垂直关系的判定导学案
平行与垂直-导学案(2)
(推荐)平行与垂直-导学案（2）学习目标：1、通过观看、讨论能够了解同一平面内两条直线的平行与相交（包括垂直）的专门位置关系，能够正确判定互相平行和互相垂直。
2、学习画垂线，认识“点到直线的距离”。
3、学习画平行线，明白得“平行线之间的距离处处相等”。
4、在探究活动中，能够培养自己观看与比较、操作、概括等能力，进展初步的空间观念。
5、结合具体情境，能够体会数学与日常生活的联系。
学习重点：能够明白得同一平面内两条直线互相垂直和互相平行的位置关系。
学习难点：能够正确判定两条直线之间的位置关系（专门是对看似不想交而实际上是相交的现象）。
会用直尺、三角尺画垂线和平行线。
学习过程:学案导学：（第一课时）2、观看大伙儿所画后说一说自己想到了什么，能不能按照一个标准给它们分类呢？3、总结大伙儿的意见后进行分类，并说出分类的理由。
[来源:Zxxk]4、验证。
请你再任意画两条直线，看一看它们之间的关系。
5、小组讨论：不相交的两条直线的现象应叫做什么？小组反馈：像如此两条永久不相交的直线叫6、动手操作，加深经历。
在自己的桌面上用小棒摆平行线，同桌之间互相观赏。
7、观看下面几组直线，判定哪几组互相平行。
8、说一说，生活中有哪些平行的例子。
9、看书质疑：“同一平面”是什么意思？判定两条直线是否是平行线时哪两个条件缺一不可呢？11、阅读教材第65页，并解决问题：在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线属于什么关系？说一说，生活中有哪些垂直的例子。
11、在同一平面上，当两条直线相交成直角时，这两条直线就叫做。
其中一条直线叫做另一条直线的。
这两条直线的交点叫。
12、组间互相测验。
小组代表在黑板上画出两条相交的直线，指名请任意一组判定两条直线是否互相垂直。
说说你们的理由？13、操作验证。
同桌用小棒操作验证，加深经历。
14、谈谈自己学习的收成及感悟：本节棵我学会了：把握不太好的是：15、应知应会（1）找一找（练习十一第1题和第2题）。
两条直线平行与垂直的判定 学案 导学案 说课稿 课件
2《两条直线平行与垂直的判定》导学案一、教学目标：1. 掌握两条直线平行与垂直的充要条件2. 会判断两条直线是否平行、垂直二、教学重、难点：重点：两条直线平行与垂直的充要条件难点：斜率不存在时，两直线垂直情况的讨论三、使用说明及学法指导:1．引导学生课前做好预习，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2．要求学生把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，用双色笔进行整理，便于复习记忆。
3．A 级是自主学习，B 级是合作探究，C 级是提升四、知识链接:1. 已知直线的倾斜角α（α≠90°），则直线的斜率为_________________；已知直线上两点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)且x 1≠x 2,则直线的斜率为_____________________.2. 已知直线l 过（—2，3）和（6，—5）两点，则直线l 的斜率为________，倾斜角为_____________.3. 已知1l 、2l 的斜率都不存在且1l 、2l 不重合，则两直线的位置关系是_________________4．已知一直线经过两点A(ｍ,2),(﹣ｍ，2ｍ-1),且直线的倾斜角为600，则ｍ=_______五、教学过程：探究1、特殊情况下的两条直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为_____，两直线的位置关系是____.(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为______，另一条直线的倾斜角为_ ， 两直线的位置关系是____________.探究2、两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线1l 、2l 的斜率分别为12k k 和（1）两条直线互相平行(不重合)的情形，如果1l ∥2l ，那么它们的倾斜角与斜率有怎样的关系？反过来成立吗？结论:两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率__ __;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即________________________.注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.判断：①如果12k k = , 那么一定有1l ∥2l ； ②如果1l ∥2l ，那么12k k =.（2）两条直线垂直的情形．如果1l ⊥2l ，那么它们的倾斜角与斜率是什么关系？反过来成立吗？ 结论：两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为________；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相 __.即_________________________ _____.注意结论成立的条件.判断下列命题的真假：①如果121k k =-, 那么一定有1l ⊥2l ； ②如果1l ⊥2l ，那么121k k =-.知识巩固：A1、已知A(2,3), B （-4，0）, P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.A2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.A3、已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系B4、已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3)三点, 试判断三角形ABC 的形状.能力提升C1已知点(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使得直线CD AB ⊥，且//CB AD六、当堂检测：A1、过点(1,2)和点(3,2)-的直线与x 轴的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）以上都不对B2、已知直线l 与过点(的直线垂直，则直线的倾斜角是（ ）（A ）060 （B ）0120 （C ）045 （D ）0135七、小结1. 1l ∥2l ⇔12k k = 或 1l 、2l 的斜率都不存在且不重合2. 1l ⊥2l ⇔121k k =- 或 10k = 且2k 的斜率不存在 或 2k =0 且1k 的斜率不存在.。
直线、平面垂直的判定及其性质导学案及答案【人教版】高中数学必修
一数学 SX-10-01-0062.3 《直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小【学法指导】实物观察，类比归纳，语言表达【知识链接】空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线l和平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的, 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：3.平面的斜线：4.直线和平面所成的角：5.二面角：6.二面角的平面角：7．面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理：8.直线和平面垂直的性质定理：9.两平面垂直的性质定理：二.典型例题例1. 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 .例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1例5.正四棱锥P -ABCD 中，AB =4，高为2，求二面角P -BC -D 的大小.三.课堂检测1D A BCO E P 1.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ） A ．只有一条 B ．有无数条 C ．所有直线 D ．不存在 2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．1个或无数个 3.已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有 （ ）①若n m ⊥则,//βα ②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若,//m n αβ⊥则A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB 8.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是 PC 的中点.求证：平面P AC ⊥平面BDE ．四.归纳小结五.课外作业 A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,// B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是面β内一点，PB ⊥l 于点B ，P A 和l 所成的角为450，P A 和面α所成的角为300，则二面角α—l —β 的大小为（ ） A ．450B ．300C ．600D ．7503.若直线l 与平面所成角为3π，直线a 在平面内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π， 4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证：面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图，在正三棱锥S —ABC 中，E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点，且平面CEF ⊥平面SAB . （1）若G 为EF 的中点，求证：CG ⊥平面SAB ；（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD （1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论;（2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ;（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题例2.例4.（2）900 例5. 450三.课堂检测1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD ⊥五.课外作业1.C2.A3.C 6.(2) 7.(1) 2a = (2)M 为中点时 （3）4a ≥。
两条直线平行与垂直的判定 学案 导学案 说课稿 课件
两条直线平行与垂直的判定【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P71-72,用红色笔对重点内容进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。
2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC 层可以不做。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1.会判断两条直线是否平行.会判断两条直线是否垂直.2. 培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.3 .解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.【学习重点】会判断两条直线是否平行、垂直【学习难点】斜率存在与否时两直线平行或垂直情况的讨论【知识链接】1.过两点直线的斜率公式【预习案】问题1、1.平面内不重合的两条直线的位置关系为_________________2.两条直线的倾斜角相等，这两条直线___________反过来是否成立？预习自测问题2、1.判断正误：（1）l1∥l2⇔k1=k2.（）（2）l1⊥l2⇔k1k2=-1.（）2.下列说法中正确的是（ ）.A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等C. 垂直的两直线的斜率之积为-1D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行问题3、1.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),则直线AB 与PQ 的位置关系为______________.2..若(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)A B C D --， 则下面四个结论：①//AB CD ；②AB CD ⊥；③//AC BD ；④AC BD ⊥. 其中正确的序号依次为（ ）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【探究案】探究1：例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.探究2：例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题） 今天我学会了什么？【训练案】1.若A(-2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( ) A. 21 B.-21 C.-2 D.2 2.直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2.（1）a=_____________时，α1=150°；（2）a=_____________时，l2⊥x 轴；（3）a=_____________时，l1∥l2；（4）a=_____________时，l1、l2重合；（5）a=_____________时，l1⊥l2.3.过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线(1)平行时,m 的值为___________(2)垂直时，m 的值为______________4.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,则△ABC 的形状为_____________________.5．若直线12l l 、的倾斜角分别为12,αα、且12l l ⊥，则有（ ）.A. 1290αα-=B. 2190αα-=C. 2190αα-=D. 12180αα+=6．经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）.A ．4B ．1C ．1或3D ．1或47．直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .。
垂直关系性质导学案
线面垂直与面面垂直性质学习目标: 1．掌握直线和平面垂直的性质定理2．掌握平面和平面垂直的性质定理学习重点：掌握线面垂直的性质定理与平面和平面垂直的性质定理学习难点：线面垂直的性质定理;及平面和平面垂直的性质定理的应用.一自主学习1、复习：①直线与平面垂直的判定定理(用符号语言表示)②平面与平面垂直的判定定理(用符号语言表示) 2新知：（一）线面垂直的性质定理符号语言:（二）平面和平面垂直的性质定理符号语言: 二、合作探究例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，平面PAC ⊥平面ABC ，(1)判断BC 与平面PAC 的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC 与平面PAC 的位置关系。
三、总结提升※ 学习小结1、证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直2. “平行”与“垂直”关系的相互转化※ 知识拓展1、直线与平面垂直其它性质(1)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面的 一条直线.(2) 两条平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也 于这个平面(3) 垂直于同一条直线的两个平面 .即（设,a m 和l 是直线，,αβ是平面）(1)l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； (2)//l m m l αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ (3)//l l ααββ⊥⎫⎬⊥⎭2、两个平面垂直的其它性质：⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线 这个平面内；(2)如果两个平面互相垂直,则与其中一个平面平行的平面 于另一个平面.(3) 如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线 于另一个平面或在另一个平面内.A。
两条直线平行和垂直的判定导学案
2.1.2两条直线平行和垂直的判定学习目标1.学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系,并解决相应的几何问题.2.体会利用代数方法研究几何问题的基本方法.3.促进数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展.自主预习1.已知两条直线l1,l2,α1,α2,则对应关系如下:课堂探究探究一两条平行直线斜率间的关系问题1:我们知道,平面中的两条直线l1与l2的位置关系有:.问题2:当两条直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系?试着论证你的结论.问题3:两条直线平行,它们的斜率一定相等吗?思考:如何利用直线斜率证明“三点”共线问题?探究二两条垂直直线斜率间的关系问题4:直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系?类比前面的研究进行讨论.问题5:当两条直线垂直时,它们的斜率之积一定等于1吗?为什么?【学以致用】例1已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例2已知A(5,1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状.思考:总结一下利用直线斜率判断几何图形形状的方法.变式训练已知点A(5,1),C(2,3),点B在x轴上,且∠ABC为直角,求点B的坐标.当堂专练1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(2,1),Q(3,6),则直线l1与l2的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合2.(多选题)如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能为()A.1a B.a C.1aD.不存在3.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,1)和点N(3,4)的直线平行,则m的值是()A.1B.1C.2D.24.在直角坐标平面内有两点A(4,2),B(1,2),在x轴上有点C,使∠ACB=90°,则点C的坐标是()A.(3,0)B.(0,0)C.(5,0)D.(0,0)或(5,0)5.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是()A.20°,110°B.70°,70°C.20°,20°D.110°,20°6.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k24k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=;若l1∥l2,则m=.7.若过点P(a,b),Q(b1,a+1)的直线与直线l垂直,则直线l的倾斜角为.8.已知直线l1过点A(1,1),B(3,a),直线l2过点M(2,2),N(3+a,4).(1)若l1∥l2,则a的值为.(2)若l1⊥l2,则a的值为.9.如图,在▱OABC中,O为坐标原点,点C(1,3).(1)求OC所在直线的斜率;(2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线CD的斜率.10.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判断▱ABCD是否为菱形.11.已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形ABCD 为直角梯形.。
北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案
1高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案北师大版必修2你的 疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言： 符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思 纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】 重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的 直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括 直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α， 直线l ____a ， 直线l ____b ，a ____A b =， 则α⊥l .天才在于积累 聪明在于勤奋。
〖2021年整理〗《导学案 空间中的垂直关系直线与平面垂直》优秀教案
l m1.2.3空间中的垂直关系（一）----直线与平面垂直（一）学习要点：直线与平面垂直的判定与性质及其简单应用 （二）学习过程： 一．直线与直线垂直两条直线互相垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
直线a 和b 垂直，记作：a b ⊥． 概念解读：1．空间的直线与直线垂直包括相交垂直（有一个公共点）与异面垂直（无公共点）两种； 2．若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 的位置关系有三种：//a c ；a 与c 相交；a 与c 异面；3．在平面内，线段AB 的垂直平分线有且只有一条；在空间中，线段AB 的垂直平分线有无数条，其所有垂直平分线在同一个平面上。
二．直线与平面垂直（一）直线与平面垂直的定义及有关概念直线与平面互相垂直：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
1．平面的垂线：直线l 叫做平面α的垂线； 2．直线的垂面：平面α叫做直线l 的垂面； 3．垂足：直线l 与平面α的交点O 叫做垂足；4．平面的垂线段：垂线上任意一点到垂足的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段；5．点到平面的距离：垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。
（二）线面垂直的画法与表示法：把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直； 直线l 和平面α垂直，记作：l α⊥． （三）直线与平面垂直的判定定理：1．判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
即：2．直线与平面垂直的判定定理的推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
即：四．直线与平面垂直的性质： （一）性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面 内的任意一条直线垂直。
即：（二）直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
即：（三）直线与平面垂直的性质2： 垂直于同一条直线的两个平面平行。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案导学案
《两条直线平行与垂直的判定》 【教学目标】 1．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直．2．通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．【教学重点、难点】重点：两条直线平行和垂直的条件．难点：启发学生把研究两条直线的平行或垂直转化为研究两条直线的斜率的关系．【教学环节】~一、复习回顾如图，直线AB 在平面直角坐标系中：（1）直线AB 的倾斜角为 （填∠1或∠2）；（2）若∠1=60°，则直线AB 的斜率为 ；（3）若A(1，0),B(0，1),则直线AB 斜率为 ；二、新课引入}以身高测量仪器为例，请同学们分析其中蕴藏的直线间的平行与垂直关系等数学问题。
除了初中学习的用几何方法去判断两条直线的位置关系外，这节课将它引入平面直角坐标系，学习如何运用代数方法（斜率法）去判断两条直线的位置关系。
三、 新课探知提出问题：若 21//l l ，则倾斜角 21,αα 有什么关系若21αα= 则21tan ,tan αα有什么关系若21tan tan αα=，则21,k k有什么关系（此过程可逆吗）用类似的方法分析：若21l l ⊥，则21,k k 有什么关系（此过程可逆吗）四、(五、例题精讲已知A(1，3),B(2，1),C(4，2),D(3，4):(1)试判断直线AB与CD、直线AD与BC的位置关系；(2)试判断直线AB与BC、直线AD与AB的位置关系；(3)试判断由A、B、C、D四点组成四边形是不是矩形。
六、:七、对点练习1.试确定m的值，使过点A（m,1），B（-1，m）的直线与过点P(1,2），Q（-5,0）的直线（不重合）（1）平行（2）垂直2.已知A(0，1),B(1，4),C(2,7），试判断直线AB与AC的位置关系及A、B、C三点的位置关系。
,八、课堂总结1.在平面直角坐标系中，如何通过斜率的关系判断两条直线平行2.在平面直角坐标系中，如何通过斜率的关系判断两条直线垂直九、 课后作业 教材389T P。
直线与平面垂直的概念和判定导学案
§直线与平面垂直的概念和判定一、学习目标：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。
二、教学重难点：直线与平面垂直的判定定理。
三、学习过程：复习导入：回忆直线与平面的位置关系有哪几种？如何用符号语言表示？直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，今天我们就从理论上加以认识.新课导学：✐知识探究1：直线与平面垂直的概念观察：天安门前竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？活动：（1）将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？（2）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？讨论：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？结论：定义--直线与这个平面垂直：画法：记法：✐知识探究2：直线与平面垂直的判定问题：用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？能不能有更简便的方法呢？讨论：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.（1）如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？（演示）（2）如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？（演示）实验：将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( BD, DC 与桌面接触).观察折痕AD 与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD 与桌面垂直呢？结论：直线和平面垂直的判定定理：理解：符号表示：✐知识迁移思考：有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？旗杆脚不在同一直线上）,归纳小结：直线与平面垂直的定义和判定定理。
高中数学：垂直的判定与性质导学案
第21讲垂直的判定与性质[玩前必备]1．直线与平面垂直2．(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理(3)平面与平面垂直的性质定理[玩转典例]题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[玩转跟踪]1.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面P AD，AB∥DC，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△P AD中AD边上的高．求证：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面P AB.2.[创新题型]如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．①F为BB1的中点；②AB1＝3；③AA1＝ 2.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．[玩转跟踪]1．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .2.如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .题型三 垂直中探索性问题例3 如图，在三棱台ABC DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC .(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．[玩转跟踪]1.如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面AA′C′C；(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．2.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．[玩转练习]1．已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件2．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A．①②B．②④C．①③ D.②③3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上 D.△ABC内部4．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D.35．(多选)如图，AC为圆O的直径，∠PCA＝45°，P A垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列选项正确的是()A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面P AC6．(多选)如图，在三棱锥VABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中一定成立的是()A．AC＝BCB．AB⊥VCC．VC⊥VDD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO7.(多选)如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为MC的中点，则下列结论正确的是()A．平面BCE⊥平面ABNB．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMND．平面BDE∥平面AMN8.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．10．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．11．(一题两空)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____________．12．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F 分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面P AB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.13.如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．求证：(1)AC1∥平面CDB1；(2)DA1⊥平面AA1C1C.。
高中数学《垂直关系的判定》导学案 北师大版必修2
第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面α内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作,直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的,唯一的公共点叫作.问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,,则l⊥α.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l⊥α,,则α⊥β.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB⊥平面BCC1B1B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1D.A1C⊥平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;(2)的值为何值时,EC⊥平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论一定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.(2013年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l⊥α垂线垂面垂足问题2:a∩b=A l⊂β问题3:[0°,90°][0°,180°]问题4:线面垂直线线垂直相交直线l⊥α基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.2.B A正确,因为AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正确,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正确,因为B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又因为EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,则只需EC⊥BF即可,当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,因为从图①可知==,所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,即==,得=,所以=时,EC⊥平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG AC,FG BD.又AC=BD,∴FG=AC,∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN⊂平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,因为EF∥AD,所以EF⊥CD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又因为DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以==,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:因为AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.思维导图构建锐角α⊥β90°。
高中数学 线面垂直的判定导学案 北师大版必修2
6.1垂直关系的判定直线与平面垂直的判定(导学案)使用说明：1．先精读教材，勾画出本节内容的基本概念，找出问题并进行标注，然后再精读教材完成本学案；2.要求独立完成预习案. 【学习目标】1、掌握直线与平面垂直的定义．2、掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．3、在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作中进一步发展几何直观能力和空间想象力． 【学习重点和难点】重点：垂直关系的判定定理．难点：对直线和平面垂直判定定理的理解．________，__________，____________. 2．在日常生活中，大家都见过哪些可以抽象成直线与平面相交的位置关系的现象? 二、教材助读1．在直线与平面相交的位置关系中，哪种相交最特殊?2．如何用语言表述直线和平面的垂直关系呢?（直线与平面垂直的定义）3．如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线? 4．如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直? 5．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面吗?6．如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线是否与这个平面垂直? 7．怎样判定直线与平面垂直呢？ 三、预习自测1．下列条件中，能判断直线a 垂直于平面α的是（ ）A ．a 与平面α内的两条直线垂直B ．a 与平面α内的无数条直线垂直C ．a 与平面α内的某一条直线垂直D ．a 与平面α内的任意一条直线垂直2．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB⊥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定3．在如图所示的长方体中，有哪些棱所在的直线与面ADD 1A 1垂直：D 1C 1B 1A 1DCBA4．与不共线的三点距离都相等的点的个数是多少?5．观察教室内现有的物体,找出直线与平面垂直的例子.我的疑惑______________________________________________ ___1. 直线与平面垂直的定义: ________________________ _______ ___ __________________________________________ __ _____ 用符号记作:用图形表示:2. 直线和平面垂直判定定理: ____________________________ _________ _________________________________________ ______ 符号语言表示:图形语言表示:3.在判定定理的条件中，___________________是关键性词语。
2022年《垂直》优质导学案
垂直学案学习目标：1从实际问题中发现两条直线的垂直关系及垂线的性质。
2会用三角板或量角器过一点画直线的垂线。
3了解垂直的表示方法，建立初步的符号。
4通过操作观察，归纳总结出“垂线段最短〞的事实。
学法指导：通过观察、折叠、交流、验证等数学活动，从不同的角度和方式来思考问题，真正理解和掌握数学知识，并能选择恰当的方法来解决实际问题，培养发散思维，提高判断能力。
〔预习案〕：自主学习：1、阅读课本P19的内容，说出上面所画图形中两条直线的关系。
2、用语言概括垂直定义3、垂直的表示方法：4、垂直的推理应用：〔1〕∵∠AOD=90°〔〕∴AB⊥CD 〔〕〔2〕∵ AB⊥CD 〔〕∴∠AOD=90°〔〕合作交流：1、用三角尺或量角器画直线L的垂线1 直线L，画出直线L的垂线，能画几条L小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不_____性。
2 怎样才能确定直线L的垂线位置呢在直线L上取一点A,过点A画L的垂线, 能画几条再经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条2、变式训练,请完成课本P21练习第1、2题的画图。
3、情景问题：如图，要把河流L中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短4、写下自己预习过程中发现的问题:〔探究案〕一、课堂展示展示预习中解决不了的疑难问题。
二、精讲点拨：〔生讲，师讲相结合，重点知识，重点稳固〕如下图,以下说法不正确的选项是;；的垂线段;的垂线段。
三、对标自查〔对照学习目标，回忆解决了那些那些问题〕四、达标检测：1、画一条线段的垂线,垂足在A线段上B线段的端点C线段的延长线上D以上都有可能2、以下时刻中,时针与分针互相垂直的是点2021 B 3点整点10分点40分3、如图，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最短，试画出铺设管道路线，并说明理由。
五、学后反思〔训练案〕配套练习册。
垂直判定导学案.doc
会宁一中高一数学导学案2、理解二面角、二面角的平面角及直二面角、两个平面互相垂直的概念；3、掌握判定直线和平面垂直和两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；教学重点：直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义和判定定理教学难点：直线与平面垂直、平面与平面垂直判定定理的应用学法指导：实物观察，类比归纳，语言表达。
一、自主预习1、直线与平面垂直的定义：如果直线L与平面a内的 ____________ 直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L丄a ,直线L叫做平面a的__________ ，平面a叫做直线L的 _______ 。
如图2.3-1,直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做___________ 。
试画图表Zj\ O2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言： ________________________________3、直线与平面所成的角：一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的 ,斜线和平面的交点叫做 ,过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的O平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：直线和平面垂直，它们所成的角为90°直线和平面平行或直线在平面内，它们所成角为0。
直线和平面所成角的范围是 ____________4、二面角的概念：图形顶点0 边B A 棱1B—定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线一点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面表示ZAOB二面角 a -1- B 或 a -AB- B二面角的度量：在二面角的棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一条垂直于棱的射线所成的角——二面角的平面角。
注意：（1）在表示二面角的平面角时，要求"0A丄L” , 0B丄L；（2）ZAOB的大小与点0在L上位置无关；（3）___________________________________________________________ 当二面角的平面角是直角时，这两个平面 ___________________________________（4）__________________________________ 二面角平面角的范围5、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线“则这两个平面垂直。
学案《认识垂直》导学案 人教版数学四上(最新)
认识垂直预习指南:通过观察、操作、讨论、归纳等活动,理解垂直线间的位置关系,正确理解并判断两条直线间的垂直关系;认识垂直的特点,能对生活中垂直的现象作出正确判断。
1.直角有哪些特点?2.任意画出几组相交直线,分别测师长它们形成的角各是多少度,说一说你发现了什么。
3.教材第57页。
(1)感受垂直。
下面是相交的两条直线。
观察一下这些相交的情况,发现都形成了( )个角,用量角器测量一下发现:有的是( )角,有的是( )角,还有的是( )角。
(2)认识垂直的定义。
我们把相交成直角的两条直线的位置关系叫互相( ),其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做( )。
(3)决定两条直线垂直的因素是( )。
(4)介绍垂直符号。
垂直和平行一样,也可以用符号表示,即( )。
直线a与直线b互相垂直,记作( )或( ),读作( )或( )。
4.两条直线相交成( )时,这两条直线互相垂直。
5.下面各组直线中,哪一组互相平行?哪一组互相垂直?6.下面的每个图形中,哪两条线互相垂直?每日口算63÷7=150÷3=450÷9=300÷2=18×40= 9÷7=50×3=50×9=150×2=36×80=参考答案1.直角都是90°。
2.略3.(1)4 锐 钝 直 (2)垂直 垂足(3)两条直线相交的角是不是90°(4)⊥ a ⊥b b ⊥a a 垂直于b b 垂直于a4.直角5.第③组两直线互相平行,第①、④组两直线互相垂直。
6.略每日口算:(从上到下,从左往右)9 63 50 150 50 450 150 300 720 28804 循环小数预习指南:认识循环小数,能正确运用循环小数表示商。
能用简便记法表示循环小数,知道循环小数一定是无限小数,无限小数不一定是循环小数。
温故 知新 1.列竖式计算。
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§6.1 垂直关系的判定
【学习目标】
（1）知识目标：掌握直线和平面垂直的概念，和线面垂直的判定定理
（2）能力目标：培养学生积极参与、勇于实践的主题意识和主动探索、勇于发现的科学精神，使学生在发
现和探索知识的过程中感受数学学习的意义，产生良好的学习态
（3）情感目标：1.经历实践和探索的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力； 2.通过定理的应用，提高学生的空间想象能力。
度.
【学习重点】垂直关系的判定定理
【学习难点】对直线和平面垂直判定定理的理解
预习案
一、知识梳理
直线与平面垂直的判定： 1、直线与平面垂直的定义： 图形呈现和符号表
示： 。
举例：生活中直线和平面垂直的实例。
（1） （2） （3）
2、直线与平面垂直的判定定理：
图形呈现和符号表示：。
思考：你还有什么方法判定一条直线和一个平面垂直？ 预习自测
1、下列命题中正确的是（ ）
A 、如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则α⊥l
B 、如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则α⊥l
C 、如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线
D 、如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直
2、已知l,m,n 为不同的直线，βα，为不同的平面，下列说法错误的是（ ） A 、若α⊥l ，则α与l 相交
B 、若α⊥l ，α⊂m ，则m l ⊥
C 、若α⊂m ，α⊂n ，m l ⊥，n l ⊥，则α⊥l
D 、若α⊥l m l ,//，则α⊥m
我的疑惑： 。
探究案
探究点一：线面垂直的定义及线面垂直的判定定理的理解 想一想： 判断下列命题是否正确？
(1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面.( ) (2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( ) (3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直,则这 条直线垂直于梯形所在的平面.( )
【变式练习】下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线 与l 垂直．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
探究点二：证明线面垂直
例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC 与BD 的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PO ⊥平面ABCD
例 3：在三棱锥V-ABC 中 ，VA ＝VC,AB ＝BC,K 是AC 的中点． 证：AC ⊥平面VKB
C
A B D
O
P
思考： (1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
追问：EF与VB的位置关系如何？
拓展：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：PD⊥平面ABCD；
训练案
1．下列说法中错误的是( )
①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；
④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．
A．①② B．②③④
C．①②④ D．①②③。