ， 7+=a b ，则=b .11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .12. 已知双曲线122=-y m x 的右焦点恰好是抛物线x y 82=的焦点，则m = .13. 已知D是由不等式组0,0,x y x -≥⎧⎪⎨+≥⎪⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为_____________；该弧上的点到直线320x y ++=的距离的最大值等于__________ .14.设函数)(x f 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，a则称)(x f 为有界泛函.在函数①x x f 5)(-=，②x x f 2sin )(=，③xx f )21()(=，④x x x f cos )(=中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，AA A cos cos 2cos 212-=．（I ）求角A 的大小；（II ）若3a =，sin 2sin B C =，求ABCS ∆．16．（本小题满分13分） 已知数列}{n a 是等差数列,22, 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是nS ，且131=+n n b S .（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：数列}{n b 是等比数列；17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 底面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ,点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（I ）求证:ACM PB 平面// ； （II ）求证:⊥MN 平面PAC ；（III ）求四面体A MBC -的体积.18.(本小题满分13分)已知函数ax x x x f ++=1ln )(（a 为实数）.（I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为23．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量+=.求： （I ）椭圆C 的方程；（II ）||的最小值及此时直线l 的方程.20. (本小题满分13分)M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意s ，0t >，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+.（I ）试判断函数12()log (1)f x x =+，2()21x f x =-是否属于M ？（II ）证明：对于任意的0x >，0(x m m +>∈R 且0)m ≠都有[()()]0m f x m f x +->；（III ）证明：对于任意给定的正数1s >，存在正数t ，当0x t <≤时，()f x s <.昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学(文科)试卷参考答案及评分标准 2012.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．π 10. 26 11. 0.125；120 12. 313． 65π;5102+14. ① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题满分13分）解：（I ）由已知得：AA A cos cos )1cos 2(2122-=-，……2分.21cos =∴A ……4分 π<<A 0 ，.3π=∴A …………6分（II ）由C c B b sin sin = 可得：2sin sin ==c bC B ………7分∴ c b 2= …………8分214942cos 222222=-+=-+=c c c bc a c b A ………10分 解得：32b , 3==c ………11分2332333221sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . ……13分16（本小题满分13分）解：（1）由已知⎩⎨⎧=+=+.225,10211d a d a 解得 .4,21==d a.244)1(2-=⨯-+=∴n n a n ………………6分（2）由于nn b S 311-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，11311---=n n b S ② －②得n n n b b b 31311-=- ， 141-=∴n n b b 又0431≠=b ,.411=∴-n n b b ∴数列}{n b 是以43为首项，41为公比的等比数列.……………………13分17.（本小题满分14分）证明：（I ）连接O BD AC MN MO MC AM BD AC = 且,,,,,,的中点分别是点BD PD M O ,, ACM PB PB MO 平面⊄∴,//∴ACM PB 平面//. …… 4分(II) ABCD PA 平面⊥ ，ABCD BD 平面⊂BD PA ⊥∴是正方形底面ABCDBD AC ⊥∴又A AC PA =⋂ PAC BD 平面⊥∴ ……7分在中PBD ∆，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．∴BD MN //PAC MN 平面⊥∴. …… 9分（III ）由h S V V ABC ABC M MBC A ⋅⋅==∆--31 ……11分PAh 21= ……12分 32212131=⋅⋅⋅⋅⋅=∴-PA AD AB V MBC A . ……14分18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分当0=a 时21)(x x x f -=' …….2分当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分故1)1()(m in ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(x x x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分 当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a 故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分19. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知3=c ，23==a c e ，所以2=a ，于是12=b ，由于焦点在x 轴上，故C 椭圆的方程为2214x y += ………………………………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(<k ，),0(),0,(m B k mA -⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x m kx y 消去y 得：012)41(222=-+++m kmx x k …………………7分直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，0)1)(41(42222=-+-=∆m k m k即1422+=k m ① …………………… 9分 ∵OB OA OM +=222||m k m OM +=∴② ……………………11分将①式代入②得：||3OM ==当且仅当22-=k 时，等号成立，故min ||3OM =，此时直线方程为：03222=-+y x . …………………14分20（本小题满分13分）(Ⅰ)由题意可知，0)(,0)(,0)(,0)(2211>>>>t f s f t f s f 若)1(log )1(log )1(log 222++<+++t s t s 成立 则1)1)(1(++<++t s t s 即0<st与已知任意s ，0t >即0>st 相矛盾，故M x f ∉)(1； ……2分 若12222-<-++ts ts成立 则01222<--++ts t s即0)21)(12(<--t s s ，0t > 021,12<->∴t s 即0)21)(12(<--ts 成立 …..4分故M x f ∈)(2.综上，M x f ∉)(1，M x f ∈)(2. ……5分(II) 当0>m 时，)()()()(x f m f x f m x f >+>+ 0)()(>-+∴x f m x f 当0<m 时，)()()()()(m x f m f m x f m m x f x f +>-++>-+=0)()(<-+∴x f m x f故0)]()([ >-+x f m x f m . ……9分(III) 据（II ））上为增函数在（∞+.0)(x f ，且必有)(2)2(x f x f >（*） ①若s f <)1(，令1=t ，则t x ≤<0时 s x f <)(；②若,)1(s f >则存在*N ∈k ，使t f k 12)1(=<由（*）式可得s f f f kk k <<<<<-1)1(21)21(21)21(1即当s x f t x <≤<)(0时， 综①、②命题得证。
北京市房山区2012-2013学年度高三数学第一学期期末练习(理科)
房山区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理科）2013.1本试卷共5页，150分。
考试时间120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{|60},{|13}M x x x N x x =+-<=≤≤，则 A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. )2,1[=N M D. ]3,3[-=N M2. 设,a b ∈R ，(1)(2)a bi i i +=-+（为虚数单位），则a b +的值为 A. 0 B. 2 C.3 D. 43. “0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则 A. c a b << B. a b c << C. a c b << D. b a c <<5. 已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A.一定相离B.一定相切C.相交且一定不过圆心D.相交且可能过圆心 6. 若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的 表面积是C. 6+D. 6+7. 已知函数ln ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为 A. 4 B. 3 C. D. 1-8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)3θπ∈，且 a b 和 b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则 a b =A.21 B. C. 23 D.或23二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.10(1)x dx +⎰= .10.5)1(+x 的展开式中x 的系数是 .（用数字作答） 11.在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于. 12.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为 .13. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前n *()n ∈N 年的总利润n S （单位：万元）与n 之间的关系为2(6)11n S n =--+.当每辆客车运营的平均利润最大时， n 的值为 .14. 已知0m >，给出以下两个命题：命题p ：函数)lg()(2m x x f +=存在零点； 命题q ：x ∀∈R ，不等式21x x m +->恒成立.若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则m 的取值范围为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点.（Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.17. （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多．．投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分. 将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止．．．．投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2：都在B 处投篮.甲同学在A 处投篮的命中率为5.0，在B 处投篮的命中率为8.0. （Ⅰ）甲同学选择方案1.① 求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；② 求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望E ξ； （Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.18. (本小题满分13分)已知函数1)(2+-=x axb x f . （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求,a b 的值； （Ⅱ）当221b a =-时，讨论函数()f x 的单调性.D 1C 1B 1A 1ED CBA19. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122n S n n =+ ()n *∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1(211)(29)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式2013n k T >对一切n *∈N 都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设,(21,),()313,(2,),n n a n k k f n a n k k **⎧=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩N N 是否存在m *∈N ，使得(15)5()f m f m += 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知函数)(x f y =,若存在0x ，使得00)(x x f =,则称0x 是函数)(x f y =的一个不动点，设二次函数2()(1)2f x ax b x b =+++-. (Ⅰ) 当2,1a b ==时，求函数)(x f 的不动点；(Ⅱ) 若对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数)(x f y =的图象上B A ,两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且直线211y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.房山区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2013.01一、 选择题：1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D【解析】C;因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅ ,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos ||a ab b θθ==,且211(0,),cos 1,2cos 2322πθθθ∈∴<<∴<< 故有312a b = 或,选D.【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ== ,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是1cos 12θ<=<,所以1214k k <<,所以1223k k =或,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==或122,1k k ==,于是32a b = ,选D.二、 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.3210. 10 11. 4, 12. 9 13. 5 14. 1(0,](1,)2+∞:01,:1p m q m <≤>数形结合三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由cos 0x ≠ ………………1分 得 ,2x k k ππ≠+∈Z ………………3分 所以函数)(x f 的定义域为 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈……………4分 （Ⅱ）sin 2cos 21()2cos x x f x x++== 22sin cos 2cos 112cos x x x x +-+……………8分=sin cos )4x x π+=+……………10分())42f ππαα+=+=所以3cos sin()25παα=+=……………13分16. （本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连接BD∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ∴1D D AC⊥………………1分在长方形ABCD 中，AB BC =∴BD AC ⊥ ………………2分又1BD D D D =∴AC ⊥平面11BB D D ， ………………3分 而1D E ⊂平面11BB D D ∴1AC D E⊥………………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1),(1,1,0)A D E B ,1(0,1,1),(1,0,2),(1,1,1)AE AD DE ==-=设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1z =，则(2,1,1)n =- ………………7分 zyxD 1C 1B 1A 1EDCBAcos,n DEn DEn DE<>===………………9分所以DE与平面1AD E………………10分（Ⅲ）假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面1AD E.设P的坐标为(,0,0)(01)t t≤≤，则(1,1,0)BP t=--因为BP∥平面1AD E所以BP n⊥，即0BP n=，2(1)10t-+=，解得12t=，………………13分所以在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面1AD E,此时DP的长12.……14分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）在A处投篮命中记作A,不中记作A；在B处投篮命中记作B,不中记作B；①甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件ABB,则))))0.50.80.80.32P ABB P A P P==⨯⨯=(((B(B………………2分②ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则(0)()()()()0.50.20.20.02P P ABB P A P B P Bξ====⨯⨯= (2)))))))))P P ABB P ABB P A P P B P A P B Pξ==+=+((((B((((B0.50.8(10.8)0.5(10.8)0.80.16=⨯⨯-+⨯-⨯=(3))0.5P P Aξ===((4)))))0.50.80.80.32P P ABB P A P Pξ====⨯⨯=(((B(B………………6分ξ的分布列为：………………7分00.0220.1630.540.32 3.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………9分（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ,1P =(3)0.50.320.82P ξ≥=+=2P ()()()P BBB P BBB P BB =++=20.80.20.80.80.896⨯⨯+⨯=因为21P P > 所以 甲同学应选择方案2通过测试的概率更大 ………………13分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）222(1)2()'()()(1)a x x b ax f x x R x -+--=∈+ ………………1分2222(1)ax bx ax --=+依题意有，222'(1)0(11)a b af --===+ 2(1)211b a f -==+ ………………3分解得0b =，4a =- ………………5分经检验， 4,0a b =-=符合题意， 所以，4,0a b =-=(Ⅱ) 当221b a =-时，222222(1)(1)('()(1)(1)ax a x a ax x a f x x x ---+-==++）当0a =时，22'()(1)xf x x =+解'()0f x =， 得0x =当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >所以减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞. ………………7分当0a ≠时，解'()0f x =， 得121,x x a a=-=， ………………9分当0a >时，1a a -< 当1(,)x a∈-∞-或(,)x a ∈+∞时，'()0f x >；当1(,)x a a∈-时，'()0f x < 所以增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1(,)a a-. ………………11分 当0a <时，1a a-> 当(,)x a ∈-∞或1(,)x a ∈-+∞时，'()0f x <；当1(,)x a a∈-时，'()0f x > 所以增区间为1(,)a a-，减区间为(,)a -∞,1(,)a-+∞. ………………13分 综上所述：当0a =时, ()f x 减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)-∞；当0a >时, ()f x 增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1(,)a a-； 当0a <时, 增区间为1(,)a a -，减区间为(,)a -∞，1(,)a-+∞. 19（本小题满分14分） （Ⅰ）当1n =时, 116a S ==……………… 1分当2n ≥时, 221111111()[(1)(1)]52222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+.…… 2分 而当1n =时, 56n +=∴5n a n =+． ………………4分 （Ⅱ）1(211)(29)n n n c a a =--1111()(21)(21)22121n n n n ==--+-+∴12n T c c =++…n c +1111[(1)()2335=-+-+…11()]2121n n +--+21n n =+ ………………7分∵11102321(23)(21)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++∴n T 单调递增，故min 11()3n T T ==． ………………8分 令132013k >，得671k <，所以max 670k =. ……………… 10分（Ⅲ）**,(21,)5,(21,)()=313,(2,)32,(2,)n n a n k k n n k k N f n a n k k n n k k N **⎧⎧=-∈+=-∈⎪⎪=⎨⎨-=∈+=∈⎪⎪⎩⎩N N （1）当m 为奇数时，15m +为偶数， ∴347525m m +=+，11m =．………………1 2分 （2）当m 为偶数时，15m +为奇数， ∴201510m m +=+，57m *=∉N （舍去）． 综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立． ……………………1 4分 20. （本小题满分13分）(Ⅰ) 当2,1a b ==时，2()221f x x x =+-，解2221x x x +-= …2分得11,2x x =-=所以函数()f x 的不动点为11,2x x =-=……3分 （Ⅱ）因为 对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点， 所以 对于任意实数b ，方程()f x x =恒有两个不相等的实数根，即方程2(1)2ax b x b x +++-=恒有两个不相等的实数根， ………4分 所以 24(2)0x b a b ∆=-->………5分即 对于任意实数b ，2480b ab a -+> 所以 2(4)480b a a ∆=--⨯<……………………7分解得 02a << …………………8分 （Ⅲ）设函数()f x 的两个不同的不动点为12,x x ，则1122(,),()A x x B x x ，第 11 页 共 11 页且12,x x 是220ax bx b ++-=的两个不等实根， 所以12b x x a +=- 直线AB 的斜率为1，线段AB 中点坐标为(,)22b b a a-- 因为 直线211y kx a =++是线段AB 的垂直平分线， 所以 1k =-，且(,)22b b a a --在直线211y kx a =++上 则 21221b b a a a -=++ (0,2)a ∈ ……………………10分所以211112a b a a a =-=-≥=-++ 当且仅当1(0,2)a =∈时等号成立 …………………12分 又 0b < 所以 实数b 的取值范围1[,0)2-. …………13分。
2012北京高三数学一模文科科试题及答案之房山篇
北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(文科)考生须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．设全集,R =U 集合{}21≤≤-=x x A ,{}10≤≤=x x B ，则=B C A U ( ) （A ）{}10><x x x 或 （B ）{}2101≤<<≤-x x x 或（C ）{}2101≤≤≤≤-x x x 或（D ）{}21>-<x x x 或2．命题:p ∀R ∈x ，012>+x ，命题:q R ∈∃θ,5.1cos sin 22=+θθ，则下列命题中真命题是 （ ）（A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝ （C ）q p ∨⌝ （D ）)(q p ⌝∧3．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 ( )4．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ）（A ）32 （B ）2（C ）4 （D ）5（A ）1y x=- （B ）||e x y = （C ）23y x =-+（D ）cos y x =5．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最小值为 （ ）（A ）6-（B ）29-（C ）3- （D ）96．阅读下边程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为 （ ） （A ）≤i 4 （B ）≤i 5 （C ）≤i 6 （D ）≤i 77．已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为 （ ） （A ）02=±y x（B ）02=±y x（C ）03=±y x（D ）03=±y x8．设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）．在以下数列 ⑴{}21n +;（2）29211n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭; （3）42n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭;（4）1{1}2n -中属于集合W 的数列编号为 （ ） （A ）（1）（2） （B ）(3) (4)（C ）（2）（3）（D ）(2) (4)第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上指定位置. 9. i 是虚数单位，则=+i12___.若(1,3)AB=，(2,5)AC=，则向量AD的10．在平行四边形ABCD中，坐标为__．11．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y+-=所截得的弦长为.12．已知函数()ϕω+=xxf sin)(（ω>0,2πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.13．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为___千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为__万元．14．设函数2()1f x x=-，101()|()|2f x f x=-，11()|()|2n n nf x f x-=-，（1,n n N≥∈）,则方程31)(1=xf有___个实数根，方程1()3nnf x⎛⎫= ⎪⎝⎭有___个实数根．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知ABC△中，内角CBA,,的对边分别为cba,,，且552cos=A，10103cos=B．（Ⅰ）求()BA+cos的值；（Ⅱ）设10=a，求ABC△的面积．16.（本小题共13分）某中学高三（1）班有男同学30名，女同学10名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的校本教材自学实验小组．（Ⅰ）求小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）从这个小组中先后选出2名同学进行测试，求选出的2名同学中恰有一名女同学的概率.17.（本小题共14分）在直三棱柱111ABC A B C-中，1CCBC=，BCAB⊥.点NM,分别是1CC，CB1的中点，G是棱AB上的动点.（Ⅰ）求证：⊥C B 1平面BNG ； （Ⅱ）若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明.18.（本小题共13分） 设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的长轴长为24，点P （2，1）在椭圆上，平行于OP （O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于B A ,两点，l 在y 轴上的截距为m . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）设直线PB PA ,的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.20.（本小题共13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，记n a 与1+n a 的等差中项为n k ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若n k na b n ⋅=2，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设集合},2{},,{**N N ∈==∈==n a x x B n k x x A n n ，等差数列}{n c 的任意一项B A c n ∈，其中1c 是B A 中的最小数，且11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案高三数学(文科)一、选择题（每题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDABCACD二、填空题（每题5分，共30分）9．i -1; 10. （1,2）; 11. 32; 12. 2，3π ； 13. 2,20; 14. 4，12+n 三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。
北京市房山区高三数学上学期期末统练试卷 文 新人教版
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）. 1. 已知全集U =R ，集合{}2|230A x x x =-->，{}|24B x x =<<，那么集合()U A B =ð ( ) A ．{}|14x x -≤≤ B ． {}|23x x <≤ C ． {}|23x x ≤< D ．{}|14x x -<<2.i 是虚数单位，若2(,)1ia bi ab i+=+∈+R ，则a b +的值是 （ ） A ． 0 B ．12C ．1D ． 23.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形，那么该几何体的侧视图．．．的面积为 ( ) A ．1 B ．2C ．D ． 4俯视图正视图侧视图4. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 （ ） A ．12x x =，12s s < B ．12x x =， 12s s > C ．12x x >， 12s s > D ．12x x =， 12s s =5.已知,αβ表示两个不同的平面， a ，b 表示两条不同的直线，则a ∥b 的一个充分条件是 （ ）A ．a ∥α, b ∥αB ．a ∥α，b ∥β，α∥βC ．α⊥β，a ⊥α，b ∥βD ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β6.下列命题中，真命题是 （ ） A ．221,sincos 222x x x R ∃∈+= B ．(0,),sin cos x x x π∀∈> C ．2,1x R x x ∃∈+=- D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则双曲线的方程为 （ ）A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ． 221412x y -= D ．221124x y -= 8. 已知集合{1,2,3}M = ，{1,2,3,4}N =，定义函数:f M N →． 若点 (1,(1))A f ，(2,(2))B f ， (3,(3))C f ，ABC ∆的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈ ，则满足条件的函数()f x 有 （ ） A ．6个 B ．10个 C ．12个 D ．16个第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）.9.函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x =+-的最小正周期是__ _____，最大值是___ _______．10.按如图所示的程序框图运算，若输入7=x ，则输出k 的值是_________．11．已知平面向量a ，b 满足3=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60， 若()m ⊥a -b a ，则实数m =_________．12．已知变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+20020x y x y x ，则目标函数2z x y =-的最大值为 ．13．已知圆C 的圆心是直线10x y --=与x 轴的交点，且圆C 与直线3420x y -+=相切，则圆C的方程为 ．14.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N*)个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数．下列函数： ①()sin f x x π=；②2()(1)3f x x π=-+；③21()()3x f x -= ； ④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15.（本小题共13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 成等差数列，s 2inA =，边a（I ）求边b 的长；（II ）求ABC ∆的面积． 16．（本小题共13分）如图所示，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，点M 是DF 的中点． （I ）求证：AM CDFE ⊥平面；（II ）求证：DF ∥平面BCE ．17．（本小题共13分）已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列． （I ）求等差数列{}n a 的通项公式；（II ）如果数列{}n b 是等比数列，且1b =2a ，2b =4a ，求{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题共13分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（I ）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ．求关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率；（II ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ．若以(,)m n 作为点P 的坐标，求点P 落在区域050x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内的概率．19.（本小题共14分）已知函数32()f x ax bx =+在1x =-时取得极值，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为12；函数()()g x f x mx =+，[)1,x ∈+∞，函数()g x 的导函数'()g x 的最小值为0． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求实数m 的值； (Ⅲ) 求证：()7g x ≥-． 20．（本小题共14分）已知椭圆22221x y a b +=（a >b >0）的离心率2e =之和为4．设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标为（a -，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若||5AB =l 的倾斜角； (Ⅲ)若点Q 0(0,)y 在线段AB 的垂直平分线上，且4=∙QB QA ，求0y 的值．）角sin ）sin）四边形⊥，ABAB AF=，AF AD A⊥平面ADFAB EF，//⊥平面ADFAMAD⊥.DF=，又DF EF F⊥平面CDFE ）由四边形ABCD和又DF（Ⅰ）()f x ax =由题意有⎧⎪⎨⎪当k =0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为()(2,,2,QA y QB y =--=-，由4QA QB ∙=，得分）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为214k-+由(2,QA =-，(,QB x =()102QA QB x y y ∙=--。
北京市房山区2012届高三数学上学期期末统测试题 理
房山区2011-2012学年度第一学期期末统测试题高三数学(理科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.）1. 已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N ===则P 的子集共有( )A.7个B. 6个C. 5个D. 4个2．已知向量==b a ),2,1()4,(-x ，若a ∥b ，则=⋅b a （ ） A.-10 B.-6 C.0 D.6 3．已知命题22:bm am p <，命题b a q <:，则p 是 q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=t y tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为（ ）A. 圆，圆B. 圆，直线C. 直线，直线D.直线，圆5．已知奇函数)(x f 在区间（－∞，0）内单调递增，且0)2(=-f ，则不等式()0f x ≤的解集为（ ） A []2,2- B (](]2,02, -∞-C (][)+∞-∞-,22,D [][)+∞-,20,26．在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有q p q p a a a =+，则8a 的值为（ ） A ．256 B ．128 C ．64 D ．327．已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为( )A.514 B.56C.2D.1 8.已知函数22()1,(,)f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当[11]x ∈-，时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ．10b -<<B ．2b >C ．21b b ><-或D ．1b <- 第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸上指定位置.） 9. 若复数ii--121的实部为a ，虚部为b ，则b a += . 10. 如图，有一圆盘,其中的阴影部分圆心角为45，若向圆内投镖， 则投中阴影部分的概率为 .11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 .12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 3cm .13.圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 .CDE是否结束1i =50S >21S S =+21i i =+输出i开始0S = ？14．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(为正实数b a b a ab b a ++=⊗.若31=⊗k ，则k 的值为 ，此时函数()f x=的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.） 15．（本小题共13分） 设函数2cos 22sin 3)(2++=x x x f ．（I ）求)(x f 的最小正周期和值域；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若3π=A ，△ABC 的面积为23，求)(A f 及a 的值．16.（本小题共13分）已知直线:l 0834=-+y x （R a ∈）过圆C: 022=-+ax y x 的圆心交圆C 于A 、B 两点,O 为坐标原点. （I ）求圆C 的方程;(II) 求圆C 在点P （1,3）处的切线方程; (III)求OAB ∆的面积.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC 2=，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求直线EF 与CD 所成的角； （Ⅲ）求二面角B EC F --的余弦值．18.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ,且3231=++n n S a (n •∈N ).(I) 求32,a a 的值,并求数列{}n a 的通项公式;(II)若对任意正整数n n S k ≤,恒成立,求实数k 的最大值.19.（本小题共14分）已知函数()2ln pf x px x x=--，R p ∈． （I ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ） 若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （III ）设函数22()()p g x f x x+=+，求函数()g x 的单调区间．20．（本小题共13分）已知函数23()3x f x x+=，数列}{n a 对N n n ∈≥,2总有111(),1n n a f a a -==. （I ）求{n a }的通项公式；(II) 求和：1122334451(1)n n n n S a a a a a a a a a a -+=-+-++-；（III ）若数列}{n b 满足：①}{n b 为1{}n a 的子数列（即}{n b 中的每一项都是1{}na 的项，且按在1{}n a 中的顺序排列）②}{n b 为无穷等比数列，它的各项和为21。
北京市9区2012届高三上学期期末考试试题--数学AnllPM
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i (1i)⋅+=（ ） （A ）1i + （B ）1i -（C ）1i -+（D ）1i --2．若向量=a ，(0,2)=-b ，则与2+a b 共线的向量可以是（ ） （A）1)- （B）(1,-（C）(1)-（D）(-3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） （A ）1y x=-（B ）||e x y = （C ）23y x =-+ （D ）cos y x =4．“直线l 的方程为0x y -=”是“直线l 平分圆221x y +=的周长”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能．．．是（ ） （A ） （B ）（C ）（D ）6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-7．已知0a b >>，给出下列四个不等式： ① 22a b >； ② 122a b ->； ③ a b a b ->-； ④ 3322a b a b +>．其中一定成立的不等式为（ ） （A ）①、②、③ （B ）①、②、④ （C ）①、③、④ （D ）②、③、④8．有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅I ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足X M ⊆，且A X ⊄，B X ⊄，则集合X 的个数是（ ）（A ）672 （B ）640（C ）384（D ）352第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数()f x =______.10．双曲线221169x y -=的一个焦点到其渐近线的距离是______．11．若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =______．12．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若b =4B π∠=， tan 2C =，则c =______．13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=L ______． 14．设0λ>，不等式组 2,0,20x x y x y λλ≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域是W ．给出下列三个结论：① 当1λ=时，W 的面积为3； ② 0λ∃>，使W 是直角三角形区域； ③ 设点(,)P x y ,对于P W ∀∈有4yx λ+≤．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求2π()3f 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 1 23 4 5频率0.05m0.150.35n（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率. 17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅲ）求三棱锥11ADB C -的体积．18.（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，其中a ∈R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“衍生数列”. （Ⅰ）写出数列4:2,1,4,5A 的“衍生数列”4B ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：1n b a =；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的首项取出，构成数列111:,,,a b c ΩL . 证明：Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. B ；4. A ；5. D ；6. C ；7. A ；8. A .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. {|1}x x ≥； 10.3； 11.2；12. ； 13.2，1(14)3n--； 14. ①、③.注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22π2π2π2π()sin cos 3333f =+==. ………………4分（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-） ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.050.150.351m n ++++=，即 0.45m n +=. ………………2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得 1.0202==n . ………………4分 所以0.450.10.35m =-=. ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ；等级为5的零件有2个，记作12,y y .从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y共计10种. ………………9分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”.则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个. ………………11分 故所求概率为 4()0.410P A ==.………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为111C B A ABC -是正三棱柱，所以 1CC ⊥平面ABC . 又 AD ⊂平面ABC ，所以 AD CC ⊥1. ………………3分 因为 △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，所以 AD BC ⊥， ………………4分 所以 AD ⊥平面11B BCC . ………………5分 （Ⅱ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是正三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， ………………8分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以 1A B ∥平面1ADC . ………………10分 （Ⅲ）解：因为 1111DC B A ADB C V V --=， ………………12分所以 1111Δ12333C ADB B DC V S AD -=⋅=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：21(),(0,)ax f x x x+'=∈+∞. ………………3分 当0≥a 时，()0f x '>，从而函数)(x f 在),0(+∞上单调递增. ………………4分当0<a 时，令()0f x '=，解得x =x =………………5分 此时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是；单调减区间是),1(∞+-a.…………7分 （Ⅱ）① 当0≥a 时，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2af =. 令12a=-，得2a =-，这与0≥a 矛盾，舍去2a =-. ………………9分 ② 当10a -≤<时，11≥-a ，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2a f =. 令12a=-，得2a =-，这与10a -≤<矛盾，舍去2a =-. ………………10分③ 当1-<a 时，01<<，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为f .令1f =-，解得e a =-，适合1-<a . ………………12分 综上，当)(x f 在(0,1]上的最大值是1-时，e a =-. ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分 （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y .则 2122834k x x k +=+. ………………8分 所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222kk x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kkk y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[,]1212-. ………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:5,2,7,2B -. ………………3分 （Ⅱ）证明： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L 这2n个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =. ………………8分（Ⅲ）证明：对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -L 这12n -个式子都乘以1-， 相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++L L 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. ………………12分 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e L 也成等差数列. 从而Ω是等差数列. ………………13分。
北京市房山区2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题(2012房山一模)
北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(文科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．设全集,R =U 集合{}21≤≤-=x x A ,{}10≤≤=x x B ，则=B C A U ( ) （A ）{}10><x x x 或 （B ）{}2101≤<<≤-x x x 或（C ）{}2101≤≤≤≤-x x x 或（D ）{}21>-<x x x 或2．命题:p ∀R ∈x ，012>+x ，命题:q R ∈∃θ,5.1cos sin 22=+θθ，则下列命题中真命题是 （ ）（A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝ （C ）q p ∨⌝ （D ）)(q p ⌝∧3．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 ( )4．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ） （A ）1y x=- （B ）||e x y =（C ）23y x =-+（D ）cos y x =（A ）32 （B ）2（C ）4 （D ）55．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最小值为 （ ）（A ）6- （B ）29-（C ）3- （D ）96．阅读下边程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为 （ ） （A ）≤i 4 （B ）≤i 5 （C ）≤i 6 （D ）≤i 77．已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为 （ ） （A ）02=±y x（B ）02=±y x（C ）03=±y x（D ）03=±y x8．设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）．在以下数列 ⑴{}21n +;（2）29211n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭; （3）42n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭;（4）1{1}2n -中属于集合W 的数列编号为 （ ） （A ）（1）（2） （B ）(3) (4)（C ）（2）（3）（D ）(2) (4)第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上指定位置. 9. i 是虚数单位，则=+i12___. 10．在平行四边形ABCD 中，若(1,3)AB =，(2,5)AC =，则向量的坐标为__． 11．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 . 12．已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.13．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为___千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为__万元．14．设函数20()1f x x =-，101()|()|2f x f x =-，11()|()|2n n n f x f x -=-，（1,n n N ≥∈）,则方程31)(1=x f 有___个实数根，方程1()3nn f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭有___个实数根．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且552cos =A ，10103cos =B ． （Ⅰ）求()B A +cos 的值；（Ⅱ）设10=a ，求ABC △的面积．16.（本小题共13分）某中学高三（1）班有男同学30名，女同学10名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的校本教材自学实验小组．（Ⅰ）求小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）从这个小组中先后选出2名同学进行测试，求选出的2名同学中恰有一名女同学的概率.17.（本小题共14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ，C B 1的中点，G 是棱AB 上的动点.（Ⅰ）求证：⊥C B 1平面BNG ； （Ⅱ）若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明.18.（本小题共13分） 设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的长轴长为24，点P （2，1）在椭圆上，平行于OP （O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于B A ,两点，l 在y 轴上的截距为m . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）设直线PB PA ,的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.20.（本小题共13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，记n a 与1+n a 的等差中项为n k ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若n k na b n ⋅=2，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设集合},2{},,{**N N ∈==∈==n a x x B n k x x A n n ，等差数列}{n c 的任意一项B A c n ∈，其中1c 是B A 中的最小数，且11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案高三数学(文科)一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）9．i -1; 10. （1,2）; 11. 32; 12. 2，3π ； 13. 2,20; 14. 4，12+n 三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。
北京市9区2012届高三上学期期末考试试题--数学AnllPn
北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}0≥=x x A ，{}2,1,0=B ，则（A ）B A ⊆ （B ）A B ⊆ （C ）B B A =Y （D ）∅=B A I （2）在复平面内，复数ii21--对应的点位于 (A )第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限 （3）下列命题中正确的是（A ）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B ）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 （A ）21 （B ）1 （C ）23（D ） 2（5）在平面直角坐标系内，若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为 （A ）()2,-∞- （B ） ()1,-∞- （C ）()+∞,1 （D ）()+∞,2（6）如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若0=⋅PN PM ，则ω的值为 （A ）8π （B ）4π （C ）4（D ）8（7）对于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题：①)2(+x f 是偶函数；②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数； ③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．其中正确命题的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③（8）已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]5,1，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）2第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市房山区2012年高三第一次模拟试题
北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）12或（D ）25 2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒（C ）45︒（D ）30︒4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） （A ）(2,)3π-（B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π-（D ）4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7是（D ）8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点，若MN ≥k 的取值范围是( )（A ）12(,)5-∞- （B ）12(,]5-∞-（C ）12(,)5-∞ （D ）12(,]5-∞8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则⋅的最大 值是 （ ） （A ）2 （B）1 （C ）π （D ）4第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2012届高三数学上学期期末考试试题理
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i( )（A ）2i （B ）21i 55 （C ）105i （D ）105i 33（2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD -（B ）1142AB AD +（C ）1132AB DA +（D ）1223AB AD -（3）若数列{}n a 满足：119a ，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 （4）已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直 （5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕR 的部分图象如图所示，那么(0)f （ ）（A ）12 （B ）32 （C ）1 （D ）3FED C BA（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π上恰有一个零点 （C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数 （8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,xy xyxy 则2zxy 的最大值为 .（11）抛物线2xay 过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C ）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''ABC A B C 的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 及sinC 的值； （Ⅱ）若2b ，求ABC ∆的面积.(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. (17)（本小题满分14分）甲城市 乙城市9 08 7 73 1 24 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ，2AB PB PC BC CD ，平面PBC平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）PABC D已知集合{1,2,3,,}(*)M n n N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m N ，且对任意的bM ，存在,(1)i ja a A ijm ，使得12i j ba a λλ（其中12,{1,0,1}λλ），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A，{1,2,3,4,5}M ； ②{2,3}A，{1,2,3,4,5,6}M.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．01[一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙 （13）3(1)3yx 或3(1)3y x （14）8；3π 注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以2cos cos 212sin A B B . ………………………………………2分因为sin 3B =， 所以11cos 1233A. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2Bπ. 所以26cos 1sin 3BB. ………………………………………5分 因为22sin sin 22sin cos 3A B B B.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()CA B A B π53sin cos cos sin 9A B A B. ………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A，2b ，………………………………………10分223a .所以463a. ………………………………………11分 所以1202sin 29ABCS ab C ∆. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC平面ABCD ，平面PBC平面ABCDBC ，AB 平面ABCD ，所以 AB 平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC ， 所以 PO BC ⊥. 因为 平面PBC平面ABCD ，平面PBC平面ABCDBC ，PO 平面PBC ，所以 PO 平面ABCD . ………………………………………4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直 线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC .由直角梯形ABCD 中2ABPB PC BC CD可得P ，(1,1,0)D ，(1,2,0)A .所以 (1,1,3)DP ，(2,1,0)DA .设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为0,0.DP DAm m所以(,,)(1,1,3)0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z即30,20.x y z x y令1x ，则2, 3y z .所以 (1,2,3)=m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=.所以cos ,2⋅==-m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB. 理由如 下： ………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12ANAB . 因为 2AB CD ， 所以 AN CD . 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD . 因为 , MNCN N PA AD A ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM 平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞NMPABCD上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分 所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222ab c由题意可知：1b ，32ca . ………………………………………2分所以24a.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQBQ .所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++.所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA=取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB .记点6(,0)5为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520Mx x k k x k k ，所以 点M 的纵坐标266()5520M Mky k x k. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NMk k k k222601320(520)k k .所以 QM 与NM 不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A 不是{1,2,3,4,5}M 的一个二元基底.理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ；②{2,3}A 是{1,2,3,4,5,6}M的一个二元基底.理由是 11213,21203,30213， 41212,51213,61313.………………………………………3分（Ⅱ）不妨设12m a a a ，则形如10i j a a (1)i j m 的正整数共有m 个；形如11i i a a (1)i m 的正整数共有m 个； 形如11ij a a (1)ij m 的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a (1)ijm 的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底. 故22mmmm C C n ，即(1)m m n . ………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m ，所以4m .当4m 时，(1)191m m ，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a 为{1,2,3,,19}M 的一个4元基底，不妨设1234a a a a ，则410a . 当410a 时，有39a ，这时28a 或7.如果28a ，则由1109,198,1899,18108，与结论*矛盾.如果27a ，则16a 或5.易知{6,7,9,10}A 和{5,7,9,10}A都不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当411a 时，有38a ，这时27a ，16a ，易知{6,7,8,11}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当412a 时，有37a ，这时26a ，15a ，易知{5,6,7,12}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当413a 时，有36a ，25a ，14a ，易知{4,5,6,13}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当414a 时，有35a ，24a ，13a ，易知{3,4,5,14}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当415a 时，有34a ，23a ，12a ，易知{2,3,4,15}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当416a 时，有33a ，22a ，11a ，易知{1,2,3,16}A 不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当417a 时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A ；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为 5. ………………………………………14分。
【数学】北京市房山区高三上学期期末考试试卷(理)(解析版)
北京市房山区高三上学期期末考试数学试卷（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，，若,则实数的取值可以为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】由A∩B＝A，得A⊆B，得a＜﹣1，结合选项得a＝﹣2．∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴a＜﹣1，∴a＝﹣2．故选：A．2.已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知条件可得，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 15B. 37C. 57D. 120【答案】B【解析】由题意可得，输入k=1,k=3,S=2×1+3=5，k=5, S=2×5+5=15;k=7，S=2×15+7=37；此时k=7>5,结束循环，输出37故选：37.4.若满足, 则的最小值等于（）A. B. C. D. 13【答案】A【解析】由x，y满足作出可行域如图即为：线段AB，联立，解得A（1，），化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1．故选：A．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 10B. 14C. 20D. 60【答案】C【解析】由题得到几何体的直观图，再计算即可.【详解】由根据几何体的三视图，及其数据得出：底面为矩形ABCD，一个侧面为直角三角形SCD,SC CD,且面SCD面ABCD的四棱锥，其体积为，故选：C.6.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，得成立；若，得【详解】若，得成立；反之，若，得故选：C.7.改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建.北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7 500元增长到2017年的40 000元.1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示：1998年北京市城镇居民消费结构2017年北京市城镇居民消费结构则下列叙述中不正确．．．的是（）A. 2017年北京市城镇居民食品支出占比．．同1998年相比大幅度降低B. 2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少C. 2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比．．同1998年相比提高约D. 2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5 000元，大约是1998年的14倍【答案】B【解析】2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%×40000＝4400元，1998年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14%×7500＝1050元，故2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比明显增加．由1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比图，知：在A中，2017年北京市城镇居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低，故A正确；在B中，2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%×40000＝4400元，1998年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14%×7500＝1050元，故2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比明显增加，故B错误；在C中，2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比同1998年相比提高约60%，故C正确；在D中，2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍，故D正确．故选：B．8.已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】设M（x，y），P（a，b），由于M是AP的中点，点B（6，0），故可由中点坐标公式得到a＝2x﹣6，b＝2y，又P（a，b）为圆x2+y2＝1上一点动点，将a＝2x﹣6，b＝2y代入x2+y2＝1得到M（x，y）点的坐标所满足的方程，整理得点M的轨迹方程，使△（为坐标原点）为直角三角形,讨论分别为的情况即可.设M（x，y），P（a，b）由B（6，0），M是AP的中点故有a＝2x﹣6，b＝2y又P为圆上一动点，∴（2x﹣6）2+（2y-4）2＝4，整理得（x﹣3）2+＝1．故AP的中点M的轨迹方程是（x﹣3）2+＝1．△（为坐标原点）为直角三角形，若=，以OA为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M有两个；若=，x=4与圆（x﹣3）2+＝1相切,这样的M点有一个;若=，这样的M点不存在，故使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）【答案】40【解析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣r x5﹣r当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项，∴它的系数是C5322＝40故答案为：40．10.已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___.【答案】(1). (2). 12【解析】根据等差数列的通项公式建立方程组求出首项和公差即可得到结论,求的最大值转化为关于n的二次函数求解即可.由a2＝4，a3+a5＝0得得，则S n＝6n（﹣2）＝﹣n2+7n＝﹣（n）2，则当n＝3或4时，S n取得最大值，最大值为S3＝﹣9+21＝12，故答案为：﹣2，1211.已知，点满足，若，则___，___．【答案】(1). (2).【解析】根据，由向量减法的几何意义即可得出，解出，这样根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．∵；∴；∴又，且不共线；∴由平面向量基本定理得：．故答案为：．12.能够说明“若在上是单调函数，则的值域为”为假命题的一个函数是___．【答案】【解析】根据函数单调性和值域的性质进行寻找即可.函数f（x）＝2x满足是单调递增函数，但f（x）的值域不是R，故答案为：f（x）＝2x13.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与圆交于点．当时，___；当为锐角时，的取值范围是___.【答案】(1). (2).【解析】由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α）＝cosα，得到，f（α）＝y1+y2＝cosα+sinαsin（α），由【详解】由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α）＝cosα，∴f（α）＝y1+y2＝cosα+sinαsin（α），∵角α为锐角，∴α，∴sin（α）≤1，∴1sin（α），则f（α）的取值范围是（1，]；故答案为：；14.设函数.①若，则的极小值为___；②若存在使得方程无实根，则的取值范围是___．【答案】(1). (2).【解析】①判断函数的单调性，结合函数极值的定义进行判断即可②根据分段函数的表达式求出函数f（x）的取值范围，若方程无实根，等价为f（x）与y＝m没有交点，利用函数与方程的关系进行转化求解即可．①当a＝0时，当x≤0时，f（x）＝x为增函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，对称轴为x＝1，当0＜x≤1时，f（x）为减函数，当x≥1时，f（x）为增函数，即当x＝1时，函数取得极小值，此时f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，②∵当x≤a时，f（x）≤a，当x→+∞时，f（x）→+∞，若存在m使得方程f（x）﹣m＝0无实根，即存在m使得方程f（x）＝m无实根，则说明函数f（x）的值域不是R，即当x＞a时，f（x）＞a，即可．若a＜1，当x＞a时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，此时只要a＜﹣5即可，若a≥1，此时f（x）在（a，+∞）为增函数，则f（x）＞f（a）＝a2﹣2a﹣4，由a2﹣2a﹣4＞a，即a2﹣3a﹣4＞0，得（a+1）（a﹣4）＞0，则a＞4或a＜﹣1（舍），综上a＞4或a＜﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞），故答案为：﹣5，（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞）.三、解答题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.在中，.（1）求的大小；（2）若，求的面积.解：（1）由正弦定理得,整理得，所以,所以，因为为三角形内角,所以.（2）余弦定理,得,整理得,解得，（舍）,所以.16.为节能环保，推进新能源汽车推广和应用，对购买纯电动汽车的用户进行财政补贴，财政补贴由地方财政补贴和国家财政补贴两部分组成. 某地补贴政策如下（表示纯电续航里程）：有三个纯电动汽车店分别销售不同品牌的纯电动汽车，在一个月内它们的销售情况如下：（每位客户只能购买一辆纯电动汽车）（1）从上述购买纯电动汽车的客户中随机选一人，求此人购买的是店纯电动汽车且享受补贴不低于3.5万元的概率；（2）从上述两个纯电动汽车店的客户中各随机选一人，求恰有一人享受5万元财政补贴的概率；（3）从上述三个纯电动汽车店的客户中各随机选一人，这3个人享受的财政补贴分别记为. 求随机变量的分布列. 试比较数学期望的大小；比较方差的大小. （只需写出结论）解：（1）由题意可知，从三个纯电动汽车店购买纯电动汽车的客户共70人，购买型号Ⅰ，型号Ⅱ，型号Ⅲ纯电动汽车享受补贴分别为2.5万元，3.5万元，5万元.从上述购买纯电动汽车的客户中任选一人共70个等可能的结果，此人购买的是店纯电动汽车且享受补贴不低于3.5万元（购买型号Ⅱ或型号Ⅲ）的结果共16个,所以所求概率为.（2）从上述纯电动汽车店的客户中各随机选一人共个等可能的结果.其中恰有一人享受5万元财政补贴（即1人购买型号Ⅲ，1人没购买型号Ⅲ）的结果为，所求概率为.（3）随机变量的分布列为2.53.5 5，.17.如图,在三棱柱中,⊥底面，底面为等边三角形，,, ,分别为, 的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；（3）设平面与平面的交线为求证：与平面不平行.证明：（1）证法1：取中点，连接，则且，又且所以四边形为平行四边形，所以,又平面平面,所以平面.证法2：取中点，连接，则,因为为平行四边形，所以,又，,所以平面平面,所以平面,证法3：延长交于点，连接,在中，为的中点，所以,又平面平面,所以平面.（2）因为底面，,所以底面,又三角形为等边三角形，为中点，所以, 以为原点，建立如图所示所示的坐标系,则，，，,，,设平面的法向量为，则, 令，则，,易知平面的一个法向量为,则,由图可知，所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）方法1：假设与平面平行,因为平面，平面平面，所以,同理,所以，与相交矛盾,所以与平面不平行.方法2：延长交于点，连接，则就是直线,，所以与平面不平行.18.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设实数使得对恒成立，求的取值范围.解：（1）的定义域是,,由解得,与在区间上的情况如下:增极大减所以函数的单调增区间是，单调减区间是.（2）因为，所以令，则,①当时，在上恒成立.②当时，令，则，，令，则，，所以函数的单调减区间是，单调增区间是.所以当时，函数有最小值,由即解得.③当时，，在上单调递增，又因为，不合题意,综上，若对恒成立，实数的取值范围为.19.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与轴交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围. 解：（1）由椭圆过点可知由离心率可知，解得所以所以椭圆的方程为.（2）由题意，直线的斜率存在，设点，则线段的中点的坐标为，且直线的斜率，由点关于直线的对称点为，得直线，故直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为：，令，得，则，由，得，化简，得所以.当且仅当，即时等号成立.所以的取值范围是.20.若无穷数列满足：，且对任意正整数，都为中等于的项的个数，则称数列为“数列”.（1）请列举出三个数列，每个数列只写出其前5项；（2）若数列为一个数列，证明：，都有；（3）若数列为一个数列，求集合中元素个数的最大值.解：（1）；；.（2）由题意可知在中，值为的相邻项至多相邻两项，且至多出现一次.①当为奇数时，这组数中，至多有1组数均为,所以此时.②当为偶数时，若，已知，所以显然成立，若，当，则依次为；当，则依次为所以中必有两项为1，且相邻，所以这组数中，若，则这组数中，每组至多有一项等于，又中有两项等于，所以此时，若，则这组数中，至多有一组全等于，又中至多有一项等于，此时，综上，，都有.（3）由（2）可知，，，又由题意可知，所以，且，，所以，所以集合中元素个数不大于10101 ，易知当时，数列的前2018项为.此时中元素个数等于1010，所以若数列为一个数列，则集合中元素个数最大值为1010.。
北京市房山区2012年高三第二次模拟试题数学(理)
房山区2012年高三第二次模拟试题高三数学(理科)考 生 须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题直接填涂在机读卡上。
3. 第Ⅱ卷非选择题直接写在答题纸上的指定位置，在试卷上作答无效。
4.考试结束后，将机读卡与答题纸一并交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题纸上。
1. n S 是数列{}n a 的前项和，且2,111++=+n n a a a ， 则5S =（ ） (A)40 (B)35 (C)30 (D) 252．参数方程2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ）(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆3．正方形ABCD 的边长为1，||AB BC AC ++=（ ）（A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）22 4．在ABC ∆中，6A π=，1,2a b ==，则B = ( )(A)4π (B) 43π (C) 4π或43π (D)6π或65π5．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）66. 如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有 （ ） （A ）a 1>a 2 （B ）a 1<a 2（C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关7．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为( )(A) 250x y --= (B) 210x y --= (C)20x y --= (D) 40x y +-=0795455184464793m甲乙8．已知定点(1,2)M ，点P 和Q 分别是在直线l ：1y x =-和y 轴上动点，则当△MPQ 的周长最小值时，△MPQ 的面积是( )(A)45 (B) 56 (C) 1 (D) 235第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
北京市房山区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案解析
房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32- B.32C.23- D.235.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b > B.11a b> C.b a a b> D.2211ab a b>6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9B.1-或9C.1-或9- D.1或9-7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A .2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.14.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N，都有n mna q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j ijQ j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】计算出集合B 后由交集定义运算可得.【详解】{}{}101B x x x x =->=<，故{}2,0A B ⋂=-.故选：C.2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数z ，再利用复数的乘法可求得()1i z --的值.【详解】在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，由复数的几何意义可得1i z =-+，因此，()()()1i 1i 1i 2z --=--⋅-+=.故选：A.3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.【答案】B 【解析】【分析】先表示出,,a b a b ⋅ ，然后根据πcos 3a b a b ⋅= 求解出m 的值.【详解】因为2a b m ⋅= ，2,a b ==所以πcos 3a b a b ⋅= ，所以1222m =，解得33m =或33m =-（舍去），故选：B.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32-B.32C.23- D.23【答案】B 【解析】【分析】写出二项式展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()()431241442C C 20,1,2,3,4kk k kk k k T x x k x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭，令1240k -=，可得3k =，因此，展开式中的常数项为3334C 24832T =⋅=⨯=.故选：B.5.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b >B.11a b> C.b a a b > D.2211ab a b>【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 举反例即可得，对D 作差计算即可得.【详解】对A ：若0a b >>，则22a b <，故错误；对B ：若0a b >>，则11a b<，故错误；对C ：若0a b >>，则22a b >，0ab >，左右同除ab ，有a bb a>，故错误；对D ：由a b >且a ，b 为非零实数，则2222110a b ab a b a b --=>，即2211ab a b>，故正确.故选：D.6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9 B.1-或9 C.1-或9- D.1或9-【答案】D 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b 的值.【详解】圆C 的圆心为()1,2C -因为直线:20l x y b -+=与圆C=，即45b +=，解得1b =或9-.故选：D.7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，可得函数()f x 是R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数()f x 满足()()0f x f x --=，得函数()f x 是R 上的偶函数，而()f x 在[0,)+∞上单调递减，因此22()()(||)(||)||||f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔<⇔<，所以“22a b <”是“()()f a f b >”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%【解析】【分析】根据题意可得9001e5kP P -⋅=，解得1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t =代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kP P -⋅=，即91e ,5k -=所以1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为()4341230000011ee0.58512%55kkP P P P P --⎛⎫⋅=⨯=⨯≈⨯≈ ⎪⎝⎭．故选：A.9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A.2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定2PQ PF +最小时，点Q 的位置，进而求出,a b 的关系即得.【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为0bx ay ±=，由对称性不妨令点P 在第二象限，由双曲线定义得211||||2||2PQ PF PQ PF a F Q a +=++≥+，当且仅当P 为线段1FQ 与双曲线的交点时因此2PQ PF +的最小值为1||F Q 的最小值与2a 的和，显然当1FQ 与渐近线0bx ay +=垂直时，1||F Q 取得最小值，而1PF 平行于渐近线0bx ay -=，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即1ba=，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为0x y ±=，显然选项ABD 不满足，C 满足，所以双曲线C 的方程可能是22122x y -=.故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为2a 为强率，由310π13<<可得，373101331.31244159a +==>+，即3a 为强率；由313π14<<可得，473131631.41254159a +==>+，即4a 为强率；由316π15<<可得，573161931.51264159a +==>+，即5a 为强率；由319π16<<可得，673192231.61274159a +==>+，即6a 为强率；由322π17<<可得，763222531.1252183.41597a +===<+，即7a 为弱率，所以7m =，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x ->、0x ≠，故12x <且0x ≠，故该函数定义域为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.【答案】29n -【解析】【分析】由等差数列及其前n 项和的性质计算即可得.【详解】设()()1171n a a n d n d =+-=-+-，则313321315S a d d =+=-+=-，即2d =，故()72129n a n n =-+-=-.故答案为：29n -.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.【答案】π4【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在ABC 中，由2cos 2b c a C -=及正弦定理，得2sin sin sin cos 2B C A C -=，则sin()sin sin cos 2A C C A C +-=，整理得cos sin sin 2A C C =，而sin 0C >，因此2cos 2A =，又0πA <<，所以π4A =.故答案为：π414.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.【答案】28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点(,)M x y ，依题意，||||2MF y =+||2y =+，整理得24(||)x y y =-，所以M 的轨迹方程是28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>.故答案为：28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、(),0,0A a 、()1,0,A a a 、(),,0B a a 、()10,0,D a 、()1,,B a a a 、()0,,0C a 、()10,,C a a ，则()1,0,B C a a =-- 、()1,,BD a a a =-- 、()11,,0A C a a =- 、()1,0,A D a a =-- 、()10,,AB a a = 、()11,0,0A D a =- 、()10,0,AA a = ，设11B P B C λ= ，[]0,1λ∈，则()11,,AP AB B P a a a a λλ=+=-- ，222210AP BD a a a a λλ⋅=-+-= ，故1AP BD ⊥，故①正确；设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z =，则有11100A C n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00ax ay ax az -+=⎧⎨--=⎩，取1x =，则()1,1,1n =- ，有0AP n a a a λλ⋅=-+-+= ，故AP n ⊥ ，又AP ⊄平面11A C D ，则//AP 平面11A C D ，故②正确；当0λ=时，有()0,,AP a a = ，此时110000A A P D =+⋅+= ，即11AP A D ⊥，即此时直线AP 与直线11A D 所成角为π2，故③错误；由()1,1,1n =- ，()11,,PA AA AP a a a λλ=-=- ，则133PA n d n ⋅== ，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①，由题意及CD PA ⊥去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及PB =结合勾股定理的逆定理去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点B 与AP 中点E 、连接ME ，又M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，故//ME AD 、12ME AD =，又底面ABCD 是正方形，故//BN AD 、12=BN AD ，故//ME BN 且ME BN =，故四边形MEBN 为平行四边形，故//MN EB ，又EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，故//MN 平面PAB ；【小问2详解】选条件①：CD PA ⊥，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.条件②：PB =，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由PB =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，又//AB CD ，故CD PA ⊥，又CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）π4ϕ=（2）π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值；（2）利用三角恒等变换化简得出()1sin 22g x x =-，由0x m <<可得022x m <<，结合题意可得出关于m 的不等式，解之即可.【小问1详解】解：将函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，可得到函数ππ2284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可知，函数π24y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()ππ4k k ϕ-=∈Z ，可得()ππ4k k ϕ=+∈Z ，又因为π2ϕ<，则π4ϕ=.【小问2详解】解：由（1）可知，()π2sin 2cos 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()()21112cos sin 2cos 21cos 2sin 2222g x f x x x x x x =-+=+-++=-，因为0x m <<，则022x m <<，由()0g x =，可得1sin 22x =，因为()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，则π5π266m <≤，解得π5π1212m <≤.因此，实数m 的取值范围是π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.【答案】（1）27（2）X 的分布列见解析，()47E x =（3）23s >2212s s =【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为27；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此0,1,2X =，()2527C 100C 21P X ===，()2227C 12C 21P X ===，()1011011212121P X ==--=，所以X 的分布列如下图所示：X012P 10211021121()1010140122121217E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，所以，23s >2212s s =.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.【答案】19.22143x y +=20.3260x y ±-=【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到P 、Q 两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】由13A F a c =+=，12c e a ==，解得2a =，1c =，故3b ==，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】由椭圆C 的标准方程为22143x y +=，则()12,0A -、()22,0A 、()1,0F ，由题意可得直线2A P 斜率存在且不为0，设2:2A P l x my =+，令0x =，则2y m =-，故20,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立222143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234120m y my ++=，即()234120m y m y ⎡⎤++=⎣⎦，故0y =或21234m y m -=+，由()22,0A ，故21234P m y m -=+，则112121144222A PQ A A Q A A P Q P Q P S S S y y y y =-=⨯-⨯=- ，又()212122P A FP P y S y =⨯-=，即2422P Q P P y y y y -=⨯=，即Q P P y y y -=，若Q P y y >，则2Q P y y =，即2122234m m m -=⨯+，即223412m m +=，即249m =，则23m =±，若Q P y y <，则P Q P y y y -=，即0Q y =，不符，故舍去，即23m =±，故22:23A P l x y =±+，即直线2A P 的方程为3260x y ±-=.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）ey =（2）15,2⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭、51,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）当0a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当1a =时，求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的单调递增区间；（3）令()21g x ax x =+-，分析可知，函数()g x 在()0,1上有且只有一个异号零点，对实数a 的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当0a =时，()e xf x x =，则()()2e 1x x f x x-'=，所以，()1e f =，()10f '=，故当0a =时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=，即e y =.【小问2详解】解：当1a =时，()()1e 11e x x x f x x x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()2221e 2e 1e x x x x x x x x f x x x +-+-+'==，由()0f x ¢>，即210x x +->，解得152x +<-或512x ->，因此，当1a =时，函数()f x的单调递增区间为1,2⎛+-∞- ⎪⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭.【小问3详解】解：因为()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则()()2221e 11e x x ax x f x a xx x +-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令()21g x ax x =+-，因为函数()f x 在()0,1上有且只有一个极值点，则函数()g x 在()0,1上有一个异号零点，当0a =时，对任意的()0,1x ∈，()10g x x =-<，不合乎题意；当0a >时，函数()21g x ax x =+-在()0,1上单调递增，因为()010g =-<，只需()10g a =>，合乎题意；当a<0时，函数()g x 的图象开口向下，对称轴为直线102x a=->，因为()010g =-<，只需()10g a =>，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N ，都有n m na q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【答案】（1）53（2）{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，可得当2n ≥时，43n n a a +=，结合题意计算即可得；（2）由题意计算出n a 通项公式后，检验2n na a +是否恒等于3即可得；（3）借助{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，则当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，通过运算得到12j i q q =，从而可验证对任意的1n i ≥+时，是否有2j i n j ij n a q a -+-=即可得.【小问1详解】由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，则当2n ≥时，43n na a +=，故623a a =，953a a =，117339a a a ==，又31a =，52a =，故691125323393329120a a a a a a a ++=++=+⨯+⨯=，即253a =；【小问2详解】{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由如下：设()11n b b n d =+-，112n n c c -=⋅，由234b c ==，112b c c +=，即有11111442b d c b c c +==⎧⎨+=⎩，解得1113b c d ==⎧⎨=⎩，故32n b n =-，12n n c -=，则1232n n n n a b c n -=+=+-，有()21122322234n n n a n n +-++=++-=++，则121234232n n n n a n a n ++-++=+-，不恒等于3，故{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”；【小问3详解】由{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，即当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j na q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，由i j <，故121212112212121j ii i j j i i j i j j i j i i j ia a a a a a a a a q a a a q a a a a a a ++++++++++⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ，故12j i q q =，即12i j q q =，由1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则21n j n i a q a q ++=，当1n i ≥+，即1n i -≥时，有22212j i n i j n j i j i n i in j a a q q q a a q q --++--+====，即对任意的1n i ≥+时，有2j i n j ij n a q a -+-=，即{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到1n i n a q a +=，2n j na q a +=，并由此得到12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i i a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，从而得出12j i q q =.。
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北京市房山区2012届高三上学期期末统测数学（文）试题
第I 卷 选择题(共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合
题目要求的一项.）
1．已知集合{}4,3,2,1,0=M ,{}5,3,1,则=N M ( ) A. {}3,2,1 B. {}5,3,1 C.{}3,1 D. {}5,1 2．若R x ∈，则”1“>x ，则“12
>x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3.等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) A. 7 B. 14 C. 28 D. 3.5
4.已知∈b a ,R ，且b a >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．
1>b
a
B. 22b a >
C. b a lg lg >
D. b a 33> 5．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪--≤⎩
的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）
A ．23a B.331a C .3
a D. 33
4a
7.设向量)2
1
,21(),1,0(==b a ，则下列结论中不正确的是
（ ）
俯视图
左视图
主视图
A
2
2
=
B. 4,π>=<
C. b a +与b 平行
D. b a -与b 垂直
8.△ABC 中,A=3π
,BC=3,则△ABC 的周长为( ) A.3)3sin(34++πB B. 3)6sin(34++π
B
C. 3)3sin(6++πB
D. 3)6
sin(6++π
B
第II 卷 非选择题(共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸上指定位置. 9.若复数
i
i
--121的实部为a ，虚部为b ，则b a += . 10. 某高校中文、数学、英语、体育四个专业分别有400、300、150、150名学生，为了了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取n 名学生进行调查，其中中文学生抽取了16名，则体育专业抽取的学生人数为 人.
11.已知圆1)1()2(:2
2
=-+-y x C ，则经过圆C 的圆心，且焦点在x 轴上的抛物线标准方程是 .
12.
13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0
,log 0,
21)(2
x x x x f x ，若()2f x =，则x = .
14.设函数b ax x f +=)(，其中b a ,为常数，)()(1x f x f =，))(()(1x f f x f n n =+，*
N n ∈，若218)(3+=x x f ，则=ab ，=)(x f n .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 设函数2cos 22sin 3)(2++=x x x f ． （I ）求)(x f 的最小正周期和值域； （II ）求)(x f 的单调递增区间.
16.（本小题共13分）
编号为
,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，用运动员的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2人得分之和大于50分的概率．
17.（本小题共13分） 在几何体ABCDE 中，∠BAC=
2
，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1.
（I ）求证：DC ∥平面ABE ； （II ）求证：AF ⊥平面BCDE ； （III ）求几何体ABCDE 的体积．
B
C
D
E
F
18.（本小题共14分） 已知函数)(x f a ax x +-
=2
3
2
3，R a ∈. （I ）若曲线=y )(x f 在点（)4(,4f ）处切线的斜率为12，求a 的值； （II ）若]1,0[∈x ，求函数)(x f 的最小值.
19.（本小题共14分）
已知椭圆:G )0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为e =32,椭圆G 上的点N 到两焦点的距离之
和为12,点A 、B 分别是椭圆G 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PF PA ⊥． (I) 求椭圆G 的方程； (II)求点P 的坐标；
(III) 设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
20．（本小题共13分）
已知数列{}n a 中，12a =，且满足11+=+n n a a ，*
n ∈N ．
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设1
4(1)2(n
a n n n
b λλ-=+-
⋅
为非零整数，
*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*
n ∈N ，都有n n b b >+1成立．
内的运动员中随机抽取。