整式的乘法(1)
4整式的乘法第1课时-初中七年级下册数学(教案)(北师大版)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《整式的乘法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将几个物品的个数相乘的情况？”（如购买水果时计算总价）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索整式乘法的奥秘。
本节课将结合具体实例，让学生在实际操作中掌握整式乘法的基本方法，培养他们的运算能力和逻辑思维能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过整式乘法的学习，使学生能够运用数学语言和符号进行逻辑推理，理解数学概念之间的内在联系，提高解决问题的能力。
2.发展学生的数学建模素养：让学生在实际问题中运用整式乘法建立数学模型，培养他们从现实情境中抽象出数学问题，并用数学语言进行表达和分析的能力。
-合并同类项：在乘法运算过程中，学生容易忽视或错误处理含有相同字母的项的合并。
难点举例：在计算4x^2 * (x + 2x)时，学生可能会错误地将结果写为8x^3，而忽略了字母x的指数合并。
-系数与指数的正确处理：在计算过程中，学生可能会混淆系数的乘法与字母指数的加法。
难点举例：3x^2 * 4x中，学生可能会错误地将系数3和4相加，而将字母x的指数2和1相乘。
在学生小组讨论时，我尝试作为一个引导者，提出了一些开放性的问题。我发现这样的问题能够激发学生的思考，促使他们从不同角度去理解和应用整式乘法。但同时，我也发现部分学生在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们对知识的掌握还不够牢固。
整式的乘法(1)——同底数幂的乘法 2021--2022学年第一学期人教版八年级数学上册课件
第32课时
整式的乘法（1）——同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
用式子表示为am·an=a m+n（m，n都是正整数）.
1. 计算下列各式，结果用幂的形式
表示：
3
4
________+___________
2
3
4
（1）2 ·2 =____
=
7
2
__________;
3
5
________+_______
a _
（2）a3·a5=____
8
a
=____________.
典型例题
知识点1
am·an=am+n
【例1】计算，结果用幂的形式表示：
（1）32·35=____________；
37
105
（2）103·102=____________；
（1）y2m·ym+1；
（2）（a-b）·（a-b）4；
（3）x4·x6+x5·x5；
（4）-a2·a5+2a·a3·a3.
10. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）（x-y）5·（x-y）3·（x-y）；
（2）-a2·a5+a·a3·a3；
（3）x·x2n-3xn·xn+1.
11. 若a4·a2m-1=a11，求m的值.
A．x3+x2
B．x3·x2
C．x·x3
D．x7-x2
（ C ）
( B )
7. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）x6·x2=____________；
整式的乘法说课稿
《整式的乘法（1）》说课稿授课老师：方泽青大家好，今天我说课的题目是北师大版初中数学七年级下册第一章第六节“整式乘法”第一课时的内容。
根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析和评价分析五个方面加以说明。
一、教材分析：1、教材的地位与作用：本节课的内容是“整式乘法”中的“单项式乘以单项式”，是在学生学习了整式加减的基础上进行的，作为铺垫，又提前安排了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识，然后通过实例引入了单项式与单项式的乘法，使学生通过对乘法交换律和结合律等法则的运用，探索单项式与单项式乘法的运算法则。
所以，本节课的知识既是对前面所学知识的综合应用，也为下面学习单项式乘以多项式、多项式乘以多项式和八年级学习分解因式打好基础。
鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
2、学情分析：学生的心理特征：初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
学生的知识技能基础：在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，了解有关运算律和法则，同时在前面几节课又学习了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础。
对于整式乘法法则的理解，不是学生学习的难点，需要注意的是学生在运用法则进行计算时易混淆对于幂的运算性质法则的应用，出现计算错误，所以应加强训练，帮助学生提高认识。
学生的活动经验基础：学生在小学及七年级上的学习中，受到了较好的运算能力训练，能够独立完成计算活动，并具有一定的将实际问题转化为数学问题，通过计算解决实际问题的能力。
北师大版七年级数学下册课件第一章第四节整式的乘法
对点训练
1.(1)计算a·3a的结果是( B )
A.a2
B.3a2
C.ห้องสมุดไป่ตู้a D.4a
(2)化简(－3x2)·2x3的结果是( C ) A.－3x5 B.18x5 C.－6x5 D.－18x5
知识点二:单项式与单项式相乘的一般步骤
(2)4y·(－2xy2);
解:(1)原式＝(3×5)(x2·x3)＝15x5.
(2)原式＝[4×(－2)]x(y·y2)＝－8xy3.
(3)(3x2y)3·(－4x);
(4)(－2a)3·(－3a)2.
解:(3)原式＝27x6y3·(－4x)＝[27×(－4)](x6·x)y3＝－108x7y3.
第一章 整式的乘除
整式的乘法(1)
学习目标
1.经历探索整式乘法运算法则的过程,进一步体会类比方法的 作用,以及乘法分配律在整式乘法运算中的作用. 2.(课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘单项式).
知识要点 知识点一:单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘的运算法则: 单项式与单项式相乘,把它们的 系数 、相同字母的幂分 别 相乘 ,其余字母连同它的 指数不变 ,作为积的因式.
3
27
＝－2x5y5－ 1x7y5.
3
7.【例4】(北师7下P15)一家住房的结构如图所示,这家房子 的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要多少平 方米的地砖?如果某种地砖的价格是a元/m2,那么购买所需地 砖至少需要多少元?
解:根据题意,得xy+2xy+8xy＝11xy(m2), 则把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要11xy m2的地砖,购 买所需地砖至少需要11axy元.
整式的乘法1
2
3a b 2ab
2
3
3
6a
6a b
2 1
b
1 3
乘法的交换 律和结合律 同底数幂的乘法
3 4
你能继续完成
单项式乘以单项式怎么运算？
系数：
相同字母 的幂：
其他的 项：
例题讲解
1 12 xy xy 3 1 2 解原式 2 x x y y
解原式 7 xy
z2 x y z
7 4 x x y y
2 2
2
z z
2
28x y z
3
4 3
练一练
反思学习
拓展提升
（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以 外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地 砖的价格是a元/m² ，那么购买地砖至少需多少元？ （2）已知房屋的高度是hm,现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁 纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是b 元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣 除门，窗所需面积）
次数是： 6
自主学习
（1）对于上面的问题我们得到了如下的结果：
这两个结果可以更简单吗？说说你的理由。
x mx
=
x x m = x 2m
3 m x x 4
=
3 m x x 4
=
3 2 mx 4
根据乘法的交换律、 结合律、幂的运算性
2 3 a a b b
第一章：整式的乘除
1.4 整式的乘法（1） -----单项式乘以单项式
复习回忆
8 人教初中数学八上 14.1.4 整式的乘法( 1课时)教案 【2023,最新经典教案】
14．１．4 整式的乘法（1)教学目标 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力 教学重点 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则 课时分配 3课时班 级教学过程设计意图 第一课时:(一)知识回顾：回忆幂的运算性质： a m·a n=a ｍ+n(a m )ｎ=a mn(ab ）n＝ａnb n(ｍ，n 都是正整数）（二）创设情境,引入新课1．问题:光的速度约为3×10５千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？【1】2．学生分析解决：(3×105)×（5×102)=(3×５)×(105×10２）=15×１0７【2】 3．问题的推广：如果将上式中的数字改为字母,即ａc 5·ｂc ２,如何计算？【3】ac 5·bc 2=(a·ｃ5)·（b ·ｃ2) =(ａ·ｂ)·（c ５·ｃ2) =abc５＋２＝ab ｃ7．（三)自己动手,得到新知1.类似地,请你试着计算:(1）2c 5·５c 2；(2）(-５a 2ｂ3)·(－4b 2ｃ)【4】2.得出结论：单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. （四)巩固结论,加强练习例：计算: （-5a ２b ）·(-3a) (2x ）3·(－5xy 2）练习：课本练习1，２【１】让学生自己动手试一试,在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系. 【2】提问学生原因 【3】从特殊到一般,从具体到抽象,让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则. 【4】先不给出单项式与单项式相乘的运算法则,而是让学生类比.单项式乘以单项式的运算法则 （二） 创设情境，提出问题１.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶），分别是a,b ，ｃ．你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 2．学生分析：【1】 3. 得到结果:一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入, 即总收入为：__＿＿____＿__＿＿＿__ 另一种方法是先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和 即总收入为:_＿_＿____＿＿__＿_＿＿ 所以:m （ａ+ｂ+c)= m ａ+mb+mc 4．提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗?（三） 总结结论【2】单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即:m(a+b ＋c)= ma+mb+mc （四） 巩固练习 例: 2a ２·(３a 2-５b) ab ab ab 21)232(2•- （-4x 2） ·(3ｘ+1)；练习:课本练习1，2 (五）附加练习1.若(-５a m+1b ２ｎ-1)(２a n b m )=-10a 4ｂ4，则ｍ－ｎ的值为_＿＿___ 2．计算：(a 3b ）2(a 2b)3 3. 计算：（3a ２b)2+(-2a ｂ）(－4a 3ｂ）4. 计算:)34232()25-(2y xy xy xy +-• 5．计算：)227(6)5)(3-(2222y xy x y x xy -+６.已知,3,2==b a 求)232()(32222a ab a ab ab ab b a ab -+--+的值 7.解不等式：12)23()1(222-〉+--+x x x x x x8．若m x x +-322与22-+mx x 的和中不含x 项,求m 的值，并说明不论x 取何值，它的值总是正数 （五）小结 【1】这个实际问题来源于学生的生活实际,所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论.【2】这个问题让学生回答,参照乘法分配率作业板书设计教学反思预习要点单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则 （二） 创设情境，感知新知1．问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长ａ米,宽m 米的长方形绿地增长b 米,加宽n 米，求扩地以后的面积是多少？2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?【1】 3．学生分析4．得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米,宽(ｍ+n ）米，因而面积为（a ＋b)（m＋n ）米2.方法二:这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为:am 米2、ａn 米2、bm 米2、ｂn 米2，故这块绿地的面积为(ａm ＋an+ｂm+b ｎ)米2．（ａ+b ）(m+ｎ)和(am+a ｎ＋bm+ｂｎ）表示同一块绿地的面积, 所以有（a ＋ｂ）(ｍ+ｎ)=a ｍ+ａn+bm+bn 【２】（三） 学生动手，推导结论 １. 引导观察：等式的左边(a+b ）(ｍ＋n)是两个多项式（ａ+b ）与(m ＋ｎ)相乘 ,把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+ｂ）与（m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘,这是一个我们已经解决的问题,请同学们试着做一做.2.学生动手：3. 过程分析:(ａ+ｂ)（m ＋ｎ)=ａ(ｍ+n)+ｂ(ｍ+ｎ) －---单×多 =am+an ＋bm+bn ----单×多4.得到结论:【3】多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（四） 巩固练习例：)32)(2(22y xy x y x -+- )65)(52(2+-+x x x 【4】练习: )y x y -y)(x (x y)-8y)(x -(x 2)1)(x (3x 22++++ 课本练习1 例：先化简,再求值:（a-3b)2+(3a+ｂ)2-(a+5ｂ)２＋(ａ-5ｂ)2，其中a=－８,b=-6练习:化简求值:)32)(12()1)(1(3)3)(2(-+--+++-x x x x x x ,其中x=54一块长m 米，宽n 米的玻璃，长宽各裁掉a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少？（五） 深入研究1.计算:①（ｘ+2）(x+3)；②(x -１)(x+２）;③(x+２)(x －2);④(x－5)(x-6);⑤(x＋5）(x ＋5)；⑥（x-5)(x-５)；并观察结果和原式的关系【1】这个问题激起学生的求知欲望,引起学生对多项式乘法学习的兴趣. 【２】借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到.让学生对这个结论有直观感受． 【３】让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则. 【4】强调多项式与多项式相乘的基本法则,提醒注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．在计算时一定要注意确定积中各项的符号．3． 结合课本练习第2题图,直观认识规律,并完成此题. 附加题:1.⎩⎨⎧++〉+-〈+-++)2)(5()6)(1(22)1()3)(2(x x x x x x x x2. 求证:对于任意自然数n ,)2)(3()5(+--+n n n n 的值都能被6整除3. 计算:（x ＋2y-１）24. 已知ｘ２-2x ＝2，将下式化简,再求值. (x-1）2+(x+3)(x-3）+(x-3）(x-1)5. 小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a 厘米,宽ｂ厘米，厚c 厘米,小明想将课本封面与封底的每一边都包进去ｍ厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?（六）小结 作业板书设计教学反思预习要点分式的乘除分式的乘除(一) 教学目标ﻩ理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算 重点、难点ﻩ重点是掌握分式的乘除运算难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算情感态度与价值观 通过教学使学生掌握类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性,使学生主动获取知识第一步：创景引入问题１ 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a 宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少?长方体容器的高为 ,水高为．问题２ 大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地 b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机的工作效率是 公顷／天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的（ )倍.观察下列运算:,43524532543297259275,53425432⨯⨯=⨯=÷⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯， .279529759275⨯⨯=⨯=÷ 猜一猜??=÷=⨯cda b c d b a 与同伴交流。
整式的乘法(第一课时)的教学设计
整式的乘法（第一课时）的教学设计一、本节课程标准及关键词1、本节课程标准：会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。
2、关键词：“会”、“相乘”“运算”是动词，课标指向是简单的整式乘法运算的熟练掌握。
二、本节课的学习目标：1、知识目标：学生通过自己的探索，得出单项式乘以单项式的法则，并会用它进行简单的计算。
2、能力目标：学生在探索单项式乘以单项式法则的过程中，感受整体思想、转化思想和数形结合思想，并培养学生由具体到抽象的思维能力。
3、情感目标：学生从已有知识出发，通过适当的探究、合作讨论、实践活动，获得一些直接的经验，体会数学的实用价值，体验单项式与单项式的乘法运算的规律，享受体验成功的快乐。
三、学法引导：学生学法：本节主要学习单项式与单项式相乘的运算法则，单项式乘法实质是分成“系数、相同字母、不相同字母”三部分进行相乘的，其法则可简单地记为：单×单=（系数×系数）（同底数幂×同底数幂）（单独的幂）．单项式的乘法运算是以幂的运算为基础的，尤其是同底数幂的乘法．熟练地进行单项式的乘法，是学好多项式乘法的关键。
四、重点·难点及解决办法：1、教学重点：单项式乘法法则的导出及其应用。
2、教学难点：多种运算法则的综合运用。
3、解决办法：熟记单项式乘法法则，并根据法则的内容实施分步计算，同时注意符号问题及幂的运算性质的正确运用。
五、课时安排1课时．六、师生互动活动设计1．设计一组练习，复习巩固幂的三种运算性质．2．通过一组新题目，引导学生研究其解法，从而导入单项式乘法法则即其解题步骤．3．通过举例，教师示范解题方法及过程，学生通过设计的各种题型的训练熟练掌握单项式的乘法运算．七、教学步骤（一）明确目标本节课重点学习单项式乘法法则及其应用． （二）整体感知首先应准确理解单项式的乘法法则，再根据其解题步骤进行应用性地练习，同时应适当地复习幂的有关性质，才能更好地学好单项式的乘法运算．（三）教学过程1．复习回顾，奠定基础请同学们先运用前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质，解答如下问题：（1）叙述：幂的三个运算性质．（m 、n 都是正整数）（m 、n 都是正整数）（n 是正整数）（2）计算：1）(－a 5)5 2） (a 2b)3 3) (－2a)2(a 2)3 4) (y n )2 y n-1学生活动：第（l ）题分别由学生回答；第（2）题学生在导学案上完成，然后由学生板书结果．【教法说明】通过完成本组题目，对幂的三个运算性质进行回顾．为本节课的学习提供必要的知识准备；同时，也检查了学生对学过知识的掌握情况。
14.1 整式的乘法
14.1 整式的乘法：1.整式的乘法（一）：同底数幂相乘：a m •a n =a m+n （m ，n 都是正整数） 幂的乘方：（a m ）n =a mn （m ，n 都是正整数） 积的乘法：（ab ）n =a n b n （n 为正整数） 2.整式的乘法（二）单项式与单项式相乘：把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘：先把一个多项式的每一项乘另一个多项式中的每一项， 再把所得的积相加。
3.整数的除法：同底数幂相除：a m ÷a n =a m —n （a ≠0，m ，n 都是在正整数，并且m ＞n ）a 0=1（a ≠0）单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
整式乘法（一）：一、同底数幂相乘：1、同底数幂相乘，底数 ，指数 ，用公式表示=nma a2、计算：=⨯461010 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-6231)31( =⋅⋅b b b 32 ⋅2y （—y5）—（—a ）2•a 6= y 2n •y n+1= —b 5•b= —23•（—2）4==-⋅-23)()(a b b a ()=-⋅-⋅-62)()(a a a3、若53=a ，63=b ，求ba +3= 4、下面计算正确的是（ ） A.4533=-a a B.nm nm+=⋅632 C.109222=⨯ D.10552a a a =⋅二、幂的乘法：1.()43a= （x4）3= （y 3）2+（y 2）3= =-∙-3223)()(a a)(234)2(=.（在括号内填数）（a m）2= （－a 2）3= [（－a ）2]5=n m a a ⋅3)(= []423)1(a ⋅-= 324)(a a ∙= ()()5243a a ⋅=2.在下列各式的括号中填入适当的代数式，使等式成立：⑴a 6=（ ）2；⑵2342225)()((_____))(a a a ⋅=⋅. 3.计算：23422225)()()()(2a a a a ⋅-⋅335210243254)()()()()(a a a a a a a -∙-∙--+∙---.三．积的乘方：1、积的幂，等于幂的积。
人教版数学八年级上册14.1.4整式的乘法(第1课时)优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学八年级上册第14章第1节第4课时，内容为整式的乘法。在此之前，学生已经学习了有理数的乘法、乘方的概念和性质，以及整式的加减法。本节课的学习为后续多项式乘多项式、多项式乘单项式、单项式乘单项式等知识的学习奠定基础。
（二）问题导向
1.自主探究：鼓励学生自主探究整式乘法的运算法则，培养学生的问题解决能力。例如，让学生尝试计算两个多项式的乘积，总结规律。
2.引导发现：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。例如，通过分析两个多项式的乘积，引导学生发现整式乘法的分配律。
（三）小组合作
1.分组讨论：将学生分成小组，让学生在小组内讨论整式乘法的运算法则，培养学生的合作交流能力。例如，让学生分组讨论如何计算两个多项式的乘积，并总结出运算法则。
（二）讲授新知
1.自主探究：鼓励学生自主探究整式乘法的运算法则，培养学生的问题解决能力。例如，让学生尝试计算两个多项式的乘积，总结规律。
2.引导发现：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。例如，通过分析两个多项式的乘积，引导学生发现整式乘法的分配律。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，让学生在小组内讨论整式乘法的运算法则，培养学生的合作交流能力。例如，让学生分组讨论如何计算两个多项式的乘积，并总结出运算法则。
2.问题导向与自主探究的结合：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。同时，鼓励学生自主探究、尝试计算，培养学生的自主学习能力。
3.小组合作与互动交流：将学生分成小组，鼓励小组间的互动交流，让学生在分享经验中共同成长。通过小组讨论，培养学生的合作交流能力和团队协作精神。
整式的乘法(一)教师版
整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．整式的乘法（一）知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲内容分析【例1】 计算： （1）2445y y ⋅；（2）()234163x y x y ⋅-；（3）()2223623a b ab a b ⋅⋅-．【难度】★【答案】（1）620y ；（2）552x y -；（3）5636a b -． 【解析】（1）原式=()2464520y y +⨯=；（2）原式=()2314551623x y x y ++⎡⎤⨯-⋅=-⎢⎥⎣⎦；（3）原式=()2121235662336ab a b ++++⨯⨯-=-⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子 相乘与两个式子相乘法则相同．【例2】 计算：（1）()()23333z x y -⋅；（2）()()3224247a xy a x y -⋅-；（3）()()2322x y x y ⎡⎤---⎣⎦（把x y -作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★【答案】（1）623243x y z -；（2）14751372a x y ；（3）()54x y --． 【解析】（1）原式=()3326262333243z x y x y z -⋅=-；（2）原式=()()()()32212632121623474343a xy a x y a x y +++-⋅-=-⨯-=⎡⎤⎣⎦14751372a x y ；（3）原式=()()2322x y +⨯--=⎡⎤⎣⎦()54x y --【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用．例题解析【例3】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【难度】★【答案】（1）75383x y z -；（2）444x y z -；（3）914275x y -．【解析】（1）原式=()3242333432332839327x y x y z x y z ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦75383x y z -；（2）原式=()22311263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦444x y z -；（3）原式=224636224326621321343259225x y x y x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-=⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦914275x y =-．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．【例4】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）57235x y ；（2）710320381x y z ． 【解析】（1）原式=3324263575757953234425355x y x y x y x y x y x y x y ⋅+⋅=+=；（2）原式=442366937103710371038540203332738181x y z x y z x y z xy x y z x y z x y z ⎛⎫⋅+-⋅=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算．【例5】 计算：2233()2()x y a x y ab ⎡⎤⎡⎤+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦（把x y +作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★★【答案】()3336x y a b -+． 【解析】原式=()()2121332x y a b ++⨯-+=⎡⎤⎣⎦()3336x y a b -+．【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用．【例6】 已知：()()()32327823530m n x y x y x y x y ⋅-⋅=-，求m n +的值． 【难度】★★ 【答案】5【解析】原式=55783030m n x y x y ++-=-，由此可得5758m n +=+=，， 可解得23m n ==，，5m n +=【总结】单项式相等，对应字母的次数相同．【例7】 先化简，后求值：233322221391233x y x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知，．【难度】★★【答案】化简结果是75x y ，代入求值结果是32-【解析】原式=7575754133x y x y x y -=，代入求值得()751232-⨯=-【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例8】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【难度】★★★【答案】化简结果是579a b c ，代入求值结果是1．【解析】原式=()33623357911824a b b c a b c a b c -⋅⋅⋅-=，代入计算得：()()5971111-⨯⨯-=．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例9】 化简：()75122xy x y -⋅--．【难度】★★★【答案】当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ． 【解析】对原式进行分析整理，原式=574657122xy x y xy x y xy x y xy -⋅=-⋅⋅=-⋅，由此可知，对式子去绝对值需进行分类讨论：即当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ． 【总结】本题主要考查对代数式进行简单的恒等变形，找出可能需要讨论的部分即可进行分 类讨论，准确解题．1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．模块二：单项式与多项式相乘知识精讲【例10】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅- ；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）432113648x x x -+-；（2）322364a b a b -；（3）23238x y x y -+．【解析】（1）原式=2222111131322242x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭432113648x x x -+-；（2）原式=222322ab a b ab ab ⋅-⋅=322364a b a b -； （3）原式=()()212121243x xy x y xy ⋅--⋅-=23238x y x y -+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一项．【例11】 计算：（1）()322211263a b a b ab -⋅；（2）2222432345x y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）433442a b a b -；（2）42332448315x y x y x y --+．【解析】（1）原式=322224334111264233a b ab a b ab a b a b ⋅-⋅=-；（2）原式=222222224344234335x y x x y xy x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332448315x y x y x y =--+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，计 算时注意符号．例题解析【例12】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅333233323432a b a b a b a b =+--=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并同类 项运算．【例13】 先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【难度】★★【答案】化简结果是38x ，代入求值结果是1-．【解析】原式=()2222322222102x x x x x x x x x x x ⋅-⋅+-⋅-⋅--⋅ 4324322222102x x x x x x =-+-+-38x = 将12x =-代入计算得：31812⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后 合并同类项进行化简，最后代值计算．【例14】 先化简，后求值：()22322213344434xy x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫-+-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中133x y =-=，．【难度】★★【答案】化简结果是33x y -，代入求值结果是1．【解析】原式()22232211121133344434xy x y xy x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3344441212x y x y x y =-+-33x y =-．将133x y =-=，代入计算得：原式=()331313⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合 并同类项进行化简，最后代值计算．【例15】 已知26ab =，求()253ab a b ab b --的值． 【难度】★★ 【答案】174．【解析】原式36242a b a b ab =--()()32222ab ab ab =--32666=--174=．【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用．【例16】 解关于x 的方程：()13538n n x x x ++=+． 【难度】★★【答案】815x =．【解析】133538n n x x x x +⋅+⋅=+1131538n n x x x +++=+158x =815x = 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾．【例17】 已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值． 【难度】★★【答案】752-．【解析】根据题意，可得：25025200m m n -=⎧⎨-+=⎩，解得：525m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．原式=2222221041815121524m mn m mn n mn n m mn --++--+=-，代入计算得：原式=25575245222⎛⎫⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查两非负数和为零的模型，两式分别为零，然后再对代数式化简求值．【例18】 对任意有理数,x y 定义运算如下：x y ax by cxy ∆=++，这里a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a =1，b =2，c =3时：131********∆=⨯+⨯+⨯⨯=，现已知所定义的新运算满足条件，1∆2=3，2∆3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x 均成立，求a 、b 、c 、d 的值． 【难度】★★★【答案】5014a b c d ===-=，，，．【解析】根据题意，得2232364a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，现存在一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x ，代入即为ax bd cdx x ++=对任意x 恒成立，即关于x 的方程()1a cd x bd +-=-有无数解，故可得100a cd bd +-=⎧⎨-=⎩，结合0d ≠和前面所得两个等式解方程可解得：514a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．【总结】本题主要考查新定义运算，需要根据定义内容进行值的替换，同时对恒成立问题结合一元一次方程的一般形式ax b =有无数解的情况进行讨论，此时00a b ==，．1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例19】 计算：（1）134624x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11113232x y x y ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2189338x x +-；（2）221194x y -． 【解析】（1）原式=2133364632432448x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2189338x x +-；（2）原式=2211111111113322329664x x y y x y x xy xy y ⎛⎫⎛⎫+-+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221194x y -．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，在题（2）中可初步认识平方差公式()()22a b a b a b +-=-．模块三：多项式与多项式相乘知识精讲例题解析【例20】 计算：（1）()()22x y x xy y +-+；（2）22152xy x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）33x y +；（2）3223412554x y x y xy -+．【解析】（1）原式=()()2222322223x x xy y y x xy y x x y xy x y xy y -++-+=-++-+=33x y +； （2）原式=2111555222xy x x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22212554xy x xy y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=3223412554x y x y xy -+．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【例21】 计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】（1）4218760x x x --+；（2）224x y -；（3）4223x x -+-【解析】（1）原式=()()2243232212555121260x x x x x x x x x x x x --+-=+---+--+4218760x x x =--+；（2）原式 =()()223223323103xy x xy y x y x y xy ++-++322332232236331034x y x y xy x y x y xy x y =++---=-；（3）原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++=42423253x x x x +---=4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．【例22】 若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值． 【难度】★★【答案】63m n ==，．【解析】原式=()()()43233393x n x m n x mn x m +-+-++-+，因为两式乘积中不含2x 和3x项，所以可得30330n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩．【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，不含的项即其系数为0即可．【例23】 已知a 、b 、m 均为正整数，且()()215x a x b x mx ++=++，则m 可能取的值有多少个？ 【难度】★★【答案】2个，m 的值为16或8．【解析】()()()2215x a x b x a b x ab x mx ++=+++=++，由此可得15a b mab +=⎧⎨=⎩，a 、b 均为正整数，可知a 、b 为15的因数，15=5×3，或15=15×1，由此可得15116m =+=或538m =+=．【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，以及数字的因数的个数．【例24】 已知：多项式432221191112221222324x x x x x mx x nx ⎛⎫⎛⎫++++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求()311222n m m n ⎛⎫⎡⎤---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值．【难度】★★【答案】1【解析】2243211111912121223246221234x mx x nx x m n x mn x m n x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=+-+-+-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，原式=4321192222x x x x ++++，由此可得11262219342m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得62m n =⎧⎨=-⎩．又()()()()334111112222222216n m m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤⎡⎤---+=-+⋅-+=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，将62m n =⎧⎨=-⎩代入该 式中即得()4116221611616⨯+⨯-=⨯=⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的运算法则，同时考查在指数相同的情况下，若 两式相等，则对应项的系数也相等．【例25】 某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示） 【难度】★★【答案】223a ab b ++．【解析】()()22222222a b S a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-⨯+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()()22222522a ab b a ab b ++-++=223a ab b ++【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，对于不规则图形的面积采用割补法计算．【例26】 解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【难度】★★ 【答案】85x =-．【解析】()()()()322322114232x x x x x x x x x x x x x +++++--+-+-=-+-2242456x x x +=--85x =-【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解方程的步骤有一个整体的知识回顾．【例27】 解不等式：()()()()()6971725x x x x x -----<-． 【难度】★★【答案】8221x >．【解析】()()221554871435x x x x x -+--+<- 7471435x x -+<- 2182x -<-8221x >【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解不等式的步骤有一个整体的知识回顾．【例28】 学校在运动场上举行200米的赛跑，每条跑道的道宽为1.22米，比赛的终点线定在如图所示的C 处，由于不同跑道上的运动员要经过不同的弯道，因此他们不应从同一起跑线上起跑，第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔多远才比较公平？（π取3.14，精确到0.01米）【难度】★★★ 【答案】3.83m ．【解析】设第一道半径为r ，则第二道半径为()1.22r +，观察两道上运动员的位置，可知两 条跑道上运动员起始距离应为()112 1.222 1.22 1.22 3.14 3.8322r r m πππ⨯+-⨯=≈⨯≈．【总结】跑道问题，可利用代数式计算得到一个只与已知量相关的式子，运用了“设而不求”的数学思想．师生总结【习题1】 计算：（1）()225x xy ⋅-；（2）()()232323a b c a -⋅- ；（3）()232123xy xy ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（4）()3224142xy x y ⋅-．【难度】★【答案】（1）310x y -；（2）762108a b c -；（3）5889x y ；（4）71432x y -．【解析】（1）原式=()2125x y +⨯-=⎡⎤⎣⎦310x y -；（2）原式=()()()234623436223427a b c a a b c +-⋅-=⨯-=⎡⎤⎣⎦762108a b c -；（3）原式=2336223262112839x y x y x y ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5889x y ；（4）原式=()()32612162121146422xy x y x y ++⎡⎤⋅-=⨯-=⎢⎥⎣⎦71432x y -．【总结】本题主要考查单项式乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，同时本题还考查了对积的乘方运算的练习深化．【习题2】 计算：（1）()23223255x y xy x y ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）()222322233a b a b a b ⎛⎫⋅--- ⎪⎝⎭；（3）()223235453xy xy xy x y ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）566x y ；（2）443a b -；（3）343x y ． 【解析】（1）原式=()2121323255x y ++++⎡⎤⎛⎫-⨯⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦566x y ；（2）原式=44444423a b a b a b --=-；（3）原式=22212313434343544353x y xy x y x y x y x y ++⎡⎤⎛⎫⋅+-⨯=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，再进行合并同类项运算．随堂检测【习题3】 计算：（1）222133224ab a b a a b ⎛⎫⋅-+⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）0；（2）5444132x y z x y -．【解析】（1）原式=323233022a b a b -+=；（2）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先用计算法则计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题4】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅333233323432a b a b a b a b =+--()323334312a b a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法法则，先分别计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题5】 计算：（1） ()2133235n n n n n n a b a b b a b +-+-+⋅（n 为正整数，1n >）； （2）()222214322x xy y x xy x y ⎛⎫-⋅--⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()221367x x x +--+；（4）21111132469m m m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）3224x y x y +；（3）3261587x x x --++；（4）311278m -． 【解析】（1）原式=23133352535n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a b ++-++⋅-⋅+⋅ =()()()213133352535n n n n n n n n n n a b a b a b +++++-++++⨯-⨯+⨯ =22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）原式=()222221443322x xy x y x xy x x y -⋅--⋅-⋅+⋅=3222232436x y x y x y x y -+-+ =3224x y x y +；（3）原式=()()222367367x x x x x --++--+ =32261214367x x x x x --+--+=3261587x x x --++；（4）原式=221111111134692469m m m m m ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23211111112182781218m m m m m ++--- =311278m -． 【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，再进行合并同类项运算，（4）题主要考查立方差公式．【习题6】 计算：()()()()23325361245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【答案】()()5538x y x y +-．【解析】原式=()()()()233255536312458x y x y x y x y ++⎛⎫⨯⨯+⋅-=+- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法，运算过程中注意符号的变化．【习题7】 计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】4223x x -+-．【解析】原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++ =42423253x x x x +---=4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项， 再进行合并同类项运算；本题计算中注意观察，运用整体思想．【习题8】 若20x y +=，则代数式()3342x xy x y y +++的值． 【难度】★★ 【答案】0【解析】原式=()()()()32232222422222220x x y xy y x x y y x y x y x y +++=+++=++=． 【总结】本题在解题过程中注意整体思想的运用．【习题9】 先化简，再求值：12x =，1y =，求()()()22223x x x y y y x x y y xy y x ++-+++-的值． 【难度】★★【答案】18-．【解析】原式=()()()()()()3222233x y x xy y xy x y x y x xy y xy x y -++--=-++-=-， 将112x y ==代入计算得：原式=311128⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，注意整体思想的运用．【习题10】 先化简，再求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【难度】★★【答案】化简结果是29142a a +-，代入求值结果是7-．【解析】原式=()()33232254812229142a a a a a a a a a ------+=+-，将1a =-代入计算得：原式=()()29114127⨯-+⨯--=-．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，应用多项式的乘法法则．【习题11】 某地有一块梯形实验田，它的上底为m 米，下底为n 米，高是h 米． （1）写出这块梯形的面积公式；（2）当8m =米，14n =米，7h =米时，求它的面积． 【难度】★★【答案】（1）()12h m n +；（2）77平方米．【解析】（1）梯形的面积公式，（2）()28147277s m =+⨯÷=． 【总结】本题主要考查梯形的面积公式和代数式的求值计算．【习题12】 解方程：()()22526x x x x x --+=-．【难度】★★ 【答案】67x = 【解析】2222526x x x x x ---=-76x -=-67x = 【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法，同时对解方程的知识进行回顾．【习题13】 已知：()()523323229251342m n n m x y x y x y ax y ⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭． 求：()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭的值． 【难度】★★★【答案】36-．【解析】因为()()5233232261536102925134=182m n n m m n m n x y x y x y x y ax y ++++⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭，由此可得 261529361025m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩．将12m n =⎧⎨=⎩代入()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，可得：()()221121*********⎛⎫+⨯⨯-⨯⨯+⨯+=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，两个代数式相等，则次数相同的项的系数也相同，运用多项式的乘法法则进行计算．【作业1】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭； （3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）5312x y ；（2）7634a b c ；（3）434x y z -． 【解析】（1）原式=322153311232x y x y ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）原式=2642361423763111616424a b ab c a b c a b c ++⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）原式=()22211263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦434x y z -． 【总结】本题主要考查单项式的乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个单项式相乘与两个单项式相乘的法则完全相同．【作业2】 计算：（1）3221213232x y y xy ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()3212243ab a a b b ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦． 【难度】★【答案】（1）53343531181612x y x y x y --+； （2）221517a b ab +． 【解析】（1）原式=22331213238x y y x y ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2333323311121382838x x y y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=53343531181612x y x y x y --+； （2）原式=33251712212443412ab a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221517a b ab +． 【总结】本题主要考查单项式与多项式相乘的乘法法则．课后作业【作业3】 计算：（1）()()123243x y x y x y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()233222x y x y x y -⋅-． 【难度】★【答案】（1）3223171144126x x y xy y +--；（2）43255234x y x y x y x y --+． 【解析】（1）原式=()2232231117112244124126x xy y x y x x y xy y ⎛⎫+-+=+-- ⎪⎝⎭； （2）原式=()()2322322243255234x y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+．【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，多个多项式的依次相乘即可．【作业4】 计算：（1）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）()()3322543124752a ab ab a b ab ⎛⎫-⋅--⋅-- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）5444132x y z x y -；（2）6625220220a b a b ab -++． 【解析】（1）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -； （2）原式=()()()()33625432218474542a ab ab a b ab ab ab -⋅--⋅-⋅--⋅- =6666252828220a b a b a b ab -++=6625220220a b a b ab -++．【总结】本题主要考查整式的乘法，主要相关法则的准确运用．【作业5】 计算：（1）()()()2221a a a -++；（2）()()32225231x x x x -+-⋅-+． 【难度】★★【答案】（1）32284a a a +--；（2）54322778155x x x x x -+--+-．【解析】（1）原式=()()232421284a a a a a -+=+--；（2）原式=()()()3222223122315231x x x x x x x x --++-+--+=54343222346210155x x x x x x x x -+-+-+-+- =54322778155x x x x x -+--+-． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项的运算．【作业6】 当14t =时，代数式()3221723228t t t t t t ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭的值为__________． 【难度】★★ 【答案】107128【解析】对代数式化简，结果为()322432187374628824t t t t t t t t ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，将14t =代入， 求值计算，得：原式=432187131787310728424446412864128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简求值．【作业7】 已知：多项式()()43222212x x x x mx x nx +++=++++，求m 与n 的值．【难度】★★【答案】12m n =-=，【解析】因为()()()()()2243212322x mx x nx x m n x mn x m n x ++++=+++++++，又()()22432122x mx x nx x x x ++++=+++，所以可得13120m n mn m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩． 【总结】当两个多项式相等时，则同底数幂指数相同的项的系数也相同．【作业8】 已知：()()22345x x ax bx c +-=-+，求代数式：()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---的值．【难度】★★★【答案】7420．【解析】因为()()2234510712x x x x +-=--+，又()()22345x x ax bx c +-=-+，所以可得：10712a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，对代数式()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---化简可得：原式=3223222222222222a a b a ab a b a bc ab a bc +-+-+=+， 将10a =-，7b =，12c =代入，则原式=()()222107107127420⨯-⨯+-⨯⨯=． 【总结】两个多项式相等，若同底数幂的指数相同，则它们的系数也相同，本题主要考查代数式的化简求值．【作业9】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【难度】★★★【答案】23a b =⎧⎨=⎩． 【解析】()()()()()2243212312233231ax bx x x ax b a x a b x b x ++-+=+-+-++-+，因为多 项式的积不含3x 的项，也不含x 的项，所以可得：23030b a b -=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法计算，计算结果中不含有某一次数项，即该次数项的系数为0．【作业10】 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的乘法时，发现有些整式乘法结果有很明显的特点．例如：()()23111x x x x -++=-，()()22332428a b a ab b a b +-+=+小明：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”， 小强：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点类似”小强：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系......” 亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算()()22224x y x xy y ---+吗？【难度】★★★【答案】（1）()()()()22332233a b a ab b a b a b a ab b a b -++=-+-+=+；；（2）338x y --． 【解析】归纳总结，即立方和和立方差公式．（2）式变形即得原式=()()()32233322428x y x xy y x y x y ⎡⎤-+-+=-+=--⎣⎦． 【总结】对于一些常见的公式，需要进行记忆，在此前提下，注意观察题目中的每一个细节之处才能真正把握好相关规律．。
整式的乘法(1)
内容: 整式的乘法 （1）学前准备：填空：（1）同底数幂乘法法则（用字母表示）（2）x 3m+1＝x × ＝ x m × ＝x 2m ×判断正误，并将错误的改正过来。
A （－m ）×（－m ）2＝m 3B （－m ）4×（－m ）2＝m 6C （－m ）3×（－m ）2＝－m 5D （－m ）3×（－m ）3＝m 63. （8×2 n+1）·（8×2 n-1）＝ （用幂的形式表示）探究活动： 为支持北京申办2008年奥运会，一位画家设计了一幅长为6000米，名为 “奥运龙”的宣传画。
受他的启发京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画。
如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上，下方各留有81x 的空白。
（1）第一幅画的画面面积是 米2；(2) 第二幅画的画面面积是 米2。
问题：根据上述问题进行讨论，并回答下列问题：A 生：第一幅画的画面面积是x ·（mx ）米2，第二幅画的画面面积是（mx ）·43x 米2。
B 生：第一幅画的画面面积是mx 2米2，第二幅画的画面面积是43mx 2米2。
问题1他们的结果是否正确？若不准确，请判断谁对或给出你的答案；若都正确，它们之间又有什么关系？B 生的答案又是怎样得来的？问题2 单项式乘以单项式时，结果的系数是怎样得到的？相同的字母怎么办？仅在一个单项式里出现的字母怎么办？问题3 类似的，你能用你的发现分别将3a 2b · 2ab 3c 和（xyz 2）·（4y 2z 3）表示的更简单吗？计算 （1）（2xy 3）·（31xy 2） （2）（34x 2y ）·（－43y 2z ） （3）－6a 2b 2 · 4b 3c （4）（－2a 3b 4）·（－3ac ）（5）（4×105）·（0.5×104） （6）（2xy 2）·3xyz（7）（2xy ）2 ·3xyz （8）（31ab 2）3 · 27a 2bc试一试（1）（－0.7×104）·（0.4×103）·（－10）（2）（5x 3）·（2x 2y ） （3）（－3ab ）·（－4b 2）（4）（2x 2y ）3 ·（－4xy 2）判断下列各运算是否正确，不对的请改正。
第06讲整式的乘法(一)(原卷版)
第06讲 整式的乘法（一）模块一：单项式与单项式相乘1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行． 例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．【例1】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【例2】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【例3】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【例4】 化简：()75122xy x y -⋅--．模块二：单项式与多项式相乘1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．【例5】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅- ；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【例6】 先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【例7】 已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值．2 a + ba + 2b2a2b模块三：多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例8】 计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【例9】 某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示）【例10】 若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值．1. （2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列多项式乘法运算正确的是（ ） A ．22(32)(32)94x y x y x y +--=-； B ．22(32)(23)94x y y x x y --=-； C ．22(32)(32)94x y y x x y -+=-；D ．22(23)(23)94y x y x x y ---=-．2. （2022秋·上海虹口·七年级校考期中）下列计算中，正确的是（ ） A ．233a a a +=B ．2a a a ⋅=C ．2333a a a ⋅=D ．3222a a a -=3. （2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）把多项式3x mx +分解因式得1()2x x n x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时，m 、n 的值分别可能是( )A ．1184m n ==、B ．1142m n =-=、C ．1184m n ==-、D ．1142m n =-=-、4. （2022秋·上海杨浦·七年级统考期中）下列多项式中，与3x y -+相乘的结果是223103x xy y 的多项式是（ ） A ．3x y +B ．3x y -C ．3x y +D ．3x y -5. （2021秋·上海·七年级期中）现有下列算式：(1)2aa=2； (2)2a·3a=5a²; (3)ax(1a²x)=axa³xax²;(4)()43x x -·x²=x³其中错误的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. （2022秋·上海·七年级校考期中）设P 、Q 都是关于x 的四次多项式，下列判断一定正确的是（ ） A ．P Q +是关于x 的四次多项式 B ．P Q +是关于x 的八次多项式 C ．P Q 是关于x 的四次多项式 D ．P Q 是关于x 的八次多项式7. （2022秋·上海青浦·七年级校考期中）在代数式22x y 中，x 与y 的值各减少50%，则该代数式的值减少了（ ） A ．25%B ．50%C ．75%D ．87.5%8. （2022秋·七年级单元测试）若()()24223x x n x x k ++=+-，则n ，k 的值分别是（ ）A ．5、20B ．5、20C ．5、20D ．5、209. （2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算：()2111025x xy x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭___________；10. （2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：()21ax ax ⋅-=___________．11. （2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）计算：221(236)3ab a ab b --+= __________．12. （2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：()()32236x y x x -⋅+-=______．13. （2022秋·上海·七年级专题练习）已知x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝（x ＋1）（x ﹣2）（x ＋3），则a ＋b ＋c ＝________． 14. （2022秋·上海·七年级专题练习）已知35x x -=，35y y -=，且x y ≠，则22x xy y ++=__________15. （2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）如果()()22x x m x x n -+=++，那么m =___________，n =___________．16. （2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算：（1）()33a -=__________， （2）()()432a a a -⋅-⋅=__________，（3）()()443a a ⎡⎤-⋅-=⎣⎦__________，（4）()()3112a a --=__________．17. （2022秋·上海虹口·七年级校考期中）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．(1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：()()2321x x x ++-；(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？18. （2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算： (1)()2231322xy xy xy ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭(2)()()23322322a a a a a -+--⋅⋅19. （2022秋·上海闵行·七年级统考期中）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道1(4)(25)(36)2x x x ++-的结果是一个多项式，并且最高次项为：312332x x x x ⋅⋅=，常数项为：45(6)120⨯⨯-=-．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：15(6)2(6)434532⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯=-，即一次项为3x -． 参考材料中用到的方法，解决下列问题：(1)计算(2)(31)(53)x x x ++-所得多项式的一次项系数为 ．(2)如果计算22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，求a 的值； (3)如果202220222021202001220212022(1)x a x a x a x a x a +=+++⋯++，求2021a 的值．1. 如图，正方形ABCD 与正方形BEFG ，点C 在边BG 上，已知正方形ABCD 的边长a ，正方形BEFG 的边长为()b a b <，用a 、b 表示下列面积，DE 与GB 相交于点H ，下列各选项中不正确的是（ ）A ．DAE ABGD S S =梯形△B ．DHG HBE S S =△△C ．DEG ABCD S S =正方形△D ．DEG GBE S S =△△如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +C ．一定是四次D ．无法确定2. 计算：()()22x y xy -⋅=___________．3. 若2531207x b ax x x c ，则()ba c +=______．4. 已知2332A x ax y =+-+，22243B bx x y =--+，且A 与B 的3倍的差的值与x 的取值无关，求代数式()221114632263ab a b a ab a b ab ⎡⎤⎛⎫-+-+--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值．5. 计算：(1)()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；(2)()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．。
整式的乘法(1)
pq ( p q ) x __ _____ x ___ ( x p)(x q)
2
qx
pq
2
q
x
x
px
p
x
在（ax bx 1 ） (2 x 3x 1)的计算结
2 2
果中，不含 x 项和x项，求a、b的值
3
/ 四川等位分查询
多项式的乘法
2
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
3 4
1
1
2
3
4
多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘, 先用一 个多项式的每一项乘以另一个多项 式的每一项, 再把所得的积相加.
例1 计算:
(1) (x+2y)(5a+3b) ;
(2) (2x–3)(x+4) ;
练习、计算：
(1) (2a–3b)(a+5b) ; (3) (2a+b)2; 2 (2) (x–1)(x +x+1) ; (4) (3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2) ;
计算(2a+b)2应该这样做：
(2a+b)2=(2a+b)(2a+b) =4a2+2ab+2ab+b2 =4a2+4ab+b2
切记 一般情况下 (2a+b)2不等于4a2+b2 .
试求（a b）
2
1、 ( x 1)(4 2 x)(3 2 x) 2、 (3 x 2)(x 5) 7 x( x 3x 1), 1 其中x 2
你还记得吗?
1.单项式的乘法法则是什么？ 2.怎样计算单项式与多项式的乘法？ Nhomakorabeaan
整式的乘法(一)
课题整式的乘法与因式分解——（一）整式的乘法1教学目标1、掌握底数，指数，幂的概念；2、掌握同底数幂的乘法法则；3、熟练运用幂的乘方法则进行计算；4、熟练运用积的乘方法则进行计算。
重点难点考点重点：幂的运算难点：幂的综合运算教学基本内容、知识大纲（一）同底数幂的乘法（二）幂的乘方（三）积的乘方作业布置课后作业教师反馈知识掌握（30%）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩总得分满分100教师签名能力培养（40%）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩分思想态度（30%）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩本次课总体评价学生自评本次课收获和自我感受（对应分值上打ⅴ）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩学生签名家长意见家长签名知识点讲解知识点一：同底数幂相乘●课前预习1．n a 的意义是n 个a ，我们把这种运算叫做乘方。
乘方的结果叫做 。
a 叫做 ，n 是 。
2．根据乘方的意义填空：52________,=101010101010___⨯⨯⨯⨯⨯=。
3．23()___,()_____.a a -=-=22()__(),x y y x -=-33()__().x y y x -=-4．一种电子计算机每秒可进行1410次运算，它工作310秒可进行多少次运算？●知识探究1.探究：根据乘方的意义填空，看看计算结果有什么规律： （1）()5222(_________)(22)2;⨯=⨯⨯= （2）()32()(____);a a a a a a == （3）()5n 555__________5.m n m ==个个（）（）2. 猜想：_____m n a a =（,m n 都是正整数）。
3.验证：(________)(________)m n m an aa a =个个__________________==()a4.归纳：同底数幂的乘法法则：________m n a a =（,m n 都是正整数）。
文字语言：同底数幂相乘，底数 ，指数 。
5.类比猜想：_______m n p a a a =（,,m n p 都是正整数）。
整式的乘法(一)最新版
， 若 (am1bn2)(a2n1b)a5b3 求 mn的值 。
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
14.1.4 整式的乘法(第1课时)说课稿 2022-2023学年人教版八年级上册数学
14.1.4 整式的乘法(第1课时)说课稿一、教材分析本节课是人教版八年级上册数学的第14章“代数式的基本操作”中的第1节“整式的乘法”。
在这节课中，我们将学习整式的乘法运算。
二、教学目标1.知识与技能：–掌握整式的乘法运算的基本规则和方法。
–理解乘法的交换律。
–能够应用整式的乘法解决实际问题。
2.过程与方法：–通过观察、实践和思考，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
–通过讲解、练习和讨论，提高学生的数学运算技巧和策略选择能力。
3.情感态度价值观：–培养学生对数学学科的兴趣和探索精神。
–引导学生正确对待失败和挫折，在解题过程中培养学生的坚持不懈和勇于尝试的品质。
三、教学重点与难点1.教学重点：–整式的乘法运算的基本规则和方法。
–乘法的交换律。
2.教学难点：–整式的乘法运算的应用解决实际问题。
四、教学过程1.导入新课：通过引入一个实际问题，引起学生的兴趣和思考。
例如：小明买了3本数学书和4本英语书，每本数学书的价格是5元，每本英语书的价格是8元，那么小明总共花费了多少钱？让学生思考如何解决这个问题。
2.引入新知：根据学生的思考，引入整式的乘法运算。
解释整式就是由常数项和各种同类项加减而成的代数式，然后引出整式的乘法运算的基本规则和方法。
3.示例演示：通过一些具体的例子，演示整式的乘法运算的步骤和操作方法。
例如：(3x + 4)(2x - 5)的乘法运算过程。
4.理解巩固：让学生通过练习，巩固整式的乘法运算。
设计一些练习题，让学生独立完成，并让学生互相交换答案，进行讨论和纠正。
5.拓展应用：让学生通过一些实际问题，应用整式的乘法运算解决实际问题。
例如：小明的房间长5米，宽3米，他想铺一个长宽相同的正方形地毯，地毯每平方米的价格是10元，那么他需要花费多少钱买地毯？6.归纳总结：引导学生总结整式的乘法运算的基本规则和方法。
强调乘法的交换律，并帮助学生理解乘法的交换律在整式的乘法中的应用。
7.课堂小结：对本节课的内容进行总结，确保学生掌握了整式的乘法运算的基本规则和方法。
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(3)
（5）
7.能力提升：
（1）
（2）若单项式 xn+1y与单项式3xyz乘积的结果是一个六次单项式，求n的值。
四、【我的收获】
4.经历了上面的探索过程，请在下面写出单项式乘法法则：
归纳：单项式乘单项式的运算法则：
探究二：做一做
例1.利用乘法交换 律、结合律以及前面所学的幂Hale Waihona Puke 运算性质，计算下列单项式乘以单项式：
(1)2xy2· xy(2)(-2a2b3)·（-3a）
解：原式=()()()解：原式=()()() ()
= =
（3）7xy2·（2xyz）2
A.4a3bcB.36a3bcC.－4a3bcD.－36a3bc
4.下列各题的计算中正确的是（）
A.（－7a）·（－5a）2=35a3B.7a2·8a3=15a5
C.3x3·5x3=15x9D.（－3x4）·（－4x3）=12x7
5.(－2a4b2)(－3a)2的结果是( )
A.－18a6b2B.18a6b2C.6a5b2D.－6a5b2
里辛一中“分层互助”导学案
初一数学 课题:整式的乘法（1）备课时间:2013-04-07
课堂寄语:数学王子高斯说:“给我最大快乐的,不是已懂得知识,而是不断的学习;不是已有的东西,而是不断的获取;不是已达到的高度,而是继续不断的攀登。”
学习
目标
1.经历探索整式乘法运算法则的过程，发展观察，归纳，猜想，验证等能力。
（2）(2ab3)·(－4ab)＝－2a2b4（ ）
（3）(xy)3(－x2y)＝－x3y3（ ）
（4）－3a2b(－3ab)＝9a3b2（ ）
2.下列运算正确的是()
A.x2.x3=x6B.x2+x2=2x4C.(-2x)2=-4x2D.(-2x2)(-3x3)=6x5
3.式子－( )·(3a2b)=12a5b2c成立时，括号内应填上( )
（2）第二幅画的画面面积是________米2
2.问题：根据上述问题进行讨论，并回答下列问题：
A生：第一幅画的画面面积是x·（mx）米2，第二幅画的画面面积是（mx）· x米2。
B生：第一幅画的画面面积是mx2米2，第二幅画的画面面积是 mx2米2。
问题1.他们的结果是否正确？若不准确，请判断谁对或给出你的答案；若都正确，它们之间又有什么关系？B生的答案又是怎样得来的？
问题2.单项式乘以单项式时，结果的系数是怎样得到的？相同的字母怎么办？仅在一个单项式里出现的字母怎么办？
问题3.类似的，你能用你的发现分别将3a2b·2ab3c和（xyz2）·（4y2z3）表示的更简单吗？
3.你能说出上面的运算属于什么运算吗？_____________，你能归纳一下这种运算的方法吗？
2.会进行单项式与单项式的乘法运算。
3.培养同学们的语言表达能力，逻辑思维能力。
重难点
导学重点：单项式与单项式的乘法运算。
导学难点：单项式乘法法则有关系数和指数在计算中的不同规定。
学习过程
师生共享
(二次备课)
一个例子比十个定理有效
一、【知识回顾 夯实基础】
（1）下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？
解：原式==（）（）（）（）
=
例2.计算(1) (2)
(3) (4)(-5a2b3)( -3a)
(5)(2x)3(- 5x2y)（6）(-3ab) (-a2c)2·6ab(c2)3
从最简单的做起
宁可少些,但要好些!
注意几个问题：
(1)①系数的确定：积的系数等于各因式系数的积，要先确定系数的符号，在计算绝对值。
②相同字母相乘——同底 数幂的乘法；（容易将系数相乘与相同字母指数相加混淆）
③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．
(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则．
(3) 单项式相乘的结果仍是单项式．
三、【课堂达标】
1.数学医院:判断以下计算是否正确，并改正.
（1）3a2·4ab＝7a3b（ ）
（4）计算①(－a5)5＝②(－a2b)3＝
③(－2a)2(－3a 2)3＝④(－yn)2yn-1＝
二、【自主学习 探究新知】
探究一：想一想
1.如图，你能不能表示出两幅画的面积
（说明：两张纸的大小是一样的，第一幅画的大小与纸的大小相同，第二幅上下个留有 米的空白）
（1）第一幅画的画面面积是_______米2；
次数：
系数：
（2）下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？
（3）幂的运算法则有：______________,______________,
____________,___________ _。
______（m,n都是正整数） ________（m,n都是正整数）
______(m是正整数) _____（a≠0,m,n都是正整数）