数字信号处理 第三章 图像信号分析基础讲解
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…,f(-dt),f(0),f(dt),f(2dt),…,f(ndt),…
3.1.1 信号的采样
理想采样器是指闭合时间趋向于0的采样 器。
3.1.1 信号的采样
理想采样后的数列（采样值）可以记为 …,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),…,f(n),… 或 f(n),n=…,-2,-1,0,1,2,…,n,… 称这个数列为信号f(t)的离散时间信号（或
pr (rk
Leabharlann Baidu
)
nk n
0 rk 1 k 0,1,2,,l 1
其中，归一化操作并不是必须的。
3.1.5 灰度直方图
轮廓线提供了一个确立图像中简单物体边界的 有效方法，使用轮廓线作为边界的技术称为阈值 法。
假设有一图像的直方图如下，背景是浅色的， 物体是深色的，则取双峰之间的谷底灰度作为阈 值可以得到合理的边界。
的卷积。 水印、验证码
三、减法运算
将多幅图像的对应点相减得到新图像。 可去除图像中不需要的加性图案。 可用于运动检测。 可以用来计算物体边界位置的梯度。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度
直方图的卷积。
四、乘除法运算
乘法运算可以用来去除原始图像中的一部 分：首先构造一副掩膜图像，在需要保留 区域，图像灰度值为1，而在被去除区域， 图像灰度值为0；然后将掩膜图像乘原始 图像。
对于一幅输入图像，将产生一幅输出图像，输出图像 的每个像素点的灰度值由输入像素点决定。
点运算由灰度变换函数（gray-scale transformation, GST）确定。
B(x, y) f [A(x, y)]
二、线性点运算
GST函数f (D)为线性，即
DB f (DA ) DA b
1 2 34 5 6 5 4 5 6 2 14
3.1.5 灰度直方图
设r代表图像中像素灰度级，作归一化处理后，r将 被限定在［0, 1］之内。在灰度级中，r=0代表黑， r=1代表白。对于一幅给定的图像来说，每一个 像素取得［0, 1］区间内的灰度级是随机的，也 就是说r是一个随机变量。假定对每一瞬间，它 们是连续的随机变量，那么就可以用概率密度函 数pr(r)来表示原始图像的灰度分布。如果用直角 坐标系的横轴代表灰度级r，用纵轴代表灰度级 的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像 在这个坐标系中作出一条曲线来。这条曲线在概 率论中就是概率密度曲线。
r
三、非线性点运算
非线性点运算的设计思路：基本数学函数的 运用与组合，如三角函数、指数函数、对 数函数、分段函数。
四、点运算与灰度直方图
灰度直方图是目的 点运算是使图像满足预期灰度直方图的过
程与方法
五、点运算的作用
点运算常用于增强图像中感兴趣的那部分的 对比度（对比度增强或对比度扩展）；也 可以根据灰度的不同级把一幅图像划分成 若干部连续的区域，以便进一步确定它们 的边界，画出轮廓线。
3.1.1 信号的采样
其中，Dirac函数定义为：
(t
tk
)
1, t 0, t
tk tk
且
(t t0 )dt 1
3.1.1 信号的采样
R(t )
u (t )
(t )
R(t )
t dR(t)
dt u (t )
t du(t)
dt
t (t)
3.1.1 信号的采样
第三章 图像信号分析基础
3.1 图像信号的数学表示
3.1.1 信号的采样 3.1.2 信号的量化 3.1.3 图像信号的采样 3.1.4 图像信号的量化 3.1.5 灰度直方图
3.1.1 信号的采样
对一时间t为自变量的实数值域内的连续函 数f(t)（信号）以dt为采样周期进行采样， 得到一个数列，即采样值：
3.1.3 图像信号的采样
图像信号是二维空间的信号，是以平面上的点作 为独立变量的函数。
对于黑白或灰度图像可直接采样，彩色图像则可 对其三基色分别采样。
二维图像信号的采样也要遵循采样定理。 图像信号的采样定理：二维采样频率均要大于各
自的最高频率。各维一般采用相同的采样频率。
3.1.4 图像信号的量化
设D(X,Y)表示 平滑地从中心 的高灰度级变 化到边沿的低 灰度级的连续 图像。
3.1.5 灰度直方图（ histogram ）
连续图像的灰度直方图可定义为：
A(F) A(F F) d
h(F) lim
A(F)
F 0
F
dF
3.1.5 灰度直方图
一幅连续图像的灰度直方图是其面积函数 的导数的负值。
离散时间序列、采样数据序列）。 因果系统。
T (t) (t - nT) n-
3.1.1 信号的采样
采样前后的信号之间的关系为
f *(t) f (nT ) (t nT ) n 对一个连续信号进行采样，即让该连续
信号与一个等间隔的脉冲序列共同作用。
任意一个一维序列可以表示成一维单位 冲激的移位加权和。x(nT)为x(t)信号在nT时 刻的值，即权。
二、加法运算
将多幅图像的对应点相加得到新图像。 可以将一幅图像内容加到另一幅图像上，以达到
二次暴光（double exposure）的要求。 可以对同一场景的多幅图像求平均值，以降低加
性（additive）随机噪声。 定理：对M幅加性噪声图像进行平均，可以使图
像的平方信噪比提高M倍。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度直方图
3.2.2 代数运算
一、基本概念 二、加法运算 三、减法运算 四、乘除法运算
一、基本概念
代数运算指对两幅或多幅图像进行点对点的四则 运算得到一幅新图像，其中四则运算一般是两幅 或多幅图像的对应点的灰度值的代数运算。
Cx,y Ax,y Bx,y Cx,y Ax,y Bx,y Cx,y Ax,y Bx,y Cx,y Ax,y Bx,y
几何运算可能会导致图像的断裂或支解等 现象，因此需要灰度插值算法。
二、空间变换算法
几何运算的空间变换算法一般定义如下：
g(x, y) f [(x, y), (x, y)]
其中
(x, y), (x, y)
3.1.5 灰度直方图
直方图是面积函数的导数，在谷底附近，直方 图的值相对较小，意味着面积函数随阈值灰度 级的变化很缓慢，若选择谷底处的灰度作为阈 值，将可以使其对物体边界的影响达到最小， 使测量物体面积的误差最小。
C#代码
Bitmap MyBitmap = new Bitmap(500, 500); int red = MyBitmap.GetPixel(1, 1).R; int green = MyBitmap.GetPixel(1, 1).G; int blue = MyBitmap.GetPixel(1, 1).B;
若将图像看作一个二维随机变量，则面积 函数相当于该随机变量的分布函数，而灰 度直方图相当于其概率密度函数。
随灰度级F的增加，对应的面积A(F)减小。 对于灰度数字图像，任一灰度级F的面积
函数A(F)的值也就是大于等于该灰度值的 像素点的个数。
3.1.5 灰度直方图
1 2 34 5 6 6 4 32 2 1 1 6 64 6 6 3 4 56 6 6 1 4 66 2 3 1 3 64 6 6
曝光过强（过弱）会导致大片白色（黑色），丢失 明暗、对比度、纹理等细节信息，即使采用插值 算法，也难以准确恢复。此时将在直方图的一端 或两端产生尖峰。
3.1.5 灰度直方图
直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或 频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度 值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值 像素所在位置。也就是说，它只包含了该图像中 某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在
任一幅图像，都能惟一地确定出一幅与它对应的 直方图， 但不同的图像，可能有相同的直方图。 也就是说，图像与直方图之间是多对一的映射关 系。
由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到 的， 因此，一幅图像各子区的直方图之和就等 于该图像全图的直方图。
3.1.5 灰度直方图
对于数字图像，灰度直方图可按如下方 法计算
对于二维系统，则有
f *(i, j)
f (mT1, nT2 ) (i mT1, j nT2 )
m n
一般取T1=T2
任意一个二维序列可以表示成二维单位冲激的移位加权和。
3.1.1 信号的采样
二维采样矩阵
3.1.1 信号的采样
对模拟信号采样使它离散化的程度取决于采 样器的采样周期T。
采样周期越小，得到的采样序列就越接近原 来的信号，数据量越大。
采样周期大于某个限制时，不能从采样序列 恢复原来的信号。
明文空间vs密文空间
3.1.1 信号的采样
采样定理：对一个频谱有限（ max ）的连续 信号f(t)进行采样，当采样频率满足
s
2max,s
2
T
条件时，采样序列便能无失真地恢复原来的 连续信号。
显然， 若a 1,b 0,图象像素不发生变化； 若a 1,b 0,图象所有灰度值上移或下移； 若a 1，输出图象对比度增强； 若0 a 1,输出图象对比度减小； 若a 0,暗区域变亮，亮区域变暗，图象求补。
三、非线性点运算
s
s
s
O
r
O
r
O
r
s
s
s
O
r
O
r
O
灰度直方图是灰度级的函数，也就是图像中具有 某个灰度级的像素点的个数，其函数图像的横坐 标是灰度级，纵坐标为该灰度级出现的频率。
对于连续图像，定义阈值面积函数A(F)为具有灰 度级F的所有轮廓线所包围的面积。对于数字图 像，任一灰度级F的面积函数A(F)即大于或等于 灰度值F的像素点的个数。
幅度分布密度函数h(p)：幅度（亮度）为 p的像素点的个数。
h(p)通常是非均匀分布的，所以通常取不 等间隔的分段，对于较常出现的幅度值范 围，建议把量化间隔取得小一些。
3.1.5 灰度直方图（ histogram ）
对于灰度图象，从最暗（黑）到最亮（白）通常 被分为256个灰度级别。
除法运算可用于多光谱遥感运算的比值计 算。
3.2.3 几何运算
一、基本概念 二、空间变换算法 三、灰度插值算法
一、基本概念
图像点运算和代数运算不改变图像中各部 分的几何关系。
图像几何运算会改变各部分的空间位置关 系。
图像几何运算的结果一般表现为场景中的 物体在图像内的移动，如转动、扭曲、倾 斜、拉伸、缩放、错切等等。
3.1.2 信号的量化
连续信号的采样常用A/D转换实现。 A/D转换器包括采样器和量化器两部分组成。 量化器的作用是将离散的模拟量x(n)按照一定的
规则转换为数字量x’(n)，即把采样信号的幅值范 围按照一定的精度要求分成若干（一般为偶数） 段[pk,pk+1]，使落入某段中的采样值使用单一的 幅值来表示。 从模拟量到数字量的转换误差的大小由量化的精 度要求所决定。 若量采化样值值 。f(nT)落在[pk,pk+1]，常取(pk+pk+1)/2为其
3.1.5 灰度直方图
Pr(r)
Pr(r)
0
1r
0
(a)
1r (b)
例图：图像灰度分布概率密度函数
3.1.5 灰度直方图
从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布 特性。例如，从上图中(a)和(b)两个灰度分布概 率密度函数中可以看出： (a)的大多数像素灰度 值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗，一 般在摄影过程中曝光偏弱就会造成这种结果；(b) 图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像(b)将 偏亮，一般在摄影中曝光偏强将导致这种结果。 当然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均 不理想。
3.2 图像运算
3.2.1、点运算 3.2.2、代数运算 3.2.3、几何运算
3.2.1 点运算
一、基本概念 二、线性点运算 三、非线性点运算 四、点运算与灰度直方图的关系 五、点运算的作用
一、 基本概念
点运算（point operation）可简单理解为图像像素点 的运算，即按照需要改变像素灰度值的运算，其输入 和输出均为一幅数字图像，且输入像素和输出像素一 一对应，不改变图像的空间关系
3.1.1 信号的采样
理想采样器是指闭合时间趋向于0的采样 器。
3.1.1 信号的采样
理想采样后的数列（采样值）可以记为 …,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),…,f(n),… 或 f(n),n=…,-2,-1,0,1,2,…,n,… 称这个数列为信号f(t)的离散时间信号（或
pr (rk
Leabharlann Baidu
)
nk n
0 rk 1 k 0,1,2,,l 1
其中，归一化操作并不是必须的。
3.1.5 灰度直方图
轮廓线提供了一个确立图像中简单物体边界的 有效方法，使用轮廓线作为边界的技术称为阈值 法。
假设有一图像的直方图如下，背景是浅色的， 物体是深色的，则取双峰之间的谷底灰度作为阈 值可以得到合理的边界。
的卷积。 水印、验证码
三、减法运算
将多幅图像的对应点相减得到新图像。 可去除图像中不需要的加性图案。 可用于运动检测。 可以用来计算物体边界位置的梯度。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度
直方图的卷积。
四、乘除法运算
乘法运算可以用来去除原始图像中的一部 分：首先构造一副掩膜图像，在需要保留 区域，图像灰度值为1，而在被去除区域， 图像灰度值为0；然后将掩膜图像乘原始 图像。
对于一幅输入图像，将产生一幅输出图像，输出图像 的每个像素点的灰度值由输入像素点决定。
点运算由灰度变换函数（gray-scale transformation, GST）确定。
B(x, y) f [A(x, y)]
二、线性点运算
GST函数f (D)为线性，即
DB f (DA ) DA b
1 2 34 5 6 5 4 5 6 2 14
3.1.5 灰度直方图
设r代表图像中像素灰度级，作归一化处理后，r将 被限定在［0, 1］之内。在灰度级中，r=0代表黑， r=1代表白。对于一幅给定的图像来说，每一个 像素取得［0, 1］区间内的灰度级是随机的，也 就是说r是一个随机变量。假定对每一瞬间，它 们是连续的随机变量，那么就可以用概率密度函 数pr(r)来表示原始图像的灰度分布。如果用直角 坐标系的横轴代表灰度级r，用纵轴代表灰度级 的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像 在这个坐标系中作出一条曲线来。这条曲线在概 率论中就是概率密度曲线。
r
三、非线性点运算
非线性点运算的设计思路：基本数学函数的 运用与组合，如三角函数、指数函数、对 数函数、分段函数。
四、点运算与灰度直方图
灰度直方图是目的 点运算是使图像满足预期灰度直方图的过
程与方法
五、点运算的作用
点运算常用于增强图像中感兴趣的那部分的 对比度（对比度增强或对比度扩展）；也 可以根据灰度的不同级把一幅图像划分成 若干部连续的区域，以便进一步确定它们 的边界，画出轮廓线。
3.1.1 信号的采样
其中，Dirac函数定义为：
(t
tk
)
1, t 0, t
tk tk
且
(t t0 )dt 1
3.1.1 信号的采样
R(t )
u (t )
(t )
R(t )
t dR(t)
dt u (t )
t du(t)
dt
t (t)
3.1.1 信号的采样
第三章 图像信号分析基础
3.1 图像信号的数学表示
3.1.1 信号的采样 3.1.2 信号的量化 3.1.3 图像信号的采样 3.1.4 图像信号的量化 3.1.5 灰度直方图
3.1.1 信号的采样
对一时间t为自变量的实数值域内的连续函 数f(t)（信号）以dt为采样周期进行采样， 得到一个数列，即采样值：
3.1.3 图像信号的采样
图像信号是二维空间的信号，是以平面上的点作 为独立变量的函数。
对于黑白或灰度图像可直接采样，彩色图像则可 对其三基色分别采样。
二维图像信号的采样也要遵循采样定理。 图像信号的采样定理：二维采样频率均要大于各
自的最高频率。各维一般采用相同的采样频率。
3.1.4 图像信号的量化
设D(X,Y)表示 平滑地从中心 的高灰度级变 化到边沿的低 灰度级的连续 图像。
3.1.5 灰度直方图（ histogram ）
连续图像的灰度直方图可定义为：
A(F) A(F F) d
h(F) lim
A(F)
F 0
F
dF
3.1.5 灰度直方图
一幅连续图像的灰度直方图是其面积函数 的导数的负值。
离散时间序列、采样数据序列）。 因果系统。
T (t) (t - nT) n-
3.1.1 信号的采样
采样前后的信号之间的关系为
f *(t) f (nT ) (t nT ) n 对一个连续信号进行采样，即让该连续
信号与一个等间隔的脉冲序列共同作用。
任意一个一维序列可以表示成一维单位 冲激的移位加权和。x(nT)为x(t)信号在nT时 刻的值，即权。
二、加法运算
将多幅图像的对应点相加得到新图像。 可以将一幅图像内容加到另一幅图像上，以达到
二次暴光（double exposure）的要求。 可以对同一场景的多幅图像求平均值，以降低加
性（additive）随机噪声。 定理：对M幅加性噪声图像进行平均，可以使图
像的平方信噪比提高M倍。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度直方图
3.2.2 代数运算
一、基本概念 二、加法运算 三、减法运算 四、乘除法运算
一、基本概念
代数运算指对两幅或多幅图像进行点对点的四则 运算得到一幅新图像，其中四则运算一般是两幅 或多幅图像的对应点的灰度值的代数运算。
Cx,y Ax,y Bx,y Cx,y Ax,y Bx,y Cx,y Ax,y Bx,y Cx,y Ax,y Bx,y
几何运算可能会导致图像的断裂或支解等 现象，因此需要灰度插值算法。
二、空间变换算法
几何运算的空间变换算法一般定义如下：
g(x, y) f [(x, y), (x, y)]
其中
(x, y), (x, y)
3.1.5 灰度直方图
直方图是面积函数的导数，在谷底附近，直方 图的值相对较小，意味着面积函数随阈值灰度 级的变化很缓慢，若选择谷底处的灰度作为阈 值，将可以使其对物体边界的影响达到最小， 使测量物体面积的误差最小。
C#代码
Bitmap MyBitmap = new Bitmap(500, 500); int red = MyBitmap.GetPixel(1, 1).R; int green = MyBitmap.GetPixel(1, 1).G; int blue = MyBitmap.GetPixel(1, 1).B;
若将图像看作一个二维随机变量，则面积 函数相当于该随机变量的分布函数，而灰 度直方图相当于其概率密度函数。
随灰度级F的增加，对应的面积A(F)减小。 对于灰度数字图像，任一灰度级F的面积
函数A(F)的值也就是大于等于该灰度值的 像素点的个数。
3.1.5 灰度直方图
1 2 34 5 6 6 4 32 2 1 1 6 64 6 6 3 4 56 6 6 1 4 66 2 3 1 3 64 6 6
曝光过强（过弱）会导致大片白色（黑色），丢失 明暗、对比度、纹理等细节信息，即使采用插值 算法，也难以准确恢复。此时将在直方图的一端 或两端产生尖峰。
3.1.5 灰度直方图
直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或 频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度 值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值 像素所在位置。也就是说，它只包含了该图像中 某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在
任一幅图像，都能惟一地确定出一幅与它对应的 直方图， 但不同的图像，可能有相同的直方图。 也就是说，图像与直方图之间是多对一的映射关 系。
由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到 的， 因此，一幅图像各子区的直方图之和就等 于该图像全图的直方图。
3.1.5 灰度直方图
对于数字图像，灰度直方图可按如下方 法计算
对于二维系统，则有
f *(i, j)
f (mT1, nT2 ) (i mT1, j nT2 )
m n
一般取T1=T2
任意一个二维序列可以表示成二维单位冲激的移位加权和。
3.1.1 信号的采样
二维采样矩阵
3.1.1 信号的采样
对模拟信号采样使它离散化的程度取决于采 样器的采样周期T。
采样周期越小，得到的采样序列就越接近原 来的信号，数据量越大。
采样周期大于某个限制时，不能从采样序列 恢复原来的信号。
明文空间vs密文空间
3.1.1 信号的采样
采样定理：对一个频谱有限（ max ）的连续 信号f(t)进行采样，当采样频率满足
s
2max,s
2
T
条件时，采样序列便能无失真地恢复原来的 连续信号。
显然， 若a 1,b 0,图象像素不发生变化； 若a 1,b 0,图象所有灰度值上移或下移； 若a 1，输出图象对比度增强； 若0 a 1,输出图象对比度减小； 若a 0,暗区域变亮，亮区域变暗，图象求补。
三、非线性点运算
s
s
s
O
r
O
r
O
r
s
s
s
O
r
O
r
O
灰度直方图是灰度级的函数，也就是图像中具有 某个灰度级的像素点的个数，其函数图像的横坐 标是灰度级，纵坐标为该灰度级出现的频率。
对于连续图像，定义阈值面积函数A(F)为具有灰 度级F的所有轮廓线所包围的面积。对于数字图 像，任一灰度级F的面积函数A(F)即大于或等于 灰度值F的像素点的个数。
幅度分布密度函数h(p)：幅度（亮度）为 p的像素点的个数。
h(p)通常是非均匀分布的，所以通常取不 等间隔的分段，对于较常出现的幅度值范 围，建议把量化间隔取得小一些。
3.1.5 灰度直方图（ histogram ）
对于灰度图象，从最暗（黑）到最亮（白）通常 被分为256个灰度级别。
除法运算可用于多光谱遥感运算的比值计 算。
3.2.3 几何运算
一、基本概念 二、空间变换算法 三、灰度插值算法
一、基本概念
图像点运算和代数运算不改变图像中各部 分的几何关系。
图像几何运算会改变各部分的空间位置关 系。
图像几何运算的结果一般表现为场景中的 物体在图像内的移动，如转动、扭曲、倾 斜、拉伸、缩放、错切等等。
3.1.2 信号的量化
连续信号的采样常用A/D转换实现。 A/D转换器包括采样器和量化器两部分组成。 量化器的作用是将离散的模拟量x(n)按照一定的
规则转换为数字量x’(n)，即把采样信号的幅值范 围按照一定的精度要求分成若干（一般为偶数） 段[pk,pk+1]，使落入某段中的采样值使用单一的 幅值来表示。 从模拟量到数字量的转换误差的大小由量化的精 度要求所决定。 若量采化样值值 。f(nT)落在[pk,pk+1]，常取(pk+pk+1)/2为其
3.1.5 灰度直方图
Pr(r)
Pr(r)
0
1r
0
(a)
1r (b)
例图：图像灰度分布概率密度函数
3.1.5 灰度直方图
从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布 特性。例如，从上图中(a)和(b)两个灰度分布概 率密度函数中可以看出： (a)的大多数像素灰度 值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗，一 般在摄影过程中曝光偏弱就会造成这种结果；(b) 图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像(b)将 偏亮，一般在摄影中曝光偏强将导致这种结果。 当然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均 不理想。
3.2 图像运算
3.2.1、点运算 3.2.2、代数运算 3.2.3、几何运算
3.2.1 点运算
一、基本概念 二、线性点运算 三、非线性点运算 四、点运算与灰度直方图的关系 五、点运算的作用
一、 基本概念
点运算（point operation）可简单理解为图像像素点 的运算，即按照需要改变像素灰度值的运算，其输入 和输出均为一幅数字图像，且输入像素和输出像素一 一对应，不改变图像的空间关系