数字信号处理第三章习题答案
第三章---数字信号处理课后答案刘顺兰版
第三章 部分习题解答（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）3.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs ，每次复加需20μs ，今用来计算N=1024点的)]([n x DFT ，问用直接运算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间？ 解： ∑−=====101010,21024,)()(N n nk N M N Wn x k X直接运算所需的总时间为s N N s N T d μμ20)1(1002×−+×=秒分62126201023102410010242=≈××+×=s s s μμFFT 运算所需总时间为 s NM s M N T F μμ201002×+×=s s s 717.02010102410010102421=××+×××=μμ3.2在基-2FFT 算法中，最后一级或开始一级运算的系数10==N p N W W ，即可以不做乘法运算。
问（1）乘法可节省多少次，所占百分比为多少？ 解： 可节省2N 次，所占百分比为 %100log 1%100log 2222×=×N N N N 如 8=N 则为%3.33%10031≈×3.11以20kHz 的采样率对最高频率10kHz 的带限信号()a x t 采样，然后计算)(n x 的1000N =个采样点的DFT ，即210()()N j nk N n X k x n eπ−−==∑，1000N =.（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?（2）在()X k 中，200k =对应的模拟频率是多少?（3）在()X k 中，700k =对应的模拟频率是多少?解:（1）频谱采样点之间的频率间隔为:20000201000s f f Hz N Δ=== （2）200k =对应的模拟频率为 20000200400041000s k f f k Hz kHz N ==×== （3）因700k =大于N/2,故其对应的模拟频率为 20000()300600061000s k f f N k Hz kHz N =−=×== 3.12 对一个连续时间信号)(t x α采样1s 得到一个4096个采样点的序列：(1) 若采样后没有发生频谱混叠，)(t x α的最高频率是多少？(2) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT 系数之间的频率间隔是多少Hz?(3) 假定我们仅仅对Hz f Hz 300200≤≤频率范围所对应的DFT 采样点感兴趣，若直接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT 则需要多少次？ 解：（1）由题意可知：4096s f Hz =，故)(t x α的最高频率/22048h s f f Hz == （2）409614096s f f Hz N Δ=== （3）直接用DFT 计算，所需要的复乘次数为(3002001)1014096413696d M N =−+=×=若用按时间抽取FFT 则需要的复乘次数为10log 204812245762F N M N ==×= 3.17若给定两个实序列)(1n x 、)(2n x ，令：)()()(21n jx n x n g +=，)(kG 为其傅里叶变换，可以利用快速傅里叶变换来实现快速运算，试利用傅里叶变换的性质求出用)(k G 表示的)(1n x 、)(2n x 的离散傅里叶变换)(1k X 、)(2k X 。
数字信号处理 Chapter03答案
11
3.2 Properties of the z-Transform
Ex. ( linearity) x(n) = [3(2n) – 4(3n)] u(n) 3 4 – 1 – 2z –1 1 – 3z –1
X(z) =
ROC: |z| > 3
12
3.2 Properties of the z-Transform
z = re
jθ
=
n =−∞
∑ x ( n )r
−n
∞
− n − jθ n
e
X ( z) ≤
n =−∞
∞
∑
−1
x (n) r
+∑
n=0
∞
∞
x ( n) rn
x (n) rn
≤ ∑ x ( −n ) r + ∑
n n =1 n =0
7
3.1 The z-Transform
3.1.1 The Direct z-Transform
3.2 Properties of the z-Transform
X(z) = ∑ x(n) z – n
14
3.2 Properties of the z-Transform
X(z) = ∑ x(n) z – n
15
X(z) = ∑ x(n) z – n
16
3.3 Rational z-Transforms
1 2 −1 1 2 2
X ( z ) = 1+ z + (
X ( z) = 1 1− z
1 2 −1
)
z + .... + (
−2
1 n 2
)
z −n
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
k = 0, 1, ⋯, N − 1
（8） 解法一 直接计算：
1 jω 0 n x8 (n) = sin(ω0 n) ⋅ RN (n) = [e − e − jω 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 ( n) =
∑
n =0
N −1 kn x8 (n)WN
1 = [ e jω 0 n − e − jω 0 n ] e 2 j n =0
1− e
j(ω0 −
2π N k) 2π N −1 sin (ω0 − j(ω0 − k )( ) N 2 N 2 =e 2π sin (ω0 − k ) / 2 N
k = 0, 1, ⋯, N − 1
或
X 7 (k ) =
1 − e jω0 N
2π j(ω0 − k ) N 1− e
N −1
N −1
由于 所以
∑
n =0
N −1
n WN ( m + k )
N = 0
m= N −k m ≠ N − k , 0≤ m ≤ N − 1
DFT［X(n)］=Nx(N－k)
N −1 k =0
k=0, 1, …, N－1
5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
证: 由IDFT定义式
2π mn +θ ) N 2π mn +θ ) N ]
1 = [e 2j
j(
−e
− j(
2π = sin mn + θ N
n=0, 1, …, N－1
3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：
1 0 ≤ n ≤ 4 x1 (n) = 0 5 ≤ n ≤ 9
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
3.1 图 P3.1 所示的序列 x(n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X (k) 。
∑ ∑ ∑ 解： X (k)
=
N −1
x(n)WNnk
=
N −1
x(−n)WNnk
=
−( N −1)
x(n)WN−nk
=
X (−k)
解：图 P3.5_1 所示的是计算这两个序列的周期卷积 x3 (n) 的过程，可以看出，x3 (n) 是 x1 (n) 延时 1 的结果， 即 x3(n) = x1(n −1) 。
3.6 计算下列序列的N点DFT：
(1) x(n) = δ (n)
(2) x(n) = δ [(n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N
总计需要时间： (105 + 21)s = 126s
用 FFT 计算 DFT：
复数乘法：
N 2
log2
N
=
5120次, 5120 ×100μ s
≈
0.512s
复数加法： N log2 N = 10240次,10240× 20μs ≈ 0.2048s
总计需要时间： (0.512 + 0.2048)s = 0.7168s
（2） x2 (n) = x ⎡⎣(2 − n)⎤⎦4 R4 (n)
解： x1(n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x(n) 。 （1）绘出 x(n) 与 x(n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x(n) 与 x(n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x(n) 与 x(n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列(xn 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数(X k。
解:(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.2 (1设(xn 为实周期序列,证明(x n 的傅里叶级数(X k 是共轭对称的,即*((X k X k =− 。
(2证明当(xn 为实偶函数时,(X k 也是实偶函数。
证明:(1 111**((([(]((N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X−−=−−−==−=−===∑∑∑ k(2因(xn 为实函数,故由(1知有 *((Xk X k =− 或*((X k X k −= 又因(xn 为偶函数,即((x n x n =− ,所以有(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号(xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果,不直接计算其傅里叶级数的系数(Xk ,确定以下式子是否正确。
(1,对于所有的k; ((10Xk X k =+ (2((Xk X k =− ,对于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k eπ,对所有的k是实函数。
解:(1正确。
因为(x n 一个周期为N =10的周期序列,故(X k 也是一个周期为N=10的周期序列。
(2不正确。
因为(xn 一个实数周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共轭对称的,即应有*((Xk X = k −,这里(X k 不一定是实数序列。
(3正确。
因为(xn (0n ==在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等,所以有 10(0N n Xx −=∑ (4不正确。
数字信号处理课后第三章习题答案
1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)
n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )
n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0
数字信号处理》课后作业参考答案
第3章 离散时间信号与系统时域分析3．1画出下列序列的波形（2）1()0.5(1)n x n u n -=- n=0:8; x=(1/2).^n;n1=n+1; stem(n1,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');(3) ()0.5()nx n u n =-（）n=0:8; x=(-1/2).^n;stem(n,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');3.8 已知1,020,36(),2,780,..n n x n n other n≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪⎩,14()0..n n h n other n≤≤⎧=⎨⎩，求卷积()()*()y n x n h n =并用Matlab 检查结果。
解：竖式乘法计算线性卷积： 1 1 1 0 0 0 0 2 2）01 2 3 4）14 4 4 0 0 0 0 8 83 3 3 0 0 0 0 6 62 2 2 0 0 0 0 4 41 1 1 0 0 0 02 21 3 6 9 7 4 02 6 10 14 8）1x (n )nx (n )nMatlab 程序:x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 83.12 (1) 37πx （n ）=5sin(n) 解：2214337w πππ==，所以N=14 (2) 326n ππ-x （n ）=sin()-sin(n)解：22211213322212,2122612T N w T N w N ππππππ=========，所以(6) 3228n π-x （n ）=5sin()-cos(n) 解：22161116313822222()T N w T w x n ππππππ=======，为无理数，所以不是周期序列所以不是周期序列3.20 已知差分方程2()3(1)(2)2()y n y n y n x n --+-=，()4()nx n u n -=，(1)4y -=，(2)10,y -=用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。
数字信号处理第3章答案 史林 赵树杰编著
第三章作业题 答案作业：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.2设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。
（4）()(2)g n x n =解：利用DFT 的定义进行求解。
()22()()(2)()j j nn j nn jmm j G eg n ex n ex m eX eωωωωω+∞-=-∞+∞-=-∞+∞-=-∞====∑∑∑（这是一种错误的解法，正确的如下所示。
）()()()()()()2222222()()2(2)()1()1()21()()211221122j j nn j nj m n m n j nn jn j n n j j j j G eg n em nx n e x m ex n x n e x n e x n e X e X eX eX eωωωωωπωωπωωω+∞-=-∞+∞+∞--=-∞=-∞+∞-=-∞+∞-=-∞+====⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+=+-∑∑∑∑∑（注意，此处n 为奇数的项为零。
）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。
501()()(3)4nm x n n m δ∞==-∑解：利用DTFT 的定义和性质进行求解。
()50030()1()(3)41()(3)41()41114j j nn nj nn m nj nm n j mm j X ex n en m en m eeeωωωωωωδδ+∞-=-∞+∞∞-=-∞=+∞+∞-==-∞+∞-=-==-=-==-∑∑∑∑∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.4设()x n 是一有限长序列，已知0,1,2,3,4,51,2,0,3,2,1;()0,n x n =--⎧=⎨⎩其它它的离散时间傅里叶变换为()j X e ω。
数字信号处理第三章习题作业答案
1 e 当 k 2, 4, 6,... 时，X 1 (k ) 0
序列3:
x3 (n) x1 (n) x1 (n 4)
根据序列移位性质可知
X 3 (k ) X1 ( k ) e j k X1 ( k ) (1 e j k )
即 x(n) 是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
（3）由于是8点周期序列，其DFS:
nk X (k ) x(n )WN x (n )e n 0 n 0 N 1 7 j 2 nk 8
序列1:
X 1 (k ) e
n 0
3
y 解: 序列 x(n) 的点数为 N1 6 ， (n) 的点数为 N 2 15， 故 x(n) y (n) 的点数应为
N N1 N 2 1 20
是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列 19( N 1) 0
15 ( L)
又 f (n) 为 x(n) 与 y (n) 的15点的圆周卷积，即L＝15。
第三章习题讲解
n 1, 0 n 4 h(n) R4 (n 2) 3．设 x(n) 其他n 0, h 令 x(n) x((n))6 ， ( n) h((n)) 6 ，
试求 x(n) 与 h (n) 的周期卷积并作图。
解：
y ( n ) x ( m )h ( n m )
4 ( L N 1)
15 ( L)
34 ( L N 1)
混叠点数为N－L＝20－15＝5 n 0 ~ n 4( N L 1) 故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y (n)
数字信号处理(方勇)第三章习题答案
3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz zzzz H 级联型网络结构。
解：243－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z zH z z zz--------+=--+级联型网络结构。
解：()x n ()y n 243－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322zzH z z zz-----++=-++，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z zzz----+=+-++由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：)题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()x n 1-1-1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z zzzzz-----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。
而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。
)(z H 中包含11-+z 项。
所以：11()()(1)H z H z z -=+。
1()H z 为一四阶子系统，设12341()1H z bz cz bz z ----=++++，代入等式，两边相等求得12341()10.2530.25H z z z z z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）所示。
数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答
数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。
1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。
时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。
时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。
为Ts。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。
5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。
1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。
频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。
频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。
为Δf。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。
5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。
1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。
零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。
零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。
2.计算需要填充的长度L，L > 0。
数字信号处理答案第三章
= = =
0 0 1 j 2πn e 10 , n = 1, 2, . . . , k. 2
3.3
(a) X1 (z ) = = = = The ROC is (b)
1 3 ∞ 0
1 1 ( )n z −n − 1 ( )n z −n + 3 2 n=−∞ n=0 1
1 −1 1− 3 z
+ +
1 ( )n z n − 1 2 n=0 1 − 1, 1− 1 2z −1 2 z)
∞
1
1−1 −1 3zFra bibliotek(1 −
5 6 1 −1 )(1 3z
< |z | < 2. X2 (z ) = = = 1 ( )n z −n − 2n z −n 3 n=0 n=0 1 1−
1 −1 3z ∞ ∞
nan cosw0 nz −n nan ejw0 n + e−jw0 n −n z 2 60
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数字信号处理 答案 第三章
解： x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 （1）绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
j [(2π k /10) + (π /10)]
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 （1） x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
（2） x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
解： （1） X ( k )
= ∑ δ (n)WNnk = δ (0) = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n=0
N −1
（2） X ( k ) =
∑ δ [(n − n )]
n =0 0
N −1
N
RN (n)WNnk = WNn0 k , 0 ≤ k ≤ N − 1
（3） （4）
X (k ) = ∑ a W
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
数字信号处理课后答案第3和4章
用DFT/FFT对信号进行谱分析的误差表现在三个方面， 即混叠现象、 栅栏效应和截断效应。 截断效应包括泄漏和 谱间干扰。
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
xN(n)=IDFT［X(k)］为x(n)的周期延拓序列（以N为延拓周期） 的主值序列。 以后这一结论可以直接引用。
［例3.4.2］ 已知 x(n)=R8(n), X(ejω)=FT［x(n)］
对X(ejω)采样得到X(k)，
X(k)X(ej)|2πk, k0,1, ,5 6
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
当然， 截取信号的长度要足够长。 但如果截取的长度 不够长， 而依靠在所截取的序列尾部加零点， 增加变换区 间长度， 也不会提高分辨率。 例如， 分析周期序列的频谱， 只观察了一个周期的1/4长度， 用这些数据进行DFT， 再通 过尾部增加零点， 加大DFT的变换区间N， 也不能分辨出是 周期序列， 更不能得到周期序列的精确频率。
令m=N－1－n， 则上式可写成
0
N1
X(k) x(m )W N k(n1) x(m )W N km
m N1
m 0
W N k(N 1 )X ( (k)N )R N (k)
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
当 k N 时（N为偶数）， 2
因为
X N 2 W N N 2(N 1 )X N 2 NW N N 2(N 1 )X N 2
数字信号处理第三章习题答案
解 （1） 已知F＝50Hz （2） （3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变, 应该使记录时间 扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）.
解
、
和
(a)、(b)、(c)所示。
分别如题3解图
x1(n) (a)
x2(n) (b)
y (n)
(a)
(b)
(c) (c)
5.如果X(k)=DFT[ x(n)], 证明DFT的初值定 理 证明 由IDFT定义式
可知
14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0, n<0, 8≤n y(n)=0, n<0, 20 ≤ n
对每个序列作20点DFT, 即
X (k)=DFT [x(n)],
Y(k)=DFT [y(n)],
如果
F(k)=X(k)▪Y(k),
k=0,1,…,19 k=0,1,…,19 k=0,1,…,19
f(n)=IDFT [F(k)], k=0,1,…,19
试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)?为什么？
解 如前所述, 记
,而
fl(n)长度为27,f(n)长度为20.前面已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上, 才满足f(n)=fl(n)7
21-47
41-67
1-7
21-27
8-20
7-19 当从0开始时候
15.用微处理器对实数序列作谱分析, 要求谱分辨率F≤50Hz, 信号最高频率为1kHz, 试确定以下各参数；
教材第三章习题解答
数字信号处理教程习题分析与解答（程佩青）第三章
第三章 离散傅立叶变换1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。
∑∑=-===56265)(~)(~)(X ~:n nkj nkn e n x W n x k π解kj k j k j kj kj e e e e e 562462362262621068101214πππππ-----+++++=计算求得:。
339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~;339)1(~;60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==。
并作图表示试求设)(~),(~)(~ .))(()(~),()(.264k X n x k X n x n x n R n x == ∑∑=-===56265)(~)(~)(~:n nk jnk n en x W n x k X π解k j kj k j e e e πππ---+++=3231。
计算求得： 3)5(~; 1)4(~ ; 0)3(~ ;1)2(~; 3)1(~ ; 4)0(~j X X X X j X X ====-==。
的周期卷积并作图与试求令其它，设 )(~)(~,))(()(~,))(()(~,)2()(,040,1)(.3464n h n x n h n h n x n x n R n h nn n n x ==-=⎩⎨⎧≤≤+=解：在一个周期内的计算值)(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -==)(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -==等各序列。
试画出所示如图已知)())((),())3((,))(()())((),())((,))((,13)(.47755633665n R n x n R n x n x n R n x n R n x n x P n x ----)()()5()(x(n)(4)N n 0 ),n -(n )()3()()()2()()(cos )()1()(52000n R n n x n nR n x n R a n x n R n a n x DFT N N N N n N ==<<===δω闭合形式表达式点试求以下有限长序列的])21sin()2sin()21sin()2sin([21])()()()([21)(]1111[)(][)(])([)()(cos )()()(cos )(:0)2(21020)2(2102)2(21)2(21)2(21222)2(21)2(21)2(21222)()(211)(10)(2110211000000000000000000002002002022002ϖπϖϖπϖωωϖπϖϖπϖϖπϖπϖπϖϖϖϖπϖπϖπϖϖϖωωωωωωωωππππππ-++⋅=--+--=--+--=+=+===---+---------+-++-----+---=---=+--=---=-∑∑∑∑k N e N e k N e N e a e ee e e e eeeee e a k R ee ee a k R eea k R e e e a k R en a k X n R n a n x k N j N j k Nj Njk Nj k Nj k Nj NjNjN jk Nj k N j k Nj NjNjNjN k j N j k j N j N N n nj N n nk j N N n nkj n j n j N n N nkj N N N N N N N 解)(111121)(21)()(21)()(cos )( )()(cos )( ) 1 (:)2()2(10)2(10)2(1020010200000k R e ee e a k R e e a k R e e e a k Re n a k X n R n a n x N k N j N j k Nj Nj N N n nN j N n nk N j N N n nk N j n j n j N n N nk N j N ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===--+---=---=+--=---=-∑∑∑∑ωπωωπωωπωππωωπωω解⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎣⎡--=------+-++---)()()()(21)2(21)2(21)2(21222)2(21)2(21)2(212220000000ωπωπωπωωωωπωπωπωωωk Nj k N j k N j N jN jNjk N j k N j k N j Nj N j N j e e e eeee e e e e e a⎥⎥⎥⎥⎦⎤--⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅=--+--)21sin()2sin()21sin()2sin(210)2(21020)2(21020000ωπωωπωωπωωπωk N e Nek N e Ne a k Nj Njk N j N jk Nj N N n nk NjnN n aea eak X n R a n x ππ210211)()()((2)--=---===∑)( )()( )()()( 0,)()( (3)02102010200k Re k Re n n k Re n x k X N n n n n x Nk n N j NN n nk N j N n NnkN j πππδδ--=--=-=-==<<-=∑∑)(1)( 11)1()())1(()(])1)2( 2[)1( 32()1)(()()()()( )()(411)1(32)1(321)1(110)1(1k R W Nk X N W W N k R W N k R N W N W W W N W W W nW nWW k X k R nW k X W k R nW k X n nR n x N kNkNkN N N n nk N N k N N k N k N k N N kN k N k N N n kn N N n nk Nk NN n N k n N k NN n N nkN N --=∴-=--+--=+--=-+-+++--++++=-=-==∴=∑∑∑∑∑-=---=+-=-=+-=∙∙∙∙∙∙）（kNN N n nkNN W Nk X n nR n x W n k X n R n n x --===∴=∑-=1)()()()4()( )()(5111022，则小题的结论根据第）（221111122)1(232)1(23210)1(2121)1(2)1()2()(12)2()(2)2(2)2()12()1(]1()2(4[)1(94)1)(()(k N kN kNN n nk NN n nkNk N N kN k N k N N k N k N k N N n kn NN n nk NkNN n kn N k NW N W N N k X W NN N k X N N nWN N W n N N W N W W W N W W W W n W nW k X W n k X W ---=∴----=+--=+--=-+--=-+-+++--++++=-=-=∑∑∑∑∑-=-=---=+-=-=+∙∙∙∙∙∙）∙∙∙±±±===∑-=,6,4,2,0)(~)3(?])0([)()2(?)()1(:;)(~1)(~).(~.61)/2(k k x X k X k X ek X Nn x n x N k nkN j 哪些序列列能做到成虚数外除时间原点使所有的哪些序列能够通过选择成为实数时间原点使所有的哪些序列能够通过选择问傅里叶级数这些序列可以表示成列如图画出了几个周期序π条件。
《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案
第三章习题答案 3.1 （1）非周期（2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ=，1s sf T = （1）0153,2f ωπ==；0.3s T =，05f π= （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，0503f =（3）0,0.55f πω==；0.3s T =，013f =（4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，0356f =（5） ()()()(){}0.20.210.20.20.20.2(0.2)(0.2)1cos(0.2)()2130.6cos(0.2)() 1.8()0.6()211.80.6()0.6()2110.910.610.6j n j n n n j n j n n nj n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n ee ππππππωπωπππ-+-----+=+⎡⎤⎡⎤-=-•+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-•-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT% [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w)3.4 (1) 7()10.3j j X e eωω-=- （2）20.51()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωωωω---=---（3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ωωω--=⨯⨯-（4）112210.920.9()(10.9)10.9(10.9)j j j j j j e e X e e e e ωωωωωω-----⨯-⨯=-=---3.5(1) 23456()642246j j j j j j j X e e e e e e e ωωωωωωω------=++++++（2）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++++++ （3）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++---- （4）235678()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++----3.6 00()()11()211j j j A X e ae ae ωωωωω---+⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦3.7 N=5，()5611()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+--N=25，()252611()11j j j j j j e e eX e e e ωωωωωω----=+-- N=100，()10010111()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+-- N=5，》n = -5:5; x =ones(1,11); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度N=25,>> n = -25:25; x =ones(1,51); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率相位部分弧度-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率幅度部分幅值N=100,>> n = -100:100; x =ones(1,201); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度随着N 的增大，DTFT 的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于1)(=n x 的DTFT 特性。
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fl(n)长度为27,f(n)长度为20.前面已推出二者的关系为
f (n) fl (n 20m) R20 (n) m
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)=fl(n)，所以
f (n) fl (n) x(n) y(n), 7 n 19
图解说明
解 （1） 已知F＝50Hz
Tp min
1 F
1 50
0.02s
（2）
1
1
1
Tmax
fs min
2 fmax
2 103
0.5ms
（3）
N min
Tp T
0.02s 0.5 103
40
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间 扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）.
2
N
2
N
k) k)
N] 2 ,k 2]
0,1,L
,N
1
1 e j0N
或
X7 (k)
1
e
j (0
2 N
k
)
,k
0,1,L
,N
1
(9) 解法一
x9 (n)
cos(0n)RN
(n)
1 [e 2
j0n
e
] j0n
N 1
X9 (k) x9 (n)WNkn n0
解
(1)
X (k)
N 1
1WNkn
n0
N 1 j 2 kn
eN
n0
j 2 kN
1
e
N j 2
k
1e N
N,
k 0
0,
k 1, 2,L , N 1
N 1
N 1
(3)
X (k)
(n n0 )WNkn
W kn0 N
0,
,0 k N 1 km
(7)
X7 (k)
N 1
e W j0n kn N
n0
e N 1
j
(0
2 N
k
)n
n0
1 e j
(0
2 N
k
)
N
1
e
j
(0
2 N
k
)
ej
(0
2 N
k
)(
N 1) 2
sin[(0 sin[(0
X (k )WNkn , n
k 0
0,1,L
,N
1
可知
x(0)
1
N 1
X (k)
N k0
14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为
x(n)=0, n<0, 8≤n
y(n)=0, n<0, 20 ≤ n 对每个序列作20点DFT，即
X (k)=DFT [x(n)], k=0,1,…,19
所以
X9 (k) DFT[x9 (n)] X 7e (k)
1 2
[
X7
(k)
X
* 7
(
N
k )]
1 1 e j0N
1 e j0N
2
[ 1
e
j
(0
2 N
k
)
1
e
j
(0
2 N
k
)
]
3. 长度为N＝10的两个有限长序列
1, 0 n 4 x1(n) 0, 5 n 9
教材第三章习题解答
1. 计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列 定义为
(1) x(n) 1
(3) x(n) (n n0 ), 0 n0 N
j 2 mn
(5) x(n) e N , 0 m N
(7) x(n) e j0n RN (n) (9) x(n) cos(0n) RN (n)
1, 0 n 4 x2 (n) 1, 5 n 9 作图表示 x1(n) 、 x2 (n) 和 y(n) x1(n) ，x2 (n)
循环卷积区间长度L＝10。
解 x1(n) 、 x2 (n) 和 y(n) x1(n) x2 (n) 分别如题3解图
(a)、(b)、(c)所示。
(n n0 ) WNkn0 ,
n0
n0
k 0,1,L , N 1
(5)
X (k)
N 1 j 2 mn
eN
n0
WNkn
N 1 j 2 (mk )n
eN
n0
j 2 (mk ) N
1 e
N j 2 (mk )
1e N
N, k m
1
N 1
[e j0n
e
]e j0n
j 2 kn N
2 n0
1 1 e j0N
1 e j0N
2
[ 1
e
j
(0
2 N
k
)
1
e
j (0
2 N
k
)
]ห้องสมุดไป่ตู้
解法二 由DFT共轭对称性可得同样的结果。 因为
x9 (n) cos(0n) RN (n) Re[x7 (n)]
1-27 1-7
1-27
21-47
41-67
21-27 8-20
7-19 当从0开始时 候
15.用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F≤50Hz，
信号最高频率为1kHz，试确定以下各参数；
（1）最小记录时间 Tpmin ; （2）最大取样间隔 Tmax ； （3）最少采样点数 Nmin ； （4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
(a)
x1(n)
x2(n)
(b)
y (n)
(c)
(a) x1(n) (b) x2 (n)
(c) y(n) x1(n) x2 (n)
5.如果X(k)=DFT[ x(n)]，证明DFT的初值定理
x(0)
1
N 1
X (k)
N k0
证明 由IDFT定义式
x(n)
1 N
N 1
Y(k)=DFT [y(n)], k=0,1,…,19
如果
F(k)=X(k)▪Y(k), k=0,1,…,19
f(n)=IDFT [F(k)], k=0,1,…,19 试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)?为什么？
解
如前所述，记 fl (n) x(n) y(n) ， 而
f (n) IDFT[F(k)] x(n) y(n)
0.04s Nmin 0.5ms 80