数字信号处理第三章
数字信号处理 第三章 图像信号分析基础讲解
对于连续图像，定义阈值面积函数A(F)为具有灰 度级F的所有轮廓线所包围的面积。对于数字图 像，任一灰度级F的面积函数A(F)即大于或等于 灰度值F的像素点的个数。
曝光过强（过弱）会导致大片白色（黑色），丢失 明暗、对比度、纹理等细节信息，即使采用插值 算法，也难以准确恢复。此时将在直方图的一端 或两端产生尖峰。
3.1.5 灰度直方图
直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或 频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度 值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值 像素所在位置。也就是说，它只包含了该图像中 某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在
的卷积。 水印、验证码
三、减法运算
将多幅图像的对应点相减得到新图像。 可去除图像中不需要的加性图案。 可用于运动检测。 可以用来计算物体边界位置的梯度。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度
直方图的卷积。
四、乘除法运算
乘法运算可以用来去除原始图像中的一部 分：首先构造一副掩膜图像，在需要保留 区域，图像灰度值为1，而在被去除区域， 图像灰度值为0；然后将掩膜图像乘原始 图像。
显然， 若a 1,b 0,图象像素不发生变化； 若a 1,b 0,图象所有灰度值上移或下移； 若a 1，输出图象对比度增强； 若0 a 1,输出图象对比度减小； 若a 0,暗区域变亮，亮区域变暗，图象求补。
三、非线性点运算
s
s
s
O
r
O
r
O
r
s
s
s
O
r
O
数字信号处理(第三版)(高西全)第3章
。后面要讨论的频域采样理论将会
加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱
完全由其离散傅里叶级数系数 X ( k ) 确定，因此，X(k) 实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱特性，这就
是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物 理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
i 为整数 i 为整数
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
所以，在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1 由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
3 3 j 2π 4
X (k )
x ( n )W
n0
kn 4
e
n0
kn
1 e 1 e
j2 π k 2π 4
j
k
4 0
k 0 k 1, 2, 3
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
设变换区间N=8，则
X (k )
7
x ( n )W 8 sin ( sin (
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点
DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1
X (k ) X ( z )
ze
j 2π N k
k 0,1, , N 1
(3.1.3)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
数字信号处理第三版第3章.ppt
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
数字信号处理 第三章
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
数字信号处理(方勇)第三章习题答案
3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz z z z z H 级联型网络结构。
解：243－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z z H z z z z --------+=--+级联型网络结构。
解：()x n ()y n 243－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322z z H z z z z -----++=-++，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z z z z ----+=+-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：)题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z zz z ---=-++，画出该FIR滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z zz z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()x n 1-1-1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。
而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。
)(z H 中包含11-+z 项。
所以：11()()(1)H z H z z -=+。
1()H z 为一四阶子系统，设12341()1H z bzcz bz z ----=++++，代入等式，两边相等求得12341()10.2530.25H z zz z z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）所示。
《数字信号处理教程》(第三版)第三章
N 1 N 1
~ km ~ kn x1 (m ) WN X 2 (k ) WN n 0 m 0
1 N
N 1
N 1 m 0
~ ~ (m ) X (k ) W ( m n)k x1 2 N
n 0
N 1
~ ~ x1 ( m ) x2 ( n m )
域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，
人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
3.3 周期序列的离散傅立叶级数（DFS）
~ 设x (n)是周期为N的一个周期序列 ~ ~ x ( n) x (n rN ) ，r为任意整数
注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周
第三章
离散傅立叶变换
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷 积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共 轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
了解频域抽样理论
理解频谱分析过程
了解序列的抽取与插值过程
3.2Leabharlann 傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换
~ x (n) x(n模N ) x(( n)) N
其中，(n模N)或((n))N数学上表示“n对N取余数或取模值”。
~ ~ 和 ~ 所对应的x(n)。 例： ( n)的周期为N=9，求 x ( 25) x ( 5) x
~ x (25) x(25模9) x(( 25))9 x(7) ~ x (5) x(5模9) x(( 5)) x(4)
数字信号处理教学课件第三章
j n x ( n ) e
n
X (e j )是的连续周期函数。
1 x ( n) 2
X (e j )e jnd
时域 FT 连续，非周期
频域 非周期，连续
FS DTFT
连续，周期 离散，非周期
非周期，离散 周期，连续
10
四、离散傅里叶级数（DFS→DFT）
时域抽样
时域截断
时域周期延拓
周期延拓中的搬移通过与 ( t nTs ) 的卷积来实现 周期延拓后的周期函数具有离散谱
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
3
学 习 方 法
从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即
在实践中领悟处理原理的意义
从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即
上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计 算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）。
根据以上讨论： 时域：离散 频谱：周期 频域：离散 时域：周期 因此，DFS必是一种时域、频谱均为离散和周 期的一种傅里叶变换。
11
总之，一个域的离散必然造成另一个 |X ( j)| x (t) 1 域的周期延拓。
23
n n1 mN
0 n1 N 1 m为整数
~ ( n)是周期为N＝8的序列，求n=19和n=-2两 例如，x 数对N的余数。 因为
n 19 3 2 8
((19 ))8 3
n 2 6 (1) 8
因此
~ x (19) ((19)) 8 x(3)
第3章 离散傅里叶变换
jIm(z)
数字信号处理第三章
数字信号处理第三章数字信号处理第三章实验程序3.1计算离散时间傅里叶变换% Program P3_1% Evaluation of the DTFTclf;% Compute the frequency samples of the DTFT w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;num = [2 1];den = [1 -0.6];h = freqz(num, den, w);% Plot the DTFTsubplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('Real part of H(e^{j\omega})')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('Imaginary part of H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');pausesubplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');Q3.1离散时间傅里叶变换的原始序列是H(e^jw)=(2+z^-1)/(1-0.6z^-1)。
数字信号处理第三章chhy
( K,m,N均为整数 WNk WNk mN ) , k , m, N
X ( k mN (2) X(k)隐含的周期性 (周期为N) )
n 0
N 1
( x ( n )WN k mN ) n
X ( k mN ) x ( n )W
kn x(n )W X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN
X ( k ) DFT [ x ( n )]
M-1 N 1
N 1
kn N
0 k N-1
X (k ) X ( z )
2 j k z e N
, ,
0 X( k ) ((kX X ((zzj)) )22 ,, k N-1 X k)(3.1.3) j X ) ( z j X e
3.1 离散傅立叶变换的定义及物理意义 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M， 其Z变换和N点DFT分别为：
X ( z ) ZT [[x (( n )] xxnnz n n X ( z ) ZT x n )] ( () )z
N 1 n 0
X (k )e
k 0
N 1 ~
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期 延拓，因此离散傅里叶变换的时 域和频域都是离散的和周期的
引入
例1：连续时间、连续频率—傅里叶变换
例2：连续时间、离散频率—傅里叶级数
引入
例3：离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
例4： 离散时间、离散频率—序列的傅里叶级数
j
2π N
，将时域序列x(n)变换为频域序列X(k)；
[教育学]刘顺兰数字信号处理--第三章
![[教育学]刘顺兰数字信号处理--第三章](https://img.taocdn.com/s3/m/4ef4bfd39e314332396893ae.png)
其中
X 5 (k ) X 6 (k )
N / 4 1
i 0 i 0
kl x5 (l )WN / 4 DFT [ x5 ( l )]
N / 4 1
kl x6 (l )WN / 4 DFT [ x6 (l )]
x5 (l ) x2 (2l )
, l 0,1, N / 4 1 x6 (l ) x2 (2l 1)
例如，N=210=1024时
N2 1048576 204.8 ( N / 2)log2 N 5120
3.4 按频率抽取（IDFT）的基－2FFT算法
算法原理：把序列X（k）按奇偶分解为越来越短的序列。
M 设X（k）序列的点数为 N 2 ,
M 为自然数
在把输出序列按奇偶分组前，先把序列x（n）按前一 半后一半分开，把N点DFT写成两部分：
i 0
kl x4 (l )WN /4
x3 ( k ) W
X 4 ( k ), k 0,1, N / 2 1
式中 x (k ) 3
N / 4 1
i 0 i 0
kl x3 (l )WN / 4 DFT [ x3 (l )]
x4 (k )
N / 4 1
N 1
N 1
一次复数乘法需要四次实数乘法和两次实数加法 一次复数加法需要两次实数加法。
对某一个k值，计算X(k)值需要4N次实数乘法
N点DFT的实数乘法次数等于4N2 、2N(2N-1)次实数加法。
二、如何减小运算量
1、根据 WN e
j 2 N
的周期性，对称性，可约性，减小DFT运算量
WN
0
第三章--Z变换(数字信号处理)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答
数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。
1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。
时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。
时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。
为Ts。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。
5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。
1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。
频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。
频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。
为Δf。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。
5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。
1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。
零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。
零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。
2.计算需要填充的长度L，L > 0。
数字信号处理 答案 第三章
解： x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 （1）绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
j [(2π k /10) + (π /10)]
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 （1） x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
（2） x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
解： （1） X ( k )
= ∑ δ (n)WNnk = δ (0) = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n=0
N −1
（2） X ( k ) =
∑ δ [(n − n )]
n =0 0
N −1
N
RN (n)WNnk = WNn0 k , 0 ≤ k ≤ N − 1
（3） （4）
X (k ) = ∑ a W
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
中国石油大学《数字信号处理》第三章 假频现象、折叠频率
第三节 离散信号的褶积 ax1 (k ) x2 (k )
其中，a为常数。
5、任一序列x(k)与单位冲激序列δ (t)的褶积和等 于序列本身x(k)，即
x( k ) ( k ) x( k )
z (k ) x(k ) y (k ) x0 x 1 x2 xn 0 m个 0 0 x0 x1 xn 0 0 0 x0 0 0 0 0 0 0 0 x0 x m 1 0 0 y0 z0 0 0 y1 z 1 0 0 y2 z2 0 0 ym zn 0 0 0 z n 1 n个 x1 x0 0 z mn
y (n) T [ x(n)] T [
m
x(m) (n m)]
m
m
x(m)T [ (n m)] x(m)h(n m)
x ( n) h( n)
上式为x(n)与h(n)的线性褶积，它说明线性时不变系统 的响应等于输入序列与单位脉冲响应序列的褶积。
第三节 离散信号的褶积 三、离散褶积的运算 y(n) x(n) h(n)
褶积的计算过程包括以下四个步骤：
m
x(m)h(n m)
反褶、移位、相乘、求和
1) 反褶 ：先将x(n)和h(n)的变量 n 换成 m，变成x(m) 和h(m)，再将h(m)以 m=0为轴反褶成h(-m)。 2) 移位：将h(-m)移位n，变成 h(n-m)；当n为正数， 右移n位，n为负数，左移n位。 3) 相乘：将 h(n-m)与x(m)在相同的对应点相乘。 4) 求和：将所有对应点乘积累加起来，就得到n时刻 的褶积值，对所有的n重复以上步骤，就可得到所 有的褶积值y(n)。
数字信号处理第三版第三章
第三章．离散傅里叶变换（DFT ）一 离散傅里叶变换的定义及物理意义1 DFT 定义设x(n)是一个长度为M 的有限长序列10()[()]()0,1,,1N kn N n X k D FT x n x n Wk N -====-∑ 逆变换：101()[()]()N kn N k x n ID FT X k X k W N --===∑2 DFT 与傅里叶变换和z 变换的关系2()()j kN z e X k X z π== 3 DET 的隐含周期性在进行DFT 时，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来考虑的。
因此，凡是涉及DFT 关系，都隐含有周期性意义二：离散傅里叶变换的基本性质1. 线性性质1212[()()]()()D FT ax n bx n aX k bX k +=+ a ，b 为常数2. 循环移位性质2,1序列的循环移位长度为N 的有限长序列x (n )的圆周移位定义为N N y(n )x ((n m ))R (n )=+2.2 时域循环移位定理设x (n )是长度为N 的有限长序列，y (n )为x (n )圆周移位则圆周移位后的DFT 为()[()][(())()]()m k N N N Y k D FT y n D FT x n m R n W X k -==+=2.3频域循环移位定理频域有限长序列X (k )，也可看成是分布在一个N 等分的圆周上由于频域与时域的对偶关系，有如下性质若 ()[()]X k DFT x n =则 2[(())()]()()j nl nl N N N N IDFT X k l R k W x n ex n π-+==3 循环卷积定理3.1定义：设x 1(n )和x 2(n )都是点数为N 的有限长序列（0≤n ≤N -1），且有：1122[()]()[()]()DFT x n X k DFT x n X k ==若12()()()Y k X k X k =则11201210()[()]()(())()()(())()N N N m N N N m y n ID FT Y k x m x n m R n xm x n m R n -=-===-=-∑∑上式所表示的运算称为x 1(n )和x 2(n )的N 点圆周卷积3.2 循环卷积定理若12()()()y n x n x n = x 1(n )，x 2(n )皆为N 点有限长序列则 1120121012()[()]1()(())()1()(())()1()()N N N l N N N l Y k D FT y n X l X k l R k NX l X k l R k NX k X k N -=-===-=-=∑∑ 3.3 复共轭序列的DFT设x *(n )为x (n )的共轭复序列，已知X (k )= DFT[x (n )]则DFT ［x *(n )］=X *(N-k ) 0≤k ≤N -1且 X (N )=X (0)3.4 共轭对称性三 频域采样1频域采样定理如果序列x (n )长度为M ，则只有当频域采样点数N>M 时，才有()()()()()()N N N N r x n x n R n x n rN R n x n ∞=-∞==+=∑即由频域采样X (k )恢复原序列x (n )，否则产生时域混叠现象。
数字信号处理_第三章
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n
(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16
1 e
4k j2 16 k j2 16
~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1
数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
返回
回到本节
DFT和DFS之间的关系：
周期延拓
取主值
有限长序列
周期序列
主值区序列
有限长序列 x(n) n 0,1, 2, M 1
周期序列 xN (n) x(n mN ) x((n))N m 0 n0 N 1 n mN n0 ((n))N n0
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2பைடு நூலகம்3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o
2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
回到本节
变量
、f k
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域
《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案
第三章习题答案 3.1 （1）非周期（2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ=，1s sf T = （1）0153,2f ωπ==；0.3s T =，05f π= （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，0503f =（3）0,0.55f πω==；0.3s T =，013f =（4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，0356f =（5） ()()()(){}0.20.210.20.20.20.2(0.2)(0.2)1cos(0.2)()2130.6cos(0.2)() 1.8()0.6()211.80.6()0.6()2110.910.610.6j n j n n n j n j n n nj n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n ee ππππππωπωπππ-+-----+=+⎡⎤⎡⎤-=-•+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-•-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT% [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w)3.4 (1) 7()10.3j j X e eωω-=- （2）20.51()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωωωω---=---（3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ωωω--=⨯⨯-（4）112210.920.9()(10.9)10.9(10.9)j j j j j j e e X e e e e ωωωωωω-----⨯-⨯=-=---3.5(1) 23456()642246j j j j j j j X e e e e e e e ωωωωωωω------=++++++（2）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++++++ （3）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++---- （4）235678()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++----3.6 00()()11()211j j j A X e ae ae ωωωωω---+⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦3.7 N=5，()5611()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+--N=25，()252611()11j j j j j j e e eX e e e ωωωωωω----=+-- N=100，()10010111()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+-- N=5，》n = -5:5; x =ones(1,11); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度N=25,>> n = -25:25; x =ones(1,51); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率相位部分弧度-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率幅度部分幅值N=100,>> n = -100:100; x =ones(1,201); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度随着N 的增大，DTFT 的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于1)(=n x 的DTFT 特性。
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FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）
一. 周期序列的傅里叶级数分解：
The Discrete Fourier Transform ( DFT )
§ 3-1 引言
z变换与DTFT：
无限长序列的变换； 结果为连续变量函数。（不是可数字计算的）
DFT的特点：
not numerically computable
时域、频域都是离散的， 适合于用计算机进行分析和处理。
处理对象： 有限长序列
k
DTFT
X (e jT ) x(nT )e jnT n
x(nT ) 1 s /2 X (e jT )e jnT d
s / 2 s
• DFT（DFS）的简单推演：
时域是周期为T0函数，频域的离散间隔为
0
2
T0
;
时域的离散间隔为T，频域的周期为
s
2
T
.
在一个周期内，可进行如下变换：
X (e jT ) x(nT )e jnT
（注：由于DFT是DFS的截取结果，所以DFT只 是简化了的DFS，在数学上不是严格的对应关系）
比较：
FT ( CTFT )
X ( j) x(t)e jtdt
x(t)
1
2
X
(
j)e jtd
FS
1
X ( jk0 ) T0
T0 / 2 x(t)e jk0t dt
T0 / 2
x(t) X ( jk0 )e jk0t
Fourier Transform
x(t)
正 : X ( j) x(t)e jtdt
0
t
X ( j)
反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
2
0
特点：
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
对称性: 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。
二. 连续时间、离散频率----傅里叶级数
及离散傅里叶变换（DFT）
前面三种变换关系中，时域或频域至少有一个量是连续 量，这样的函数是不能用计算机来处理的，计算机或数字 系统只能把离散的数据变成新的离散的数据。
根据前面总结的对应 关系，要想在时域和频 域都是离散的，那么两 域必须是周期的。
时域信号 离散的 周期的
频域信号 周期的 离散的
x(nT)=x(n)
T0
1 F
T0 NT
0 T 2T
x(e jk0T )
12
x(k )
s
2
T
fs
1 T
NT
t
N
n
0
2 T0
2F
s N0
0 0 20
N0
012 3
N
k
(N 1)0
(N 1)
离散傅里叶级数（DFS）：时域、频域都为离散、 都为周期情况时的变换对。
离散傅里叶变换（DFT）：在DFS的时域、频域各 截取一个主值周期时的对应关系。 都为离散、非周期（有限长）
DTFT
n
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d s s / 2
n : 从0 ~ N 1
频域离散化： : k0 k 2F, k 0 ~ N 1
d : d 0
N 1
X (e jk0T ) x(nT )e jnk0T n0
x(nT )
0
N 1
X (e )e jk0T
j 2 k
X (e N )
视作
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
的函数，X
(e
j 2
N
k
)
X
(k)
则得
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
（正变换） （反变换）
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
s s / 2
特点： 时域信号 频域信号
离散的 周期的
非周期的 连续的
比较： FT
( CTFT ) FS
DTFT
时域信号 连续的 非周期的
时域信号 连续的 周期的
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
频域信号 非周期的 离散的
频域信号 周期的 连续的
四. 离散时间、离散频率 Discrete Fourier Series ----离散傅里叶级数（DFS）
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率— DTFT 离散时间、离散频率— ? ? ?
一. 连续时间、连续频率----傅里叶变换
连续的 周期的
频域信号 非周期的 nonperiodic 离散的 discrete
三. 离散时间、连续频率
----离散时间傅里叶变换（DTFT）
x(nT)
（理想抽样信号的傅里叶变换）
T
X e j 或 X (e jT )
---
-T 0 T 2T t
0
s
2 T
正 : X (e jT ) x(nT )e jnT
Fourier series
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
T0
0 2 0 T0
正
:
X
(
jk0
)
1 T0
T0 / 2 x(t)e jk0t dt
T0 / 2
反 : x(t) X ( jk0 )e jk0t k
时域周期为T0, 频域谱线间隔为 2
T0
特点： 时域信号
continuous periodic