7实数
沪科版数学七年级下册《实数的概念与分类》教学设计
沪科版数学七年级下册《实数的概念与分类》教学设计一. 教材分析《实数的概念与分类》是沪科版数学七年级下册的一个重要内容，主要介绍了实数的概念、分类和性质。
本节课的内容包括实数的定义、实数的分类（有理数和无理数）、实数的性质（数轴、绝对值、相反数、平方根等）以及实数的运算。
这些内容是学生进一步学习数学的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了有理数的概念和运算，对于数的概念有一定的了解。
但是，学生对于无理数的概念和性质可能比较陌生，需要通过实例和讲解来加深理解。
此外，学生可能对于实数的分类和运算规则有一定的困惑，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.了解实数的概念和分类，能够正确区分有理数和无理数。
2.掌握实数的性质，包括数轴、绝对值、相反数、平方根等。
3.学会实数的运算规则，能够进行实数的加减乘除运算。
4.培养学生的数学思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数的分类：有理数和无理数的区别和特点。
2.实数的性质：数轴、绝对值、相反数、平方根的理解和应用。
3.实数的运算：加减乘除运算的规则和计算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题和解决问题的方式引导学生思考和探索。
2.使用多媒体教学辅助工具，如PPT、视频等，以直观的方式展示实数的概念和性质。
3.采用小组合作学习的方式，让学生通过讨论和交流来加深对实数概念的理解。
4.提供大量的练习题和实例，让学生通过实践来巩固实数的运算规则。
六. 教学准备1.教学PPT：制作PPT，包括实数的概念、分类、性质和运算的讲解和示例。
2.练习题：准备一些练习题，包括有理数和无理数的区分、实数的性质和运算等。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体设备等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“什么是实数？”引起学生的思考，引导学生回顾数的概念。
2.呈现（15分钟）使用PPT呈现实数的概念和分类，讲解实数的性质和运算规则。
第7课时 实数
第7课时 实数预学目标1．初步了解无理数的概念，掌握它与含根号的数之间的关系，并尝试根据定义判断一个数是不是无理数．2．阅读实数的定义和分类，尝试判断一个数是有理数还是无理数．3．初步理解数轴上的点与实数之间一一对应的关系．4知识梳理1．用定义判断无理数是______________，它们都是_______数，所以用根号表示的数不一定都是无理数．π_______(填“是”或“不是”)无限不循环小数，所以π____ (填“是”或“不是”)无理数，可见无理数不一定用根号表示．0.101 001 000 1…(每两个“1”之间依次多一个“0”) ______ (填“是”或“不是”)无限小数，_______(填“是”或“不是”)不循环小数，所以它____(填“是”或“不是”)无理数．0.101 001 000 1是_______(填“有限”或“无限”)小数，所以它_______(填“是”或“不是”)无理数，像2．数轴上的点与实数之间的一一对应关系数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数，而有理数和无理数统称为实数，因此数轴上的点与_______数一一对应．3．在数轴上作出表示无理数的点可以看做是一个直角边长都为1的直角三角形的斜边长．______、______的直角三角形的斜边长．如图1，点A 表示０，点B 表示1，作BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝１，则AC ，在数轴上截取AD ＝AC ，则点D 的点．试在图2的点．换，你能作出吗？例题精讲例l 在实数－43，..0.5757，0.121 121 112…，π，18，0.3513.141 59中，无理数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个提示：根据无理数的定义判断，弄清有理数与无理数的区别：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；任何一个有理数都可以化为分数的形式，无理数则不能．解答：C ．点评：本题的关键是理解无理数的定义，弄清它的本质．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有三类：开方开不尽的数，；特殊数，如π；构造的数，如0.101 001 0001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)不是分数，它3. 141 59是π的近似值，是一个有限小数，3，因此虽然有根号，但也是有理数．例2 2______，绝对值是_______．提示：在求绝对值时，先判断2是它本身，负数的绝对值是它的相反数”来确定是取2本身还是取其相反数．22．点评：本题考查估算能力和绝对值的性质，要能估算出的整数部分是2，值是2点几，比2大，还要熟悉绝对值计算的结果就是其本身和相反数中的一种．热身练习1．判断题．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有理数与无理数的差都是有理数． ( )(2)无限小数都是无理数． ( )(3)两个无理数的和不一定是无理数． ( )2．实数－2，0.3，17，－π中，无理数的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．下列各数：3.5，227，3. 141 6，－π，902，3.51，355133，1390，4.121121112…，7.030 303中，有理数有____________________________，无理数有_________________________．4．与数轴上所有点建立一一对应关系的是 ( )A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数5．若m 的整数部分，则m ＝_______．6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则在△ABC 的三条边中，边长为无理数的边有 ( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条参考答案1．(1)×(2)×(3)√2．A3．3.5，227，3. 141 6，902，3. 51，355113，1390，7. 030 303 －π，4. 121 121 112…4．D 5．3 6．C。
人教版七下数学第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧(学生版)
第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧（原卷版） 第一部分 专题典例剖析+针对训练专题1特殊到一般的思想专题解读：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质．典例1 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以121=11；用样，因为1112=12321，所以12321=111；…；由此猜想76543211234567898=________．针对训练11．观察下面的式子：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15⋯请你将猜想到的规律用含正整数n （n ＞1）的式子表示出来是 ．专题2 转化思想专题解读：转化思想就是将一个待解决的问题A ，转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B ，从而获得问题A 的答案．转化思想是数学中的核心思想．如：求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数，求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算，比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小．典例2 （2021秋•信都区期中）比较大小：−√13和−√25．针对训练22．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较√6+12与32的大小？专题3 分类思想专题解读：当一个问题包含有多种情形时，需要逐一讨论，然后汇总得出问题的答案．如在本章中对实数进行分类时，如果按不同的标准，就有不同的分类方法．实数⎩⎨⎧无理数有理数， 实数⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数0．典例3 求方程(21x －3)2＝9中x 的值．针对训练33．求x 的值：4（x ﹣1）2＝25．专题4 数形结合思想专题解读：“数”与“形”是对立统一的，借助于数轴，可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的．典例4 实数a 、b 在数轴上的位置如图6－1所示，请化简|a ＋b|＋2)(a b -．图6－1针对训练44．（2021秋•福田区校级期末）a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则：（1）用“＜、＞、＝”填空：﹣b ＞ 0，b ﹣a ＞ 0，a ﹣c ＜ 0；（2）化简：|﹣b |﹣|b ﹣a |+|a ﹣c |．5．（2021春•崇川区校级月考）已知点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 的位置如图所示： 化简：√b 33−√a 2−|b +c |+√(a −b −c)2．专题5 实数的大小比较在比较两个实数大小时候，要根据题目的特点，选用不同的方法，下面给出几种常见的比较方法． 方法一、绝对值比较法典例5 比较－6与－3的大小．典例6 当0＜x ＜1时，x 2,x ,x1从小到大的顺序是 .方法三、取近似值法 典例7 比较－417和3π-的大小． 方法四、平方法典例8 比较35和8的大小方法五、放缩法典例9 比较27+与257-的大小．针对训练56．（2021秋•双牌县期末）比较大小：6√3 7√2（填＞，＜，＝）．7．（2021秋•南京期末）比较大小：√3 √2+1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．（2021秋•鼓楼区期末）比较大小：√13−1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．（2012春•淮北校级月考）规定一种新运算：a △b ＝a •b ﹣a +1，如3△4＝3×4﹣3+1，请比较﹣3△√2与√2△（﹣3）的大小．。
实数(7)
实数（7）一 填空题1.56的平方根是 ；36的立方根是 ；81的平方根是 ；3343的算术平方根是 ；144的立方根是 ；63)81(-的立方根是2.若2b +和5的立方根，则a= ，b=3.若a<440-=m <b ，则a 、b 的值分别为4.a 的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解，则a=5.已知a a a =-+-20092008，则a-20082= 6.如果一个数的平方根是a+3和2a-15，则这个数是 7.已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，则3a b13+++-d c ab 的值是8.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则3222252cd ba b a ++-的值是 9.已知x 、y 都是实数，且422+-+-=x x y ，则y x 的平方根是10. 已知064.0)1(,121)7(32-=+=-y x ，则代数式3245102y y x x ++--的值是二 解答题1．解方程（1）2x 2=8 （2）126942-=x （3）x 2 = 49 (4) 9x 2=1625（5）4x 2—3=3.25 （6）（x+2）3= 125 （7）（2x-1）3=-8 （8）340+512x 3=-3（9）16x 2-361=0 （10）（x-1）2=25 (11) 169x 2=100 （12）2（4x-3）2=6(13) x 3-3=0 (14) （11）x 3—3=0.375 (15)-8(x-3)3=27 (16)(3x-2)3=8（17）8x 3+125=0 （18）64x 2-81=0 （19）(3x+2)2=16 （20）2x 2-0.5=0（21）31(21)42x -=- （22）01813=+x （23） 4)4(3=-x （24） 09)3(313=-+x2. 求值 （1）225 （2）16.0- （3）289144±（4）225 （5）2516-（6）0169.0± (7)(8)44.1（9）610- (10) 16949- (11)2)134(--（1344.1-21.1 (15)22422-+ (16)93353⋅+（17）)52)(53(-+ (18)221435-333332-+（21）1)31(3334-++ (22)55535- (23) 364 (24) 3125- （25）(26) (27)3027.0-(28)327125- （29） 3008.0- （30）38321+ （31）327102--- （32）3216.0412(484--)（33）3809.0-- （34） 23)1(1-+- （35）)33(3- （36）)212(2- （37）322322-+- （38）221213- （39）()23232-+-（40）2+32—52 （41）6(61-6) （42）|23-|+|23-|-|12-| (43）2328127()3+-+- （44）332)52()25(-- （45）2226(21)(63)-+---(46)32236415131691008.0-+-+⨯ (47) 0)01.0()1(100101.023+--+- 3.若28-++=b a a M 是（a+8）的算术平方根，423+--=b a b N 是（b-3）的立方根，求M+N 的平方根4.(1)已知m,n 为实数，且2620m n ++-=，解关于x 的方程(m+2)x 2+n 2=m-1 (2)若03)2(12=-+-+-z y x ，求z y x ++的值(3)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 和b 满足()0322=-+-b a ，求c 的取值范围5.观察例题：∵974<<，即372<<，∴7的整数部分为2，小数部分为)27(-.请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求532-+b a 的值6.计算：2211112++= ; 2211112+++2211123++=_______;2211112+++2211123+++2211134++= 由此猜想22111(1)n n +++=_______;2222222211111111111112233420032004++++++++++++L =7.(1)若实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：a b c a b c a ---+--(2)如图，A ，B 两点的坐标分别是(1,2),(4, 2)，c 点的坐标为（3,3）．（1）求△ABC 的面积；（2）将△ABC 向下平移3个单位，得到△A ′B ′C ′，则A ′，B ′，C ′的坐标分别是多少？（3）△A ′B ′C ′的面积是多少？(3)如图,平面内有四个点，它们的坐标分别是 )22,1(A )22,3(B )2,4(C )2,1(D ⑴依次连接A 、B 、C 、D ，围成的四边形是什么图形？并求它的面积⑵将这个四边形向下平移23个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
实数的教学设计(精编7篇)
实数的教学设计(精编7篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第7章 实数 复习课件 2021--2022学年青岛版八年级数学下册
4、立方根的性质：
①一个正数有一个正的立方根；
②0的立方根是0；
③一个负数有一个负的立方根。
5、开立方：
求一个数的立方根的运算叫开立方。
1.下列说法正确有( C )
5
25
2
⑴5是25的算术平方根;⑵
√
√ 6 是 36 的一个平方根; ⑶ 4
的平方根是－4；⑷
√ 0的平方根与算术平方根都是0。
cm，则另一条直角边的长是（ C ）
A. 4cm B.4 3 cm C.6cm
D.6 3 cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的
周长为（ C
）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
A
B
C
D
A
B
D
C
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙
上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶
4 17 5 4 17 5
2
2
4.0 17 4.5 4.0 17 4.5
2
2
1、与数轴上的点是一一对应关系的是（ D ）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
16 ,
2、下列各数中3.14,π,0.161161116……, 3 5，
22
,
7
A.3个
4、如果一个正数的两个平方根为 2a 7 和 a 1
(2a-7)+(a+1)=0
9
则这个正数是_____
9
５.若 m n 2 2 n 3，则m ____
n
n-2≥0
2-n≥0
∴n=2 ∴m=2
七个实数基本定理
从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是： ○1127页中间值定理 ○256页单调有界有极限定理 ○3确界定理 ○459页区间套定理 ○5附录4Borel 有限覆盖定理 ○662页有界必有限 ○764页Cauchy 收敛原理 书上证明各定理的思路是：从○1出发证明○2及○3，并证明○1、○2、○3相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。
由○2及此加强结论可证出○4，再由○4分别证出○5及○6，由○6证出○7。
下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：⇔⇔⇒⇔⇒⇒⇒①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下： ⇒①④已知有区间套[]{},n n a b 满足()lim 0n n n b a →∞-=，[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀。
要证存在唯一的[]1,n n n r a b ∞=∈ ，且lim lim n n n n b a r →∞→∞==记{}n a 全体上界组成的集合为B ，\A =B R 。
由[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀，知121n n a a a b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅。
显然11a -∈A ，11b +∈B ，且{}n b ⊂B ，故知A B、不空；由A =B R \知A B 、不漏；,a b ∀∈A ∀∈B ，由于a 不是{}n a 的上界，因此存在{}0n n a a ∈，使0n a a <。
而b 是{}n a 上界之一，所以0n a b ≤，故0n a a b <≤，即a b <，故不乱，因此|A B 构成实数的一个分划。
由①知，存在唯一的r ，,a b ∀∈A ∀∈B ，有a b ≤。
下证[]1,n n n r a b ∞=∈ ，即,n n n a r b ∀≤≤若∃N ，使n a r >，则2n n a r a +<，因此2n a r +∈A ，而2n a r r +>，与,a a r ∀∈A ≤矛盾。
7 实数的概念及分类
生师小结
本节课你学到了什么？
无限不循环小数叫做无理数。 有理数和无理数统称为实数。 实数按定义可以分为有理数和无理数； 实数按正负可以分为正实数、0、 选做题：P87
2 7
7实数的概念及分类七概念实数实数的概念实数的分类实数的实数概念概念及分类实数的定义以及分类
实数的概念及分类
课件制作人：桑帅
学习目标
理解无理数的概念，经历实数 的分类过程。
自学指导
无限不循环小数叫做无理数。
1、认真学习课本P82-P83探究上的内容。 无限循环小数的形式。 2、任何一个有理数都可以写成有限小数 或 3、无理数和实数的定义？
把下列各数分别填在相应的集合里。（板演）
9.4325657，0， ， 36 ，0.6，2.1666，π／3
7
9.4325657， 0， 36 ，0.6， 2.1666
7
， π／3
有理数集合
无理数集合
后 教
时间：3-5分钟 内容：实数概念及分类。 方式：同桌、小组之间相互交流、讨论。
注：对板演内容仍有不明白的或课本中 仍有不懂的同学请教同桌或举手询问老 师。
有理数和无理数统称为实数。
4、认真看课本，思考实数按定义和正负怎样来划分？
时间：8分钟左右。 方法：认真看课本或参考工具书，同学讨论。 检测方式：口答和学生板演。 要求：端正坐姿，紧张高效，每人都要有自学结果。
按定义分： 有理数 实数 无理数 按正负分： 正实数 实数 0
有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 正有理数 正无理数
负实数
负有理数 负无理数
检测题
判断下列说法是否正确：（口答）
（1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反 过来，数轴上所有的点都表示有理数； （5）所有的实数都可以用数轴上的点表示，反过 来，数轴上所有的点都表示实数；
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
实 数
有理数
正整数 0 自然数 负整数 正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数 正无理数 负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类： 正实数 实 数 0
负有理数 正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。
4
3 0.13
（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3
5
64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3
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初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
七年级数学第六章实数
实数
七年级数学第六章实数
目录：
1.算术平方根 2.平方根 3.立方根 4.有理数 5.无理数 6.实数定义 7.实数的运算 8.实数的大小比较
七年级数学第六章实数
1.算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于 2 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是 0 。
记作：0 0
七年级数学第六章实数
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那 么这个数就叫做a 的平方根（或二次方 根）．
注意：计算过程中要多保留一位!
七年级数学第六章实数
3.实数运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之
间不仅可以进行加 减 乘 除 乘方运算，
又增加了非负数的开平方运算，任意实数
可以进行开立方运算。进行实数运算时， 有理数的运算法则及性质等同样适用。
七年级数学第六章实数
练习：
2 3 3 2 5 3 3 2
不 要 遗 漏
解: (3 y ) 4 9 4 3 y 9
2
解:
2 3 27 ( x ) 125 3
2 3 125 (x ) 3 27 2 5 x 3 3
2 3 125 x 3 27
1 2 y 2 或y 3 3 3
2 y 3 3
x 1
人教版七年级下册第六章“实数”简介12
七年级下册第六章“实数”简介（2019修订）课程教材研究所李龙才从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数”领域的重要内容．对于有理数和实数，本套教科书安排了3章内容，分别是7年级上册第1章“有理数”，7年级下册第6章“实数”和8年级下册第16章“二次根式”．本章是在学生学习了“有理数”的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算．本章首先介绍平方根与立方根的概念，并通过开平方、开立方运算认识一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，把数的范围扩充到实数；类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算；并用这些知识解决一些实际问题．通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围．本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题．虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要地位，本章内容不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及锐角三角函数等知识的基础，也是学习高中数学中函数、不等式以及解析几何等知识的基础．本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要8课时，具体安排如下（仅供参考）：13．1平方根3课时13．2 立方根2课时13．3实数2课时数学活动小结1课时一、教科书内容和本章学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容本章主要包括算术平方根、平方根、立方根，以及实数的有关概念、运算以及实数在数轴上的表示等内容．本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，难点是平方根和实数的概念．教科书的第一节是平方根，本节先研究算术平方根，再研究平方根．教科书首先创设一个问题情景，从中抽象出的数学问题为：已知正方形的面积求其边长．这是一个典型的求算术平方根的问题，它与学生熟悉的已知正方形的边长求其面积是一个互逆的过程．通过对这类问题的探讨，引出算术平方根的概念，给出其符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数本质上都是完全平方数．接着，教科书设置一个“探究”栏目，让学生尝试能否将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，进而求出这个大正方形的边长．这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（但暂时不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数．另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数．出现后，一个很自然的问题是，到底多大．教科书采用用有理数夹逼的方法，利用不足近似值和过剩近似值来估计的大小，通过一步一步的估计，得到的越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，并进一步指出，，等也是无限不循环小数，这就为后面认识无理数打下基础．会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法．用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子（例3）介绍了用有理数估计无理数的常用方法．至此，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容．接着，教科书设置一个“思考”栏目，对平方根展开讨论．在这个“思考”栏目中，要求学生算出平方等于9的数，通过对这个问题的探讨，找到解决问题的方法，利用这种方法进一步求出平方等于1，16，36…的数，由此抽象概括出平方根的概念和开平方运算．开平方运算与平方运算是互逆运算，教科书通过举例分析了这两种运算的互逆过程，并用图示进一步说明．最后，教科书结合具体例子，通过具体计算一些数的平方根，探讨数的平方根的特征，归纳出“正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根”．教科书的第二节是立方根．对于立方根，教科书采用了与讨论平方根类似的方法进行讨论．首先设置一个问题情景，从中抽象出的数学问题是：已知立方体的体积求它的边长，这是一个典型的求数的立方根的问题．教科书从这个典型问题出发，引出立方根的概念和开立方运算．接着，教科书指出，和平方运算与开平方运算互为逆运算一样，立方运算与开立方运算也互逆，并通过一个“探究”栏目，运用这种互逆关系求一些正数、负数和0的立方根．在此基础上归纳出数的立方根的特征：“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”．最后，教科书介绍了立方根的符号表示，并利用这种符号表示探讨了立方根的一条性质（）．学习了平方根、立方根以及开方运算后，教科书在第三节安排了实数．本节首先设置一个“探究”拦目，要求学生将一些有理数转化为小数的形式，并分析这些小数的共同特点，进而归纳出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，然后直接指出反过来的结论也成立，即任何有限小数和无限循环小数都是有理数，这样教科书就将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来．在此基础上指出，像，，等只能化成无限不循环小数的数就是无理数，从而引出无理数的概念．教科书采用这种与有理数对照的方法引出无理数，有利于揭示有理数和无理数的本质区别，也有助于学生理解“有理数和无理数统称实数”这个构造性定义．为了是学生全面了解实数的概念，教科书根据不同的标准对实数进行分类，揭示出实数的内部结构．随着无理数的引入，实数概念的出现，数的范围由有理数扩充到实数，在这个扩充过程中，既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化．教科书通过几方面的例子说明了这种一致性和发展变化．首先，教科书通过探究在数轴上画出表示和的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数由有理数扩充到实数后，直线上的点与实数就是一一对应的；接着，教科书通过设置思考问题，让学生体会，在有理数范围内成立的一些概念（如绝对值、相反数等）在实数范围内仍然成立；最后，教科书结合具体例子，指出有理数的运算（如加、减、乘、除、乘方运算等），以及运算律、运算性质（如交换律、分配律、结合律等）在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算（如正数和0可以进行开平方运算、任何一个实数可以进行开立方运算）等．与大纲教材相比，本章内容在原教科书“数的开方”一章的基础上，适当增加了有关实数运算的内容（实数的运算在本套书“二次根式”一章继续学习）；从内容安排上看，改变原教科书先讲平方根，将算术平方根作为平方根一种特例的做法，而是从实际问题出发，先讲算术平方根，再讲平方根，加强了与实际的联系；在教学目标方面，强调所有学生都应会使用计算器进行开平方、开立方运算，加强了对估算的要求等．（三）本章学习目标1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值．4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．二、编写时考虑的几个问题（一）加强与实际的联系本章内容与实际的联系是非常密切的．例如，无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，开平方运算和开立方运算也是实际中经常用到的两种运算，用有理数估计无理数的大小在现实生活中经常遇到等等．因此，本章内容在编写时注意联系实际，对于一些重要的概念和运算紧密结合实际生活展开．例如，算术平方根是从已知正方形的面积求它边长、立方根是从已知立方体的体积求它边长等典型的实际问题引出的；再如，用有理数估计无理数的大小也是紧密结合实际问题展开的（6.1 节的探究1,2和例3）．将本章内容与实际紧密联系起来，可以使学生在解决实际问题的过程中，认识实数的有关概念和运算．（二）加强知识间的纵向联系，突出类比的作用本章内容属于“数与代数”领域，有关数的内容，学生在７年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识，本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时，注意加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化．例如，类比有理数，引入实数的绝对值和相反数的概念，实数的运算法则和运算性质，实数与数轴上的点一一对应关系；平方与开平方、立方与开立方的互为逆运算关系等都是在有理数的基础上展开的．另外，本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”这节时，充分利用了类比的方法．例如，类比平方根的概念的引入方式给出立方根的概念，类比开平方运算给出开立方运算，类比平方与开平方运算的互逆关系研究立方与开立方运算的互逆关系等．这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移．（三）留给学生探索交流的空间根据本章内容的特点，对于一些重要的概念和结论，编写时注意了让学生通过观察、思考、探究等活动归纳得出结论的过程．例如，对于平方根概念的引入，教科书首先通过一个问题情景，引出已知正方形的面积求边长的问题，接着又让学生通过填表的方式，计算几个不同面积的正方形的边长，使学生感受到这些问题与以前学过的已知正方形的边长求面积的问题是一个相反的过程，并由此指出，这些问题抽象成数学问题就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，并在此基础上给出算术平方根的概念，这样就让学生通过一些具体活动，在对算术平方根一定的感性认识的基础上归纳给出这个概念．再比如，在讨论数的立方根的特征时，教材首先设置“探究”栏目，在栏目中以填空的方式让学生计算一些具体的正数、负数和0的立方根，寻找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究活动的过程中发展思维能力，有效改变学生的学习方式．三、对教学的几个建议（一）加强数学思想方法的引导与渗透本章类比有理数，引入实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，教学时应注意引导学生体会类比这种研究方法的作用．实数与数轴上点是一一对应的，因此，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这不仅对理解实数的有关概念及运算很有帮助，而且对后续学习数学乃至研究数学都将产生深远影响，教学时，应注意让学生初步认识“数形结合”的思想方法的作用．（二）把握好教学要求与大纲教材和以往的课标教材相比，本章对开平方、开立方运算的要求有所降低，课程标准规定“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”，教学时要注意把握好这个变化．实数理论非常高深，初中生不可能充分理解，这就决定了教学时应充分利用学生已有的有理数的经验，不能追求严密的逻辑体系．例如，对于实数运算法则和运算性质，本章是通过一个实数的简单运算的例题来学习的．这样安排的目的是，通过类比有理数的运算，指出有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍然成立，此处不宜深究．关于实数的运算，在后面的“二次根式”一章中还要继续研究．（三）发挥计算器的作用，加强估算能力的培养使用计算器进行比较复杂的运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，估算是一种具有实际应用价值的运算能力．提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、计算器和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求．为了达到这个教学目的，本章专门安排了利用计算器求数的平方根和立方根以及利用有理数估计无理数的大致范围等内容．因此，教学中应结合具体内容，综合利用各种途径培养学生的运算能力．（四）关注实数的文化价值无理数的发现引发了数学史上的第一次危机，是数学发展史上的重要里程碑．引入无理数经历了一个漫长而艰苦的过程，这个过程体现了人类为追求真理而不懈努力的精神．因此，教学时可以结合无理数的发现和引入，挖掘数学知识的文化内涵，使学生感受丰富的数学文化，开阔他们的眼界，增长他们的见识．。
初中数学七年级《实数》优秀教学设计
6.3实数（1）教学过程设计知识探究1.探究：1.使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3 ，35-，，911，119，592.归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数3.观察：通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数结论：有理数和无理数统称为实数4.试一试：把实数分类⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分。
例如2，33，π是正无理数，2-，33-，π-是负无理数。
由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：5.探究实数与数轴上的点一一对应关系。
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？总结：1.事实上，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
因为实数包括有理数和无理数，在教学中引导学生自己归纳实数的分类⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数领会按定义和按正负两种分类方法，领会分类思想。
学生通过探究实践，作图得出实数与数轴上的点一一对应通过具体操作让学生掌握实数与数轴上的点一一对应的关系不应忽略学生分组讨论，老师提示知识探究怎样表示无理数2？方法：（教师示范）6.课本思考，归纳相反数.倒数和绝对值的意义。
领会在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的含义不变。
应用迁移1．把下列各数分别填入相应的集合里：332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----正有理数{ }负有理数{ }正无理数{ }负无理数{ }2. 下列实数中是无理数的为（）A. 0B. 3.5- C.2 D.9；3.下列各数中，是无理数的是（）A. 1.732- B. 1.414 C. 3 D. 3.144.已知四个命题，正确的有（）⑴有理数与无理数之和是无理数⑵有理数与无理数之积是无理数⑶无理数与无理数之积是无理数⑷无理数与无理数之积是无理数A. 1个B. 2个C. 3个D.4个5.若实数a满足1aa=-，则（）A. 0a> B. 0a< C. 0a≥ D. 0a≤6.下列说法正确的有（）⑴不存在绝对值最小的无理数⑵不存在绝对值最小的实数⑶不存在与本身的算术平方根相等的数学生自主探索完成，巩固新知，提高能力．学生完成交流反馈学习情况。
3、7实数的运算
②
4
7、计算有错吗？如果有，错误是 从第几步开始？
2
2
3
27
6 tan 300
3
解：原式= 9 3 6 3
4
3
= 21 2 3 4
特殊运算要记牢；
二、简便计算
实数运算中常用的运算律： 交换律a＋b＝b＋a、交换律ab＝ba 、 结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 、(ab)c＝a(bc) 分配律a(b＋c)＝ab＋ac、(ab)n＝anbn
5、1
1 sin 45
0
82
解：原式= 1 1 2 2 2 2 2 = 1 2 2 2 1
= 2 1 2 2 1
=2
简便运算构思巧；
三、
1、定义运算“@”的运算法则:x@y= xy 4 ，
则 (2@6)@8 16 ．
2、在实数的原有运算法则中，我们补充新运算
(
1 7
-
1 9
+) …+
1( 1 - 1 ) 2 199 201
=
1 [(1- 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+...+( 1 - 1 )]
2 3 35 57 79
199 201
=
1 (1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...+ 1 - 1 ) 2 3 3 5 5 7 7 9 199 201
实数的运算
张家口市第十六中学 马卫忠
实数的运算
实数的 运算
初一实数知识点总结
初一数学概念实数：—有理数与无理数统称为实数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
无理数：无理数是指无限不循环小数。
自然数：表示物体的个数0、1、2、3、4～（0包括在内）都称为自然数。
数轴：规定了圆点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
相反数：符号不同的两个数互为相反数。
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
绝对值：数轴上表示数a的点与圆点的距离称为a的绝对值。
一个正数的绝对值是本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
数学定理公式有理数的运算法则⑴加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
⑵减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
⑶乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
⑷除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1、整数包括哪些数？自然数是什么？什么叫有理数？答：整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、什么叫数轴？在数轴上如何表示数？答：数轴是一条带有方向、原点和规定长度单位的直线。
一个有理数在数轴上总可以找出一点和它对应。
表示方向的箭头在直线的右端。
数轴上方或右方是正数、原点的左方或下方是负数、原点是零。
3、什么叫相反数？什么是绝对值？如何判定有理数的大小？答：到原点距离相等的两个数叫互为相反的数。
零的相反数是零。
数轴上表示的数a到原点的距离叫数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它相反数、零的绝对值是它本身。
正数大于零，零大于负数，正数大于负数、两个负数绝对值大的反而小。
4、有理数加法法则是什么？答：符号相同的两数相加，和的符号与加数的符号相同，并把它们的绝对值相加；绝对值不等符号相异的两数相加，和的符号取绝对值较大的那个加数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的数相加，和为零；任何数与零相加，和就是这个数。
新-7.实数的概念
D． ± 36 = 6 25 5
30. 【易】（沈阳）10−2 的算术平方根是________． 【答案】 0.1
31. 【易】（郑州市八年级数学基本知识与基本技能竞赛预赛试题）计算： 3-2 的算术平方 根是________． 【答案】 1 3
32. 【易】（2010 南京三中期中） 4 的平方根是（ ）
留到万分位）． 【答案】 0.0006
49. 【中】（2012 人大附中初二上期中考试）已知 m 的两个平方根分别是 2a −1 与 a − 5 ， 求 m 的值． 【答案】9
50. 【中】（2011-2012 上期郑州实验外国语中学第一次月考）已知一个正数的两个平方根 为 2a − 3 和 3a − 22 ，则这个正数是________． 【答案】49
实数的概念
一、平方根的概念与性质
1. 平方根、算术平方根的概念 2. 求一个数的平方根、算术平方根 3. 平方根、算术平方根的性质
二、立方根的概念和性质
1. 立方根的概念和性质 2. 求一个数的立方根
三、实数的概念和性质
1. 无理数的识别 2. 实数相关性质 3. 无理数的估算 4. 实数比较大小
一、平方根的概念与性质
2. 求一个数的平方根、算术平方根
12. 【易】（2012 人大附中初二上期中考试）9 的算术平方根是（
A．3
B． −3
C． ±3
【答案】A
） D． ± 3
13. 【易】（2012 上海市奉贤调研试题）计算 4 的结果是（ ）
A．2 【答案】A
B． ±2
C． −2
D． ± 2
14. 【易】（2011•成都）4 的平方根是（
7. 【中】（北京五十五中期中）下列叙述中，正确的是（ ）
数学人教版七年级下册实数的概念
有理数在数轴上表示出来之 后可以比较大小
若a是有理数，则a的相反数 a a的绝对值表 表示为 －， 示为 a
有理数的运算律和运算性质
五.动手实践
与规定有理数的大小一样，对于在数轴 上的任意两个点，右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大．
有理数
有理数可以在数轴上表示出 来
无理数
无理数可以在数轴上表示 出来 无理数在数轴上表示出来 之后可以比较大小
有理数在数轴上表示出来之 后可以比较大小 若a是有理数，则a的相反数 a a的绝对值表 表示为 －， 示为 a 有理数的运算律和运算性质
若a是有理数，则a的相反 数表示为 －a ，a的绝对值 a 表示为
…………
有理数
无理数
有理数可以在数轴上表示出 无理数可以在数轴上表示 1. 实数和数轴上的点一一对应 出来 来 有理数在数轴上表示出来之 2. 实数可以借助数轴比较大小，数轴从左往 无理数在数轴上表示出来 后可以比较大小 右表示的数越来越大 之后可以比较大小 若a是有理数，则a的相反数 若a是无理数，则a的相 3. 若a是实数，则 a的相反数表示为 表示为 a的绝对值表 反数表示为 -a －a a的 a 绝对值表示为 示为 绝对值表示为 a 有理数有相关的运算法则以 及运算律
……
三.新知讲解
在扩大过程中，实数与数轴上的点是一一 对应的，有理数的相关概念在实数范围内 仍然成立．
三.新知讲解
即数的范围扩大时，原本的内容应涵盖其 中．但由于数的范围变大，可以解决更多 的问题．
课堂讲解例题2： 判断下列说法是否正确；不正确说明理由． （4）无理数包括正无理数，零和负无理
数……………………………………………… （ × ）
（5）有理数都是有限小数.……… （ × ） （6）无理数都是无限不循环小数.（ √ ）
6单元-七-下-实数知识点和考题
七年级数学下册六单元《实数》知识点及经典考题一、平方根1. 平方根的含义如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即a x =2，x 叫做a 的平方根。
２.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= ，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a a =2==⎩⎨⎧-a a 00<≥a a()a a =2（0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____３.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294*若0>>b a ，则b a >二、立方根和开立方１．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a２. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.３. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33 a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
三、推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。
当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个。
n a ± ０的偶次方根为０。
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超级演练 知识拓展
同步冲刺 能力冲浪 归纳总结
有一个人，是他第一个发现了除有理数外 的数，却被抛进大海，你想知道这其中的曲折 离奇吗？
这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯 的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达 哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们 以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是 至高无尚的，他所说的一切都是真理。 毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间的一切
3
2
1 1
2 -1
0
1
2
例：把下列实数表示在数轴上，
并比较它们的大小（用“＜”号连 接）
2 , 2, 1 , 3 2, 1.5
在数轴上表示的两个实数，右边的数总 比左边的数大。
在实数范围内，每一个数都可以用数轴 上的点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
实数与数轴上的点一一对应。
现象都能归结为整数或整数之比，即都可用
有理数来描述。
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯 (Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角线的 长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉 斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试 图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发 现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃 回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大 海。 他这一死，使得这类数的计算推迟了500 多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失。 这是怎样的一类数呢？
2
, 2 1
像 7,
3, 12 的数是无理数。
25
25 5 25是有理数
有一定的规律，但不循环的无限小数 都是无理数。
例如：
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
—234.232232223…〔两个3之间依次多1个2〕
0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的正 整数组成〕
阿基米德
（古希腊）
祖冲之
(南北朝)
刘徽
（魏晋时期）
至2002年底，科学家们用超级计算机已把
的值算到小数点后12411亿位.
（1）若正方形的边长是6，则它的面积是 （2）若正方形的边长是a，则它的面积是 （3）若正方形的面积是25，则它的边长是 （4）若正方形的面积是2，则它的边长是
36
a
2
5
2
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形
1 1 1 1
2
2
是不是有理数？
2 是不是整数？ 2 是不是分数？
2 2
2 2
∴绝对值等于 2 的数是 2 和 2
填空：
3 （1） 3 的相反数是__________ （2） 3 的相反数是
5 （3） 5 ___________
3
6 （4）绝对值等于 6 的数是 _________
把下列实数表示在数轴上，并 比较它们的大小（用“＜”号 1 连接） , 2, 2 , 2 , 1.5
实数 无理数
有理数
实数 正无理数 无理数 （无限不循环小数）
整数 有理数 分数
有理数和无理数统称为实数。 正有理数
或有理数 零 负有理数
负无理数
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的 相反数和绝对值的概念同样适用于实数。 例如： 2 和 2互为相反数 ∵
结论： 2 既不是整数，也不是分数。
所以， 2 不是有理数。
用这种方法可以得到一系列越来越接近 2
的 近似值。
2 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6
我们把这无理数
例如：
,
判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
6,
2
,
1. 2 3,
22 , 7,
22 , 36 7
36
1.232232223 (两个3之间依次多一个2)
有理数是： 无理数是：
1. 2 3
6 ,
2 ,
1.232232223 (两个3之间依次多一个2)
有理数和无理数统称为实数。