数字信号处理第三章汇总
数字信号处理 第三章 图像信号分析基础讲解
对于连续图像，定义阈值面积函数A(F)为具有灰 度级F的所有轮廓线所包围的面积。对于数字图 像，任一灰度级F的面积函数A(F)即大于或等于 灰度值F的像素点的个数。
曝光过强（过弱）会导致大片白色（黑色），丢失 明暗、对比度、纹理等细节信息，即使采用插值 算法，也难以准确恢复。此时将在直方图的一端 或两端产生尖峰。
3.1.5 灰度直方图
直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或 频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度 值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值 像素所在位置。也就是说，它只包含了该图像中 某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在
的卷积。 水印、验证码
三、减法运算
将多幅图像的对应点相减得到新图像。 可去除图像中不需要的加性图案。 可用于运动检测。 可以用来计算物体边界位置的梯度。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度
直方图的卷积。
四、乘除法运算
乘法运算可以用来去除原始图像中的一部 分：首先构造一副掩膜图像，在需要保留 区域，图像灰度值为1，而在被去除区域， 图像灰度值为0；然后将掩膜图像乘原始 图像。
显然， 若a 1,b 0,图象像素不发生变化； 若a 1,b 0,图象所有灰度值上移或下移； 若a 1，输出图象对比度增强； 若0 a 1,输出图象对比度减小； 若a 0,暗区域变亮，亮区域变暗，图象求补。
三、非线性点运算
s
s
s
O
r
O
r
O
r
s
s
s
O
r
O
数字信号处理(第三版)(高西全)第3章
。后面要讨论的频域采样理论将会
加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱
完全由其离散傅里叶级数系数 X ( k ) 确定，因此，X(k) 实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱特性，这就
是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物 理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
i 为整数 i 为整数
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
所以，在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1 由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
3 3 j 2π 4
X (k )
x ( n )W
n0
kn 4
e
n0
kn
1 e 1 e
j2 π k 2π 4
j
k
4 0
k 0 k 1, 2, 3
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
设变换区间N=8，则
X (k )
7
x ( n )W 8 sin ( sin (
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点
DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1
X (k ) X ( z )
ze
j 2π N k
k 0,1, , N 1
(3.1.3)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
数字信号处理 第三章
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
第数字信号处理讲义--3章_连续时间信号的采样
图3-6采样内插恢复
3.4连续时间信号的离散时间处理
随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。
一、C/D转换
C/D转换
时域分析频域分析
二、D/C转换
D/C转换
D/C变换整个是C/D变换的逆过程
三、连续时间信号的离散化处理
即：
例1：数字微分器
带限微分
例2：半抽样间隔延时
设带限于，要求
3.6利用离散时间信号处理改变采样频率
3.6.1脉冲串采样
3.5离散时间信号的连续时间处理
离散时间信号的连续时间处理
从时域角度看：
从频域角度看：
3.6.2离散信号抽取与内插
抽取——从序列中提取每第N个点上样本的过程。
令
2.内插
抽取又称为减抽样,内插又称为增抽样。
减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。
在采样前加一低通滤波器,以滤除高于2倍采样频率成分,以避免高频成分的干扰。
3.7.2 A/D转换中的量化误差
数字信号不仅在时间上是离散的，而且在取值上也不连续，即数字信号的取值必须为某个规定的最小数量单位的整数倍。
因此，为了将模拟信号转换成数字信号，还必须将采样/保持电路输出的采样值按照某种近似方式归并到相应的离散电平上，也就是将模拟信号在取值上离散化，我们把这个过程称为量化。将量化后的结果（离散电平）用数字代码来表示，称为编码。于单极性模拟信号，一般采用自然二进制编码；对于双极性模拟信号，则通常采用二进制补码。经过编码后得到的代码就是A/D转换器输出的数字量。
数字信号处理第三章
FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）
《数字信号处理教程》(第三版)第三章
N 1 N 1
~ km ~ kn x1 (m ) WN X 2 (k ) WN n 0 m 0
1 N
N 1
N 1 m 0
~ ~ (m ) X (k ) W ( m n)k x1 2 N
n 0
N 1
~ ~ x1 ( m ) x2 ( n m )
域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，
人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
3.3 周期序列的离散傅立叶级数（DFS）
~ 设x (n)是周期为N的一个周期序列 ~ ~ x ( n) x (n rN ) ，r为任意整数
注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周
第三章
离散傅立叶变换
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷 积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共 轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
了解频域抽样理论
理解频谱分析过程
了解序列的抽取与插值过程
3.2Leabharlann 傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换
~ x (n) x(n模N ) x(( n)) N
其中，(n模N)或((n))N数学上表示“n对N取余数或取模值”。
~ ~ 和 ~ 所对应的x(n)。 例： ( n)的周期为N=9，求 x ( 25) x ( 5) x
~ x (25) x(25模9) x(( 25))9 x(7) ~ x (5) x(5模9) x(( 5)) x(4)
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)PPT课件
所以
DFT［X(n)］=Nx(N－k) k=0, 1, …, N－1 5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
x(0)
1
N 1
X (k)
证: 由IDFT定义式
N k0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
n 0, 1, , N 1
可知
x(0)
1
N 1
X (k)
教材第3章习题与上机题解答
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内，
(1) x(n)=1
(2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) (4) x(n)=Rm(n)
0<n0<N 0<m<N
j2π mn
(5) x(n) e N , 0 m N
(6) x(n) cos 2π mn, 0 m N N
sin
(0
2π N
k
)
/
2
k 0, 1, , N 1
或
1 e j0N
X
7
(k
)
1
e
j(0
2 N
k)
（8） 解法一 直接计算：
k 0, 1, , N 1
x8 (n)
sin(0n)
RN
(n)
1 [e j0n 2j
e j0n ]RN
(n)
X8(n)
N 1
x8 (n)WNkn
n0
1
N 1
[e j0n
1 WNk
j π (m1)k
e N
sin
π N
mk
sin
π N
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理第三章总结
3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z 变换逆Z 变换抽样信号的拉普拉斯变换[]⎰∞∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]⎰∞+∞--==j j st a dte t x s X LT t x σσ)()()(1Ω+=j s σ[]⎰∞∞-Ω-==Ωdte t x t x FT j X t j )()()([]⎰∞∞-Ω-ΩΩ=Ω=d e j X j X FT t x tj )()()(1Ω=j s ()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑,2,1,0,)(21)(1±±==⎰-n dz z z X jn x cn π()()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞-∞=-∞-∞=∞∞--∞∞--∞-∞=∞∞--∧∧∧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nsTan st a stn ast a a a enT x dte nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(抽样序列的z 变换为3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射：令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到： re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT ， ω=ΩT3.4.2 ω= ΩTΩ=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系s 平面到z 平面的映射是多值映射。
（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s ＝j Ω，因而映射到z 平面上为单位圆，代入 抽样序列的z 变换sTez=()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x ZT z X )(()eˆ()(e )(2.89)sTsT az X z X X s ===得取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。
数字信号处理第三章
数字信号处理第三章数字信号处理第三章实验程序3.1计算离散时间傅里叶变换% Program P3_1% Evaluation of the DTFTclf;% Compute the frequency samples of the DTFT w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;num = [2 1];den = [1 -0.6];h = freqz(num, den, w);% Plot the DTFTsubplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('Real part of H(e^{j\omega})')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('Imaginary part of H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');pausesubplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');Q3.1离散时间傅里叶变换的原始序列是H(e^jw)=(2+z^-1)/(1-0.6z^-1)。
数字信号处理第三章小结
本章小结
本章主要介绍离散傅里叶级数（DFS）的定义及性 质，离散傅里叶变换（DFT）基础知识：包括从离散傅里 叶级数导出离散傅里叶变换的过程、离散傅里叶变换的性 质、离散傅里叶变换与其它变换之间的关系。重点是离散 傅里叶变换的原理及性质。难点是对DFT实质性过程的理 解。应掌握以下主要内容：
1. 周期序列的离散傅里叶级数
X
p
k
N 1 n 0
x p n W N
N 1 k 0
nk
x p n
1 N
X
p
k W nk N
x p n 、 X p k
都是以为周期的周期序列，它们都是无
限长序列。
由于周期序列任取一个周期都包含整个序列的全部 信息，所以在周期序列上任意截取一个周期求离散傅里叶 级数的结果和在主值区求得的结果相同。 2. 离散傅里叶变换DFT
X k xn W nk N
n 0 N 1
0 k N 1
xn
1 N
N 1 k 0
X k W N
nk
0 n N 1
离散傅里叶变换的最大特点是其Байду номын сангаас域、频域都是离散 的有限长序列，这使得计算机大有用武之地，因而使离散 傅里叶变换成为数字信号处理的核心。
3. 离散傅里叶变换性质
在众多性质中，循环卷积特性和循环相关特性有其特 殊地位（参见4.7节）。
数字信号处理知识点整理Chapter3.
第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
数字信号处理第三章
n
a u( n 1) z
n
n
n
1
a n z n
a n zn
n 1
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
a 1 z 1 X ( z) , 1 1 1 a z 1 az
z a
电信学院通信教研室
电信学院通信教研室
例 3.2.1求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但 由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时 分子多项式在z=1时也有一个零点， 极零点对消， X(z) 在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可将z=ejω代入X(z) 得到。
z a
电信学院通信教研室
n<0时， 增加z=0的n阶极点， 不易求留数， 采用
留数辅助定理求解， 检查(2.5.10)式是否满足， 此处 n<0， (3.3.6)式满足。
图 2.5.4 例3.3.1中n<0时F(z)极点分布
电信学院通信教研室
1 a2 例 3.3.2已知 X ( z ) ， , a 1 求其逆变换x(n)。 1 (1 az )(1 az )
x(n) z n
单边Z变换 X ( z ) x(n) z n
n 0
Z变换存在条件 使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示，即
X ( z)
P( z ) Q( z )
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点。 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。
第三章--Z变换(数字信号处理)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答
数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。
1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。
时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。
时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。
为Ts。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。
5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。
1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。
频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。
频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。
为Δf。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。
5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。
1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。
零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。
零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。
2.计算需要填充的长度L，L > 0。
数字信号处理 答案 第三章
解： x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 （1）绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
j [(2π k /10) + (π /10)]
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 （1） x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
（2） x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
解： （1） X ( k )
= ∑ δ (n)WNnk = δ (0) = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n=0
N −1
（2） X ( k ) =
∑ δ [(n − n )]
n =0 0
N −1
N
RN (n)WNnk = WNn0 k , 0 ≤ k ≤ N − 1
（3） （4）
X (k ) = ∑ a W
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
数字信号处理--第三章2
复共轭序列的DFT
nk 证：DFT [ x * ( n )] x * ( n )WN RN ( k ) n 0 N 1
)] X * ((k )) N [RN (n)] X **(( N k )) N)) NNRk ) k ) X * (( N k )) N RN (k ) DFT x* k ) X (( k R ( N (
其中： 共轭对称分量：
* xe (n ) xe ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
共轭反对称分量：
o ( n ) xo ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] * x 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
（若不等，分别为N1、N 2点，则取N max( N1 , N 2 )， 对序列补零使其为N 点）
DFT [ x1 (n)] X 1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
证明：
m
n
循环卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加
实数序列的共轭对称性 （2）
序列
Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )] 0 xep ( n ) xop ( n )
DFT
X ep ( k ) X ( k ) X op ( k ) 0 Re[ X ( k )] j Im[ X (k )]
（3）纯虚序列的共轭对称性
序列
Re[ x ( n )] 0 j Im[ x ( n )] xep ( n ) xop ( n )
数字信号处理_第三章
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n
(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16
1 e
4k j2 16 k j2 16
~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1
《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案
第三章习题答案 3.1 （1）非周期（2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ=，1s sf T = （1）0153,2f ωπ==；0.3s T =，05f π= （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，0503f =（3）0,0.55f πω==；0.3s T =，013f =（4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，0356f =（5） ()()()(){}0.20.210.20.20.20.2(0.2)(0.2)1cos(0.2)()2130.6cos(0.2)() 1.8()0.6()211.80.6()0.6()2110.910.610.6j n j n n n j n j n n nj n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n ee ππππππωπωπππ-+-----+=+⎡⎤⎡⎤-=-•+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-•-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT% [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w)3.4 (1) 7()10.3j j X e eωω-=- （2）20.51()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωωωω---=---（3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ωωω--=⨯⨯-（4）112210.920.9()(10.9)10.9(10.9)j j j j j j e e X e e e e ωωωωωω-----⨯-⨯=-=---3.5(1) 23456()642246j j j j j j j X e e e e e e e ωωωωωωω------=++++++（2）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++++++ （3）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++---- （4）235678()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++----3.6 00()()11()211j j j A X e ae ae ωωωωω---+⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦3.7 N=5，()5611()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+--N=25，()252611()11j j j j j j e e eX e e e ωωωωωω----=+-- N=100，()10010111()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+-- N=5，》n = -5:5; x =ones(1,11); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度N=25,>> n = -25:25; x =ones(1,51); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率相位部分弧度-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率幅度部分幅值N=100,>> n = -100:100; x =ones(1,201); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度随着N 的增大，DTFT 的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于1)(=n x 的DTFT 特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数字信号处理第三章实验程序3.1计算离散时间傅里叶变换% Program P3_1% Evaluation of the DTFTclf;% Compute the frequency samples of the DTFTw = -4*pi:8*pi/511:4*pi;num = [2 1];den = [1 -0.6];h = freqz(num, den, w);% Plot the DTFTsubplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('Real part of H(e^{j\omega})')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('Imaginary part of H(e^{j\omega})')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');pausesubplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');Q3.1离散时间傅里叶变换的原始序列是H(e^jw)=(2+z^-1)/(1-0.6z^-1)。
Pause的作用是暂停等待用户输入任意键后接着执行以下命令。
Q3.2是周期函数，周期是2π。
实部和幅度谱是关于y 轴对称，是偶函数；虚部和相位谱是关于原点对称，是奇函数。
Q3.3 clf; N = 512;num = [0.7 -0.5 0.3 1]; den = [1 0.3 -0.5 0.7]; [h,w] = freqz(num, den, N); subplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('Real part of H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplitude'); subplot(2,1,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('Imaginary part of H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplitude'); pausesubplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplitude'); subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');还是周期函数，周期是2π。
相位谱的跳变的原因是：在利用反正切函数计算角度的时候，其中的一个分支出现了衰减，造成了跳变。
clf;N = 512;num = [0.7 -0.5 0.3 1];den = [1 0.3 -0.5 0.7];[h,w] = freqz(num, den, N);subplot(2,1,1)plot(w/pi,unwrap(angle(h)));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');Q3.4 修改后的程序为clf;w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;num = [1 3 5 7 9 11 13 15 17];den = 1;h = freqz(num, den, w);% Plot the DTFTsubplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('Real part of H(e^{j\omega})')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('Imaginary part of H(e^{j\omega})')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');pausesubplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');是周期函数，周期是2π。
实部和幅度谱是关于y轴对称，是偶函数；虚部和相位谱是关于原点对称，是奇函数。
Q3.5若要改为以度为单位，则将程序中的第二个图的程序改为subplot(2,1,2)plot(w/pi,180*angle(h)/pi);gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in degrees');就可以了。
3.2离散时间傅里叶变换的性质1.时移特性clf;w = -pi:2*pi/255:pi;D = 10;num = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];h1 = freqz(num, 1, w);h2 = freqz([zeros(1,D) num], 1, w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,abs(h1));gridtitle('Magnitude Spectrum of Original Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,2,2)plot(w/pi,abs(h2));gridtitle('Magnitude Spectrum of Time-Shifted Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,2,3)plot(w/pi,angle(h1));gridtitle('Phase Spectrum of Original Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h2));gridtitle('Phase Spectrum of Time-Shifted Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');Q3.6参数D控制时移量。
Q3.7D=10 D=50时移特性：信号在时域移动某个距离，则所得信号的幅度谱和原信号相同，而相位谱是原信号的相位谱再附加一个线性相移，由时移特性可以看到，信号的相位谱可以反映信号在时域中的位置信息，不同位置上的同一信号，它们具有不同的相频特性，而幅频特性相同。
Q3.8如上图所示Q3.9改变序列长度num = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29];所得的图像为D=10 D=50从上图中可以看出，增加序列的长度，使得幅度谱更加窄，而相位谱则更加密集和陡峭。
2.平移特性Q3.10clf;w = -pi:2*pi/255:pi;wo = 0.4*pi;num1 = [1 3 5 7 9 11 13 15 17];L = length(num1);h1 = freqz(num1, 1, w);n = 0:L-1;num2 = exp(wo*i*n).*num1;h2 = freqz(num2, 1, w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,abs(h1));gridtitle('Magnitude Spectrum of Original Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,2,2)plot(w/pi,abs(h2));gridtitle('Magnitude Spectrum of Frequency-Shifted Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,2,3)plot(w/pi,angle(h1));gridtitle('Phase Spectrum of Original Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h2));gridtitle('Phase Spectrum of Frequency-Shifted Sequence','FontSize',8)xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');Wo控制平移量。