图形学—光栅化算法共72页
光 栅 图 形 学 算 法
图形学（4）多边形的扫描转换（上）由于计算机屏幕的光栅显示，需要发展一套相应的光栅图形学算法配合它。
前面介绍了直线段如何才能显示在计算机屏幕上，接下来要介绍一下多边形如何在计算机屏幕上显示，内部颜色又如何填充。
多边形的扫描转换多边形的扫描转换和区域填充的实质是思考如何在离散的像素集上表示连续的二维图形，目前主要用两种方法表示一个多边形：定点表示和点阵表示定点表示和点阵表示定点表示：用多边形的定点序列来表示多边形，这种方法直观，几何意义强，占内存少，且易于进行几何转换。
但是由于其并未说明具体哪些像素点在多边形内部，故着色时仍需特定算法点阵表示：用多边形内的像素表示多边形，这种方法丢掉了很多多边形的几何属性，不易于几何转换，但却是光栅显示中所需要的表示形式。
定点表示与点阵表示之间的相互转换成了光栅显示中需要研究的重要问题。
其中，定点表示转换为点阵表示称为多边形的扫描转换，而点阵表示转换为定点表示不属于计算机图形学的研究范畴，需要图像识别的知识去实现它。
多边形的扫描转换多边形也有分类：凸多边形（任意两顶点连线均在多边形内），凹多边形（不符合凸多边形的定义），含内环多边形（多边形内包含多边形）现在，要讨论的问题就转化为了已知边界，找到多边形内部的点并填色问题。
X-扫描线算法X-扫描线算法核心思想是按一定顺序，用扫描线去与多边形相交，计算其相交区间并对相交区间填色。
区间的端点通过扫描线与多边形边界线交点获得如图，按y正方向递增的扫描线算法可以按如下步骤求得：确定多边形所需扫描线的最大、最小y值，也即多边形定点的最值。
按y值递增循环，每次循环时循环体中要进行的工作有：a)?扫描线与多边形各边求交b)?所有交点按照递增顺序排序c)?交点配对，确定多边形在该条扫描线处的内、外d)?对“内”区间进行颜色填充但是，这看似没毛病的算法其实是有隐患的，其一就是交点的配对问题。
比如，万一我的扫描线撞上多边形定点，然后多边形与扫描线交点是奇数个怎么办？（也就是上图中过点P3时的情况）X-扫描线算法潜在问题1：交点配对对于交点个数问题，我们只要制定一套严谨的交点个数计数方案，规定好什么时候计算交点，什么时候不计算就行了。
直线光栅化 算法
直线光栅化算法1. 概述直线光栅化算法是计算机图形学中常用的一种算法，用于将抽象的直线表示转化为具体的像素点绘制。
通过对直线的各个点进行逐一计算，可以将直线在屏幕上精确地表示出来。
本文将介绍直线光栅化算法的基本原理、具体实现过程以及一些常见优化方法。
2. 直线光栅化算法的原理直线光栅化算法的基本原理是利用数学公式计算直线上各个像素点的坐标，并将其绘制在屏幕上。
直线的坐标由两个点确定，即起点和终点。
下面是直线光栅化算法的基本步骤：2.1 计算斜率与步长首先，根据给定的起点和终点，需要计算直线的斜率和步长。
直线的斜率可以通过以下公式计算：斜率 = (终点的纵坐标 - 起点的纵坐标) / (终点的横坐标 - 起点的横坐标)步长指的是在横坐标上每前进一个单位，纵坐标需要前进多少单位。
步长的计算可以根据直线斜率的正负进行分类讨论。
2.2 根据步长逐点绘制直线在计算了直线的斜率和步长之后，可以按照以下步骤绘制直线：1.初始化当前点的坐标为起点的坐标；2.根据步长的正负，依次对当前点的横坐标和纵坐标进行加减操作，以逐点向终点绘制；3.在每个点的位置上绘制像素。
3. 直线光栅化算法的实现3.1 Bresenham算法Bresenham算法是直线光栅化算法的一种经典实现方式。
它的基本思想是通过递推方式，根据当前点的坐标和斜率来选择下一个像素点的位置。
下面是Bresenham算法的具体实现步骤：1.初始化起点的坐标和终点的坐标；2.计算直线的斜率和步长；3.计算像素点的位置，并绘制像素；4.根据当前点位置和斜率的大小关系，更新下一个像素点的坐标。
Bresenham算法的优点是计算简单，适用于直线斜率大致在0到1之间的情况。
3.2 DDA算法DDA算法是另一种常用的直线光栅化算法，它的基本思想是通过逐点增量的方式来计算直线上的像素点坐标。
下面是DDA算法的具体实现步骤：1.初始化起点的坐标和终点的坐标；2.计算直线的斜率和步长；3.根据步长逐点增量，计算下一个像素点的坐标；4.绘制像素点。
基本图形的光栅化算法
基本图形的光栅化算法如何在指定的输出设备上根据坐标描述构造基本⼆维⼏何图形（点、直线、圆、椭圆、多边形域、字符串及其相关属性等）。
图形⽣成的概念图形的⽣成：是在指定的输出设备上，根据坐标描述构造⼆维⼏何图形。
图形的扫描转换：在光栅显⽰器等数字设备上确定⼀个最佳逼近于图形的象素集的过程。
直线段的扫描转换直线的绘制要求（1）直线要直；（2）直线的端点要准确，⽆定向性⽆断裂；（3）直线的亮度、⾊泽要均匀；（4）画线的速度要快；（5）具有不同的⾊泽、亮度、线型等。
解决的问题：给定直线两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，画出该直线。
逐点⽐较法：数值微分法(DDA法):增量算法直观、易实现不利于⽤硬件实现x(i+1) = x(i) + 1y(i+1) = y(i) + k中点Bresenhan算法:算法原理：根据直线的斜率确定或选择变量在x或y⽅向上每次递增⼀个单位，⽽另⼀⽅向的增量为1或0，它取决于实际直线与相邻象素点的距离，这⼀距离称为误差项。
中点Bresenham算法——算法步骤输⼊直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。
计算初始值△x、△y、D=△x-2△y、x=x0、y=y0。
绘制点(x,y)。
判断D的符号。
若D<0，则(x,y)更新为(x+1,y+1)，D更新为D+2△x-2△y；否则(x,y)更新为(x+1,y), D更新为D-2△y。
当直线没有画完时，重复上⼀步骤，否则结束。
改进的Bresenhan算法——算法步骤1.输⼊直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。
2.计算初始值△x、△y、e=-△x、x=x0、y=y0。
3.绘制点(x,y)。
4.e更新为e+2△y，判断e的符号。
若e>0，则(x,y)更新为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-2△x；否则(x,y)更新为(x+1,y)。
5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。
否则结束。
圆的扫描转换解决的问题：绘出圆⼼在原点，半径为整数R的圆x2+y2=R2。
光栅图形学算法
光栅图形学算法光栅图形学算法基础其二（裁剪算法）光栅图形学算法的研究内容直线段的扫描转换算法多边形的扫描转换与区域填充算法直线裁剪算法反走样算法消隐算法一、裁剪简述使用计算机处理图形信息时，计算机内部存储的图形往往比较大,而屏幕显示的只是图形的一部分。
因此需要确定图形哪些部分落在显示区之内，哪些落在显示区之外。
这个选择的过程就称为裁剪。
常见的裁剪方式有点的裁剪、以及直线段的裁剪。
1、点的裁剪最简单的裁剪方法是把各种图形扫描转换为点之后，再判断点是否在窗口内。
对于任意一点P（x，y），若满足下列两对不等式：则点P在矩形窗口内；否则，点P在矩形窗口之外。
判断图形中每个点是否在窗口内，太费时，一般不可取。
2、直线段的裁剪直线段裁剪算法复杂图形裁剪的基础。
?直线段和剪裁窗口的可能关系：完全落在窗口内完全落在窗口外与窗口边界相交 ?要裁剪一条直线段，首先要判断：（1）它是否完全落在裁剪窗口内？?（2）它是否完全在窗口外？（3）如果不满足以上两个条件，则计算它与一个或多个裁剪边界的交点。
常用的裁剪算法有三种，即Cohen-Sutherland、中点分割法和 Liang-Barsky 裁剪算法。
1） Cohen - Sutherland算法此算法又称编码裁剪算法，算法的基本思想是对每条直线段分三种情况处理：若点p1和p2完全在裁剪窗口内。
“简取”之?若点p1(x1,y1)和p2(x2,y2)均在窗口外，且满足下列四个条件之一：如果直线段既不满足“简取”的条件，也不满足“简弃”的条件？需要对直线段按交点进行分段，分段后判断直线是“简取”还是“简弃”。
每条线段的端点都赋以四位二进制码D3D2D1D0，编码规则如下：若XXleft，则D0=1，否则D0=0若XXright，则D1=1，否则D1=0若yybottom，则 D2=1，否则 D2=0若yytop，则 D3=1，否则 D3=0 窗口及其延长线所构成了9个区域。
计算机图形学第二讲光栅图形学ppt课件
中点画线法
构造判别式：
d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)
P2
=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
Q
当d<0，M在直线(Q点)下 方，取右上方P2；
P=(xp,yp) P1
当d>0，M在直线(Q点)上
方，取右方P1；
当d=0，选P1或P2均可， 约定取P1；
能否采用增量算法呢？
中点画线法
Bresenham算法
Bresenham画线算法
在直线生成的算法中Bresenham算法 是最有效的算法之一。令 k=Δy/Δx， 就0≤k≤1的情况来说明Bresenham算法。 由DDA算法可知：
yi+1=yi+k (1) 由于k不一定是整数，由此式求出的yi也 不一定是整数，因此要用坐标为（xi,yir） 的象素来表示直线上的点，其中yir表示 最靠近yi的整数。
x y int(y+0.5)
00
0
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2)
1 0.4 0
3
2 0.8 1
2
3 1.2 1
4 1.6
2
1
5 2.0
2
0 12 3 4 5
数值微分(DDA)法
• 缺点： 在此算法中，y、k必须是float，且每一 步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件实现。
• 原理：
更新为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-2△x；否则 (x,y)更新为(x+1,y)。 5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。
Bresenham画线算法
BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color) {
光栅图形学
Pe T1
Psx
Psn
Ps
B1
x 1
y k
ye ys xe xs
◎|k| >1，|xe-xs|<|ye-ys|，则：
x k y 1
6/9/2019
2.中点画线法 ①原理： 假定直线斜率0<K<1，且已确定点亮象素
点P（xi ,yi ）,则下一个与直线最接近的像 素只能是Pu点或Pd点。设M为中点，Q为交点, 现需确定下一个点亮的象素。
为了便于硬件操作,令:
e 2 e dx 2dy dx
则整数Bresenham画线算法可描述为：
◎当e<0，则xi+1=xi+1,ei+1=ei+2dy ◎当e≥0，则yi+1=yi+1,ei+1=ei+2dy-2dx
优点：
无乘除法(计算坐标时)；
在同一坐标上不可能连续停留两次。
dy=y2-y1;
现
k=dy/dx;
e=-0.5; x=x1; y=y1;
for(i=0;i<=dx;i++)
{
pDC->SetPixel(x,y,color);
x++;
e=e+k;
if(e>=0) { y++; e=e-1;}
}
}
6/9/2019
例3：利用Bresenham算法绘制直线:
P0(0, 0), P1(5,2)
由直线的斜率确定选择在x方向或y方向上每次递增减1个单位另一变量的递增减量为0或1它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离这个距离的最大误差为05然后根据误差项的符号确定由直线的斜率确定选择在x方向或y方向上每次递增减1个单位另一变量的递增减量为0或1它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离这个距离的最大误差为05然后根据误差项的符号确定852016dddd该列像素中与此交点最近的像素
直线光栅化算法
直线光栅化算法光栅化算法是计算机图形学中的一种重要技术，用于将连续的几何图形转化为离散的光栅图像。
直线光栅化算法是其中最基础的一种，用于绘制直线段。
直线光栅化算法的基本原理是根据直线的斜率和截距，确定直线上的像素点，并将其填充为颜色。
传统的直线光栅化算法有很多，如步进法、中点画线法等。
本文将以中点画线法为例，介绍直线光栅化算法的实现原理。
中点画线法是一种比较高效的直线光栅化算法，通过计算每个像素点到直线的距离来决定是否填充该点。
具体步骤如下：1. 根据直线的起始点和终止点，计算直线的斜率k和截距b。
如果斜率大于1，则将坐标轴进行旋转，使得斜率变为小于1的情况。
这样可以统一处理所有斜率的直线。
2. 对于直线斜率在0到1之间的情况，从起始点开始，沿x轴逐个增加像素点的x坐标，然后根据直线方程计算出对应的y坐标。
计算出每个像素点与直线的距离d，如果d小于0.5，则填充该像素点。
然后根据d的值更新下一个像素点的y坐标。
3. 对于直线斜率大于1的情况，与步骤2类似，只是x和y的角色互换，即沿y轴逐个增加像素点的y坐标，然后根据直线方程计算出对应的x坐标。
通过以上步骤，可以将直线段转化为一系列的像素点，并填充相应的颜色，从而实现直线的绘制。
中点画线法的优势在于减少了浮点运算的次数，提高了绘制速度，适用于实时渲染等需要高效处理大量图形的场景。
除了中点画线法，还有其他的直线光栅化算法，如步进法和Bresenham算法。
步进法是直接根据斜率的值确定每个像素点的位置，然后进行填充。
Bresenham算法是一种更加精确的直线光栅化算法，通过对直线的误差进行累积和修正，保证了绘制的直线更加平滑。
总结起来，直线光栅化算法是计算机图形学中的重要技术，用于将直线段转化为离散的光栅图像。
中点画线法是一种高效的直线光栅化算法，通过计算像素点与直线的距离来确定是否填充该点。
除了中点画线法，还有步进法和Bresenham算法等其他直线光栅化算法，可以根据具体需求选择合适的算法。
计算机图形学--基本光栅图形生成算法
– 直线的正负划分性
直线上方点：F(X，Y)＞0 直线下方的点F(X，Y)＜0
要判断点M在直线上、上方还是下方,
即要判断点M在点Q的上方还是下方
将M代入下面的判别式d判断符号即可
d F ( M ) F ( x i 1, y i 0.5) a ( x i 1) b ( y i 0.5) c
二、DDA算法程序
void dda(int x1,int y1,int x2,int y2) //直线DDA { int k,i; float x, y, dx, dy; k = abs(x2-x1); if (abs(y2-y1)>k) k = abs(y2-y1); dx = float(x2-x1)/k; dy = float(y2-y1)/k; x=float(x1); y=float(y1); for (i=0;i<k;i++){ gl_Point(int(x+0.5), int(y+0.5)); 图中圆黑点表示用 DDA法生成的直线 x = x+dx; y = y+dy; } }// end DDA
正负法每步迭代涉及的 像素和中点示意图
则若M在Q的下方，则 PT离直线近，应取为 下一个逼近直线的像素； 否则应取PB 。
P2 M (Xp+1,Yp+0.5) P P1
二、算法具体实现
设直线起点 ( x s , y s ) 直线方程为: 其中,
a ys ye
终点 ( x e , y e )
x i 1 x i X t y i 1 y i Y t
上述处理基于从左端点到右端点， 若处理过程取反，即起始端点在右侧
图形学—光栅化算法
{
int x;
//x以步长为单位从xs增长到xe
double dx =xe-xs;
double dy =ye-ys; double k =dy/dx; // 直线之斜率k
double y =ys;
for (x=xs; x<=xe; x++) {
WritePixel(x,Round(y),value); //像素属性值value
1.整体介绍 2.建模（图形描述） 3.绘制(光栅化算法) 4.光照模型
内容提要
直线光栅化算法 圆光栅化算法 多边形的填充
9.1 直线光栅化算法
假设 整型坐标系，直线段斜率0<m<1 对m＞1，x、y互换
基本原理 确定最佳逼近于该直线的一组象素 按扫描线顺序，对这些象素进行写操作
9.1 直线光栅化算法
已知线段端点：P0(x0,y0), P1(x1,y1)
直线方程
y=k(x-x0)+y0 浮点数取整 : yi=round(yi)=(int)(yi+0.5)
用到浮点数的乘法、加法和取整运算
9.1.1 DDA算法
数值微分分析（Digital Differential Analyzer，DDA）是一种增量算法。其实质是用数 值方法解微分方程，通过同时对x和y各增加一个 小增量，计算下一步的x、y值。
P2 Q
M
P=(xp,yp) P1
9.1.2 中点画线法
d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
P2
M (Xp+1,Yp+0.5)
光栅制作方法
光栅制作方法引言光栅是一种常用的图像处理技术，它将连续的图像转化为离散的像素。
在计算机图形学、图像处理和打印技术中具有重要的应用。
本文将介绍光栅制作的基本原理和常用的方法。
基本原理光栅制作的基本原理是将连续的图像转化为离散的像素，通过对每个像素点进行采样和量化的方式来表示图像。
在光栅图像中，每个像素点有一个固定的位置和颜色值，通过将一系列的像素点组合在一起，可以还原出原始的连续图像。
光栅制作方法1. 扫描线光栅化扫描线光栅化是最常用的光栅制作方法之一。
它采用逐行扫描的方式将连续图像转化为离散的像素。
具体步骤如下：•确定图像的边界和顶点信息。
•通过线段绘制算法将图像的边缘绘制出来。
•按照图像的扫描线方向，逐行扫描图像。
•对于每条扫描线，确定与图像边界的交点，并计算出像素的颜色值。
•在光栅图像中绘制对应的像素点。
扫描线光栅化方法适用于边缘比较简单的图像，对于复杂的曲线和曲面可能会存在锯齿现象。
2. 斜率光栅化斜率光栅化是一种使用斜率匹配的算法，能够消除扫描线光栅化中的锯齿现象。
它利用了连续图像上各点的斜率信息，通过计算斜率的变化来确定像素的位置和颜色。
具体步骤如下：•确定图像的边界和顶点信息。
•通过线段绘制算法将图像的边缘绘制出来，并计算出每条边的斜率。
•按照斜率的大小确定扫描线的方向和顺序。
•对于每条扫描线，根据斜率的变化来确定像素的位置和颜色。
•在光栅图像中绘制对应的像素点。
斜率光栅化方法能够消除锯齿现象，并且能够适用于复杂的曲线和曲面。
3. 区域光栅化区域光栅化是一种基于区域的光栅制作方法，通过将图像分割成多个区域来进行光栅化。
它能够有效地处理复杂的图像，并提高处理效率。
具体步骤如下：•确定图像的边界和顶点信息。
•将图像分割成多个区域，并计算出每个区域的边界和顶点信息。
•对于每个区域，采用扫描线或斜率光栅化方法进行光栅化。
•在光栅图像中绘制对应的像素点。
区域光栅化方法能够高效地处理复杂的图像，并提高处理的速度和质量。
计算机图形学第四章光栅图形学
❖ Bresenham画线算法程序
void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy；
float k, e; dx = x1-x0；dy = y1- y0；k=dy/dx； e=-0.5； x=x0；y=y0； for (i=0；i<dx；i++) { drawpixel (x, y, color);
10/14/2023
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第四章：光栅图形学
y=-x (-y,x)
y (y,x) y=x
(-x,y) (-x,-y)
(x,y)
(x,-y)
(-y,-x) (y,-x)
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第四章：光栅图形学
❖ 简单方程产生圆弧
算法原理
❖ 利用其函数方程，直接离散计算 ❖ 圆的函数方程为
x2 y2 R2
x=x+1；e=e+k; if (e>=0.5) e=e-1; if (e>=0) y++； } }
10/14/2023
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第四章：光栅图形学
❖ 举例：用Bresenham方法扫描转换连 接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段
============ xye d 0 0 -0.5 0 1 0 -0.1 0.4 2 1 0.3 0.8 3 1 -0.3 0.2 4 2 0.1 0.6 5 2 -0.5 0
第四章：光栅图形学
❖ 本章主要介绍光栅图形学的基本算法
❖ 基本概念
光栅显示器
❖ 一个象素矩阵。光栅显示器上的任何一个图形都是一些具有一种或多种 颜色和灰度象素的集合。由于象素个数、颜色、灰度等级都是有限的， 而且象素是有大小的，所以光栅图形只是实际图形的近似
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1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——Coc壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
光栅化算法
光栅化算法
光栅化算法（Rasterization）是计算机图形学中的一种基础算法，它用于将图形数据转换成像素数据以便在屏幕上显示。
该算法的基本思想是，会将图像上的几何形状进行分割，再一点一点地绘制下去，直到将整个形状绘制完成。
在这个过程中会自动对近似颜色进行插值，以获得更加真实的效果。
光栅化算法需要具备三个特点：
1. 坐标离散化：坐标离散化是将实数坐标（坐标轴上有无限个点）离散化成整数坐标（坐标轴上只有有限个点），防止精度损失，并便于像素操作。
2. 插值算法：由于分辨率有限，像素大小有限，同一图元被映射到像素点上时必然存在像素点覆盖不完全、遗漏部分或重合部分的现象，这就需要进行插值以获取更为准确的像素颜色值。
3. 只绘制可见面片：因为计算机的计算能力有限，三维模型往往十分复杂，而人眼实际上只关注三维模型表面上的内容，因此光栅化算法可以只绘制可见的三角形，而将不可见的三角形遮蔽掉，这样可以提高渲染效率。
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图形学—光栅化算法
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯