数字信号处理第三章

DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率— DTFT 离散时间、离散频率— ? ? ?
一. 连续时间、连续频率----傅里叶变换
The Discrete Fourier Transform ( DFT )
§ 3-1 引言
z变换与DTFT：
无限长序列的变换； 结果为连续变量函数。（不是可数字计算的）
DFT的特点：
not numerically computable
时域、频域都是离散的， 适合于用计算机进行分析和处理。
处理对象： 有限长序列
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
Fourier series
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
T0
0 2 0 T0
正
:
X
(
jk0
)
1 T0
T0 / 2 x(t)e jk0t dt
T0 / 2
反 : x(t) X ( jk0 )e jk0t k
时域周期为T0, 频域谱线间隔为 2
T0
特点： 时域信号
continuous periodic
s s / 2
特点： 时域信号 频域信号
离散的 周期的
非周期的 连续的
比较： FT
( CTFT ) FS
DTFT
时域信号 连续的 非周期的
时域信号 连续的 周期的
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
频域信号 非周期的 离散的
频域信号 周期的 连续的
四. 离散时间、离散频率 Discrete Fourier Series ----离散傅里叶级数（DFS）
FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
Fourier Transform
x(t)
正 : X ( j) x(t)e jtdt
0
t
X ( j)
反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
2
0
特点：
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
对称性: 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。
二. 连续时间、离散频率----傅里叶级数
及离散傅里叶变换（DFT）
前面三种变换关系中，时域或频域至少有一个量是连续 量，这样的函数是不能用计算机来处理的，计算机或数字 系统只能把离散的数据变成新的离散的数据。
根据前面总结的对应 关系，要想在时域和频 域都是离散的，那么两 域必须是周期的。
时域信号 离散的 周期的
频域信号 周期的 离散的
x(nT)=x(n)
连续的 周期的
频域信号 非周期的 nonperiodic 离散的 discrete
三. 离散时间、连续频率
----离散时间傅里叶变换（DTFT）
x(nT)
（理想抽样信号的傅里叶变换）
T
X e j 或 X (e jT )
---
-T 0 T 2T t
0
s
2 T
正 : X (e jT ) x(nT )e jnT
k
DTFT
X (e jT ) x(nT )e jnT n
x(nT ) 1 s /2 X (e jT )e jnT d
s / 2 s
• DFT（DFS）的简单推演：
时域是周期为T0函数，频域的离散间隔为
0
2
T0
;
时域的离散间隔为T，频域的周期为
s
2
T
.
在一个周期内，可进行如下变换：
X (e jT ) x(nT )e jnT
T0
1 F
T0 NT
Baidu Nhomakorabea
0 T 2T
x(e jk0T )
12
x(k )
s
2
T
fs
1 T
NT
t
N
n
0
2 T0
2F
s N0
0 0 20
N0
012 3
N
k
(N 1)0
(N 1)
离散傅里叶级数（DFS）：时域、频域都为离散、 都为周期情况时的变换对。
离散傅里叶变换（DFT）：在DFS的时域、频域各 截取一个主值周期时的对应关系。 都为离散、非周期（有限长）
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）
一. 周期序列的傅里叶级数分解：
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
j 2 k
X (e N )
视作
k
的函数，X
(e
j 2
N
k
)
X
(k)
则得
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
（正变换） （反变换）
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
DTFT
n
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d s s / 2
n : 从0 ~ N 1
频域离散化： : k0 k 2F, k 0 ~ N 1
d : d 0
N 1
X (e jk0T ) x(nT )e jnk0T n0
x(nT )
0
N 1
X (e )e jk0T
（注：由于DFT是DFS的截取结果，所以DFT只 是简化了的DFS，在数学上不是严格的对应关系）
比较：
FT ( CTFT )
X ( j) x(t)e jtdt
x(t)
1
2
X
(
j)e jtd
FS
1
X ( jk0 ) T0
T0 / 2 x(t)e jk0t dt
T0 / 2
x(t) X ( jk0 )e jk0t