1.2充分条件与必要条件

命题的4种情况：
p、q分别表示某条件
1 ）p q且q p
则称条件p是条件q的充分不必要条件
2 ）p q且q p
则称条件p是条件q的必要不充分条件
3 ）p q且q p
则称条件p是条件q的充要条件
4 ）p q且q p
则称条件p是条件q的既充分也不必要条件
练
1、填表 p
Q
O
P
l
所以直线 l 与 O相切。
(2)必要性(q p)： 若直线 l 与 O相切，不妨设切点为P，则 OP l .d=OP=r.
所以，d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
求证： 关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要
条件是a+b+c=0。
课堂小结 1.充分条件、必要条件、充要条件的概念. 2.判断“若p，则q”命题中，条件p是q的什么条 件. 3.充要条件判断： 4.充要条件的证明：（1）充分性；(2)必要性
习
q
y是有理数
x5
y是实数
x3
p是q的什么条件 q是p的什么条件 必要 充分 充分 必要
充分 必要 充分 必要 ab 0 a0 充分 ( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2 必要
m，n是奇数 ab x A且x B
m+n是偶数 ab x A B
必要 充分 必要 充分 必要 充分
真
x a 2 b 2 x 2ab
（2）若ab 0 ，则 a 0 ；
假
（3）全等三角形的面积相等； 真
两三角形全等 两三角形面积相等 （4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 假
2 ax bx c 0(a 0) 有两个不等的实数解， （5）若方程
Biblioteka Baidu
则b2 4ac 0 ．
q 的 思考：设p是q的充分不必要条件，则 p是
必要不充分
条件．
例4：已知： ⊙ O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。 求证：d r是直线l与⊙ O相切的充要条件。
O
P
Q
例4 已知: ⊙O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d . 求证: d r 是直线 l 与 ⊙O 相切的充要条件.
充分不必要 ⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 条件; ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必要不充分 __________条件; ⑶如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 条件; 充要 ⑷如图④所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件.
3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
习题1.2
4.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件。
2.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是 a2+b2+c2=ab+ac+bc， 这里a,b,c是△ABC的三条边。
前面我们接触了许多概念 : 命题、真命 题、假命题、逆命题、否命题、逆否命题、 充分条件、必要条件、充要条件、„„等这 些概念在问题中是会经常出现的，下面通过 做一些习题来把握以上概念及其相关思考 . 特别是对于充要条件的把握在数学学习 中相当重要 , 有位专家说 : “学不会充要条 件,就等于没学会数学 .”由此可见其重要性 , 充要条件渗透到了数学的各个分支和角落 .
既不充分也不必要
继续1
继续2
课堂练习 2 2. 方程 ax bx c 0(a 0) 有实数根是 ac 0 的_________ 必要不充分 条件.
x y 4 x 2 必要不充分 3. 是 的_________条件. xy 4 y 2
课堂练习




x P 是 x Q 的充要条件, 求实数 a 的取值范围.
4、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( ) A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
5: 求证：△ABC 是等边三角形的充要 条件是: a2+b2+c2=ab+ac+bc
这里a,b,c是△ABC的三条边. 【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：
复 习 旧 知引 入 新 课
1、命题：可以判断真假的陈述句 可以写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系
原命题 若 p则 q 互否 互为 互逆 互逆 逆命题 若 q则 p 逆否 互否
否命题 若 p则 q
逆否命题 若 q则 p
判断下列命题是真命题还是假命题： （1）若 x a 2 b2 ，则 x 2ab ；
学习小结: “” 表示: “充分”的意义; “” 表示: “必要”的意义; 你会发现有四种类型的条件: ⑴充分但不必要条件(如 p q 且 p 緌 q ) ⑵不充分但必要条件(如 p 縬 q 且 p q ) ⑶既不充分但不必要条件(如 p 烤 q 且 p
q q)
⑷既是充分又是必要条件(如 p q 且 p q )
分析: p : d r ,
q:
直线 l 与 ⊙O 相切.
要证
p 是 q 的充要条件,就是要证明两个命题成
立: ⑴充分性( p q ) ; ⑵必要性( p q )
分别证明,各个击破即可!
例4、 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d. 求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件. 证明：如图，作 OP l 于点P，则OP=d。 (1)充分性(p q)： 若d=r，则点P在 O上。在直线 l 上任取一点 Q(异于点P)，连接OQ。 在 Rt OPQ 中，OQ>OP =r. 所以，除点P外直线 l上的点都在 O的外部， 即直线 l 与 O 仅有一个公共点P。
如果p q，那么p与q互为充要条件。
补充练习 1．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 必要而不充分 “a∈N”的____________________ 条件。 x>1 2．x>2的一个必要而不充分条件是_____________ 。 条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的充分而不必要 _____________ 条件。 3 5 4． ___________ “cos ” 是 “ 2k , k Z”的必要而不充分 2 6 条件。 5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 充分 条件， 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_______ 充要 条件。 r是t的________
2
（2）若f ( x ) x，则 f ( x )为增函数; （3）若x为无理数, 则x 2为无理数.
解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题.
緌
所以, 命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
如果若p则q为假命题，那么由p推不 出q，记作p q。此时，我们就说p不 是q的充分条件，q不是p的必要条件。
真
方程有 ax 2 bx c 0(a 0) 两个不等的实数解 b 2 4ac 0 2 2 （6）若 x y ，则 x y ； 假
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q那 么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
例如：
x a 2 b 2 x 2ab
作业： 1．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 必要而不充分 “a∈N”的____________________ 条件。 x>1 2．x>2的一个必要而不充分条件是_____________ 。 条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的充分而不必要 _____________ 条件。 3 5 4． ___________ “cos ” 是 “ 2k , k Z”的必要而不充分 2 6 条件。 5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 充分 条件， 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_______ 充要 条件。 r是t的________
3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
2.“ a 1 ”是“函数 f ( x) | x a | 在区间 [1,) 上 为增函数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2 2 3. 已 知 P x x 2 x 3 0 , Q = x x (a 1) x a 0 且
例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p : b 0，q : 函数f ( x ) ax 2 bx c是偶函数; （2）p : x 0，y 0，q : xy 0; (3) p : a b，q : a c b c .
解 : 在(1)(3)中，p q，所以(1)(3)中的p是q的充要条件。在 (2)中，q p，所以(2)中的p不是q的充要条件。
x a 2 b2是x 2ab的充分条件
x 2ab是x a 2 b2的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些 命题中的 p是q 的充分条件？ （1）若x 1，则x 4 x 3 0;
1 0, 4.已知 p : x 3x 2 0 , q : 2 x x6
2
则 p 是 q 的________条件, p 是 q 的________条件.
充分不必要
必要不充分
例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些 命题中的 q是p的必要条件？ （ 1 ）若x y，则x 2 y 2 ; （ 2 ）若两个三角形全等， 则这两个三角形的面积 相等; (3) 若a b, 则ac bc .
解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题. 所以, 命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
已知p : 整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数。 那么p是q的什么条件？ q又是p的什么条件？
一般地，如果既有 p q，又有q p，就记作 pq 此时，我们说， p是q的充分必要条件，简称 充要条件。
如果p q，那么p与q互为充要条件。
练习：p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
上节课我们研究了两个符号:“” 、 “”
“” 表示: “充分”的意义; “” 表示: “必要”的意义.
对于命题“若 p , 则 q”来说，
⑴“若 p , 则 q ”是真命题记为“ p q ” ， 我们说 p 是 q 的充分条件； (“有 p 就可推出 q ”之意） ⑵“若 p , 则 q ”的逆命题是真命题记为“ p q ” ， 我们说 p 是 q 的必要条件； (“没有 p 就推不出 q ”之意)
证充分性即证A =>B， 证必要性即证B=>A
练习: x x 若关于 x 的方程 4 a 2 4 0 有实 {a|a≤－4} 数解， 则实数 a 的取值范围是___________.
注: 这里求取值范围问题 就是 求充要条 件的问题.
课堂练习: 1.在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件: