数字信号处理 第三章05

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数字信号处理教程课后习题及答案

数字信号处理教程课后习题及答案
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析:已知边界条件,如果没有限定序列类型(例如因果序列、反因果序列等), 则递推求解必须向两个方向进行(n ≥ 0 及 n < 0)。
解 : (1) y1 (0) = 0 时, (a) 设 x1 (n) = δ (n) ,
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推,
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n

[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解:(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示,因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =

数字信号处理 第三章

数字信号处理 第三章
j
:相位函数(phase function)或相位谱(phase spectrum)
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =

ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0

j K j 2
例:理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件(convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛,则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛(uniform convergence) 令X K e j
xne ,一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )

数字信号处理第三章

数字信号处理第三章

FS:~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
(周期为T0
,Ω0
2
T0

对上式进行抽样,得:
(抽样间隔为T,s
2π ) T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注:DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
,并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ,因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数, x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
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500
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2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series (DFS)

数字信号处理高西全课后答案ppt

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线性时不变系统是数字信号处理中最基础的系统,具有线性、时不变和因果性等重要特性。
详细描述
线性时不变系统是指系统的输入和输出之间存在线性关系,并且系统的特性不随时间变化而变化。这种系统的行为可以用线性常系数微分方程来描述,同时它的输出不依赖于输入的时间函数,只依赖于输入的初始状态。
线性时不变系统
VS
频域分析可以揭示信号的频率成分和频率域中的每个成分与原始信号之间的关系。通过在频域中对信号进行分析和处理,可以实现信号的滤波、去噪、压缩和恢复等功能。
频域分析在信号处理、图像处理、通信系统等领域得到广泛应用。例如,在图像处理中,频域分析可以用于图像滤波、边缘检测等任务;在通信系统中,频域分析可用于调制解调、频谱分析等。
详细描述
04
第四章 傅里叶变换与频域分析
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换到频域的方法,通过将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要性质,包括线性、对称性、可逆性、Parseval等式等。这变换的定义与性质
离散时间信号
定义
如果信号仅在离散时间点上有定义,则该信号称为离散时间信号。
例子
数字音频、图像数据等。
数学表示方法
通常使用序列形式来表示,例如y[n] = sin(n)。
01
03
02
连续时间信号的数学表示方法
离散时间信号的数学表示方法
其他表示方法
信号的数学表示方法
03
第三章 系统分析基础
总结词
快速傅里叶变换(FFT)算法的基本思想
根据算法实现方式的不同,可以分为按时间抽取(DIT)和按频率抽取(DFT)两种FFT算法。

数字信号处理第三版习题答案

数字信号处理第三版习题答案

数字信号处理第三版习题答案数字信号处理(Digital Signal Processing,简称DSP)是一门研究如何对数字信号进行处理和分析的学科。

它在现代通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

为了更好地理解和掌握数字信号处理的知识,许多人选择了《数字信号处理(第三版)》这本经典教材。

本文将为大家提供一些《数字信号处理(第三版)》习题的答案,以帮助读者更好地学习和巩固所学知识。

第一章:离散时间信号和系统1.1 习题答案:a) 离散时间信号是在离散时间点上取值的信号,而连续时间信号是在连续时间上取值的信号。

b) 离散时间系统是对离散时间信号进行处理的系统,而连续时间系统是对连续时间信号进行处理的系统。

c) 离散时间信号可以通过采样连续时间信号得到。

1.2 习题答案:a) 线性系统满足叠加性和齐次性。

b) 时不变系统的输出只与输入的时间延迟有关,与输入信号的具体形式无关。

c) 因果系统的输出只与当前和过去的输入有关,与未来的输入无关。

第二章:离散时间信号的时域分析2.1 习题答案:a) 离散时间信号的能量是信号幅值的平方和,而功率是信号幅值的平方的平均值。

b) 离散时间信号的能量和功率可以通过计算信号的幅值序列的平方和和平方的平均值得到。

2.2 习题答案:a) 离散时间信号的自相关函数是信号与其自身经过不同时间延迟的乘积的和。

b) 离散时间信号的自相关函数可以用于确定信号的周期性和频率成分。

第三章:离散时间信号的频域分析3.1 习题答案:a) 离散时间信号的频谱是信号在频率域上的表示,可以通过对信号进行傅里叶变换得到。

b) 离散时间信号的频谱可以用于分析信号的频率成分和频谱特性。

3.2 习题答案:a) 离散时间信号的频谱具有周期性,其周期等于采样频率。

b) 离散时间信号的频谱可以通过对信号进行离散傅里叶变换得到。

第四章:离散时间系统的频域分析4.1 习题答案:a) 离散时间系统的频率响应是系统在不同频率下的输出与输入之比。

数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章

数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章

第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列(xn 是周期为4的周期性序列。

请确定其傅里叶级数的系数(X k。

解:(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.2 (1设(xn 为实周期序列,证明(x n 的傅里叶级数(X k 是共轭对称的,即*((X k X k =− 。

(2证明当(xn 为实偶函数时,(X k 也是实偶函数。

证明:(1 111**((([(]((N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X−−=−−−==−=−===∑∑∑ k(2因(xn 为实函数,故由(1知有 *((Xk X k =− 或*((X k X k −= 又因(xn 为偶函数,即((x n x n =− ,所以有(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号(xn 。

利用DFS 的特性及3.2题的结果,不直接计算其傅里叶级数的系数(Xk ,确定以下式子是否正确。

(1,对于所有的k; ((10Xk X k =+ (2((Xk X k =− ,对于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k eπ,对所有的k是实函数。

解:(1正确。

因为(x n 一个周期为N =10的周期序列,故(X k 也是一个周期为N=10的周期序列。

(2不正确。

因为(xn 一个实数周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共轭对称的,即应有*((Xk X = k −,这里(X k 不一定是实数序列。

(3正确。

因为(xn (0n ==在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等,所以有 10(0N n Xx −=∑ (4不正确。

第三章Z变换(数字信号处理)

第三章Z变换(数字信号处理)

n2
X (z) x(n)zn
n
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列, 在整个Z平面收敛( z=∞点 不收敛)。 第一项根据前式的论述,当
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成: x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列, 无须计算n≥0情况, 当n≥0时, 围线积分c内没有极点, 因此x(n)=0。 n<0 时, c内只有一个极点z=0, 且是n阶极点, 改求c外极 点留数之和
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域

(完整word版)数字信号处理实验05

(完整word版)数字信号处理实验05

实验五2019年12月5日一、实验目的1。

加深对数字滤波器分类与结构的了解。

2.掌握数字滤波器各种结构相互间的转换方法与MATLAB子函数.3。

加深对模拟滤波器基本类型、特点和主要设计指标的了解。

4.掌握模拟低通滤波器原型的设计方法与相关MATLAB子函数。

5。

理解模拟频域变换法,掌握使用模拟低通滤波器原型进行频率变换及设计低通、高通、带通、带阻滤波器的方法。

6。

了解模拟频率变换的MATLAB子函数及其使用方法.7。

理解脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的基本方法,掌握使用模拟滤波器原型进行脉冲响应变换的方法。

8.了解脉冲响应变换的MATLAB子函数及其使用方法.二、实验用到的MATLAB函数1。

tf2latc 将数字滤波器由直接型转换为格型结构2。

latc2tf 将数字滤波器由格型结构转换为直接型3.buttord 确定巴特沃兹滤波器的阶数和3dB截止频率4.cheb1ord 确定切比雪夫I型滤波器的阶数和3dB截止频率5。

cheb2ord 确定切比雪夫II型滤波器的阶数和3dB截止频率6。

ellipord 确定椭圆滤波器的阶数和3dB截止频率7。

buttap 巴特沃兹模拟低通滤波器原型8。

cheb1ap 切比雪夫I型模拟低通滤波器原型9.cheb2ap 切比雪夫II模拟低通滤波器原型10.ellipap 椭圆模拟低通滤波器原型11。

poly 求某向量制定根所对应的特征多项式12。

poly2str 以习惯方式显示多项式13.pzmap 显示连续系统的零极点分布图14.lp2lp 低通到低通模拟滤波器转换15.lp2hp 低通到高通模拟滤波器转换16.lp2bp 低通到待遇模拟滤波器转换17。

lp2bs 低通到带阻模拟滤波器转换18.set 设置图形对象属性19。

impinvar 用脉冲响应不变法实现模拟到数字的滤波器转换三、实验原理1。

数字滤波器的分类离散LSI系统对信号的响应过程实际上就是对信号进行滤波的过程.因此,离散LSI系统又称为数字滤波器。

数字信号处理课后第三章习题答案

数字信号处理课后第三章习题答案

1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
(8) 解法一
直接计算:
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)

n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第3章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第3章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第3章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
(10) 解法一
X (k )

n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难, 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n), 所

x(n)-x((n-1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT, 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0

数字信号处理第三章习题作业答案

数字信号处理第三章习题作业答案

1 e 当 k 2, 4, 6,... 时,X 1 (k ) 0

序列3:
x3 (n) x1 (n) x1 (n 4)
根据序列移位性质可知
X 3 (k ) X1 ( k ) e j k X1 ( k ) (1 e j k )
即 x(n) 是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
(3)由于是8点周期序列,其DFS:
nk X (k ) x(n )WN x (n )e n 0 n 0 N 1 7 j 2 nk 8
序列1:
X 1 (k ) e
n 0
3
y 解: 序列 x(n) 的点数为 N1 6 , (n) 的点数为 N 2 15, 故 x(n) y (n) 的点数应为
N N1 N 2 1 20
是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列 19( N 1) 0
15 ( L)
又 f (n) 为 x(n) 与 y (n) 的15点的圆周卷积,即L=15。
第三章习题讲解
n 1, 0 n 4 h(n) R4 (n 2) 3.设 x(n) 其他n 0, h 令 x(n) x((n))6 , ( n) h((n)) 6 ,
试求 x(n) 与 h (n) 的周期卷积并作图。
解:
y ( n ) x ( m )h ( n m )
4 ( L N 1)
15 ( L)
34 ( L N 1)
混叠点数为N-L=20-15=5 n 0 ~ n 4( N L 1) 故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y (n)

数字信号处理05-习题3-FIR滤波器设计_82

数字信号处理05-习题3-FIR滤波器设计_82

主讲人:李艳凤电子信息工程学院数 字 信 号 处 理Digital Signal Processing试用矩形窗函数法设计线性相位FIR 低通数字滤波器,其在W ∈[0,2p )内的幅度响应逼近c cj d 0 2π(e ) 1 H WW W W ≤<-⎧=⎨⎩其他(1) 若选用I 型线性相位系统,试确定h [k ];(2) 若选用II 型线性相位系统,试确定h [k ]。

解:I 型线性相位系统的幅度函数A (W )关于W =p 偶对称c d c cc10()02π12π2πW W W W W W W W ≤<⎧⎪=≤<-⎨⎪-≤<⎩A d ()2MϕW W=-c cj d 0 2π(e ) 1 H WW W W ≤<-⎧=⎨⎩其他Ωd ()W A 02p Ωc 2p-Ωc 1pd 2πj ()j d d01[]()e e d 2πk h k A ϕW WW W =⎰解: 根据A d (W )和ϕd (W )构建H d (e j W ),通过IDTFT 求解h d [k ]cc Sa[(0.5)]k M W W =-pcc2πj0.5j j0.5j 02π1{e e d e e d }2πM k M k ΩW W W W W W W ---=⋅+⋅⎰⎰c c j(0.5)j(0.5)(2π)j(0.5)2πd 1[][e 1e e ]2πj(0.5)k M k M k M h k k M W W ----=-+--c c j(0.5)j(0.5)j πj π1[e 1e ]2πj(e e 0.5)kM k M M kM k k M W W -----=-+-⋅-M 为偶数当k ≠0.5M 时解:cd c []Sa[(0.5)]h k k M W W =-p 加窗截短h d [k ],得到h [k ]= h d [k ]w N [k ],N 为奇数cc2πj0.5j j0.5j d 02π1[]{e e d e e d }2πM k M k h k W W W W WW W W ---=⋅+⋅⎰⎰当k ≠0.5M 时 当k=0.5M 时c c2πj0.5j0.5j0.5j0.5d 02π1[]{e e d e e d }2πM M M M h k W W W W W W W W ---=⋅+⋅⎰⎰c πW =cd c []Sa[(0.5)]h k k M W W =-pcc2π02π1{1d 1d }2πW W W W -=⋅+⋅⎰⎰解:II型线性相位系统的幅度函数A (W )关于W =p 奇对称 c d c cc10()02π12π2πW W W W W W W W --≤<⎧⎪=≤<≤<-⎨⎪⎩A d ()2MϕW W=-Ωd ()W A 02p Ωc 2p-Ωc 1-1p c cj d 0 2π(e ) 1 H WW W W ≤<-⎧=⎨⎩其他d 2πj ()j d d01[]()e e d 2πk h k A ϕW WW W =⎰解: 根据A d (W )和ϕd (W )构建H d (e j W ),通过IDTFT 求解h d [k ]cc2πj0.5j j0.5j 02π11{e e d e e d }2πΩM Ωk ΩM Ωk ΩΩΩΩ---=⋅-⋅+⋅⎰⎰加窗截短h d [k ],得到h [k ]= h d [k ]w N [k ],N 为偶数cd c []Sa[(0.5)]W W =-ph k k M c c j(0.5)j(0.5)(2π)j(0.5)2π1[e 1e e ]2πj(0.5)k M Ωk M Ωk M k M ----=--+-c c j(0.5)j(0.5)j πj π1[e 1e ]2πj(e e 0.5)kM kM k M Ωk M Ωk M -----=--+⋅-M 为奇数选用I 型线性相位系统选用II 型线性相位系统cd c []Sa[(0.5)]W W =-ph k k M cd c []Sa[(0.5)]W W =-ph k k M c cj d 0 2π(e ) 1 H WW W W ≤<-⎧=⎨⎩其他试用矩形窗函数法设计线性相位FIR 低通数字滤波器,其在W ∈[0,2p )内的幅度响应逼近c d c cc10()02π12π2πW W W W W W W W ≤<⎧⎪=≤<-⎨⎪-≤<⎩A c d c cc10()02π12π2πW W W W W W W W --≤<⎧⎪=≤<≤<-⎨⎪⎩A I 型:M =62 II 型:M =63谢谢本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累,来源于多种媒体及同事和同行的交流,难以一一注明出处,特此说明并表示感谢!。

数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答

数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答

数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等,实现信号的变换。

1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样,可以得到一个离散时间信号。

时域抽样的原理是,将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样,每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。

时域抽样可以通过以下步骤进行实现:1.假设连续时间信号为x(t),采样频率为Fs(采样频率是指每秒采样的次数),采样间隔为Ts(采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔)。

2.根据采样频率和采样间隔,计算出采样点数N:N =Fs * T,其中T为采样时长。

为Ts。

4.在每段的中点位置进行采样,得到N个采样点。

5.将N个采样点按照时域顺序排列,即可得到离散时间信号。

1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样,可以得到一个离散频谱信号。

频域抽样的原理是,将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样,每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。

频域抽样可以通过以下步骤进行实现:1.假设连续频谱信号为X(f),采样频率为Fs(采样频率是指每秒采样的次数),采样间隔为Δf(采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔)。

2.根据采样频率和采样间隔,计算出采样点数N:N =Fs / Δf,其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。

为Δf。

4.在每段的中点位置进行采样,得到N个采样频率点。

5.将N个采样频率点按照频域顺序排列,即可得到离散频谱信号。

1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本,使得信号的长度变长。

零填充的原理是,通过增加信号的长度,可以在时域和频域上提高信号的分辨率,从而更精确地观察信号的特征。

零填充可以通过以下步骤进行实现:1.假设原始信号为x(n),长度为N。

2.计算需要填充的长度L,L > 0。

数字信号处理第三章习题解答

数字信号处理第三章习题解答
(3)最少采样点数 ;
(4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N值。
解:
(1)已知
(2)
(3)
(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变,应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理,要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法,就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点),但相邻两段必须重叠V个点,然后计算各段与 的L点(本题取L=128)循环卷积,得到输出序列 ,m表示第m段计算输出。最后,从 中取出B个,使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列,长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中, , 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时,应与傅里叶变换的性质对照学习,要搞清两者的主要区别。我们知道,傅里叶变换将整个时域作为变换区间,所以在其性质中,对称性以原点为对称点,序列的移动范围无任何限制。
然而,DFT是对有限长序列定义的一种变换,也就是说,DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同,由于 及 区间在DFT变换区间以外,所以讨论对称性时,不能再以原点作为对称点,而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列,用 和 分别表示有限长(或圆周)共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性,周期为 。

数字信号处理 Chapter05答案

数字信号处理 Chapter05答案

2011/4/10
3
Notice: Skipped Sections

5.7 5.8 (all) 5.9 (all) 5.10 5.11
2011/4/10
4
5.1
Introduction
2011/4/10
5
5.1 Introduction
Digital processing of a real-world continuous-time signal involves the following basic steps:
The multiplication operation yields an impulse train
Note: Analog Filters are very important for digital systems. Since both the anti-aliasing filter and the reconstruction filter are analog lowpass filters, we review first the theory behind the design of such filters Also, the most widely used IIR digital filter design method is based on the conversion of an analog lowpass prototype
g[n ] = ga (nT ), -¥ <n < ¥
(5.1)
With T being the sampling period. The reciprocal of T is called the sampling frequency , i.e., 1⁄ . It is known that the frequency-domain of the analog signal is given by its FT:

数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
返回
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DFT和DFS之间的关系:
周期延拓
取主值
有限长序列
周期序列
主值区序列
有限长序列 x(n) n 0,1, 2, M 1

周期序列 xN (n) x(n mN ) x((n))N m 0 n0 N 1 n mN n0 ((n))N n0
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换(DFT)实现了信号首次在频域 表示的离散化,使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值,是本课程 学习的一大重点。
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2பைடு நூலகம்3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o

2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
回到本节
变量

、f k
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域

数字信号处理第三章习题答案

数字信号处理第三章习题答案
1 最小记录时间 ; 2 最大取样间隔 ; 3 最少采样点数 ; (4)在频带宽度不变的情况下, 将频率分辨率提高一倍的N值。
解 (1) 已知F=50Hz (2) (3)
(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变, 应该使记录时间 扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高1倍(F变为原来的1/2).



(a)、(b)、(c)所示。
分别如题3解图
x1(n) (a)
x2(n) (b)
y (n)
(a)
(b)
(c) (c)
5.如果X(k)=DFT[ x(n)], 证明DFT的初值定 理 证明 由IDFT定义式
可知
14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0, n<0, 8≤n y(n)=0, n<0, 20 ≤ n
对每个序列作20点DFT, 即
X (k)=DFT [x(n)],
Y(k)=DFT [y(n)],
如果
F(k)=X(k)▪Y(k),
k=0,1,…,19 k=0,1,…,19 k=0,1,…,19
f(n)=IDFT [F(k)], k=0,1,…,19
试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)?为什么?
解 如前所述, 记
,而
fl(n)长度为27,f(n)长度为20.前面已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上, 才满足f(n)=fl(n)7
21-47
41-67
1-7
21-27
8-20
7-19 当从0开始时候
15.用微处理器对实数序列作谱分析, 要求谱分辨率F≤50Hz, 信号最高频率为1kHz, 试确定以下各参数;
教材第三章习题解答
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∀x(n), 任一非周期序列(绝对可 和) ∵频域取样→时域周期化 ∴若 x(n) 为无限长序列, 则不可能由 X (k ) → x(n) 问题: 若有x(n), n = 0, 1, …,M − 1 如何选取N才能使 X ( k ) → x ( n)
0 ≤ k ≤ N −1 0 ≤ n ≤ M −1
频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT, 试确定频谱抽样之间的频率间隔。 解: 由下图
T
t
1 NT 1T
f 2π f = Ω
NT
1 8k 频域抽样间隔f 0 = = = 15.6 Hz NT 512
思考2:
课本P101上说:“信号的频率分辨率F和最小记录长度 tp成反比”。 F=1/ tp (3-110) 有 同学 问:如 果示 波器 采样 时间持续 1s , 以 100Ms/s (每秒采样 100M次 ) 的采样速 率对信 号 采样,最 小 记录 长度tp =1s,根据公式(3-110),那么无论怎么设置采 样率,频率分辨率都是1Hz。若需要对信号进行实时高 精度测频,如何实现。
频率取样后,信息有没有损失?能否用序列频率特 性取样值X(k)恢复出原序列x(n)?
§3-6 频域采样
~ △ 令 X (k ) = X ((k ))N 1 N −1 ~ −kn ~ ∀n x ′(n) = ∑ X (k )WN N k =0 1 N −1 −kn = ∑ X (k )WN N k =0 1 N −1 M −1 km −kn = ∑∑ x(m)WN WN N k =0 m=0 M1 1 N1 (mn)k x(m) WN N k0 m0
W ( e jω ) W ( e j0 )
W ( e j0 )
12 / 30
§3-7 用DFT对连续时间信号逼近的问题
xa(t) xa(nT) x(n) X(k) Xa(e )
j
DTFT
抽样
截取
DFT
2 k N
Xa (e ) X(e )
j j
X(e )

2π ω= k N
P118 清华
§3-7 用DFT对连续时间信号逼近的问题
2π N ≥ M ∴只有当 时(否则 ∆ω = 太大,导致混叠), N ~ x ′(n) → ~ x ′(n)RN (n) → x(n), 0 ≤ n ≤ M −1
既然 X ( k ) → x ( n)
0 ≤ k ≤ N −1 0 ≤ n ≤ N −1
∀z, X ( z) = ?
N点有限长序列x(n),可从单位圆X(z)的N个取样值X(k)恢复, 因而这N个X(k)也应该能完全表达整个X(z)函数及频响X(ejw)。 DFT的综合就是z变换。
21 / 30
§3-7 用DFT对连续时间信号逼近的问题
二、栅栏效应
X (k ) ≈ X a (e )

2π ω = k ,0≤k ≤ N −1 N
办法:对 x(n) 通过补零加长。
注意:补零不能提高分辨力!
延长序列的DFT (不是2的整数次幂) 序列x=sin(0.25*pi*n)+ sin(0.35*pi*n) ; n=0:15; 补零到64点,73点,93点,作DFT运算
( 2 ) x(t ) = cos ( 400π t )
§3-8 加权技术与窗函数
一、加权的作用
P105
x(n) →w(n)x(n) 来自DFT → 抑制频谱泄漏0 ≤ n ≤ N −1
§3-8 加权技术与窗函数
二、常用的窗函数
幅度响应
Wdb (ω) = 20log10 w( n) ↔W ( e jω )
历年考试真题
设有限长序列x(n), 0 ≤ n ≤ 12,令X (e jω )表示x(n)的离散时间 傅里叶变换DTFT,如果希望通过计算一个M点DFT来求出 ω = π / 11处X (e jω )的值,试确定最小可能的正整数M,并给 出一种利用M点DFT求出ω = π / 11处X (e jω )的值的方法。
比较:时域取样定理 频域取样公式
§3-7 用DFT对连续时间信号逼近的问题
若信号持续时间为有限长,则其频谱无限宽; 若信号的频谱为有限宽,则其持续时间无限长。 严格来说,持续时间有限的带限信号是不存在的。 为满足DFT的变换条件,实际上对频谱很宽的信号,为防止 时域取样后产生频谱混叠失真,可用前置滤波器滤除幅度较 小的高频分量,使连续时间信号的带宽小于折叠频率。 对于持续时间很长的信号,取样点数太多以致无法存储和计 算,只好截取为有限长进行DFT。 所以,用DFT对连续时间信号进行傅里叶分析必然是近似的, 近似的准确程度严格的说是被分析波形的一个函数。 两个变换之间的差异是因为DFT需要对连续时间信号取样和 截断为有限列长而产生。
X ( z) → X (e ) = X (k ) = X (e jω )
△ ω=

n=−∞
∑ x(n)e
+∞
− jωn
2π k ,k =0,1,⋅⋅⋅, N −1 N
X (k ) ≠ DFT [x(n)] 为什 注意: 么? ? X (k ),0 ≤ k ≤ N − 1 → x ( n) 问题:
思考1:
课本P100上说:“信号的持续时间为有限长,则其 频谱无限宽;若信号的频谱为有限宽,则其持续时 间无限长。” 人唱一首歌,持续时间有限长,是否频谱无限宽? 感觉好像应该有限宽。试解释这一现象。
10 / 30
数字信号处理系统的典型框图
解释:人的喉咙相当于低通滤波 器。歌曲的频谱在人头脑中“酝 酿”的时候“持续时间为有限长, 其频谱无限宽”;但经过人喉咙 唱出来的时候“其频谱为有限宽, 且其持续时间无限长”。
20 / 30
解释:示波器内部往往每一通道有一定深度的存储 FIFO,即示波器可以以100Ms/s 持续采集FIFO空间 深度的数据。也即N是常数。 tp =1/ F= N/ fs 提高采样率fs , tp增加, F减小。 若需要对信号进行高精度测频,分辨率0.01Hz,信 号最高频率100Hz,根据采样定理,先选择合适采样 率,如400Hz/s,根据上述公式,N>10k, tp =100s。 如何实时处理,这是个难题。我们的经验,可以先 预估信号频点,采用DFT,在信号频点附近计算若 干点的DFT。
N −1
(
)
=1
X ( z) 的内插公式
(3-101) (3-102)
= ∑ X (k )φk ( z)
k =0
N −1
在已知X(k)时,可根据内插公式求得任意z点的X(z)值,因此X(z) 的N个取样点的X(k)值,包含了z变换的全部信息。
§3-6 频域采样
类似的,有: X (e jω ) =
∑ X (k)φ (z)
历年考试真题
设有限长序列x(n), 0 ≤ n ≤ 12,令X (e jω )表示x(n)的离散时间 傅里叶变换DTFT,如果希望通过计算一个M点DFT来求出 ω = π / 11处X (e jω )的值,试确定最小可能的正整数M,并给 出一种利用M点DFT求出ω = π / 11处X (e jω )的值的方法。 0
F
tp T NT
T
t nT n
1 NT 1T 2π NT 2π T 2π N 2π
1
fa 2π f a = Ω Ω ω = ΩT 2π ω= k N k ω
NT
1
N
N
§3-7 用DFT对连续时间信号逼近的问题
∀F
∵DFT的 F = 频率分辨率
2π 1 ∆ω ∆Ω 1 → ∆f = , ∆Ω = , ∆fa = = Q∆ω = N N T 2π NT
数字信号处理
周治国
2016.9
第三章 离散傅里叶变换
§3-6 频域采样
问题: 采用DFT实现了频域取样,对于任意一个频率特性能否 用频率取样的方法去逼近? 研究: 1,限制? 2,经过频率取样后有什么误差? 3,如何消除误差? 4,取样后所获得的频率特性怎样?
§3-6 频域采样
一、取样点数的限制
一、混叠现象
消除办法:
fs ≥ 2 fh
取样 频率 信号最 高频率
取样 周期
1 T≤ 2 fh
fs 1 F= = NT N
频率分量 间的增量 (频率 分辨率)
1 t p = = NT F
最小记 录长度
实际中通常:
f s = (3 ~ 4) f h
2 fh N≥ F
P71:在自变量为t和f的情况下,在一个域中对函数进行取 样,必是另一个域中函数的周期。 关键字:模拟域谱间距;数字域谱间距
解:
(1) x(t ) = cos ( 400π t )
Fs = 0.8KHz 400π n πn x(n) = cos ( 400π nT ) = cos = cos F 2 s 2π n 2π n j ( 256−64 ) j 64 1 jπ n 2 − j π n 2 1 256 256 = +e = e +e e , n = 0 ~ 255 2 2 DFT { x(n)} = 128 [δ (k − 64) + δ (k − 192) ] Fs = 0.4 KHz 400π n x(n) = cos ( 400π nT ) = cos == cos(π n) Fs DFT { x(n)} = 256δ (k − 128)
M −1 m=0
1 N1 (mn)k WN N k0 1, m n lN 0, 其他 ((n lN) m)
= ∑ x(m)δ ((n + lN) − m) ∀l, n = ∑ x(n + lN) → x(n) 的周期延拓
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