[工学]第四章 杆单元和梁单元

（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 u( x) |xx u2 ，代入上式插值模式公式得： 为u( x) |x x u1， a1 a2 x1 u1
1
2
a1 a2 x2 u2
求解得到
a1 u1 x1 (u1 u2 ) /( x1 x2 ) a2 (u1 u2 ) /( x1 x2 )
1 le 1 e T e e ( S ( x)δ ( x)) ( B ( x)δ ( x))A dx P 1 2 0 2 1 eT l e T e e e 1 eT e δ B E BA dxδ P δ 0 2 2
上式记作如下矩阵形式：
1 eT e e 1 eT e δ K δ P δ 2 2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。 如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E1 , A1 , l1
P 1 , u1
E，A，l 1
图 4-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 u P 1 e 1 (4.1) k
P2
u2
其中， k e 称为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（2）确定位移模式
2 假设单元位移场： u( x) a1 a2 x a3 x a2 可由节点位移 u1、u2确定，称为位 取其线性部分，系数 a1、 移插值模式（interpolation model）. (4.2) u( x) a1 a2 x
4.1 杆件系统的有限元分析方法
根据最小势能原理， e 0 ，得
K e δe P e
其中节点载荷矩阵为
e
(4.11)
P 1 P P2 （7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements）
对于图4.1所示结构 第一个单元：
u1
1 单元1 2
u2
E2 , A2 , l2
单元2 3
F3 10N
x
图 4-1 杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐 标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在 局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取 的一个杆单元。
u dN ( x) u1 1 ( x) e x dx u2 l u1 1 u1 B e l u2 u2
(4.6)
(4.7)
（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
e E ( x) E e B ( x) δ e S ( x) δ e e l
δ (1)
u1 u2
K
(1)
E (1) A(1) (1) l
1 1 1 1
P
(1)
R1 R2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
第二个单元：
δ
(2)
u2 u3
(1) (2)
K
(2)
E (2) A(2) l (2)
(4.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector) 是 u1 e (4.5) δ u 2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u( x) N ( x)δe
（4）应变 由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
4.1 杆件系统的有限元分析方法
这样，u( x) a1 a2 x 可以写成如下矩阵形式
a1 u ( x) [1 x] a2
u1 1 x1 a1 a u 1 x 2 2 2
源自文库
a1 1 x1 u1 u a 1 x 2 2 2
e
(4.9)
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单 元特性矩阵(element characteristic matrix) le E e Ae 1 1 e T e e K B E BA dx e (4.10) 0 l 1 1
E e u1 e u l 2
(4.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
4.1 杆件系统的有限元分析方法
e U e W e 1 1 e ( x) ( x)d P 1 2 2 u1 P2 u2 u1 P2 u2
第4章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
(4.3)
1
导出
1 u1 a1 1 x1 u1 u ( x) [1 x] 1 x N ( x) u2 a2 1 x2 u2 =
得到形函数矩阵（shape function matrix）
x N ( x) (1 ) x2 x1 x x2 x1