解析几何同步练习(圆的标准方程B)1.

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高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析

高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系2.．已知直线：，若以点为圆心的圆与直线相切于点，且在轴上，则该圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于圆心坐标，只有选项符合，故选【考点】圆的标准方程.3.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。

(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。

【答案】（1）：（或）；（2）或【解析】（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程．（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．试题解析：（1）由题意得|PA|=|PB| 2分;故 3分;化简得：（或）即为所求。

5分;（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。

8分;当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2由圆心到直线的距离 10分;解得，此时直线的方程为综上所述，满足题意的直线的方程为：或. 12分.【考点】(1)圆的标准方程；（2）点到直线的距离公式.4.已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线的焦点，则圆C的方程为．【答案】.【解析】与坐标轴的两个交点是：（4，0），（0,2），抛物线的焦点是（2,0），所以可以设圆的一般方程，把上面三个点坐标带入，解得D=-6，E=-6，F=8.【考点】求圆的方程.5.有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．【答案】【解析】本题解法有4种,①由直线与圆相切于点A可设方程,再过点B可求出,即求出圆的方程.②可以设圆的标准方程,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.③可设所求圆的方程的一般式,写出圆心坐标,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.④设出圆心坐标,由几何意义可以由圆心和切点连线与切线垂直先求出直线CA方程,再由A,B坐标求出直线AB的方程,由AB的垂直平分线与CA相交于点C,再CA的长度即为圆的半径从而得到圆的方程.试题解析：法一：由题意可设所求的方程为，又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，所以所求圆的方程为.法二：设圆的方程为，则圆心为，由，得解得所以所求圆的方程为.法三：设圆的方程为，由，,在圆上，得解理所以所求圆的方程为.法四：设圆心为C，则，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为，即.又因为，所以，所以直线BP的方程为.解方程组得所以．所以圆心为AP的中点，半径为,所以所求圆的方程为.【考点】圆的标准方程, 直线与圆相切．6.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C分别在、上，且BC=，则过A、B、C三点的动圆所形成的图形面积为（）A． B. C. D.【答案】B【解析】学生作此题时应注意：过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域面积，不是过A 、B 、C 三点的圆的面积．而是将所有圆的面积（只能算不重合的部分）即半径为BC 最大圆的面积．此题是一道易错题．直角三角形外接圆的直径就是斜边长, 中斜边不变,所以过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形是以A 为圆心,以3为半径的圆, 过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形面积为故选C【考点】直角三角形外接圆7. 在平面直角坐标系内，若圆：的圆心在第二象限内，则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆：化成标准方程为：，可知圆心坐标为，因为圆心在第二象限内，故，得到.【考点】圆的方程.8. 一束光线从点出发，经x 轴反射到圆上的最短路径是（）A ．4B ．5C ．D ．【答案】A【解析】依题意可得，在x 轴上找一点使得到点A 与C 的距离和最短，这最短距离减去半径1，就是所求的值.点A 关于x 轴的对称点A--1(-1,-1),圆心C （2,3），A--1C 的距离为，所以到圆上的最短距离为5-1=4.故选A. 【考点】1.最短距离的知识点.2.两点间的距离公式. 9. 圆的圆心坐标是（） A ．（2，3） B ．（-2，3） C ．（-2，-3）D ．（2，-3）【答案】D【解析】把圆的一般方程通过配方法转化为标准方程，就可以很快得出圆心坐标及圆的半径．【考点】圆的标准方程．10. 已知点是圆上的点（1）求的取值范围. （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；（2）【解析】（1）圆配方为，设，把代入中，转化为三角函数的值域问题，或者可设=，再与圆的方程联立，消去，得关于的一元二次方程，利用列不等式，得的范围；（2）把代入中，转化为三角函数的最小值问题，且最小值，该题还可以数形结合，表示直线=0上方的平面区域，只要让圆落在区域内即可. 试题解析：（1）圆可化为依题意：设∴即：的取值范围是6分（2）依题意：设∴∴又∵恒成立∴∴a的取值范围是 12分【考点】1、圆的方程；2、利用恒成立问题确定参数的取值范围.11.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点, 那么（）A．D=0,E≠0, F≠0;B．E=F=0,D≠0;C．D="F=0," E≠0;D．D=E=0,F≠0;【答案】A【解析】解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，D=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F≠0，E≠0．故选A【考点】圆的一般式方程点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12.圆的圆心是（）A．（－3，4）B．（－3，－4）C．（3 ，4）D．（3，－4）【答案】D【解析】由于圆的一般方程为，所以配方法可知，因此可知圆心坐标为（3，-4），故选D.【考点】本试题考查了圆的一般方程的运用。

《解析几何》第4讲圆的方程

第八章
平面解析几何
第3课时
圆的方程
第八章
平面解析几何
1．圆的定义、方程 (1)确定一个圆的基本要素有哪两个？圆心和半径提示：_________________ (2)圆的标准方程、一般方程分别是什么？ 2＋(y－b)2＝r2(r>0)；x2＋y2＋Dx＋Ey＋ ( x － a ) 提示：_____________________________________________
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第八章
平面解析几何
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
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(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ①________________________ ⇔点在圆上；
2＋(y －b)2>r2 ( x － a ) 0 0 ②_______________________ ⇔点在圆外； 2＋(y －b)2<r2 ( x － a ) 0 0 ③______________________ ⇔点在圆内．
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第八章
平面解析几何
2．已知实数x，y满足(x－1)2＋y2＝4，求x－2y的最小值与最大值．
解：设 z＝x－2y，也就是 x－2y－z＝0. 由已知，圆心(1，0)到该直线的距离不大于圆的半径 2， |1－z| 即 2 ≤2， 2 1 ＋（－ 2）解得 1－2 5≤ z≤1＋ 2 5， ∴(x－2y)min＝ 1－2 5，(x－2y)max＝1＋2 5.
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高中平面解析几何圆的方程知识点+例题

辅导讲义――圆的方程题型四：与圆有关的轨迹问题[例] 自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．设AB 的中点P (x ，y )，B (x 1，y 1)，则有x 12＋y 12＝4，且x ＝x 1＋22，y ＝y 1＋02. ∴x 1＝2x －2，y 1＝2y .∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，即(x －1)2＋y 2＝1.当A ，B 重合时，P 与A 点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．[巩固1]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4. N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)． [巩固2] (2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，求M 的轨迹方程.圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.题型五：圆的对称问题1．自对称[例]已知点A 是圆C ：030422=++++y ax y x 上任意一点，A 关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C 上，则实数a 的值是___-10________.[巩固]若直线y=kx 与圆1)1(22=+-y x 的两个交点关于直线x-y+b=0对称，则k=__-1_____；b=__-1________.2．互对称[例]已知圆C 1：1)1()1(22=-++y x ，圆C 2与圆C 1关于直线x-y-1=0对称，则圆C 2的方程是________________. 1)2()2(22=++-y x[巩固] 022=++++c by ax y x 与圆122=+y x 关于直线y=2x-1对称，则a+b=_______________. 54- 题型六：圆的实际应用[例]如图所示，一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽多少米？以圆拱顶为坐标原点，以过拱顶点的垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)．设圆的半径为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，解得r ＝10，∴圆的方程x 2＋(y ＋10)2＝100.②当水面下降1 m 后，可设点A ′的坐标为(x 0，－3)(x 0>0)，代入方程②，求得x 0＝51.即水面下降1 m 后，水面宽为2x 0＝251≈14.28 m.[巩固]如图，森林的边界是直线L，兔子和狼分别在L的垂线AC上的点A和点B处（AB=BC=a），现兔子沿线AD 以速度2v准备越过L向森林逃跑，同时狼沿线BM（点M在AD上）以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子.求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S.1．方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则a的取值范围是____________.方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示一个圆，则(－2)2＋22－4a>0，∴a<2，2．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则AB的方程为_______________.由题意可知圆心Q(1,0)，故k PQ＝－1.∴k AB＝1，∴AB的方程为y＋1＝1×(x－2)．即x－y－3＝0.3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________.圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝|1－0＋2|2＝322.则点C到直线AB的最短距离为322－1.又|AB|＝2 2.夯实基础训练∴S △ABC 的最小值为12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是_______________.设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为___________. 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 6．(2013·江西)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析如图，设圆心坐标为(2，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋4＝r 2，|1－y 0|＝r ，解得y 0＝－32，r ＝52， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254.7．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为_______． ∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，∴2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.8．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5.答案 π2解析作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．14．(2013·课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.15．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.（1）求AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．(1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.。

解析几何复习圆的方程

代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2
Ax
By
C
0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
圆与圆的五种位置关系
中点公式求D, kDG kMN 1
DG
O
x
M
kMN ( yM yN ) /(xM xN )
小结：两圆相切的性质
C、C’为圆心，N为切点
y
C、N、C '三点共线
① kCN kC ' N
②点C’在直线CN上
C’
N CB
x
P44 A7
• 求圆 C : x2 y2 x 2y 0 关于直线 l : x y 1 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
即 (x 2)2 (y 3)2 25
P134 A3
3.已知圆C的圆心在直线 x 2 y 1 0 上，并
且经过原点和点A（2，1），求圆的标准方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
a 2b 1 0 (0 a)2 (0 b)2 r 2 (2 a)2 (1 b)2 r 2
所求圆的方程为
rba2 122156009
(x 6)2 ( y 1 )2 29
5
10 20
待定系数法
例：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-
7=0 相切的圆.
y
解：设所求圆的半径为r

高中数学第二章平面解析几何 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程课后提升训练(含解析)新

2.3 圆及其方程2.3.1圆的标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),42.方程y=√9-x 2表示的曲线是() A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆3.如图,圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C 经过点A (2,15),则圆C 的半径为()A.7√2B.8C.8√2D.10圆C 经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由{x =8,x -x -1=0可得圆心为(9,8),故圆的半径为√(9-2)2+(8-1)2=7√2.4.已知一圆的圆心为点A (2,-3),一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上,则圆的标准方程为() A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0, 化简得x-y+3=0.6.若点P(-1,√3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.P点在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(√3)2=4=m2,∴m=±2.27.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,√5为半径的圆的标准方程是.(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.x+1)2+(y-2)2=58.若圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为、.圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,∴r2=1-34k2>0,r max=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).-1)19.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.(x-a)2+(y-b)2=r2,则有{(2-x )2+(2-x )2=x 2,(5-x )2+(3-x )2=x 2,(3-x )2+(-1-x )2=x 2,解得{x =4,x =1,x 2=5,即△ABC 的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5. 10.已知点A (-1,2)和B (3,4).求: (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程; (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程.AB 的中点C 的坐标为(1,3).(1)∵A (-1,2),B (3,4),∴直线AB 的斜率k AB =4-23-(-1)=12. ∵直线l 垂直于直线AB , ∴直线l 的斜率k l =-1xxx=-2,∴直线l 的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A (-1,2),B (3,4),∴|AB|=√(3+1)2+(4-2)2=√20=2√5,∴以线段AB 为直径的圆的半径R=12|AB|=√5.又圆心为C (1,3), ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.能力提升练1.方程(x-1)√x 2+x 2-3=0所表示的曲线是() A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆x-1)√x 2+x 2-3=0可化为x-1=0或x 2+y 2=3,∴方程(x-1)√x 2+x 2-3=0表示一条直线和一个圆.2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P ,则与圆C :(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则{2x +3x -1=0,3x -2x +5=0,解得{x =-1,x =1,即P (-1,1).∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.3.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y 轴上截得的弦长为2√5,则圆的方程为()A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.(x+23)2+(x-73)2=499,过圆心M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=2√5,∴|CB|=√5,由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形MBC中,根据勾股定理得b2=a2+(√5)2,①把圆心(a,b)代入y=-2x+1中,得b=-2a+1,②联立①②,解得a=2,b=-3,∴圆心坐标为(2,-3),半径r=|-3|=3,则所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.故选B.4.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是.C(2+√2cosα,2+√2sinα),∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα+a,2+√2sinα),xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα-a,2+√2sinα),∵∠ACB=90°,∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα)2-a2+(2+√2sinα)2=0,∴a2=10+4√2(sinα+cosα)=10+8sinα+π4∈[2,18].∵a>0,∴a∈[√2,3√2],∴a的最小值是√2.√25.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为.(x-1)2+y2=1,设其圆心为C1,则圆C1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1.设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),则{xx-1·(-1)=-1,-x+12=x2,解得{x=0,x=-1.所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.2+(y+1)2=16.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.7.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2√14,求圆C的方程.C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为√2=√2,由半径、弦心距、半弦长的关系得4x02=14+x022,∴y0=±2.当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.素养培优练1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A(-12,0),点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为.,取点K(-2,0),连接OM,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2.又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2,∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),∴|BK|=√(-2-1)2+(0-1)2=√10.√102.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圆心C到直线l的距离d=3√22.则d=√2=32√2,解得m=1或-5.。

平面解析几何初步直线圆的方程等一轮复习专题练习(四)含答案高中数学

高中数学专题复习《平面解析几何初步直线圆的方程等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．1 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()13nx n N nx x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为（）A ．4B ．5C ．6D ．72．在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（） A ．33B ．23C ．3D ．1（2020广东文）(解析几何)3．已知直线x=a （a>0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（） A ．5 B ．4C ．3D ．2（2020全国文3）4．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞5．下列说法正确的是． [答]( ) (1)若直线l 的倾斜角为α，则0απ≤<；(2)若直线l 的一个方向向量为(,)d u v =，则直线l 的斜率v k u=； (3)若直线l 的方程为220(0)ax by c a b ++=+≠，则直线l 的一个法向量为(,)n a b =．A .(1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)6．直线1:2l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与圆22:1C x y +=的位置关系为（）．Ａ．相交或相切Ｂ．相交或相离Ｃ．相切Ｄ．相交7．圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是（）A ．相交B ．相外切C ．相离D ．相内切8．圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长为（）Ａ、6 Ｂ、522Ｃ、１Ｄ、５9．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A 、425x y += B 、425x y -= C 、25x y += D 、25x y -=10．直线l 过点（-1，2）且与直线垂直，则l 的方程是 A ．3210x y +-= B.3270x y ++=C. 2350x y -+=D.2380x y -+=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ．解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．12．已知从点(2,1)-发出的一束光线，经x 轴反射后,反射光线恰好平分圆:222210x y x y +--+=的圆周,则反射光线所在的直线方程为 13．圆2240x y x +-=在点(1,3)P 处的切线方程为 ▲ ．14．如果直线210mx y ++=与20x y +-=互相垂直，那么实数m ＝ ▲ ．15．两圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有_____条。

解析几何单元测试题及答案

解析几何单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的标准方程是哪一个？A. $(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$B. $(x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1$C. $(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 0$D. $(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1$2. 点P(-1, 3)到直线3x - 4y + 5 = 0的距离是？A. 2B. 3C. 4D. 53. 抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点坐标是？A. (1, 0)B. (0, 2)C. (1, 2)D. (2, 0)4. 直线 $ax + by + c = 0$ 与 $dx + ey + f = 0$ 平行的条件是？A. $a/d = b/e$B. $a/d = b/e ≠ c/f$C. $a/d ≠ b/e$D. $a/d = b/e = c/f$5. 圆心在原点，半径为5的圆的标准方程是？A. $x^2 + y^2 = 25$B. $(x-5)^2 + y^2 = 25$C. $x^2 + y^2 = 5$D. $(x-5)^2 + y^2 = 5$二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，其长轴的长度为________。

7. 点A(2, -1)关于直线 $x-y-1=0$ 对称的点的坐标是________。

8. 直线 $2x - 3y + 1 = 0$ 与 $x + y - 2 = 0$ 的交点坐标是________。

9. 抛物线 $x^2 = 6y$ 的准线方程是________。

10. 圆 $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ 的圆心坐标是________。

2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程练习(含解析)北师大版必修2

2．2 圆的一般方程填一填二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)变形：把方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(2)结论：①当D 2＋E 2－4F >0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－D 2，y ＝－E2，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.③当D 2＋E 2－4F <0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程.判一判1.2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)4．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x 2＋y 2＋ax －2ay ＝0过原点．(√)6．圆x 2＋y 2－Dx －Ey ＋F ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(×)7．若D 2＋E 2－4F <0，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l 将圆x 221)．(√)想一想1.提示：x 2＋y 2＋F ＝02．若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF >0. 3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．思考感悟：练一练1．若方程x 2＋y 2＋x －y ＋m ＝0表示的曲线是一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ＝12C ．m >12D ．m <12答案：D2．圆x 2＋y 2＋2x －3y ＝0的圆心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 答案：A 3．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长为________．答案：22π5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2－4y ＋3＝0知识点一二元二次方程与圆的关系1.(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)．解析：(1)D ＝1，E ＝0，F ＝1，D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)． 2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋yt ＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x 2，y 2的系数不相同． (2)知识点二求圆的一般方程3.与圆x 2A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.答案：B4．已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.所以所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.知识点三求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( ) A ．点 B ．直线 C ．线段 D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆．答案：D 6.如图，经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.所以x 2＋2综合知识圆的一般方程7.已知A 解析：方法一设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.所以△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 方法二设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a2＋3－b2＝r 2，3－a2＋－1－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.故所求的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.8．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22，所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)，表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0，所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2，所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x (1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法二同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．。

高中解析几何专题练习1-圆1-22

高中解析几何专题练习1-圆1-221. 已知圆的方程为226490x y x y ++-+=，则圆心坐标为，圆的半径为．【答案】(3,2)-；22. 求圆心在直线23y x =+上，且过点(12)A ，，(2,3)B -的圆的方程．【答案】()()22115x y ++-=3. 已知圆22:230()C x y x ay a +++-=∈R 上任意一点关于直线:20l x y -+=的对称点都在圆C 上，____a =．【答案】2-．4. 已知一圆的圆心为点(23)-，，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求此圆的方程______．【答案】22(2)(3)13x y -++=5. 圆22220x y x y +-+=的周长是（）A ．B ．2π CD ．4π 【答案】A ．6. 如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）．A ．(11)-，B ．(11)-，C ．(10)-，D ．(01)-，【答案】D ；7. 点（2,1a a -）在圆22240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是．【答案】115a -<<8. 已知ABC ∆三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三角形外接圆的方程是_______．【答案】222143002x y x y +-++=9. 以点(5,4)A -为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为（） A ．22(5)(4)16x y ++-= B ．22(5)(4)16x y -++=C ．22(5)(4)25x y ++-=D ．22(5)(4)25x y -++=【答案】A ；10. 若a ∈R ，则动圆22224510x y ax ay a +--+-=的圆心满足的方程为（）A ．221x y +=B ．222x y +=C ．20y x -=D ．20x y -=【答案】C ；11. 设0k >，则动圆22()(2)9x k y k +++=的圆心的轨迹恒过点（）A ．(1,2)B ．(1,2)--C ．(2,1)D ．(2,1)--【答案】B ；12. 方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（）A ．114m << B ．1m >C ．14m <D ．14m <或1m >【答案】D ；13. 求以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程【答案】22325(2)()24x y ++-=14. 半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，求这个圆的方程．【答案】22(1)(1x y -+-=．15. 已知圆C 的圆心是直线1,1x y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程为【答案】22(1)2x y ++=；16. 以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=【答案】D ；17. 若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是．【答案】()2222x y ++=18. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为．【答案】()()22235x y -++=19. 求过点(5,2)A ，(1,6)B ，且圆心在直线:330l x y --=上的圆的方程__________．【答案】22(2)(3)10x y -+-=20. 若圆C 经过点(0,4)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线220x y --=上．(1)求圆的方程；(2)若直线34y x b =-+和圆C 相切，求直线的方程．【答案】(1)直线AB 的斜率641402k -==- ∴AB 的垂直平分线m 的斜率为2-∴AB 中点的坐标为0422x +==，4652y +== ∴直线m 的方程为52(2)y x -=--，即290x y +-=又圆心在直线l 上，∴圆心是直线m 与直线l 的交点，解方程组290220x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得41x y =⎧⎨=⎩∴圆心坐标为(4,1)C，又半径为5r CA =∴所求圆的方程是22(4)(1)25x y -+-=(2)∴直线304x y b +-=和圆C 相切，∴圆心到直线的距离为半径长，且圆心为(4,1)，半径为5∴5r =，解得： 414b =或94- ∴直线的方程为34410x y +-=或3490x y ++=21. a 为何值时，直线0l y a +-=与圆22:4O x y +=：(1) 相交；(2)相切；(3)相离．【解析】把直线l0y a +-=代入圆O 的方程224x y +=并整理，得224240x a -+-=．这个方程的判别式2464a ∆=-+．依次令0∆>，0∆=，0∆<，得44a -<<；4a =±；4a >，或4a <-．(1) 当44a -<<时，直线与圆相交．(2) 当4a =±时，直线与圆相切．(3)当4a >或4a <-时，直线与圆相离．22. 直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是（） A ．相切 B ．直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离【答案】B ；。

高考数学(理)二轮专题练习：解析几何(含答案)

解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．答案152613 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．答案－1 12 m ≠3且m ≠－1 35．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案－16．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案内切7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：Fl ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________．答案 x 23＋y 24＝18．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(4)抛物线标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)；焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．[问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．答案 4x 29－y 24＝19．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题9] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 54解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误例1 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________．错解由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，34π.找准失分点直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．正解由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎭⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 易错点2 忽视斜率不存在情形致误例2 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．错解直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，解得t ＝－1.找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．正解方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1. 答案－1或1易错点3 忽视“判别式”致误例3 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．错解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0，设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2，故所求直线方程为2x －y －1＝0.错解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以符合题设条件的直线的方程为2x －y －1＝0.找准失分点没有判断直线2x －y －1＝0与双曲线是否相交．正解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0，由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0，解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2>32，故不存在被点A (1,1)平分的弦．正解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线l 的方程为2x －y －1＝0，再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0.根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．1．(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析方法一如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故D. 方法二设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3]．2．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，1 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22解析由于m 、n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 2n ＝1，x 2＋y 2＝m －n ，则x 2＝2m ·n －m 2n －m ，若两曲线无交点，则x 2<0，即m <2n ，则e ＝ m －nm< m －m 2m ＝22，又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知点F 1、F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)， PF →2＝(1－x 0，－y 0)．∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1.∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.6．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为答案 x 2＋(y －1)2＝1解析圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．一直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为________．答案 x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0解析 ①当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. 所以弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．②当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3，所以|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3，解得k ＝－34，所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________．答案 2解析由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2＋b 2)，其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则|MF |＝bca 2＋b 2＝b ，由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝32，所以c 2－a 2c ＝32，所以e ＝ca＝2.10．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b)，所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.。

解析几何：圆的方程

解析几何：圆的方程在解析几何中，我们经常遇到圆形。

圆是一个在平面上具有特定性质的图形，它由与圆心等距的点组成。

在数学中，我们可以通过方程来描述圆。

圆的一般方程形式为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

根据圆的一般方程，我们可以推导出其他形式的圆的方程，包括标准方程、截距方程以及圆的参数方程。

一、标准方程标准方程是描述圆形最简洁的形式，形式如下：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为实数，且D² + E² > 4F。

该方程描述的圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为√(D² + E² - 4F)。

二、截距方程截距方程是描述圆形的另一种形式，形式如下：(x/a)² + (y/b)² = 1其中，a、b分别表示圆心到横轴和纵轴的截距，描述的是一个以坐标原点为圆心的圆。

三、参数方程参数方程是通过参数化描述圆形的方程，形式如下：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)表示圆心坐标，r为半径，θ为参数角度。

四、圆的性质除了方程形式的描述，圆还具有一系列独特的性质。

1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，直径长度为半径的两倍；3. 圆的内切圆与外接圆分别与圆相切于一个点；4. 圆的周长为2πr，面积为πr²。

五、实例分析以标准方程为例，假设有一个圆的方程为x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0，我们可以通过比较方程与一般方程的系数来找出圆的相关信息。

将方程与一般方程形式对应，我们可以得到D = -6，E = -4，F = 9。

进一步计算得到圆心坐标为(3, 2)，半径为√(D² + E² - 4F) = √(36 + 16 - 36) = √16 = 4。

解析几何专项训练试题答案

解析几何专项训练试题答案一、选择题1. 若点A(2,3)关于直线x=3的对称点为A'，则A'的坐标为：A. (4,3)B. (2,3)C. (1,3)D. (5,3)答案：D解析：点A(2,3)关于直线x=3的对称点A'的横坐标为3-(2-3)=4，纵坐标不变，因此A'的坐标为(4,3)。

2. 已知圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则其圆心坐标为：A. (a, b)B. (a, r)C. (b, r)D. (r, a)答案：A解析：根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可知圆心坐标为(a, b)。

3. 直线2x-3y=6的斜率为：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B解析：直线方程2x-3y=6可以转化为y=(2/3)x-2，其斜率为2/3，因此答案为-2/3。

4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,6)，C(7,2)，求三角形ABC的面积。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：首先计算线段AB和AC的斜率，分别为1和-1，说明AB和AC 垂直。

然后计算AB的长度为3，由于AC与AB垂直，所以三角形ABC 为直角三角形，其面积为1/2 * AB长度 * BC长度 = 1/2 * 3 * 5 = 7.5。

选项中没有7.5，但最接近的是8，因此选择C。

5. 已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则其焦点坐标为：A. (a, 0)B. (0, b)C. (a, b)D. (0, 0)答案：D解析：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点位于y轴上，且焦距为2c，因此焦点坐标为(0, c)或(0, -c)。

由于题目未给出具体数值，无法确定c的值，但焦点坐标的形式为(0, c)，因此答案为D。

圆的标准方程练习题

圆的标准方程练习题在解决圆的问题时，我们经常使用到的一个重要工具就是圆的标准方程。

通过掌握圆的标准方程的用法，我们可以更方便地进行圆的解析几何运算。

接下来，我将为大家提供一些圆的标准方程练习题，帮助大家加深对这一概念的理解。

练习题一：给定圆心和半径，求标准方程1. 已知圆心为 (2, 3)，半径为 5，求圆的标准方程。

解析：设圆的标准方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。

将已知数据代入方程，得到：(x-2)² + (y-3)² = 5²，即 (x-2)² + (y-3)² = 25。

练习题二：给定标准方程，求圆心和半径1. 已知圆的标准方程为 x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0，求圆的圆心和半径。

解析：观察标准方程可得出：(x-3)² + (y+4)² = 16。

由此可知圆的圆心为 (3, -4)，半径为 4。

练习题三：给定圆上一点，求标准方程1. 已知圆上一点为 (5, 2)，圆心为 (3, 4)，求圆的标准方程。

解析：设圆的标准方程为(x-a)²+ (y-b)²= r²。

将已知数据代入方程，可得到：(x-3)² + (y-4)² = r²。

由于圆上一点为 (5, 2)，代入方程得到 (5-3)² + (2-4)² = r²，化简得 4 + 4 = r²，即 8 = r²。

所以圆的标准方程为 (x-3)² + (y-4)² = 8。

通过以上几道练习题，我们对圆的标准方程的应用有了更深入的了解。

掌握了圆的标准方程的求解方法，我们在解决与圆相关的数学问题时，就能更加得心应手。

不过，还需要注意的是，在使用圆的标准方程时，我们需要确保给定的数据准确无误。

解析几何复习之二：圆与方程(学生版)

解析几何复习之二：圆与方程环节1 明晰高考要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

主要考查圆的标准方程、直线和圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线进行交汇命题，解题时要充分利用圆的几何性质简化运算过程。

考查数学运算能力和数形结合思想的运用。

主要掌握以下五个问题： ①求圆的方程真题示例：1.题1(2018年天津,文12)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为______．2.题2(2014年陕西)若圆C 的半径为1,其圆心与点()1,0关于直线x y =对称,则圆C 的标准方程为______.②与圆有关的最值问题真题示例：3.题1(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中,以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .4.题2、已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值；(2)y －x 的最大值和最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．③直线与圆、圆与圆的位置关系的判断及应用真题示例：5.题1、【2015高考安徽，文8】直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或126.题2、【 2014湖南文6】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切，则m =（）.21A .19B .9C .11D -④圆中的弦长问题真题示例：7.题1、(2018年全国Ⅰ,文15)15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．8.题2(2018年天津,理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x t y t (t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC △的面积为 .⑤圆的切线问题真题示例：9.题1、【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.10.题2、(2018·湖南湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．环节2问题自主解决 1.回归教材（1）（必修二P144）求圆心在直线3x+y+5=0上，并且经过原点和点（3，-1）的圆的方程；（2）（必修二P144）求与圆C ：(x+2)2+(y-6)2=1关于直线34-4y+5=0对称的圆方程；（3）（必修二P144）圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称，求直线l 的方程；（4）（必修二P144）m 为何值时，方程x 2+y 2-4x+2my+2m 2-2m+1=0表示圆，并求出半径最大时圆的方程；（5）（必修二P144）已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l ：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，m 为任何实数。

解析几何初步第7课时--圆的标准方程

第二章解析几何初步§2 圆与圆的方程 §2.1 圆的标准方程【预习导航】1.圆的定义:在平面内，到________的距离等于________的点的集合叫圆．2.确定圆的要素是______和_______．3.圆心为),(00y x C ,半径为r 的圆的标准方程为_______________；当圆心在原点时,圆的标准方程为________________.4.圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,其中0>r ,则圆心为________,圆的半径为________．【基础自测】1.若圆的方程为3)5()1(22=++-y x ,则此圆的圆心和半径分别为( )A.3),5,1(-B.3),5,1(-C.3),5,1(-D.3),5,1(-2.以坐标原点为圆心,2为半径的圆的方程为( )A.222=+y x B.422=+y x C.2)2(22=+-y x D.4)2(22=-+y x 3.圆4)2(22=++y x 关于原点对称的圆的方程为( )A.4)2(22=+-y xB.4)2(22=++y x C.4)2(22=-+y x D.4)2(22=++y x 4.与圆C :36)1(22=+-y x 同圆心,且面积是圆C 面积一半的圆的方程为( ) A.3)1(22=+-y x B.6)1(22=+-y x C.9)1(22=+-y x D.18)1(22=+-y x【典例剖析】题型1: 求圆的标准方程例1 根据下列条件求圆的方程(1)圆心为)1,2(-C ,且与043=-y x 相切； (2)以)1,5(),3,1(-Q P 为直径；(3)与圆25)1(22=+-y x 关于y 轴对称.[思路分析]求圆的标准方程,关键在于求到圆的圆心和半径.[解](1)由题意知圆的半径即为圆心到直线的距离,即2)4(3|14)2(3|22=-+⨯--⨯=r ,故圆的标准方程为4)1()2(22=-++y x . (2)由题知圆心为PQ 的中点)1,3(,半径为22)31()15(21||2122=--+-⋅==PQ r ,故圆的标准方程为8)1()3(22=-+-y x . (3)圆9)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(,关于y 轴的对称点为)0,1(-,又由题意可知所求圆半径与圆9)1(22=+-y x 的半径3相等,故圆的标准方程为9)1(22=++y x . [规律技巧](1)确定圆的几何要素是圆心和半径,故求圆的标准方程的关键也就是求圆的圆心和半径.(2)圆的相关问题常常需要借助平面几何的知识求解,这值得注意. [变式训练]求与圆1)2(22=+-y x 关于直线x y =对称的圆的标准方程.例2 求过)5,1(),0,6(B A 两点,且圆心在直线l :0872=+-y x 上的圆的标准方程. [思路分析]由圆的性质去求圆心和半径. [解法一]由题知)5,1(),0,6(B A 中点坐标为)25,27(,直线AB 的斜率为16105-=--=k ,故线段AB 的垂直平分线的斜率为1,其方程为)27(125-⋅=-x y ,即01=--y x .又由于圆心既在线段AB 的垂直平分线上,又在直线l 上,故由⎩⎨⎧=+-=--087201y x y x 得圆心为)2,3(C ,从而半径13||==CA r . 故圆的方程为13)2()3(22=-+-y x . [解法二]由题意可设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-.则有:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-0872)5()1()0()6(222222b a r b a r b a .解方程组得13,2,32===r b a .故所求圆的标准方程为:13)2()3(22=-+-y x .[规律技巧]若一个圆经过两点,则圆心在其垂直平分线上.这是圆的重要性质之一,在解题时应注意.解法二中,解方程组看起来复杂,但前两个方程作差即可消去r ,问题便转化为解二元一次方程组了. [变式训练]求经过)4,1(),2,3(-B A 两点,且圆心在y 轴上的圆的标准方程.题型2: 圆的方程的应用例3 已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称. (1)求圆C 的标准方程；(2)判断点)1,1(),21,0(),1,1(P N M --与圆C 的位置关系.[思路分析]对于(1),关键是利用对称性求出圆C 的圆心坐标；而(2)中,要求判断点与圆的位置关系,则需根据点到圆心距离与半径的大小来进行判断.[解](1)圆1)1(22=+-y x 的圆心坐标为)0,1(,设)0,1(关于直线x y -=的对称点为),(n m ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=--212011m n m n ,⎩⎨⎧-==10n m .故圆C 方程为1)1(22=++y x . (2)圆C 的圆心为)1,0(-,半径为1=r .由2221)11(1r ==+-+知M 在圆C 上；由22241)121(0r <=+-+知M 在圆C 内；由2225)11(1r >=++知M 在圆C 外.[规律技巧]我们知道点),(00y x P 与圆C :222)()(r b y a x =-+-的位置关系如下:点P 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔. 点P 在圆C 上22020)()(r b y a x =-+-⇔. 点P 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔. [变式训练]求圆C :4)2()1(22=++-y x 关于点)3,2(对称的圆的标准方程.例 4 已知圆C 经过点)4,2(--A ,且与直线l :0263=-+y x 相切于点)6,8(B ,求圆C 的标准方程．[思路分析]一般地,由圆与直线l 相切于点B 知:圆心在过点B ,且与直线l 垂直的直线上；又由于圆心必在AB 的垂直平分线上,故只需求此而直线的交点即可得圆心坐标． [解]由圆C 与直线l :0263=-+y x 相切于B ,而直线l 的斜率为31-,故直线BC 的斜率为3,因此直线BC 的点斜式方程为)8(36-=-x y ,即0183=--y x .由点)4,2(--A ,)6,8(B 得线段AB 的中点坐标为)1,3(.又12846=++=AB k ,故线段AB 的垂直平分线为)3(11-⋅-=-x y ,即04=-+y x .由⎩⎨⎧=--=-+018304y x y x 可得圆心为)23,211(-C ,2125||==CA r ,故圆C 的方程为2125)23()211(22=++-y x . [规律技巧]本题中圆心坐标的求得借助于圆的性质:一是垂径定理,二是切线性质. [变式训练]求圆心为坐标原点,且圆周被直线01543=++y x 分成2:1两部分的圆的标准方程．【课时作业】一、选择题1.圆心在y 轴上,半径为1,且过点)2,1(的圆的标准方程为( )A.1)2(22=-+y xB.1)2(22=++y x C.1)3(22=-+y x D.1)3()1(22=-+-y x2.若圆C 与圆1)1(22=++y x 关于直线x y =对称,则圆C 的标准方程( )A.1)1(22=++y x B.1)1(22=+-y x C.1)1(22=++y x D.1)1(22=-+y x 3.过圆1)1(22=++y x 的圆心,且与直线03=++y x 垂直的直线方程为( )A.01=++y xB.01=-+y xC.01=+-y xD.01=--y x 4.若直线l :03=-+y x 始终平分圆C :2)()(22=-+-b y a x 周长,则b a +的值为( )A.5B.3C.1D.1-二、填空题5.在平面直角坐标系中,设O 为坐标原点,直线l :02443=-+y x 与x 轴、y 轴的交点分别为B A ,，则△OAB 的外接圆方程为______．6.若圆1)12()(22=+-+-m y m x 关于直线x y =对称的曲线是其本身,则实数m 的值为______．7.若经过)1,1(),1,1(--B A 两点,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的半径为______.8.圆422=+y x 上的动点P 到点)4,3(A 距离的最大值为______,最小值为______.三、解答题9.已知圆C 经过)1,0(),5,6(B A 两点,且圆心C 在直线09103=++y x 上,求圆C 的标准方程.10.已知圆C 经过)1,3(),4,2(--Q P 两点,且在x 轴上截得的弦长等于6,求圆C 的标准方程.第二章解析几何初步§2 圆与圆的方程 §2.1 圆的标准方程【预习导航】1.圆的定义:在平面内，到________的距离等于________的点的集合叫圆．2.确定圆的要素是______和_______．3.圆心为),(00y x C ,半径为r 的圆的标准方程为_______________；当圆心在原点时,圆的标准方程为________________.4.圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,其中0>r ,则圆心为________,圆的半径为________．参考答案:1.定点，定长 2.圆心，半径3.22020)()(r y y x x =-+-. 222r y x =+. 4.),(b a ,r【基础自测】1.若圆的方程为3)5()1(22=++-y x ,则此圆的圆心和半径分别为( )A.3),5,1(-B.3),5,1(-C.3),5,1(-D.3),5,1(-2.以坐标原点为圆心,2为半径的圆的方程为( )A.222=+y x B.422=+y x C.2)2(22=+-y x D.4)2(22=-+y x3.圆4)2(22=++y x 关于原点对称的圆的方程为( )A.4)2(22=+-y x B.4)2(22=++y x C.4)2(22=-+y x D.4)2(22=++y x4.与圆C :36)1(22=+-y x 同圆心,且面积是圆C 面积一半的圆的方程为( ) A.3)1(22=+-y x B.6)1(22=+-y x C.9)1(22=+-y xD.18)1(22=+-y x参考答案: 1.B 2.B 3.A 4.D【典例剖析】题型1: 求圆的标准方程例1 根据下列条件求圆的方程(1)圆心为)1,2(-C ,且与043=-y x 相切； (2)以)1,5(),3,1(-Q P 为直径；(3)与圆25)1(22=+-y x 关于y 轴对称. [思路分析]求圆的标准方程,关键在于求到圆的圆心和半径.[解](1)由题意知圆的半径即为圆心到直线的距离,即2)4(3|14)2(3|22=-+⨯--⨯=r ,故圆的标准方程为4)1()2(22=-++y x . (2)由题知圆心为PQ 的中点)1,3(,半径为22)31()15(21||2122=--+-⋅==PQ r ,故圆的标准方程为8)1()3(22=-+-y x . (3)圆9)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(,关于y 轴的对称点为)0,1(-,又由题意可知所求圆半径与圆9)1(22=+-y x 的半径3相等,故圆的标准方程为9)1(22=++y x . [规律技巧](1)确定圆的几何要素是圆心和半径,故求圆的标准方程的关键也就是求圆的圆心和半径.(2)圆的相关问题常常需要借助平面几何的知识求解,这值得注意. [变式训练]求与圆1)2(22=+-y x 关于直线x y =对称的圆的标准方程.解:由题意可知圆1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(,)0,2(关于直线x y =对称的点为)2,0(,又由于圆1)2(22=+-y x 的半径为1,故所求圆的圆心为)2,0(,半径为1,其标准方程为1)2(22=-+y x .例2 求过)5,1(),0,6(B A 两点,且圆心在直线l :0872=+-y x 上的圆的标准方程.[思路分析]利用圆的性质去求圆的圆心和半径即可.[解法一]由题知)5,1(),0,6(B A 中点坐标为)25,27(,直线AB 的斜率为16105-=--=k ,故线段AB 的垂直平分线的斜率为1,其方程为)27(125-⋅=-x y ,即01=--y x . 又由于圆心既在线段AB 的垂直平分线上,又在直线l 上,故由⎩⎨⎧=+-=--087201y x y x 得圆心为)2,3(C ,从而半径13||==CA r . 所以,所求圆的标准方程为:13)2()3(22=-+-y x .[解法二]由题意可设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-.则有:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-0872)5()1()0()6(222222b a r b a r b a .解方程组得13,2,32===r b a .故所求圆的标准方程为:13)2()3(22=-+-y x .[规律技巧]若一个圆经过两点,则圆心在其垂直平分线上.这是圆的重要性质之一,在解题时应注意.解法二中,解方程组看起来复杂,但前两个方程作差即可消去r ,问题便转化为解二元一次方程组了. [变式训练]求经过)4,1(),2,3(-B A 两点,且圆心在y 轴上的圆的标准方程. 解:由题意可知)4,1(),2,3(-B A 的中点为)3,1(,直线AB 的斜率为213124-=---=k ,故线段AB 的垂直平分线的斜率为2,其方程为)1(23-⋅=-x y ,即012=+-y x .又由于圆心既在线段AB 的垂直平分线上,又在直线l 上,故由⎩⎨⎧=+-=0120y x x 得圆心为)1,0(C ,从而半径10||==CA r . 故,圆的标准方程为10)1(22=-+y x . 题型2: 圆的方程的应用例3 已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称. (1)求圆C 的标准方程；(2)判断点)1,1(),21,0(),1,1(P N M --与圆C 的位置关系.[思路分析]对于(1),关键是利用对称性求出圆C 的圆心坐标；而(2)中,要求判断点与圆的位置关系,则需根据点到圆心距离与半径的大小来进行判断.[解](1)圆1)1(22=+-y x 的圆心坐标为)0,1(,设)0,1(关于直线x y -=的对称点为),(n m ,则由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=--212011m n m n ,解得1,0-==n m .故圆C 的标准方程为1)1(22=++y x .(2)圆C 的圆心为)1,0(-,半径为1=r .由2221)11(1r ==+-+知M 在圆C 上；由22241)121(0r <=+-+知M 在圆C 内；由2225)11(1r >=++知M 在圆C 外. [规律技巧]我们知道点),(00y x P 与圆C :222)()(r b y a x =-+-的位置关系如下:点P 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔.点P 在圆C 上22020)()(r b y a x =-+-⇔. 点P 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔. [变式训练]求圆C :4)2()1(22=++-y x 关于点)3,2(对称的圆的标准方程.解:由题意可知圆C 的圆心为)2,1(-,半径为2=r ,故所求圆的半径不变,仍为2,圆心'C 满足:'CC 的中点为)3,2(,故可求得圆心'C 坐标为)8,3(.从而可得,所求圆的标准方程为4)8()3(22=-+-y x . 例 4 已知圆C 经过点)4,2(--A ,且与直线l :0263=-+y x 相切于点)6,8(B ,求圆C 的标准方程．[思路分析]一般地,由圆与直线l 相切于点B 知:圆心在过点B ,且与直线l 垂直的直线上；又由于圆心必在AB 的垂直平分线上,故只需求此而直线的交点即可得圆心坐标． [解]由圆C 与直线l :0263=-+y x 相切于B ,而直线l 的斜率为31-,故直线BC的斜率为3,因此直线BC 的点斜式方程为)8(36-=-x y ,即0183=--y x .由点)4,2(--A ,)6,8(B 得线段AB 的中点坐标为)1,3(.又12846=++=AB k ,故线段AB 的垂直平分线为)3(11-⋅-=-x y ,即04=-+y x .由⎩⎨⎧=--=-+018304y x y x 可得圆心C 的坐标为)23,211(-C .从而,2125||==CA r ,故圆C 的方程为2125)23()211(22=++-y x . [规律技巧]本题中圆心坐标的求得借助于圆的性质:一是垂径定理,二是切线性质. [变式训练]求圆心为坐标原点,且圆周被直线01543=++y x 分成2:1两部分的圆的标准方程．解:如图，因为圆周被直线01543=++y x 分成为2:1的两部分，所以︒=∠120AOB ,而圆心)0,0(到直线01543=++y x 的距离为3,在AOB ∆中,可求得6=OA . 所以,所求圆的方程为3622=+y x .【课时作业】一、选择题1.圆心在y 轴上,半径为1,且过点)2,1(的圆的标准方程为()A.1)2(22=-+y x B.1)2(22=++y x C.1)3(22=-+y x D.1)3()1(22=-+-y x答案:A 由题意得所求圆的圆心为)2,0(. 2.若圆C 与圆1)1(22=++y x 关于直线x y =对称,则圆C 的标准方程( )A.1)1(22=++y x B.1)1(22=+-y x C.1)1(22=++y x D.1)1(22=-+y x答案:C 由题意得圆C 的圆心为)1,0(-. 3.过圆1)1(22=++y x 的圆心,且与直线03=++y x 垂直的直线方程为( )A.01=++y xB.01=-+y xC.01=+-y xD.01=--y x 答案:C 由于已知直线斜率为1-知所求直线斜率为1,又由于已知圆的圆心坐标为)0,1(-,故由直线的点斜式方程可知答案为C.4.若直线l :03=-+y x 始终平分圆C :2)()(22=-+-b y a x 周长,则b a +的值为( )A.5B.3C.1D.1-答案:B 由直线l 平分圆C 周长知:圆C 的圆心),(b a 在直线l 上,故有3=+b a .二、填空题5.在平面直角坐标系中,设O 为坐标原点,直线l :02443=-+y x 与x 轴、y 轴的交点分别为B A ,，则△OAB 的外接圆方程为______．答案:25)3()4(22=-+-y x 由题意可得点)6,0(),0,8(B A ,故圆心为AB 中点)3,4(,半径5||21==AB r ,从而得解. 6.若圆1)12()(22=+-+-m y m x 关于直线x y =对称的曲线是其本身,则实数m 的值为______．答案:1 由题可知12-=m m ,故1=m . 7.若经过)1,1(),1,1(--B A 两点,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的半径为______. 答案:2 根据题意可得AB 的垂直平分线为x y =,再将两直线方程联立可求得圆心为)1,1(C ,从而2||==CA r .8.圆422=+y x 上的动点P 到点)4,3(A 距离的最大值为______,最小值为______. 答案:3,7 由题意知圆心到点A 的距离为5,而圆半径为2,故725||m ax =+=PA ,且325||m in =-=PA .三、解答题9.已知圆C 经过)1,0(),5,6(B A 两点,且圆心C 在直线09103=++y x 上,求圆C 的标准方程.解:因)1,0(),5,6(B A ,故AB 中点为)3,3(,又320615=--=AB k ,故AB 的垂直平分线为)3(233--=-x y ,即01523=-+y x .由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x 解得⎩⎨⎧-==37y x .故所求圆的圆心为)3,7(-C .从而圆C 的半径为65||==CA r .所以圆C 的标准方程为65)3()7(22=++-y x .10.已知圆C 经过)1,3(),4,2(--Q P 两点,且在x 轴上截得的弦长等于6,求圆C 的标准方程.解法一:由题意可设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-.则由题意有:⎪⎩⎪⎨⎧==-=--+-=-+--93)1()3()4()2(222222222b r r b a r b a .解方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===13212r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===25432r b a .故圆C 的方程为:13)2()1(22=-+-y x ,或25)4()3(22=-+-y x .解法二:由题知)1,3(),4,2(--Q P 两点,故直线PQ 的方程为02=-+y x ,且PQ 的中点为)23,21(,又13214-=--+=PQ k ,故线段PQ 的垂直平分线为)21(123-⋅=-x y ,即1+=x y .因此可设圆心C 的坐标为)1,(+m m C ,圆C 的半径为r .由于25||=PQ ,且圆被x 轴截得的弦长为6,因此有:⎪⎩⎪⎨⎧+-+++=++=22222222)11|21|()225(3)1(m m r m r ,即,⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=2)12(2259)1(2222m r m r , 解得⎩⎨⎧==1312r m ,或⎩⎨⎧==1332r m .故圆C 的方程为:13)2()1(22=-+-y x ,或25)4()3(22=-+-y x .。

高一数学圆的标准方程1

作业
习题7.7 P81 1(2)、2 、 4
课外思考题
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程. 3.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求切线的长.
2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切，则b= 4或-4 .
小结 (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y 2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
①是关于x、y的二元二次方程； ②方程明确给出了圆心坐标和半径; ③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
Hale Waihona Puke yryC(a,a)
O
y r (a,0) x
2 (x-a)2+y2=a C(a,b) x2+y2=r2
x 2+(y-b)2=a2+b2 2 2 2 (x-a) (x-a) +(y-a) =a
整理得
x
y0 y r .
2
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
2 例2. 已知圆的方程是 x 2 y 2 r，求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。

高中数学第2章平面解析几何初步圆的标准方程同步练习湘教版选择性必修第一册

2.5 圆的方程2.5.1 圆的标准方程A级必备知识基础练1.(2022陕西西安新城高一期末)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2，4)的圆的标准方程为()A.(x-1)2+y2=17B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17D.(x-1)2+y2=252.(2022四川阆中中学高二月考)圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=13.圆心为(2，1)且和x轴相切的圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=54.(2022广西钦州高一期末)圆C:(x+2)2+(y-4)2=2的圆心关于原点的对称点为()A.(4，-2)B.(-2，4)C.(2，-4)D.(4，2)5.(多选题)下列说法正确的是()A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为bC.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2，2)，半径为6.(多选题)已知点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的值不可能是()A.-2B.-C.D.27.(2022浙江名校联盟高二联考)已知圆C的圆心在直线2x-y+3=0上，半径为r，且与直线l:x-y+4=0相切于点P(-2，2)，则圆C的圆心为;半径r= .8.已知圆C过O(0，0)，A(1，1)，B(4，2).(1)求圆C的标准方程;(2)判断P(3，2)和圆C的位置关系.B级关键能力提升练9.(2022福建三明一中高二月考)已知圆心为(-2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=410.已知直线l平分圆x2+(y-3)2=4，且与直线x+y=0垂直，则直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=011.(多选题)关于圆(x-2)2+y2=5的说法，正确的是()A.关于点(2，0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x-y+2=0对称D.关于直线x+3y-2=0对称12.(多选题)圆上的点(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是()A.x2+y2=5B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=513.(多选题)(2022山西芮城中学高二月考)设有一组圆C k:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列说法正确的是()A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆C k均不经过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆C k有且只有一个D.所有圆的面积均为4π14.(2022浙江精诚联盟高二联考)圆心在第一象限，半径为1，且同时与x，y轴相切的圆的标准方程为.15.已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以P(2，-1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则该圆的标准方程为.16.(2022山西长治二中等校高二联考)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2).(1)求△ABC外接圆的标准方程;(2)动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标为(7，4)，求线段DE中点M的轨迹.C级学科素养创新练17.(多选题)已知圆M与两坐标轴都相切，且M到直线y=2x-2的距离为，则圆M的直径为()A.4B.C.8D.10参考答案2.5圆的方程2.5.1圆的标准方程1.D由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1，0).设所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=r2，点P(-2，4)代入得(-2-1)2+42=r2，解得r2=25，所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.故选D.2.A设圆心(0，b)，圆的标准方程为x2+(y-b)2=1，则12+(2-b)2=1，解得b=2.所以圆心为(0，2)，所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=1.故选A.3.A圆心为(2，1)且和x轴相切的圆的半径为1，故该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1，故选A.4.C由题知，圆C:(x+2)2+(y-4)2=2的圆心为(-2，4)，该点关于原点对称的点为(2，-4).故选C.5.AC圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为，故A正确;圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为|b|，故B错误;圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为，故C正确;圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(-2，-2)，半径为，故D错误.故选AC.6.AD由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4，即2a2+2<4，解得-1<a<1.故选AD.7.(-1，1)设圆心坐标为(m，n)，则由题可得解得则圆C的圆心为(-1，1).所以r=.8.解(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为圆C过O(0，0)，A(1，1)，B(4，2)，则解得故所求圆C的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.(2)因为(3-4)2+(2+3)2=26>25，所以点P(3，2)在圆C外.9.B由题意知，圆的圆心为(-2，1)，且该圆与y轴相切，则该圆半径为2，故圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=4.故选B.10.D因为直线l平分圆x2+(y-3)2=4，且与直线x+y=0垂直，所以直线l过圆心(0，3)，且斜率为1，所以直线l的方程是y-3=x，整理得x-y+3=0.故选D.11.ABD由题可知，该圆圆心的坐标为(2，0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，所以选项A正确;圆是关于直径对称的轴对称图形，直线必过圆心，直线x-y+2=0不过圆心，直线x+3y-2=0过圆心，所以选项B，D正确，选项C不正确;故选ABD.12.AD∵圆上的点A(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上，∴圆心在直线x+y=0上.设圆心坐标为(a，-a)，圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=5，则(2-a)2+(1+a)2=5，解得a=0或a=1.则该圆的圆心为(1，-1)或(0，0)，故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.故选AD.13.ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y=x上，故A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4，化简得2k2-6k+5=0.∵Δ=36-40=-4<0，∴2k2-6k+5=0无实数根，故B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4，化简得k2-4k+2=0.∵Δ=16-8=8>0，则方程k2-4k+2=0有两个不等实根，∴经过点(2，2)的圆C k有两个，故C错误; 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D正确.故选ABD.14.(x-1)2+(y-1)2=1因为圆心在第一象限，半径为1，且同时与x，y轴相切，则该圆的圆心为(1，1)，故该圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.15.(x-2)2+(y+1)2=13由题可得|PA|=，|PB|=，|PC|=5，则|PA|<|PB|<|PC|.要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则该圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.16.解(1)因为A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，所以k AB==0，线段AB的中点为(2，5)，则AB的垂直平分线的方程为x=2.k BC==-7，BC的中点为，则BC的垂直平分线的方程为y-，整理得x-7y+5=0.解方程组解得所以圆心坐标为(2，1)，半径为=5，所以△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25.(2)设M(x，y)，D(x0，y0)，由中点坐标公式得将(2x-7，2y-4)代入(x-2)2+(y-1)2=25得DE中点M的轨迹方程为(2x-7-2)2+(2y-4-1)2=25，整理得，所以线段DE中点M的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆.17.C由题意，圆M与两坐标轴都相切，因此可设圆心坐标为M(a，a)或M(a，-a)(a≠0)，则半径r=|a|.若圆心为M(a，a)，由点到直线的距离公式得d=，解得a=4，a=0(舍去)，所以圆M的直径为2r=2|a|=8;若圆心M(a，-a)，由点到直线的距离公式得d=，解得a=，a=0(舍去)，所以圆M的直径为2r=2|a|=.故选C.。

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解析几何同步练习（圆的标准方程B ）
知识要点：
① 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。

② 以()b a C ,为圆心，r 为半径的圆的标准方程是：()()22
2r b y a x =-+-。

③ 过圆()()22
2r b y a x =-+-上一点()00,y x P 的切线是：()()()()200r b y b y a x a x =--+--。

一、选择题
1、点（1，1）在圆（x-a ）2+（y+a ）2=4的内部，则a 的取值范围是（）
A.-1＜a ＜1
B.0＜a ＜1
C.a ＜-1或a ＞1
D.a=±1
2、已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是（）
A.（x-2）2+（y+3）2=13
B.（x+2）2+（y-3）2=13
C.（x-2）2+（y+3）2=52
D.（x+2）2+（y-3）2=52
3、圆（x-1）2+（y-3）2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（）
A.（x+7）2+（y+1）2=1
B.（x+7）2+（y+2）2=1
C.（x+6）2+（y+1）2=1
D.（x+6）2+（y+2）2=1
4、在圆422=+y x 上，与直线01234=-+y x 距离最近的点的坐标是（）
A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-56,58
B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-56,58
C 、⎪⎭⎫
⎝⎛56,58 D 、⎪⎭⎫ ⎝
⎛--56,58 二、填空题
1、已知圆C 的圆心是（-1，4），半径等于4，则原点和这个圆的位置关系是 .
2、圆（x-4）2+（y-1）2=5内一点P （3，0），则过P 点的最短弦的弦长为，
最短弦所在直线方程为，过P 点弦的中点轨迹方程为 .
3、直线4+=mx y 与圆42
2=+y x 有两个交点的充要条件是。

4、圆()()93322=-+-y x 上，到直线01143=-+y x 的距离为1的点有个。

三、解答题
1、已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程.
2、已知圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2，（2）被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3：1，
（3）圆心到直线l ：x-2y=0的距离为5
5，求这个圆的方程.
参考答案
一、选择题：ACAC
二、填空题：
1、原点在圆外；
2、()()()0134=-+--y y x x ；
3、32>m ；
4、3。

三、解答题
1、()()253522=-+-y x ；
2、()()2112
2=-+-y x 或()()21122=+++y x 。